RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB X KONSEP GESERAN ( TRANSLASI )
disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Rombel 05 Dosen pengampu Bapak Iwan Junaedi
Oleh Kelompok 7 1.
Nur Sholeh
41014091
2.
Nur Solikhah
4101409125
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012
PEMBAHASAN GESERAN ( TRANSLASI ) A.
Ketentuan dan sifat – sifat – sifat sifat
Materi sebelumnya tentang pengertian ruas garis berarah yang selanjutnya dilanjutkan dengan penyelidikan transformasi . Pada bab setengah putaran telah diperoleh kesimpulan bahwa setiap setengah putaran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi ( pencerminan ), yaitu jika A adalah sebuah titik serta g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka S A = M gMh. Dalam babi ni akan dibahas hasilkali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar. Teorema 10.1 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka
̅ dengan A” = M M (A) dan B” = M M (B). h
g
h
g
Bukti : Kondisi diatas dapat diilustrasikan sebagai berikut : Y
A’
A
A’’
N
B B’
B’’ X
h g Ambil titik A dan B sebarang dengan A ≠ B dan
.
Andaikan A= (a1, a2) dan B = (b 1, b2) Akan dibuktikan S N(A)=B” dengan N adalah titik tengah Andaikan persamaan persamaan garis h adalah x = h, k≠0. Ambil titik P(x,y),
̅
Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga
̅ memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan
P(x,y) maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah Karena Q(k,y) dan P(x,y), maka dimisalkan P’=(x1,y1) maka diperoleh
( ) Sehingga
Jadi, Mh(P)=P’=(2k -x,y) -x,y) (P)=P”=(-x,y) Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka M g(P)=P”=(-x,y)
[] Jadi
Karena A (a1 , a 2 ) dan B (b1 , b2 ) Maka
[ ] dan
[]
̅ , Maka dan Jika Maka
Karena N titik tengah
= B” Maka Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah. Jadi hasil transformasi MhMg adalah seakan – akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran). Definisi Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
̅ = ̅ sehingga setiap titik P pada bidang P’ dengan G(P) = P’ dan ̅ da n
Teorema 10.2 : Apabila
̅ maka ̅
Bukti : Dipunyai
̅ ̅
Ambil x sembarang
dan Maka ̅ ̅ dan ̅ ̅ ̅ ̅ maka ̅ ̅ Karena Artinya x1 = x2
̅ ̅ maka Jadi jika Jadi
Teorema 10.3 :
̅ sebuah garis berarah tegak ̅ ̅ maka dan .Apabila
Andaikan g dan g dua garis yang sejajar dan lurus pada g maka
. Bukti :
C”
Ambil titik P sebarang
D
Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P) P”
Akan dibuktikan P’=P”
C
Menurut definisi geseran Karena
=
B
, maka
Berhubung C g maka
[]
=
, sehingga
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh
= =
, maka P’=P”
=
Jadi GAB(P)=MhMg(P) Karena P titik sebarang maka G AB=MhMg Teorema 10.4 -1
Jika GAB sebuah geseran maka (G BA ) = GBA Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3) Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1) Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1) Maka setiap geseran memiliki balikan Perhatikan gambar berikut: g
A
g
P A
Ini berarti D titik tengah
Jadi
h
n
h
B
|
C
Dari uraian diatas Diperoleh
GAB(A)=MhMg(A) =Mh[Mg(A)] =Mh(A) =B GAB(A)=MnMh(A) =Mn[Mh(A)] =Mn(B) =B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh Sedangkan
G BA(B)=MhMn(B) =Mh[Mn(B)] =Mh(B) =A GBA(B)=MgMh(B) =Mg[Mh(B)] =Mg(A) =A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh -1
-1
Sehingga (GAB) = (MnMh) -1
= Mh Mn
-1
= MhMn =GBA -1
Jadi (GAB) =GBA B.
Hasilkali Geseran
Setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi. Dalam subbab ini akan diperlihatkan bahwa setiap geseran dapat diuraikan sebagai hasilkali dua setengah putaran.
Teorema 10.5 Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga 2
̅ maka G
AB
̅ =
= SCSD
Bukti : Andaikan g =
⃡ ,k
g di C, m
g di D
B g D C
A
m k
Maka
̅ ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena ̅ = 2 ̅ maka G
AB
=
MmMk sedangkan S D = MmMg g D
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka S D = MmMg )
m
dan SC = MgMk
g
C
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan berpotongan di C, maka S C = MgMk
Jadi :
k
SCSD = (MmMg)(MgMk ) = Mm (MgMg) Mk
(Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
= Mm I Mk
(Transformasi identitas)
= MmMk Jadi GAB = SCSD Teorema 10.6 Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.
Bukti : Andaikan G AB suatu geseran. Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga
=
Ambil Ambil titik titik D sehing sehingga ga D merupa merupakan kan titik titik tenga tengah h
.
, berart berartii
=2
.
Menurut teorema 10. 5, GAB=SDSC GABSC=SDSCSC GABSC=SD[SCSC] GABSC=SD I GABSC=SD Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Akibat : Andaikan S A, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC
Bukti : Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC SCSBSA=GZBC SA Ambil titik X sebarang Misal GZBC SA=SX Sehingga diperoleh 2
=2
atau
=
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik D maka diperoleh
GZBC SA=SX SCSBSA= SD dengan AD=BC Jadi, jika S A, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka S CSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD BC Teorema 10.7 Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti : Andaikan dua buah geseran yaitu
dan
B
E’
A
C
E
dan Jika dikomposisikan dengan melalui A
Diperoleh
Diperoleh
Andaikan titik E sebarang Diperoleh Berarti
̅ ̅ ̅ ̅
Berarti
dikomposisikan dengan melalui titik E, maka diperoleh ̅ ̅ sehingga diperoleh Berarti Jadi Jika
E’’
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5 Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2
dan titik R sehingga 2
Diperoleh Jika
dikomposisikan dengan
maka diperoleh
(assosiatif) (Identitas transformasi) (Identitas transformasi) Karena 2
maka diperoleh
Jadi Teorema 10. 8 Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(x+a,y+b) maka T=G OA.
Bukti : Ambil titik P(x,y) P(x, y) dengan T(P) = (x+a,y+b) Missal GOA(P) = P’, berarti Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b) Jadi T(P) = P’= GOA(P),
P
V
Ini berarti T = GOA. Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7 Perhatikan dua buah translasi G EF dan GKH Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan
dan
Ambil titik P(x,y) P(x, y) sebarang sehingga diperoleh diperoleh GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d) Karena
maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b) (x +a,y+b)
Karena
maka GOB(P) = P’ = G KH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan G EF melalui titik P maka diperoleh GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)] = GKH(x+a,y+b) = ((x+a)+c,(y+b)+ (( x+a)+c,(y+b)+d) d) = (x+(a+c),y+(b+ (x +(a+c),y+(b+d)) d)) Ini berarti bahwa G KHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik (a+c,b+d).
C.
SOAL LATIHAN TUGAS I
1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris. a. Lukislah b. Lukislah c. Lukislah garis – garis – ga garis ris g dan dan h den denga gan nA d. Lukislah g dan h sehingga C
g dan dan
gdan sehingga
– titik A dan B dan garis g sehingga g 2. Diketahui titik – titik
.Lukislah :
a. Garis h sehingga b. Garis k sehingga c. Garis m sehingga m’ d. Titik C sehingga 3. Diketahui garis – garis – garis garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis – garis trersebut. a. Lukislah titik B sehingga b. Lukislah titik C sehingga 4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
D
B A Lukislah :
C P
a. b. Garis h sehingga
g g
c. d. 5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
a.
R
b.
R
c.
R
6. Apakah ungkapan – ungkapan – ungkapan ungkapan di bawah ini benar atau salah : a. Jika
maka
b. Setiap translasi adalah suatu involusi c.
dengan
d. Apabila M titik tengah e. Apabila g’
, maka
(g), maka g’ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan t entukan persamaan persamaan garis g dan h sehingga
– titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4) 8. Diketahui titik – titik a. Tentukan C’ b. Tentukan persamaan garis – garis – garis garis g dan h sehingga C
g dan
sehingga 9. Diketahui titik – titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B. a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C) b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P) 10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = a.
tentukanlah tentukanl ah :
jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h
(g)
TUGAS II
1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P a. Tentukan G ABSC(P) b. Tentukan S CGAB (P) c. Tentukan semua titik X sehingga G ABSC(X) = X 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris a. Tentukan D sehingga S DSC = GAB b. Tentukan E sehingga S ASBSC = SE c. Tentukan F sehingga G ABSC = SF 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah : a. Titik E sehingga G CDGAB = GAE b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X 4. a.
Untuk semua semua titik P = (x, y), S ditentukan ditentukan sebagai sebagai S(P) = (x+a, y+b). y+b). -1
Tentukan S (P) b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, geseran-geseran, selidiki apakah G 1G2 = G2G1 5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi) d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3) Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga S DSC = G 7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, ( -3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan tentukan koordinat- koordinat titik D sehingga G CD = SBSA. 8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinatkoordinat, buktikan : a. SBSA adalah suatu translasi
b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka
=2
9. Buktikan sifat-sifat berikut : a. Jika GAB suatu geseran, maka G AB tidak memiiki titik-titik tetap b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa 10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, =( -3, 5) a. Jika P = (x, y) tentukan S ASB(P) . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)
b. L = D.
JAWABAN TUGAS I
1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris C A
B
a. Lukislah G AB(A) dan G AB(B)
A
B=GAB(A)
A’=GAB(B)
b. Lukislah G AB(C)
C’=GAB(C)
C
A B c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A g dan G AB=MhMg g
h
GAB(A) =B
}G
AB=MhMg
MhM A =B =B
A
B
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C g dan sehingga G AB=MhMg
C
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g AB. a. Lukislah garis h sehingga M hMg= GAB g
h
A
B
GAB(A)= B
} M M =G h
g
AB
b. Lukislah garis k sehingga M gMk = GAB g
k
A
B
GAB(A)= B
}
c. Garis m sehingga m’ = GAB(m) m’
m
A GAB (m) = B
B
m’ = GAB(m) m’ = B d. Titik C sehingga G BA(C) = B A
B
C
MgMk=GAB
GAB(C) = B 3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut. a. Lukislah titik B sehingga M hMg= GAB Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B g
h
Mg(A)=A’
A
B= Mh(A’)
b. Lukislah titik C sehingga M gMh= GAC Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C g
A
C= Mg(A’ )
4.
h
Mh(A)=A’
Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
D
B A C P
Lukislah ! a)
GCD GAB (P) P”
P’ P
b)
GAB (P) = P’
dimana PP’ = AB
GCD (P) = P”
dimana P’P” = CD
GCD GBA (P) P” P P’
GBA (P) = P’
dimana PP’ = BA
GCD (PP) = P” c)
dimana P’P” = CD
Garis h sehingga G AB GCD (h) = g
h g = GABGDC (h) h’ = GDC (h)
d)
3
G
AB
(P)
P”’ = G3AB (P) P” P’ P
5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana: a. GABGCD(P)=R b.
SAGBC(P)=R -1
c. (GAB) Mg(P)=R
Penyelesaian: ….. 6. Apakah ungkapan-ungkapan ungkapan-ungkapan di bawah ini i ni benar atau salah: a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah) Bukti: Dipunyai G AB=MgMh. Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif). Jadi GAB ≠ MhMg. Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg b. Setiap translasi adalah suatu involusi. (Salah) Bukti: Misal: GAB=MhMg. -1
-1
Maka diperoleh (G AB) = (MhMg) -1
= Mg Mh
-1
= MgMh ≠ GAB. Jadi GAB bukan suatu involusi. (Benar)
c. GABGAB= GCD dengan Bukti: Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P 4=P5. Karena G AB(P)=P2 maka GAB(P2)=P4 maka
dan
GABGAB(P)=P4 maka , akibatnya P4
Sehingga
P5 .
Jadi GABGAB(P)= GCD(P). Karena P sembarang maka G ABGAB= GCD. d. Apabila M titik tengah e. Apabila g’ =
, maka
(g), maka g’//g ( Benar)
(Benar)
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan t entukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab : Jelas g dan h
dan jarak antara g dan h
Persamaan garis
Jadi Misal A
g maka persamaan garis g
Jarak antara g dan h
,A
AB
)
g maka h melalui c sehingga C midpoint
)
Jadi C(-1,5) Persamaan garis h
Jadi g : y =
AB dan melalui C(-1,5)
h:y= 8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4). a. Tentukan C ' G AB (C ). Penyelesaian: Karena C ' G AB (C ) maka Jelas
CC ' AB
CC ' 2
( x 2
x1 )
( x 2
AB 2
2) 2
2
( y 2
( y 2
y1 )
4) 2
2
( x 2
x1 )
( 5 1)
2
2
( y 2
y1 )
( 1 3)
2
2
( x 2 2) 2 ( y 2 4) 2 ( 4) 2 ( 4) 2 Sehingga x2 2 4 x 2 2 dan y 2 4 4 y 2
0.
Jadi C ' G AB (C ) (2,0). b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C g dan sehingga MhMg= GAB. Penyelesaian:
m AB
Jelas
y 2
x 2
y1
1 3
x1
5 1
4
4
1.
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan g AB, h AB. m AB m g 1 Sehingga diperoleh 1 m g 1
Karena g//h maka m g
mh
1 .
mg
1.
Misal garis h melalui titik D maka Sehingga diperoleh CD
1 2
AB
CD 2
( x 2
x1 )
( x 2
2)
2
( y 2
( x 2
2)
2
( y 2
4)
Jadi x 2
1 4
AB 2 2
2
2
4) 2
1 4
2
( 12 4)
( y 2 y1 )
1 2
4
x2
1 4
[( x 2
x1 )
( 5 1) 2 2
2
( y 2 y1 )
1 4
( 1 3) 2
( 12 4)
0 dan y 2
4
1 2
2
]
2
4
y2
2.
Jadi titik D(0,2). Jadi persamaan persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan m g y y1
1
adalah
1
adalah
m( x x1 )
y 4 1( x 2) y 4 x
2
y x 6
dan persamaan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan dengan mh y y1
m( x x1 )
y 2 1( x 0) y 2 x y x
2.
9. Diket A(2,1), B(5,-3) Ditanyakan a. misal
maka sehinggga dan
Jadi C’(7,-2) C’(7,-2) b.
dengan misal maka
sehingga
dan
Jadi 10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}. a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y). Jawab: G AB ( A) B
Jelas
G AB (2,1)
( 2 a,1 b)
(3,4)
(3,4).
Sehingga 2 a 3 a 1 dan
1 b
4 b 5.
Jadi G AB ( P) G AB ( x, y ) ( x 1, y 5). b. Tentukan titik D sehingga G AB(D)=(1,3). Jawab: Misal titik D( x1 , y1 ) maka G AB ( D) (1,3)
G AB ( x1 , y1 ) (1,3)
( x1
1, y1
5) (1,3).
Sehingga x1 1 1 x1
0 dan y1
5
3 y1
2.
Jadi titk D(0,-2). c.
Tentukan sebuah persamaan untuk garis
h sehingga h G AB ( g ).
Jawab: h
G AB ( g )
G AB ( y 2 x
y 5 2( x 1) 4
y 5 2 x 2 4
2 x y
4)
3.
23
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
TUGAS II
1. Diketahui ruas garis berarah
dan titik-titik titik-titi k C dan P
a) Tentukan G ABSC(P) Penyelesaian : GABSC(P)=GAB[SC(P)] =GAB(P’)
dengan C adalah titik tengah
=P”
dengan
b) Tentukan S CGAB(P) Penyelesaian : SCGAB(P)=SC[GAB(P)] =SC(P’)
dengan
=P”
dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga G ABSC(X)=X Penyelesaian : Menurut teorema 10. 6 diperoleh G ABSC=SD Ambil titik X sebarang GABSC(X)=SD(X) Diperoleh SD(X)=X, berartti X= Ambil titik E dimana
dan titik D adalah titik tengah
berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D) = GAB[SC(X)] =GAB(D’)
dengan C titik tengah D’, berarti
=D
dengan
=X Jadi titik X adalah titik tengah
dimana
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
24
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
a) Tentukan D sehingga S DSC=GAB Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana, 2 b) Tentukan E sehingga S ASBSC=SE Penyelesaian : Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C dimana, c) Tentukan F sehingga G ABSC=SF Penyelesaian : Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah
berarti
dimana, 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah : a) Titik E sehingga G CDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga S ASBSC(X)=X -1
4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). S(P)=(x+a, y+b). Tentukan S (P). Penyelesaian : -1
Menurut teorema 7. 3 S (P)=S(P) =(x+a,y+b) b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G 1G2=G2G1. Penyelesaian : Ambil titik P sebarang Misal G1=GAB dan G2=GCD G1G2(P)=G1[G2(P)] =G1(P’)
dengan
25
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
=P”
dengan ………(1)
Jadi, G2G1(P)=G2[G1(P)] =G2(P’)
dengan
=P”
dengan
Jadi,
………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku G ABGCD=GCDGAB G1G2=G2G1 5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan. Penyelesaian : b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan Penyelesaian : c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi) Penyelesaian : d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) Penyelesaian : e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan. Penyelesaian : 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7). Tentukan koordinat D sehingga S DSC=G Penyelesaian : SDSC(P)=G(P) SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3) Misalkan D(a,b) [2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
2a-(2-x)=x+2
26
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
2a=x+2+2-x 2a=4 a=2
2b-(-14-y)=y+3 2b=y+3-14-y 2b=-11 b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5) 7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinatkoordinat titik D sehingga G CD=SBSA. Penyelesaian : Anda Andaik ikan an
=
maka aka E=(1 E=(1+[ +[x+ x+3] 3],0 ,0+[ +[y y-8]) -8]) =(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah
maka,
x=-1
y=18 Jadi koordinat D=(-1,18) 8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat. Buktikan : a) SBSA adalah suatu translasi Penyelesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang SBSA(P)=SB[SA(P)] 27
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
=SB(2a1-x,2a2-y) =(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y) =[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] b) Jika P sebuah titik dan P’=S ASB(P), maka
=
Penyeleesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] =( b1 – a1,b2-a2) =[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b 2-a2)-y] =[ 2(b1-a1),2(b2-a2)] =2( b1 – a1,b2-a2) =2 Jadi terbukti
=
9. Buktikan sifat-sifat berikut : a) Jika GAB suatu geseran, maka G AB tidak memiliki titik-titik tetap Penyelesaian :………. : ………. b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi Penyelesaian :………. : ………. c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka S ASBSC=SCSBSA Penyelesaian :……… : ……… 10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5) a) Jika P=(x,y) tentukan S ASB(P) Penyelesaian : SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y) =SA(-6-x,10-y) =2.2-(-6-x),2.1-(10-y) =(10+x,-8+y) Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y) 2
2
b) L={(x,y)| x +y =4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).
28
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Penyelesaian : 2
2
L= x +y =4
berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=S A[2.(-3)-0,2.5-0] =SA(-6,10) =[2.2-(-6),2.1-10] =(10,-8) 2
2
Jadi L’={(x,y)|(x-10) L’={(x,y)|(x-10) +(y+8) =4}
29
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
