Graph - Pohon

POHON

Pendahuluan Dalam bab ini kita akan membahas salah satu jenis dari graf yang dinamakan pohon (tree). Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat direpresentasikan sebagai pohon. Sebagai contoh: silsilah keluarga, susunan organisasi umumnya dinyatakan dalam bentuk pohon, jaringan komputer yang menggunakan teknologi ethernet atau star juga dimodelkan dalam bentuk pohon. Dalam dunia komputer, konsep pohon banyak dipakai. Seperti penguraian kalimat parsing (parsing ) dan pemanggilan fungsi dalam banyak bahasa pemrograman, pohon dipakai juga untuk melakukan penyandian (coding ), dan untuk melakukan pemampatan file dalam algoritma Huffman, Lempel-Ziv, dan sebagainya. Dari sudut pandang matematika diskrit, bab ini akan membahas pohon sebagai bagian teori graf dan beberapa penerapanya.

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa mengerti konsep pohon, macam-macam pohon, dan

mengetahui penerapannya

dalam kehidupan sehari-hari, khususnya dalam bidang komputer.

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Memahami definisi pohon, dan dapat mengaitkannya dalam permasalahan sehari-hari. 2. Memahami pengertian pohon perentang, pohon perentang minimal, dan dapat melakukan pencarian pohon perentang minimal dari suatu graf. 3. Memahami pengertian pohon biner dan penerapannya.

Oleh: Bandung Arry Sanjoyo

1

4. Memahami berbagai macam teknik penelusuran pohon. 5. Memahami algoritma Huffman dan dapat melakukan penyandian dengan memanfaatkan algoritma ini.


2

6.1 Kegiatan Belajar I: Definisi Dan Sifat-Sifat Pohon Pohon (Tree) telah digunakan sejak tahun 1857 oleh matematikawan Inggris yang bernama

Arthur Cayley untuk menghitung jumlah senyawa kimia. Pada Gambar 6.1.1 menggambarkan dua isomer Butane CnH2n+2 . Sejak itu, pohon banyak dipakai untuk menyelesaikan berbagai permasalahan dalam berbagai macam disiplin ilmu. H H

C

H

C

H H

H

H

H

C

C

C

H

H H

H

C

H

H

C

H

H

H C

H

H

H

Gambar 6.1.1 Dua Isomer Butane Silsilah keluarga biasa digambarkan dalam bentuk pohon. Sebagaimana pada Gambar 6.1.2 yang merupakan silsilah keluarga Bernoulli, suatu keluarga matematikawan yang terkenal dari Swiss. Diagram seperti itu dinamakan pohon silsilah. Pohon silsilah merupakan suatu graf dengan verteks menyatakan nama anggota keluarga dan edge menyatakan hubungan antara anak dan orang tua. Kalau kita perhatikan pada pohon silsilah tersebut tidak memiliki sirkuit/cycle.

Nikolaus 1623-1708

Jacob I 1654-1705

Nikolaus 1662-1716

Nikolaus I 1687-1759

Johann I 1667-1748

Nikolaus II 1659-1726

Daniel 1700-1782

Johann II 1710-1790

Johann III 1746-1807

Jokob II 1759-1789

Gambar 6.1.2 Silsilah keluarga Bernoulli


3

Pohon (tree) adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak memuat sirkuit

Definisi 6.1.1

sederhana. Menurut definisi di atas, suatu pohon merupakan graf yang terhubung, tak berarah, dan tidak memuat sirkuit, ini merupakan tiga kriteria utama untuk pohon. Pada Gambar 6.1.3, gambar (a), (b), dan (c) merupakan pohon. Sedangkan Gambar 6.1.3 (d) bukan merupakan pohon karena tidak terhubung. Jika kita perhatikan lagi pada definisi di atas bahwa suatu pohon tidak memuat sirkuit sederhana, maka dalam suatu pohon pasti tidak memuat multiple edge (dua edge yang mempunyai verteks awal dan akhir sama) dan loop. Oleh karena itu suatu tree harus merupakan graf sederhana.

d

b a a

d

f

c

e

g

a

b

a

e

c

(a)

b

(b)

(c)

(d)

Gambar 6.1.3 Contoh 6.1.1:

Ada empat pasang suami istri yang suka gosip. Si a beristri A, si b beristri B, si c beristri C, dan si d beristri D. Si a menelpon istrinya dan menceritakan gosip baru, yang kemudian istri a menelepon para istri untuk menyebarkan gosip itu. Setiap istri itu menelpon dan menceritakan gosip kepada suami masing-masing. Jika setiap orang kita nyatakan dalam verteks/node, maka edge menyatakan hubungan orang menelpon orang. Oleh karena itu, tersebarnya gosip ini dapat dimodelkan dalam bentuk pohon seperti Gambar 6.1.4. B a

A

C D

b c d

Gambar 6.1.4. Dari definisi dan penjelasan pada contoh di atas, suatu pohon merupakan graf terhubung dan tidak memuat sirkuit sederhana. Bagaimana kalau ada suatu graf yang tidak memuat sirkuit sederhana, akan tetapi tidak terhubung?. Seperti Gambar 6.1.5 merupakan sebuah graf yang


4

tidak memuat sirkuit sederhana akan tetapi tidak terhubung. Graf pada Gambar 6.1.5 tersebut terdiri dari tiga buah komponen (subgraf yang terhubung) masing-masing merupakan pohon.

Gambar 6.1.5. Sebuah hutan Definisi 6.1.2 Hutan (Forest ) adalah graf tak-berarah tak terhubung yang terdiri dari dua atau

lebih komponen berupa pohon. Berdasarkan definisi di atas, sebuah hutan merupakan suatu graf yang tak berarah dan tak terhubung, terdiri dari komponen (subgraf) yang berupa pohon. Jadi suatu hutan terdiri dari banyak pohon. Teorema 6.1.1 Suatu graf tak berarah merupakan pohon jika dan hanya jika setiap dua pasang

verteks hanya ada sebuah lintasan sederhana. Bukti: Pertama kita tunjukkan bahwa jika suatu graf tak berarah merupakan pohon maka setiap dua

pasang verteks hanya ada sebuah lintasan sederhana. Anggap bahwa grafnya adalah T yang berupa pohon. Karena T berupa pohon, maka T merupakan graf terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana. Ambil dua verteks u dan v di T . Karena T terhubung, maka ada lintasan sederhana dari verteks u ke verteks v. Selanjutnya

akan ditunjukkan bahwa lintasan ini hanya satu-satunya. Misal ada dua lintasan sederhana dari u ke v, katakan lintasan tersebut adalah:

Lintasan pertama : u-x1-x2-...-xr -v. Lintasan kedua

: u-y1-y2-...-ys-v.

Jika lintasan pertama dan lintasan kedua berbeda, maka deretan x1-x2-...-x r dan y1-y2-...-ys tidak sama. Karena deretan x1-x2-...-x r dan y1-y2-...-ys tidak sama dan keduanya berawal dari verteks u dan berakhir pada verteks v, maka kalau dua lintasan ini kita gabung akan membentuk sirkuit.


5

Hal bertentangan dengan graf T yang berupa pohon, dalam pohon tidak ada sirkuit. Oleh karena itu, kedua lintasan tersebut harus sama. Kedua kita tunjukkan bahwa jika setiap dua pasang verteks dalam suatu graf tak berarah hanya

ada sebuah lintasan sederhana maka graf tersebut merupakan pohon. Anggaplah dalam suatu graf tak berarah T hanya ada sebuah lintasan sederhana diantara setiap pasang verteks u dan v. Dengan demikian T merupakan graf yang terhubung. Karena lintasan dari verteks u ke verteks v hanya ada satu, kita tidak bisa menemukan sirkuit sederhana dari verteks u kembali ke verteks u. Karena graf T terhubung dan tidak mempunyai sirkuit sederhana, maka graf T berupa pohon. Contoh 6.1.2:

Perhatikan dengan teliti setiap graf pada Gambar 6.1.6. Graf G1 dan G2 merupakan pohon karena setiap pasan node pada graf tersebut hanya ada satu lintasan yang menghubungkannya. Untuk graf G3 bukan merupakan pohon karena ada sepasang node a dan node c yang memiliki lebih dari satu lintasan, yaitu: a-b-f-e-c dan a-d-c. Untuk graf G4 bukan merupakan pohon karena tak terhubung, akan tetapi graf tersebut membentuk dua komponen berupa pohon, oleh karena itu G4 merupakan hutan. c

b

a

f

e

d

a

f

e

d

G1

c

b

a

d

G2

c

b

a

b

d

e

f

e

G3

c

f

G4

Gambar 6.1.6 Dalam penerapan pohon, salah satu dari node pada pohon sering dibuat sebagai akar (root ). ). Dari sebuah akar ini pasti ada lintasan tunggal menuju ke setiap node yang ada. Begitu kita menentukan sebuah node pada pohon sebagai akar, kita berikan arah pada setiap edge dengan asal/awal arah adalah dari akar. Sebagai gambaran, perhatikan graf pada Gambar 6.1.7. a

b

c

a

b

c

b

Atau d

e

f

d

e

f

d

e

a

c

a

b

c

e

Atau

f d

e

b d

f

c f

a

T

T 1

T 2

Gambar 6.1.7 Graf T pada Gambar 6.1.7 merupakan pohon tak berakar. Dari pohon T , jika kita buat node b sebagai akar maka didapat pohon berakar T 1. Pada pohon berakar T 1, dapat dibuat lintasan


6

tunggal yang berawal dari akar b ke setiap node lain a, c, d, e, atau f. Jika dari pohon T kita buat node e sebagai akar maka didapat pohon berakar T 2. Pada pohon berakar T 2, dapat dibuat lintasan tunggal yang berawal dari akar e ke setiap node lain a, b, c, d, atau f. Untuk pohon berakar, penggambaran arah edge dapat dihilangkan, dengan perjanjian bahwa akar berada pada paling atas, sedangkan arah edge adalah dari atas ke bawah. Definisi 6.1.3 Pohon Berakar ( Rooted Rooted Tree) T adalah suatu pohon yang salah satu nodenya

didefinisikan sebagai akar (root ) r dan edgenya berarah sesuai arah lintasan dari node r melalui edge tersebut.

Definisi 6.1.4 Untuk pohon T dengan akar r , didefinisikan:

i.

Level (depth) dari node v di T adalah panjang lintasan dari node r ke node v.

ii.

Kedalaman pohon T adalah maksimum dari semua level node yang ada di T .

iii.

Daun (leaf ) dari T adalah node berderajat satu selain node akar.

iv.

Sebuah cabang (branch) dari T adalah sebuah lintasan dari node v ke node daun.

v.

Orang tua (Parent) dari node v di T adalah sebuah node u sedemikian sehingga ada edge

(u,v) di T, dan node v dinamakan anak (child ) dari u. Node-node yang mempunyai orang tua sama dinamakan bersaudara (sibling). vi.

Pendahulu ( Ancestor Ancestor ) dari node v yang bukan akar adalah semua node yang pada lintasan

dari akar ke v. vii. viii.

Keturunan ( Descendant ) dari node v adalah semua node yang mempunyai pendahulu v. Node Internal dari T adalah node-node yang mempunyai anak

Definisi 6.1.4 Subpohon (Subtree) dari pohon T dengan node a sebagai akar adalah suatu

subgraf dari pohon T yang terdiri dari node a dan semua node keturunan a dan edge-edge yang incident dengan semua node-node tersebut.


7

Contoh 6.1.3:

Perhatikan pohon T dengan 11 node yang berakar r seperti pada Gambar 6.1.8.

r

a d

c

b e

g

f

h

a

i

c

d

g

e f

h

j

T

T 1

i

T 2

g j

T 3

i

j

T 4

Gambar 6.1.8 Sebuah pohon berakar r. Akar dari pohon T adalah r. Node internal dari pohon T adalah r, a, b, c, e, dan g. Node daun dari pohon T adalah d, h, f, i, dan j. f ) = level(g) =2, Level(r ) = 0, level(a) = level(b) = level(c) =1, level(d ) = level(e) = level( f j) =3. level(h) = level(i) = level( j

Kedalaman dari pohon T adalah 3. T 1 , T 2 , T 3 , dan T 4 masing-masing merupakan subpohon dari pohon T.

Contoh 6.1.4:

Perhatikan pohon T dengan akar a pada Gambar 6.1.9. Dapatkan orang tua dari c, anak dari g, saudara dari h, semua pendahulu e, semua keturunan dari b, semua node internal, semua daun, kedalaman T, subpohon dengan akar g. a

b

g

f

i

h

c d

T

e

k

l

j m

Gambar 6.1.9.


8

Penyelesaian: Orang tua dari c adalah b. Anak dari g adalah h,i, dan j. Saudara dari h adalah i, dan j. Pendahulu dari e adalah c, b, dan a. Keturunan dari b adalah c, d, dan e. Node internal adalah a, b, c, g, h, dan j. Node daun adalah d, e, f, i, k, l, dan m. Kedalaman dari T adalah 3. Subpohon dari T yang berakar g adalah pohon pada Gambar 6.1.10. g i

h k

l

j m

Gambar 6.1.10.

Pohon berakar yang mempunyai sifat bahwa semua node internal mempunyai banyak anak sama sering dipakai dalam aplikasi. Misalnya dalam permasalahan pencarian, pengurutan, pengkodean, dan sebagainya. Definisi 6.1.5 Pohon m-ary (m-ary Tree ) adalah pohon berakar yang setiap node internal

mempunyai anak tidak lebih dari m. Jika semua node internal pada pohon m-ary mempunyai anak tepat m buah maka pohon tersebut dikatakan pohon m-ary penuh. Dan jika m=2 maka dikatakan sebagai pohon biner (binary tree).

Contoh 6.1.5:

Perhatikan pohon – pohon pada Gambar 6.1.11. Apakah T 1 , T 2 , T 3 , dan T 4 merupakan pohon mary penuh?.

T 1


T 2

9

T 3

T 4

Gambar 6.1.11 Penyelesaian: T 1 merupakan pohon 2-ary penuh atau pohon biner. T 2 merupakan pohon 3-ary penuh atau pohon terner. T 3 merupakan pohon 5-ary penuh. T 4 bukan merupakan pohon m-ary penuh karena ada node internal yang beranak tiga dan ada

yang beranak 2.

Definisi 6.1.6 Pohon Berakar Terurut (Ordered Rooted Tree ) adalah pohon berakar yang

setiap node internal mempunyai anak terurut dari kiri ke kanan. Dalam pohon biner T , jika node internal v di T mempunyai dua anak, maka anak pertama dinamakan anak kiri (left child ) dan anak kedua dinamakan anak kanan (right child ). ). Subpohon yang berakar anak kiri dari v dinamakan subpohon kiri (left subtree) dan Subpohon yang berakar anak kanan dari v dinamakan subpohon kanan (right subtree).

Contoh 6.1.6:

Perhatikan pohon binari pada Gambar 6.1.12. Manakah anak kiri dan kanan dari node d pada pohon binari T? Dapatkan subphon kiri dan sub pohon kanan dari node c? a c

b

e

h

g

d f

i

j

k

Gambar 6.1.12 Penyelesaian: Anak kiri dari node d pada pohon binari T adalah e dan anak kanan dari node d pada pohon binari T adalah f.


10

Subpohon kiri dari dari node c adalah g

Subpohon kanan dari dari node c adalah h j

k

Contoh 6.1.7:

Sistem file dalam komputer dapat digambarkan dalam bentuk pohon berakar. File-file dalam komputer dapat diorganisasikan dalam direktori-diretori. Sebuah direktori dapat memuat banyak file dan subdirektori-subdirektori. Gambar 6.1.13 menyatakan sistem organisasi file didalam salah satu hardisk komputer. C:\

Apache

bin

li b

conf

Documents and Settings

Prog Progra ram m File Files s

Windo Windows ws

mysql

Gambar 6.1.13 Sistem File File Komputer. Komputer.

Teorema 6.1.2 Sebuah pohon dengan n node mempunyai n-1 edge.

Bukti: Misal node akar dari pohon adalah r. Kita buat korespondensi satu-satu antara node-node selain r dan edge-edge, dengan cara mengawankan antara sebuag edge dengan sebuah node ujung dari

edge terebut. Sebagai gambaran lihat Gambar 6.1.14. Karena banyaknya banyaknya node selain r ada n-1 buah dan terjadi korespondensi satu-satu dengan node-node selain r , maka banyaknya edge ada n-1. [Terbukti]


11

r a

c

b

d

e

g

f

h

h

i

Gambar 6.1.14 Korespondensi antara edge dan node selain r pada pohon. Teorema 6.1.3 Sebuah pohon m-ary penuh dengan i buah node internal, mempunyai node n=mi+1.

Bukti: Pada pohon m-ary penuh, setiap node selian akar r merupakan anak dari node internal. Setiap node internal mempunyai anak sebanyak m node. Sebagai gambaran lihat Gambar 6.1.15. m node

...

... m node

...

m node

...

m node

Merupakan node internal selain akar, ada i node.

Gambar 6.1.15 Sebuah Pohon m-ary penuh Karena node internal sebanyak i, maka ada node selain akar r sebanyak mi. Sehingga jumlah total semua node yang ada pada pohon tersebut ada sebanyak mi+1. [Terbukti] Teorema 6.1.4 Misal T merupakan sebuah pohon m-ary penuh dengan n node, i node internal,

dan l node daun. Jika salah satu dari n, i, dan l diketahui, maka dua lainnya dapat ditentukkan sebagai berikut: n

1

Jika diketahui n, maka i

ii.

Jika diketahui i, maka n=mi+1 dan l=(m-1)i+1

iii.

Jika diketahui l, maka n

m

dan l

(m 1)n

i.

ml 1 m 1

dan i

1

m

(l

1)

m 1

Bukti:


12

Bukti teorema ini dipakai untuk latihan diskusi. Contoh 6.1.8:

Misal operator seluler mengirim pesan pendek (SMS) ke 5 pelanggan. Bagi yang meneruskan pesan tersebut ke 5 temannya akan mendapatkan bonus pulsa 100.000. Ada beberapa pelanggan yang meneruskan pesan ini ke 5 temannya (anggap setiap pelanggan hanya menerima 1 pesan). Ada juga yang tidak meneruskan pesa ini. Jika diketahui ada 201 orang yang hanya membaca pesan, akan tetapi tidak meneruskan ke temannya, maka: i.

Berapa banyak orang yang sudah membaca pesan tersebut (termasuk operator yang pertama mengirim pesan)?

ii.

Berapa banyak bonus pulsa yang harus diberikan oleh operator seluler tersebut?

Penyelesaian: Kita asumsikan bahwa, setiap orang yang mau meneruskan pesan ke temannya, pasti meneruskan SMS sebanyak 5 kali ke teman yang berbeda, tidak ada seorangpun yag menerima pesan lebih dari satu kali. Permasalahan distribusi pesan ini dapat digambarkan dengan menggunakan pohon 5-ary lengkap sebagai berikut.

Gambar 6.1.15 Sebuah pohon distribusi SMS, Pohon 5-ary penuh Orang yang membaca pesan saja tanpa meneruskan pesan digambarkan dalam pohon sebagai node daun, sehingga banyaknya node daun ada 201. Berdasarkan teorema di atas dapat dihitung:


13

i.

Banyaknya orang yang membaca pesan (termasuk operator) ada n

ml 1

5.201 1

m 1

5 1

251

ii. Banyaknya orang yang menerusan pesan ada i

(l

1)

m 1

201 1 4

50 , banyak bonus pulsa

yang harus diberikan oleh operator seluler = (50-1) . 100.000 = 4.900.000


14

6.2 Kegiatan Belajar II: Pohon Perentang Minimal Anggap graf pada Gambar 6.2.1 merupakan sistem jalan raya yang menghubungkan antar kota besar di pulau Jawa. Dari perawatan jalan menginginkan bahwa dari setiap kota harus selalu dapat menuju kota lain dengan melewati jalan yang baik, tanpa ada lubang maupun kerusakan.

Gambar 6.2.1 Sistem jalan raya yang menghubungkan kota besar di pulau Jawa Jika semua jalan dirawat dalam kondisi baik semua, maka keinginan terpenuhi. Akan tetapi untuk selalu mejaga jalan dalam keadaan baik semua membutuhkan biaya yang mahal. Bagaimana kita selalu bisa berpindah dari kota satu ke kota lain tanpa melewati jalan rusak, akan tetapi biaya biaya perawatan sekecil mungkin. Hal bisa diselesaikan/dipenuhi dengan mencari subgraf dengan banyaknya edge(jalan) minimal dan memuat semua verteks (kota). Dan graf tersebut berupa pohon. Definisi 6.2.1 Pohon Pembentang (Spanning Tree )

Misal G merupakan graf terhubung, Pohon pembentang (Spanning tree) dari graf G adalah suatu subgraf dari G yang berupa pohon dan memuat semua verteks dari G. Contoh 6.2.1:

Dapatkan tiga pohon pembentang pada graf sistem jalan raya Gambar 6.2.1. Penyelesaian: Tiga pohon pembentang dari graf Gambar 6.2.1 adalah T 1 , T 2 , dan T 3 seperti yang terlihat pada Gambar 6.2.2. Dan masih ada lagir pohon pembentang yang lainnya. Jkt

Smg

Sby

Jgy

Bdg

T 1


Jkt

Smg

Sby

Jgy

Bdg

T 2

Jkt

Smg

Sby

Jgy

Bdg

T 3

15

Gambar 6.2.2.

Teorema 6.2.1 Graf sederhana G=(V,E) merupakan graf terhubung jika dan hanya jika graf G

mempunyai pohon pembentang. Bukti: Jika graf sederhana G=(V,E) terhubung maka graf G mempunyai pohon pembentang. Anggap graf G=(V,E) terhubung. Jika graf G bukan merupakan pohon, maka graf G mempunyai beberapa sirkuit sederhana. Kita hapus sebuah edge dari salah satu sirkuit sederhana tersebut, menghasilkan graf terhubung G’ =(V’,E’) dengan V ’=V |=|E|-1. ’=V dan E’ |E’ |=|E|-1. Jika graf G’ bukan merupakan pohon, maka graf G’ mempunyai beberapa sirkuit sederhana. Kita hapus sebuah edge dari salah satu sirkuit sederhana tersebut, menghasilkan graf |E”|=|E|-2. terhubung G” =(V ” ,E ”) dengan V”=V dan E”

Jika graf G” belum merupakan pohon, maka kita ulang terus langkah seperti di atas sedemikian sehingga didapatkan graf terhubung G(k) =(V (k) ,E (k)) yang merupakan pohon, (k) |E |=| E E |-k. dengan V (k)=V dan E |-k.

Jadi graf G mempunyai pohon pembentang T= G(k)

(k)

=(V,E ).

Jika graf sederhana G=(V,E) mempunyai pohon pembentang, maka graf G terhubung. Anggap graf sederhana G=(V,E) mempunyai pohon pembentang T=(V,E ’ ’). ) . Karena semua verteks yang ada di graf G juga ada di pohon T , setiap pasan verteks ada lintasan yang menghubungkannya. Jadi graf G merupakan graf terhubung. [Terbukti ] Untuk suatu graf, ada banyak pohon pembentang untuk graf tersebut. Jika graf G merupakan graf berbobot maka setiap pohon pembentang mempunyai total bobot yang berbeda-beda. Sudah barang tentu, ada pohon pembentang yang total bobot edgenya paling kecil. Pohon pembentang dengan total bobot edge terkecil ini yang dinamakan dengan pohon pembentang minimal, secara formal didefinisikan berikut ini.

Definisi 6.2.2 Pohon Pembentang Minimal (minimal spanning tree)


16

Untuk suatu graf terhubung berbobot G=(V,E,W), pohon pembentang minimal T (minimal spanning tree) dari graf G adalah suatu pohon pembentang untuk G yang mempunyai total

bobot paling kecil. Contoh 6.2.2:

Perhatikan dengan seksama graf berbobot terhubung G pada Gambar 6.2.3 (a). Pohon T pada Gambar 6.2.3 (b) merupakan pohon pembentang untuk graf G dan diantara pohon pembentang lainnya untuk G, total bobot edge yang ada di T adalah terkecil. Oleh karena itu T merupakan pohon pembentang minimal untuk G. 300

Jkt

200

600

Smg

400

170 Bdg

Sby

350

500

300

Jkt

Sby

Smg

170 Bdg

350

500

Jgy

G (a)

Jgy

T (b)

Gambar 6.2.3 Suatu Graf G dan pohon pembentang minimal untuk G. Banyak permasalahan yang dapat diformulasikan dalam bentuk graf berbobot G dan mempunyai penyelesaian dalam bentuk pohon pembentang minimal untuk G. Oleh karena itu, bagaimana proses mencari pohon pembentang minimal merupakan hal yang dipandang penting. Selanjutnya kita akan membahas langkah-langkah pencarian pohon pembentang minimal atau algoritma pencarian pohon pembentang minimal.

Algoritma Prim

Algoritma ini dikembangkan oleh Robert Prim di tahun 1957. Robert Prim lahir di Texas tahun 1921. Dia menerima gelar BS. di bidang teknik Elektro dan gelar PhD. Di bidang matematika dari Princeton Unversity . Saat mengembangkan algoritma ini dia bekerja sebagai direktur riset Matematika dan Mekanika di Bell Telephone Laboratories . Algoritma yang dikembangkan oleh Robert Prim ini digunakan untuk mencari pohon pembentang minimal pada suatu graf berbobot Prim. terhubung G=(V,E,W) dan algoritmanya diberi nama algoritma Prim.

Strategi dari algoritma ini memanfaatkan konsep greedy. Pertama memilih edge (u,v) dengan bobot terkecil, edge (u,v) beserta dengan verteks u dan v dimasukkan ke dalam pohon pembentang T . Secara berulang-ulang, dicari edge dengan bobot terkecil yang bukan anggota T


17

dan yang terhubung dengan semua verteks di T dan tidak membentuk sirkuit di T. Edge tersebut dimasukkan ke T. Langkah ini diulang-ulang hingga didapat n-1 edge di T. Input algoritma Prim adalah graf berbobot terhubung G=(V,E,W) dengan |V |= |=n dan outputnya adalah pohon T=(V,E’,W) yang merupakan pohon pembentang untuk graf G. Langkah-langkah global dari algoritma Prim di atas dapat diperjelas sebagai berikut. 1. Ambil edge (u,v) dari G dengan bobot terkecil, edge (u,v) beserta dengan verteks u dan v dimasukkan ke T. 2. Untuk i=1 sampai dengan n-2 lakukan: a. Pilih edge e dari {(u,v) | u di T dan v tidak di T } yang mempunyai bobot terkecil dan

tidak membentuk sirkuit di T. b. Masukkan edge e=(u,v) beserta verteks v ke pohon pembentang T.

3. Pohon pembentang minimal untuk G adalah T . Untuk lebih memperjelas cara kerja lagoritma Prim, kita perlihatkan dua contoh berikut ini.

Contoh 6.2.3:

Dengan menggunakan algoritma Prim, dapatkan pohon pembentang minimal dari graf G pada Gambar 6.2.4. 600

a

300

c

e

400 200

170 350 500

d

b

Gambar 6.2.4. Penyelesaian: Langkah 1:

Ambil edge yang mempunyai bobot paling kecil, yaitu (a,b) berbobot 170, edge (a,b) berserta dengan verteks a dan b dimasukkan ke pohon pembentang T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. a

170

b


T

18

Langkah 2:

Untuk i = 1, lakukan: a. Pilih edge e dari {(a,c), (b,d )} )} yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T. Didapat e = (b,d ) dan

b. Tambahkan edge (b,d ) beserta verteks d ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. a

170 500

d

b

T

Untuk i = 2, lakukan: a. Pilih edge e dari {(a,c), (d,e)} yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T. Didapat e = (d,e) dan

b. Tambahkan edge (d,e) beserta verteks e ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. a e

170 350 500

d

b

T

Untuk i = 3, lakukan: a. Pilih edge e dari {(a,c), (e,c), (e,c)} yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T. Didapat e = (e,c) yang berbobot 300, dan b. Tambahkan edge (e,c) yang berbobot 300 beserta verteks c ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. 300

c

a

e

170 350 500 b

d

T

Langkah 3:

Pohon pembentang minimal untuk G adalah T seperti pada gambar di atas ini.


19

Contoh 6.2.4:

Dengan menggunakan algoritma Prim, dapatkan jaringan komunikasi dengan biaya minimal, bila diketahui biaya dari masing-masing kota seperti pada graf G Gambar 6.2.5. [4] $2000 $1000

$900

New York

Chicago

$1200

San Francisco

$700

$1300

$1600 $800

Denver

$1400

$2200

Atlanta

Gambar 6.2.5 Biaya jaringan komunikasi antar kota. Penyelesaian: Langkah 1:

Ambil edge yang mempunyai bobot paling kecil, yaitu (Chicago,Atlanta) berbobot $700, edge (Chicago,Atlanta) berserta dengan verteks Chicago dan Atlanta dimasukkan ke pohon pembentang T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. Chicago

$700

Atlanta

T

Langkah 2:

Untuk i = 1, lakukan: c. Pilih edge e dari {(Chicago, San Francisco ), (Chicago, New York ), ), (Chicago, ), ( Antlanta, New York ) , ( Antlanta, Denver ) , ( Antlanta, San Francisco)} Denver ), yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T. Didapat e = ( Antlanta, Antlanta, New York ) dengan bobot $800 dan

d. Tambahkan edge ( Antlanta, New York ) beserta verteks New York ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini.


20

New York

Chicago

$700 $800 Atlanta

T

Untuk i = 2, lakukan: c. Pilih edge e dari {(Chicago, San Francisco ), ( Chicago, Denver ), ), ( Antlanta, Denver ) , ( Antlanta, San Francisco ), ( New York, San Francisco) , ( New York, Denver )} )} yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T. Didapat e = (Chicago, San Francisco) dengan bobot $1200 dan

d. Tambahkan edge e= (Chicago, San Francisco ) beserta verteks San Francisco ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. San Francisco

New York

Chicago

$1200

$700 $800 Atlanta

T

Untuk i = 3, lakukan: c. Pilih edge e dari {Chicago, Denver ), ), ( Antlanta, Denver ), ), ( New York, Denver ), ), (San Francisco, Denver )} )}

yang berbobot terkecil dan tidak membentuk sirkuit di T.

Didapat e = (San Francisco, Denver ) yang berbobot $900, dan d. Tambahkan edge (San Francisco, Denver ) yang berbobot $900 beserta verteks Denver ke T. Secara gambar didapat pohon T seperti berikut ini. San Francisco

New York

Chicago

$1200 $900

$700 $800

Denver Atlanta

T

Langkah 3:

Pohon pembentang minimal untuk G adalah T seperti pada gambar di atas ini.


21

6.3 Kegiatan Belajar III: Penelusuran Pohon Dalam pohon berakar terurut diperlukan suatu langkah-langkah pengunjung ke stiap node yang ada, pengunjungan ke setiap node pada pohon ini dinamakan penelusuran (traversal ) pohon. Prosedur atau langkah-langkah dalam penelusuran pohon ini dinamakan algoritma penelusuran. Dalam sub bab ini akan dibahas tiga buah penelusuran yang umum dipakai, yaitu : penelusuran preorder, penelusuran inorder, dan penelusuran postorder.

Definisi 6.3.1 Penelusuran Preorder Preorder

Misal T merupakan suatu pohon berakar terurut dengan akar r dan T 1 , T 2 , ..., T n masing-masing merupakan subpohon dari T dengan akar masing-masing adalah anak pertama dari r, anak ke dua dari r, ..., anak ke n dari r. Penelusuran preorder pada pohon T adalah suatu penelusuran pohon yang berawal dari akar r, dan dilanjutkan penelusuran preorder pada subpohon T 1, kemudian penelusuran preorder

pada subpohon T 2, dan seterusnya sampai terakhir penelusuran preorder pada subpohon T n.

Untuk memperjelas definisi penelusuran preorder di atas, kita lihat Gambar 6.3.1. Arah garis merupakan urutan penelusuran preorder, yaitu: r-a-d-e-h-b-f-c-g-i-j.

T

r

Langkah 1: Kunjungi r

T r a

T 1

Langkah 2: Kunjungi T 1 secara preorder

T 2

T n

Langkah n+1: Langkah 3: Kunjungi T n Kunjungi T 2 secara preorder secara preorder

d

c

b e h

(a)

g

f i

j

(b) Gambar 6.3.1 Arah penelusuran preorder.

Contoh 6.3.1:

Tuliskan urutan pengunjungan node-node pada pohon Gambar 6.3.2 dengan penelusuran preorder?.


22

a c

b

h

g

d e

f

i

j

k

Gambar 6.3.2. Penyelesaian: Langkah 1: Kita kunjungi akar a. Langkah 2: Kita kunjungi secara preorder pada subpohon T 1 yang berakar b. b

T 1 d

e

f

Dalam penelusuran subpohon T 1 , dilakukan secara preorder, yaitu dengan mengunjungi akar dari T 1, yaitu b, dan dilanjutkan mengunjungi subpohon dari T 1 yaitu subpohon T 11 11 berikut ini. d T

11

e

f

Subpohon T 11 11 dikunjungi secara preorder: mengunjungi akar d dan dilanjutkan mengunjungi secara preorder subpohon yang berakar e dan subpohon yang berakar f . Penelusuran subpohon T 11 11 didapat: d-e-f. Penelusuran subpohon T 1 didapat: b-d-e-f. Langkah 3: Kita kunjungi secara preorder pada subpohon T 2 yang berakar c. c

h

g i

T 2

j

k

Dalam penelusuran subpohon T 2 , dilakukan secara preorder, yaitu dengan mengunjungi akar dari T 2, yaitu c, dan dilanjutkan mengunjungi subpohon dari T 2 yaitu subpohon T 21 21 yang berakar g dan subpohon T 22 22 . Mirip pada penelusuran subpohon T 1 , maka penelusuran subpohon T 2 didapatkan hasil: c-g-i-h-j-k. Penelusuran preorder pohon T didapat: a-b-d-e-f- c-g-i-h-j-k.


23

Definisi 6.3.2 Penelusuran Inorder

Misal T merupakan suatu pohon berakar terurut dengan akar r dan T 1 , T 2 , ..., T n masing-masing merupakan subpohon dari T dengan akar masing-masing adalah anak pertama dari r, anak ke dua dari r, ..., anak ke n dari r. Penelusuran inorder pada pohon T adalah suatu penelusuran pohon yang berawal dari

penelusuran inorder

pada subpohon T 1 , dan dilanjutkan mengunjungi akar r , kemudian

dilanjutkan penelusuran inorder pada subpohon T 2, dan seterusnya sampai terakhir penelusuran inorder pada subpohon T n.

Untuk memperjelas definisi penelusuran preorder di atas, kita lihat Gambar 6.3.3. Arah garis merupakan urutan penelusuran preorder, yaitu: d-a-h-e-r-f-b-i-g-j-c.

T

r

Langkah 2: Kunjungi r

T r a

T 1

T 2

Langkah 1: Kunjungi T 1 secara inorder

T n

Langkah 3: Kunjungi T 2 secara inorder

d

Langkah n+1: Kunjungi T n secara inorder

e

g

f

h

(a)

c

b

i

j

(b) Gambar 6.3.3 Arah penelusuran inorder.

Contoh 6.3.2:

Tuliskan urutan pengunjungan node-node pada pohon Gambar 6.3.2 dengan penelusuran inorder?. Penyelesaian: Langkah 1: Kita kunjungi secara inorder pada subpohon T 1 yang berakar b. b

T 1 d

e

f

Dalam penelusuran subpohon T 1 , dilakukan secara inorder, yaitu dengan mengunjungi subpohon dari T 1 yaitu subpohon T 11 11 berikut ini.


24

d T

11

e

f

Subpohon T 11 11 dikunjungi secara inorder: mengunjungi secara inorder subpohon yang berakar e, didapat e. dilanjutkan mengunjungi akar d dan kemudian subpohon yang berakar f . Penelusuran inorder pada subpohon T 11 11 didapat: e-d-f. Setelah penelusuran inorder T 11 11 dilanjutkan mengunjungi akar dari T 1, yaitu b, dan penelusuran T 1 berhenti karena sudah tidak ada lagi subpohon untuk T 1. Penelusuran subpohon T 1 didapat: d-e-f-b. Langkah 2: Kita kunjungi akar dari pohon T, yaitu: a. Langkah 3: Kita kunjungi secara inorder pada subpohon T 2 yang berakar c. c

i

T 2 h

g j

k

Dalam penelusuran subpohon T 2 , dilakukan secara inorder, yaitu dengan mengunjungi subpohon dari T 2 yaitu subpohon T 21 21 yang berakar g dan didapat hasil penelusuran: i-g, kemudian mengunjungi akar dari T 2 (yaitu c), dan dilanjutkan penelusuran inorder subpohon T 22 22 yang berakar h dan didapat hasil penelusuran: j-hk .

Hasil penelusuran subpohon T 2 adalah: i-g-c-j-h-k. Penelusuran preorder pohon T didapat: d-e-f-b-a-i-g-c-j-h-k.

Definisi 6.3.3 Penelusuran Postorder

Misal T merupakan suatu pohon berakar terurut dengan akar r dan T 1 , T 2 , ..., T n masing-masing merupakan subpohon dari T dengan akar masing-masing adalah anak pertama dari r, anak ke dua dari r, ..., anak ke n dari r. Penelusuran postrder pada pohon T adalah suatu penelusuran pohon yang berawal dari

penelusuran postorder pada subpohon T 1 , kemudian dilanjutkan penelusuran postorder pada subpohon T 2, dan seterusnya sampai penelusuran postorder pada subpohon T n, dan dilanjutkan mengunjungi akar r .


25

Untuk memperjelas definisi penelusuran postorder di atas, kita lihat Gambar 6.3.4. Arah garis merupakan urutan penelusuran preorder, yaitu: d-h-e-a-f-b-i-j-g-c-r .

T

r

Langkah (n+1): Kunjungi r

T r a

T 1

T 2

Langkah 1: Kunjungi T 1 secara postorder

T n

Langkah 2: Kunjungi T 2 secara postorder

d

Langkah n: Kunjungi T n secara postorder

c

b e h

(a)

g

f i

j

(b) Gambar 6.3.4 Arah penelusuran inorder.

Contoh 6.3.3:

Tuliskan urutan pengunjungan node-node pada pohon Gambar 6.3.2 dengan penelusuran postorder?. Penyelesaian: Langkah 1: Kita kunjungi secara postorder pada subpohon T 1 yang berakar b. b

T 1 d

e

f

Dalam penelusuran subpohon T 1 , dilakukan secara postorder, yaitu dengan mengunjungi subpohon dari T 1 yaitu subpohon T 11 11 berikut ini. d T

11

e

f

Subpohon T 11 11 dikunjungi secara postorder: mengunjungi secara postorder subpohon yang berakar e, didapat e. dilanjutkan dengan mengunjungi subpohon yang berakar f, didapat f. dan kemudian mengunjungi akar dari T 11 11, yaitu r. Penelusuran postorder pada subpohon T 11 11 didapat: e-f-d. Setelah penelusuran inorder T 11 11 dilanjutkan mengunjungi akar dari T 1, yaitu b, dan penelusuran T 1 berhenti karena sudah tidak ada lagi subpohon untuk T 1. Penelusuran subpohon T 1 didapat: e-f-d-b.


26

Langkah 2: Kita kunjungi secara postorder pada subpohon T 2 yang berakar c. c

h

g i

T 2

j

k

Dalam penelusuran subpohon T 2 , dilakukan secara postorder, yaitu dengan mengunjungi subpohon dari T 2 yaitu subpohon T 21 21 yang berakar g dan didapat hasil penelusuran: i-g, kemudian penelusuran postorder subpohon T 22 22 yang berakar h dan didapat hasil penelusuran: j-k-h. Hasil penelusuran subpohon T 2 adalah: i-g-j-k-h-c. Langkah 3: Kita kunjungi akar dari pohon T, yaitu: a. Penelusuran preorder pohon T didapat: e-f-d-b-i-g-j-k-h-c-a.

Definisi 6.3.4 Pohon Ekpresi Pohon ekspresi dari suatu ekspresi aritmatika E adalah suatu pohon yang merepresentasi

ekspresi aritmatika E dengan ketentuan: i.

Jika ekspresi E terdiri dari sebuah variabel atau konstanta, maka pohon ekspresinya adalah sebuah node berlabel variabel atau konstanta tersebut.

ii.

Jika ekspresi E=E 1 op E 2 memuat operasi biner (op: *,/,+,-,^), maka ekspresi E digambarkan dengan pohon berakar op yang mempunyai anak kiri subpohon untuk E E 1 dan E 2. anak kanan subpohon untuk E

iii.

Jika ekspresi E= op E 1 memuat operasi uner (op: -), maka ekspresi E digambarkan dengan pohon berakar op yang mempunyai sebuah anak subpohon untuk E E 1.

Dari definisi di atas, suatu variabel atau konstanta digambarkan dalam node daun. Sedangkan sebuah oprator digambarkan dalam node internal yang memiliki anak berupa sub ekspresi. Akar dari pohon merupakan operator yang terakhir kali dioperasikan (presedensi operator paling rendah) dalam ekspresi tersebut.


27

Contoh 6.3.4:

Ekspresi aritmatika ( x+2)*(y-10)/2 x+2)*(y-10)/2 direpresentasikan dalam bentuk pohon ekspresi seperti yang terlihat pada Gambar 6.3.5 (a) dan (b).

/

*

*

+

x

/

2

+

-

2

y

x 10

-

2

(a)

y

2

10

(b)

Gambar 6.3.5 Pohon ekspresi untuk ( x+2)*(y-10)/2 x+2)*(y-10)/2 . Definisi 6.3.5 Notasi Prefix dan dan Postfix Postfix

Jika ekspresi infix aritmatika E mempunyai representasi pohon ekspresi T, maka: i.

Notasi Prefix untuk ekspresi E adalah suatu ekspresi yang dibentuk dari sederetan node-

node hasil penelusuran preorder pada pohon ekspresi T. ii.

Notasi Postfix untuk ekspresi E adalah suatu ekspresi yang dibentuk dari sederetan node-

node hasil penelusuran postorder pada pohon ekspresi T.

Contoh 6.3.5:

Dapatkan notasi prefix dan postfix dari ekspresi ekspre si aritmatika E:

x+2)*(y-10)/2 (x+2)*(y-10)/2 yang

direpresentasikan dalam bentuk pohon ekspresi seperti yang terlihat pada Gambar 6.3.5 (a).

Penyelesaian: Notasi prefix dari E : Kita telusuri pohon T pada Gambar 6.3.5 (a) secara preorder dan menghasilkan / * + x 2 - y 10 2.


28

Notasi postfix dari E : Kita telusuri pohon T pada Gambar 6.3.5 (a) secara postorder dan menghasilkan x 2 + y 10 - * 2 / .


29

Soal Latihan Pohon

1. Manakah graf tak berarah G=(V, E ) berikut ini yang merupakan pohon. a. Himpunan V = {a, b, c, d } dan E adalah himpunan kosong. b. Himpunan V = {a, b, c, d } dan E ={{a,b}, {b,c}, {c,d }}. }}. c. Himpunan V = {a, b, c, d, e} dan E ={{a,b}, {a,c}, {b,d }, }, {b,e}}. 2. Manakah graf tak berarah G=(V, E ) berikut ini yang merupakan pohon. a. b. c. d. e.

Himpunan V hanya mempunyai 1 elemen dan E adalah himpunan kosong. G merupakan graf lengkap dengan 4 buah verteks. G merupakan graf terhubung dengan setiap verteksnya berderajat 2. G merupakan graf terhubung dengan setiap verteksnya berderajat ganjil. G merupakan graf terhubung dengan setiap pasang verteks pada G hanya ada sebuah lintasan dengan panjang ganjil. f. G merupakan graf terhubung dengan setiap pasang verteks pada G hanya ada sebuah lintasan dengan panjang genap. g. G merupakan graf terhubung dengan setiap pasang verteks pada G hanya ada duah lintasan. h. G merupakan graf terhubung yang tidak memuat cycle. 3. Dalam suatu topologi jaringan komputer dikenal topologi star, token ring, dan bus (ethernet ), ), lihat gambar topologi jaringan dibawah ini.

3 Co m

Token ring

oru Cru lildr o dr

3500

S

Star

Ethernet

Periksalah topologi jaringan yang manakah yang merupakan pohon !. 4. Perhatikan pohon T berakar r seperti pada gambar berikut ini. r c

b g

d e

f

h

i

T Dapatkan: a. Akar dari pohon T . b. Node internal dari pohon T.


30

c. d. e. f. g.

Node daun dari pohon T. Kedalaman dari setiap node daun. Orang tua dari node g dan h, apakah g dan h bersaudara ?. Keturunan dari node b dan c. Subpohon yang berakar node b dan c.

5. Periksalah apakah pohon – pohon berikut ini merupakan subpohon dari pohon T pada soal sebelumnya ?. b d e

e

T 1

T 2

h

g

d f

c

c

b

i

i

T 3

h

g j

k

T 4

6. Periksalah apakah pohon – pohon berikut ini merupakan pohon m-ary penuh ?.

Penelusuran Pohon

7. Gambarkan graf tak berarah G=(V, E) dengan himpunan V dan E adalah: a. 8. Ga


31

DAFTAR PUSTAKA:

1. GRIMALDI, R.P., “Discrete and Combina torial Mathematics - An Applied Introduction”, Addison -Wesley Publishing Co., 1989. 2. Liu, C.L., “Elements Of Discrete Mathemathics”, Mat hemathics”, McGraw-Hill, 1986. 3. ROBERT, F.S., “Applied “Applied Combinatorics”, Prentice Prentic e -Hall Inc., 1984. 4. ROSEN, K.H., “Discrete Mathematics and Its Applications”, McGraw -Hill, 2003. 5. Seymour L., Marc L.L., “Schaum’s Outline of Theory and Problems of Discrete Mathematics”, Second Edition. McGraw-Hill, 1997.


32

Graph - Pohon

Recommend Documents