CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 La fonction inverse x --- est définie, continue sur ] 0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ] 0 ; + ∞ [ . La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur ] 0 ; + ∞ [ , de la fonction x 1--- qui s’annule en 1. x
2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ] 0 ; + ∞ [ , est strictement croissante. Elle est continue et bijective. • ln ′ ( x ) ln 1
=
=
x→0
x
x
0.
• lim ln x
1 -- ; x
= –
1 x --x
∞
+∞
1 +
+ +∞
0
lim ln x → +∞
=
ln
+∞.
1 0
B
0
–∞
ln
A
1
148
0
e
savoir-faire
cours
exercices
• On appelle e le nombre réel tel que ln e
=
1.
Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1.
xeem p le e x
corrigés
1 -- x et au point e
d ’ a p p l i ca t i o n
Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction :
x+3 f : x ln ------------ . x – 1
corrigé commenté
Indication Indicatio n : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.
x+3 ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un trix–1 nôme du second degré de racines 1 et –3. x+3 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . x–1 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . f ( x ) existe si, et seulement si,
Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. 3 1 + --x+3 x • ------------ = ------------- pour x ≠ 0 d’où x–1 1 1 – --x composition lim f ( x ) = 0 . x
1 + 3--- x lim ------------- = 1 et lim ln X = 0 donc par 1 x →∞ X → 1 1 – --- x
→∞
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de + ∞ et de – ∞. x+3 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ . x→ 3x–1 X → 0 x→ 3 –
–
–
3
0
–
Donc la droite d’équation x • lim ( x – 1 ) x
→1
=
0+
et
= –
3 est asymptote à .
lim ( x + 3 )
x
→1
=
4
donc
1
x-----+-----3-- = + ∞ x → 1 x – 1 lim
lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x )
X → + ∞
3
x
→1
=
et
1
+ ∞.
1
Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives : y = 0 ; x = – 3 et x = 1. 1.
149
CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
2 Propriétés et autres fonctions 1. Propriétés de la fonction logarithme népérien Conditions
Propriétés
a0 b0
ln a b = ln a + ln b (propriété caractéristique des fonctions logarithmes) 1 a ln -- = ln a – ln b ; ln --- = – ln b b b ln a α = α ln a avec α ∈ ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective) ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement croissante) ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1
0x1
ln x 0
x1
ln x 0
2. Dérivées et primitives • Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, u ( x ) soit strictement positif :
( ln u ) ′ = u-----′ . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦
u
◦
u
)′
=
u′ . ----u
• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I. u¢ Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ . u
3. Fonction logarithme décimal ln x . ln 10 Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien. 1 log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ----------------- . x ln 10 Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puissances de 10. La fonction logarithme décimal est définie sur ] 0 ; + ∞ [ par log x
150
= -------------
savoir-faire
cours
exercices
corrigés
4. Autres limites ln ( 1 + x ) lim ------------------------ = 1 ; x→0 x lim x ln x
x
→0
=
ln x x → +∞ x lim
--------- =
0;
0 (à redémontrer à chaque fois).
ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro.
5. Résolution de l’équation ln x = a Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans ]0 ; + ∞[. Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a.
xeem p le e x
d ’ a p p l i ca t i o n
2+3 Soit la fonction f : x ln x --------------- définie sur x–1 Déterminer les variations de f .
]1 ; + ∞[.
corrigé commenté
x2 + 3 . La fonction f est telle que f = ln u avec u ( x ) = --------------x–1 u′ x2 – 2 x – 3 2 x ( x – 1 ) – ( x2 + 3 ) D’où f ′ = ----- avec u ′ ( x ) = ---------------------------------2------------------ = -----------------------2----u (x – 1) (x – 1) donc : ◦
x2 – 2 x – 3 --------------------------( x2 – 2 x – 3 ) ( x – 1 ) x – 1)2 ( f ′ ( x ) = ----------2------------------ = -----------------------2---------2------------------. (x – 1) (x + 3) x +3 --------------x–1 Or sur ] 1 ; + ∞ [ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même signe que le trinôme x 2 – 2 x – 3 dont les racines sont –1 et 3. Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ] 3 ; + ∞ [ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ] 1 ; 3 ] . f est est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est est Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction fonction f et f strictement décroissante sur ] –1 ; 3 ] . Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu contenu dans Df . Dans ce cas, Df ′ = D f = ] 1 ; + ∞ [ .
151
