1. Macam-macam graf
Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, arah dan bobotnya, ada tidaknya sisi ganda.
Berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, graf digolongkan menjadi dua jenis: ( limited graph) yaitu graf yang memilki jumlah simpul berhingga. 1. Graf berhingga (limited
2. Graf tak berhingga (unlimited graph) yaitu graf yang jumlah simpulnya tak berhingga. Secara geometris graf tak berhingga digambarkan dengan sisi±sisi yang hanya memiliki satu simpul untuk untuk setiap simpu si mpull luarnya. S ekilas nampak seperti graf yang belum selesai digambar.
Berdasarkan arah dan bobotnya, graf digolongkan menjadi empat jenis, yaitu: 1. Graf berarah dan berbobot : tiap busur mempunyai anak panah pana h dan bobot. Gambar menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. A,B,C,D,E,F,G. Titik A menunjukkan arah ke titik B dan t itik C, titik B menunjukkan arah ke titik D dan titik C, dan seterusnya. Bobot antar titik A dan titik B pun telah di ketahui.
2. Graf tidak berarah dan berbobot : tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot. Gambar menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf terdiri dari
tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A tidak menunjukkan arah ke titik B atau C, namun bobot antara titik A dan titik B telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain.
3. Graf berarah dan tidak berbobot : tiap busur mempunyai anak panah yang tidak berbobot. Gambar menunjukkan graf berarah dan tidak berbobot.
4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot : tiap busur tidak mempunyai anak panah dan tidak berbobot.
Berdasarkan jenis sisinya graf digolongkan menjadi dua jenis: 1. Graf sederhana yaitu graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun loop.
2. Graf tidak sederhana yaitu graf yang memiliki sisi ganda maupun loop. Graf ini dibedakan menjadi dua yaitu:
a.
raf ganda yait
af yang memili i sisi ganda. Sisi ganda adalah sekumpulan sisi yang
menghubungkan sepasang simpul yang sama.
b.
raf semu yaitu graf yang memilik i sisi l p. Loop adalah sisi yang menghubungkan
sebuah simpul dengan dir inya sendir i.
2.
Gambar
graf
1. Bar isan ( v1, e1, v2, e2, v3, e5, v6, e5, v3) ada lah sebuah jal an ± (v1,v3). Pan jangnya adalah 4. Karena dalam bar isan ini sisi e5 muncul lebih dar i sekali, maka bar isan ini bukan je jak.
2. Barisan (v1,e3,v4,e6,v5,e9,v8,e11,v7,e8,v4) adalah sebuah j e j ak dengan panjang 5. Karena titik v4 muncul lebih dari sekali, maka jejak t ersebut bukan lintasan. 3. Barisan (v1,e3,v4,e8,v7,e11,v8,e9,v5) adalah sebuah li ntasan dengan panjang 4. 4. Barisan (v1,e1,v2,e4,v5,e9,v8,e12,v9,e10,v6,e7,v5,e6,v4,e3,v1) adalah sebuah jejak tertutup (sirkit ). Jejak tutup ini bukan sikel karena titik interval v5 muncul lebih dari sekali. 5. Barisan (v1,e3,v4,e6,v5,e4,v2,e1,v1) adalah sebuah sikel dengan panjang 4.
3. Graf Planar adalah Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang (plane graph). Sedangkan graph pohon (tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana. Suatu pohon merupakan graf yang terhubung, tak berarah, dan tidak memuat sirkuit, ini merupakan tiga kriteria utama untuk pohon. Sedangkan apabila dalam lintasan Hamilton verteks awal sama dengan verteks akhir, lintasan tersebut menjadi tertutup dan dinamakan sikuit Hamilton. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton. 4. Lintasan terpendek adalah suatu jaringan pengarahan perjalanan dimana sesorang pengarah jalan ingin menentukan jalur terpendek antara dua kota, berdasarkan beberapa jalur alternatif yang tersedia, dimana titik tujuan hanya satu. Contoh : Gambar menunjukkan suatu graf ABCDEFG yang berarah dan tidak berbobot.
Pada gambar diatas, misalkan kita dari kota A ingin menuju Kota G. Untuk menuju kota G, dapat dipilih beberapa jalur yang tersedia : A B C D E G A B C D F G ABCDG ABCFG ABDEG ABDFG ABDG
ABEG ACDEG ACDFG ACDG ACFG Berdasarkan data diatas, dapat dihitung jalur terpendek dengan mencari jarak antara jalur jalur tersebut. Apabila jarak antar jalur belum diketa hui, jarak dapat dihitung berdasarkan koordinat kota-kota tersebut, kemudian menghitung jalur terpendek yang dapat dilalui.
5. Materi tentang teori Graf
A.
Graf Sebuah graf G adalah suatu himpunan V yang tidak kosong yang
memenuhi sifat tidak refleksif dan simetiris dari suatu relasi R dan V. karena R simetris, maka untuk setiap pasangan terut (u, v) R, pasangan terurut (v, u) juga elemen R. Himpunan pasangan terurut simestris dalam R dinotasikan dengan E. sebagai contoh, sebuah graf G adapt didefenisikan dengan himpunan.
Dan relasi
Dalam hal ini,
Dalam sebuah graf G, V merupakan sebuah himpunan titik dan tiap elemen dari V disebut titik. Banyaknya titik dalam G disebut orde dari G. tiap elemen dari E disebut sisi dan E sendiri disebut himpunan sisi dari G. banyaknya sisi dalam G disebut ukuran dari G. dengan demikian = orde dari G dan ukuran dari G. Jika G merupakan sebuah graf yang didefenisikan dalam bentuk sebuah himpunan titik V dan suatu relasi R pada V, maka (u, v) membawakan (v,u) . Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G. untuk memudahkan dalam
penulisan, sebuah sisi biasanya cukup dinotasikan dengan uv dan vu. Himpunan sisi E menentukan relasi R. Dengan demikian graf G yang diberikan sebagai ilust rasi di atas didefenisikan sebagai himpunan V = dan E =
. Orde dan ukuran dari G adalah 4. Himpunan titik dari G dapat juga dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisinya dinotasikan dengan E(G). penggunaan notas i seperti ini berguna khususnya apabila kita membahas dua graf atau lebih. Himpunan V x V dimungkinkan berupa himpunan kosong, karena relasi R pada V memenuhi sifat tidak refleksif dan antisimetris. Hal ini berakibat bahwa himpunan sisinya dari suatu graf biasa berupa himpunan kosong atau dengan kata lain sebuah graf mungkin tidak memiliki sisi. Berkenaan dengan pembahasan sebuah graf, seringkali kita menyatakannya dalam bentuk diagram. Seperti dinyatakan sebagai sebuah noktah atau lingkaran kecil dan sisi dinyatakan oleh segmen garis yang menghubungkan dua titik tertentu. Misalnya diagram pada gambar dibawah ini:
walaupun kedua diagram diatas kelihatannya berbeda, namun sebenarnya dua diagram tersebut menyatakan graf yang sama. 2
.1.
Graf Sebagai Model Matematika Salah satu model matematika yang sudah cukup dikenal dan bisa
mencakup berbagai permasalah adala teori graf. Contoh permasalahan yang dapat dibuat model matematikanya dalam bentuk graf yaitu: Seorang guru bermaksud membuat suatu diagram tentang hubungan antar siswa dari kelas yang diajarnya. Diagram tersebut harus berisikan informasi apakah antara satu siswa dengan siswa lainnya berteman atau tidak berteman. Hal ini dapat dinyatakan
dalam bentuk diagram yang disebut graf. Dalam graf tersebut, seorang siswa dinyatakan sebagai sebuah titik dan hubungan berteman antara dua siswa, dinyatakan dengan sebuah sisi yang menghubungkan titik -titik yang mewakili dua siswa tersebut. 2.2.
Graf Berarah Sebagai Model Matematika Sebuah graf berarah D adalah suatu himpunan hingga yang tidak
kosong dengan sebuah relasi R pada V . R adalah relasi yang tidak refleksif. Seperti halnya dalam graf yang sudah dibicarakan di atas, elemen dari v disebut titik. Tiap pasangan terurut dalam R disebut sisi berarah atau arah. Relasi dari sebiah graf berarah D tidak perlu simetris, apabila (u,v) merupakan arah D, (v, u) belum tentu merupakan arah dari D. hal ini dapat kita ilustrasikan pada diagram dengan gambar segmen garis atau kurva antara titik u dan v yang memakai tanda panah sebagai tanda arah dari u ke v atau dari v ke u. 2
.3.
Jaringan Kerja Sebagai Model Matematika Sebuah jaringan kerja adalah sebuah graf atau graf berarah dengan
suatu fungsi yang memetakan himpunan sisi ke himpunan bilangan real. Jaringan kerja yang merupakan sebuah graf disebut jaringan kerja tidak berarah sedangkan jaringan kerja yang merupakan graf berarah disebut jaringan kerja berarah. Gambar di bawah ini merupakan contoh diagram dari dua jenis jaringan kerja tersebut.
Graf bertanda S adalah suatu jaringan kerja tidak berarah yang nilai fungsinya +1 atau -1. Karena tanda positif atau negatif dipasangkan pada tiap sisi dari S, maka dapat dipahami bila tiap sisi dari S, disebut sisi positif atau sisi negatif. Sebagai contoh, jika V =
E = Dan f = Maka graf bertanda seperti ini dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu seperti pada gambar di bawah ini.
Misalkan :
v1,v2 dan v3 adalah tiga buah kota. Tiap dua kota dihubungkan oleh satu
jalan yang jaraknya tidak sama. Jika antara satu kota dengan kota lain ditempuh dengan jalan kaki, maka lama perjalanannya adalah sebagai berikut: Antara v 1 dan v2, dua hari Antara v1 dan v3, satu hari Antara v 2 dan v3, tiga hari Situasi seperti ini dapat dinyatakan dalam bentuk graf seperti pada gambar;
Bila relasi yang mendefenisikan suatu graf memuat (v,v) dengan v , maka nama graf tersebut berubah menjadi g raf dengan loop, graf berarah dengan loop, jaringan kerja dengan loop, atau multigraf dengan loop . B.
Konsep-Konsep Dasar Teori Graf
2.4.
Derajat Suatu titik
Misalkan v adalah sebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di v disebut derajat dari v yang dinotasikan dengan deg Gv atau deg v. Contoh graf G apada gambar di bawah ini.
pada graf G tersebut, deg v 1 = 1, deg v 2 = 2, deg v 3 = 3, deg v 4 = 2 dan deg v5 = 0. Bila notasi graf (p,q) berarti bahwa suatu graf memiliki orde p dan ukuran q, maka graf pada gambar diatas dapat dinotasikan sebagai graf (5,4). Dapat kita teliti bahwa pada gambar G diatas, jumlah derajat dari tiap titik dalam G adalah 8, yang diperoleh dari 2 x 4 atau 2q. Hal ini dapat dinyatakan melalui teorema beriku t: M isalkan G adalah sebuah graf. Jumlah derajat dari titik -titik dalam G sama dengan dua kali banyaknya sisi dalam G. dengan kata lain jika G adalah graf (p,q) dengan titik -titik v1, v 2, .... v p
maka . Bukti bahwa apabila menjumlahkan derajat titik-titik dari suatu graf G, maka tiap sisi dari G masing-masing dihitung dua kali. Dengan demikian jumlah derajat titik -titik dari G adalah graf (p,q) dengan titik -titik dalam G sama dengan dua kalibanyaknya sisi dari G. sebuah titik dari suatu graf, bisa disebut genap atau ganjil. Hal ini tergantung apakah titiknya berderajat genap atau ganjil. Graf G pada gambar diatas memiliki dua titik ganjil dan tiga titik genap. 2
.5.
Graf Isomorfik Dalam bidang matematika perlu kita ketahui dengan dua ob jek yang
sedang kita hadapi itu sama atau berbeda. Misalnya 2 dan
dapat dilihat sevagai dua
bilangan yang sama, walaupun secara tepatnya dua bilangan tersebut tidak identik. Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dua buah graf dapat dikatakan sama. Ha l penting yang diketahui pada kesamaan ini terletak pada fakta bahwa apabila G
1
G 2 mereupakan situasi berbeda, maka dapat dipastikan bahwa antara dua situasi tersebut terdapat suatu kesamaan mendasar. Secara intuitif, dua graf G 1 dan G 2 adalah sama jika salah satu dari dua graf tersebut, misalnya G kembali, sedemikian hingga G 2 identik dengan G 1.
2
dapat digambar
dan
2
.6.
Graf Terhubung Himpunan graf terhubung merupakan suatu himpunan yang sangan
penting untuk diketahui. Pada bagian ini kita akan membahas graf terhubung dengan konsep-konsep yang berkaitan. Jika suatu graf F isomorfik dengan subgraf H, maka F juga disebut sebagai subgraf dari G. Dua titik u dan v dalam suatu graf G disebut terhubung jika u = v, atau jika v dan lintasan u v ada dalam G. jika setiap dua titik dari G terhubung, maka G disebut graf terhubung; dan jika sebaliknya disebut tak terhubung atau tidak terhubung. Sub graf terhubung H dari G disebut komponen dari G jika H tidak termuat dalam subgraf terhubung lain dari G yang memiliki titik aatau sisi lebih banyak dari H. 2
.7.
Titik Pemotong Atau Jembatan Jika e merupakan sebuah sisi dari graf G, maka G -e adalah subgraf G
yang memiliki himpunan titik yang sama seperti G dan memuat semua sisi dari G kecuali e. Jika v adalah sebuah titik dari G yang memuat paling sedikit dua titik, maka G-v adalah subgraf dari G yang himpunan titiknya memuat titik titik dari G kecuali v dan himpunan sisinya memuat semua sisinya memuat semua sisi dari G kecuali sisi yang berujung div. Teorema : Misalkan G adalah graf terhubung. Suatu sisi e dari G merupakan jembatan dari G jika dan hanya jika e tidak terletak dalam suatu saikel dari G.
