BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai pada titik, sisi atau titik dan sisi. Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 60-an. Seperti valuasi-
β yang
diperkenalkan oleh Rosa pada tahun 1967 [5]. Sejak saat itu, sekitar 250
tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan. Misal G graf dengan himpunan titik V (G) dan himpunan sisi E (G). Pelabelan graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titik-titiknya titik-tit iknya dengan bilangan
bulat positif {0, 1, 2, 3,..., E (G ) } sedemikian hingga sisinya mendapat label harga mutlak dari selisih pelabelan kedua titik yang menempel pada sisi tersebut. Sebuah graf G disebut graf graceful jika setiap titik dan sisi pada graf G dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, beberapa pelabelan graceful untuk kelas-kelas graf tertentu telah ditunjukkan seperti pada graf lintasan Pn, graf pohon T n dengan
n ≤ 16 dan graf sikel C n dengan n
≡0
atau 3 (mod 4) [4]. Karena itu
penulis tertarik untuk menginvestigasi pelabelan graceful pada kelas-kelas graf yang lain, yaitu: 1. Graf hasil kali kartesius dari G1 dan G2 yaitu graf G = G1 x G2. 2. Graf tangga L n, yaitu graf yang dibangun dari hasil kali kartesius graf lintasan Pn dan lintasan P2. 3. Gabungan m buah graf tangga mL n, yaitu graf tak terhubung yang yang terdiri dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln.
1
2 1.2
Perumusan Ma Masalah
Permasalahan yang akan diajukan dalam penulisan skripsi adalah menyelidiki apakah sebuah graf sederhana dan hingga terutama kelas graf tangga ( ladder ), ), graf gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius G1 x G2 khususnya jika G1=Pm dan G2=Pn adalah graf graceful. 1.3
Tujuan
Mendapatkan perumusan pelabelan graceful dari graf tangga ( ladder ), ), graf gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn. 1.4
Manfaat
Manfaat dari pelabelan graceful diantaranya yang berkenaan dengan masalah pengkodean, misalnya pembacaan kode sinar- X , sistem alamat pada jaringan komunikasi dan pendesainan sirkuit [5].
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Pengertian Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V (G) , , E (G)) dimana
V (G) adalah himpunan tak kosong dari unsur-unsur yang disebut titik (vertex ) dan E (G) adalah himpunan dari pasangan tak terurut ( u,v) dari titik-titik u,v di V (G)
yang disebut sisi (edge). Selanjutnya sisi e = (u,v) pada graf G ditulis e = uv. Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah graf tak berarah. v1
v 4
v 5
e4
G: e1
e3
v 2
v 3
e2
Gambar 2.1 Graf G dengan 5 Titik dan 4 Sisi
2.2
Konsep Dasar
Banyaknya Banyaknya titik di graf graf G disebut disebut order n dari graf G yaitu n
= V . Graf
dengan order hingga dinamakan graf hingga. Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah graf berorder 5. Loop dalam suatu graf terjadi apabila suatu titik v dihubungkan dengan
dirinya sendiri atau e = vv. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edges). Gambar 2.2 menunjukkan e5 adalah loop dan e3 , e4 adalah sisi rangkap. Graf G dikatakan graf sederhana apabila tidak memuat loop dan sisi rangkap.
v1
v 4
e1
v 2
e4
e5
e3
v 3
e2
Gambar 2.2 Graf dengan Loop dan Sisi Rangkap Rangkap
3
4 Dua titik u dan v di graf G dikatakan tetangga (adjacent ) apabila ada sisi e yang menghubungkan titik u dan v. Sisi e pada graf G dikatakan menempel (incident ) dengan kedua titik yang dihubungkan. dihubungkan. Derajat (degree) suatu titik v di graf G adalah banyaknya sisi yang
menempel dengan titik v, yang dinotasikan dengan deg (v). Jika dalam graf G setiap titiknya mempunyai derajat yang sama, maka graf G disebut graf reguler . Contoh pada Gambar 2.3 menunjukkan graf reguler. v1 e1
e3
v 2
e2
v 3
Gambar 2.3 Graf Reguler
Jalan (walk ) pada graf G dinotasikan W (G) adalah barisan hingga yang
diawali dan diakhiri dengan titik dimana unsur-unsurnya saling bergantian antara titik dan sisi, sedemikian hingga vivi+1 adalah sisi di G untuk setiap i = 0, 1, 2,…,n-1, yaitu : W (G) = v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , e3 ,…, vn-1 , en , vn Jika dijalan W (G) berlaku v0 = vn dikatakan jalan terbuka jika v0 v1
maka W (G) disebut jalan tertutup dan
≠ vn . v 4
e5
e1
v 2
dengan n ≥ 0
e4
e2
e6
v 5
e3
v 3
Gambar 2.4 Gambar untuk Mengilustrasikan Jalan (walk)
path) jika semua titiknya berbeda sedangkan jika Sebuah jalan dikatakan lintasan ( path
setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak (trail). Sikel (cycle) didefinisikan sebagai suatu lintasan yang tertutup. 2.3
Graf raf Ter Terhu hubu bung ng (Con (Conn necte ected d Gra Graph ph))
Graf G dikatakan terhubung (connected ) jika setiap dua titik u,v di G, terdapat lintasan yang menghubungkan menghubungkan kedua titik tersebut. Graf G dikatakan graf
5 tak terhubung (disconnected ) jika ada dua titik di G yang tidak mempunyai
lintasan. u1
v1
u2
u3
v2
v3
v4
(a)
(b)
Gambar 2.5(a) Graf Terhubung dan 2.5(b) Graf Tak Terhubung
Gambar 2.5(a) adalah graf terhubung dan Gambar 2.5(b) adalah graf tak terhubung. Graf K dikatakan subgraf dari graf G jika semua titik di K dan semua sisi di K adalah titik dan sisi di G. Sebagai contoh pada Gambar 2.6, K 1 adalah subgraf dari G tetapi K 2 bukan subgraf G karena ada sisi ac di E (K 2) yang bukan sisi di E (G). a
b
G:
a K 1 :
c
d
a
b
c
d
K 2 :
c
d
Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya
Kompenen dari graf G adalah subgraf terhubung maksimum dari G. Jadi
graf terhubung mempunyai paling banyak satu komponen sedangkan graf tak terhubung paling sedikit mempunyai dua komponen. Contoh, pada Gambar 2.5(a) menunjukkan graf terhubung dan Gambar 2.5(b) menunjukkan graf tak terhubung dengan dua komponen. 2.4 Operasi pada Graf
Operasi dalam teori graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini, diantaranya gabungan graf dan hasil kali kartesius dua graf . Misal G1 dan G2 adalah graf saling asing yang artinya V (G1)
∩ V (G2) = φ
dan E (G1)
∩ E (G2) = φ.
6 2.4.1 .4.1
Gabu bung ngan an Gr Gra af G2 mempunyai
Gabungan dua graf G1 dan G2 yang dinotasikan G = G1 himpunan
: V (G ) = V (G1)
titik
: E (G ) = E (G1)
V (G2 )
dan
himpunan
sisi
E (G2 ) . m
Untuk gabungan m buah graf terhubung dinotasikan sebagai graf
Gi . i =1
Jika pada gabungan m buah graf memenuhi kondisi G1=G2=G3=...=Gm=G maka m
graf
Gi akan dinotasikan dengan mG, yaitu graf tak terhubung dengan m i =1
komponen . Contoh gabungan dua graf ditunjukkan pada Gambar 2.7. v1
v2
G1:
u1
u2
G1:
v3
v4
G1
u3
u4
v1
v2
u1
u2
v3
v4
u3
u4
G2:
Gambar 2.7 2.7 Gabungan Dua Graf
2.4.2
Hasil Kali Kartesius Dua Graf
Hasil kali kartesius dari graf G1 dan G2 adalah graf yang dinotasikan G1xG2 dan mempunyai himpunan titik V={(v1, v2)
v1 ∈ V (G1), v2 ∈ V (G2)}
dimana titik (u1 , u2) dan (v1 , v2) bertetangga di G1 x G2 jika: [ u1 = v1 dan u2 tetangga v2 ] atau [ u2 = v2 dan u1 tetangga v1 ]. Untuk memberikan memberikan gambaran gambaran tentang hasil hasil kali kartesius dari dua dua graf lintasan G1 dan G2 , yaitu G1 x G2 ditunjukkan oleh Gambar 2.8.
(u1,u2) G1: u1
v1
G2: u2
v2
(u1,v2)
G1 x G2 :
(v1,u2)
( v1,v2)
Gambar 2.8. Graf Hasil Kali Kartesius G1 x G2
7 2.5 Kelas-Kelas Graf
Kelas-kelas graf graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi skripsi ini, diantaranya adalah graf lintasan ( path path) , , graf sikel (cycel) , , graf
), graf tangga (ladder ),
gabungan m buah graf tangga mL n dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn . 2.5.1
Graf Lintasan (Path) Graf lintasan adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan yang
terdiri dari n titik dinotasikan sebagai Pn. Contoh graf lintasan P3 dan P4 diberikan pada Gambar 2.9.
P3 :
P4 : Gambar 2.9 Graf Lintasan P3 dan P4
2.5.2
Graf Sikel (Cycle)
Graf yang terdiri dari satu sikel disebut graf sikel, dinotasikan Cn yang berarti graf sikel dengan n titik. Gambar 2.10 2.10 menunjukkan menunjukkan graf sikel C5 dan C6.
C 5 :
C 6 :
Gambar. 2.10 Graf Sikel C5 dan C6
2.5.3
Graf Tangga (Ladder) Graf tangga (ladder ) adalah graf yang dibangun dari hasil kali kartesius
graf lintasan P2 dan Pn, yaitu P2 x Pn. Untuk pembahasan selanjutnya graf tangga P2 x Pn akan dinotasikan dengan Ln. Sebagai contoh, Gambar 2.11 adalah graf
tangga L4 = P2 x P4. b
P2 : 1
2
d
P4 : a
c
8 P2 x P4 :
(a,1)
(b,1)
(c,1)
(a,2)
(b,2)
(c,2)
(d ,1) ,1)
(d ,2) ,2)
Gambar 2.11 Graf Tangga L4
2.5.4 .5.4
Graf raf Gabu bung nga an m Buah Graf Tangga
Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak terhubung yang terdiri dari m buah komponen, dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln. Sebagai contoh, gabungan tiga buah graf tangga L3, yaitu 3 L3 ditunjukkan pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12 Gabungan Tiga Buah Graf Tangga L3
2.5. 2.5.5 5
Graf Gr af Hasil Hasil Kali Kali Karte Kartesiu siuss P m x P n
Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf yang mempunyai mn titik , yang terdiri dari m baris titik. Contoh graf hasil kali kartesius P3 x P4 ditunjukkan pada Gambar 2.13.
Gambar 2.13 Graf Hasil Kali Kartesius P3 x P4
2.6 Pemetaan
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi f , yaitu: f : A → B
9 Selanjutnya himpunan A kita sebut sebagai daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f . Fungsi satu-satu adalah pemetaan dimana setiap elemen di daerah hasil
mempunyai prapeta tepat satu di daerah asal, dapat dituliskan secara matematika berikut : Pemetaan f : A → B, injektif ⇔ ∀ x, y ∈ A, f ( x ) = f ( y ) ⇒ x = y. 2.7
Pelabelan Graf
Pelabelan pada graf G adalah pemberian nilai pada titik atau sisi di G. Pada tahun 1967 Rosa menyebutkan
λ
adalah valuasi- β pada graf G jika
λ
fungsi satu-satu dari himpunan titik di G ke himpunan { 0, 1, 2,…, E (G ) }sedemikian hingga, setiap sisi uv di G mendapat label
berbeda semua. Selanjutnya tahun 1972
λ(u ) − λ(v)
yang
Golomb menamakannya menamakannya pelabelan
graceful [5]. 2.8
Pelabelan Graceful
Misal G graf dengan himpunan titik V (G) dan himpunan sisi E (G). Pelabelan Graceful adalah
sedemikian hingga
→ {0 ,1 ,2 ,3 ,..., E(G) }
fungsi satu-satu :
= λ(uv ) =
−
berbeda semua setiap u, v ∈ V (G ) .
Sebuah graf G disebut graf graceful jika setiap titik dan sisi di graf G dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Pelabelan graceful untuk graf sikel diberikan oleh Rosa. Rosa membuktikan bahwa untuk graf sikel C n adalah graceful
≡ 0 atau 3 (mod jika dan hanyanjika
[5]. 4)
Golomb [1] menyebutkan bahwa graf komplit K n adalah graceful untuk n=2, 3 ,4 seperti yang yang diberikan diberikan pada pada Gambar Gambar 2.14. 0
0
1
1
1
1
0
3
2
4
3
1
4
6
6
2
3
Gambar 2.14 Pelabelan Graceful pada Graf K 2, K 3 dan K 4
5
1
10 Sedangkan untuk graf komplit K n dengan n ≥ 5 tidak graceful, seperti yang ditunjukkan pada sifat 2.3. Sifat 2.3 Graf Komplit K n adalah tidak graceful untuk n ≥ 5 [5].
Bukti : Misal graf graf komplit komplit K n mempunyai n titik dan q sisi Titik-titik dari graf K n diberi label {0, 1, 2, 3,..., q}. Label 0 dan q dibutuhkan untuk memberi label titik-titiknya titik-titi knya sehingga didapat sisi yang mendapat label q. Sekarang kita mempunyai titik yang mendapat label 0 dan q. Selanjutnya kita menginginkan sisi yang terlabeli q -1. Untuk itu satu titik dari graf K n harus diberi label 1 atau q-1 misal kita pilih 1 untuk melabeli titik tersebut, sehingga diperoleh sisi-sisi yang mendapat label q, q-1 dan 1. Sekarang kita mempunyai mempunyai titik-titik yang terlabeli 0, 1 dan q. Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-2,
harus mempunyai titik-titik yang yang
terlabeli 0, q-2, atau 1, q-1 atau 2, q. Jika kita pilih nilai q-1 atau 2 maka akan ada dua sisi yang mendapat label sama, sehingga kita pilih nilai q-2 dan diperoleh sisisisi yang mendapat label q, q-1, q-2, q-3, 2 dan 1. Sekarang kita mempunyai titik-titik yang mendapat label 0, 1, q-2 dan q. Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-4 kita harus mempunyai titik-titik dengan label 0, q-4 atau 2, q-2 atau 3, q-1 atau 4, q. Setiap kita memilih pasangan label titik ini, kita akan selalu mendapatkan minimal dua sisi dengan label sama. Sehingga graf K n dengan n = 5 tidak graceful. Hal ini membuktikan bahwa graf K n dengan n ≥ 5 tidak graceful sebab dengan bertambahnya satu titik maka akan ada penambahan beberapa sisi dengan label yang sama. Sebagai contoh, Gambar 2.15 menunjukkan graf K 5 yang tidak bisa diberi label menurut aturan pelabelan graceful karena ada beberapa sisi yang mendapat label sama, yaitu tiga sisi mendapat label 1, dua sisi mendapat label 2, dua sisi mendapat label 3 dan dua sisi mendapat label 4 label 4..
11 0
4
3
5
1
4
5
1
2
1
3
4
3
1
2
Gambar 2.16 Graf K 5 yang Tidak Bisa Dilabeli Menurut Aturan Pelabelan Graceful
Tanpa menunjukkan hasil pelabelannya Erdos [5] menyebutkan beberapa graf tidak graceful. Dilain pihak Rosa [5] menyebutkan tiga alasan mengapa sebuah graf G tidak bisa dilabeli menurut aturan pelabelan graceful, yaitu: 1.
G mempunyai ‘banyak titik dan tidak cukup sisi’ 5 6
2 4
3
0
1
Gambar 2.16 Graf yang Mempunyai Banyak Banyak Titik dan Tidak Cukup Sisi
2.
G mempunyai ‘terlalu banyak sisi’ Contoh pada graf komplit K 5 yang
ditunjukkan pada Gambar 2.15. 3.
G mempunyai ‘keseimbangan yang salah’. Contoh ditunjukkan oleh
Ganbar 2.17. 2.17. Dimana ada dua sisi yang mempunyai label 2.
12 0 2
5
2
5
2
4
4 3
1
Gambar 2.17 Graf Sikel Sikel C 5 yang Mempunyai Keseimbangan Salah
2.9
Pelabelan Komplemen
Misal graf G adalah graf graceful dengan pelabelan λ . Misal titiktitiknya dilabeli kembali menurut aturan E (G ) – λ (v) untuk setiap titik v di G. Pemberian label kembali dengan aturan E (G) – λ (v) ini kita beri nama pelabelan
λ ' untuk setiap titik di G akan berbeda dengan pelabelan
λ
dan
0 ≤ λ '(v) ≤ E (G ) . Karena pelabelan λ merupakan fungsi satu-satu dari himpunan titik di G ke {0, 1, 2,..., E (G ) } maka pelabelan λ ' juga merupakan fungsi satusatu dari himpunan titik di G ke {0, 1, 2,..., E (G) }. Pelabelan λ ' untuk sisi-sisi di graf G dijelaskan dij elaskan sebagai sebagai berikut:
λ' (u) − λ' (v) = ( E (G ) − λ (u ) ) − ( E (G) − λ (v))
λ '(e) = λ '(uv) = =
λ(u ) − λ(v)
= λ (uv) = λ (e).
Jadi pelabelan λ ’ untuk setiap sisi di G sama dengan pelabelan λ . Sehingga dapat disimpulkan bahwa pelabelan λ ’ adalah pelabelan graceful . Pelabelan λ ' ini disebut pelabelan komplemen dari pelabelan graceful . Contoh pelabelan komplemen dari graf L3 ditunjukkan pada Gambar 2.19. 0
5
7
5
3
4
2
1
7
Pelabelan
5
2
7
5
3
4
1
Komplemen
7
6
1
2
3
0
6
6
2
L3 dan Pelabelan Komplemennya Gambar 2.19 Pelabelan Graceful dari Graf L
4
13 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan diberikan pembuktian pelabelan graceful cara 1 dan cara 2 pada setiap kelas yang dikaji dan pelabelan komplemen dari setiap sifat yang ada, yang disajikan dalam bentuk gambar. Dua cara pembuktian pelabelan graceful diberikan untuk menunjukkan ketidaktunggalan dari pelabelan graceful,
ketidaktunggalan ini dikarenakan pelabelan titik-titiknya yang bersifat satu-satu mempunyai beberapa kemungkinan dalam menentukan pelabelannya. Dalam pembuktian setiap sifat akan diperlukan suatu notasi yang didefinisikan sebagai berikut: notasi yang mempunyai arti bilangan pembulatan keatas, dan notasi
yang mempunyai arti bilangan pembulatan kebawah. Contoh
sedangkan 3.1
3 =2 2
3 =1. 2
Pelabelan Graceful pada Graf Tangga
Graf tangga Ln adalah graf hasil kali kartesius P2 x Pn. Misal graf tangga Ln mempunyai mempunyai himpunan titik t itik V ( Ln ) = {v1, v2 ,..., vn , v1, v2 ,..., vn } dan himpunan sisi '
'
'
E(Ln ) = {e1, e2 ,..., en −1, e1, e2 ,..., en −1, e1 , e2 ,..., en } dimana '
'
'
*
*
*
sisi ei = vivi+1
untuk i = 1, 2, 3,…, n-1,
sisi e’i = v’iv’i+1
untuk i = 1, 2, 3,…, n-1
sisi e*i = viv’i
untuk i = 1, 2, 3,…, n.
dan
Sebagai ilustrasi penotasian titik dan sisi dari graf tangga Ln , dapat kita lihat pada Gambar 3.1. v1
e1
e*1
v’1 e’1
v2 e2
….
e*2
….
v’ 2 e’2
….
e(n– 1)
v n
e*n
e’(n
– 1)
Gambar 3.1 Penotasian Graf Tangga Ln
v’ n
14 Sifat 3.1: Graf tangga Ln adalah graf graceful untuk setiap n.
Bukti dari sifat 3.1 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini. Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titik-titik dari graf L Ln sehingga memenuhi
aturan dari fungsi satu-satu sebagai berikut :
n -1, 2
i–1
untuk i = 1, 3, 5,…, 2
3n – 2i
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
3n – 2i
untuk i = 1, 3, 5,…, 2
i–1
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
λ (vi) =
n , 2
dan
n -1, 2
λ (v’i) =
n . 2
Dari pelabelan titik-titiknya akan diperoleh pelabelan sisi-sisinya yang berbeda Ln) sebagai berikut: semua untuk setiap e ∈ E ( L
n –1, 2
3(n – i) –1
untuk i = 1, 3, 5,…, 2
3(n – i)
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
3(n – i)
untuk i = 1, 3, 5,…, 2
3(n – i) –1
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
λ (ei) = λ (vivi+1) =
n –2, 2 n –1, 2
λ (e’i) = λ (v’iv’i+1) =
n –2, 2
dan
λ (e*i) = λ (viv’i) = 3(n – i) + 1
untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Sebagai ilustrasi, Gambar 3.2 menunjukkan pelabelan graceful graf L4 dengan menggunakan menggunakan sifat 3.1 pelabelan cara 1.
15 0
8
8
10
10
2
6
4
2
7
1
9
5
4
6
3
1
3
Gambar 3.2 Pelabelan Graceful pada Graf L4 Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1
Pelabelan Cara 2 : Beri label untuk titik-titik dari graf L Ln sehingga memenuhi
aturan fungsi satu-satu sebagai berikut : i −1
n -1, 2
untuk i =1, 3, 5,…,2
2
λ (vi) = 3n –1 –
i 2
n , 2
untuk i = 2, 4, 6,…,2
dan 2n –
i + 1 2
n -1, 2
untuk i =1, 3, 5,…,2
λ (v’i) = n+
i
-1
n . 2
untuk i = 2, 4, 6,…,2
2 Setelah pelabelan titik-titiknya diperoleh maka sisi-sisinya diberi label yang Ln) menurut aturan berbeda semua untuk setiap e ∈ E ( L aturan sebagai sebagai berikut :
λ (ei) = λ (vivi+1) = 3n – 1– i
untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1 ,
λ (e’i) = λ (v’iv’i+1) = n – i
untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1
λ (e*i) = λ (viv’i ) = 2n – i
untuk i = 1, 2, 3,..., n .
dan
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titiktitiknya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua Ln) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful. untuk setiap e ∈ E ( L
Sebagai ilustrasi, Gambar 3.3 menunjukkan pelabelan graceful graf L4 menurut sifat 3.1 pelabelan cara 2.
16 0
10
10
7
7
1
9
6
4
3
9
8
5
6
2
4
5
1
Gambar 3.3 Pelabelan Graceful pada Graf L4 Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 2.
Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan komplemen untuk pelabelan graceful graf tangga L4 pada Gambar 3.3 dapat dilihat pada Gambar 3.4. 10
0
10
7
3
9
9
6
6
3
1
8
5
4
2
4
5
1
Gambar 3.4 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1 pada Graf L4
3.2
Pelabelan Graceful pada Graf Gabungan m Buah Graf Tangga
Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak terhubung yang terdiri dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln. Misal graf mLn mempunyai himpunan titik: V ( mLn ) = V 1
V 2
... V m
dan himpunan sisi : E (mLn ) = E `1 E j
dimana V j E 2
= {v j ,v j ,...,vnj ,v' j ,v' j ,...,v' nj } 1
... E m
2
1
2
dimana
= {e j ,e j ,...,e(n − ) j ,e' j ,e' j ,...,e(' n − ) j ,e' j ,e* j ,...,e*nj } dengan 1
2
eij = vijv(i+1)j
1
1
2
1
1
2
untuk i = 1, 2, 3,…, n-1, j = 1, 2, 3,…, m,
'
= vij' v(' i +1) j
untuk i = 1, 2, 3,…, n-1 , j = 1, 2, 3,…, m dan
*
= vij vij'
untuk i = 1, 2, 3,…, n , j = 1, 2, 3,…, m
eij eij
dimana V j dan E j berturut-turut
menyatakan himpunan titik dan sisi dari
komponen ke- j dari graf mLn untuk setiap j = 1, 2, 3,..., m.
17 Sebagai ilustrasi penotasian titik dan sisi dari graf gabungan m buah graf tangga dapat kita lihat pada Gambar 3.5. v11
e11
v21
e*11
v’11
e' 11 11
v12
e12
v’21
e' 21 21
v22
v’22
v1 m
e1m
v2 m
e' 22 22
e2m
e*2m
v’2 m
e(n– 1)2
….
e*22
e' 12 12
…. e' (n – 1)1
….
e22
v’12
v’1 m e' 1m
….
e*21
e*12
e*1m
…. e(n – 1)1
e21
e' 2m
…. e' (n – 1)2
…. e(n– 1)m
….
v n1
e*n1
v’ n1
v n2
e*n2
v’ n2
v nm
e*nm
…. e' (n– 1)m v’ nm
Gambar 3.5 Penotasian Graf Gabungan m Buah Graf Tangga mLn
Sifat 3.2
Graf gabungan m buah graf tangga mLn adalah graf graceful untuk setiap m dan n.
Untuk pembuktian sifat 3.2 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini. Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titik-titik dari graf gabungan m buah graf
tangga sehingga memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut : Untuk j = 1, 2, 3,..., m
18
n – 1, 2
n( j–1) + (i+ j –2)
untuk i =1, 3, 5,…, 2
m(3n – 2) – 2n( j –1) –(2i –3j+1)
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
m(3n – 2) –2n( j –1) – (2i –3j+1)
untuk i =1, 3, 5,…, 2
n( j–1) + (i + j – 2 )
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
λ (vij) =
n , 2
dan
n – 1, 2
λ (v’ij) =
n . 2
Pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e ∈ E (mLn) dapat ditentukan sebagai berikut :
n – 1, 2
–2m– (3i – 2 j+1) 3n( m– j+1) –
untuk i=1, 3, 5,…,2
–2m– (3i – 2 j) 3n( m– j+1) –
i = 2, 4, 6,…,2 untuk i=
λ (eij)= λ (vijv(i+1) j j)=
n – 2, 2
n – 1, 2
–2m– (3i– 2 j) 3n(m– j+1) –
untuk i= 1, 3, 5,…, 2
λ (e’ij) = λ (v’ijv’(i+1) j j) =
n – 2, 2
–2m– (3i– 2 j+1) untuk i= 2, 4, 6,…, 2 3n(m– j+1) –
dan
λ (e*ij) = λ (vijv’ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2 j – 1)
untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Sebagai ilustrasi, Gambar 3.6 menunjukkan pelabelan graceful pada graf 2 L4 dengan menggunakan menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 1. 0
18
18
20
16 17
2
12 14 14
5
13
8
11
6
10
7
2
9
7
4
1
20 19
1
15
16 13
3
15
9
6
Gambar 3.6 Pelabelan Graceful pada Graf 2 L4
5
11
3
8
19 Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan Cara 1.
Pelabelan Cara 2 : Definisikan label untuk titik-titik dari graf mLn sehingga
memenuhi fungsi fungsi satu-satu sebagai sebagai berikut : Untuk j = 1, 2, 3,..., m
n – 1, 2
m (3n – 2) –2n ( j –1) – (2i –3j+1)
untuk i =1, 3, 5,…, 2
n ( j–1) + (i + j – 2 )
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
n ( j–1) + (i + j –2)
untuk i =1, 3, 5,…, 2
λ (vij) =
n , 2
dan
n – 1, 2
λ (v’ij) =
n . 2 Aturan pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e ∈ E (mLn) m (3n – 2) – – 2n( j –1) – (2i –3j+1)
untuk i = 2, 4, 6,…, 2
adalah sebagai berikut :
n – 1, 2
3n(m– j+1) –2m – (3i– 2 j)
untuk i=1, 3, 5,…, 2
–2m– (3i– 2 j+1) 3n(m– j+1) –
untuk i= 2, 4, 6,…, 2
λ (eij) = λ (vijv( i+1) j j)=
n – 2, 2 n –1, 2
–2m– (3i– 2 j+1) 3n(m– j+1) – +1) untuk untuk i=1, 3, 5,…,2
λ (e’ij)= λ (v’ijv’(i+1) j j)= 3n(m– j+1 –2m –(3i– 2 j)
n – 2, 2
untuk i= 2, 4, 6,…, 2
dan
λ (e*ij) = λ (vijv’ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2 j – 1)
untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titiktitiknya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua untuk setiap e ∈ E (mLn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.
20 Sebagai ilustrasi, Gambar 3.7menunjukkan pelabelan graceful untuk graf 2 L3 menggunakan menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 2.
14
1
13
10
9
14
11
11
5
6
7
2
8
7
4
1
0
12
12
2
10
4
9
5
6
3
Gambar 3.7 Pelabelan Graceful pada Graf 2 L3 Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan 2.
Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan komplemen untuk pelabelan graceful graf 2 L4 pada Gambar 3.6 ditunjukkan oleh Gambar 3.8.
20
18
2
20
16
17
18
12 6
14
15
8
11
7
6
10
13
2
11
7
4
1
0
19
19
15
4 13
7
5
9
14
5
Gambar 3.16 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.2 Pelabelan Cara 1 pada Graf 2 L4
9
3
12
21 3.3
Pelabelan Graceful pada Graf P m x P n
Graf hasil kali kartesius Pm x Pn mempunyai mn titik , yang terdiri dari m baris titik. Himpunan titik dari graf Pm x Pn adalah : V ( Pm x Pn ) = { vi1 , vi2 , vi3 ,...,vim } dimana vij adalah titik ke-i dari baris j untuk i = 1, 2, 3,…, n dan j = 1, 2, 3,…, m, ke- j
dan himpunan sisi dari graf Pm x Pn adalah : E ( Pm x Pn ) = { ei1 , ei2 , ei3 ,..., eim , e’i1 , e’i2 , e’i3 ,..., e’i(m-1) } dengan eij = vijv(i+1)j
untuk i = 1, 2, 3,..., n–1, j = 1, 2, 3,…, m
e’ij = vijvi(j+1)
untuk i = 1, 2, 3,..., n , j = 1, 2, 3,…, m–1.
Gambar 3.17 mengilustrasikan penotasian titik dan sisi dari graf hasil kali kartesius Pm x Pn. v11
e11
e’11
v12
v21
e21
e12
e22
e’1(m-1)
e’2(m-1)
e1m
v2 m
v n1
........ e(n-1)1
......
e’21
v1 m
v31
e’n1
........ e(n-1)2
v n2
......
e’n(m-1)
........ e(n-1)m
v nm
Gambar 3.17 Penotasian Graf Hasil Kali Kartesius Pm x Pn
Sifat 3.3
Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf graceful untuk setiap m dan n.
Bukti dari sifat 3.3 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini. Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titik-titik dari graf
Pm x Pn sehingga
memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut :
22
n ( j – 1) +
i − j 2
n – 1 2 m j = 1, 3, 5,..., 2 – 1, 2 n untuk i = 1, 3, 5,..., 2 – 1 2 m j = 2, 4, 6,..., 2 , 2 untuk i = 1, 3, 5,...,2
i − j − 1 2
m (2n – 1) –nj –nj –
λ (vij) =
i − j − 1 2
m (2n – 1) –nj –
n( j – 1) +
i − j 2
n 2 m j = 1, 3, 5,..., 2 – 1, 2 n untuk i = 2, 4, 6,..., 2 2 m j = 2, 4, 6,..., 2 . 2 untuk i = 2, 4, 6,...,2
Setelah pelabelan titik-titiknya diperoleh, selanjutnya pelabelan untuk sisisisinya yang berbeda semua untuk setiap e ∈ E (Pm x Pn) diberikan diberikan sebagai berikut :
λ (eij ) = λ (vijv(i+1)j) = m(2n–1) –n –n(2j–1) – –(i– j)
untuk i = 1, 2, 3,..., n–1, j = 1, 2, 3,..., m
dan
λ (e’ij ) = λ (vijvi(j+1) = m(2n–1) –2nj– –2nj–(i– j –1)
untuk i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,..., m–1.
Sebagai contoh, Gambar Gambar 3.20 menunjukkan menunjukkan beberapa beberapa pelabelan graceful untuk graf hasil kali P4xP4 dengan menggunakan sifat 3.3.
23
0
24
24
21
21
20
14
9
6
23 18
20
8
2
13
5
15
11
16
8
5
11
3
22
12
17
7
14
16
13 10
1 19
4
17
7
23
4
1
12
Gambar 3.20 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4 Menggunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 1.
Pelabelan Cara 2 :
Titik-titiknya diberi label sehingga memenuhi sifat satu-satu sebagai berikut:
m( i – 1) +
j − i 2 j − i − 1 2
n(2m – 1) –im –
n – 1 2 m j = 1, 3, 5,..., 2 – 1, 2 n untuk i = 1, 3, 5,..., 2 – 1 2 m j = 2, 4, 6,..., 2 , 2 untuk i = 1, 3, 5,...,2
λ (vij) =
j − i − 1 2
n(2m – 1) –im –
m( i – 1) +
j − i 2
n 2 m j = 1, 3, 5,..., 2 – 1, 2 n untuk i = 2, 4, 6,..., 2 2 untuk i = 2, 4, 6,..., 2
m . 2
j = 2, 4, 6,..., 2
24 Pelabelan sisinya diberi label berbeda semua untuk setiap e ∈ E (Pm x Pn) menurut aturan sebagai berikut:
λ (eij ) = λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1) –2im– –2im–( j – i – 1)
untuk i = 1, 2, 3,..., n–1, j = 1, 2, 3,..., m
dan
λ (e’ij ) = λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1) –m –m(2i–1) – –( j– i ) untuk i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,..., m–1.
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titiktitiknya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua untuk setiap e ∈ E (Pm x Pn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful. Sebagai contoh, Gambar Gambar 3.22 menunjukkan menunjukkan beberapa beberapa pelabelan graceful untuk graf hasil kali kartesius P4xP4 menggunakan menggunakan sifat 3.3 pelabelan 2. 0
21
24
24 23
4
19
20
13
5
7
14 3
17
12
8
2
13
5
8
11
16
11
6
9
15
18
7 10
16
22
23
14
17 20
1
21
1
4
Gambar 3.24 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4 Mengunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 2.
12
25 Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan komplemen untuk pelabelan graceful graf P4xP4 pada Gambar 3.20 ditunjukkan oleh Gambar 3.26. 24
24
21
3 14
20
10
7
16
13
1
22
18
4
19
15
12 9
6
3
23 19
13
7
10
23
20 17
17
0
16
11
8
8
5
2
11
4
1
Gambar 3.26 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.3 Pelabelan Cara 1 pada Graf P4 xP4
12
