Trabjo Encargado Metodo de Runge Kutta

METODOS NUMERICOS METODO DE RUNGE KUTA

pág.

INDICE DE CONTENIDO

1 Introduccion

02

2.Objetivos

02

3. Marco Teórico

02

4. Metodo de Runge Kutta

04

4.1 Explicación del método 4.2 Método de Runge Kutta de 4to Orden 4.3 Ejemplo Ilustrativo 5. Problema Propuesto 6. Conclusiones

05 10 12 13 16

7. Recomendaciones

16

8. Bibliografía Bibliogra fía

16

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

1


METODO DE RUNGE KUTTA 1. INTRODUCCION

Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema de valor inicial y’=f(x,y),y(xo)=yo es el Método de Runge Kutta de cuarto orden. Como indica el nombre hay métodos de Runge Kutta de diferente orden, es así que en el siguiente informe haremos una clara descripción de dicho método. 2. OBJETIVOS

Aprender a resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOS) mediante el método de Runge Kutta 3. MARCO TEORICO

Para resolver el problema de valores iniciales dado ,tendríamos que haber estudiado un método para ecuaciones diferenciales de tercer grado. Tenga en cuenta que incluso si f (x) se supone diferenciable en todas partes (un tipo estándar de hipótesis para ED), no hay ninguna razón para este tipo de ecuación que tiene las soluciones de valor real en absoluto. Lo que no puede esperar a obtener es "fórmulas explícitas" de estas soluciones en cuanto a la entrada de datos f(x) . Esto no es sólo una expectativa razonable sobre ecuaciones diferenciales, en general. La "fórmula" fenómeno es más o menos exclusiva de ecuaciones lineales y ecuaciones que se puede reducir de alguna manera (por ejemplo, un cambio de variable o algún otro truco) de las ecuaciones lineales. Incluso para las ecuaciones lineales de la historia, se complica. Para las ecuaciones de orden n lineales con coeficientes constantes, escribir las soluciones "explícitas" que necesita fórmulas para las raíces de dicho polinomio. No es tarea fácil, en realidad, incluso para las computadoras, si el grado del polinomio es alto . Para los coeficientes no constantes que es molesto, incluso en el caso de primer orden. Los libros de texto dan fórmulas generales para la solución a + y 'P (x) y = Q (x) en términos de integrales de funciones que implican P (x) y Q (x) UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

2


(por ejemplo, a través del método de utilizar un "factor de integración" ), pero incluso si las funciones P y Q son "buenos" (por ejemplo, se utilizan fórmulas simples para ellos) no hay garantía de que las integrales que necesita para tomar será (fuera de los problemas de los libros de texto, de todos modos). Para las ecuaciones lineales de segundo orden, por ejemplo, y''+ P (x) y '+ Q (x) = R (x), libros de texto generalmente no incluyen en general . Los libros de texto por lo general tratan de la existencia y unicidad de soluciones a estas ecuaciones a través de los resultados generales que no se basan en fórmulas en absoluto, sino más bien tratar el tema de la existencia abstracta. (*Podemos escribir una fórmula para el wronskiano de dos soluciones de una ecuación, en términos de integrales y P, Q, R, de las mismas soluciones) . La falta de una solución general en términos de una f dada (x) no impide que una de resolución de casos particulares. Por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 tiene solamente la solución y = 0. (La razón: si (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 para todos los valores de x, entonces (y') ^ 2 =-y ^ 2 para todos los valores de x. En cuanto a la parte derecha aparece este valor común es <= 0, y mirando a la izquierda se ve este valor común es> = 0. Por lo tanto, de hecho, (y) ^ 2 =-y ^ 2 = 0 para todo x, y, por tanto y = 0 para todo x) por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 1 se puede tratar como y' = sqrt (1 - y ^ 2) o y '=sqrt (1-y ^ 2) y estas son las ecuaciones separables para que una norma procedimiento de solución se aplica. Que se obtiene como soluciones de las funciones y = sen (x - c) con c arbitrario (tenga en cuenta que cos x es una de ellas como cos x = sen (x - 3pi / 2)).

4. METODO DE RUNGE-KUTTA


3


El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. En esencia los métodos de Runge Kutta son generalizaciones de la formula básica de Euler, es así que podemos decir que el método de Euler es un método de Runge Kutta de primer orden. La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite evaluar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi , Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler , es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores. Dado el problema de valores iniciales

Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo y evaluar la integral aplicando la fórmula de integración numérica:

(4)

Entonces


4


De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi) (5) 4.1 EXPLICACION METODO DE RUNGE-KUTTA

En la introducción se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden Y' = f(X, Y) (7) Con la condición inicial Y(X0) = Y0 (8) Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ...

(9)

Para determinar la solución de la ecuación diferencial en X = X1, X2, X3, ... Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que Yn+1 = Yn + h Y'n (10) Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.


5


De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1)en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:


6


Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de

definido por la expresión

(11)

En donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para: X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn) Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia

(12) En donde


7


(13) En el método de Euler y

(14)

En lo que Y' = f(X, Y) (15) en el método de Euler Mejorado . Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer

únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior. 2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y). Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función

que aparece en la expresión (12).

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con donde conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea


es un

8


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

, donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δ t n entre los sucesivos puntos t n y t n + 1. Los coeficientes k i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con aij ,bi ,c i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i ,...,s, los esquemas son explícitos. Ejemplo Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t n y otra en t = t n + Δt n. ƒ(t ,y (t )) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t ,y ) en t = t n + Δt n se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c 2 = 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

9


Variantes Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado RungeKutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg). Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso. El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. 4.2 METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”. Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (y n+1) es determinado por el presente valor(y n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

10


es un promedio ponderado de pendientes, donde k 1 es la pendiente al principio del intervalo, k 2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k 1 para determinar el valor de y en el punto usando el método. k 3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k 2 para determinar el valor de y k 4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k 3. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el ordenO(h4).

4.3 EJEMPLO ILUSTRATIVO

Considere el problema de valor inicial y’=x²+y³, y(1). a) Usar el método de Runge Kutta de cuarto orden (RK4) en el intervalo [1,1.4] con tamaños de paso h=0.5 y h=0.05. b) Utilice un programa de de solución numérica para graficar la solución de problema de valor inicial en el intervalo [1,1.4].


11


5. CALCULO DEL PROBLEMA PROPUESTO

La reacción química en la que dos moléculas de dicromato solido de potasio , dos moléculas de agua y tres átomos de azufre solido se combinan para producir tres moléculas de dióxido gaseoso de azufre, cuatro moléculas de hidróxido de potasio y dos moléculas de óxido solido de cromo, puede representarse simbólicamente por la ecuación estequiometria


12


Si originalmente se dispone de n1 moléculas de dicromato solido de potasio , n2 moléculas de agua y n3 moléculas de azufre, la siguiente ecuación diferencial describe la cantidad x(t) de hidróxido solido de potasio después del tiempo t

Donde k es la constante de velocidad de reacción. Si k=6.22x10^19.n1=n2=2x10^3 y n3=3x10^3. ¿cuántas unidades de hidróxido de potasio se formaran después de 0.2 s? Solución Este es un tipo de problema solamente aplicativo hemos visto que los valores iniciales son t=0 , y como es una reacción química vemos que en el t=0 la cantidad de sustancia reactante es 0 por lo que y(0)=0 y tenemos que el tiempo final es o.2 segundos( ver el problema ) Luego : a=t0=0seg b=t=0.2seg α=w1=0unidades de hidróxido de potasio n=20 tomado por conveniencia h=(t-t0)/n=0.01 Vemos la primera iteración: -

Primero hallamos los coeficientes

k1 =f1(x0)= 2.6870e+005 k2=f1(x0+h*k1/2)= 1.5311e+004 k3=f1(x0+h*k2/2) 2.3471e+005 k4=f1(x0+h*k3) = 552.8654 -

Hallamos el valor para la siguiente y ó w1


13


w1 =w0+h/6*(k1+2*K2+2*k3+k4) = 1.2822e+003 - Aquí presentamos todas las iteraciones

con sus respectivos errores

presentados en la última columna Error= En un tiempo 0.00000000000 1282.157267 En un tiempo 1.000000e-002 1282.157267

147.188780

En un tiempo 2.000000e-002 1429.346046

104.893205

En un tiempo 3.000000e-002 1534.239252

80.759610

En un tiempo 4.000000e-002 1614.998862

65.255873

En un tiempo 5.000000e-002 1680.254735

54.505193

En un tiempo 6.000000e-002 1734.759928

46.639842

En un tiempo 7.000000e-002 1781.399770

40.651919

En un tiempo 8.000000e-002 1822.051689

35.951051

En un tiempo 9.000000e-002 1858.002740

32.169196

En un tiempo 1.000000e-001 1890.171936

29.065383

En un tiempo 1.100000e-001 1919.237319

26.475453

En un tiempo 1.200000e-001 1945.712772

24.283843

En un tiempo 1.300000e-001 1969.996615

22.406929

En un tiempo 1.400000e-001 1992.403544

20.782755

En un tiempo 1.500000e-001 2013.186299

19.364480

En un tiempo 1.600000e-001 2032.550779

18.116055

En un tiempo 1.700000e-001 2050.666834

17.009303

En un tiempo 1.800000e-001 2067.676137

16.021893

En un tiempo 1.900000e-001 2083.698029

15.135904


14


En un tiempo 2.000000e-001 2098.833934 -

14.336799

Para ilustrar el resultado decidimos presentar una grafica que relaciona el tiempo con la cantidad de hidróxido de potasio y algunas funciones cercanas que se pueden ajustar

Por ende tenemos como resultado

que en 0.2s tenemos 2098.833934

moléculas de KOH que se pueden aproximar a 2099 moléculas

6. CONCLUSIONES

-Aprendimos la relación entre el método de Euler y el método de Runge Kutta. -Podemos concluir que el método de Euler es el método de Runge Kutta de primer orden. -Concluimos que es posible aplicar más de un método a un problema dado. 7. RECOMENDACIONES

-Se recomienda tener mucho cuidado con las formulas de cada método.


15


-Es recomendable usar software matemáticos para la resolución de los problemas, ya que muchas veces el cálculo resultara muy tedioso. 8. BIBLIOGRAFIA

-Análisis Numérico – Richard L. Barden -Métodos Numéricos –Antonio Nieves -Ecuaciones Diferenciales – Dennis G. Zill


16

Trabjo Encargado Metodo de Runge Kutta

Recommend Documents