GESERAN (TRANSLASI

GESERAN (TRANSLASI)


Makalah
Disusun Dalam Rangka Memenuhi Tugas Presentasi
Mata Kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu: Dr. Iwan Junaedi, M. Pd.

Disusun Oleh
Nurika Luthfiana (4101407041)
Erni Musyahadah (4101407042)
Maulina Wijayanti (4101407043)
Miftahul Anwar (4101407044)
Eni Purwati (4101407045)


JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010




BAB X
GESERAN (TRANSLASI)


Ketentuan dan Sifat-sifat
Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka . Dalam bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB maka dengan dan
Pembuktian:
Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMgA dan B"=MhMgB.
Buktikan : AA"=BB".
Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x.
BXAA''A'gB''B'NhY
B
X
A
A''
A'
g
B''
B'
N
h
Y











Ambil titik A dan B sebarang dengan A B dan A, B g A,B h
Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)

Akan dibuktikan SN(A)=B" dengan N adalah titik tengah BA"
Jelas g : x=0.
Andaikan persamaan garis h adalah x=n, n 0.
Maka, MgA=A'=-a1,a2 dan
MhMgA=A" MhA'=A"
Mh-a1,a2=A"
-a1+2n+a1,a2=A"
2n+a1, a2=A"
MgB=B'=-b1,b2 dan
MhMgB=B" MhB'=B"
Mh-b1,b2=B"
-b1+2n+b1,b2=B"
2n+b1, b2=B"
Karena N titik tengah BA",
Maka
Diperoleh dan A=(a1, a2)
sehingga

Dengan demikian maka AA"=BB"
Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).


Definisi :
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB sehinga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan PP'=AB.

Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB suatu garis berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang sesuai dengan AB.

Teorema 10.2
Apabila AB=CD maka GAB=GCD
Bukti:
Dipunyai
Ambil x sebarang
Misalkan dan
Maka dan
Karena maka
Ini berarti bahwa x1 = x 2
Jadi

Teorema 10.3
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada g dengan C g dan D h. Apabila AB=2CD maka GAB=MhMg
Bukti:
Ambil titik P sebarang.
Misal P'=GAB(P) dan P"=MhMg(P)
Akan dibuktikan P'=P"
Menurut definisi geseran PP'=AB
Karena AB=2CD , maka PP'=2CD
Karena C g maka MhMgC=MhMgC=MhC=C"
Ini berarti D titik tengah CC" , sehingga CC"=2CD
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"=PP"
Jadi CC"=2CD=PP'=PP" akibatnya P'=P"
Jadi GAB(P)=MhMg(P)
Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg

Catatan
Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak 12AB.
Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g, h dan n tiga garis masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB maka GAB=MhMg=MnMh.
AMnhgB
A
M
n
h
g
B







Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan.
Teorema 10.4
Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA
Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)
Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)
Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)
Maka setiap geseran memiliki balikan
gnhPerhatikan gambar berikut:
g
n
h



C""BA
C
""
B
A

Dari uraian diatas

Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)
=Mh[Mg(A)]
=Mh(A)
=B
GAB(A)=MnMh(A)
=Mn[Mh(A)]
=Mn(B)
=B

Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh

Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)
=Mh[Mn(B)]
=Mh(B)
=A
GBA(B)=MgMh(B)
=Mg[Mh(B)]
=Mg(A)
=A

Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1
= Mh-1 Mn-1
= MhMn
=GBA
Jadi (GAB)-1=GBA

Teorema 10.5
Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB=2CD maka
GAB = SCSD
Bukti :
BAndaikan g=CD , k g di C, m g di D (gambar 10.5)
B
CDgkm
C
D
g
k
m

A
A




Gambar 10.5
Gambar 10.5

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Karena AB=2CD maka GAB = MmMk
Dgm( Berdasarkan Teorema 10.3) ……………….(*)
D
g
m


sedangkan SD = MmMg






(Menurut Teorema 7.1 "andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )

dan SC = MgMk
(Menurut Teorema 7.1 "andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )


Cgk
C
g
k





Jadi :
(Transformasi identitas)SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
= Mm I Mk
= MmMk …………………………………(**)
(Transformasi identitas)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh :
GAB = SCSD

CONTOH:
Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui tentukan sebuah titik D sehingga GAB=SCSD.
YJAWAB:
Y



10
10












9
9







 
 
 
 
8 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
7
B 
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
3
 
 
 
C 
C
 
 
 
 
 
 
2 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1 
-1
0 
0
1 
1
2 
2
3 
3
4 
4
5 
5
6 
6
 
 
 
 
-1 
-1
 
 
 
A 
A
 
 
 
X 
X
 
 
 
-2 
-2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 
-3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 
-4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












Pilih E sebuah titik sehingga, CE=AB maka E=4+1-3,2+7--1 atau E=2,10. Apabila D titik tengah CE maka D=3,6 sehingga CE=2CD.
Atau AB=2CD.
Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB=SCSD jadi titik D yang dicari adalah (3,6).

Teorema 10.6
Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.
Bukti:
Andaikan GAB suatu geseran.
Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CE=AB
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CE, berarti CE=2CD
Menurut teorema 10. 5,
GAB=SDSC
GABSC=SDSCSC
GABSC=SDSCSC
GABSC=SDI
GABSC=SD
Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.

Akibat :
Andaikan SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC.
Bukti :
Diperoleh berturut-turut SCSB=GBC
SCSBSA=GBCSA
Ambil titik X sebarang
Misal GBCSA=SX
Sehingga diperoleh 2BC=2AX atau BC=AX
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik D maka diperoleh
GBCSA=SX
SCSBSA=SD dengan AD = BC.
Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC.

Teorema 10.7
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti :
ABCEE'E''Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC
A
B
C
E
E'
E''





Diperoleh GABA=B dan GBCB=C
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A
maka didapat GBCGABA=GBCGABA
=GBCB
=C
Andaikan titik E sebarang
Diperoleh GAB(E)=E'
Berarti EE'=AB
GBC(E')=E''
Berarti E'E''=BC
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh
GBCGABE=GBCGABE
=GBCE'
=E"
Berarti EE''=AC sehingga diperoleh
GEE"E=E"=GAC
Jadi GBCGAB=GAC
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5
Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQ=AB dan titik R sehingga 2QR=BC
Diperoleh GAB=SQSP dan GBC=SRSQ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh
GBCGAB=SRSQSQSP
=SRSQSQSP (assosiatif)
=SRISP (Identitas transformasi)
=SRSP (Identitas transformasi)

Karena 2PR=AC maka diperoleh SRSP=GAC
Jadi GBCGAB=GAC

Teorema 10. 8
Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka T=GOA.
Bukti :
Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b)
Missal GOAP=P', berarti PP'=OA
P'=x+a-0,y+b-0=x+a,y+b
Jadi, TP=P'=GOAP, P V
Artinya
Ini berarti T=GOA.
Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7
Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH
Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OA=EF dan OB=KH
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh
GOA(P) = P'= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P' = (x+c,y+d)
Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena maka GOB(P) = P' = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh
GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]
= GKH(x+a,y+b)
= ((x+a)+c,(y+b)+d)
= (x+(a+c),y+(b+d))
Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik (a+c,b+d).



















SOAL TUGAS 1
Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.
Lukislah
Lukislah
Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan
Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga
Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :
Garis h sehingga
Garis k sehingga
Garis m sehingga m'
Titik C sehingga
Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis trersebut.
Lukislah titik B sehingga
Lukislah titik C sehingga
Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
gCDBPA
g
C
D
B
P
A





Lukislah :

Garis h sehingga g


Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
R
R
R
Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :
Jika maka
Setiap translasi adalah suatu involusi
dengan
Apabila M titik tengah , maka
Apabila g' (g), maka g' // g
Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)
Tentukan C'
Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga
Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B.
Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)
Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :
jika P = (x,y)
Titik D sehingga
Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)
SOAL TUGAS 2
Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
Tentukan GABSC(P)
Tentukan SCGAB (P)
Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X
Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
Tentukan D sehingga SDSC = GAB
Tentukan E sehingga SASBSC = SE
Tentukan F sehingga GABSC = SF
Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :
Titik E sehingga GCDGAB = GAE
Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X
a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b). Tentukan S-1 (P)
Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1
Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?
Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan
Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan
Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan
G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)
Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat, buktikan :
SBSA adalah suatu translasi
Jika P sebuah titik dan P' = SBSA(P), maka = 2
Buktikan sifat-sifat berikut :
Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap
Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa
Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)
Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)
L = . Tentukan persamaan himpunan L' = SASB(L)







JAWABAN TUGAS 1
Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
ABC
A
B
C


Lukislah GAB(A) dan GAB(B)

AB=GAB(A)A'=GAB(B)
A
B=GAB(A)
A'=GAB(B)


Lukislah GAB(C)
ABCC'=GAB(C)
A
B
C
C'=GAB(C)


Lukislah garis-garis g dan h dengan dan GAB=MhMg
GAB(A) =BMhMg(A)=B}GAB=MhMgABgh
GAB(A) =B
MhMg(A)=B
}
GAB=MhMg
A
B
g
h



hgABCLukislah garis-garis g dan h sehinggadan sehingga GAB=MhMg
h
g
A
B
C



Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga gAB.
hgABLukislah garis h sehingga MhMg= GAB
h
g
A
B



GAB(A)= BMhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B}MhMg=GAB
GAB(A)= B
MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B
}
MhMg=GAB


Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
AgkB
A
g
k
B


GAB(A)= BMgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B}MgMk=GAB
GAB(A)= B
MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B
}
MgMk=GAB


mAm'BGaris m sehingga m' = GAB(m)
m
A
m'
B



m' = GAB(m)GAB (m) = B
m' = GAB(m)
m' = B
Titik C sehingga GBA(C) = B

ABC
A
B
C


GAB(C) = B


Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.
Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB
Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A')=B
g hA Mg(A)=A' B= Mh(A')
g
h
A
Mg(A)=A'
B= Mh(A')








Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC
Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A')=C
g h C= Mg(A' )AMh(A)=A'
g
h
C= Mg(A' )
A
Mh(A)=A'







Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
DCBA
D
C
B
A

P
P

Lukislah !



GCD GAB (P)
P"
P"
P'
P'
P
P
GAB (P) = P' dimana PP' = AB
GCD (P) = P" dimana P'P" = CD
GCD GBA (P)P'P"
P'
P"
P
P


GBA (P) = P' dimana PP' = BA
GCD (PP) = P" dimana P'P" = CD
Garis h sehingga GAB GCD (h) = g

h
h
g = GABGDC (h)
g = GABGDC (h)
h' = GDC (h)
h' = GDC (h)

G3AB (P)
P"' = G3AB (P)
P"' = G3AB (P)
P"
P"
P'P
P'
P

Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:
GABGCD(P)=R
SAGBC(P)=R
(GAB)-1 Mg(P)=R
Penyelesaian:









Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:
Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)
Bukti:
Dipunyai GAB=MgMh.
Jelas MgMh MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).
Jadi GAB MhMg.
Jadi jika GAB=MgMh maka GAB MhMg
Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)
Bukti:
Misal: GAB=MhMg.
Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1
= Mg-1Mh-1
= MgMh
GAB.
Jadi GAB bukan suatu involusi.
GABGAB= GCD dengan (Benar)
Bukti:
Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.
Karena GAB(P)=P2 maka
GAB(P2)=P4 maka dan
GABGAB(P)=P4 maka
Sehingga , akibatnya
Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.
Apabila M titik tengah , maka (Benar)
Apabila g' = (g), maka g'//g ( Benar)
Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab :
Jelas g dan h dan jarak antara g dan h
Persamaan garis



Jadi
Misal A g maka persamaan garis g




Jarak antara g dan h , A g maka h melalui c sehingga C midpoint AB
)
)

Jadi C(-1,5)
Persamaan garis h AB dan melalui C(-1,5)




Jadi g : y =
h : y =
Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).
Tentukan
Penyelesaian:
Karena maka
Jelas



Sehingga dan
Jadi
Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga dan sehingga MhMg= GAB.
Penyelesaian:
Jelas
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan
Sehingga diperoleh

Karena g//h maka .
Misal garis h melalui titik D maka
Sehingga diperoleh




Jadi dan
Jadi titik D(0,2).
Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan adalah

dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan adalah


Diket A(2,1), B(5,-3)
Ditanyakan

misal maka
sehinggga




dan


Jadi C'(7,-2)
dengan
misal
maka sehingga

dan






Jadi
10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).
Jawab:
Jelas

Sehingga dan
Jadi
b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).
Jawab:
Misal titik maka

Sehingga dan
Jadi titk D(0,-2).
c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga
Jawab:





JAWABAN TUGAS 2

Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P
Tentukan GABSC(P)
Penyelesaian :
GABSC(P)=GAB[SC(P)]
=GAB(P') dengan C adalah titik tengah
=P" dengan
Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian :
SCGAB(P)=SC[GAB(P)]
=SC(P') dengan
=P" dengan C titik tengah
Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X
Penyelesaian :
Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD
Ambil titik X sebarang
GABSC(X)=SD(X)
Diperoleh SD(X)=X, berartti X=
Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)
= GAB[SC(X)]
=GAB(D') dengan C titik tengah D', berarti
=D dengan
=X
Jadi titik X adalah titik tengah dimana
Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
Tentukan D sehingga SDSC=GAB
Penyelesaian :


Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana,
2
Tentukan E sehingga SASBSC=SE
Penyelesaian :
Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C dimana,
Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti dimana,
Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :
Titik E sehingga GCDGAB=GAE



Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X




a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S-1(P).
Penyelesaian :
Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)
=(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.
Penyelesaian :
Ambil titik P sebarang
Misal G1=GAB dan G2=GCD
G1G2(P)=G1[G2(P)]
=G1(P') dengan
=P" dengan
Jadi, ………(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)]
=G2(P') dengan
=P" dengan
Jadi, ………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB
G1G2=G2G1
Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?
Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.
Penyelesaian :

Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan
Penyelesaian :

Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Penyelesaian :

Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Penyelesaian :

Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.
Penyelesaian :

G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).
Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G
Penyelesaian :
SDSC(P)=G(P)
SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)
Misalkan D(a,b)
[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
2a-(2-x)=x+2
2a=x+2+2-x
2a=4
a=2
2b-(-14-y)=y+3
2b=y+3-14-y
2b=-11
b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5)

Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian :
Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])
=(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah maka,



x=-1


y=18
Jadi koordinat D=(-1,18)
Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat. Buktikan :
SBSA adalah suatu translasi
Penyelesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
SBSA(P)=SB[SA(P)]
=SB(2a1-x,2a2-y)
=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)
=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]


Jika P sebuah titik dan P'=SASB(P), maka =
Penyeleesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
Dari hasil a) diperoleh P'=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
=( b1–a1,b2-a2)
=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]
=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]
=2( b1–a1,b2-a2)
=2
Jadi terbukti =

Buktikan sifat-sifat berikut :
Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap
Penyelesaian :

Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Penyelesaian :

Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA
Penyelesaian :


Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)
Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)
Penyelesaian :
SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)
=SA(-6-x,10-y)
=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)
=(10+x,-8+y)
Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)
L={(x,y)" x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L'=SASB(L).
Penyelesaian :
L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]
=SA(-6,10)
=[2.2-(-6),2.1-10]
=(10,-8)
Jadi L'={(x,y)"(x-10)2+(y+8)2=4}