GRAPH PLANAR Pengertian Graph Planar
Grap Graph h G dise disebut but graph planar jika jika G dapat digambar pada bidang datar sedemikian hingga sisi-sisinya tidak ada yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik dari sisisisi tersebut. Contoh Graph Planar : K 4
Graf Planar
Penyajian Planar
Graph yang termasuk planar antara lain : • • • •
Tree / Pohon Kubus Bidang mpat Bidang !elapan Beraturan
Graf Non-Planar "ebuah gra# yang tidak dapat disajikan $secara geometri% tanpa adanya ruas yang berpotongan dikenal sebagai gra# non planar.
K&'& ( )tility Graph
Pembuktian Graph K 5 dan K 3,3 3,3 non planar
K * ( Bintang
)ntuk membuktikannya diperlukan de#inisi dari graph planar dan +Teorema Kur,a ordan yang berbunyi : 0isalkan sebuah titik sesuai kur,a tertutup sederhana pada bidang b idang datar !. Titik 1 terl terlet etak ak di inte interi rior or dan dan titi titik k y terl terlet etak ak di ekst ekster erio iorr ' ika ika di buat buat sebu sebuah ah kur,a kur,a yang yang menghubungkan titik 1 dan y pada bidang ! ' maka kur,a tersebut pasti memotong kur,a .2 Berdasarkan teorema ini dapat dibuktikan lemma berikut: Lemma : graph bipartisi komplit K 3,3 3,3 dan graph komplit K 5 adalah graph-graph non planar.
Bukti: perhatikan graph bipartisi komplit K &'& &'& pada gambar berikut: a3
a4
b3
a&
b4
b3
b&
b3
a3
a4
a3
a4
b&
b4
b&
b4
a&
(a K3,3
a&
(b !ikel "
(" G# K3,3 -a$ b3
Graph K &'& (b% (b% &'& tersebut memuat sikel C ( $a3'b3'a4'b4'a&'b&% seperti tampak pada Gambar 0isalkan sisi a3 b b4 digambar didalam sikel C maka sisi a & b b3 pada K &'& &'& harus digambar diluar sikel C sehingga diperoleh graph G ( K &'& &'&-a4 b& ' kemudian pandang sikel C3 ( $a3'b4'a4'b3'a3% pada graph G. terhadap sikel C3 tersebut titik a 4 terletak di interior C 3 dan titik b& terletak di eksterior C3. 0aka berdasarkan teorema kur,a ordan' jika a4 dan b& dihubungkan dengan sebuah sisi maka pasti sisi a 4 b b& akan memotong sisi sikel C3. 5ni berarti tidak mungkin menggambar K &'& &'& pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi yang saling berpotongan. !engan kata lain graph K &'& &'& non planar. "elanjutnya perhatikan graph komplit K * pada gambar *.6 berikut:
&$
73
&$
7&
7*
76 $a% graph komplit K *
73
7& 7&
7*
76 $b% graph 8( K *-,&,*
Graph K * tersebut memuat sikel C($, 3',4',&',6',*',3%. 9ndaikan sisi-sisi , 4,* dan ,4,6 digambar di dalam sikel C' maka sisi-sisi ,3,6 dan ,3,& pada K * harus digambar di luar sikel C' diperoleh graph 8( K *-,&,* seperti gambar $b%. kemudian panjang sikel C3($,3',4',6',*% di graph 8. pada sikel C3 tersebut titik , * terletak di interior C 3 dan titik ,& terletak di eksterior C3. Berdasarkan teorema kur,a ordan' jika ,* dan ,& dihubungkan dengan sebuah sisi ,*,& maka sisi tersebut pasti akan memotong sisi sikel C3. adi K * adalah non planar. Karena Graph K * dan K &'& &'& merupakan graph non planar' maka setiap graph subdi,isi K * dan K &'& &'& juga non planar. akta ini bersama-sama dengan homeomor#isme graph' diperoleh lemma berikut Lemma: setiap graph yang homeomorfik dengan K 5 dan K 3,3 3,3 adalah graph non planar.
Kurato;ski menemukan bah;a setiap graph non planar memuat graph bagian yang isomor#ik dengan subdi,isi dari K * dan K &'& &'&. )ntuk membuktikan pernyataan tersebut diperlukan sederetan lemma dan teorema serta sekumpulan konsep berikut.
Planarita' dan keterhubungan graph Pada bagian ini akan dibahas keterkaitan antara planaritas dan kerhubungan graph. )ntuk itu kita a;ali dengan pengertian graph non n on planar minimal berikut ini. Graph G disebut graph non planar minimal jika graph G non planar dan setiap bagian sejati dari G adalah graph planar. "elanj "elanjutn utnya ya akan akan ditunj ditunjuka ukan n bah;a bah;a graph graph non planar planar minima minimall yang yang memil memiliki iki sisi sisi sesedi sesedikit kit mungkin merupakan graph terhubung-&. )ntuk membuktikan hal tersebut diperlukan beberapa konsep dan lemma pendukung berikut ini
a
b
c
e<
c a
b e3
d
e K &'4 &'4
$a% $a% Grap Graph h K 4'& 4'&
e4
e*
d
e&
e6
e G
$b% Graph bidangan G3 $panjang K &'4 &'4%
5ngat kembali graph planar disebut graph bidang. Graph bidang G mempartisi bidang datar menjadi daerah daerah yang disebut muka $#ace%. "ebuah muka dibatasi oleh sisi sisi G. "ebuah muka graph G disebut muka terbatas jika luas muka tersebut terbatas."ebaliknya' muka tak terbatas adalah muka yang luasnya tak terbatas. terbatas. 0isalnya gambar muka # 3 pada graph bidang G yang di batasi oleh sisi sisi e 3'e4' e&'e6 adalah muka terbatas. "edangkan muka # 4 yang dibatasi oleh sisi sisi e &' e6' e*'e< adalah muka tak terbatas. Beriku Berikutny tnyaa akan akan ditunj ditunjukk ukkan an himpuna himpunan n sisi sisi G yang membat membatasi asi sebuah sebuah muka muka yang yang terbatas dapat direstrukrisasi sedemikian sehingga himpunan sisi tadi menjadi pembatas dari muka tidak terbatas di pajangan yang baru. 0isal graph G3 adalah pajangan graph K &'4 &'4. Pada graph G3' himpunan 3 ( $e3e4e&e6% adalah himpunan himpunan sisi pembatas pembatas muka terbatas. terbatas. selanjutnya selanjutnya pajangan G dapat di restruktur restrukturisasi isasi sehingga pajangannya seperti G4 . Pada graph G4 tampak bah;a 3 merupakan himpunan sisi pembatas dari muka tidak terbatas.
e<
a
b
c c
a
b e3
e3
e4 d
e*
e&
e<
e4 e*
c e&
e6
e6
e G3
d
e G4
Graph G3 dan G4 dua pajangan graph K 4'& 4'&
Lemma 5.4: jika E 1 merupakan himpunan sisi pada sebuah muka terbatas dalam pajangan graph planar G, maka G memiliki sebuah pajangan sedmikian sehingga E 1 adalah himpunan himpunan sisi pembatas dari sebuah muka ang tidak terbatas.
Bukti Bukti : Proyek Proyeksik sikan an pajang pajangan an G pada sebuah permukaan permukaan bola' sehing sehingga ga setiap setiap muka dari dari pajangan G tersebut merupakan muka terbatas. Perhatikan muka yang dibatasi oleh 3 pada permukaan bola. Kemudian proyeksikan kembali pajangan tersebut pada bidang datar sedmikian sehingga 3 merupakan himpunan sisi dari sebuah muka yang tidak terbatas. 8al ini dapat
dilaku dilakukan kan dengang dengang memiki memikirka rkan n bola bola bola bola terseb tersebut ut terbuat terbuat dari karet dan memotong memotong bola bola sepanjang sisi 3 lalu membeber kulit bola pada bidang datar dengan cara menarik keluar sisi sisi 3 %. "ebagai ilustrasi' perhatikan gambar c
a
a d
a
d
b
b e3
c d
b
c $a%
$a% pajangan graph planar G' 3(
$b%
$c%
pembatas muka terbatas
$b% pajangan G pada bola
$c% pajangan G pada bidang datar 3(
pembatas muka tak terbatas
"elanjutnya akan ditunjukkan bah;a setiap graph non planar minimal adalah graph terhubung dan tidak memiliki titik pemutus. eorema ) *ika graph G non planar minimal maka G graph terhubung-$
Bukti : andaikan G tak terhubung . 0isal G3 G4 . . .Gk adalah adalah komponen komponen G ' maka untuk setiap i ' 3= i =k ' Gi merupakan graph bagian sejati dari G. karena G non planar minimal maka' Gi graph planar untuk setiap i ' sehingga G planar. Kontradiksi bah;a G non planar. adi G terhubung. "elanjutnya andaikan G memiliki titik pemutus' dan misalkan titik , adalah titik pemutus G. jika G3 G4. . . Gk adalah blok di G yang bersekutu di , maka komponen komponen dari G-, merupakan graph bagian planar dari G $karena G non planar minimal%. 9kibatnya graph G planar. Kontradiksi bah;a G non planar . karena G terhubung dan tidak memiliki pemutus maka G graph terhunbung-4. !engan demikian teorema terbukti. !engan menggunakan lemma *.6 kita buktikan teorema berikut
Lemma 5.!: misal "#
adalah himpunan titik pemutus dari graph G dan G1 , , G$ adalah
graph-graph bagian dari G sedemikian sehingga G1
( 1#Gi #Gi
G$ # G dan %&G1 ' '
%&G$ ' ' #". misalkan
). ). *ik *ika a G non non plan planar ar,, mak maka a ( 1 non planar atau ( $ non planar.
Bukti: andaikan 83 dan 84 planar maka menurut lemma *.6 kita bisa memajang 83 sedemikian sehingga sisi 1y menjadi salah satu batas muka terluar $muka tak terbatas%. Begitu juga dengan 84' kita bisa memajang memajang pada bidang datar sedemikian sedemikian sehingga sisi 1y menjadi salah satu batas muka terluar. !engan menghimpitkan sisi 1y yang terletak di pajangan 83 dan 84 maka akan diperoleh diperoleh pajangan G. akibatnya akibatnya G graph planar' kontradiksi kontradiksi dengan G non planar. adi 83 non planar atau 84 non planar. !engan demikian lemma terbukti. )ntuk selanjutnya graph bagian dari graph G yang homeomor#ik dengan k &'& &'& atau k * disebu disebutt graphgraph-gra graph ph kurato kurato;sk ;ski. i. 0enggun 0enggunakan akan teorem teoremaa *.* dan lemma lemma *.< kita kita buktik buktikan an teorema berikut. Lemma 5.+: misal graph G non planar dan tidak memiliki graph bagian kuratoski. *ika G memiliki sisi sedikit mungkin diantara graph-graph ang demikian maka G terhubung-3.
0isalkan G sebuah graph dan e(u, sebuah sisi di G ' pengkontraksian sisi e dari G adalah penghapusan sisi e dari G dan menyatukan titik u dan titik titik , . graph baru yang diperoleh dilambangkan dengan G.e. misalnya graph G dan graph G.e !apat dilihat pada gambar berikut
e
gambar *.> :graph G dan graph G.e
lemma 5.: misalkan misalkan G sebuah graph terhubung-3 terhubung-3 dengan
. aka G memuat sisi e
sedemikian sehingga graph G.e adalah graph G terhubung-3. Bukti: andaikan bah;a untuk setiap e di $G%' graph G.e tak terhubung-&. karena G.e tak terhubung-& maka ada 4 titik di G.e' missal titik u dan titik ,' sedemikian sehingga G.e ? graph tak terhubung dan himpunan titik pemutus tersebut pasti memuat sebuah titik di G.e yang diperoleh diperoleh dengan mengkontrak mengkontraksi2 si2 sisi e(1y. Tanpa Tanpa menghilangkan menghilangkan keumuman' keumuman' misal titik titik +1y +1y(u (u maka maka
adala adalah h himp himpun unan an titi titik k pemut pemutus us di G. denga dengan n kata kata lain lain G-
merupakan graph tak terhubung.
0isa 0isall 8 adal adalah ah sebu sebuah ah komp kompon onen en dari dari G-
yang yang memi memili liki ki titi titik k seb seban anya yak k mung mungki kin n dan dan 8
adal adalah ah sebua ebuah h kom kompo pone nen n yan yang g lai lain n dar darii GG-
$sepe sepert rtii tam tampa pak k pad padaa gam gamba barr *.@ *.@%%
7
gambar *.@
karena G terhubung-& terhubung-& maka
merupakan merupakan titik titik pemutus pemutus minimal minimal di G. sehingga sehingga
setiap titik tersebut memiliki persekitaran di 8 dan 8. missal a sebuah titik persekitaran , di 8. missal b adalah sebuah titik di G sedemikian hingga
merupakan himpunan titik pemutus
di G. jela jelass bah; bah;aa grap graph h bagi bagian an G yang yang diba dibangu ngun n oleh oleh 7$8% 7$8%
atau atau G
adalah graph terhubung' jika b adalah sebuah titik di G
' maka G
adal adalah ah gra graph ph ter terhu hubu bung ng'' seb sebab ab jika jika tid tidak ak mak makaa G-
tak tak ter terhu hubu bung ng'' hal hal
ini kontradiksi dengan G terhubung-&. Aleh sebab itu G
kompon komponen en dari dari G-
adalah se sebuah
yang yang memil memiliki iki titik titik melebi melebihi hi titik titiknya nya 8' kontra kontradik diksi si dengan dengan 8
memiliki titik sebanyak mungkin. Beri Beriku kutt akan akan ditu ditunj njuka ukan n peng pengkon kontr trak aksi sian an sisi sisi grap graph h mele melest steri erika kan n grap graph h bagi bagian an kurato;ski' namun sebelumnya diperlukan terminology berikut. ika G graph dengan
!an 8 adalah sebuah sub di,isi dari G' maka titik-titik 8 yang memiliki derajat paling sedikit tiga disebut titik original.
/eorema 5.0: missal G sebuah graph dan
. jika G.e memiliki graph bagian kuratoski
maka G juga memiliki graph bagian kuratoski. kuratoski. Bukti: misalkan G3(G.e' 8 adalah graph bagian kurato;ski di G3 dan adalah sebuah titik di G3 yang didapat dari mengkontraksi sisi e(1y. ika 8 adalah sub graph kurato;ski' maka 8 adalah sub di,isi dari K * dan K &'& &'&. Kasus 3.misalkan 8 adalah sub di,isi dari K * . "ubkasus "ubkasus 3.3. titik bukan titik original original dari 8. dalam hal ini titik diekspansi diekspansi menjadi menjadi sebuah sisi e(1y di G' maka graph G juga memuat graph bagian kurato;ski seperti tampak pada gambar berikut
y
1
G3
G
subkasus 3.4. titik adalah titik original dari 8 subkasus 3.4.3. terdapat paling banyak satu dari sisi-sisi yang terkait ke 1 di G. mmaka dapat diekspansi menjadi sebuah sisi e(1y' sehingga G juga memuat sub graph kurato;ski' seperti tampak pada gambar berikut:
X
G3
G
"ubkasus 3.4.4. misalkan titik 1 dan y di G masing-masing terkait dengan dua sisi dari empat sisi 8 terkait . maka dapat diekspansi menjadi sebuah sisi e(1y' sehingga G juga memuat sub graph kurato;ski' seperti tampak pada gambar berikut.
G3
y
G
Kasus 4. 0isalkan 8 subdi,isi dari K &'& &'& "ubkasus 4.3. titik bukan titik originaldari 8. dalam hal ini titik diekspansi menjadi sebuah sisi e(1y di G' maka graph G juga memuat sub graph kurato;ski' seperti pada gambar berikut.
X X
Z
X
Y Y
G3
Y
G
"ubkasus 4.4. titik merupakan titik original dari 8 dalam hal ini titik di ekspansi menjadi sisi e(1y di G $seperti tampak pada gambar% maka G juga memuat sub graph kurato;ski
G3 dengan demikian bukti teorema lengkap.
YYYYYYYYYYYYYYYY YYYYYYYYYYYYYYYY YYYYYYY G
0isalkan graph G adalah graph planar jika setiap muka dan pajangan G dibatasi oleh segi n polygonal kon,eks maka pajangan G yang demikian disebut pajangan kon,eks sebagai contoh' perhatikan grph planar Ggambar *.3D. graph G3 adalah pajangan tak kon,eks kon,eks dari G sedangkan sedangkan graph G4 adalah pajangan kon,eks dari G
G
G2
G1
Gambar *.3D. G graph planarE G3 pajangan tak kon,eks dari GE G4 pajangan kon,eks dari G
Teorema *.3D: jika G graph terhubung-& tanpa sub di,isi K * atau K &'& &'& maka G mempunyai pajangan kon,eks pada bidang
Bukti: Bukti: $induksi $induksi pada panjang panjang
%. Karena Karena graph G terhubung-& terhubung-& maka satu-satun satu-satunya ya
graph G terhubung-& yang memiliki titik paling banyak 6 adalah K 6 kita tahu bah;a K 6 memiliki pajangan kon,eks seperti G4 pada gambar *.3D
9sumsikan pe pernyataan be benar un untuk gr graph G dengan.
graph terhubung -& tanpa sub di,isi K * atau K &'& dan &'& dan
-3 da dan n F*. 9r 9rtinya ji jika G
-3 maka maka G memp mempuny unyai ai
pajangan kon,eks pada bidang. b idang. "elanjutnya akan ditunjukknan pernyataan benar untuk 7$G% ( n . karena G terhubung -& ' berdasarkan lemma *.> terdapat sisi e( 1 y di G sedmikian sehingga G.e terhubung -& . misalkan adalah sebuah titik yang didapat dari mengkontraksi sisi e tersebut . karena G tidak memuat sub graph Kurato;ski' .
-3
Berdasarkan asumsi' graph G.e memiliki pajangan kon,eks pada bidang. Graph bidang yang didapat dari menghapus semua sisi G.e yang terkait di memiliki sebuah muka yang memuat titik $mungkin saja muka ini adalah muka tak terbatas %. 0issal C adalah sikel di grapah bidang ini yang memmbatasi muka tersebut . karena G.e tadi memiliki pajangan kon,eks maka semua
sisi di G.e yang terkait di berupa ruas garis . misal 13'14 ' . . . '1k adalah titik titik persekitaran dari 1 di C kita tinjau 4 kasus . Kasus 3. "emua persekitaran persekitaran y terletak terletak di sebuah sebuah segmen dari 1i ke 1iH3 di C. maka kita peroleh sebuah pajangan kon,eks dari G dengan meletekkan 1 di pada G.e dan meletakkan y dekat ke seperti terlihat pada gambar berikut
Ii
I
IiH3
y
I
y IiH3 Kasus 4' jika kasus 3 tidak terjadi maka terdapat 4 kemungkinan. "ub kasus 4.3 persekitaran 1 dan y memiliki & titik persekutuan di C. dalam hal ini graph G akan memuat sub di,isi K * seperti tampak pada gambar berikut
X Y
"ub kasus 4.4 titik y mempunyai 4 persekitaran persekitaran di C. misal u dan , ' yang terletak terletak di komponen komponen graph bagian C . yang di peroleh dengan menghapus titik 1i dan 1iH3 untuk suatu i . dalam hal ini C bersama sama dengan lintasan $u'y',% ' $1i'1'1iH3% dan $1'y% membentuk sebuah sub di,isi dari K &'& &'& di G seperti tampak pada gambar berikut
Ii u
X Y
IiH3
,
!engan demikian hanya kasus pertama yang mungkin terjadi dan G dengan n titik memiliki pajangan kon,eks. !engan demikian teorema terbukti 5%+ *embatan Pada Graph Planar
!alam mempelajari graph planar' graph-graph bagian tertentu' yang disebut jembatan2' memegang peranan penting. Kita bahas si#at-si#at graph bagian demikian di bagian ini . 0isalkan G sebuah graph dan 8 sebuah graph bagian dari G. kita de#enisikan relasi J pada himpunan $G% - $8%' dengan syarat bah;a e3Je4 jika terdapat sebuah jalan sedemikian hingga ( e3 dan e4 berturut-turut adalah sisi pertama dan sisi terakhir dari dan ($ jalan pisah ?internal dengan 8 $atau tidak ada titik internal yang terletak di 8%. Perhatikanlah bah;a relasi J adalah relasi ekui,alen pada $G% - $8%. "ebuah graph bagian dari G-$8% yang diinduksi oleh klas eki,alen atau relasi J disebut sebuah jembatan2 dari 8 di dalam G. Konsep jembatan seperti ini hanya dipakai dalam graph planar. 9kibatnya jika B jembatan dari 8 maka B graph terhubung. lebih lanjut' setiap dua titik di B dihubungkan d ihubungkan oleh sebuah lintasan yang titik internalnya tidak terletak di 8. disamping itu setiap dua jembatan dari 8 tidak memilki titik persekutuan kecuali mungkin titik di 8 .
0isalkan B se sebuah je jembatan da dari 8 kita tu tulis 7$ 7$B%
sebaga sebagaii titik titik kaki jembat jembatan an B pada pada 8. jika jika
8% da dan ki kita se sebut ti tititk in ini
maka maka B disebut disebut jembat jembatanan-k. k. pada pada
pembicaraan selanjutnya kita hanya tertarik dengan jembatan dari sebuah sikel C. "ebagai contoh perhatikanlah graph G pada gambar *.33. graph-graph bagian B3 B 4 B & B 6 dan B* adalah jembatan-jembatan dari sikel C. jembatan B3 adal adalah ah jemb jembat atan an-& -& begit begitu u juga juga denga dengan n B& sedangkan B* adalah jembatan-4 dan B4 adalah jembatan-3.
B3
bb B3
B 2
B5 B4
G Gambar *.33. B3 B4 B& B6 dan B* adalah jembatan ?jembatan !ari sikel C pada graph G !ua jembat jembatan an yang yang himpun himpunan an titik titik kaki nya sama sama disebu disebutt dua jembat jembatan an ekiu,al ekiu,alen. en. 0isalnya B3 dan B& adalah dua jembatan jembatan yang ekiu,alen ekiu,alen misalkan B adalah sebuah jembatan-k jembatan-k dari sikel C dengan KF4 maka titik titik kaki B mempartisi sikel C mejadi lintasan lintasan lepas sisi yang disebut segmen segmen B . 4 jembatan B3 dan B4 dikatakan saling menghindar $tidak bertindihan%. ika seluruh kaki B3 terletak di salah satu segmen B4 . jika sebaliknya ' jembatan jembatan B3 dan B4 disebut bertindihan . misalnya ' dalam contoh pada gambar *.33' jembatan B& dan B6 saling menghindar ' sedang kan B3 dan B& bertindihan. !ua jembatan B3 dan B4 dikatakan berselingan jika terdapat 6 titik u','u3 dan ,3 $berurutan secara siklik % pada sikel sikel C sedmikan hingga u dan , adalah kaki kaki dari B3 dan u3 ',3 adalah kaki kai dari B4 . dari contoh di atas ' jembatan B6dan B* berselingan. Teorema *.33. misalkan B3 dan B4 adalah 4 jembatan dari sikel C jika B3 dan B4 berindihan maka B3 dan B4 berselingan atau B3 dan B4 4 jembtan -& eki,alen. Bukti : karena B3 dan B4 bertindihan maka B3 dan B4 masing masing mempunyai paling sedikit 4 titik kaki.jika B3 dan B4 adalah jembatan-4 maka jelas bah;a B3 dan B4 berselingan sehingga kita bisa asumsikan B3 dan B4 masing masing mempunyai & kaki .kita tinjau 4 kasus ' Kasus 3: B3 dan B4 tidak eki,alen ' 0aka B3 mempunyai sebuah titik kaki u3 yang terletak di antara 4 titik kaki berurutan u dan , dari B4. karena B3 dan B4 bertindihan maka ada titik kaki ,3 dari B3 yang tidak terletak di segmen B4 yang menghubungkan u dan , . dengan demikian B3 dan B4 berselingan.
Kasus 4: B3 dan B4 jembatan-k yang eki,alen dengan kF&. ika kF6' maka B3 dan B4 jelas berselingan. ika k(&' jelas B3 dan B4 adalah jembatan-& yang ekui,alen. !engan demikian teorema terbukti. Teorema *.34 : isalkan : isalkan sebuah jembatan dari sikel 2 di graph G. jika memiliki 3 titik kaki % 1 ,% ,% $ dan % 3 di 2, maka terdapat titik % di %&' %&2' dan tiga lintasan 1 , , $ dan 3 di ang ang menghubungkan % se6ara berturut-turut ke % 1 , , % $ dan % 3 , , sedemikian sehingga, untuk i7j, %&i'8%&j' 9% . . Bukti : 0isalkan pelintasan $73'74% di B yang titik-titik internalnya pisah dari C. maka P harus mempunyai titik internal 7' sebab jika tidak jembatan B sama dengan P' dan tidak memuat titik ketiga 7&. 0isalkan L adalah lintasan-$7&'7% di B yang pisah titik dari C' dan misalkan ,D adalah titik pertama dari L pada P. lambangkan : dengan P 3 segmen-$,D',3% dari lintasan P' dengan P 4 segmen-$,D',4% dari lintasan P' dengan P& segmen-$,D',&% dari L' jelas P 3' P4 dan P& memenuhi syarat dalam teorema. !engan demikian teorema terbukti.
"elanjutnya kita bahas jembatan pada graph planar. 0isalkan G graph bidang dan C sebuah sikel di C. maka C adalah sebuah kur,a ordan pada bidang datar' dan setiap sisi di $G%$c% termuat di salah salah satu dari dua daerah yaitu interior C dan eksterior C. ini berakibat' berakibat' sebuah jembatan dari C seluruhnya terletak di interior C atau di eksterior C. selanjutnnya sebuh jembatan yang terletak di interior C disebut jembatan dalam' yang terletak di eksterior C disebut jembatan luar. 0isalnya' dari contoh pada gambar *.34 ' B3 dan B4 adalah jembatan-jembatan luar sedangkan B& dan B6 adalah jembatan-jembatan dalam dari C.
Gambar *.34: B3 dan B4 adalah jembatan luar dari sikel C' B& dan B6 adalah jembatan jembatan dalam dari sikel C.
Teorema *.3& : jembatan-jembatan dalam $luar% saling menghindar satu dengan yang lain. Bukti : $ dengan kontradiksi%. 0isalkan B3dan B4 dua jembatan dalam dari sikel C pada graph bidang. 9ndaikan B3 dan B4 saling bertindihan berdasarkan teorema *.33' maka B3 dan B4 berselingan atau jembatan yang ekui,alen.
Kasus 3 : B3 dan B4 berselingan. berdasarkan de#enisi' de #enisi' terdapat dua titik kaki B3 yaitu u dan ,' dan dua titik kaki B 4 yaitu u3 dan ,3' sedemikian ssehingga u'u3',',3 terurutnsecara siklik di C. misalkan P3 adalah lintasan-$u',% di B3 dan P4 adalah lintasan-$u3 lintasan-$u3',3% ',3% di B4 yang titik internalnya pisah dari C. karena P3 dan P4 terletak pada jembatan yang berbeda' maka titik internal P3 dan P4 tidak yang bersekutu. Karena P3 dan P4 terletak di interior C' maka berdasarkan teorema kur,a ordan' P3 dan P4 berpotongan. adi' C bukan graph bidang. Kontradiksi $lihat gambar *.3&% u3
P2 P1
vvvvvvvvv
kasus 4 : B3 dan B4 jembatan-& ekui,alen. 0isalkan ,3',4 dan ,& kaki-kaki dari B3 dan B4 berdasarkan teorema *.34 terdapat titik ,D di B3 dan & lintasan P3' P4 dan P& menghubungkan ,D ke k e , 3' , 4 dan ,& sedemikian sehingga' untuk iMj' $Pi%N7 $Pi%N7$Pj $Pj%% ( O,D. Begi Begitu tu juga juga terd terdap apat at titi titik k ,D di B4 dan tiga tiga lint lintas asan an P3'P4 dan dan P& menghubungkan ,Dke titik-titik , 3',4 dan ,& sedemikin sehingga' untuk iMj' $Pi%N7$Pj% ( O,D. $lihat gambar *.36% 74
P’1
73
P’2 P1
7
P2 Gambar *.36
Perhatikan bah;a' lintasan P3' P4 dan P& membagi interior interior C menjadi menjadi tiga daerah' dan ,D harus terletak di salah satu dari tiga daerah tersebut. Karena hanya dua dari titik-titik , 3',4 dan ,& yang dapat terletak di pembatas daerah yang memuat ,D kita dapat asumsikan dengan si#at simetri ' bah;a ,& tidak terletak di pembatas daerah ini. Berdasarkan teorema kur,a ordan lintasan P& pasti memotong salah satu dari P3' P4 atau atau C ' karena karena B3 dan B4 keduanya jembatan- jembatan dari sikel C' jadi G bukan graph bidang. Kontradiksi. adi terbukti B3 dan B4 saling menghindar. Bukti untuk jembatan luar serupa$analog%. 0isalkan G graph bidang . sebuah jembatan dalam B dari sikel C di G dikatakan dapat ditrans#er jika terdapat pajangan planar G dari G yang identik dengan G' kecuali bah;a G adalah jembatan uar dari C di G. graph bidang G dikatakan diperoleh dari G dengan cara mentrans#er $memindah% B. sebagai ilustrasi lihat gambar *.3*
B B
G
G Gambar *.3*: pertrans#eran jenbatan B. pada G' B adalah embatan-jembatan dalam. Pada G' B adalah jembatan luar.
Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian teorema kurato;ski.
Teorema *.36: sebuah *.36: sebuah jembatan jembatan dalam ang menghindari setiap jembatan kuar dapat ditrans;er. Bukt Bukti: i: misa misalk lkan an B sebu sebuah ah jemb jembat atan an dala dalam m dari dari sike sikell C pada pada grap graph h bida bidang ng G. kare karena na B menghindari setiap jembatan luar dari C maka titik-titik kaki seluruhnya terletak di pembatas sebuah muka G eksterior C. sehingga B dapat digambar pada muka tersebut. $sebagai ilustrasi lihat gambar *.3*%. sehingga B sekarang di eksterior C.
ormula .uler
Teorema *.3<: ika G graph bidang terhubung terhubung maka 7$G% - $G% H $G% ( 4 Bukti: $induksi pada $G%. )ntuk $G%(D diperoleh 7$G%(3 dan $G%(3 "ehingga 7$G% - - $G% H $G% ( 3-DH3(4. 9sumsikan pernyataan benar untuk $G% ( k Q3 artinya jika graph G bidang terhubung dengan $G% ( k ' maka 7$G% - $G% H $G% ( 4 9kan di tunjukkan pernyataan juga benar untuk $G% ( kH3. 0isalkan G adalah ad alah sebuah graph bidang terhubung dengan kH3 dengan 3 sisi Kita tinjau dengan 4 kasus
Kasus 3: G memuat sikel. 0isalkan e adalah sebuah sisi di sikel yang terdapat di G. maka graph 8 ( G-e merupakan graph terhubung dengan k sisi. "ehingga berdasarkan asumsi berlaku 7$G% - $G% H $G%(4 "elanjutnya karena
7$8% ( 7$G% dan $8% ( $G%-3 0aka 7$G% - $G% H $G%( 7$8% - $$8%H3% H $$8%H3% ( 7$8% - $8% H $8% (4 adi teorema terbukti atas kasus ini
Kasus 4: G tidak memuat sikel Karena G terhubung dan tidak memuat sikel' maka G adalah pohon . adi G akan memuat sebuah titik yang berderajat 3 di G. 0aka graph T ( G?, tetap merupakan pohon' jadi graph bidang terhubung dengan k sisi. sisi. "ehingga berdasar berdasar asumsi belaku 7$T% - $T% H $T% ( 4 Karena 7$T% ( 7$G%-3' $T% ( $G%-3' dan $T% ( $G%' maka 7$G% - $G% H $G% ( $7$T%H3% - $$T%H3% H $T% ( 7$T% - $T% H $T% (4 !engan demikan teorema terbukti
Teorema *.3R: ika G adalah graph planar sederhana dengan $G%Q3' maka $G% = &7$G%-< Bukti: Kita tinjau dari dua kasus yaitu G terhubung atau tak terhubung
Kasus 3: graph G terhubung . misalkan G3 adalah pajangan graph G . jelas bah;a 7$G3%(7$G% dan $G3%($G%' karena graph G3 isomor#ik graph G . jika $G%(4 $G%(4 ' maka 7$G%(& 7$G%(& $ karena terhubung dan sedrehana sehingga% $G%(4S&(&7$G%-< ika $G%Q& maka $G 3%Q& karena G sederhana' maka setiap muka # di G3 mempunyai derajat minimal &. 9kibatnya
Karena
setiap
sisi
G3
membatasi
paling
banyak
dua
muka
'
maka
!ari $i% dan $ii% di peroleh &$G%=4$G% Berdasarkan #ormula euler $G3%(4H$G3%-7$G3% "ehingga $iii% menjadi &$4H$G3%-7$G3%=4$G3% ki,alen dengan $G3%=&7$G3%-< Karena 7$G3%(7$G% dan $G 3%($G%' maka $G%=&7$G%-< adi teorema terbukti untuk kasus G graph terhubung.
Kasus 4 graph G tak terhubung 0isalkan 0isalkan G3' G4' . . . ' G k adalah adalah komponen komponen komponen komponen dengan dengan k F 4. Karena Karena G planar planar'' ∀i' 3=i=k' G3 terhubung dan planar. 0isalkan dari k komponen tersebut ' terdapat k 3 komponen yang masing masing komponen berisi satu titik $nol sisi%' k 4 komponen yang masing masing berisi satu sisi $4 titik%' dan komponen k & komponen yang masing masing berisi lebih dari 3 sisi . 0aka jelas bah;a k 3Hk 4Hk &(k tanpa menghilangkan ke umuman ' misalkan $G3% ( D' ∀i 3 = i = k 3 $Gi% ( 3' ∀i' k 3H3 = i = k 3Hk 4 $Gi% F 4' ∀i' k 3Hk 4H3 = i = k 3Hk 4Hk& (k "elanjutnya kita tinjau dua subkasus yaitu k & ( D atau k & F 3 "ubkasus k &(D !alam hal' 7$G% ( k 3H4k 4 dan $G% ( k. Karena k & ( D dan $G% F 4 0aka k F 4. "elanjutnya karena k F D diperoleh $G% ( k 4 =
(&$k 3H4k 4%-<
(&7$G% - <
"ubkasus k &MD $k &F3% !alam hal ini kita peroleh $G%( ( DHk 4H
!ari kasus 3
Karena k & F 3' k 4 F D' dan k 3 F D' maka
Karena k & ( k-k 3-k 4 diperoleh F< kui,alen dengan < -
!engan demikian lengkaplah bukti teorema.
Teorema *.3>: jika G graph planar dan sederhana' maka
Bukti: )ntuk
atau
kita misalkan misalkan
' jelas pernyataan pernyataan di atas benar. Aleh karena itu' sekarang sekarang Karena G planar dan sederhana' sederhana' maka menurut menurut teorema teorema sebelumnya sebelumnya
berlaku:
9ndaikan
. 5ni berarti
' d$,%F<. "ehingga menurut lemma jabat tangan2'
F (
5ni kontradiksi dengan $%. adi pengandaian Teorema terbukti.
salah. !engan demikian
.
./R0 GRAPH
1GRAPH PLANAR2
K.L/P/K ) % 4inth 4intha a 6end 6endari ari (7 (7+5 +58$ 8$99 99 $% eri eri ula ulani ni (5: (5:;; ;;8$9 8$99 9 3% ia ia Ramad Ramadan anii Arti Arti (5:;< (5:;<8$9 8$99 9 +% Rif=i Rif=i Alhan Alhanif if (5: (5:; ;8$9 8$99 9 5% Ro>i Ro>i 6ah 6ahud udii ($5 ($57:8 7:8$99 $99: :
AK?LA! A.A0KA @AN 0L? P.NG.AH?AN ALA ?N0&.R!0A! N.G.R0 PA@ANG $9$
