TEMA: CONTRASTES ORTOGONALES Y COVARIANCIA. INTRODUCCIÓN
El análisis de la varianza se convierte en la técnica más a!it"al c"ando las varia!les e#$licativas son cate%&ricas ' c"antitativas la varia!le e#$licada. Las varia!les inde$endientes se denominan (actores) constan de dos o más niveles ' $"eden interact"ar entre ellas. Esta técnica contrasta mediante el análisis de la varia!ilidad si los valores medios de la varia!le de$endiente di*eren se%+n las di(e di(ere rent ntes es com! com!in inac acio ione ness de (act (actor ores es e inte intera racc ccio ione nes. s. Los Los e#$e e#$eri rime ment ntos os (actor (actorial iales es $"eden $"eden com$li com$licar carse se tanto tanto como como se deseen deseen e incor$ incor$ora orarr e(ecto e(ectoss aleatorios) m"ltinivel) ,erár-"icos) anidados) *,os) etc. E#iste "na am$lia %ama de sit"aciones -"e se $resentan de (orma a!it"al al realizar "n e#$erimento o análisis. Si !ien !ien el acer acerca cami mien ento to !ási !ásico co al anál anális isis is de la vari varian anza za $rov $rovie iene ne de los los contrastes de medias $ara dos o más niveles) el en(o-"e más correcto nace desde el análisis de re%resi&n. El análisis de la varianza $artic"lariza el modelo de re%r re%res esi& i&n n line lineal al c"an c"ando do las las vari varia! a!le less inde inde$e $end ndie ient ntes es son son c"al c"alit itat ativ ivas as ' la inde$e inde$endi ndient ente e c"anti c"antitat tativa iva.. Consi Consider derar ar esta esta sit"ac sit"aci&n i&n desde desde los model modelos os de re%resi&n $ermite al investi%ador "n est"dio com$leto) detallado ' sistematizado del e#$erimento (actorial. C"ando C"ando en los model modelos os de re%r re%resi esi&n &n intervi interviene enen n varia! varia!les les inde$ inde$end endien ientes tes c"al c"alit itat ativ ivas as)) el a!or a!orda da,e ,e se real realiz iza a medi median ante te dos dos ti$o ti$oss de cont contra rast stes es los los denominados a $riori ' los contrastes a $osteriori. Si !ien a nivel matemático se esta!lece "n isomor*smo entre am!os en(o-"es $or lo -"e son e-"ivalentes) a nivel $ráctico el investi%ador de!e o$tar $or "no de esos contrastes. Los contrastes orto%onales) o a $riori) se "tilizan a!it"almente en el ám!ito de las Ciencias E#$erimentales. Los (actores intervienen en el modelo de (orma controlada /$or e,em$lo) a "n rat&n le in'ectamos 011 %ramos del com$"esto I ' a otro roedor 211 %ramos3 ' se s"ele denominar 4ise5o de E#$erimentos. Las $rinci$ales venta,as de los contrastes orto%onales residen en -"e el orden de los (actores no in6"'e en el modelo) éste ado$ta "na +nica e#$resi&n /orto%onal3 ' res"l es"lta ta (áci (ácill dete detect ctar ar -"é -"é (act (actor ores es o nive nivele less in6" in6"'e 'en n o no. no. El $rin $rinci ci$a $all inconveniente consiste en -"e los coe*cientes del modelo an de inter$retarse con $reca"ci&n. En el otro e#tremo a$arecen los contrastes no orto%onales) o a $osteriori) m"' "s"ale "s"aless en las Cienc Ciencias ias Social Sociales. es. Estos Estos est"d est"dios ios no dis$on dis$onen en de condic condicion iones es cont contro rola lada dass desd desde e dond donde e $"ed $"edan an o!se o!serva rvarr las las reac reacci cion ones es de los los s",e s",eto toss entrevistados. En estos modelos el orden de los (actores o varia!les nominales -"e intervienen en el modelo s7 im$ortan) lo -"e conlleva a di(erentes modelos i%"a i%"alm lmen ente te váli válido dos. s. La $rin $rinci ci$a $all vent venta, a,a a en esto estoss mode modelo loss s"r% s"r%e e -"e -"e los los coe*cientes son m"' (áciles de inter$retar.
OBJETIVOS: •
•
4eterm 4ete rmin inar ar los los $ará $aráme metr tros os de resol esol"c "ci& i&n n del del métod étodo o Cont Contra rast stes es Orto%onales ' Covariancia. Inda%ar so!re las restricciones) venta,as) desventa,as) modelo matemático) matemático) cálc"los de análisis de varianza ' e,em$los.
MARCO TEÓRICO CONTRASTES ORTOGONA O RTOGONALES LES RESTRICCIONES
Los contrastes se "tilizan m"co en métodos de com$araci&n m+lti$le8 el c"al se est"diará a contin"aci&n. contin"aci&n. S"$o S"$on% n%am amos os -"e -"e el (act (actor or -"e -"e se está está est" est"di dian ando do tien tiene e cinc cinco o nive nivele less /tratamientos3 ' al llevar a ca!o el Análisis de Varianza Varianza se recaza 9o) con !ase a esta in(ormaci&n es $osi!le s"$oner -"e el tratamiento "no ' dos $rod"cen la misma di(erencia. Esto im$lica -"e es necesario $ro!ar las si%"ientes i$&tesis 9o :0 ; :2 90 :0 < :2 Estas Estas i$&te i$&tesis sis $"eden $"eden ser $ro!a $ro!adas das invest investi%a i%ando ndo "na com! com!ina inaci& ci&n n lineal lineal a$ro$iada de los totales de los tratamientos) $or e,em$lo '0. = '2. ; 1 >or otro lado) si se s"$onen -"e el $romedio de los tratamientos 0 ' ? no di*eren del $romedio de los tratamientos @ ' ) las i$&tesis -"e de!en $ro!arse son 9o :0 B :? ; :@ B : 90 :0 B :? < :@ B : ' esto im$lica la com!inaci&n lineal '0. B '?. = '@. = '. ; 1 La $ro$iedad !ásica de las com$araciones orto%onales es -"e re6e,an $iezas de in(ormaci&n inde$endientes ' -"e el res"ltado de "na com$araci&n no tiene relaci&n al%"na con el res"ltado de c"al-"ier otra. a,o a,o el s"$"es s"$"esto to de orto%o orto%onal nalida idad) d) dos com$a com$arac racion iones es son inde$ inde$end endien ientes tes c"ando la s"ma de los $rod"ctos cr"zados de los coe*cientes es cero) es decir) la
condici&n de orto%onalidad entre dos com$araciones c"m$le la si%"iente restricci&n
/Σa jak ; 13 VENTAJAS • • •
•
•
Es -"e con éstos se lo%ra "n control total al estimar los errores a ' D. e,or alternativa $ara s"stit"ir las $r"e!as de com$araciones m+lti$les. >ermite com$araciones entre medias individ"ales o entre %r"$os de mediaF s) so!retodo) c"ando se tiene al%+n criterio -"e $ermite se$arar los tratamientos en %r"$os l&%icos. Re6e,an $iezas de in(ormaci&n inde$endientes ' -"e el res"ltado de "na com$araci&n no tiene relaci&n al%"na con el res"ltado de c"al-"ier otra. Son inde$endientes c"ando la s"ma de los $rod"ctos cr"zados de los coe*cientes es cero) es decir) la condici&n de orto%onalidad entre dos com$araciones c"m$le la si%"iente restricci&n.
DESVENTAJAS •
•
Se corre el ries%o de cometer más errores de Ti$o I al as"mir como verdadera la i$&tesis de n"lidad8 es decir) a' la $osi!ilidad de realizar más recazos (alsos de la i$&tesis de n"lidad o de no e(ectos. En l7nea con esa $ro!lemática) es conveniente distin%"ir dos ti$os de errores Error de Ti$o I $or com$araci&n />C3 ' tasa de error $or (amilia />3. El error >C) sim!olizado $or H) es la $ro!a!ilidad de cometer "n error de Ti$o I $or com$araci&n. Si α es 1.1) la $ro!a!ilidad es 1.1. >or el contrario) la tasa de error PF ) αPF ) es la $ro!a!ilidad de cometer "no o más errores de Ti$o I en "n conjunto de comparaciones. La relaci&n entre estos dos errores ' la $ro!a!ilidad de cometer al menos "n error de Ti$o I es αPF ; 0 F /0 F α3c
CALCULO DE ANALISIS DE VARIANZA Cinco hipótesis e n!"i# p#$# "os cont$#stes o$to%on#"es
0. 91 ; μ2 F μ1 ; 1 4os lect"ras de la lista /condici&n A 23 no di*eren de "na sola lect"ra /condici&n A03. ?. 91 ; 2 μ3 = / μ1 B μ23 ; 1 Se esta!lece la i%"aldad entre tres lect"ras ' el $romedio entre "na ' dos lect"ras. . 91 ; ? μ4 F / μ1 B μ2 B μ33; 1 Se de*ne la i%"aldad entre c"atro lect"ras ' el $romedio de las restantes.
Coe&cientes e "os cont$#stes o$to%on#"es
S!p!esto e o$to%on#"i# ent$e os cont$#stes
E,em$lo entre el contraste "no ' dos /F03/F03 B /03/F03 B /13/23 B /13/13 ; 1 S!'# e c!#$#os e" cont$#ste
S!'#s e c!#$#os ()*+,-./0 1 *,-(/2 1 *2-3/3 1 *2-4/.56 SCC1
7 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
7 ,3/82
. ()*+,-./0 1 *+,-(/2 1 *.-3/3 1 *2-4/.56 SCC2
7 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 7 .4/29 3 ()*+,-./0 1 *+,-(/2 1 *+,-3/3 1 *9-4/.56
SCC3
7 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 7 03/4. ,.
7777777
SC A:
8,/(
R#;ones F
0.J1 F 1 ;
FFFFFFFFFFFF ; 00.
0.@
2K.1? F 2 ;
FFFFFFFFFFFF ; 0J.??
0.@
@.2K F 3
; FFFFFFFFFFF ; ?2.?J 0.@
V#"o$ teó$ico e
F
Entrando en la ta!la de la distri!"ci&n F ) el valor te&rico del estad7stico es F 0.95/003 ; @.@J C#$#cte$
Mna $ro$iedad caracter7stica de las com$araciones orto%onales es la descom$osici&n de la S"ma de C"adrados de tratamientos del AN!A en tantos com$onentes orto%onales /inde$endientes3 como %rados de li!ertad de esa ("ente de variaci&n /se dis$one de "n %rado de li!ertad $or com$onente3. Si%"iendo con el e,em$lo $ro$"esto) la S"ma de C"adrados de tratamientos) SC A) tiene a F 0 %rados de li!ertad ') como consec"encia) tres com$onentes orto%onales /siendo a i%"al a c"atro3. =$opie#es e "os cont$#stes o$to%on#"es
EJEM=LO:
Se s"$one -"e la cantidad de car!&n "sada en la $rod"cci&n de acero tiene "n e(ecto en s" resistencia a la tensi&n. En la ta!la se m"estran los valores de la resistencia a la tensi&n del acero $ara cada "no de los @ di(erentes $orcenta,es de car!&n. Con estos datos e(ect+e el análisis a$ro$iado e inter$rete s"s res"ltados.
Sol"ci&n. Varia!le Res$"esta Resistencia a la tensi&n. Las i$&tesis -"e se desean $ro!ar son 9o :0 ; :2 ; :? ; :@ /Las medias son i%"ales3 90 :0 < :2 < :? < :@ /Las medias son di(erentes3 El si%ni*cado ver!al es 9o La cantidad de car!&n "sada en la $rod"cci&n de acero no tiene e(ecto si%ni*cativo en la resistencia a la tensi&n. 90 La cantidad de car!&n "sada en la $rod"cci&n de acero tiene e(ecto si%ni*cativo en la resistencia a la tensi&n. 4atos a ; @ ) n ; @ ) N ; 0 ) i ; 0)2)?)@ ) , ; 0)2)?)@ C>"c!"os M#te'>ticos Tot#"es
Mei#s e "os T$#t#'ientos
S!'#s e C!#$#os
Mei#s e C!#$#os
Est#
Mtilizando "n nivel de si%ni*cancia del / ; 1.13) $ara encontrar el Ta!las /Ta!las iser3 con ? %rados de li!ertad /aF03 en el n"merador ' 02 %rados de li!ertad /NFa3 en el denominador. )aF0)NFa ;1.1)?)02 ; ?.@J Com$arando el 1 calc"lado en el análisis de varianza ' el Ta!las ) se $"ede o!servar -"e 1 Ta!las 0.@0 ?.@J >or tanto) se Recaza la i$&tesis n"la /913 ' se ace$ta la i$&tesis alternativa /9038 es decir) -"e las medias de los tratamientos di*eren. Tam!ién se $"ede o!servar %rá*camente) de la si%"iente manera
Se o!serva -"e el valor de 1 cae en la zona de recazo de 91. Conc"!sión Se concl"'e -"e la cantidad de car!&n "sada en la $rod"cci&n de acero tiene e(ectos si%ni*cativos en la resistencia a la tensi&n.
Como se a recazado 91) e#iste di(erencia entre las medias de los tratamientos) $ero no se es$eci*ca entre -"e medias de tratamientos e#isten las di(erencias.
Se $odr7a estar interesado en -"erer sa!er entre -"e medias de tratamientos e#iste di(erencia) $ara ello se "tilizará el método de contrastes orto%onales $ara contestar esta in-"iet"d. ,/ Se e&nen "#s 0 ? , 7 9 hipótesis/
./ Un con@!nto e co'p#$#ciones ent$e 'ei#s "os cont$#stes o$to%on#"es son:
9/ C>"c!"o e "os cont$#stes/
0/ C>"c!"o e "# S!'# e c!#$#os e "os cont$#stes/
(/ T#"# e An>"isis e V#$i#n;# con "os cont$#stes
3/ An>"isis e "os $es!"t#os e "os cont$#stes/
Mtilizando "n nivel de si%ni*cancia del / ; 1.13) $ara encontrar el Ta!las /Ta!las iser3 con 0 %rado de li!ertad en el n"merador ' 02 %rados de li!ertad /NFa3 en el denominador. )0)NFa ;1.1)0)02 ; @.P Al com$arar el 1 o!tenido en cada "no de los contrastes del análisis de varianza con el Ta!las8 se lle%a a las si%"ientes concl"siones #- El valor del 1 del contraste 0 es ma'or -"e el Ta!las /.K0 @.P3 entonces se Recaza 91) ' $or lo tanto) a' di(erencia si%ni*cativa entre los $orcenta,es de car!&n "no ' dos. - Como el 1 del contraste tres es menor -"e Ta!las /0.02 Q @.P3 se ace$ta 918 ' $or lo tanto) no a' di(erencia si%ni*cativa entre los $orcenta,es de car!&n tres ' c"atro. c- Al com$arar el valor de 1 del contraste dos con el Ta!las se o!serva -"e el 1 es ma'or /?J.?0 @.P3 entonces se Recaza 918 ' $or lo tanto) se dice -"e el $romedio de los $orcenta,es de car!&n "no ' dos di*eren si%ni*cativamente del $romedio de los $orcenta,es de car!&n tres ' c"atro. / Mtoo e Sche p#$# co'p#$#$ toos "os cont$#stes/
E#isten sit"aciones en -"e el investi%ador no sa!e de antemano los contrastes -"e desea com$arar) o le interesa llevar a ca!o más de aF0 $osi!les com$araciones. Estas com$araciones de interés en m"cos e#$erimentos son desc"!iertas s&lo asta des$"és de acer "n e#amen $reliminar de los datos. Sceé izo "na $ro$"esta de "n método $ara com$arar c"al-"ier contraste) o los $osi!les contrastes entre medias de tratamientos. Con este método en
c"al-"iera de las $osi!les com$araciones el error ti$o I es c"ando m"co i%"al a H. S"$on%amos -"e e#iste "n con,"nto de m contrastes de interés de las medias de tratamientos. ; C0:0 B C2:2 B C?:? BUUU..BCa:a ) con ; 0)2)U.)m) estos contrastes "sando los $romedios de tratamientos i son C ; C0 0. ' B C2 2. ' B C? ?. ' BUUU..BCa a. ' con ; 0)2)U.)m El error estándar de estos contrastse viene dado $or
El valor cr7tico con el -"e C de!e ser com$arado es
>ara lle%ar a $ro!ar la i$&tesis de -"e el contraste C di*ere si%ni*cativamente de cero) es necesario com$arar C con el valor cr7tico. Si WCW S)) la i$&tesis n"la de -"e el contraste es i%"al a cero de!e recazarse. Este método de Sceé se $"ede "tilizar $ara constr"ir intervalos de con*anza $ara todos los $osi!les contrastes de las medias de tratamientos8 los c"ales $"eden ser constr"idos como C F S) W W C B S) ) estos son intervalos de con*anza sim"ltáneos8 en el sentido de -"e la $ro!a!ilidad de -"e todos ellos sean sim"ltáneamente verdaderos es al menos 0 F H. El $rocedimiento $ara llevar a ca!o la com$araci&n de medias $or medio del método de Sceé es el si%"iente X 4e*nir los contrastes de interés. X Calc"lar los valores n"méricos de los contrastes. X Calc"lar el error estándar $ara cada contraste. X Encontrar los valores cr7ticos. X Realizar las concl"siones. COVARIANCIA
Entre las di(erentes a$licaciones -"e $"ede tener el Análisis de Covariancia = ANCOVA = se destaca s" "so en el control del error) lo c"al a"menta la $recisi&n
con -"e se mide "n e#$erimento8 tam!ién) $ermite a,"star las medidas de tratamientos) lo%rando as7 "na me,or inter$retaci&n de los datos ' del e(ecto de los tratamientos. Lo anterior se consi%"e al eliminar) $or $ro%resi&n) ciertos e(ectos de los tratamientos -"e no $"eden ser o no an sido controlados en el e#$erimento. Estos e(ectos indirectos de los tratamientos) se miden con "na variaci&n adicional en la c"al contri!"'e a la variaci&n en Y. as7 la covariancia controla la varianza del error mediante el "so de la covaria!le /3. >ara il"strar el a$orte de "na covaria!le en el e(ecto de los tratamientos) aremos relaci&n a "n e#$erimento de n"trici&n animal) en el c"al se ensa'an di(erentes raciones. Si al momento de iniciar este e#$erimento) no contamos con animales e#$erimentales del mismo $eso inicial ' éste está correlacionado con la %anancia de $eso /varia!le res$"esta del tratamiento3 esta (alta $rovoca "n incremento de error en el verdadero e(ecto de los tratamientos. En estos casos) el ANCOVA $ermite calc"lar ' eliminar esta $orci&n del error e#$erimental) %enerada $or la %anancia de $eso atri!"ida al $eso inicial de los animales. En e#$erimentos de n"trici&n animal) las di(erencias detectadas entre medias de tratamientos $"eden ser $rovocadas $or s"s di(erencias en el valor n"tritivo) a las di(erencias en las cantidades cons"midas) o a am!as. Si $or covariancia) las di(erencias de rendimientos medios o!servados se a,"stan so!re el cons"mo de "na raci&n com+n) entonces) las medias a,"stadas indicarán el verdadero e(ecto de los tratamientos. VENTAJAS • •
Indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias. Determinar si existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de
•
regresión. Permite que las dos variables están variando conjuntamente, y en el mismo sentido, cuando al
•
crecer los valores de una de las variables también aumentan los de la otra. Devuelve la covariancia de la muestra, o promedio de los productos de las desviaciones para
•
cada pareja de puntos de datos en dos conjuntos de datos. liminar cualquier error sistemático fuera del control del investigador que puede sesgar los
•
resultados !ener en cuenta las diferencias en las respuestas debidas a las caracter"sticas propias de los encuestados. #n sesgo sistemático puede ser eliminado por medio de la asignación aleatoria de los encuestados a varios tratamientos.
DESVENTAJAS • •
$ovariancia es negativa, la covariación de ambas variables será en sentido inverso. %i la covariancia es cero no &ay una covariación clara en ninguno de los dos sentidos.
•
'a medida de asociación es que su valor depende de las unidades en que se miden las
•
variables de interés. (o permite ajustar medias de tratamientos de la variable dependiente a las diferencias en conjuntos de valores de variables independientes correspondientes.
MODELO MATEMTICO
El modelo de la covariancia) re$resenta el modelo lineal aditivo del análisis de varianza del dise5o e#$erimental -"e se esté "tilizando más "n com$onente adicional $ara la varia!le concomitante o inde$endiente. >ara "n 4CR tendremos j + b(x ij - x…. ) + Ɛ ij Y ij= µ + τ i + β
Dónde: y= variable dependiente o de respuesta x= covariable o variable independiente b= pendiente de la regresión lineal Este modelo igualmente, se resuelve por la suma de cuadrados tal como fue explicado en el Análisis de Varianza !os supuestos de la covariancia son: • •
!os " son fi#os $se repiten%, medidos sin error e independientes de los tratamientos !a regresión de & respecto a ", despu's de eliminar diferencias de blo(ues y tratamientos es lineal e independiente de estos factores !os errores se distribuyen normal e independientemente con medida cero y varianza com)n
CALCULO DE ANALISIS DE VARIANZA Esquema de análisis de covariancia en un diseño de bloques compl
ANOVA
$uentes
%&l&
SUMA DE PODU!"OS # !UADADOS
S! #
SP'#
S!'
rt ) *
∑ ( y − ´Y ..)
+loques
r *
t
i
!ratamientos
t)*
r
∑ ( y −Y ´ ..)
rror
-r *-t *
2
!otal
it
´ .. ) ∑ ( x − X
´ .. )( Y −Y ´ .. ) ∑ ( X − X
t
t
´ .. )( Y − ´Y .. ) ∑ ( X − X
r
´ .. ) ∑ ( X − X
it
∑ ( y −Y ´ .. )
2
it
. t
2
t
Diferencia
´ ..) ( y −Y ´ .. ) ∑ ( x − X
-a*
.t
t
t
Diferencia
-a/
2
ij
´ ..) ∑ ( X − X
2
2
i
Diferencia
-a0
$ovariable
SC (Y .Trat + Error) !ratam 1 error
+loques 1 error
0
SP ( XY .Trat + Error )
SC ( X . Trat + Error)
r-t * -b*
-b/
SC (Y . Bloq+ Error )
SP ( XY . Bloq + Error )
SC ( X . Bloq + Error)
-c*
-c/
-c*
t-r *
2
S YX ; error estándar de la estima o variancia resid"al
FORMULAS DESARROLLADAS: E-. /0.2 = 0.013
∑ y
ij
¿ ¿ ¿2 ¿ SC Y .Total =∑ y ij −¿ 2
-b0
∑ y ¿ ¿ ¿2 ¿
Y .Bloques
∑y
ij
∑y = t
¿ ¿ ¿2 ¿
2
.j
−¿
ij
∑y =
Y .Trat
r
2
i.
−¿
-r
SP XY . Total =
∑
SP XY . Bloques=
x ij y ij −
∑ x
j
i
t
∑ X Y − ∑ x =
SP XY . Trat
rt
∑ X Y − ∑ x i
∑ x
ij
i
r
j
ij
rt
ij
¿ ¿ ¿2 ¿ SC X . Total =∑ x ij −¿ 2
∑ x ¿ ¿ ¿2 ¿
ij
∑ X =
SC X . Bloques
2
.j
t
−¿
∑ x ¿ ¿ ¿2 ¿
ij
∑ X −¿ =
SC X . Trat
2
i.
r
E@e'p"o/ En "n e#$erimento $ara $ro!ar la e*cacia de dietas en @ !lo-"es /lotes de animales3 se midi&) además del e(ecto de las dietas /Y ; %anancia de $eso3) el cons"mo de alimento / ; covaria!le3. Realizar el análisis de covariancia $ara los res"ltados si%"ientes Datos sobre ganancia de peso y consumo de alimento
"otal "ratamientos
()O*UES
+
"A"&
'
,
#
'
-
#
'
.
#
'
#
'i&
#i&
2
*
034.0
/3.5
060.0
07.2
055./
03.2
025.*
/5.*
*233.6
**2.2
/
23/./
07.0
235./
2/.*
077.4
05./
077.2
23.5
*572.5
*58.*
0
02/.2
/2.8
053.2
/5.*
0/0./
/2.*
03/.0
/3.*
*0*7.0
60.6
2
045.4
0/.*
07*.5
02.2
03/.*
/*.2
053.6
03./
*2*3./
**7.*
5
035./
/4.8
050.*
/6.8
044.0
0/.*
07/.5
0/.7
*2*7.*
*//.*
"otal (loq&
'&/
#&/
5
/3
+0-,&1
+.-&+
+11-&2
+34&3
+0.3&2
+.-&,
+034&,
+.1&0
'&&
#&&
0+-,
35.&3
C>"c!"os >sicos: ,/ C Y ; 1@.221 ; 0K2PP.1 ./ SC Y.Tot ; /21.2B?K.@2BUUB?2.K23 = 0K2PP.1 ; 0J00. = 0K2PP.1 ; K?K.@@
9/ SC Y.lo- ; /0@?.02B0J.2B0@
[email protected] = 0K2PP.1 ; 0K?P0.J@ = 0K2PP.1 ;
[email protected] 0/ SC Y.Trat; /00@.@2B0.02BU..B022.023@ = 0K2PP.1 ; 0KPK0.J = 0K2PP.1 ;
[email protected] (/ SC Y.Error ; K?K.@@ =
[email protected] =
[email protected] ; 2?K.P 3/ CY ; /P0?23/1@.321 ; 2011.? / S>Y.Tot ; Z?1P.?/21.3BUB?K2./?2.K3[ = 2011.? ; 20JJJ.K = 2011.? ; ?JJJ.@ 4/ S>Y)lo- ; Z0P?2.K/0@?.03BUB0PJ.2/
[email protected][ = 2011.? ; 2000.K2 F2011.? ; 0.@ 8/ S>Y)trat ;
[email protected]/00@.@
[email protected]/022.03[@ = 2011.? ; 20PPP0. = 2011.? ; 20P0.2@ ,2/S>Y)Error ; ?JJJ.@ = 0.@ = 20P0.2@ ; 0?00.P ,,/C ; P0?2221 ; 2@?2P0.2 ,./SC.Tot ; /
[email protected]?K2.23 = 2@?2P0.2 ; 2P01.J = 2@?2P0.2 ; 22@?J.P ,9/SC.lo- ; /0P?2.K2B0KK?.2BU.B0PJ.223 = 2@?2P0.2 ; 2@1JJ.K = 2@?2P0.2 ; 2K2K. ,0/ SC.Trat; /
[email protected]K@.
[email protected]@ = 2@?2P0.2 ; 22K.J = 2@?2P0.2 ; J@0.P ,(/SC.Error ; 22@?J.P = 2K2K. = J@0.P ; 010K.@
9esultados del análisis de covariancia ) :(;<: )
=uentes de variación
g.l.
%$y
%P>?
%$>
g.l.
%$y,ajust.
$@ajust.
*6
707.22
0666.2 5
//206.4 8
+loques
0
62.77
5*8.28
/7/7.83
0
4.3/ c
/.02
!ratamientos
2
532.76
/*4*./ 2
62*5.43
2
55.34 b
*0.44
*/
/07.84
*0**.45
*3*65.2 8
**
86.63
8.05
!otal
rror
$ovariable
!ratam1rror
*
*8
420.58
027/.6 6
*68**.* 8
*5
*87.44 a
*/2.64
*87.44
=
3.04
/.*4 (%
/8.57AA
+loques1rr or a
*5
000.55
2?K.PFJ.J1 ; 0K.PP
*7/7./ *
*03/2.3 8
*2
48.6/
[email protected]J.J1 ; .1P
P.J2FJ.J1 ; P.12
!
c
El Análisis de Covariancia) a través del a,"ste del C"adrado medio de tratamientos) en este caso) a demostrado no si%ni*caci&n so!re la di(erencia entre tratamientos) los c"ales an sido eval"ados con alta si%ni*caci&n en el Análisis de Variancia
¿∗¿ ( p= 0.0055 ) 504.89 / 4 F = = 6.35¿ 238.67 / 12 La no si%ni*cativa $ara media a,"stadas / ; 2.0PNS3 dem"estra -"e no e#isten di(erencias verdaderas entre las medidas de tratamiento $ara Y c"ando se a,"stan $or . Esto $r"e!a -"e las di(erencias entra las medias no a,"stadas re6e,an) en %ran medida) di(erencias en el cons"mo ' no $recisamente $or e(ecto de las dietas solamente) es decir) a "n cons"mo de alimento com+n. Si se "!iera detectado si%ni*caci&n $ara las medias a,"stadas $or covariancia) entonces se a!r7a concl"ido -"e las di(erencias entre los tratamientos son reales. =$ocei'iento e #@!ste e 'ei#s e t$#t#'ientos
>ara este $ro$&sito se "sa la si%"iente (&rm"la
´ t .=Y ´ t −b yx ( X ´ i− X ´ ) Y ^
4onde b yx =b =coeficientede regresión del error
A contin"aci&n) el si%"iente c"adro se o!serva el a,"ste de las medias del e,em$lo anterior A/uste de medidas de tratamientos
"A"&
´ t Y
*
/7.83
´ t X
´ i− X ´ .. X
´ X ´ .. b yx (¿ ¿ t − X ¿
053./0
8.04
3.70
´ t . =Y ´ t −b yx ( X ´ i− X ´ ) Y ^
/6.20
/
06.30
068.*0
06.50
5.*2
00.76
0
/0.27
0/6.*0
/4.3/
0.5*
/8.66
2
/6.50
05/.55
2.35
3.50
03.38
5
03.50
052.50
/.34
3./4
03.73
´ ..=356.6 X
b=
SP XY . Error SP X . Error
=
1311.75 10195.46
=0.1287
Los e$$o$es est>n#$ de la di(erencia entre dos medias de tratamiento a,"stados) con i%"al tama5o ' di(erente tama5o m"estral) res$ectivamente se determinan $or
S
∧
= S yx
d
S = S yx ∧
d
4onde
√
√
´ − X ´ ) X ( +
2
2
r
i
t
SC x . error
´ − X ´ ) X ( +
2
1
+
1
i
t
r 1 r 1 SC x . error S yx = √ C erro. ajustado
CONCLUSIONES:
Las com$araciones orto%onales son a-"ellas -"e re6e,an $iezas de in(ormaci&n inde$endientes ' -"e el res"ltado de "na com$araci&n no tiene relaci&n al%"na con el res"ltado de c"al-"ier otra. 4estacamos s" "so en el control del error) lo c"al a"menta la $recisi&n con -"e se mide "n e#$erimento8 tam!ién) $ermite a,"star las medidas de tratamientos) lo%rando as7 "na me,or inter$retaci&n de los datos ' del e(ecto de los tratamientos. BIBLIOGRAFA:
CONTRASTES ORTOGONALES. tt$"ce."niovi.esc"rsolinealIn(ormese.tml CONTRASTES Orto%onales
ORTOGONALES.
tt$es.scri!d.comdoc0@J1@PPContrastesF
S\NC9E] = OTERO) ^"lio. INTRO4MCCI_N AL 4ISE`O E>ERIENTAL. Análisis de Covarianciab "ito = Ec"ador. Edici&n 211. >á%inas 02 = 02J.
CUESTIONARIO GRU=O NH ( TEMA: CONTRASTES ORTOGONALES COVARIANCIA ,/ =on%# "# ó$'!"# e S!'# e c!#$#os e" cont$#ste:
./ =on%# !n# c#$#cte$
Mna $ro$iedad caracter7stica de las com$araciones orto%onales es la descom$osici&n de la S"ma de C"adrados de tratamientos del AN!A en tantos com$onentes orto%onales /inde$endientes3. 9/ KC!>" es e" 'oe"o '#te'>tico e "# Co#$i#nci# j + b(xij - x…. ) + Ɛij Y ij= µ + τ i + β
Dónde: y= variable dependiente o de respuesta x= covariable o variable independiente b= pendiente de la regresión lineal
0/ KC!>"es son "os s!p!estos e "# co#$i#nci# •
•
Los son *,os /se re$iten3) medidos sin error e inde$endientes de los tratamientos. La re%resi&n de Y res$ecto a ) des$"és de eliminar di(erencias de !lo-"es ' tratamientos es lineal e inde$endiente de estos (actores. Los errores se distri!"'en normal e inde$endientemente con medida cero ' varianza com+n.
(/ S!$#e "# $esp!est# co$$ect#
Venta,as de los contrastes orto%onales a3 e ,or alternativa $ara s"sti t"ir las $r"e!as de com$araci one s m+lti$les !3 4ev"elve la covarianza de la m"estra) o $romedio de los $rod"ctos de las desviaciones $ara cada $are,a de $"ntos de datos en dos con,"ntos de datos. c3 Son inde$endientes c"ando la s"ma de los $rod"ctos cr"zados de los coe*cientes es cero) e s decir) la condici&n de orto%onalidad entre dos com$araciones c"m$le la si%"iente restricci&n.
3/ Esc$i# e$#e$o o #"so se%n co$$espon#
4esventa,as de Covariancia •
Si la covarianza es cero no a' "na covariaci&n clara en nin%"no de los dos
•
sentidos. /V3 Inde$endientes c"ando la s"ma de los $rod"ctos cr"zados de los coe*cientes
•
es cero) es decir) la condici&n de orto%onalidad entre dos com$araciones c"m$le la si%"iente restricci&n. /3 No $ermite a,"star medias de tratamientos de la varia!le de$endiente a las di(erencias en con,"ntos de valores de varia!les inde$endientes corres$ondientes. /V3
/ C!>"es son "#s ent#@#s e Co#$i#n;#
•
Indica el %rado de variaci&n con,"nta de dos varia!les aleatorias. 4eterminar si e#iste "na de$endencia entre am!as varia!les ' además es el
•
dato necesario $ara estimar otros $arámetros !ásicos) como el coe*ciente de correlaci&n lineal o la recta de re%resi&n. >ermite -"e las dos varia!les están variando con,"ntamente) ' en el mismo
•
sentido) c"ando al crecer los valores de "na de las varia!les tam!ién a"mentan los de la otra.
