.
C a p í t u l o 1
T r i g o n o m e t r i a
1.1
C onceitos prelim inares
π
Onúm ero
r , diâmetro d , isto é,
Dada uma circunferênci circunferência a de raio circunfeência pelo seu diâmetro
d = 2r
, o número
π
C
é de nido comoa razão do comprim primento
π= C d= 2r
da
(1.1)
Ocomprim imentodeumacir ircunferê rência Pela de nição do número
observamos que o comprim primento da circunferênci circunferência a é dado por π na equação (1.1) observam (1.2)
C =πd=2πr M edid idadeângullo os Existem
3 unidades para a medida de ângulos.
• Grado:
1 grado é umângulo umângulo correspondente a
1 400 de uma volta completa da circunferência. circunferência. Conseqüentemente, 400 grados - Figura 1.1(a). a volta completa pleta nacircunferênci circunferência a compreende umângulo umângulo de
• Grau: 1 grau, denotado
1
o
, é umângulo um ângulo correspondente a
qüentemente, a volta completa pleta nacircunferênci circunferência a compreende umângulo umângulo de
• Radiano:
1
radiano, denotado
1
1 leta da circunferência. circunferência. Conse360 de uma volta completa 360 o - Figura 1.1(b).
rad, é um ângulo correspondente correspondente a um arco de mesmo comprim rimento do raio raio da
circunferência - Figura 1.1(c). 9 o0q
100
q s= r 20 0
q0 ou
q
400
q 180
q 0o
rad 1 rad ou
o
r
360o
q
300
(a) A de de nição de grado
q
270o
(b) A de nição de grau
Figura 1.1: 1.1: Medidas de ângulo
1
(c) A de nição de radiano
q
Ocomprim imentro rodeumarc rco Emuma circunferênci circunferência a de raio comprimento
r.
r
Logo umângulo de
dadopor
1
a de nição de radiano implica plica que um umângu ângulo de
θ
radianos radianos compreende umarco umarco de comprim primento
1 rad rad rad = θ rad r s
radiano radiano compreende um arco de
s
- Figura 1.2(a). Ovalor
∴ s=rθ
Conversão grau-radia iano umângulo de r compreende umângulo 2 π r , compreendeumângulo θ dado por
De modo análogo, umarco umarco de comprimento arco de comprimento
r 1 rad
=θ
1 radiano. Acircunferência completa, um
πr rad
∴ θ=2π
rad
s
é
Ocomprim imentro rodeumarc rco Emuma circunferênci circunferência a de raio comprimento
r.
r
Logo umângulo de
dadopor
1
a de nição de radiano implica plica que um umângu ângulo de
θ
radianos radianos compreende umarco umarco de comprim primento
1 rad rad rad = θ rad r s
radiano radiano compreende um arco de
s
- Figura 1.2(a). Ovalor
∴ s=rθ
Conversão grau-radia iano umângulo de r compreende umângulo 2 π r , compreendeumângulo θ dado por
De modo análogo, umarco umarco de comprimento arco de comprimento
r 1 rad
=θ
1 radiano. Acircunferência completa, um
πr rad
∴ θ=2π
rad
s
é
2π
Isto Isto é, uma volta volta completa na circunferência corresponde a umângulo umângulo de medida
90 o
=
radianos - Figura 1.2(b). 2
rad rad
s=r θ
q rad θ rad
r
q
θ
q 180o = π rad
q 0o = 0 rad ou
q 270
o
=
2
rad
360 360 o = 2 π
rad
(a) Comprimento de arco
(b) Conversão grau-radiano
Figura 1.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Assim, dado um ângulo
θ radianos, sua medida
x emgraus é dada por
π rad 180o = θ rad x Exemplo 1.1 Determine a medida do ângulo
4
π rademgraus.
π rad 3 180o = 4π Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo
155
rad
x o
π rad 180o = x rado 155 Classi caçãodetriângulos
∴ x= 180 πθ
3
∴ x= 180 π 4π=135
o
emradianos.
∴ x= 155 180 π = 35 π
rad
.
Triângulo é umpolígono com
3 ângulos internos, logo
3 lados. Podemos classi
cá-los de duas maneiras:
• quanto aos tamanhos dos lados: equilátero isóceles -
escaleno -
3 lados de mesmo comprimento, 2 lados de mesmo comprimento, 3 lados de comprimentos diferentes;
2
3π
• quanto às medidas dos ângulos:
retângulo -
1 ângulo reto (
obtusângulo -
1.2
90 o graus),
3 ângulos agudos (menores que
acutângulo -
90 o graus), 90 o graus).
1 ângulo obtuso (maior que
Triângulo retângulo
1.2.1
Teorema de Pitágoras
Emumtriângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados queformamo ângulo reto são denominados catetos e olado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema dePitágoras
a2 = b2 + c2.
(1.3)
c
b
c
A AA
c
©©©© ©©
©©©AAA
©©© a
b
a©©©
aA b A A
A
a
c
A A A
b
A©©© a© ©© c
(a) Umtriângulo retângulo.
b
(b) O Teorema de Pitágoras.
Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadrado
4 triângulos retângulos, isto é:
externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos
a2 + 4 bc 2 =(b+c) 1.2.2
∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc + c 2 ∴ a2 = b2 + c2. 2
R azõ estrigo nom étricasnotriângu loretângu lo
6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno,
Para cada ângulo agudo de umtriângulo retângulo de ne-se
tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
oposto • seno = cateto hipotenusa
catetoadjacente oposto • tangente = cateto
hipotenusa • secante = cateto adjacente
• cosseno = cateto adjacente
• cotangente
• cossecante
hipotenusa
AFigura 1.4 ilustra as
= cateto adjacente
6 razões trigonométricas para os ângulos
cateto oposto
= hipotenusa
α e β de umtriângulo retângulo.
cateto oposto
a
β
sen(β) =
a
a
cos(β) =
a
tg(α) =
b
tg(β) =
c
cotangente:
ctg(α) =
c
ctg(β) =
b
secante:
sec(α) =
b
sec(β) =
c
cossecante:
csc(α) =
c
csc(β) =
b
seno:
sen(α) =
cosseno:
cos(α) =
tangente:
c
©©
α b
a
Figura 1.4: As razões trigonométricas.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
a
Na Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado
ângulo de
e então determinamos as razões trigonométricas para
o
o
45 obtido: √ cos(45 o) = √ = √1 =
a 2
2
2
√ , sen(45 o) = √
2
= √1 =
a 2
para os ângulos de
,
tg(45 o) = a
2
a =1.
a e então determinamos as razões trigonométricas
Na Figura 1.5(b) traçamos a altura de umtriângulo equilátero de lado o
2
2
o
30 e 60 obtidos: √ √ 3/2 3 cos(30 o) = a = a 1
√
,
2
cos(60 o) a/2
= =1 , a a 2
3 tg(30 o) = √/2 = √1 = a 3/2 3 3. 2 √ √ 3 3/2 √
sen(30 o) = a/2 =
sen(60 o) =
a √ 3/2 a
,
tg(60 o) = a = a/2
= ,
2
3.
Atabela 1.1 resumeestes resutados. ângulo
30o
sen cos
1 √2 3 √2 33
tg
o 45 √
2 2√ 2 2
1
Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos
1.3
o 60 √
3 2 1
√
2
3
30 o, 45 o e 60 o.
Algumas identidades trigonométricas
Na Figura 1.4 temos que
b =a cos(α)
e
c =a sen(α)
tg(α) = c b= acos(α) cotg(α) = b c= asen(α) sec(α) = a b = aco s(α)
; obtemos então as seguintes identidades:
csc(α) = a c= a sen(α)
a
∴ tg(α) = sen(α) cos(α)
(1.4a)
∴ cotg(α) = cos(α) sen(α)
(1.4b)
∴ sec(α) =
∴ csc(α) =
1
cos(α)
(1.4c)
1
sen(α)
(1.4d)
©©©©©©©©
¡¡
¡
¡
¢ ¢
.
¢¢A A o 30 A
√ ¡ a 2
¢
¡
¡
¡
a¢
¡ ¡ 45o .
¡
¢
a
.
.
¢
.
a
¢
(a) Ângulo de 45 o.
¢ ¢ .
.
√
A
a 3 2
A
60o a/2
A c A A A A
a/2
(b) Ângulos de 30 o e 60 o.
Figura 1.5: Ângulos notáveis.
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
∴ a2 cos2(α) + a 2 sen2(α) = a 2 ∴ a2[cos 2(α) + sen 2(α)]
b2 + c2 = a2
=a
2
donde
cos2(α) + sen 2(α) = 1
(1.4e)
Aidentidade (1.4e) é chamadade identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquer
ângulo é sempre igual a um. Apartir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades:
cos2(α) sen2(α) cos2(α)
+
1
1 (α) ∴ 1+tg 2(α)=sec 2(α) ∴ 1+ sen 2 cos 2(α) cos2(α) cos2(α) 1 cos2(α) + sen 2(α) = 1 (α) = ∴ cotg 2(α) + 1 = csc 2(α) ∴ cos 22 sen2(α) 2 sen (α) sen (α) + 1 sen2(α) =
=
θ sabe-se que
Exemplo 1.3 Para umdado ângulo
5
cos(θ) =
. Determine as outras razões trigonométricas para
Da identidade fundamental obtemos
( )2 1 5
Logo:
• pela identidade (1.4a):
√ + sen (θ) = 1 ∴ sen (θ) = 1 − 1 25
tg(θ) =
2
1 .4
2
2
√ 6/5 1/5
2
• pela identidade (1.4b): = • pela identidade (1.4c): =
cotg(θ)
• pela identidade (1.4d): =
csc(θ)
T riâng ulosqu aisquer
sec(θ)
√
√
=
1/5 √ 2 6/5 1
6 5 2 5 1
√
=
5
√ 2 6
5;
1/5
=
=
√
√1 2 6/5
6;
=
2 6.
=
6
12
;
∴ sen(θ) =
24
√
6
25 = 25
(1.4f )
(1.4g)
θ.
1.4.1
ALeidosC ossenos
Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6).
5
©© a ©© cos(α) @ β @ c α@
Para o ângulo
α:
a2 = b2 + c2 − 2bc
Para o ângulo
β:
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)
Para o ângulo
γ:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
.
.©γ
©© ©
.
@
b
Figura 1.6: A Lei dos Cossenos.
γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retângulo
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo
da esquerda temos
cos(γ) = x a ∴ x=acos(γ)
(1.5a) (1.5b)
a2 = x 2 + H 2 ∴ H 2 = a 2 − x2.
No triângulo retângulo da direita temos
c2 = H2 + (b − x) 2 = H2 + b2 − 2bx + x 2
(1.5c)
Substituindo(1.5a) e (1.5b) em(1.5c) obtemos
c2 c2
= a 2 − x 2 + b 2 − 2ab cos(γ) + x2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
γ.
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo
©©©©
@ @ c @ H
a
©©. ©
©γ
x
@ b
γ.
Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo
1.4.2
ALei dos Senos
Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de umtriângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8), cuja demonstração ca acargo doleitor (Problema Teórico 1.1).
©©©© a
@ β @ c .
α @.
.©γ
©© ©
b
sen(β) b
= se
a
= se
c
@
Figura 1.8: A Lei dos Senos.
1 .5
C írculo T rigo no m étricoe F un çõe sC ircu lares
Círculo trigonométrico é o circulo1 de raio unitário e centro na origemdo sistema cartesiano - Figura 1.9(a).
1Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na literatura e vamos mantê-lo.
.
6y
6 R
qP(x,y)
q ¡ ¡
(1, 0)
qx
O
¡θ q¡
q
Q
-
(a) O circulo trigonométrico (b) Seno e cosseno
Figura 1.9: O seno e ocosseno no círculo trigonométrico
OP Q da Figura 1.9(b) (lembrando que
No triângulo
OP = 1
cos(θ) = OQ/OP = x/1 = x P
de modo que as coordenadas cartesianas do ponto
) observamos que
sen(θ) = P Q/OP = OR/OP = y/1 = y,
e
são dadas por
( P =(x,y)=
) cos(θ), sen(θ)
P (x, y) Raciocinando no sentido inverso, seja um ponto qualquer sobre o círculo unitário e correspon dente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas. De nimos o cosseno deste P
P
ângulo
como o valor da abscissa de
círculo
trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dados por qualquer
número
real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos. A Figura 1.10 ilustra este
e seu seno como o valor da ordenada de
θ o ângulo
. Esta de nição do seno e cosseno no
raciocínio para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes.
6 P (x, y)
@ @ @
θ
θ
@q
Q
6
qR
q q
6
O
-
θ
¡ q¡
-
q
Q
¡
O
¡
O
qR
R
P (x, y)
(a) Ângulo no
2 o quadrante
3 o quadrante
(b) Ângulo no
Figura 1.10: cos(θ) = OQ = x
e sen(θ) = OR = y
Sinaldosenoecosseno
• se 0 < θ <
2
então sen(θ) > 0
e cos(θ) > 0
- Figura 1.9(b);
• se 2 < θ < π então sen(θ) > 0
e cos(θ) < 0
- Figura 1.10(a); 7
(c) Ângulo no
.
q
@ @ @ q
Q
@q
-
P (x, y)
4 o quadrante
• se π < θ < 2
• se
2
então sen(θ) < 0
e cos(θ) < 0
<θ<2π então sen(θ)<0
- Figura 1.10(b);
e cos(θ)>0
- Figura 1.10(c).
A sfun çõescirculares
1.5.1
Afunçãoseno
x umângulo variável no círculo trigonométrico. denotado sen(x) . De nimos então a função Seja
x associamos umúnico valor para seu seno,
Acada valor de
f (x) = sen(x)
, cujo grá co, chamado senóide, é mostrado na Figura
1.11. A Figura 1.11 exibe duas propriedades importantes da função
• é periódica de período R
T =2π
−1
e
2π
; isto signi ca que suas imagens se repetem de
temos que sen(x) = sen(x + 2π)
• é limitada entre
sen(x) : em
2π
radianos, isto é,
∀x ∈
;
1 , isto é, ∀x ∈ R
−1≤sen(x)≤1
temos que
.
sen(x) 16
-
x
-1 −4π
−3π
−2π
−π
0
Figura 1.11: Senóide
π
2π
3π
4π
sen(x)
Afunção cosseno
x
De modo análogo ao seno, seja
cos(x)
único valor para seu cosseno, denotado
x
umângulo variável no círculo trigonométrico. Acada valor de
f (x) = cos(x)
. De nimos então a função
associamos um
, cujo grá co é mostrado
na Figura1.12.
cos(x)
AFigura 1.12 exibe duas propriedades importantes da função
:
• é periódica de período T =2π ; isto signi ca que suas imagens se repetem de R temos que cos(x) = cos(x + 2π) ; • é limitada entre
1 .6
−1
e
1 , isto é, ∀x ∈ R
temos que
−1≤cos(x)≤1
2π
em
2π
radianos, isto é,
∀x ∈
.
M ais ide ntida des trig on om étricas
Simetrias
α por −α
As identidades de simetria estabelecemo efeito da substituição de
. Pela Figura 1.13 temos
sen(α) = QR = − QS = −sen(−α) −sen(−α).
∴ sen(α) = (1.6a)
∴ cos(α) =
cos(α) = OQ = cos(−α)
cos(−α).
(1.6b)
Estas identidades tambémpodemser facilmente observadas nas Figuras 1.11 e 1.12 respectivamente. Finalmente
g α = sen α cos(α) = cos(−α)
..
= −tg(−α) ∴ tg(α) = −tg(−α).
8
3π
(1.6c)
cos(x) 16
-. x
-1 −4π
−3π
−2π
−π
0
π
3π
4π
cos(x)
Figura 1.12: Senóide
.
2π
6
.
.
qR
¡ ¡
¡α q¡ q O @. −α Q @ @
sen(α) = −sen(−α) ..
cos(α) = cos(−α) tg(α) = −tg(−α)
@q
S
Figura 1.13: Simetrias do seno, cosseno e tangente.
Deslocamentos(translações)horizontais As identidades de translação estabelecemo efeito da substituição de dos triângulos da Figura 1.14(a) observamos que
α
por
α−
2
e de
α por α +
2
. Pela congruência
(
..
) OR = OQ cos
∴ sen(α) =
α− π
, 2
)
(
e
OP = −OS ∴ cos(α) = −sen
α− π
(1.6d)
(1.6e)
2
De modo análogo, pela Figura 1.14(b) observamos que
( OQ = OR sen
∴ cos(α) =
) α+ π
(1.6f )
2
(
e
OS = −OP −cos
∴ sen(α) =
) α+ π
(1.6g)
2
Cossenodadiferença Iniciamos
deduzindo a fórmula do cosseno da diferença. Calculando o quadrado da distância entre os pontos
Figura 1.15 temos:
9
P
e
Q
da
α
.
S
q P
6q .
.
.
α+
.
R
q
q α−
(a) Ângulos
q
π2
6q
.
.
q
Q
P
α e α − 2π
.
.
.
R
S
q -
q O
π2
q
q
q -
q
Q
O
(b) Ângulos
α e α + 2π
Figura 1.14: Ângulos deslocados (transladados).
PQ 2
]2 [ ]2 [ = cos(α) − cos(β) + sen(α) − sen(β) = cos 2(α) − 2cos(α)cos(β) + cos 2(β) + sen 2(α) − 2sen(α)sen(β) + sen2(β) = cos 2(α) + sen 2(α) + cos 2(β) + sen 2(β) − 2cos(α)cos(β) − 2sen(α)sen(β) = 1+1−2cos(α)cos(β)−2sen(α)sen(β) [ ] = 2−2 cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
6.
Q = cos(α), sen(α)
qP = cos(β),sen(β) α−β α
.
β
-.
O Figura 1.15: O cosseno da diferença:
PQ 2
Igualando os resultados obtidos para
cos(α − β)
OP Q da Figura 1.15 temos:
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo
= OP 2 + OQ 2 − 2OP OQcos(α − β) = 1+1−2cos(α−β) = 2−2cos(α−β)
PQ
2
obtemos o cosseno da diferença
cos(α − β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β) Cossenodasoma
O cosseno da soma pode agora ser obtido usando umartifício algébrico engenhoso - substituímos a soma por uma diferença e aplicamos o cosseno dadiferença
[ cos(α + β) = cos α− (−β)
]
= cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β) 10
α
e então aplicamos as identidades (1.6a) e (1.6b) para obtermos o cosseno da soma
cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β) Senodadiferença Para obtermos o seno da diferença, inicialmente usamos a identidade (1.6d) para escrever
( sen(α − β) = cos
)
[
(
)]
= cos α−
α−β− π
β+ π 2
2
e a seguir aplicamos o cosseno da diferença no membro direito
( sen(α − β) = cos(α)cos
) β+ π
( ) + sen(α)sen β+ π 2
2
Mas, pelo cosseno da soma
(
)
cos β+ π
( = cos(β)cos
2
e pela identidade (1.6f)
(
) π
− sen(β)sen
2
(
) π 2
= −sen(β)
)
sen β+ π 2 = cos(β). Assimo seno da diferença é dado por
sen(α − β) = sen(α)cos(β) − cos(α)sen(β) Senoda soma O seno da soma pode ser obtido pelo mesmo artifício aplicado na dedução do cosseno da soma - substituímos a soma por uma diferença e aplicamos o seno da diferença
[ sen(α + β) = sen
]
α−(−β) = sen(α)cos(−β) − cos(α)sen(−β)
e então aplicamos as identidades (1.6a) e (1.6b) para obtermos o seno da soma
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) Sumário das fórmulas da soma e diferença Sumarizamos aqui os resultados obtidos:
1 .7
cos(α − β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
(1.6h)
cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
(1.6i)
sen(α − β) = sen(α)cos(β) − cos(α)sen(β)
(1.6j)
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
(1.6k)
R edu çãoaoP rim eiroQ uad rante
Os eixos coordenados dividemo plano cartesiano emquadrantes:
11
.
θ
6
.
.
.
π−θ
R
q
@ ¡ @ ¡ @ ¡ @q¡ q q -
P
..
Q
O
P
R
θ
(a) Do 2o ao 1 o quadrante
¡
¡
¡
¡
6
.
.
.
θ−π
q
q¡
¡
R
¡
¡
q -
.
2π − θ
q
¡ ¡
..
Q
O
6
.
O
qS
S
(b) Do 3 o ao 1o quadrante
¡
q¡ q Q @ @ @ @ q
..
θ
(c) Do 4 o ao 1o quadrante
Figura 1.16: Redução ao primeiro quadrante.
• 1 o quadrante:
0<θ<
• 2o quadrante:
2
Dado um ângulo
2
• 3 o quadrante:
;
•4
<θ<π ;
o
2
π<θ< 2
quadrante:
<θ<2π
; .
θ , reduzi-lo ao primeiro quadrante consiste em determinar umângulo no primeiro quadrante que θ , a menos de umsinal. Devemos considerar 3 casos.
possua as mesmas razões trigonométricas de
Reduçãodosegundoaoprimeiroquadrante 2
Na Figura 1.16(a) observamos que se
<θ<π
π − θ . Temos que
então sua redução ao primeiro quadrante é
• sen(θ) = OR = sen(π − θ) • cos(θ) = OP = −OQ = −cos(π − θ) Conseqüentemente
• tg(θ) = −tg(π − θ)
• sec(θ) = −sec(π − θ)
• ctg(θ) = −cotg(π − θ)
• csc(θ) = csc(π − θ)
Exemplo 1.4 Oângulo é
π−
6
= 6 . Logo
6
2
( 5π sen 6
6
)
( ) π 5π = sen =1 6
2
<π
π
está no segundo quadrante, pois
<
)
( e
cos
6
. Assimsua redução ao primeiro quadrante
(
π
)
√
= −cos =− 6
2
3
.
Reduçãodoterceiroaoprimeiroquadrante Na Figura1.16(b) observamos
que se
π<θ<
2
θ −π
então sua redução ao primeiro quadrante é
• sen(θ) = OS = −OR = −sen(θ − π) • cos(θ) = OP = −OQ = −cos(θ − π) Conseqüentemente
• tg(θ) = tg(θ − π)
• sec(θ) = −sec(θ − π)
• ctg(θ) = cotg(θ − π)
• csc(θ) = −csc(θ − π)
12
3π 3π
5π
3π
. Temos que
Exemplo 1.5 Oângulo 5π é 4
−π=
4
π<
está no terceiro quadrante, pois 4
. Logo
( ) sen 5π
(
)
= −sen
4
√
π
= −
4
<2
4
( 2
2
) 5π
cos
e
. Assimsua redução ao primeiro quadrante
(
)
= −cos
4
√
π
= −
4
2 2
Reduçãodoquartoaoprimeiroquadrante Na Figura 1.16(
2
c) observamosque se
<θ<2π
2π−θ
então sua redução ao primeiro quadrante é
. Temos que
• sen(θ) = OS = −OR = −sen(2π − θ) • cos(θ) = OQ = cos(2π − θ) Conseqüentemente
• tg(θ) = −tg(2π − θ)
• sec(θ) = sec(2π − θ)
• csc(θ) = −csc(2π − θ)
• ctg(θ) = −cotg(2π − θ) Exemplo 1.6 Oângulo
é 2π −
3
= 3 . Logo
3
2
) ( ) √ ( 5π π 3 sen = − = −sen 3
3 1 .8
< < 2π
3π
está no quarto quadrante, pois
2
. Assimsua redução aoprimeiro quadrante
3
( e
cos
5π
)
3
( = cos
)
π 3
=1 2
E q u açõ es trig o n o m étrica s
seno , cosseno , tangente Uma equação trigonométrica é aquela que envolve as funções trigonométricas cotangente , secante , cossecante . Resolver uma equação trigonométrica signi ca encontrar os valores do ângulo este propósito a Tabela 1.2, que nos dá os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do que a veri ca. Para
,
1o quadrante, será de grande auxílio.
θ
sen(θ )
0
0
π 6 π 4 π 3
1 √2 2 √2 3 2
π2
cos(θ) tg(θ) 1
√ √
3
2 2 1 2 0
0
√
3 3
1
√
3
∃
1
Tabela 1.2: Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do
1 o quadrante
1 o quadrante. A
A Tabela 1.2 nos fornece os valores de seno, cosseno e tangente apenas para os ângulos notáveis do Figura 1.17 mostra os ângulos nos segundo, terceiro e quarto quadrantes redutíveis aos notáveis do primeiro quadrante.
Exemplo 1.7 Resolver a equação Solução: pela Tabela 1.2 temos que
sen(x) = 0 x =0
. . Observando a Figura 1.17 temos que
x =π
tambémé uma solução
da equação dada. Além disto, qualquer arco côngruo a estes tambémsão soluções, de modo que a solução geral é da forma
x=kπ,k∈Z. Exemplo 1.8 Resolver a equação Solução: pela Tabela 1.2 temos que
sen(x) = cos(x) x= 4 .
. Observando a Figura 1.17 temos que
4
x= em
relação à origem) tambémé uma solução da equação dada. Alémdisto, qualquer arco côngruo aestes tambémsão
(simétrico de
4
x= π 4 +kπ ,k∈Z. 13
5π
5π
5π
5π
6
π
.
2π 3q
.
.
2 3
3π4
q4
q 5π 6
q6
q 0
π
q 7π 6
q 5π 4
q q
q
q
4π 3
11π 6
7π 4
5π 3
3π 2
Figura 1.17: Ângulos redutíveis aos notáveis . 2cos(x) − 1 = 0 cos(x) = 2 , e pela Tabela 1.2 temos que
Exemplo 1.9 Resolver a equação Solução: temos que
x=
3
=−
3
(simétrico de
3
x=
3
. Observando a Figura 1.17 observamos que
emrelação ao eixo horizontal) tambémé uma solução da equação dada. Alémdisto,
qualquer arco côngruo a estes tambémsão soluções, de modoque a solução geral pode ser dada como
x=2kπ± 1 .9
π 3 ,k∈Z.
P ro b le m a sP r o p o s to s o
225
Problema 1.1 [Mack-SP] A medida de umângulo é
. Determine sua medida emradianos.
1 hora e 12 minutos.
Problema 1.2 [Fuvest-SP] Qual o valor do ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à
50 minutos?
Problema 1.3 [UF-PA] Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em
2 cm
Problema 1.4 Aaltura de umtriângulo equilátero mede
3
Problema 1.5 Adiagonal de umquadrado mede
√
. Determine seu perímetro e sua área.
6 cm . Determine seu perímetro e sua área. 8 dm
Problema 1.6 [PUC-SP] Se a altura de um trapézio isóceles medir
27 dm e 15 dm , determine a medida de suas diagonais. x e y.
Problema 1.7 Notriângulo dado determine as medidas
=5
© ©
x b=6
√ @ @ c= 13 @ @ y
e suas bases medirem, respectivamente,
.
Problema 1.8 No triângulo dado sabe-se que de
comprimento
c . Determine
c =5
,
y =3
a e x.
14
5π
e lado de comprimento
a
é perpendicular ao lado
A a©©
©©©© ©
A c A A y
x
5 e sua projeção sobre a hipotenusa mede
Problema 1.9 Emumtriângulo retângulo umdos catetos mede
4 . Deter-
mine: (a) o comprimento do outro cateto;
(c) seu perímetro;
(b) o comprimento da hipotenusa;
(d) sua área.
10
Problema 1.10 Emumtriângulo ahipotenusa mede
4
e a razão entre os comprimentos dos catetos é
. Determine os
comprimentos das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
20 cm
Problema 1.11 [PUC-SP] O perímetro de um losângo mede
8 cm
e uma de sua diagonais mede
. Quanto mede
a outra diagonal?
12 cm
Problema 1.12 Numtriângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede
16 cm
sobre a hipotenusa mede
e a projeção de um dos catetos
. Determine o comprimento dos catetos deste triângulo.
Problema 1.13 Determine o perímetro e a área do triângulo dado.
@ √ @ 3 2 o 45 @. ©©©©©©© © @ 3
a=
Problema 1.14 Os lados de umtriângulo medem ângulos.
BC , determine
√ 2, b = 2 e c = 1 + 3.
A, B e C.
Problema 1.15 Umtriângulo temseus vértices nos pontos é o ângulo oposto ao lado
√
AC = BC =
Sabe-se que
120
mede
√
2. Se AB = 2 e α
α.
40 m 3
Problema 1.16 Umterreno têma forma de umparalelogramo cujos lados medem o
Determine as medidas de seus
. Seuproprietário irá cercá-lo e tambémdividi-lo ao meio comuma cerca com
e umdos ângulo internos os dearame. Determine
a quantidade de arame a ser utilizada.
a, b
Problema 1.17 [ITA-SP] Os lados de umtriângulo medem
deste triângulo, oposto ao lado que mede
e
c
centímetros. Qual o valor do ângulo interno
a centímetros, se forem satisfeitas as seguintes relações:
Problema 1.18 [ITA-SP] Num losângo ABCD medidas dos ângulos agudos. Se sua diagonal menor mede
3a = 7c
e
3b = 8c .
a soma das medidas dos ângulos obtusos é o triplo da soma das d , determine sua aresta.
√ma Fil ho - RJ] Calcular os valores de dades: sen(θ) = k − 1 e cos(θ) = 3−k 2.
k queveri
Problema 1.19 [Universidade G
camsimultaneamente as igual-
Problema 1.20 Para cada razão trigonométrica dada utilize as identidades daSeção 1.3 para determinar as outras cinco.
(a) sen(α) = (b) cos(β) =
5 7
cos(ϵ) = 5
(g) csc(φ) = 2
2
(h) sec(σ) = 3
(c) tg(γ) = 4
(e)
(d) cotg(δ) = 3
(f ) tg(θ) =
60
Problema 1.21 Uma pessoa na margemde umrio vê, sob umângulo de Quando ela se afasta
40 m
perpendicularmente à margemdo rio, esse ângulo é de
15
o
, o topo de uma torre na margem oposta.
30 o.
(a) Qual a largura do rio?
(b) Qual a altura da torre?
Problema 1.22 Veri quea veracidade das igualdades aseguir. sen( α)
(a)
= 2csc(α)
1+cos(α)
1+cos(α)
2−sen (b)
(c) (d)
2
(β)
2
cos (β) tg(γ) 1+tg 2 (γ)
+ sen(α)
− tg 2(β) = 2
= sen(γ)cos(γ)
sec(θ)+sen(θ) csc( θ) +cos(θ)
= tg( θ)
(e) sec2(φ)csc2(φ) = tg 2(φ) + cotg 2(φ) + 2
[ (f )
]2 [ ]2 [ ]2 tg(σ) − sen(σ) + 1−cos(σ) = sec(σ) − 1
Problema 1.23 Explique por quê as igualdades dadas são inválidas.
(a) sen(α) = 3 Problema 1.24 Dois ângulos
(c) sec(α) =
(b) cos(α) = 5
α
e
β
α+β=
são ditos complementares se
(d) csc(α) =
1 2
2
. Use a
4
1.4 para se convencer dos
Figura seguintes fatos:
(a) o seno de umângulo é igual ao cosseno de seu complementar; (b) o cosseno de umângulo é igual ao seno de seu complementar; (c) a tangente de umângulo é igual à cotangente de seu complementar; (d) a cotangente de umângulo é igual à tangente de seu complementar; (e) a secante de um ângulo é igual à cossecante de seu complementar; (f ) a cossecante de umângulo é igual à secante de seu complementar.
a e b e suas diagonais
Problema 1.25 Oslados de umparalelogramo medem
x e y.
Mostre que
x2 + y2 = 2(a 2 + b2). α , β e γ tais que: 0; cos(β) < 0 e tg(β) < 0 ; sen(γ) > 0 e cotg(γ) > 0 , respectivamente. Problema 1.26 [Cescem-SP] Emquais quadrantes estão os ângulos
sen(π/4) + cos(π/4) + cos(π/2 + π/4)
Problema 1.27 [FECAP-SP] Determine o valor da expressão:
R em R de nida por
Problema 1.28 [Santa Casa-SP] Seja a função f, de intervalo do conjunto imagemdessa função.
sen(x) = √a
Problema 1.30 Para quais valores de a as sentenças
f (x) = 1 + 4sen(x)
R em R de nida por
Problema 1.29 [UFP-RS] Qual o intervalo do conjunto imagemda função f,
todo
sen(α) < 0
e
cos(x) = 2√a − 1
Problema 1.32 [FGV-RJ] Determine a funçaõ trigonométrica equivalente a
cos2
(x) co
− tg 2(x) . ssec(x)+cos(x)
.
. Determine o
são verdadeiras para
x
2
cos(α) <
f (x) = 2sen(x)−3
real.
Problema 1.31 [UFSão Carlos-SP] Calcule o valor da expressão:
e
.
.
+ cos x
Problema 1.33 [PUC-RS] Determine a igualdade da expressão:
+
16
−sen 2 (x)
sen x
.
5
Problema 1.34 [FEP-PA] No círculo trigonométrico umângulo é tal que seu seno vale
e encontra-se no segundo
quadrante. Calcule o valor da tangente deste ângulo. Problema 1.35
sec(x) = 3
[Edson Queiroz-CE] Sabendo que
e tg(x) < 0
, calcule sen(x).
2tg(x)
Problema 1.36
y
[ITA-SP] Calcule o valor da expressão
=
√
tg(x) =
7 7
π e 2
os(x) = e tg(x) < 0 . c 7
1−tg 2 (x) quando
Problema 1.37
[PUC-RS] Sendo
Problema 1.38
[PUC-SP] Quais os valores de x satisfazem a equação
cos(3x −
5
Problema 1.39
[Cescea-SP] Determine a soma das raízes da equação
1 − 4cos
2
Problema 1.40
[AMAN-RJ] Determine os valores de x que satisfazem a equação
Problema 1.41
[FC Chagas-BA] Determine o número de soluções da equação
Problema 1.42
[Mack-SP] Determine os valores de
Problema 1.43
[Osec-SP] Determine o conjunto solução da equação
Problema 1.44
[UF Uberlândia-MG] Determine o conjunto solução da equação
−
) =0 .
(x) = 0 compreendidas entre
0 e π.
3 cos(2x) = 1 . 2
cos(2x) = −
x para que sen(x) = sen(x + π)
[−π, π] .
, no intervalo
, no intervalo
0 ≤ x ≤ 2π
.
3
cos(x) = cos(
− x) , sendo 0 < x < 2π . √ tg(x + 1) 3cotg(x) − 1 = 0 no in-
tervalo [0, π] .
x na equação
Problema 1.45
[Fac. Belas Artes-SP] Determine os valores de
Problema 1.46
[Mack-SP] Determine os valores de
Problema 1.47
[Metodista-S.B. do Campo-SP] Determine os valores de
x na equação
tg(x) + cotg(x) = 2
sen 2(x) =
1+c2s(x)
x na equação
, no intervalo
.
[0, 2π] .
sec 2(x) + 2tg
2
(x) = 2 no
intervalo [0, 2π] .
cos 2(x) − sen
Problema 1.48
[Cesgranrio-RJ] Determine as raizes da equação
Problema 1.49
[Cesgranrio-RJ] Determine a soma das quatro raizes da equação
2
(π − x) =
2
[0, π] .
no intervalo
sen 2(x)+sen(−x) = 0
, no intervalo
[0, 2π]. 1
Problema 1.50
1
1
+ 1−sen(x) = cos2 (x) . [ ] 2 cos(x) + sec(x) = 5 .
1+sen(x)
[CESESP-PE] Determine o conjunto solução da equação
x para os quais [ ] 3 1−cos(x) = sen 2(x).
Problema 1.51
[Mack-SP] Determine a expressão geral dos arcos
Problema 1.52
[FGV-RJ] Determine a solução da equação:
Problema 1.53
[FGV-SP] Determine a soma das raízes da equação
sen3(x) − 3sen 2(x)cos(x) + 3sen(x).cos 2(x) − cos 3(x) = 0 no intervalo
[0, 2π] .
sen(x) =
Problema 1.54 [Mack-SP] Sendo
Problema 1.55 [FEI-SP] Se
cos(x) =
5
13
e sen(y) =
5
, 0 < x, y <
sen(x −
2
).
, calcule
2
, determine
√
Problema 1.56 [F . S . Judas-SP] Se
sen(x) =
2 e 2
x umarco do segundo quadrante, então calcule
sen(x − π 2 )cos(x − 2 ). Problema 1.57 [UC-MG] Prove que
2tg(x)
1+tg
2
(x)
é idêntica a
en(2x) . s
sen(x − y)
.
17
−3
√
Problema 1.58
[UF-GO] Se sen(x) =
Problema 1.59
[F. S. Judas-SP] Se
Problema 1.60
[UCP-PR] Sabendo que
Problema 1.61
3
c
6 , calcule 3
sen(x) = cos(36
o
os(2x).
e x um arco do primeiro quadrante, então calcule
)=
[AMAN-RJ] Determine os valores de
√
o
1+ 5
4
, calcule cos(72 ) .
x que satisfazem a inequação: cos(5x) ≤ 2 . √ 2.cos 2(x) > cos(x) no intervalo [0, π] .
Problema 1.62
[FGV-SP] Determine a solução da inequação
Problema 1.63
[UF São Carlos-SP] Determine o conjunto solução da inequação
Problema 1.64
[Mack-SP] Determine a solução da inequação
Problema 1.65
[PUC-SP] Determine a solução da inequação
Problema 1.66
[ITA-SP] Dado o polinômio P de nido por P(x) = [0, 2π] tais que P admita somente raízes reais.
π.
de
θ no intervalo
Problema 1.67
sen(2x) .
1 cossec(x)
cos(x)+sen(x)
−
sec(x) 2
, para 0 < x <
sen(x)−2 cos(2x)+3cos(x−1)
1
.
> 0, no conjunto 0 ≤ x ≤ 2π
sen(θ) − tg(θ)x + sec
2
Use as identidades (1.6i) e (1.6k) para deduzir a tangente da soma
Use as identidades (1.6h) e (1.6j) para deduzir a tangente da diferença
tg(α − β) = tg(α) − tg(β) 1+tg(α)tg(β). Problema1.69
(Fórmulas doânguloduplo).
2α = α +
(a) Use a identidade (1.6i) para mostrar o cossenodo ângulo duplo (sugestão: faça
α)
cos(2α) = cos 2(α) − sen 2(α). (b) Use a identidade (1.6k) para mostrar o seno do ângulo duplo
sen(2α) = 2cos(α)sen(α). Problema 1.70 (Fórmulas do ângulo metade). Use a identidade fundamental e o cosseno doângulo duplo para deduzir o cosseno e o seno do ângulo metade
[ 2
cos (α) = 12
]
1+cos(2α)
[ ] sen (α) = 1 2 1−cos(2α) 2
Problema Teórico 1.1 Demonstre a Lei dos Senos (Figura 1.8).
1 .1 0
R esp o stas d o sP ro b lem as P ro p o stos - C ap ítu lo 1
.
(θ)x 2, determine os valores
tg(α + β) = tg(α) + tg(β) 1−tg(α)tg(β). Problema 1.68
> 0, para 0 ≤ x ≤
18
• 1.1 (página 14)
5 π4
• 1.2 (página 14)
36 o
• 1.3 (página 14)
5π
• 1.4
• 1.26 (página 16) 3o, 2 o e 1 o √
2
• 1.27 (página 16)
• 1.28 (página 16) [−3, 5] • 1.29 (página 16) [−5, −1]
3
(página 14)
√ √ 3 43 cm2 perímetro = 4 3 cm e área = • 1.5 (página 14) √ perímetro = 12 3 cm e área = 27 cm 2
• 1.30 (página 16) a = 0 ou a =
16 25
• 1.31 (página 16) 2
• √ (página 14) 505 dm
• 1.32 (página 16) tg(x) • 1.33 (página 16)2cossec(x)
• 1.7 (página 14) x = 4 e y = 2 • 1.8 (página 14)
a=
• 1.9 (página 15) (a) (b)
20 e 3
x=
15 4; 25 4;
• 1.34 (página 17) −3/4
16 3
• 1.36 (página 17)
(c) 15; (d)
• 1.37 (página 17)
75 8.
• 1.38 (página 17)
• 1.40 (página 17)
• 1.12 (página 15) 15 cm e 20 cm √ • 1.13 (página 15) perímetro = 6 + 3 • 1.14 área = (página 15) 30 o, 45 o e 105 o • 1.15 (página 15) α = 45 o = π4 radianos
2
e
9 2
6,
• 1.44 (página 17) • 1.45 (página 17) • 1.46 (página 17) • 1.47 (página 17)
√ 2− 2 32
• 1.48 (página 17)
• 1.20 (página 15) (a) cos(α) =
4
, tg(α) =
5
53
.
4,
cotg(α)
+ 4π
2
4
2π 2π 3
• 1.42 (página 17)0, π, 2π • 1.43 (página 17) π
d
k=
• 1.19 (página 15)
kπ
• 1.41 (página 17) 4 : −
m de arame • 1.16 (página 15) 600 • 1.17 (página 15) 60 o
√
+ k3
• 1.39 (página 17) π
• 1.10 (página 15) • 1.11 (página 15) 6 cm
• 1.18 (página 15)
√ −2 2 3 √ 12 10 31 √ 2 4 7π 30
• 1.35 (página 17)
18 32 5 e 5
= csc(α) =
2
5
ec(α) = , 3, s 4
• 1.49 (página 17) • 1.50 (página 17)
π
e
,
e
6
π
6 , 6 π6, 6 6,
7π 2 π
, ,
6 π
4 3 π 4 ±π π 11π
6, π
3
3
, 16π
3
√
3
√
√
3
