TRANSLASI MATEMATIKA

RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA

TRANSLASI 1. PENGERTIAN TRANSLASI Translasi adalah Transformasi yang memindahkan titik – tiik dengan jarak dan arah tertentu. Dengan rumus umum : a T   b

Px, y    P ' x  a, y  b 

2. TRANSLASI TITIK Pada dasarnya prinsip translasi dapat digunakan dalam semua bentuk baik bangun datar maupun bangun ruang. Hal yang perlu diingat adalah benda yang akan ditranslasikan itu mempunyai bentuk yang tetap, sehingga menghasilkan bayangan yang semula. Contoh: 1.

 2

Tentukan bayangan dari titik – titik berikut jika ditranslasikan oleh T     3 a. P = (1, 4) b. Q = (-1,1) c. R = (2, -4) Penyelesaian :  2 T    3

a. Titik P 1,4   P ' 1  2,4  3  P ' 3,7   2 T    3

b. Titik Q  1,1    Q ' 1,4  2 T    3

c. Titik R 2,4     R ' 4,1

1 |

ILove Mathematic[VIIIApagi]


Jika translasi T memetakan titik A(1,-2) ketitik A’(4,3), tentukan translasi itu?

2.

Penyelesaian:

a Misalkan T adalah T   b a T    A1,2  A; 1  a,2  b  A' 4,3 b Dari persamaan diatas diperoleh : 1 a  4  a  3 2b 3b 5

 3 Jadi translasi T adalah T    5

3. TRANSLASI TITIK PADA RUANG DIMENSI TIGA (3D) Contoh:

2 |



1    T  1   2  tentukan Diketahui sebuah titik R(2, 1, 2) dan ditranslasikan ke  

bayangan R’!! 1  T  1   2  

R(2, 1, 2)  R' (3, 2, 4)

4. TRANSLASI SUATU GARIS Contoh : Jika diketahui garis lurus y = 4x + 1, maka tentukan bayangan dari persamaan

1 garis tersebut setelah ditranslasikan oleh T   !  2 Penyelesaian: Y = 4x + 1 Jika :

3 |



x  1, maka y  5,  P1,5 x  2, maka y  9,  Q(2, 9  persamaan garis lurus dua titik y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1 y7 x2  11  7 3  2 y  7  4 x  2  y  4x  8  7 y  4x  1

5.

TRANSLASI SUATU BANGUN a T   b

ABC   A ' B ' C ' AB  A ' B ' , BC  B ' C ' , AC  A ' C ' Sehingga ABC  A ' B ' C ' Contoh :

 4 A (2,3), B(0,6), C(1,4) ditranslasikan oleh T   , tentukan koordinat translasi  3 dan gambarkan ! Penyelesaian :  4 T    3

A2,3   A ' 6,6  4 T    3

B0,6   B ' 4,9  4 T    3

C 1,4   C ' 5,7 

4 |



6.

KOMPOSISI DUA TRANSLASI BERURUTAN Misalkan T1 adalah transformasi yang memetakan titik P’ (x’, y’), kemudian

dilanjutkan transformasi T2 yang memetakan titik P” (x”,y”). Dapat di notasikan sebagai berikut : T2

P(x , y)

P’(x’ , y’)

T1

P’’(x’’ , y’’)

Transformasi yang ditulis dalam T1oT2 (Dibaca : T2 komposisi T1), dinamakan komposisi transformasi atau transformasi majemuk, yaitu suatu transformasi yang didalamnya melibatkan dua atau lebih transformasi tunggal secara berurutan. Note :  Notasi T1oT2 menyatakan transformasi T2 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T1 

Notasi T2oT1 menyatakan transformasi T1 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T2 Contoh :

 2  3 Jika diketahui titik A(1,6) dan T1   , T2   , Maka tentukanlah :   3  5 a.

T1 (1,6)

b.

T2 (1,6)

c.

T1oT2 (1,6)

d.

T2oT1 (1,6)

Penyelesaian : a. b. c. d.

5 |

 2 T    3 

A1,6  A1 3,3, '

 3 T   5

'

 3 T   5

'

A1,6   A2 4,11,

jadi T1 1,6  3,3 jadi T2 1,6   4,11  2  T    3 

A1,6   A2 4,11  A '' 6,8  2 T    3 

 3 T   5

A1,6  A2 3,3   A '' 6,8 '

jadi

T1oT2 1,6  6,8

jadi

T2 oT1 1,6  6,8



Hasil dari perhitungan pada contoh tersebut menunjukkan berlakunya sifat komutatif.

7.

TRANSLASI PADA LINGKARAN Lingkaran adalah himpunan titik – titik pada bidang datar yang berjarak sama

terhadap satu titik tertentu yang tetap. Titik tetap tersebut disebut titik pusat lingkaran dan jarak tetap tersebut disebut jari – jari lingkaran. a. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari –jari r Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (titik – titik asal koordinat) dan berjari- jari r, perhatikan lingkaran yang dilukiskan pada diagram cartesius seperti ditunjukkan pada gambar.

6 |



Dengan menerapkan Teorema Pytagoras pada segitiga OP’P, diperoleh hubungan:

OP 

OP'2  PP'2

 r  x 2  y 2 ; sebab OP  r , OP'  x, dan PP'  y  r 2  x2  y2  x2  y2  r 2 Oleh karena pengambilan titik P (x,y) tadi dilakukan sembarang, maka persamaan

x 2  y 2  r 2 berlaku untuk semua titik P (x,y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian, kita dapat mengambil kesimpulan persamaan lingkaran dengan

x2 + y2 = r2

pusat 0 dan jari – jari r adalah:

Notasi pembentuk himpunan dengan pusat 0 dan jari –jari r dapat ditulis sebagai berikut :



L  ( x, y ) x  2  y  2  r  2



Contoh : 1.

Jika diketahui jari – jari lingkaran 5 cm. Maka tentukanlah persamaan

 3 lingkaran yang berpusat dititik asal ditranslasikan terhadap T   maka  4 tentukan persamaan bayangannya. Penyelesaian : x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25 jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 dan berjari – jari 5 cm adalah : x2 + y2 = 25

7 |



Jika persamaan lingkaran yang berpusat dititik (0,0) di translasikan

 x sejauh T   , maka diperoleh  y

 x T    y

: P0,0   P ' x  0, y  0 jika

persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan berjari – jari 5cm

 3 pada contoh sebelumnya ditranslasikan oleh T  , maka akan diperoleh:  4  3 T    4

P0,0   P ' 3,4  3 T    4

A0,5   P ' 3,9  3 T    4

B0,5   P ' 3,1  3 T    4

C 5,0   P ' 8,4  3 T    4

D 5,0   P ' 2,4

8 |



b. Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (a,b) Misalkan P (x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Buatlah garis g yang melalui titik pusat A (a,b) dan sejajar dengan sumbu X, P’ adalah proyeksi P pada garis g sehingga segitiga AP’Q merupakan segitiga siku- siku di P’ dengan AP’ = (x – a),PP’ = (y – b) dan AP = r (jari – jari lingkaran).

P’(x , y)

b

A(a, b)

Q

P(x , y)

a

Dengan menggunakan teorema pytagoras pada segitiga AP’Q, maka kita akan mendapatkan hubungan

 AP '2 r2 r

 AQ2  QP'2 2 2  x  a    y  b  2 2  x  a    y  b  

Karena titik P (x , y) kita ambil sembarang, maka persamaan (x - a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik P (x , y) yang terletak pada keliling lingkaran sendiri. Persa maan lingkaran dengan pusat A(a , b) dan jari –jari r adalah (x - a)2 + (y – b)2= r2 Lingkaran dalam bentuk persamaan L = (x - a)2 + (y – b)2 = r2 sering dikatakan sehingga persamaan berlaku baku. Dalam arti jika persamaan.

c. Bentuk umum persamaan lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu : x2 + y2 – 2ax + c = 0 9 |



persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari – jari r dapat diuraikan kedalam bentuk aljabar sebagai berikut : x2 + y2 – 2ax + 2by + c = 0 x2 + y2 – 2ax + 2by = – c x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = – c + a2 + b2 (x – a)2 + (y – b)2 = a2 + b2 – c Dengan memperhatikan bentuk diatas, maka jari – jari lingkaran tersebut adalah : a.

Pusat lingkaran

: (a , b)

b.

Jari – jari lingkaran :

a2  b2  c

Contoh : 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik (3,1) dan melalui titik

 2 (6,-3) dan ditranslasikan sejauh T    3 Penyelesaian : Tentukan kuadrat jari – jari terlebih dahulu r2

= (x - a)2 + (y – b)2

r2

= (6 - 3)2 + (-3 – 1)2

r2

= (3)2 + ( -4)2

r2

= 9 + 16

r2

= 25

(x - a)2 + (y – b)2

= r2

(x - 3)2 + (y – 1)2

= 25

Dari persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y – 1)2 = 25 di translasikan sejauh

10 |



 2

T    2  3  M ' 5,4 T   , maka diperoleh : M 3,1   3

2. Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 2x – 6y + 26 = 0 memiliki bayangan dengan menggunakan persamaan x2 + y2 – 4y – 12 = 0 tentukan translasinya! Penyelesaian : x2 + y2 – 2x – 6y + 26 = 0 x2 – 2x + y2 – 6y = –6 (x – 1)2 + (y – 3)2 = 26 – 1 – 9 = 16 a = 1, r = 4 dan b = 3, maka titik pusat M (1,3) x2 + y2 – 4x – 4y – 12 = 0 x2 – 4x + y2 – 4y = 12 (x - 2)2 + (y – 2)2 = 12 – 8 = 4 a = 2, dan b = 2, maka titik pusat M (2 , 2)

11 |



dari persamaan (1) diperoleh

 X  1       Y   3 dari persamaan (2) diperoleh

 X '  2       Y '   2  a   X '  X  Maka :         b  Y'   Y   2  1     2  3 1      1

8. TRANSLASI GARIS SINGGUNG LINGKARAN a. Garis dan Lingkaran Misalkan garis g : y = ax + b ..................................1) Lingkaran x2 + y2 – 2ax -2by + c = 0 ....................2) Subsitusikan persamaan 1) kepersamaan 2), akan memperoleh persamaan kuadrat baru dalam peubah x atau peubah y, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu : 

Jika diskriminan D = 0, Maka garis memotong lingkaran disuatu titik ( garis menyinggung lingkaran L )



Jika diskriminan D < 0, Maka garis g tidak memotong lingkaran



Jika diskriminan D > 0, Maka garis g memotong lingkaran L didua titik yang berbeda Contoh :

12 |



Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis 2x + y = 4, melalui titik pangkal (0 , 0) dan berjari – jari 5 dan tentukan persamaan lingkaran yang

 2 baru jika dtranslasikan sejauh T   1 Penyelesaian: Misalkan M (a , b) terletak pada garis 2x + y = 4. Lingkaran tersebut melalui titik pangkal pangkal O (0,0) dengan jari – jari r  5 . Maka: a  b 1 b  a 1

 x  a  2   y  b 2 0  a 2  0  b 2

5

a2  b2

5

a 2  a  1

 r2

5

2

a 2  a 2  2a  1

5

2a 2  2a  4

0

a  a 2

0

2

a  2 a  1 a1 = 2 dan

0 a2 = –1

Jika a = 2, maka b = 0 Jika a = –1, maka b = 6 Untuk titik pusat (2 , 0)  persamaan lingkaran adalah  x  2   y 2 2

5

Untuk titik pusat (–1, 6)  persamaan lingkaran adalah  x  1   y  6   5 2

Jika persamaan lingkaran

x  2 2

2

 2  y 2  5 ditranslasikan sejauh T   1  2 T   1

Maka akan diperoleh : : M 1 2, 0  M 2 4, 1 Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang berpusat dititik M2(4, 1):

13 |



x  42   y  12

5

x2 – 8x + 16 + y2 – 2y + 2 = 5 x2 + y2 – 8x – 2y + 13= 0 Jika persamaan lingkaran

x  12   y  62

5

 2 ditranslasikan sejauh T   1 maka akan diperoleh :  2 T   1

M 1  1, 6   M 2 1, 7  Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang berpusat dititik M2(1, 7):

x  12   y  7 2

5

x2 –2x + 1 + y2 – 14y +49 = 5 x2 + y2 – 2x -14y +45 = 0 b. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu Persamaan garis lingkaran x2 + y2 = r2 yang bergradien (koefisien arah ) = m, dapat dirumuskan sebagai berikut : Y  mx  r 1 m 2

Persamaan garis singgung lingkaran L : (x – a )2 + ( y – b )2 = r2 yang bergradien (koefisien arah ) = m, dapat dirumuskan sebagai berikut : ( y  b)  m ( x  a)  r 1 m 2

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 yang mempunyai 3 gradien m  4 , kemudian tentukan persamaan lingkaran dan persamaan  3 garis singgung yang baru setelah ditranslasikan sejauh T  4   

14 |



Penyelesaian : L : x2 + y2 = 16  Titik pusat lingkaran (0,0)  Jari – jari lingkaran r = 4 3  Gradien m  4

Y  mx  r 1 m 2 3 3 Y  x  4 1   4 4

2

3 16 9 x4  4 16 16 3 Y x  5 4 Y

Jika L : x2 + y2 = 16 dengan titik pusat P (0,0) dan jari – jari r = 4 cm ditranslasikan, maka akan diperoleh :  3 T    4

P0,0   P ' 3,4 Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu :

 x  32   y  4 2

 16

x2 + 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 16 x2 – y2 – 6x – 8y + 9 = 0 syarat : m awal dan m akhir maka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan lingkaran x2 – y2 – 6x – 8y + 9 = 0 dan P’ (3, 4) adalah: ( y  b)  m ( x  a )  r 1 m 2 3 3 ( y  4)  ( x  3)  4 1   4 4 3 9 ( y  4)  x   5 4 4

15 |

2



3 9 x  4 4 3 9  x  4 4 3 27  x 4 4

( y  4)  y y

20 4 20 16  4 4

dan 3 9 20 16 x   4 4 4 4 3 13 y  x 4 4 jadi persamaan garis yang baru adalah : 3 27 y  x 4 4 3 13 y  x 4 4 y



c. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung dititik (x1 , y1) yang terletak pada lingkaran L : x2 + y2 = r2 xx1 + yy1 = r2 Persamaan garis singgung dititik (x1 , y1) yang terletak pada lingkaran L = (x - a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 persamaan garis singgung dititik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran L = x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 xx1 + yy1 – 2a(x + x1) – 2b(y + y1) + c = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L : x2 + y 2 = 16 dititik (0 , 0). Kemudian tentukan persamaan lingkaran dan garis singgung yang

 3 baru setelah ditranslasikan sejauh T   1

16 |



Penyelesaian : Persamaan garis singgung lingkaran L : x2 + y2 = 16 dititik (1 , 2) adalah xx1 + yy1 = r2 xx1 + yy1 = 16 x + 2y = 16 x + 2y – 16 = 0 Jika L : x2 + y2= 16 dengan pusat P(0 , 0) dan jari – jari r = 4 cm di translasikan, maka akan diperoleh :  3 T   1

P0,0   P' 3,1

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu :

x  32   y  12

 16

x2 - 6x + 9+ y2 – 2y + 1 = 16 x2 + y2 -6x – 2y - 6 = 0 syarat : m awal → m akhir dari persamaan x2 + y2 – 6x – 2y - 6 = 0 diperoleh : – 2a = –6

– 2b = – 2

a=3

b=1

maka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan lingkaran : 3x – 6y = 51

17 |

[garis merah]



d. Persamaan garis singgung suatu titik diluar lingkaran Misalkan P (x,y) adalah titik diluar lingkaran L1 : x2 + y2 = r2 atau lingkaran L : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x,y) ditempuh langkah – langkah sebagai berikut : 1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x , y) yaitu : y – y1 = m ( x – x1 ). 2. Subsitusikan persamaan garis pada langkah 1) kepersamaan lingkaran persamaan kuadrat dalam x atau y. 3. Tentukan D = 0 dari persamaan kuadrat pada langkah 2), sehingga diperoleh nilai m. 4. Subsitusikan nilai m kepersamaan garis semula pada langkah 1) sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta. Contoh : Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-1 ,7) diluar lingkaran L = x2 + y2 = 25. Kemudian tentukan persamaan lingkaran dan persamaan

 3 garis singgung yang baru jika ditranslasikan sejauh T    1 Penyelesaian : 1.

Persamaan garis singgung melalui (-1,7) y - y1 = m(x - x1). y – 7 = m(x + 1). y

2.

3.

18 |

= mx + m + 7

Subsitusi persamaan 1) kepersamaan lingkaran x2 + y2 = 25, diperoleh x2 +( mx + m + 7)2

= 25

x2 + m2x2 + 2m2x + 14mx + m2 + 14m + 49

= 25

(1 – m2) x2 + (2m2 + 14m)x + (m2 + 14m +49)

= 0

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0, sehingga diperoleh



D  b 2  4ac  0  (2m 2  14m) 2  4(1  m 2 )(m 2  14m  49)

0

 4m  56m  196m  4(m  14m  49  m  14m 3  49m 2 ) 4

3

2

2

 4m  56m  196m  4m  56m  196  4m  56m  196m 4

3

2

2

0

4

4

3

2

 4m  56m  196  0  : (4) 2

 m 2  14m  49  0  m  7 (m  7)  0  m  7  0 atau  m  7  0 m  7 atau  m  7 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

 y mx  m  7  y (7) x  (7)  7  y  7 x

Jika L = x2 + y2 = 25 dengan titik pusat P(0, 0) dan jari – jari r = 5 cm ditranslasikan, maka akan diperoleh :  3  2   

P0,0  P' 3,2 Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu : (x – 3)2+(y – 2)2 = 25 x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 25 x2 + y 2 – 6x – 4y – 12 = 0 syarat : m awal → m akhir Dari persamaan x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0 diperoleh : -2a = -6 a=3

-2b = -4 b=2

maka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan

19 |


0


lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y -12 = 0 yang melalui titik (-1 ,7) setelah ditranslasikan adalah

 3    2

g  1,7  g ' 2,9

 y  y1  m( x  x1 )  y  9  m( x  2) y

 mx  2m  9

jika m   7, maka :

 y  (7) x  2 7   9  y  7 x  23

Jadi persamaan garis singgung yang baru adalah : y = -7 x + 23 9. TRANSLASI PADA PARABOLA Parabola adalah himpunan titik-titik pada bilangan datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu (focus) dan sebuah garis tertentu (direktris). Persamaan parabola di titik (0, 0)

→

y2 = 4px atau x2 = 4py

Persamaan parabola di titik (a, b)

→

(y – b)2 = 4p(x – a) atau (x – a)2 = 4p(y – b)

Contoh soal: Persamaan parabola yang titik fokusnya (4,0) dan direktrisnya x = -4 di translasikan

5 4

oleh T    Tentukan : a. Tentukan persamaan bayangan parabola b. Sketsa gambarnya. Ingat : F(p, 0) dan garis x = -p (direktriks)

Penyelesaian : F (4,0) → x = –4 Lactus rectrum = 4 p = 4× 4 = 16 2

y = 4px dengan p= 4 → y2 = 4 × 4x y2 = 16 x

20 |



 5

Jika parabola di translasikan sejauh T    ,maka akan di peroleh :  4 T  5   4

P(0,0)  P' (5,4) T  5   4

F(4,0)  F' (9,4) Maka persamaan bayangan dengan puncak P’(5, 4) dimana P = 4 dimana a = 5, b =4 adalah: (y – 4)2 = 4P (x – 5) (y – 4)2 = 4 × 4 (x – 5) (y – 4 )2 = 16 (x – 5 )

y2 – 8y + 16= 16x – 80 y2 – 8y – 16x + 96 = 0 Contoh:

21 |



Jika diketahui persamaan parabola (y – 4) =8 (x–5), maka tentukan persamaan

 3

parabola yang baru setelah di translasikan sejauh T    dan gambar dari parabola  5 tersebut. Penyelesaian : ( y – 4 )2 = 8 ( x – 5 ) ( y – 4 )2 = 4 × 2 (x – 5 ) a=5; b=4; p=2 ( maka parabola terbuka ke kanan ) Kordinat puncak

= P ( 5,4 )

Persamaan sumbu simetri sumbu

y=b

Koordinat focus F ( a + p, b )

= F ( 7, 4 )

 3

Jika parabola ( y – 4 )2 = 8 ( x – 5 ) ditranslasikan sejauh T    , maka akan di  5 peroleh :  3 T   5

P(5, 4)  P' (8, 9)  3 T   5

F (7,4)  F ' (10, 9) Persamaan sumbu simetri adalah y = 8 Sehingga persamaan parabola yang baru dengan puncak (8, 10) adalah : (y – b )2 = 4 p ( x – a ) (y – 9 )2 = 4 . 2 (x – 8 )

y2 – 18y + 81 = 8x – 64 y2 – 18y – 8x + 145 = 0

22 |



C. ELLIPS 1. Pengertian Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. 2. Persamaan ellips di O (0, 0) x y  2  1 atau b 2 x2 +a 2 y2 = a 2b2 2 a b

Translasi ellpis yang berpusat di O (0, 0) Contoh:

23 |



diketahui sebuah ellips dengan persamaan 16x2 + 25y2 = 400 ditranslasikan terhadap T = (1, 2), tentukan persamaan bayn bayangan ellips dan buatangan ellips dan buatlah sketsa gambarnya! Penyelesaian: 16x2 + 25y2 = 400 →

x y  1 25 16

a2 = 25 → a = 5,

b2 = 16 → b = 4,

c2 = a2 – b2 = 9 → c = 3

panjang sumbu mayor 2a = 10 dan panjang sumbu minor 2b = 8 1 T    2

P(0 , 0)  P' (1 , 2) 1 T     2

A1 (a , 0)  (5 , 0)  A1 ' (4 , 2) 1 T     2

A2 (a , 0)  (5 , 0)  A2 ' (6 , 2) 1 T     2

B1 (0 ,  b)  (0 ,  4)

 B1 ' (1 ,  2) 1 T     2

B2 (0 , b)  (0 , 4)

 B2 ' (1 , 6) 1 T     2

f1 (c , 0)  (3 , 0)

f 2 (c , 0)  (3 , 0)

 1 T     2



f1 ' (2 , 2)

f 2 ' (4 , 2)

Maka persamaan bayangan ellips menjadi:

x  12   y  22 25

16

1

16 ( x – 1)2 + 25 (y – 2) 2 = (25) . (16) 16 (x2 – 2x + 1) + 25 (y2 – 4y + 4) = 400 16x2 – 32x + 16 + 25y2 – 100y + 100 – 400 = 0 16x2 + 25y2 – 32x – 100y + 16 + 100 – 400 = 0 16x2 + 25y2 – 32x – 100y – 284 = 0

24 |



1. Persamaan Ellips Berpusat di (h, k)

 x  h 2   y  k 2 a

2

b

2

 1 atau b2 ( x – h)2 + a2 (y – k) 2 = a2 b2

Translasi Ellips yang berpusat di (h, k) Contoh: Diketahui sebuah Ellips dengan persamaan 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 ditranslasikan terhadap T = (2, 3), tentukan persamaan bayangan ellips dan sketsa gambarnya ! 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 4x2 – 48x + 9y2 + 72y = -144 4 ( x2 – 12x) + 9 (y2 + 8y) = -144 4 ( x – 6)2 + 9 (y + 4) 2 = -144 + 144 + 144 4 ( x – 6)2 + 9 (y + 4) 2 = 144

x  6 36

2



 y  4 16

a2 = 36 → a = 6,

25 |

Dimana pusatnya : (6, -4)

2

1

b2 = 16 → b = 4,



c 2  36  16  2 5 Panjang sumbu mayor 2a = 12, panjang sumbu minor 2b = 8  2 T    3

P(6 ,  4)  P' (8 ,  1)  2 T     3

A1 (h  a , k )  (6  6 ,  4)  (0 ,  4)  A1 ' (2 ,  1)  2 T     3

A2 (h  a , k )  (6  6 ,  4)  (12 ,  4)  A2 ' (14 ,  1)  2 T     3

B1 (h , k  b)  (6 ,  4  4)  (6 ,  8)  B1 ' (8 ,  5)  2 T     3

B2 (h , k  b)  (6 ,  4  4)  (6 , 0)  B2 ' (8 , 3) Persamaan bayangan ellips menjadi

x  82   y  12 36

16

1

16 ( x – 8)2 + 36 (y + 1) 2 = 576 16 (x2 – 16x + 64) + 36 (y2 + 2y + 1) = 576 16x2 – 256x + 1024 + 36y2 + 72y + 36 = 576 16x2 – 256x + 36y2 + 72y = 576 – 1024 - 36 16x2 – 256x + 36y2 + 72y = - 484 16x2 – 256x + 36y2 + 72y + 484 = 0

26 |



D. HIPERBOLA Hioperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang diperbandingkan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap. 1. Translasi pada hiperbola yang berpusat di (0, 0) Contoh: Diketahui hiperbola dengan persamaan 9x2 – 16y2 – 144 = 0, di translasikan

1 oleh T    . Tentukan persamaan bayangannya dan sketsa gambarnya!  3 Penyelesaian : 9x2 – 16y2 – 144 = 0

→

9x2 – 16y2

= 144

9 x 2 16 y 2  144 144



x2 y2  16 9

 1

x2 y2  1 a2 b2

144 144

Maka , a2 = 16 → a = 4,

b2 = 9 → b = 3,

c2 = 16 + 9 = 5

Sehingga titik-titiknya adalah sebagai berikut:

P(0 , 0)

1 T    3

 P' (1 , 3) 1 T     3

A1 (a , 0)  (4 , 0)  A1 ' (3 , 3) 1 T     3

A2 (a , 0)  (4 , 0)  A2 ' (5 , 3)

B1 (0 ,  b)  (0 ,  3) B2 (0 , b)  (0 , 3) f1 (c , 0)  (5 , 0)

27 |

1 T     3

 B1 ' (1 , 0) 1 T     3

 B2 ' (1 , 6) 1 T     3



f1 ' (4 , 3)



1 T     3

f1 (c , 0)  (5 , 0) 

f1 ' (6 , 3)

Jadi, persamaan hiperbola sekarang berpusat di (1 , 3) atau di (h , k) sehingga :

x  12   y  32 16

9

1

16 ( y – 3)2 - 9 (x -1) 2 = 144 16 (y2 – 6y + 9) - 9 (x2 – 2x + 1) = 144 16y2 – 96y + 144 – 9x2 + 18x - 9 = 144 16y2 – 96y – 9x2 + 18x = 144 - 144 + 9 16y2 – 96y – 9x2 + 18x = 9 16y2 – 9x2 – 96y + 18x = 9

28 |



1. Translasi Hiperbola yang Berpusat di (h , k) Contoh: Diketahui persamaan hiperbola

x  12   y  12 64

36

 1 di translasikan terhadap

 2. T    . Tentukan persamaan bayangannya dan buatlah sketsa gambarnya ! 3

x  12   y  12 64

P(1 ,  1)

36

1

 a  8, b  6, c  10

 2 T    3

 P' (3 , 2)  2 T     3

A1 (h  a , k )  (1  8 ,  1)  (7 ,  1)  A1 ' (5 , 2)  2 T     3

A2 (h  a , k )  (1  8 ,  1)  (9 ,  1)  A2 ' (11 , 2)  2 T     3

B1 (h , k  b)  (1 ,1  6 )  (1 ,  7)  B1 ' (3 ,  4)  2 T     3

B2 (h , k  b)  (1 ,  1  6)  (1 , 5)  B2 ' (3 , 8)  2 T     3

f1 (h  c, k )  (1  10 ,  1)  (9 ,  1)  Persamaan bayangan hiperbola menjadi

29 |

f1 ' (7 , 2)

 x  3 2   y  2  2 64

36

1



30 |


TRANSLASI MATEMATIKA

Recommend Documents