TRIGONOMÉTRIE RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE 1. Rappels sur les angles angl es associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
p cos æç + x ö÷ = -sin x è2 ø p sin æç + x ö÷ = cos x è2 ø
p cos æç - x ö÷ = sin x è2 ø p sin æç - x ö÷ = cos x è2 ø
p - x 2
p + x 2
cos(p – x) = –cos x sin(p – x) = sin x
p– x
x
cos(p + x) = –cos x sin(p + x) = –sin x
p+ x
– x
cos(– x) = cos x sin(– x) = –sin x
Démonstration : Les relations cos( - x) = cos x et sin(- x) = -sin x s'obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l'axe des abscisses. (On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire).
Montrons les relations :
é0 ; - p ù êë 2 úû p et sin æç - x ö÷ = cos x è2 ø
x Î
Supposons tout d'abord que x est un angle aigu :
p cos æç - x ö÷ = sin x è2 ø
(Les autres se démontrent de manière analogue)
Notons I , J , M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0,
p , x et p - x radians 2 2
respectivement. Notons H (resp. K ) le projeté orthogonal de M (resp. N ) sur l'axe des abscisses (resp. ordonnées). D'après la relation de Chasles sur les angles :
(
uur uuu r
)=
OI , OJ
(
uur uuur
) (
uuur uuur
) [2p]
OI , ON + ON , OJ
uuur uuu r p p = - x + ( ON , OJ ) [2p] 2 2 uuur uuur (ON , OJ ) = x [2p]
(On pouvait s'en douter vu la symétrie de la figure et la présence de triangles isométriques)
J N
K
1 M
1
x
x O Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
H Page
1
I G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Les coordonnées coordonnées du point M sont :
M ( cos x
æ è
Celles du point N sont :
; sin x )
æ p - x ö ; sin æ p - x ö ö ÷ ç 2 ÷÷ è2 ø è øø
N ç cos ç
Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et :
p p cos æç - x ö÷ = KN et sin æç - x ö÷ = OK è2 ø è2 ø Mais par ailleurs, d'après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K , on a : cos x = OK et sin x = KN
p p cos æç - x ö÷ = sin x et sin æç - x ö÷ = cos x è2 ø è2 ø Les autres relations se démontrent de manière analogue.
D'où les relations :
Si x n'est pas un angle aigu, on se ramène à ce cas par changement de variable.
p Par exemple, si x apparti appartient ent à éê - ; 0ùú , on pose y = - x. ë 2 û Comme y est maintenant un angle aigu, on a par exemple, en utilisant ce qui précède : p p cos æç - y ö÷ = sin y et cos æç + y ö÷ = -sin y è2 ø è2 ø p æp ö cos æç + x ö÷ = sin(- x) = -sin( x x) et cos ç - x ÷ = -sin(- x) = sin x è2 ø è2 ø p 3p De même, si x appartient à éê ; ùú , alors on pose y = p - x et on utilise les formules précédentes. ë2 2 û C'est-à-dire :
2. Le point de départ de toutes les formules de trigonométrie
Étudions la quantité cos(a – b) où a et b sont deux nombres réels. ®
r r
®
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), con consi sidé déron ronss deux deux vec vecte teurs urs u et v unitaires, tels que : ® ®
® ®
( i , u ) = a et ( i , v ) = b Une première expression du produit scalaire donne : ® ®
u.v
® ®
®
= cos( u , v ) ( u et
®
j
®
v
®
v
®
u
sont des vecteurs unitaires) b–a b
En outre, d'après la relation de Chasles, on a :
a ®
® ®
® ®
® ®
O
(u,v )=(u, i )+( i ,v )=b–a ® ®
donc u . v = cos(b – a) = cos(a – b) car la fonction cosinus est paire. D'autre part, d'après la définition du cosinus et du sinus, on a : ®
u
® cosb cos a et v sin a sin b
D'après l'expression du produit scalaire avec les coordonnées ( xx' xx' + yy' ), ), on obtient alors : ® ®
u.v
= cos a cos b + sin a sin b
Ce qui nous donne une première formule de trigonométrie : a – b) cos ( a Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
cos a cos b + sin a sin b Page
2
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
i
Autre méthode n'utilisant pas le produit scalaire : Étudions cette fois-ci la quantité cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels.
J
A'
M
A b a
I
O
Toujours dans un repère orthonormé (O ; I , J ), ), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, puis sur ce uur uuur
uuur uuu uuuu ur
uuur uuur
cercle, le point A tel que ( OI , OA) = a, le point M tel que ( OA, OM ) = b et le point A' tel que ( OA, OA¢ ) =
p . 2
D'après la relation de Chasles pour les angles, on a :
(
uur uuuur
)=
OI , OM
(
uur uuur
OI , OA
uuuu uuuur
)+
(
uuur uuu uuuu ur
)=a+b
[2p]
OA, OM
uur
uuur
OM = cos(a + b) OI + sin(a + b) OJ
Donc :
Mais en se plaçant maintenant dans le repère orthonormé (O ; A, A' ), ), on a : uuuu uuuur
uuu r
uuur
OM = cos(b) OA + sin(b) OA¢ uuu r
uuur
Et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA et OA¢ dans le repère (O ; I , J ), ), on a : uuu r
uur
uuur
OA = cos(a) OI + sin(a) OJ
uuur uur uur uuur p p et OA¢ = cos æç + a ö÷ OI + sin æç + a ö÷ c= -sin(a) OI + cos(a) OJ è2 ø è2 ø
Finalement, cela donne : uuuu uuuur
uur
uuur
OM = cos(b) cos(a) OI + cos(b) sin(a) OJ uuuu uuuur
- sin(b) sin(a)
uur
uuur
OI + sin(b) cos(a) OJ
uur
uuur
OM = [cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)] OI + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)] OJ
Et par unicité des coordonnées d'un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
Page
3
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
3. Formules de trigonométrie
Formules d'addition cos( a – b)
cos a cos b + sin a sin b
cos( a + b)
cos a cos b – sin a sin b
a – b) sin ( a
sin a cos b – cos a sin b
a + b) sin ( a
sin a cos b + cos a sin b
Formules de duplication cos(2 a)
Info : ce qui est noté
cos2 a – sin2 a
sin(2 a)
2 sin a cos a
cos2 a désigne (cos a)2.
Formules Formules de linéarisation cos2 a
1 + cos(2 a)
sin2 a
2
1 - cos(2 a ) 2
Démonstrations Formules d'addition
On en a déjà démontré trois plus haut. Néanmoins, une seule suffit à retrouver les autres, montrons comment. Partons de cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
· En remplaçant b par –b, il vient : cos(a + b) = cos a cos (–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b. p · En remplaçant b par – b, il vient : 2 æ p ö p p p cos ç a - æç - b ö÷ ÷ = cos æç - (a + b) ö÷ = cos a cos æç - b ö÷ + sin a sin æç - b ö÷ è2 ø è2 ø è2 ø è è 2 øø Ce qui donne (voir les rappels) : sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b
· En remplaçant b par –b dans cette dernière formule, il vient : sin(a – b) = sin a cos(–b) + cos a sin(–b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2 a – sin2 a sin(2a) = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a. Formules Formules de linéarisation
Rappelons ici une formule fondamentale : (conséquence du théorème de Pythagore) cos2 x + sin2 x = 1 quelque soit le réel x Donc cos(2a) = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 cos2 a – 1, d'où : cos2 a =
1 + cos(2a ) 2
De même cos(2a) = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2sin 2 a, d'où sin 2 a =
1 - cos( 2a) 2
Curiosité : cos4 x - sin4 x = (cos2 x - sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = cos2 x - sin2 x = cos(2 x)
Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
Page
4
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Applications classiques : calcul des valeurs exactes du cosinus et du sinus de
p p et de : 8 12
En utilisant les formules de linéarisation :
p 2 1+ 1 + cos p 4= 2 = 2 + 2 , et comme cos p > 0, il vient : cos p = cos2 = 8 2 2 4 8 8
2+ 2 2
p 2 14 = 2 = 2 - 2 , et comme sin p > 0, il vient : sin p = 2 2 4 8 8
2- 2 2
sin2
p = 8
1 - cos
D'où :
tan
p = 8
2- 2 2+ 2
2
22+
Or :
(2 - 2 ) = 6 - 4 2 = 3 - 2 2 = 4-2 2 (2 - 2 )( 2 + 2 )
D'où :
tan
2 = 1 - 2 2 + 2 = (1 - 2 )2
p = |1 - 2 | = 2 - 1 8
En utilisant les formules d'addition :
D'où :
cos
p p p p p p 2 3 2 p 1 = cos æç - ö÷ = cos cos + sin sin = ´ ´ = + 4 12 3 4 3 2 2 2 2 è3 4ø
6+ 2 2
sin
p p p p p p p 3 2 1 2 = sin æç - ö÷ = sin cos – cos sin = ´ = – ´ 12 3 4 3 4 2 2 2 2 è3 4ø
6- 2 2
tan
6- 2 = 6+ 2
p = 12
Remarque : on peut retrouver tan
( (
6 - 2)
2
6 + 2 )( 6 - 2 )
=
8 - 2 12 =2- 3 6-2
p p 1 - cos( 2 x) et tan avec la relation : tan x = pour x Î ùú 0 ; 8 12 sin(2 x) û
pé . 2 êë
4. Relations métriques dans le triangle quelconque
Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC . S désigne son aire, a, b et c désignent le côtés opposés à A, B et C respectivement. On notera (par abus) cos A au lieu de cos A etc . ¶
On a alors les trois relations fondamentales suivantes : A
Formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A Formule de l'aire du triangle : S = Formule des sinus :
a
sin A
=
b
sin B
Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
1 bc sin A 2
=
b
c S
c
sin C
B
Page
5
a
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
C
Démonstrations : Formule d'Al-Kashi
À l'aide du produit scalaire, c'est immédiat :
®
a2 = BC 2
® ® ® ® ® ® = ( BA + AC )2 = ( AC – AB )2 = AC 2 + AB2 – 2 AC . AB = b2 + c2 – 2bc cos A
Variante : on peut faire une démonstration différente en utilisant le théorème de Pythagore : Notons H et K les pieds des hauteurs issues de B et C respectivement. Notons h = BH , k = CK , x = AH et y = AK . Cas d'un triangle ABC acutangle
Dans le triangle AHB rectangle en H , on a :
x = c cos q A
Dans le triangle AKC rectangle en C , on a :
y = b cos q A bx + cy = 2bc cos q A
D'où :
(S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2
= k 2 + (c - y)2 = b2 - y2 + (c - y)2 = b2 + c2 - 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : a2
= h2 + (b - x)2 = c2 - x2 + (b - x)2 = c2 + b2 - 2bx
En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 - 2(bx + cy) 2
a
= b2 + c2 - (bx + cy)
a2 = b2
Et tenant compte de ( S) :
+ c2 - 2bc cos q A
A
q A y K
x
c b k H h
B
C
a
Cas d'un triangle ABC obtusangle
Dans le triangle AHB rectangle en H , on a : x = c cos(p - q A) = - c cos q A
Dans le triangle AKC rectangle en C , on a : Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
Page
6
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
y = b cos(p - q A) = -b cos q A bx + cy = -2bc cos q A
D'où :
(S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2
= k 2 + (c + y)2 = b2 - y2 + (c + y)2 = b2 + c2 + 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : 2
a
= h2 + (b + x)2 = c2 - x2 + (b + x)2 = c2 + b2 + 2bx
En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 + 2(bx + cy) a2 = b2 2
Et tenant compte de ( S) :
a
+ c2 + (bx + cy)
= b2 + c2 - 2bc cos q A
H
x A
h
K y
q A c
k
b a
B
C
Formule Formule de l'aire l' aire du triangle Situation 1
C
C
Situation 2
(Triangle acutangle)
A
(Triangle obtusangle)
B
H
S=
L'aire du triangle ABC est donnée par :
B
A
H
1 AB ´ CH 2
Or CH = AC sin A (situation 1) ou CH = AC sin(p – A) = AC sin A (situation 2). S=
Dans les deux situations, on a :
1 1 AB ´ AC sin A = bc sin A 2 2
Formule des sinus
D'après ce qui précède, on a : En multipliant tout par
2 abc
S=
1 1 1 bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 2 2
, on obtient
sont non nuls car les angles le sont) :
2S abc abc
Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
2S
= =
sin A a a
sin A
sin B
= =
b b
sin B
Page
7
= =
sin C c
ou encore (passage à l'inverse, les sinus
c
sin C
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Autres formules : si on note R (respectivement r ) le rayon du cercle circonscrit (respectivement inscrit) au triangle ABC et p le demi périmètre (2 p = a + b + c) on a : a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2 R
S=
abc
4 R
= pr
Démonstration : D'après le théorème de l'angle au centre : A
1 BOC = BAC si A est sur le grand arc 2 ·
·
1 BOC = p - BAC (p) si A est sur le petit arc 2 ·
·
On a donc, dans tous les cas : sin A = sin BAC = sin ·
1 BOC 2
O
·
I
Comme le triangle BOC est isocèle, on a : sin D'où : sin A =
R
1 1 BC 1 a = BOC = 2 2 R 2 R
R
·
B
C
a 1 a et = 2 R sin A 2 R
Tenant compte de la relation S =
1 1 1 a bc sin A, il vient S = bc ´ d'où : 2 2 2 R S=
abc
4 R
Et enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC , AOC , AOB dont les aires sont respectivement,
1 1 1 1 ar , br et cr , il vient : S = (a + b + c)r = pr 2 2 2 2
5. Exemples d'applications On considère trois carrés disposés comme dans la figure ci-dessous. Montrer que
+ .
g
Naturellement, a =
b
a
p p . Montrons donc que b + g = . 4 4
D'après une formule d'addition :
cos(b + g) = cos b cos g – sin b sin g
Or, si l'on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d'après le théorème de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) :
Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
Page
8
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos b = Donc :
2a 2 3a = = ; cos g = 5a 5 10a cos(b + g) =
3 a 1 a = = ; sin b = ; sin g = 10 5a 5 10a
2 3 1 1 5 ´ ´ = = – 5 10 5 10 5 10
Et comme 0 < b + g < p (puisque 0 < b <
1 10
1 5 2 = = 2 5 5 2 2
p p p et 0 < g < ) on a b + g = . 2 2 4
A
Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la configuration suivante : B
On montre facilement que le triangle ABC est rectangle isocèle i socèle en A, ce qui entraîne bien b + g =
p . 4
ABC est un triangle avec a
C
2, b
3 et c
4.
Calculer la valeur exacte de l'aire S de ABC . a2 = b2
D'après la formule d'Al-Kashi :
+ c2 – 2bc cos A b2
cos A =
Donc :
+ c2 - a 2 2bc
9 + 16 - 4 7 = 24 8
Ce qui donne :
cos A =
Or, cos2 A + sin2 A = 1, donc :
sin2 A = 1 –
49 15 = 64 64
Or, ABC étant un triangle, l'angle A est compris entre 0 et p rad donc son sinus est positif. 15 8
sin A =
D'où :
Enfin, d'après la formule de l'aire du triangle, on obtient : S=
ABC est un triangle avec b
3, c
8 et A
1 3 15 bc sin A = 4 2
60°.
Calculer la valeur exacte de a ainsi que B et C (en degrés à 10
1
près).
D'après la formule d'Al-Kashi : a2 = b2
+ c2 – 2bc cos A = 9 + 64 - 48 ´
1 = 49 2
a=7
D'où :
Déterminons cos B à l'aide de la formule d'Al-Kashi : cos B =
a
2
+ c 2 - b2 13 = 2ac 14
On a cos B > 0 et ABC triangle donc B Î ]0 ; 90[. On calcule donc B = arccos
13 14
21,8°.
On peut calculer C avec la relation A + B + C = 180. Cependant, à titre de vérification, procédons comme précédemment : déterminons cos C à l'aide de la formule d'Al-Kashi : Trigonométrie et et relations métriques dans le tr triangle
Page
9
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos C =
a2
+ b 2 - c2 1 =2ab 7
1 On a cette fois cos C < 0 et ABC triangle donc C Î ]90 ; 180[. On calcule C = arccos æç - ö÷ è 7ø
98,2°.
On vérifie bien A + B + C = 180.
ABC est un triangle avec b
6
2
, A
105° et C 45°.
Calculer les valeurs exactes de a et c. a
D'après la formule des sinus :
sin A
sin B
b sin C
c=
D'où :
b
=
sin B
=
c
sin C
6 2 sin 45 = 12 sin 30
=
On ne peut pas calculer a avec la formule des sinus car on "ignore" la valeur exacte de sin A. 7p 7p 7p p p = + et sin peut se calculer puisque : 12 12 12 2 12
En fait si ! 105° correspond à
sin
7p p p p = sin æç + ö÷ = cos = 12 12 è 2 12 ø
6+ 2 (voir ci-dessus) 2
Mais l'énoncé ne semble pas nous inciter à faire ce calcul ... Utilisons plutôt une formule d'Al-Kashi :
c
2
= a2 + b2 - 2ab cos C
D'où une équation du second degré d'inconnue a : a2
a2
C'est-à-dire : On trouve, tous calculs faits :
- 2ab cos C + b2 - c2 = 0 - 12a - 72 = 0
a=6+6
Et comme a est une distance :
3 ou a = 6 - 6 3
a=6+6
3 = 6(1 + 3 )
Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercl e. Soit
un cercle de rayon 1 cm.
Quelle est l'aire maximale maximale d'un rectangle dont les sommets sont sont sur le cercle
?
Notons O le centre du cercle et fixons I et K deux points diamétralement opposés. uur uuuur
Soit M un point mobile sur le cercle et notons x une mesure en radian de l'angle ( OI , OM ) . Enfin, on note M' le point diamétralement opposé à M .
Trigonométrie et et re relations mé métriques da dans le le tr triangle
Page
10
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
M
x
O
K
I
M'
D'après la formule de l'aire d'un triangle exprimée avec un sinus : Aire( MOI MOI ) =
1 OM ´ OI sin x 2
Aire Aire(( MOI MOI ) =
Comm Commee le ray rayon du du ce cercle rcle est éga égall à 1 :
1 sin x 2
Enfin, les diagonales d'un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc : Aire( MKM'I MKM'I ) = 2 sin x L'aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l'est, à savoir pour x =
p , c'est-à2
dire lorsque le rectangle est un carré ; l'aire maximale est alors 2 cm2.
La formule de Héron : p est défini par la re lation 2 p = a b c) Soit ABC un triangle de demi-périmètre p ( p
L'aire S de ABC est donnée par : S =
p( p-a )( p-b )( p-c )
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a :
a
2
= b2 + c2 – 2bc cos A
¶
cos A = ¶
1 – cos A = 1 ¶
1 + cos A = 1 + ¶
b2 + c2
- a2
2bc b
2
=
a 2 - (b 2
b
2
+ c2 - a 2 2bc
- 2bc + c2 ) = 2bc
2bc
=
( a - b + c )( a + b - c ) 2bc
(b + c) 2 - a 2 (b + c - a )(b + c + a ) + c2 - a 2 (b2 + 2bc + c2 ) - a 2 = = = 2bc 2bc 2bc 2bc
sin2 A = 1 – cos2 A = (1 – cos A )(1 + cos A ) = ¶
a 2 - (b - c)2
¶
¶
¶
(a - b + c )(a + b - c )( b + c - a )( a + b + c ) 4b 2c2
4b2c2 sin2 A = (2 p – 2b)(2 p – 2c)(2 p – 2a)(2 p) = 16 p( p p – a)( p p – b)( p p – c) ¶
En outre S2 = Trigonométrie et et re relations mé métriques da dans le le tr triangle
1 2 2 2 Ù b c sin A = p( p p – a)( p p – b)( p p – c) 4 Page
11
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
S=
D'où la formule de Héron :
p( p-a )( p-b )( p-c )
Inégalités dans le triangle ABC est un triangle. On note a BC , b AC et c AB.
Démontrer que :
b |b c|
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a :
a
2
a
b c
= b2 + c2 – 2bc cos A
¶
b
cos A = ¶
2
+ c2 - a 2 2bc
-2bc a2 - b2 - c2 2bc
On en déduit l'encadrement :
(b - c)2 a2 (b + c)2
D'où :
Par croissance de l'application t a t sur [0, +¥[, nous obtenons : |b - c| |a| |b + c| Et comme a, b et c sont des quantités positives : |b - c| a b + c On a des relations analogues avec les autres côtés.
Retrouver les longueurs des côtés d'un triangle à partir des longueurs des hauteurs. ABC est un triangle. On note a BC , b AC et c AB. A
On note h a, h b, et h c les hauteurs issues respectivement de A, B et C . On donne h a
3, h b
4 et h c
5. Calculer a, b et c.
En exprimant l'aire S du triangle relativement à chaque base, on a : S = aha = bhb a
On a donc égalité des rapports suivants :
b
=
hb
et
ha
b
= chc
c b
=
hb
hb
hc
hc
hc = b sin A
Par ailleurs, on a :
ha
c
B
¶
a
(Ceci même si le triangle est obtus car un angle et son supplémentaire ont le même sinus)
Pour calculer b, il suffit donc de connaître sin A , ce qui est possible via la formule d'Al-Kashi : ¶
a2 = b2
En divisant par b2 :
a
2
b
2
+ c2 - 2bc cos A
=1+
¶
c
2
b
2
c
- 2 cos A
¶
b
Et d'après les égalités de rapports avec les hauteurs : 2
hb
2
ha
Trigonométrie et et re relations mé métriques da dans le le tr triangle
2
=1+
hb
2
hc
-2
Page
12
hb hc
cos A
¶
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
C
cos A = -
Appliquons numériquement, il vient :
¶
31 360
(Le triangle est donc légèrement obtus)
cos2 A =
961 129600
sin2 A =
128639 129600
sin A =
128639 360
¶
¶
¶
(Le sinus d'un angle géométrique est toujours positif)
D'où :
b=
hc
=
sin A
¶
Il vient ensuite :
a=
bhb
c=
bhb
ha
hc
1800 1800 128 128639 639 128639
5,019 à 10-3 près
=
240 2400 12863 286399 128639
6,692 à 10-3 près
=
1440 1440 128 128639 639 128639
4,015 à 10-3 près
Trigonométrie et et re relations mé métriques da dans le le tr triangle
Page
13
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
