Univ ersitéAb delm alek Ess aadi Fac u lt éd e sc ien c es Té t o u a n
BAGH L I F atima tima Zahra Zahra
2011/2012
Plan ►
Introduction
Concept
du Bond graph
Modélisation Bond
Graph
Etapes
par Bond graph
Equation d’état
de construction du BG à partir d’un modèle physique Conclusion
Introduction ► L’énergie est un concept essentiel dans la description
de l’évolution des systèmes technologiques. technologiques. On le retrouve dans tous les domaines car il constitue le lien entre ceux-ci. Fort de cette constatation, Henry M. Paynter (1923-2002), a introduit le concept de « bond graph » (BG) (graphe de liaisons) en 1961. la méthode BG concerne tous les systèmes dans tous les domaines (linéaires, non linéaires, continus, échantillonnés,
numériques, électroniques, hydrauliques, mécaniques, thermiques, ...).
-3-
Définition du bond graph ► BG est un graphe orienté, faisant apparaître des variables dynamiques, dynamiques, qui traduisent les transferts d’énergie entre systèmes. systèmes. Ils sont basés sur les liens de puissance . Un lien de puissance est symbolisé par un demi flèche
A
B
F i g1:Tr g1: Tr ansf ansf er t de pui ssance de A ver ver s B
Exemple Exemple du bond graph à mot►
Variables Variables généralisées►
Eléments du BG►
Eléments de langage BG
Eléments actifs
Eléments de jonctions
Eléments passifs
Eléments du BG► Eléments actifs Ce sont des sources d’effort d’effort Se ou de flux Sf . Ces derniers
fournissent la puissance au système Eléments passifs Ils consomment la puissance et la transforment soit en énergie dissipé comme chaleur dans les éléments R , soit en énergie stockée dans les éléments I et C Remarque Pour
un élément actif le sens de la demi flèche sortant de
l’élément. Pour un élément passif l’orientation de la demi demi flèche est donc donc entrante vers l’élément
Eléments actifs et passifs ►
Eléments du BG► Eléments de jonction
Les jonctions servent à coupler les éléments actifs et passifs, il ya quatre types de jonction: Les jonctions
1 sont des jonctions iso-flux.
Les
jonctions 0 sont des jonctions iso-effort iso -effort
Les
jonctions TF transforment les variables effort-effort, effort-effort, flux-flux
Les
jonctions GY transforment les variables effort-effort, effort-effort, flux-flux
Eléments de jonction►
Exemple d’application► ,
Causalité► Notion fondamentale : - Définit les relations de cause à effet en vue de la commande - Structure les équations en vue de la résolution - Permet la détection d’erreurs de modélisation
La causalité a un sens physique Exemple : Moteur à courant continu
Le moteur tourne car il est alimenté
i u
Γ
L’alimentation électrique du moteur est la cause et sa rotation la conséquence
Expression de la causalité dans les Bond Graph ►
2 cas possibles : - A impose l’effort à B qui en retour impose le flux à A e A
B
f = φ(e)
A
f
e f
B
barre de causalité -
A impose le flux à B qui en retour impose l’effort à A e A
B
f
e = φ(f)
A
e f
B
La barre de causalité est du côté de l’élément qui impose le flux ou à qui l’effort est imposé
Causalité intégrale, causalité dérivée dérivée► causa usalit litéé int intég égra rale le est une ca causa usalit litéé dé déri rivé véee est une ca
Exemple : Mise en mouvement d’une masse V F m
La masse acquiert de la vitesse car elle est soumise à une force
F V
I:m
f = φ(e)
PFD:
F m
dV dt
ou
1 V F.dt m
C’est la force qui est imposée → causalité intégrale Il n’existe (à priori) pas de système physique à causalité dérivée
Préférence à la causalité intégrale
►
Recherche d’une loi de commande Principe de l’inversion de modèle : puisqu’on connaît les effets d’une cause, il suffit de choisir la bonne cause pour obtenir l’effet désiré,
à condition que le modèle respecte la causalité naturelle (intégrale) ... Résolution des équations
Il est souhaitable d’obtenir des équations sous la forme qui conduit à l’implantation l’implantation xt f x, e, t . dt
x f x, e, t
d ifférentielle ordinaire (ODE), qui se résout C’est une équation différentielle avec les méthodes d’intégration explicites comme celle de Runge Kutta Si certains éléments restent en causalité dérivée , il apparaîtra des Équations algébro-différentielles algébro-différentielles de la forme gx , x, e, t 0 Elles sont traitées par des méthodes d’intégration implicites, plus
délicates à utiliser → Il faut privilégier la causalité intégrale
Causalité des sources et de l’éléments R ► Cau sal sal i t é i m posé e Source d’effort Source de flux
e imposé par Se f imposé par Sf
Se Sf
Cau sali sal i t é i n di f f é r ent en t e R R
Elément R
f = e/R e = R.f
Cas particulier : frottement sec F
Pour F donné, donné, on ne ne connaît pas forcément forcément v v
→ Causalité flux
R
Causalité des éléments I et C ► Cau sal sal i t é pr é fé r ent en t i ell el l e = i n t é gr al e Elément I
I
Elément C
C
f e
1 e.dt I
1 f.dt C
D ans an s l e cas cas où i l f audr au dr ai t u t i l i ser ser l a cau causal salii t é dé r i vé e, l es é qu at i on s di f f è r ent en t : I C
e
I
f C
df dt
de dt
Causalité des jonctions► Res Restr i ctions cti ons de causal causalii té
Egalité des flux
Jonction 1
→ un seul lien impose le flux à la jonction → un seul lien sans trait causal près du 1 1
1
4
ici c’est f 3 qui s’impose :
f 1 = f 2 = f 4 = f 3 e3 = e 1 + e 2 - e 4
Egalité des efforts
Jonction 0
→ un seul lien impose l’effort à la jonction → un seul lien avec trait causal près du 0 1
0
4
ici c’est e1 qui s’impose :
e2 = e3 = e4 = e1 f 1 = -f 2 + f 3 + f 4
Causalité du transformateur et du gyrateur ► Restrictions de causalité (suite) Transformateur
Pas de permutation de la nature énergétique
2 cas
→ même causalité en entrée et en sortie → affectation symétrique de la causalité
1
TF : m
2
e1 = m.e2
f 2 = m.f 1
1
TF : m
2
e2 = 1/m.e1
f 1 = 1/m.f 2
Permutation de la nature énergétique
Gyrateur
→ affectation antisymétrique de la causalité 1
GY : r
2
e1 = r.f 2
e2 = r.f 1
1
GY : r
2
f 2 = 1/r.e1
f 1 = 1/r.e2
Règles de propagation de la causalité► 1. Affec Affecter ter les causal causalité itéss imposé imposées es par les source sourcess 2. Mett Mettre re les les élé éléme ment ntss I et C en en causa causali lité té int intégr égral alee 3. Propag Propager er les les causali causalités tés aux aux joncti jonctions ons,, transf transform ormate ateurs urs et et gyrateur gyrateurss 4. Affec Affecter ter les les causa causalit lités és (de (de façon façon indi indiff ffére érente nte)) aux aux élément élémentss R L’étape 2 peut amener des conflits de causalité. On peut alors :
- accepter accepter de changer une causalité causalité intégrale intégrale en une causalité dérivée dérivée et reprendre en 3 ( causalité mixte) - reprendre reprendre la modélisation en ajoutant des éléments qui auraient été négligés (par exemple en mécanique un élément C qui tient compte de la flexibilité d’une pièce), ou à l’inverse en simplifiant le modèle
(par exemple en mécanique en ramenant les inerties sur le même axe)
Exemple de causalité►
Du Bond Graph à la représentation d’état► Modèle sous la forme
f ( x, u ) x y h( x, u )
X : vecteur d’état n variables d’état
Matrice d’état
Matrice de commande
U : vecteur vecteur de commande commande dimension m Y : vecteur vecteur de sortie sortie – dimensions r
x
A. x B.u
n équations
y
C . x D.u
r
Matrice de couplage états /
différentielles différentielles
relations algébriques
Matrice de couplage Entrées/Sorties
Procédure d’établissement d’établissement des équations d’état► 1. Numéroter les liens du graphe 2. Établir
la liste : des variables de commande ( liées aux sources ), des variables d’énergie et de co-énergie associées
3. Choisir comme variable d’état les variables d’énergie d’énergie p et q
correspondant respectivement à des éléments I ou C en causalité intégrale. Inscrire sur le BG les dérivées de ces variables d’état 4. Exprimer les variables de co-énergie de chaque élément I ou C en
causalité intégrale en fonction des variables d’état correspondantes en
utilisant les relations caractéristiques de ces éléments 5. Exprimer les dérivées des variables d’état en utilisant les relations
fournies par les éléments : 0, 1, TF, GY, R et les implications de causalité 6. Ecrire les équations d’état
Rappel► I.f p = I.f
Elément I Variable d’état si l’élément I ou C
Variable de co-énergie
Variable d’énergi d’énergiee
est en causalité intégrale Elément C
q = C.e C.e
p a a On cherche à écrire : .. . p ... q .. . ... 1
2
1
11
12
... .. .
p b b p ... . .. . q .. . ... 1
2
1
11
12
... .. .
u .u .. . ... 1
2
Application►
R : R m 2
1.
Se : U
1
5
4
1
I : Jeq
GY
3
I:L
Liste des variables de commande (liées aux sources), variables de coénergie et énergie : p3, p5 p 5 e5 p e U = e1 2.
3
3
3. Deux éléments I en causalité intégrale
deux variables d’état indépendantes
p3 x p5
4. Relations caractéristiques des éléments I : f 3
p 3 L
p 5 f 5 J e q
f 3
1
e .dt L .
3
Exemple de causalité► 5. Exprimer les dérivées des variables d’état en utilisant les relations
fournies par les éléments : 0, 1, TF, GY, R et les implications de causalité e1 e2 e4 e3 0 p 3 e3 e1 e2 e4 Jonction 1 f f f f f f 2
3
1
Élément R e2 Rm. f 2 Gyrateur e4 k . f 5
3
4
3
e5 k . f 4
6. Ecrire les l es équations d’état d’état
p 3 e3 e1 e2 e4 f 3
p 3 L
p 5 e5
f 5
p 3 U
p5
Rm L
J eq
p 5
k L
. p 3
. p 3
k J e q
. p5
Construction des matrices d’état et de commande
p p
3
5
Rm L k L
k p 3 1 U J e q . . p 5 0 0 0
Construction du BG à partir par tir d’un modèle physique physique► Modélisation d’un système électrique
La procédure complète détaillée de la modélisation d'un système électrique est la suivante: 1. Fixer le sens du courant (transfert de puissance) dans le circuit. •
2. Déterminer les nœuds qui ont un potentiel différent et introduire une
•
onction 0 pour chacun d'eux. 3. Mettre une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments
•
qui se situent entre les nœuds correspondants.
4. Mettre le sens de la demi-flèche en suivant la règle 5. Pour un circuit présentant un potentiel de terre explicite, supprimer toutes
• •
les jonctions 0 représentant ce potentiel. Dans un autre cas, choisir un nœud
de référence (ou plusieurs), puis supprimer les jonctions correspondantes. 6. Simplifier le bond graph si possible.
•
Construction du BG à partir par tir d’un modèle physique physique► Modélisation d’un système hydraulique
1. Fixer un sens de circulation pour le fluide. Il sera pris comme sens de transfert de la puissance. 2. Rechercher tous les nœuds de pressions différentes. Placer une jonction 0 par nœud.
3. Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments soumis à la différence de pressions correspondantes. 4. Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de transfert de la puissance. 5. Choisir une pression de référence (pression atmosphérique en général) et supprimer les jonctions 0 qui y sont associées, ainsi que tous les liens qui y sont attachés. Simplifier si possible.
Construction du BG à partir par tir d’un modèle physique physique► Modélisation d’un système Mécanique de translation (adaptée en rotation)
1. Fixer un axe de d e référence pour les vitesses et déterminer le sens de transfert de la puissance. 2. Pour chaque vitesse différente, introduire une jonction 1 et y connecter les éléments correspondants 3. Déterminer les relations entre vitesses, et les représenter à l'aide des jonctions 0 placées entre les jonctions 1 correspondant correspo ndant aux vitesses impliquées dans les relations. 4. Orienter les demi-flèches en considérant le sens de transfert de puissance. 5. Supprimer les jonctions 1 associées aux nœuds de vitesse nulle.
6. Simplifier le bond graph si possible
