Trigonometria no ITA (1958 - 2010)
NOTAÇÕES N= ={ 0, 1,2, 1, 2,3, 3,K } R: conjunto conjunto dos números números reais C: conjunto conjunto dos números números complexos [ a, b] ={ x∈ R : a≤ x ≤ b } ( a, +∞ ) = ] a, +∞[ = { x∈ R : a< x < +∞} ! " = { x∈ ! : x ∉ "} !C : complem lementar do conjun junto ! #( !) : co cole le$$%o detodos todosossubco ubconjun njuntos tosde! n( !) : número de elementos do conjun junto &nito ito ! !": se'me 'mento de reta reta unin nindo os ponto ontoss ! e " tr! tr! : soma oma dos dos elem lementos ntos da dia'on dia'ona al princ princip ipa al da matri( tri( )uadr )uadra ada ! i: unidade ima'in*ria i2 =−1 ( : mdulo dulo do núm número (∈ C Re( () : parte real do núm número (∈ C m( () : parte ima ima'in* in*ria do número (∈ C -mxn ( R ) : conjun junto das ma matri(es re reais mxn !t : trans transpos posta ta da matri( ! det!: det! : determ determinante inante da matri( ! Observação: .s sist sistem emas as de co coor orde dena nada dass co cons nsid ider erad ados os s% s%o o ca cart rtes esia iano noss retan'ulares
T rig igo ono nom met etri ria a no IT ITA A ((195 195 19 5 ! " #1#$ #1 #$ Trigonometria "#1#$
%&'es %&'estão tão 1 /1 /1 4emons 4emonstra trarr )ue se A, B, C s%o 5n'ulos de um tri5n'ulo n%o ret5n'ulo, ent%o: t'! t'! +t'"+ '"+t'C=t' t'C=t'! ! ×t'" t'" ×t'C t'C 6 7 8erdadeira essa 9rmula no caso de um tri5n'ulo ret5n'ulo ;usti&)ue a resposta6 %&'estão " /1 !ssinale e demonstre as alternati8as a lternati8as 8erdadeiras: 8erdadeiras: 1 osx ≠ , tem
< 0 sempre )ue /2 senx+s
π
2
π < x < π , − < > < 0 e 2
x − >?π .
%&'estão ) /1@0 4eterminar o /s erro /s na dedu$%o abaixo6 abaixo6 π Aeja 0 < x < B ness nessa a ip ipte tese se cosx < secx e multip multiplic licando ando ambos os membr membros os por 2 senx − t'x obtemos cosx×( senx −t'x)
%&'es %&'estão tão 1 /1 /1 4emons 4emonstra trarr )ue se A, B, C s%o 5n'ulos de um tri5n'ulo n%o ret5n'ulo, ent%o: t'! t'! +t'"+ '"+t'C=t' t'C=t'! ! ×t'" t'" ×t'C t'C 6 7 8erdadeira essa 9rmula no caso de um tri5n'ulo ret5n'ulo ;usti&)ue a resposta6 %&'estão " /1 !ssinale e demonstre as alternati8as a lternati8as 8erdadeiras: 8erdadeiras: 1 osx ≠ , tem < 0 sempre )ue /2 senx+s
π
2
π < x < π , − < > < 0 e 2
x − >?π .
%&'estão ) /1@0 4eterminar o /s erro /s na dedu$%o abaixo6 abaixo6 π Aeja 0 < x < B ness nessa a ip ipte tese se cosx < secx e multip multiplic licando ando ambos os membr membros os por 2 senx − t'x obtemos cosx×( senx −t'x)
%&'estão /1@ ! e)ua$%o tri'onomFtrica cos2x − cosx+@=0 x+@=0 a em solu$%o real b N%o tem solu$%o real c em solu$%o entre 0 e
π
sent %&'estão 1+ /1@@ . G termo do desen8ol8imento de +cost÷ F: 2cost 3 ×sent a b J×sen3t ×cos2t J sent c × 2 cos t
%&'estão 1, /1@@ ! desi'ualdade senx ≥ sen> / x e y )uais)uer )uais)uer implica em )ue: a x ≥ > b x ≤ > c Nem a nem b %&'estão 1 /1@@ 4ados o seno e o cosseno de um arco x , a . arco &ca determinado b . arco &ca determinado a menos de um múltiplo de 2π 6 c . arco &ca determinado a menos do sinal6
π 3π %&'estão 19 /1@@ ! e)ua$%o t'x=x para ≤ x ≤ 2 2 a em s uma solu$%o b N%o tem nenuma solu$%o c em mais do )ue uma solu$%o %&'estão "# /1@J Aendo senx=1 sen2 n2x x =−2 a sen2x=0 =0 b sen2x sen2 n2x x =−1 c sen2x=1 =1 d sen2x sen2x=2 =2 e sen2x %&'estão "1 /1@J rans9ormando 12G em radianos obtemos:
π
rad 1 1 rad
a b
π
π
rad 30 2π rad d 1 e 12 rad
c
%&'estão "" /1@J Aen2x F i'ual a: 1 a ( 1+cos2x) 2
1 ( 1− cos2x) 2
b
1 c ( 1+sen2x) 2 1 d ( 1+sen2x) 2 1 e senx×cosx 2
%&'estão ") /1@J Aenx F i'ual a: x 2t' 2 a x 1+t'2 2 x 1− t'2 2 b x 1+t'2 2 x 2t' 2 c x 1− t'2 2 1− cosx d L 2 x x e sen ×cos 2 2 %&'estão "* /1@J sen1o +sen1o F i'ual a:
−2sen2o ×cos1@o a 2sen2o ×cos1@o b c 2sen1@o ×cos2o d −2sen1@o ×cos2o e 2cos1@o ×sen2o %&'estão "5 /1@ ! 9un$%o x=arcsen> F uni8ocamente determinada para: 0≤ x≤ π a 0 < x ≤ 2π b c −π ≤ x ≤ π d 0 ≤ x ≤ 2Eπ, E =1, 2, 3, M
π
π
e − ≤ x ≤ 2 2
m− 1 %&'estão "+ /1@ Ae m≠ −1, >=arcsen F i'ual a: m+1 m− 1 arccos a m+1
m arct' 1+m2 c arccos2 m m+1 m− 1 2 d arcsen 1− ÷ ÷÷ m+1 e n6r6a b
x %&'estão ", /1@ Iuais os 8alores de x )ue satis9a(em a e)ua$%o cosx − cos =2 2 a
π π − ≤ x≤
2 2 x=E × π, E ∈b c x=Eπ, ( E+1) × π E ∈d x=( E+1) ×2 π, E ∈e x=( 2E+1) ×2 π, E ∈-
%&'estão " /1@ #ara )ue 8alores do número real a, podemos 'arantir )ue existe sen2x , sabendo )ue cosx − sen x=a a> 1 a a≤ 0 b c 0 ≤ a≤ 1 1 d ≤ a≤ 2 1 e 0 ≤ a≤ 2
%&'estão "9 /1@ Aeja > = alo' t'x com 0 < a< 1, onde neperiano de u6 nt%o, ×
lnu
indica o lo'aritmo
3π < x ≤ 2π 2 2 π 3π 0 ≤ x ≤ ou π ≤ x ≤ b 2 2 π π c 0 < x ≤ ou π ≤ x ≤ π π d 0 < x ≤ ou π ≤ x ≤ 3π e 0 < x ≤ 2 a
π
< x ≤ π ou
x + > = π 2 admite + = senx sen> lo't
%&'estão )# /1@ #ara )ue 8alores de t, o sistema:
solu$%o a 0 < t < 10 b 0 < t < 10π c 0 < t < 102 d 0,1≤ t ≤ 10 e em nenum dos inter8alos indicados acima6 3x 3x %&'estão "# /1@ ! e)ua$%o sen2 − cos = a tem solu$%o para 8alores de a6 2 2 !ssinale um dos itens abaixo )ue le parecer correto6
a 1< a<
J
1 c −1< a< 3 d 1< a< 2 e em nenum dos inter8alos acima6 b −2< a<
2
%&'estão )" /1@ Consideremos a e)ua$%o: ( t'a) cos x ( cosx) lo'b onde
π
π < a< , a &xado,
b> 0 e
2 acima tem solu$%o em x se:
lnb
−
J
+( lo'b )
2
= ( cot'a)
%&'estão )) /1J1 Consideremos a e)ua$%o: 2 lo'( senx) − lo'( senx) − @ = 0 !/s solu$%o /Hes da e)ua$%o acima F dado por: a x = arcsen( e2 ) ou x = arcsen( 3) 1 1 b x = arcsen ÷ ou x = arcsen ÷ 2 3 c x = arct'( e2 ) ou x = arccos( 3) 1 d x = arcsen 2÷ e e n6d6a %&'estão )* 4ada a e)ua$%o lo'( cosx) = t'x , as solu$Hes desta e)ua$%o em x satis9a(em a rela$%o: 3π < x ≤ 2π a 2
π
2
c 0 < x < π
π
π
d − < x < 2 2 e n6d6a
%&'estão )5 /1J1 ! i'ualdade
2
indica o lo'aritmo neperiano de b6 ! e)ua$%o
a 0 < lo'b 1 b − < lo'b < 2 J 1 c −2< lo'b < J d −2≤ lo'b ≤ 1 1 1 e − < lo'b < @ @
b 0 < x <
−2( lo'b )
cosx x = cos F 8eri&cada: 2 2
a para )ual)uer 8alor de x b para )ual)uer 8alor de x ≠
n× π onde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,666 2
1− 3 ÷ 2
c para x > 2arccos
d para nenum 8alor de x e x > 2arccos( cos@0o − cos30o )
%&'estão )+ /1J1 ! e)ua$%o { sen( cosx) } ×{ cos( cosx) } =1 F satis9eita para: a x =
π
b x = 0 c nenum 8alor de x d todos os 8alores de x e todos os 8alores de x pertencentes ao 3o )uadrante
π %&'estão ), /1J1 Aeja n um número inteiro, n > 1, e x∈ 0, ÷ 6 Iual a&rma$%o 2 abaixo F sempre 8erdadeira a ( 1− senx) n ≥ 1− n×senx b ( 1− senx) n ≥ 1− n×senx, para apenas n par c ( 1− senx) n ≤ 1− n×senx d ( 1− senx) n ≤ 1− n×cosx e n6d6a
π %&'estão ) /1J1 Aeja x∈ 0, ÷ 6 Iual das a&rma$Hes F 8erdadeira 2 senx cosx + ≤1 a cosx senx senx cosx + ≤2 b cosx senx senx cosx + ≥2 c cosx senx senx cosx + =2 d cosx senx e n6d6a
%&'estão )9 /1J2 . 5n'ulo 9ormado pelos ponteiros das oras e dos minutos Os 10 oras e 1 minutos F: a 12o30P b 12o0P c 12o o d 1130P e n6d6a
%&'estão *# /1J2 !ssinale uma solu$%o para a e)ua$%o tri'onomFtrica 3 ×senx +cosx = 3 6
a x = 2Eπ − b x = 2Eπ + c x = 2Eπ − d x = 2Eπ + e n6d6a
π @
π
@
π
2
π 2
sena 6 e @J Aabe
%&'estão *1 /1J2 Aeja a e)ua$%o 3( lo'x) 1 − 3( lo'x) 1 + 3( lo'x) 3 − 3( lo'x ) = lo' +
−
−
−
−
b %&'estão *" /1J2 Aeja θ = arcsen , com a > b 6 nt%o 2θ 8ale: a b a 2θ = arc 2×sen ÷ a 2b b 2θ = arcsen a 2a c 2θ = arcsen 2 2÷ b − a
2b b2 − a2 ÷÷ d 2θ = arcsen 2 a e n6d6a
%&'estão *) /1J2 Iuais condi$Hes de8em ser satis9a(er a e . para )ue a se'uinte i'ualdade tena sentido lo'e ( seca) = E
π
π
π
π
π
π
a − < a< , E ≥ 0 2 2 b − < a< , E < 0 2 2 c − < a< , E > 0 2 2 3π π d < x < , E ≥ 0 2 2 e n6d6a
∞
π
%&'estão ** /1J2 Consideremos a 9un$%o A( x) = ∑ ( senx) , onde 0 < x < 6 #ara )ue 2 n 1 8alores de x =
n
a b c d
10 ≤ A( x) ≤ 20 1 arcsen ≤ x ≤ arcsen 10 10 10 20 arcsen ≤ x ≤ arcsen 1 10 20 arcsen ≤ x ≤ arcsen 11 21 2 3 arcsen ≤ x ≤ arcsen 2 2
e n6d6a
%&'estão *5 /1J2 Iuais os 8alores de α de modo )ue o sistema ( senα − 1) x + 2> − ( senα ) ( = 0 ( 3senα ) > + ( = 0 3x + ( Jsenα ) > + @( = 0 !dmite solu$Hes n%o tri8iais a α = n×π, n =0, ±1, ±2,666
π
b α = n× π + , n =0, ±1, ±2,666 3
π
c α = n×π + , n =0, ±1, ±2,666 2 d n%o * 8alores de α e n6d6a
%&'estão *+ /1J2 #ara todo α e β , β < 1, a express%o t'( arct'α + arcsenβ ) F i'ual aB a b c d
β + α 1− β2 − α ×β − 1 −β2 α −β α ×β − 1 − β2 α +β α ×β − 1 −β2 ( α −β ) × 1 − β2 − α×β−1
e n6d6a
%&'estão *, /1J2 Aeja a e)ua$%o 2 3t'3x = 3( lo'E) − lo'( E + 2) ×t'x ( lo'E = lo'e E) #ara )ue 8alores de E, a e)ua$%o dada admite solu$%o 1 a 0 < E ≤ e3
b c d e
2 3
0< E ≤ e 0< E ≤ e 1 −
J 3
0< E ≤ e n6d6a
%&'estão * /1J3 Dm na8io, na8e'ando em lina reta, passa sucessi8amente pelos pontos !, " e C6 . comandante, )uando o na8io est* em !, obser8a um 9arol em = Jo 6 R = 30o 6 !ps na8e'ar milas atF ", 8eri&ca o 5n'ulo Q"C Q, e calcula o 5n'ulo Q!C Iuantas milas separam o 9arol do ponto "
a b 2 2 c d
3 2 2
e n6d6a
%&'estão *9 /1J3 Aeja a e)ua$%o ( lo'e m) senx ± cosx = lo'e m6 Iuais as condi$Hes sobre m para )ue a e)ua$%o dada admita solu$%o 1 1 a m> 0 se x = 2E + ÷ πB m≠ 1 se x ≠ 2E + ÷ π 2 2 1 1 b m≠ 0 se x = 2E + ÷ πB m≥ 0 e m≠ e se x ≠ 2E + ÷ π 2 2 1 1 c m> e se x = 2E + ÷ πB m≥ 1 se x ≠ 2E + ÷ π 2 2 1 1 1 d m> − e m≠ 0 se x = 2E + ÷ πB m≠ 0 se x ≠ 2E + ÷ π e 2 2 e n6d6a %&'estão 5# /1J3 liminando θ nas e)ua$Hes x×sen θ +> ×cos θ =2asen θ x×cos θ −> ×sen θ =acos ,θ a >0 temos: 2 2 a ( x + >) 3 − ( x − >) 3 = 2a( x + > ) 2 b ( x + >) 2 + ( x − >) 2 = ( x + > ) ×a 2
2
2
c ( x + >) 3 + ( x − >) 3 = 2a3 d impossS8el eliminar θ e n6d6a
%&'estão 51 /1J3 Aeja a e)ua$%o 2 3×t'3x =3( lo'e t) −( lo'e t) +2 ×t'x , x ≠ n× Iuais as condi$Hes sobre t para )ue a e)ua$%o acima admita solu$%o 1 J 1 3 a 0 < t < ou e < t < e ou t > e3 e 1 3 b e3 ≤ t < e2 ou 0 < t < e 1
2 3
c e < t ≤ e ou d t > 0 e t ≠ 1 e n6d6a
1 >t e
%&'estão 5" /1J . 8alor da express%o x = a 10 31 b − 2 10 3
2t'θ 3 e t'θ < 0 , F: 2 )uando cosθ = − 1− t' θ J
c 2 10 1 d 3 10 J e n6d6a 2
1− t'x %&'estão 5) /1J 8ale: 1+ t'x 1− 2×sen2x a 1+ sen2x 1+ 2×sen2x b 1− sen2x 1+ sen2x c 1− sen2x 1− sen2x d 1+ sen2x e n6d6a
%&'estão 5* /1J Aabendo
π x t' − ÷ F i'ual a: 2 n a m b m n n c 1− m n d m e n6d6a
m− n , m> 0 e n > 0 podemos a&rmar )ue m+ n
%&'estão 55 /1J !dmitindo − ( t'u) ×>3 +( t'u) ×> +sec2 u −t'2u F di8isS8el pelo polinTmio I( x) = > + cot'2u− cossec2 u , onde
π
< u < π , podemos asse'urar )ue: 2 a t'u F um número irracional ne'ati8o b cossecu = − secu 2π c u = 3 d t'u F um número tal )ue −1< t'u < 0 e n6d6a
π
%&'estão 5+ /1J Aeja A = lo'3 ( t'x1) + lo'3 ( t'x2 ) + lo'3 ( t'x3 ) + 666 onde x1 = e 3 xn 1 = arct'( t'xn ) , n = 2,3,666 Nestas condi$Hes podemos asse'urar )ue: a A = lo'3 ( t'x1 + t'x2 + t'x3 + 666) b A = −1 +
c A = 2 d A = 1 e n6d6a
%&'estão 5, /1J@ ! ine)ua$%o sen2x − 2( 1+ 2) senx + 2 < 0 tem uma solu$%o x, tal )ue: a o < x < @0o b 0o < x < 30o c 3o < x < o d @0o < x < Jo e n6d6a %&'estão 5 /1J@ Resol8endo a e)ua$%o × ( ex ) 3cos − 2 ( ex ) 0= 3×sen2 ( ex ) −2 3 ×sen( ex ) cos obteremos
π
a ex = E × π ± , E =0,1,2,666 3 b x = lo'e 2E ×π ± ×÷π, E =0,1, 2,666 2
π
c ex = E × π + , E =0,1,2,666 3 π E d x = lo'e ×π − ÷ , E =0,1, 2,666 @ 2 e n6d6a
%&'estão 59 /1J@ ! respeito do produto # = ( sen( bx) ) + ( cossec( bx) ) ×( cos( bx) ) +( sec( bx) ) ×( t'( bx) ) +( cot'( bx) ) #odemos a&rmar )ue: a # F positi8o, para todo x real e b > 0 b # pode ser ne'ati8o ou positi8o, dependendo da escola de x e b em R c # F ne'ati8o para x = E × e b < 0, )uando E = 0,1, 2,666 E ×π d # F positi8o, )uando bx ≠ , para todo E = 0, ± 1, ± 2,666 2 e n6d6a
n×π , n = 1,2,3,666 6 Com respeito O 9un$%o ÷ 2
%&'estão +# /1JJ Aeja 4 = x∈ R/Ux ≠ lo'e
sen( 3ex ) cos( 3ex ) − 9 :4 → R , de&nida por 9 ( x) = , podemos a&rmar )ue: sen( ex ) cos( ex ) a 9 ( x) = 2 para todo x em 4 b 9 ( x) = 3 para todo x em 4 c 9 ( x) = e3 para todo x em 4 d 9 ( x) n%o F constante em 4 e n6d6a
%&'estão +1 /1JJ Resol8endo a e)ua$%o temos:
π
π π t' 2lo'e x − ÷ − t' lo'e x + ÷ = 0 @ 3
a x = + E×π, E =0,1, 2,3,666 3
π
b x = e@ ± E ×π, E =0,1, 2, 3,666
π
c lo'x = ± E× π, E =0,1, 2,3,666 @ d x = e2 ± 2E× π, E =1, 2,3,666 e n6d6a π
%&'estão +" /1JJ Considere um trian'ulo !"C cujos 5n'ulos internos ! , " e C 8eri&cam a rela$%o " + C sen! = t' ÷ 2 nt%o podemos a&rmar )ue: a Com esses dados do problema, n%o podemos determinar ! nem " e nem C π π b ! = e " + C = @ @ c Dm deles F reto π π π d ! = , " = , C = 3 12 e n6d6a %&'estão +) /1J Aeja 9 ( x) uma 9un$%o real de 8ari*8el real6 Ae para todo x no domSnio de 9 temos 9 ( x) = 9 ( − x) , di(emos )ue a 9un$%o F parB se, no entanto, temos 9 ( x) = − 9 ( − x) , di(emos )ue a 9un$%o F Smpar6 Com respeito O 9un$%o '( x) = lo'e senx + 1+ sen2x ,
podemos a&rmar )ue: a est* de&nida apenas para x ≥ 0 b F uma 9un$%o )ue n%o F nem par nem Smpar c F uma 9un$%o par d F uma 9un$%o Smpar e n6d6a
%&'estão +* /1J Aeja a uma constante real6 liminando × x×sen θ +> ×cos θ =2a sen2 x×cos θ −> ×sen θ =a cos2 × 2
2
2
2
2
2
2
2
θ
das e)ua$Hes abaixo:
a ( x + >) 3 + ( x − >) 3 = 2a3 b ( x − >) 3 − ( x + >) 3 = 2a3 2
c ( x + >) 3 + ( > − x) 3 = a3 2
d ( x + >) + ( x − >) = a3 2 e n6d6a 2 3
2 3
π
π
%&'estão +5 /1J Ae a e b s%o 5n'ulos complementares, 0 < a< , 0 < b < e 2 2 3a sena+ senb = 3 , ent%o sen ÷ + cos( 3b) F i'ual a: sena− senb a 3
3 3 c 2 2 d 2 e n6d6a b
%&'estão ++ /10 Aobre a 9un$%o 9 ( x) = sen2x , podemos a&rmar )ue: a 7 uma 9un$%o peridica de perSodo π b 7 uma 9un$%o peridica de perSodo 2π c 7 uma 9un$%o peridica de perSodo π d 7 uma 9un$%o peridica onde o perSodo pertence ao inter8alo aberto ( π, 2π ) e n6d6a %&'estão +, /10 No inter8alo a ine)ua$%o senx ( lo'e E) > 1 a #ara todo E > e b #ara todo E > 2 c #ara todo E > 1 d #ara todo 1< E < e e #ara todo 0 < E < e
π < x < 2π
, )uais s%o os 8alores de E )ue satis9a(em
%&'estão + /10 Aeja 9 ( t) = + 3cos( π×t ) + a 9un$%o de&nida em R 6 Aobre esta 9un$%o )ual das alternati8as abaixo F correta a 9 ( t) F 9un$%o par b 9 ( t) F 9un$%o Smpar c o maior 8alor )ue 9 ( t) assume F d o menor 8alor )ue 9 ( t) assume F −3 1 e o menor 8alor )ue 9 ( t) assume F − 2 %&'estão +9 /11 4enotemos por R o conjunto dos números reais6 Aeja ': R → R , uma 9un$%o n%o nula )ue satis9a$a, para todo x e > reais, a rela$%o 2'( x) 9 ( x) = sen , a≠ 0 a ent%o podemos 'arantir )ueB a 9 F peridica com perSodo π×a b para a = n /n natural, temos: 9 ( n) = 2sen'( 1) c Ae '( 1) ≠ 0 , ent%o '( 1) = '( 0) d Ae '( ) = π×a, ent%o F o perSodo de 9 e Ae '( ) = 2π , ent%o F o perSodo de 9
%&'estão ,# /11 Ae R denota o conjunto dos números reais e ( a,b) o inter8alo
π
aberto { x∈ R : a< x < b} seja 9 : 0, ÷ → R de&nida por 9 ( x) = sec2 x + cossec2 x 2 a π Ae α∈ 0, ÷ tal )ue t'α = , ent%o 9 ( α ) F i'ual a: b 2
a+ b 2 1 2 2 a +b b 2 a2 − b2 c a×b 2 a + b2 d a×b e n6d6a a
x π %&'estão ,1 /12 ! 9un$%o 9 : 0, → [ 0,1] de&nida por: 9 ( x) = 1+ t'x ×t' ÷ ×cosx F 2 uma 9un$%o: a constante b sobrejetora e Smpar c injetora e Smpar d injetora e par e sobrejetora e par
%&'estão ," /12 Considere o sistema 2x − 1= 3×sen x − 2 = cosθ
π
para x e θ reais6 Ae restrin'irmos θ ao inter8alo 0, , ent%o: 2 a o sistema n%o possuir* solu$%o b o sistema possuir* apenas uma solu$%o ( x1, θ1) c o sistema possuir* duas solu$Hes ( x1, θ1) e ( x2 , θ2 ) , de modo )ue x1 + x2 =
0 13
1J 12 1 e o sistema possuir* duas solu$Hes ( x1, θ1) e ( x2 , θ2 ) , de modo )ue cosθ1 ×cos θ2 = 2 d o sistema possuir* duas solu$Hes ( x1, θ1) e ( x2 , θ2 ) , de modo )ue senθ1 + senθ2 =
%&'estão ,) /13 4adas as 9un$Hes 9 ( x2 ) = lo'2x x e '( x) = 2sen2x − 3senx + 1 de&nidas 1 para x > 0 e x ≠ , o conjunto: 2 2 @ @ a ! = , , 2 @ @ b ! = , , c ! = { 2 , @ , @ } 22 @2 @ d ! = , , 2 @ @ e ! = 2 , , 2 π
π
−π
−π
π
π
−π
−π
−π
−π
π
− π
π
− π
− π
π
π
π
−π
−π
− π
π
π
−π
−π
π
− π
%&'estão ,* /13 4ado o polinTmio # de&nido por #( x) = senθ − t'θ×x +( sec2 θ) ×x2 , os 8alores de θ no inter8alo [ 0, 2π] tais )ue # admita somente raS(es reais s%o: a 0 ≤ θ ≤
π 2
b
π 2
< θ < π ou π < θ <
c π ≤ θ < d 0 ≤ θ ≤
3π 2
3π 3π ou < θ ≤ 2π 2 2
π
3 π 3π e ≤ θ < 2 2
%&'estão ,5 /13 A solu$%o da e)ua$%o: x π = arct'x + arct' x+ 1 4e&nida no conjunto dos reais di9erentes de −1 F: a 1 1 b 2 1 c e 1 2 d 2 e 2 e 1 %&'estão ,+ /13 4ados !, " e C 5n'ulos internos de um tri5n'ulo, tais )ue π , π ∪ π , 2 π 2"+ C ≠ π e α∈ ÷ ÷ , o sistema: 3 3 3 α − C sen! + sen" = sen 2 ÷ − cos! + cos"= cos α − C÷ 2 admite como solu$%o:
α
a ! = π − , " = 2
α
α 2π 2π − e C= 2
α
3
3
b ! = π − , "= e C = 0 2 2 α π α 2π c ! = , " = e C = − 3 2 3 2 2π α α 2π e C= − d ! = π − , "= 2 3 2 3 e ! = π, " =
α
2
e C= −
α
2
π
%&'estão ,, /13 Aeja a um número real tal )ue a ≠ + E× , onde E∈ - 6 Ae ( x0 , >0 ) 2 F solu$%o do sistema ( 2seca) x + ( 3t'a) > = 2cosa ( 2t'a) x + ( 3sec) > = 0 a x0 + >0 = 3− 2sena 2 3 b x0÷ − >02 = cos2 a+ 2 2 c x0 − >0 = 0 d x0 + >0 = 0 2 3 e x0÷ − >20 = cos2 a 2
%&'estão , /1 Aendo ( = cosarct'( a2 + b2 ) + arccot'( a2 + b2 ) , podemos a&rmar )ue: a ( = 0 b ( = 1 c ( = 3 2 d ( = cos( a2 + b2 ) , se a2 + b2 ≤ 1 e impossS8el determinar o 8alor de ( %&'estão ,9 /1@ Aeja a∈ R , 0 < a< 1 e 9 a 9un$%o real de 8ari*8el real de&nida por:
(a
x2
9 ( x) =
1 2 2
−a )
cos2πx + cosπx + 3
a ( −∞ , − 2) ∩ - ⊂ ! b ! = 2, − 2 ∩ c ( 2, − 2) ⊂ ! d { x∈ R/Ux∉ - e x ≥ 2} ⊂ ! e ! ⊂ 2, − 2
π
%&'estão # /1@ .s 8alores de x ≠ + E× , E∈ - e de n∈ N para os )uais a 2 i'ualdade n n ∑i 1 i÷ ×( secx −ta'x) n i ×( secx −1ta'x) i =( secx2 − ta'x) n se 8eri&ca s%o: −
=
π π
a ∀x∈ R, x∈ − , ÷ e n = 2 2 π
b ∀x∈ R, x ≠ + E ×π, E ∈- e ∀n ∈N 2
π
π
c ∀x∈ R, x ≠ + E× π, x ≠ +E × π, E ∈- e n =@ 2
π
d ∀x∈ R, x ≠ + E×π, E ∈- e n = 2 e n%o existe n∈ N tal )ue a i'ualdade seja 8erdadeira
n Nota: ÷ = combina$%o de n elementos tomados i a i i %&'estão 1 /1@ Aeja E uma constante real e considere a e)ua$%o em x 1+ x2 = E , sendo x ≠ 0 arcsen 2x nt%o podemos a&rmar )ue: a #ara cada E∈ R , a e)ua$%o admite uma única solu$%o b #ara cada E∈ R , a e)ua$%o admite duas solu$Hes c #ara cada E∈ R , a e)ua$%o admite uma in&nidade de solu$Hes d N%o existe E∈ R , tal )ue a e)ua$%o admita solu$%o e xiste E∈ - , tal )ue a e)ua$%o admite uma única solu$%o %&'estão " /1@ Aeja x∈ R , e ! a matri( de&nida por
π x 1+ senx sen + 2÷ != π x 1 − cos 2÷ 2 Ae A F o conjunto dos x tais )ue ! F uma matri( in8ersS8el, ent%o podemos a&rmar )ue: a A F 8a(io E ×π, E∈ - b A = 2 c A = [ 0,2π] d A = { E× π, E ∈-}
π π
e A = − , 2 2 %&'estão ) /1J Aeja N o número de solu$Hes reais da e)ua$%o senx = 2+ 3×i nt%o, temos: a N > 0 b N = (ero c N = 2 d N = 1 e N > 2 ou N< 10 %&'estão * /1J . número de raS(es reais da e)ua$%o sen2x + senx + sen@x + senx+ sen10x = F: a um número maior do )ue 12 b (ero c 2 d 10 e 1 %&'estão 5 /1J . 8alor de x > 0 )ue satis9a( a e)ua$%o
π
F: a b c d e
x = t' 12 x= 3 x = − 3 x = J− 3 x = J − 3 x = − 3
%&'estão + /1J Ae cos x − senx = a≠ 0 , ent%o cosx 8ale: a 2a b a c a d (ero e a+
%&'estão , /1J Aeja a um número real n%o nulo, satis9a(endo −1≤ a≤ 16 Ae dois 1 5n'ulos de um tri5n'ulo s%o dados por arcsena e arcsec , ent%o o seno tri'onomFtrico a do terceiro 5n'ulo desse tri5n'ulo F i'ual a: 1 a 2 1 b 3 c 3 2 d 1 e 2 2 %&'estão /1J Aupona x e > números reais, tais )ue: t'( x − >) = 3 ( t'x) ×( t'>) =1 Calcule o mdulo do número A = t'x + t'> %&'estão 9 /1 Aejam as matri(es
sen π cos π sec 2π cos2 π 2 != e "= 2 π t'π sen cosπ cot' π 2
Ae a = det! e b = det" ent%o o número complexo a+ b ×i tem mdulo i'ual a: a 1 2π 2π b sen + cos c d 2 2 e 0
%&'estão 9# /1 ! per'unta Vxiste x real tal )ue os números ex , 1+ ex , 1− ex s%o as tan'entes dos 5n'ulos internos de um tri5n'uloW admite a se'uinte resposta: a N%o existe x real nestas condi$Hes b odos x real, x ≥ 1, satis9a( estas condi$Hes c odos x real, x ≤ −1, satis9a( estas condi$Hes d odos x real, −1< x < , satis9a( estas condi$Hes e !penas x inteiro par satis9a( estas condi$Hes %&'estão 91 /1 . conjunto ima'em da 9un$%o 9 :[ 0,1] → [ 0, π ] de&nida por 3x − 1 9 ( x) = arccos 2 F: π 2π a 0, , 3 b [ 0, π] π 3π c , 2π d 0, 3
π
e 0, 2 %&'estão 9" /1 Aobre a e)ua$%o t'x + cot'x = 2×sen@x podemos a&rmar:
a !presenta uma rai( no inter8alo 0 < x <
π
b !presenta duas raS(es no inter8alo 0 < x < c !presenta uma rai( no inter8alo
π 2
π 2
< x< π
d !presenta uma rai( no inter8alo π < x < e N%o apresenta raS(es reais
3π 2
%&'estão 9) /1 Aeja a e)ua$%o 1 sen3x×cosx −senx ×cos3 x = m onde m F um número real n%o nulo6 #odemos a&rmar )ue: a ! e)ua$%o admite solu$%o )ual)uer )ue seja m, m≠ 0 b Ae m < esta e)ua$%o n%o apresenta solu$%o real c Ae m> 1 esta e)ua$%o n%o apresenta solu$%o real d Ae m > 2 esta e)ua$%o sempre apresenta solu$%o real e Ae m< esta e)ua$%o n%o apresenta solu$%o real
%&'estão 9* /1 ! respeito da solu$%o da e)ua$%o senx + 3cosx = 2, 0 ≤ x ≤ 2π podemos a&rmar )ue: a xiste apenas uma solu$%o no primeiro )uadrante b xiste apenas uma solu$%o no se'undo terceiro )uadrante c xiste apenas uma solu$%o no terceiro )uadrante d xiste apenas uma solu$%o no )uarto )uadrante e xistem duas solu$Hes no inter8alo 0 ≤ x < 2π
π %&'estão 95 /1 .s 8alores de α , 0 < α < π e α ≠ , para os )uais a 9un$%o 2 9 : R → R dada por 9 ( x) = x2 − x − t'2α assume seu 8alor mSnimo i'ual a − , s%o: π 3π a e π 2π b e π 2π c e 3 3 π 2π d e J J 2π 3π e e
%&'estão 9+ /1 Considerando )ue a ima'em da 9un$%o arcsen F o inter8alo 1+ x×i − π , π 2 2 e i = −1, podemos 'arantir )ue arcsen 1− x×i est* de&nida:
a apenas para x = 0 e 8ale b para todo x∈ R e 8ale
π
π 2
2 c apenas para x∈ R tal )ue x < 1 e seu 8alor depende do 8alor de x d apenas para x∈ R tal )ue x ≥ 1 e seu 8alor depende do 8alor de x e apenas para x∈ R tal )ue x ≤ −1 e seu 8alor depende do 8alor de x
π
π
%&'estão 9, /1 Ae t'( 2!) = , ent%o t' + !÷ − t' − !÷ F i'ual a: 0 a − 21 b −2 c d e 10 m
%&'estão 9 /1 scre8a o desen8ol8imento do binTmio ( t'3x − cossec@ x) , onde m F um número inteiro maior )ue (ero, em termos de potXncias inteiras de senx e cosx 6 #ara determinados 8alores do expoente, este desen8ol8imento possuir* uma parcela #, )ue n%o conter* a 9un$%o senx 6 Aeja m o menor 8alor para o )ual isso @ ocorre6 nt%o # = − )uando x 9or i'ual a:
π
a x = + 2E × π,E inteiro 3
π
b x = ± + E ×π,E inteiro 3
π
c x = + E× π,E inteiro
π
d x = ± + 2E× π,E inteiro @ e N%o existe x satis9a(endo a i'ualdade desejada
%&'estão 99 /1 Aabendo s%o reais, tais )ue x + > = matri(
F ou n%o in8ersS8el6
3π , 8eri&)ue a
2t'x 1+ t'x 1+ t'> t'>
%&'estão 1## /10 . conjunto das solu$Hes reais da e)ua$%o ln( sen2x) = ln( sen2x) F dado por:
π
a x∈ R:: x = + E ×π, E ∈- 2 π
b x∈ R:: x = π + E× , E ∈- 2 c { x∈ R:: x = 2E ×π, E ∈-} d { x∈ R:: − 1< x< 1} e { x∈ R:: x ≥ 0}
π %&'estão 1#1 /10 Aejam os números reais α e x onde 0 < α < e x ≠ 06 Ae no 2 3 1 desen8ol8imento de ( cosα ) x + ( senα ) o termo independente de x 8ale , ent%o o x÷ 8alor de α F: a b c d
π @
π
3
π
12
π
e n6d6a
%&'estão 1#" /10 Aejam a e b constantes reais positi8as6 Considere x = a2t't + 1 e
π
>2 = b2 sec2 t − b2 onde 0 ≤ t < 6 nt%o uma rela$%o entre 0 e F dada por: 2 b 2 a > = ( x − 1) , x ≥ a a b2 b > = ( x − 1) 2 , x ≥ 1 a b 2 c > = 2 ( x − 1) , ∀x∈ R a b 2 d > = − 2 ( x − 1) , x ≥ 1 a 2 b 2 e > = ( x − 1) , x ≤ 1 a
%&'estão 1#) /10 Aabendo 0 b ! F in8ersS8el apenas para x = 0 c ! F in8ersS8el para )ual)uer x d ! F in8ersS8el apenas para x da 9orma ( 2E + 1) × , E inteiro e ! F in8ersS8el apenas para x da 9orma 2E × , E inteiro
%&'estão 1#5 /11 Ae a∈ R com a > 0 e arcsen ent%o o 8alor de
t' arcsen F:
a− 1 est* no primeiro )uadrante, a+ 1
a− 1 1 + arct' a+ 1 2 a
a+ 1 2 a b a a 3a+ 1 2a a c 3a+ 1 2a d 3a+ 1 e n6d6a a
%&'estão 1#+ /11 Aejam a e b constantes reais positi8as6 #ara )ue a e)ua$%o cos3 x + ( a− 1) cos2 x − ( a− b) cosx+ b = 0
π
tena duas raS(es reais distintas no inter8alo 0, de8emos ter: 2 a 0 < b < a− 1 b 0 < b < a+ 1 c 0 < b < a+ 2 d a+ 1< b < a+ 2 e n6d6a 1 lo'2 %&'estão 1#, /12 Aeja α = × 6 . conjunto solu$%o da desi'ualdade 2 lo'2 − lo'3 2 2senx ≤ no inter8alo [ 0, 2π ) F: ÷ 3 π 2π , 2 π a 0, ∪ ÷ 3 3 Jπ 11π , 2 π b 0, ∪ ÷ @ @ π π , 2 π c 0, ∪ ÷ 3 3 π π ,2 π d 0, ∪ ÷ @ @ e n6d6a α
%&'estão 1# /12 Aabendo s%o 5n'ulos do primeiro )uadrante tais 1− t'2α x > α = − = = cosx cos> + sen2α , temos: )ue e , ent%o se e = 2 @ 1+ t' α 2 a α est* no o )uadrante e = 3 2 b α est* no 1o )uadrante e = 3 c α est* no 1o )uadrante e = 2 + 11 3 10 d α est* no o )uadrante e = 2 − 11 3 10 e n6d6a
%&'estão 1#9 /13 . conjunto das solu$Hes da e)ua$%o senx= cos3x contFm o se'uinte conjunto:
π + E π , E∈ - 1@ π + E π , E∈ - 1@ 3 π + E π , E∈ - 3 π + E π , E∈ - 2 π + 2Eπ, E∈ -
a b c d e
%&'estão 11# /1 ! express%o tri'onomFtrica 1 t'2x − 2 2 2 2 ( cos x − sen x) ( 1− t'2x)
π
π
para x∈ 0, , x ≠ F i'ual a: 2 a sen( 2x) b cos( 2x) c 1 d 0 e sec( x) %&'estão 111 /1 ! express%o a sec
θ 2
b cosec c cot' d t'
θ
θ
senθ , 0 < θ < π , F idXntica a: 1+ cosθ
θ 2
2
2
e cos
θ
2
%&'estão 11" /1 Dm dispositi8o colocado no solo a uma dist5ncia d de uma torre dispara dois projFteis em trajetrias retilSneas6 . primeiro, lan$ado sob um
π
5n'ulo θ∈ 0, ÷ , atin'e a torre a uma altura 6 Ae o se'undo, disparado sob um 5n'ulo 2θ , antin'e
π π
%&'estão 11) /1@ Aeja a∈ − , um número real dado6 ! solu$%o ( x0 , >0 ) do sistema de e)ua$Hes ( sena) x − ( cosa) > = − t'a ( cosa) x + ( sena) > = −1 F tal )ue: a x0 ×>0 =t'a b x0 ×>0 = −seca c x0 ×>0 =0 d x0 ×>0 =sen2a e x0 ×>0 =sena %&'estão 11) /1@ Aeja α um número real tal )ue α > 2( 1+ 2) e considere a e)ua$%o x2 − αx + α + 1= 0 6 Aabendo )ue as raS(es reais dessa e)ua$%o s%o as cotan'entes de dois 5n'ulos internos de um tri5n'ulo, ent%o o terceiro 5n'ulo interno desse tri5n'ulo 8ale: a 30o b o c @0o d 13o e 120o
π
%&'estão 11* /1@ Aeja α∈ 0, , tal )ue 2 senα + cosα = m nt%o, o 8alor de > =
sen2α ser*: sen α + cos3 α 3
2( m2 − 1) a m( − m2 ) 2( m2 + 1) b m( + m2 ) 2( m2 − 1) c m( 3− m2 ) 2( m2 − 1) d m( 3+ m2 ) 2( m2 + 1) e m( 3− m2 )
%&'estão 115 /1J m um tri5n'ulo !"C, sabe
%&'estão 11+ /1 Aeja 9 : R → R a 9un$%o de&nida por 9 ( x) = 2sen2x − cos2x 6 nt%o: a 9 F Smpar e peridica de perSodo π b 9 F par e peridica de perSodo
π
2 c 9 n%o F par nem Smpar e F peridica de perSodo π d 9 n%o F par e F peridica de perSodo e 9 n%o F Smpar e n%o F peridica
π
%&'estão 11, /1 . 8alor de × @ x t' + 2x sec × x sec − 10 x t'10x − t'x×sec2 x +10t'@ ×sec x −10t'x sec
π
para todo x∈ 0, , F: 2 a 1 − sec2 x b 1+ sen2x c − secx + t'x d −1 e (ero %&'estão 11 /1 ! soma das raS(es da e)ua$%o 3t'x − 3sen2x + cos2x = 0 )ue pertencem ao inter8alo [ 0, 2π] , F: 1Jπ a 1@π b 3 1π c 1π d 3 13π e 1 π %&'estão 119 /1 Ae x∈ 0, F tal )ue t'x = + , ent%o o 8alor de cos x 2 sen2x+ cosx F: a 1 b 1 c 3 1 d 2 e 1
π
%&'estão 1"# /1 Aeja a∈ R com 0 < a< 6 ! express%o 2 3π 3π − a ×sen π − a ÷ ÷ sen + a÷ + sen 2 F idXntica a: 2cot'2a a 1+ cot'2a 2cot'a b 1+ cot'2a 2 c 1+ cot'2a 1+ 3cot'a d 2 1+ 2cot'a e 1+ cot'a %&'estão 1"1 /1 ! soma de todos os 8alores de a∈[ 0, 2π[ )ue tornam o sistema
x + > + ( = 0 xsena+ >cosa+ (( 2sena+ cosa) = 0 2 2 2 xsen a+ >cos a+ (( 1+ 3sen a+ 2sen2a) = 0
possS8el e indeterminado F: a π b π c 3π d 2π e π
%&'estão 1"" /2000 Aejam 9, ' : R → R de&nidas por 9/x = x3 e '/x = 103cosx 6 #odemos a&rmar )ue: a 9 F injetora e par e ' F Smpar b ' F sobrejetora e ' o 9 F par c 9 F bijetora e ' o 9 F Smpar d ' F par e ' o 9 F Smpar e 9 F Smpar e ' o 9 F par %&'estão 1"" /2000 Considere 9 : R → R de&nida por x − π 9 ( x) = 2sen3x − cos ÷ 2 Aobre 9 podemos a&rmar )ue: a F uma 9un$%o par b F uma 9un$%o Smpar e peridica de perSodo 9undamental π π c F uma 9un$%o Smpar e peridica de perSodo 9undamental 3 d F uma 9un$%o peridica de perSodo 9undamental 2π e n%o F par, n%o F Smpar e n%o F peridica
%&'estão 1") /2000 Num tri5n'ulo acut5n'ulo !"C, o lado oposto ao 5n'ulo ! mede cm6 Aabendo )ue 2 3 ! = arccos e C = arcsen ent%o a *rea do tri5n'ulo !"C F i'ual a: a cm2 2 b 12cm2 c 1 cm2 d 2 cm2 2 2 cm e 2
π
%&'estão 1"* /2000 #ara x no inter8alo 0, , o conjunto de todas as solu$Hes da 2 ine)ua$%o F o inter8alo a b c d e
π 10
π
12
π
@
π
π
< x< < x<
< x< < x< < x<
π sen( 2x) − sen 3x − >0 2÷
π 2
π
π
3
π
2
π
3
%&'estão 1"5 /2001 Aendo α e β os 5n'ulos a'udos de um trian'ulo ret5n'ulo, e sabendo )ue sen22β − 2cos2β = 0, ent%o senα F i'ual a: a 2 2 2 b 2 c 2 d 2 (ero e %&'estão 1"+ /2002 Aejam 9 e ' duas 9un$Hes de&nidas por 3sen x 1 3senx 1 1 9 ( x) = ( 2) e '( x) = ÷ , x∈ R 6 2 ! soma do 8alor mSnimo de 9 com o 8alor mSnimo de ' F i'ual a: a 0 1 b − 1 c 1 d 2 2
−
−
e 1
%&'estão 1", /2002 Aeja 9 : R → #( R) dada por 9 ( x) = { >∈ R2B sen>Zx} 6 Ae ! F tal )ue 9 ( x) = R, ∀x ∈ ! , ent%o: a ! = [ −1,1] b ! = [ a, ∞ ) , ∀ a> 1 c ! = [ a, ∞ ) , ∀ a≥ 1 d ! = [ a, ∞ ) , ∀a < −1 e ! = ( a, ∞ ] , ∀a ≤ −1 %&'estão 1" /2002 Ae x, > e x s%o os 5n'ulos internos de um tri5n'ulo !"C e sen> + sen( senx = , pro8e )ue o tri5n'ulo !"C F ret5n'ulo6 cos> + cos( 2
%&'estão 1"9 /2003 #ara todo x∈ R , a express%o cos( 2x) × sen( 2x ) a: a 2 sen( 2x) + sen( x) + sen( Jx) b 2 2senx + sen( Jx) − sen( x) c 2 −sen( 2x) − sen( 3x) + sen( Jx) d 2 −senx + 2sen( 3x) + sen( x) e 2 senx + sen( 3x) + sen( x)
2
×senx F i'ual
−
−
−
−
−
%&'estão 1"9 /2003 Considere os contradomSnios das 9un$Hes arco
π π
cosseno como sendo − , e [ 0, π] , respecti8amente6 Co respeito O 9un$%o 2 2 π 3π 9 :[ −1,1] → − , , 9 ( x) = arcsenx+ arccosx 2 2 temos )ue: a 9 F n%o
%&'estão 1"9 /2003 ncontre todos os 8alores de a∈ − , para os )uais a 2 2 e)ua$%o na 8ari*8el real x, ex ex arct' 2 − 1+ ÷ + arct' 2 − 1− ÷ = a 2 2 !dmite solu$%o6 p p %&'estão 1)# /200 Considerando as 9un$Hes arcsen:[ −1, + 1] → − , e 2 2 3 arcsen:[ −1, + 1] → [ 0,p] , assinale o 8alor de cos arcsen + arccos : ÷ @ J 1 2 a b c d e 2 2 3 12
π π
%&'estão 1)1 /200 . conjunto de todos os 8alores de α , α∈ − , , tais )ue as 2 2 solu$Hes da e)ua$%o /em x x − x2 + t'α = 0 s%o todos reais, F: π
a − , 0 3 π π
b − , π π
c − , @ @ π
d 0, 3 π π
e , 12 3
%&'estão 1)" /200 #ro8e )ue, se os 5n'ulos internos α , β e γ de um tri5n'ulo satis9a(em a e)ua$%o sen( 3α ) + sen( 3β ) + sen( 3γ ) nt%o, pelos menos, um dos trXs 5n'ulos α , β ou γ F i'ual a @0o 6 %&'estão 1)) /200 . inter8alo ⊂ R )ue contFm todas as solu$Hes da ine)ua$%o 1+ x 1− x π arctan + arctan ≥ 2 2 @ F: a [ −1, ] b [ −3,1] c [ −2, 3] d [ 0, ] e [ , @] %&'estão 1)* /200 .btena todos os pares ( x, >) , com x, >∈[ 0, 2π] , tais )ue 1 sen( x + >) + sen( x − >) = 2 senx + sen> = 1
π
de&nida por 9 ( x) = JJ ×sen x + ÷ e seja @ " = { x∈ R: 9 ( x) = 0} 6 Ae m F o maior elemento de "∩ ( −∞ , 0) e n F o menor elemento de "∩ ( 0, + ∞ ) , ent%o m+ n F i'ual a: 2π a 1 %&'estão 1)5 /200@ Aeja 9 : R
b
π
1
c − d −
π
30
π
1 2π e − 1
→ R
%&'estão 1)+ /200@ . conjunto solu$%o de ( t'2x − 1) ( 1− cot'2x) = , x ≠
E× π ,E∈ - , F: 2
π E× π,E∈ - a + 3 π E×π,E∈ - b + π E × π,E∈ - c + @ π E×π,E∈ - d + π E× π,E∈ - e + 12 π π
%&'estão 1), /200@ 4etermine para )uais 8alores de x∈ − , ÷ 8ale a 2 2 desi'ualdade lo'cosx ( sen2x − 1) − lo'cosx ( − sec2 x) > 2 π
%&'estão 1) /200J Aeja x um número real no inter8alo 0 < x < 6 !ssinale a op$%o 2 )ue indica o comprimento do menor inter8alo )ue contFm todas as solu$Hes da desi'ualdade 1 π x 1 t' − x÷ − 3 cos2 − ÷ sec( x) ≥ 0 2 2 2 2 a b c d e
π
2
π
3
π
π
@
π
12
π π
%&'estão 1)9 /200 Aendo − , o contradomSnio da 9un$%o arcoseno e [ 0, π] o 2 2 3 contradomSnio da 9un$%o arcocosseno cos arcsen + arccos ÷ , assinale o 8alor de: 1 a 12 J b 2 c 1 1 d 1 1 e 2
%&'estão 1*# /200 . conjunto ima'em e o perSodo de 9 ( x) = 2sen23x + sen( @x) − 1 s%o, respecti8amente, a [ −3,3] e 2π 2π b [ −2,2] e 3
π c − 2, 2 e 3 d [ −1, 3] e
π
3 2π e [ −1, 3] e 3
%&'estão 1*1 /200 ! soma de todas as solu$Hes distintas da e)ua$%o cos3x + 2cos@x + cosx = 0 )ue est%o no inter8alo 0 ≤ x ≤ 2π , F i'ual a: a 2π 23 b π 12 c π @ J d π @ 13 e π 12
π π
%&'estão 1*" /200 4etermine todos os 8alores de α∈ − , tais )ue a e)ua$%o 2 2 /em x x − 2 3x2 + t'α = 0 admita apenas raS(es reais simples6 %&'estão 1*) /200 Considere o tri5n'ulo !"C de lados a = "C,b = !C e c = !" e 6 β = !"C e γ = "C! 5n'ulos α = C!", Aabendo
