ITFIP. Dora Alejandra Parra Hernández. DISCRETIZACION FUNCION DE TRANSFERENCIA CIRCUITO RLC.
DISCRETIZACIÓN FUNCION TRANSFERENCIA CIRCUITO RLC Parra Hernández, Dora Alejandra .
[email protected] ITFIP Abstract — There are several methods to transform a continuous transfer function (s plane) to a discrete transfer function (z plane), among them are the bilinear transformation and mapping of poles. We will develop the theory about then check with the application application of Matlab. The idea of this work is to understand the theoretical development of the methods for proper application instructions and Matlab. words —
discrete transfer function, transformation, mapping of poles, Sampling time.
Key
bilinear
INTRODUCCION
E
xisten varios métodos para transformar una función de transferencia continua (plano s) a una función de transferencia discreta (plano z), entre ellos encontramos la transformación bilineal y el mapeo de polos.
Para poder utilizar los métodos de discretización es necesario hallar el tiempo de muestreo y las dos raíces que satisfacen la solución al denominador de la función de transferencia transferencia hallada, por medio de la función cuadrática. Como primer paso hallamos el tiempo de muestreo, para ello es necesario forzar la función de transferencia con una señal escalón y tomar la décima parte del tiempo de subida “rise time”. Haciendo uso de Matlab obtenemos la gráfica de respuesta y encontramos el valor, como sigue: >>clc >>num=[0.0277]; >>den=[1 2.25 0.0277]; >>Gc=tf(num,den); >>step(Gc)
Fig.1 Rise time de la respuesta a paso
Desarrollaremos la teoría al respecto que luego comprobaremos con la aplicación de Matlab. La idea de este trabajo es comprender el desarrollo teórico de los métodos para así aplicar debidamente las instrucciones del Matlab.
II. OBTENCIÓN FUNCION DE TRANSFERENCIA DE UN CIRCUITO C IRCUITO RLC PARA ANALIZAR Partiendo del modelo de la función de transferencia del circuito RLC, se sustituyen sus valores por los 3 últimos dígitos de mi cedula, 1105673649, 1 G ( s )
LC
s
2
R
L
s
1 LC
Como sigue R=9, L=4, C=6
En el segundo paso paso hallamos las raíces del denominador denominador aplicando la solución a una función cuadrática:
Por lo tanto aplicando los valores establecidos se obtiene:
Donde
− −± − ± √
b = 2.25 a=1 c = 0.0277
La primera raíz es entonces:
− − − La segunda raíz es entonces:
Control Digital
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−− −
−
De esta forma la función de transferencia se puede escribir como sigue:
II. DISCRETIZACION DE LA FUNCION TRANSFERENCIA POR EL METODO BILINEAL
DE
Partiendo de la función de transferencia obtenida del circuito RLC planteado vamos a hallar su conversión de representación en tiempo continuo en tiempo discreto.
Es necesario realizar el reemplazo por la aproximación de la asignación de s en z , que es igual a:
(− )
Donde t es el tiempo de muestreo obtenido anteriormente equivalente a 17.7 segundos. Sustituyendo el valor en la función de transferencia se tiene ahora:
[− ][ − ] Llevamos a cabo las operaciones de suma en el denominador lo que resulta en lo siguiente:
[−][− ] Realizando las operaciones de multiplicación se obtiene:
[−][−] Se realiza la multiplicación de los dos factores en el denominador lo que arroja el siguiente resultado:
Control Digital
−88−8 − Se lleva a cabo la agrupación de término similares y se lleva a multiplicar el segundo denominador al numerador:
8 −8 −8− Realizamos las operaciones en el numerador
8 −8 −8− Reemplazamos el valor de t por 17.7 y realizamos las operaciones indicadas
8 88 8 8− Ahora dividimos cada término por el coeficiente de z de mayor grado en el denominador, en este caso, 92.324
88 − A continuación analizamos este problema a través de Matlab para lo cual se indican los comandos para obtener Gd(z) por el método bilineal. clc num=[0.0277]; den=[1 2.25 0.0277]; Ts=17.7; sysc=tf(num,den) sysd=c2d(sysc,Ts,'tustin')
Lo cual produce el siguiente resultado: Transfer function: 0.09399 z^2 + 0.188 z + 0.09399 ------------------------------z^2 + 0.1013 z - 0.7254 Sampling time (seconds): 17.7
Lo cual corrobora que el procedimiento matemático realizado anteriormente se llevó de manera correcta.
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De igual forma es posible hallar el numerador y el denominador de la función de transferencia en tiempo discreto partiendo de la frecuencia de muestreo, es decir, 1 / Ts que es igual a 1 / 17.7 = 0.0565 Hz, por medio del siguiente código en Matlab:
0.1880
Como ya se sabe la función de transferencia obtenida del circuito RLC es:
Y el tiempo de muestreo a emplear es 17.7 Como ya sabemos para pasar de Laplace a Z cabe sustituir:
Al ejecutarlo muestra el siguiente resultado: 0.0940
DISCRETIZACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA POR EL MAPEO DE POLOS
clc num=[0.0277]; den=[1 2.25 0.0277]; Fs=0.0565; [numz,denz]=bilinear(num,den,Fs)
numz =
III.
0.0940
Por lo tanto para la primera raíz tenemos:
denz =
1.0000
0.1013
-0.7254
Paso seguido vamos a comparar en Matlab, la respuesta de la función de transferencia en tiempo continuo y tiempo discreto a una señal de entrada paso por medio del siguiente código: clc num=[0.0277]; den=[1 2.25 0.0277]; Ts=17.7; Gc=tf(num,den) Gd=c2d(sysc,Ts,'tustin') figure step(Gc,Gd)
− Para la segunda raíz se obtiene:
− 8 Con el objeto de realizar la conversión de tiempo continuo a discreto se igualan las siguientes dos ecuaciones:
| −−8| Reemplazando s=0 y z=1 se obtiene:
| − −8|
Ahora despejamos el valor de Kc y lo reemplazamos en la ecuación obtenida arriba:
Fig.2 Comparación de respuesta de función de transferencia en tiempo continuo y discreto- Bilineal
8 8 − −8 Llevamos a cabo las operaciones indicadas de multiplicación:
88 −8 Control Digital
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A continuación analizamos este problema a través de Matlab para lo cual se indican los comandos para obtener G(z) por el método mapeo de polos.
I V.
clc num=[0.0277]; den=[1 2.25 0.0277]; Ts=17.7; sysc=tf(num,den) sysd=c2d(sysc,Ts,'matched')
Partiendo de la función de transferencia obtenida:
ECUACIONES EN DIFERENCIA DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA METODO BILINEAL
88 − Expresamos como el cociente de dos polinomios y que representa la relación entre dos señales discretas.
Lo cual produce el siguiente resultado:
88 −
Transfer function: 0.09838 z + 0.09838 --------------------------z^2 - 0.8032 z + 5.061e-018 Sampling time (seconds): 17.7
Verificándose que el desarrollo matemático se ajusta al resultado obtenido. A continuación vamos a comparar en Matlab, la respuesta de la función de transferencia en tiempo continuo y tiempo discreto a una señal de entrada paso por medio del siguiente código: clc num=[0.0277]; den=[1 2.25 0.0277]; Ts=17.7; Gc=tf(num,den) Gd=c2d(sysc,Ts,'matched') figure step(Gc,Gd)
Multiplicamos en forma cruzada la expresión anterior.
− 88 Dividimos ambos lados de la ecuación entre potencia máxima de z.
, la
− 88 Realizamos los productos y despejamos Y(z):
− 88
88 −
Encontramos la transformada Z inversa partiendo de: z ( k )
1
z
z
2
( k 1)
( k 2 )
−−−88 −− Ahora aplicamos condiciones iniciales T=0 K=1, con el objeto de encontrar Y(k)
− −
− −
− 88 Fig.3 Comparación de respuesta de función de transferencia en tiempo continuo y discreto- Mapeo de polos
Control Digital
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Para el tiempo de muestreo encontrado anteriormente T = 17.7, tomamos Y(k -1) = 0.09399 y reemplazamos
− − − −
−− − 88− −
ECUACIONES EN DIFERENCIA DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA METODO MAPEO DE POLOS
V.
Teniendo en cuenta el procedimiento anterior de nuevo se parte de la función de transferencia obtenida por el método de mapeo de polos:
88 −8
− 88
− 88
Ahora tomamos un tiempo de muestreo T = 35.4 y Y(k -1)=0.02725; Y(k -2) = 0.0.9399 y reemplazamos:
− − − −
Expresamos como el cociente de dos polinomios y que representa la relación entre dos señales discretas.
8 8 −8 −8 Multiplicamos en forma cruzada la expresión anterior.
−8 88 Dividimos ambos lados de la ecuación entre potencia máxima de z.
−8 −8 8 8
−− − 88− −
− 88 8888 − Ahora compararemos los datos hallados, con la siguiente grafica donde muestra la señal del sistema y la señal de muestreo.
, la
Realizamos los productos y despejamos Y(z):
−8 8 8
8− −−−8− 8−
8
Encontramos la transformada Z inversa partiendo de: z ( k )
1
z
z
2
( k 1)
( k 2 )
−8− 8 8−− − 8 − Ahora aplicamos condiciones iniciales T=0 K=1, con el objeto de encontrar Y(k)
− −
− −
8 −−8 8 8 Fig.4 Resultado del muestreo
Control Digital
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CONCLUSIONES
Para el tiempo de muestreo encontrado anteriormente T = 17.7, tomamos Y(k -1) = 0 y reemplazamos:
− −
− −
−8− 8 8−− − 8 −
Establezco los métodos de discretización que permiten llevar funciones de transferencia en Laplace a transformada z. Identifico el tiempo de muestreo adecuado para lograr una representación de la respuesta del sistema en tiempo discreto.
8 −−8 8 8
Observo que el método de transformación bilineal permite obtener una discretización más cercana a la respuesta en tiempo continuo que la ofrecida por el método de mapeo de polos.
Ahora tomamos un tiempo de muestreo T = 35.4 y Y(k -1)=0.0985; Y(k -2) = 0 y reemplazamos:
LITOGRAFIA
8
− − − 8 − −8− 8 − − 8 − 8 −
8 88− 8 88
Fig.5 Resultado del muestreo
Control Digital
[1] OGATA, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna 5 Edición. Pearson. 2010. 563-572 p [2] OGATA, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto, 2 edición. Prentice Hall. 1996. [3]DORF, Richard. BISHOP, Robert. Sistemas de Control Moderno 10 Edición. Pearson. 2005. 37-100p [4] MATLAB, User manual.
