BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Dalam pandangan formalis, ”matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika”. Sedangkan secara umum, ”matematika ditegaskan sebagai penelitian pola dari suatu struktur, perubahan dan ruang”. Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematika sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam termasuk di dalamnya biologi, akan tetapi yang paling umum berasal dari fisika. Pada perkembangannya, matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yang kompleks khususnya berbagai fenomena alam yang teramati agar pola struktur, perubahan ruang dan sifat-sifat fenomena tersebut bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yang sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku dan proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika. Karena kebanyakan fenomena fisik secara alamiah berujung pada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, maka dibangunlah kalkulus, yang secara khusus topik tersebut dibahas dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang pada mulanya disebut sebagai “ persamaan turunan” merupakan persamaan yang diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676
(Finizio dan Ladas, 1988: 1). Secara definisi, ”persamaan diferensial merupakan persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas” (Ross, 1984: 3). Dan berdasarkan pada kasus kali ini adalah untuk menyelesaikan persamaan defleksi dengan berbagai metode pendekatan secara numerik, yaitu dengan metode euler, metode heun, metode polygon, metode raltson. Untuk itu dilakukanlah praktikum ini untuk mengetahui perbedaan di antara metode-metode tersebut.
1
1.2 Tujuan
1. Menyelesaikan persamaan profil muka air dengan menggunakan metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4 2. Mengetahui besarnya nilai atau hasil antara metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4
2
BAB II TINJAUAN PUTAKA
Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka, sehingga metode numerik secara harfiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Sedangkan secara istilah, metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) (Munir, 2006: 5). Secara lebih sederhana metode numerik merupakan cabang atau bidang matematika khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematika (Djojodiharjo, 2000: 1). Metode numerik disebut juga sebagai alternatif dari metode analitik, yang merupakan metode penyelesaian persoalan matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Disebut demikian, karena adakalanya persoalan matematik sulit diselesaikan atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga dapat dikatakan bahwa persoalan matematik tersebut tidak mempunyai solusi analitik. Sehingga sebagai alternatifnya, persoalan matematik tersebut diselesaikan dengan metode numerik. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal, yaitu: a) Solusi dengan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan dengan metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematikyang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. b) Dengan metode numerik hanya diperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
approximation) atau solusi pendekatan. Akan tetapi, solusi
hampiran tersebut tersebut apat dibuat seteliti seteliti yang diinginkan. diinginkan. Solusi hampiran tentu tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya, dan selisih tersebut dinamakan sebagai galat ( error ). ). Sedangkan dengan solusi analitik sudah pasti dihasilkan solusi sejati yang sesuai dengan kenyataannya (Munir, 2006:5). 3
Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa secara numerik terbagi menjadi 2, yaitu metode satu langkah dan metode banyak langkah. Metode yang termasuk satu langkah adalah metode deret Taylor, metode Euler, metode Runge Kutta dan metode Heun. Sedangkan metode yang termasuk banyak langkah adalah metode Adam-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson dan metode Hamming. 1. Metode Euler
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Akan diselesaikan persamaan diferensial biasa dengan bentuk sebagai berikut:
dy
f ( x, y )
dx
Persamaan tersebut dapat didekati dengan bentuk berikut:
dy dx
Δy Δx
yi
1
yi
xi
1
xi
f ( x, y)
atau
yi
1
yi f (x, y)(x i
1
xi )
atau
yi 1 yi Φ Δx ...(1) dengan
adalah perkiraan kemiringan yang digunakan untuk ekstrapolasi dari
nilai yi ke yi
+ 1
yang berjarak x yaitu selisih antara x = xi
+ 1 xi.
Persamaan
diatas dapat digunakan untuk menghitung langkah nilai y secara bertahap. Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:
yi
1
yi
y
' i
Δx
1!
y
'' i
Δx
2
2!
...
4
Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
yi 1 yi yi'
Δx ....(2)
Dengan membandingkan persamaan (1) dan persamaan (2) dapat disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan
= = f ( x xi , yi), sehingga
persamaan (2) dapat ditulis menjadi:
yi 1 yi f (xi , yi ) Δx ...(3) dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (3) adalah metode Euler, nilai yi
+ 1
diprediksi
dengan menggunakan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan de ngan turunan pertama) di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias
x.
Gambar 1,
adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler.
Gambar1. Metode Euler Kesalahan Metode Euler
Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu: 1. Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan untuk perkiraan nilai y.
5
2. Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yang digunakan dalam hitungan. Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian.
1. Pertama adalah kesalahan pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. 2. Kedua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global.
Besar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode Euler dapat dijelaskan dari deret Taylor. Untuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk:
y' f (x, y) ....(4) y'
dy
dx
sedang x dan y adalah variabel bebas dan tak bebas. Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor: yi 1 yi y
' i
Δx
1!
y
'' i
Δx
2
... y
2!
n i
Δx
n
n!
Rn ...(5)
Apabila persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (5), akan menghasilkan: yi 1 yi f (x i , yi )
Δx
1!
f ' (x i , yi )
Δx
2
2!
f ' ' (x i , yi )
Δx
3
3!
... R n ...(6)
Perbandingan antara persamaan (3) dan persamaan (6) menunjukkan bahwa metode Euler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan persamaan (6). Kesalahan yang terjadi dari metode Euler adalah karena tidak memperhitungkan memperhitungkan suku-suku terakhir dari dar i persamaan (6) yaitu sebesar: sebesar:
dengan
t
t
f ' (xi , yi )
Δx
2
2!
f '' (x i , yi )
Δx
3
3!
... R n ...(7)
adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk x yang sangat kecil,
kesalahan seperti yang diberikan oleh persamaan (7)adalah berkurang dengan bertambahnya order (order yang lebih tinggi). Dengan demikian suku
6
yang mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga persamaan (7) menjadi:
dengan
a
a
Δx
f ' ( x i , y i )
2
...(8)
2!
adalah perkiraan kesalahan pemotongan lokal.
2. Metode Heun
Metode Heun merupakan Perbaikan Metode Euler, Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). Kekurangan galat ini diperbaiki dengan menggunakan metode Heun. Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal ( predictor ) selanjutnya perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (corrector ). ). Metode Heun diturunkan sbb : Pandang PDB (Persamaan Differensial Biasa) orde satu
y' ( x) f ( x, y( x) Pr edictor : y (0) r 1 yr hf ( xr , yr )
Corrector : yr 1 yr h 2 [ f ( xr , yr ) f ( xr 1 , y
(0)
r 1
)] ...(*)
Persamaan (*), suku h
2
f x , y f x r
r
r 1
,y
(0)
r 1
Bersesuaian dengan aturan trapesium pada integrasi numerik. Dapat dibuktikan bahwa galat perlangkah metode Heun sama dengan galat kaidah trapezium Galat Metode Heun : E p
h3 12
y '' (t ), xr
t xr
1
O h3
Bukti: Misalkan ; Yr+1 adalah nilai y sejati di xr+1 yr+1 adalah hampiran nilai y di x r+1
7
Uraikan Yr+1 di sekitar xr Menghasilkan:
Y ( xr 1 ) y1 hy'r
h
2
y ' 'r
2
h
3
y' ' 'r ... ...(1)
6
Dengan menyatakan
y'r f ( xr , yr ) f r , maka Persamaan menjadi Y ( xr 1 ) yr hf r
h
2
2
f 'r
h
3
6
f ' 'r ... ...(2)
Dari persamaan (*)
yr 1 yr h 2 [ f ( xr , yr ) f ( xr 1 , y ( 0) r 1 )]
Uraikan
f ( xr 1 , y
(0)
r 1
)
Dengan menggunakan Deret Taylor di sekitar x r , menghasilkan:
f ( xr 1 , y
(0
r 1
) yr hf r
h2
2
f 'r
h3
4
f ' 'r ... ...(3)
Persamaan (*) menjadi yr
1
yr hf r
h2
f 'r
2
h3 4
f ' 'r ... ...( 4)
Galat perlangkah = nilai sejati-nilai hampiran hampiran
Y r
1
h
yr
1
3
12
f ' 'r (t ), xr
t xr
1
3. Metode Poligon
Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu pertama kali dihitung nilai yi
+ 1/2
berikut ini. Gambar 2 adalah
penjelasan dari metode tersebut.
8
y
i
1
yi f ( xi , yi )
Δ x
2
2
Gambar 2. Metode Euler yang dimodifikasi (Poligon)
Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah interval, yaitu : y
'
i
1 2
f ( x
i
1 2
,y
i
1
)
2
Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval, yang kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari xi ke xi
+ 1
dengan
menggunakan metode Euler: yi 1 yi f ( x
i
1 2
, y
i
1
) Δ x
2
4. Metode Runge-Kutta
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut
tidak
menguntungkan.
Penghitungan
suku
yang
lebih
banyak
memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai y ( x x), sedang penggunaan x
yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.
9
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah: yi 1 yi Φ ( xi , y i , Δ x) Δ x
dengan
( x xi,
yi,
x)
(12)
adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan
rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum: Φ a1k 1 a2 k 2
... an k n
(13)
dengan a adalah konstanta dan k adalah: k 1 = f ( x xi, yi) k 2 = f ( x xi + p1 x, yi + q11 k 1 x) k 3 = f ( x xi + p2 x, yi + q21 k 1 x + q22 k 2 x) k n = f ( x xi + pn – 1 – 1 x, yi + qn – 1, – 1, 1 k 1 x + qn – 1, – 1, 2 k 2 x + + qn – 1, – 1, n – n – 1 1 k n – 1 – 1 x)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan. Nilai k 1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k 2, yang juga muncul dalam persamaan untuk menghitung k 3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan. Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan. Untuk n = 1, yang disebut Runge-Kutta order satu, persamaan (13) menjadi: Φ a1k 1
a1 f ( xi , yi )
Untuk a1 = 1 maka persamaan (12) menjadi: yi 1 yi f ( xi , yi ) Δ x
yang sama dengan metode Euler.
Di dalam metode Runge-Kutta, setelah nilai n ditetapkan, kemudian nilai a, p dan q dicari dengan menyamakan persamaan (8.19) dengan suku-suku dari
deret Taylor. 1)
Metode Runge-Kutta Runge-Kutta order order 2
Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai mempunyai bentuk:
10
yi 1 yi (a1k 1 a2k 2 )Δ x
(8.22a)
dengan: k 1 f ( xi , yi )
(8.22b)
k 2 f ( xi p1Δ x, yi q11k 1Δx)
(8.22c)
Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (8.22a) dengan deret Taylor order 2, yang mempunyai bentuk: yi 1 yi f ( xi , yi )
Δ x
1
f ' ( xi , yi )
Δ x
2
(15)
dengan f ' ( xi , yi ) dapat ditentukan dari hukum berantai ( chain rule) berikut: f ' ( xi , yi )
f f dy (16) x y dx
Substitusi persamaan (16) ke dalam persamaan (15) menghasilkan: yi 1 yi f ( xi , yi )
Δ x
1
(
f f dy Δ x ) x y dx 2
(17)
Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (17). Untuk itu digunakan deret Taylor untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor untuk fungsi dengan dua variabel mempunyai bentuk: g ( x r , y s) g ( x, y) r
g g s ... x y
Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk: f ( xi p1 Δ x, yi q11k 1 Δ x) f ( xi , yi ) p1 Δ x
f f q11k 1 Δ x 0(Δx 2 ) x y
Bentuk diatas dan persamaan (8.22b) ( 8.22b) disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) sehingga menjadi: y i 1 y i a 1 Δx f (x i , y i ) a 2 Δx f (x i , y i ) a 2 p1 Δx
a 2 q11 Δx 2 f (x i , yi )
2
f x
f 0( Δx 3 ) x
atau
11
y1 1 yi a1 f ( xi , yi ) a2 f ( xi , yi )Δ x
f f a2 p1 a2 q11 f ( xi , yi ) Δ x 2 0(Δ x3 ) x x Dengan
membandingkan
persamaan
(17)
dan
persamaan
(8.26)
(8.26),
dapat
disimpulkan bahwa kedua persamaan akan ekivalen apabila: a1 + a2 = 1. (8.27a) a2 p1 = a2 q11 =
1 2
.
1 2
(8.27b) .
(8.27c)
Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung empat bilangan tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu bilangan tak diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang lain. Dianggap bahwa a2 ditetapkan, sehingga persamaan (8.27a) sampai persamaan (8.27c) dapat diselesaikan dan menghasilkan: a1 1 a2 p1 q11
(8.28a) 1 2a2
(8.28b)
Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta Runge-Kutta order or der 2. Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering digunakan. a)
Metode Heun Heun
Apabila a2 dianggap
1 2
, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b)
dapat diselesaikan dan diperoleh: a1
1
. 2 p1 q11 1.
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan menghasilkan:
12
1 1 yi 1 yi ( k 1 k 2 ) Δ x 2 2
(8.29a)
dengan: k 1 f ( xi , yi )
(8.29b)
k 2 f ( xi Δ x, yi k 1Δx)
(8.29c)
dimana k 1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k 2 adalah kemiringan fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta order 2 adalah sama dengan metode Heun. b)
Metode Poligon Poligon (a2 = 1)
Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat diselesaikan dan diperoleh: a1 0. p1 q11
1 2
.
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan menghasilkan: yi 1 yi k 2 Δ x
(8.30a)
dengan: k 1 f ( xi , yi ) k 2 f ( xi
c)
1 2
Δ x,
yi
(8.30b) 1 2
k 1Δx)
(8.30c)
Metode Ralston Ralston
Dengan memilih a2 =
2 3
, akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum
untuk metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 = a1
1 3
2 3
, didapat:
.
p1 q11
3 4
.
sehingga :
13
1 2 yi 1 yi ( k 1 k 2 ) Δ x 3 3
(8.31a)
dengan: k 1 f ( xi , yi ) k 2 f ( xi
3 4
Δ x,
yi
(8.31b) 3 4
k 1 Δx)
(8.31c)
Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi. Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde Empat menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil. Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde Empat adalah
14
BAB III METODE KERJA
3.1 Kasus
Saluran dengan tampang segi empat mempunyai lebar dasar B = 5m. Debit Q = 10m3 /s , kemiringan dasar saluran I o = 0.0005 dan koefisien manning n = 0.025. Kedalaman air diujung. Hitung profil muka air disebelah hulu sepanjang 1500m dengan ∆x = 100m , dengan metode: 1. Euler
4. Raltson
2. Heun
5. Runge kutta orde 3
3. Poligon
6. Runge kutta orde 4
Persamaan Profil muka air: f(x,y) = I o – (n – (n2 Q2 / A2 R4/3) / 1 – 1 – (Q (Q2 T / g A3) Dengan:
A = By
T=B
P = B + 2y
R=A/P
g= 9.81 m/s 2
3.2 Algoritma 3.2.1 Metode Euler
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) Q = 10 m3 /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran) n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode euler 15
3.2.2 Metode Heun
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) 3
Q = 10 m /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan (Kemiringa n dasar saluran) saluran) n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode heun
3.2.3 Metode Poligon
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) 3
Q = 10 m /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran) n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode poligon
3.2.4 Metode Raltson
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) 3
Q = 10 m /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran)
16
n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode raltson
3.2.5 Metode Runge kutta orde 3
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) Q = 10 m3 /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran) n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode rungr kutta orde 3
3.2.6 Metode Runge kutta orde 4
1. Tentukan panjang saluran (L = 1500) 2. Tentukan selang (∆x = 100) 3. Tentukan T entukan beberapa beberapa konstanta B = 5 m (Lebar dasar) Q = 10 m3 /s (Debit) Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran) n = 0.025 (Koefisien manning) y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir) 4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan 5. Hitung dengan menggunakan metode runge kutta orde 4
17
3.3 Flowchart 3.3.1 Metode Euler
Start
Input L, D
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000
A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) Y(I+1)=Y(I)+(F(I)*D)
TULIS J(I),Y(I)
IF J(I)==L/D
NO
YES
END IF
END DO
STOP
END
18
3.3.2 Metode Heun
Start
Input L, X
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000
A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=F(I)*Y(I) Y(I+1)=Y(I)+((((0.5*F(I))+(0.5*M(I))))*D)
TULIS J(I),Y(I)
IF J(I)==L/D
no
yes
END IF
END DO
STOP
END
19
3.3.3 Metode Poligon
Start
Input L, D
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000 A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+(M(I)*D)
TULIS J(I),Y(I)
no IF J(I)==L/D
yes
END IF
END DO
STOP
END
20
3.3.4 Metode Raltson
Start
Input L, D
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000 A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=(1/Y(I))*((3./4)*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+((((1./3)*F(I))+((2./3)*M(I)))*D)
TULIS J(I),Y(I)
no
IF J(I)==L/D
yes
END IF
END DO
STOP
END
21
3.3.5 Metode runge kutta orde 3
Start
Input L, D
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000 A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*((F(I))*(2*M(I))) Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(4*M(I))+X(I)))*D)
TULIS J(I),Y(I)
IF J(I)==L/D
no
END IF
yes END DO
STOP
END
22
3.3.6 Metode runge kutta orde 4
Start
Input L, D
O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0
Do I = 1,10000 A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*(0.5*M(I)) S(I)=Y(I)*X(I) Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(2*M(I))+(2*X(I))+S(I)))*D)
TULIS J(I),Y(I)
IF J(I)==L/D
yes
no
END IF
END DO
STOP
END
23
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil 4.1.1 Metode Euler
4.1.2 Metode Heun
4.1.3 Metode Poligon
NO
HASIL
NO
HASIL
NO
HASIL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.995 1.991 1.985 1.980 1.973 1.967 1.959 1.952 1.943 1.934 1.923 1.912 1.900 1.887
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.993 1.986 1.977 1.968 1.957 1.945 1.931 1.916 1.899 1.880 1.858 1.832 1.803 1.770
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.995 1.991 1.985 1.980 1.974 1.967 1.960 1.952 1.944 1.935 1.925 1.915 1.903 1.891
4.1.4 Metode Ratlson 4.1.5 Runge kutta orde 3
4.1.6 Runge kutta orde 4
NO
HASIL
NO
HASIL
NO
HASIL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.997 1.995 1.992 1.989 1.985 1.982 1.979 1.975 1.971 1.967 1.963 1.958 1.954 1.949
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.996 1.992 1.988 1.983 1.978 1.973 1.968 1.962 1.956 1.949 1.942 1.934 1.926 1.917
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.000 1.995 1.989 1.983 1.976 1.968 1.960 1.952 1.942 1.932 1.920 1.908 1.894 1.879 1.863
24
4.2 Grafik
25
4.3 Pembahasan
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Metode euler atau disebut juga metode orde pertama
karena
persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja. Misalnya diberikan PDB orde satu,
= dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x 0) = x0
Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini xr = x0 + rh,
r = 1, 2, 3,…n
metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(x r+1) di sekitar xr ke dalam deret taylor : y(xr+1
x )=y(x )+
r 1
r
xr
y’(xr)+
1!
xr 1 xr 2!
2
y”(xr)+…
(1)
bila persamaan di atas dipotong samapai suku orde tiga, t iga, peroleh y(xr+1) = y(xr) +
x
r 1
xr
1!
y’(xr) +
xr 1 xr 2!
2
y”(t),
xr
(2) berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka y’(xr ) = f(xr, yr) dan – xr = h xr+1 – x maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi y(xr+1) y(xr)+hf(xr,yr)+
h2
2
y”(t)
(3)
dua suku pertama persamaan di atas yaitu :
26
y(xr+1) = y(xr) + hf(xr, yr) ;
r = 0, 1, 2,…,n
(4)
atau dapat ditulis yr+1 = yr + hf r yang merupakan metode Euler. Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler ( modifified Euler’s method ). Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi
perkiraan awal (prediktor), selanjutnya selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan dengan metode Heun (Corrector). Metode Heun diturunkan sebagai berikut: Pandang PDB orde Satu y ( x) f ( x, y (x)) '
Integrasikan kedua ruas persamaan dari x r sampai xr+1 : xr 1
xr
f ( x, y( x))dx
xr 1
xr
'
y (x )dx
= y(xr+1)-y(xr) = yr+1-yr Nyatakan yr+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan: xr 1
yr 1 yr
(p.7)
f ( x, y( x) )dx
x r
Suku yang mengandung integral di ruas kanan , xr 1
f (x, y(x))))dx ,
x r
dapat diselesaikan dengan kaidah trapezium menjadi xr 1
x r
f ( x, y( x))dx
h
2
[ f (xr , yr ) f (xr 1 , yr 1 ) ]
(p.8)
Sulihkan persamaan (p.7) ke dalam persamaan (p.8) , menghasilkan persamaan h yr 1 yr [ f ( xr , yr ) f ( xr1, yr1)] 2
(p.9)
27
Yang nerupakan metode Heun , atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Dalam persamaan persamaan (p.8) suku suku ruas kanan kanan mengandung mengandung y r+1 ini adalah prediktor ) yang dihitung dengan metode Euler. Persamaan solusi perkiraan awal ( prediktor
(p.9) dapat dituls sebagai : predictor predictor : y(0) r 1 yr hf ( xr , yr )
h (0) Corrector : yr 1 yr [ f ( xr , yr ) f ( xr1, y r1)] 2
(p.10)
Atau ditulis dalam satu kesatuan, h yr 1 yr [ f ( xr , yr ) f ( xr 1, yr ) hf ( xr , y r )] 2
(p. 11)
Dan berdasarkan hasil dari perhitungan yang telah kita buat menggunakan program fortran, disitu bisa kita lihat bahwa masing-masing dari metode tersebut mempunyai nilai yang berbeda-beda, hal itu bisa kita lihat berdasarkan hasil output program dari masing-masing metode. Dimana Metode euler-lah yang memang memiliki tingkat ketelitian yang rendah. Dan jika kita lihat dari grafik yang telah ditampilkan perbedaannya sangat signifikan antara metode euler dengan metode-metode yang lainnya (heun, polygon, raltson metode runge kutta orde 3, dan metode runge kutta orde 4). Dan dari grafik juga bisa kita lihat pperbedaan kedalaman dari masing-masing nilai hasil perhitungan, dan tiap metode juga telah dibedakan dengan warna-warna. Dan pada pengerjaan ini juga seharusnya digunakan nilai error atau galat agar diketahui perbandingan perbandingan dari masing-masing metode dan tingkat tingkat ketilitian dari metode-metode tersebut. dan dapat dilihat pada grafik disamping dan berdasarkan hasil perhitungan maka dapat disimpulkan 5m
bahwa kedalaman air semakin menngalami pendangkalan.
1500 m
2m
28
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
1. Untuk menyelesaikan kasus profil muka air ini dengan menggunakan metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3 dan runge kutta orde 4. Anda terlebih dahulu mengerti perbedaan dari masig-masing metode
ini
dan
juga
mengetahui
persamaannya
sehingga
dapat
dimasukkan kedalam pemrograman untuk menghitung nilainya dengan cepat dan singkat. 2. Dari praktikum yang telah dikerjakan maka dapat anda lihat hasil perhitungannya dari masing-masing metode dan juga dari grafik bisa anda lihat perbedaannya masing-masing.
5.2 Saran
Mungkin bisa juga untuk menggunakan metode deret taylor untuk menyelesaikan menyelesaikan kasus ini dan juga dicari nilai errornya sehingga bisa dibandingkan metode mana yang benar-benar akurat dalam perhitungannya.
29
DAFTAR PUSTAKA
Agus Setiawan, ST, MT. 2006. Pengantar Metode Numerik. yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta. Drs. Sahid, M.Sc.
2005. Pengantar Komputasi Numerik
dengan Matlab.
yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta. Rinaldi Munir. 2008. Metode Numerik, Numerik,
Revisi kedua. Bandung : informatika
Bandung.
30
LAMPIRAN
Script Program
7
PROGRAM PROFIL_MUKA_AIR IMPLICIT REAL (Q,B,I,F,X,M,N,Y,A,P,R,G,C,E) PARAMETER (H=10000) DIMENSION F(H),X(H),J(H),Z(H),M(H),Y(H),A(H),P(H),R(H),C(H),E(H),S(H) WRITE(*,*) WRITE (*,*)'INI 'INI ADALAH PROGRAM UNTUK MENGHITUNG PROFIL MUKA AIR' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'MASUKKAN 'MASUKKAN PANJANG SALURAN :' READ(*,*)L READ (*,*)L WRITE(*,*) WRITE (*,*)'MASUKKAN 'MASUKKAN SELANGNYA (DELTA X) :' READ(*,*)D READ (*,*)D WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA INGIN MENGGUNAKAN METODE APA?' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'1. '1. METODE EULER' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'2. '2. METODE HEUN' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'3. '3. METODE POLIGON' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'4. '4. METODE RALTSON' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'5. '5. METODE RUNGE KUTTA ORDE 3' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'6. '6. METODE RUNGE KUTTA ORDE 4' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'MASUKKAN 'MASUKKAN PILIHAN ANDA :' READ(*,*)K READ (*,*)K Q=10.0 !DEBIT B=5.0 !LEBAR O=0.0005 !KEMIRINGAN N=0.025 !KOEFFISIEN MANNING Y(1)=2.0 !KEDALAMAN G=9.81 !GRAVITASI IF(K==1) IF (K==1)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE EULER' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' OPEN(3,FILE= OPEN (3,FILE='EULER.TXT' 'EULER.TXT',STATUS= ,STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(3,*) WRITE (3,*)' ' NO HASIL' WRITE(3,*) WRITE (3,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I=1,H A(I)=B*Y(I) !====\ P(I)=B+(2*Y(I)) !=====> TETAPAN RUMUS R(I)=A(I)/P(I) !====/ C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3))) J(I)=1*I !NOMER F(I)=C(I)/E(I) !F(X,Y) atau K1 Y(I+1)=Y(I)+(F(I)*D) !HASIL WRITE(3,2)J(I),Y(I) WRITE (3,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==(L/D)) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==2) IF(K==2)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE HEUN' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' ''
31
OPEN(4,FILE='HEUN.TXT' OPEN(4,FILE= 'HEUN.TXT',STATUS= ,STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(4,*) WRITE (4,*)' ' NO HASIL' WRITE(4,*) WRITE (4,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=F(I)*Y(I) !K2 Y(I+1)=Y(I)+((((0.5*F(I))+(0.5*M(I))))*D) WRITE(4,2)J(I),Y(I) WRITE (4,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==3) IF(K==3)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE POLIGON' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' OPEN(5,FILE= OPEN (5,FILE='POLIGON.TXT' 'POLIGON.TXT',STATUS= ,STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(5,*) WRITE (5,*)' ' NO HASIL' WRITE(5,*) WRITE (5,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+(M(I)*D) WRITE(5,2)J(I),Y(I) WRITE (5,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==4) IF(K==4)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE RALTSON' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' OPEN(10,FILE= OPEN (10,FILE='RALTSON.TXT' 'RALTSON.TXT',STATUS= ,STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(10,*) WRITE (10,*)' ' NO HASIL' WRITE(10,*) WRITE (10,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3)))
32
J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=(1/Y(I))*((3./4)*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+((((1./3)*F( Y(I+1)=Y(I)+((((1./3)*F(I))+((2./3)*M I))+((2./3)*M(I)))*D) (I)))*D) WRITE(10,2)J(I),Y(I) WRITE (10,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF IF(K==5) (K==5)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE RUNGE KUTTA ORDE 3' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' OPEN(8,FILE= OPEN (8,FILE='ORDE 'ORDE 3.TXT',STATUS= 3.TXT',STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(8,*) WRITE (8,*)' ' NO HASIL' WRITE(8,*) WRITE (8,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*((F(I))*(2*M(I))) !K3 Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F( Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(4*M(I))+X I)+(4*M(I))+X(I)))*D) (I)))*D) WRITE(8,2)J(I),Y(I) WRITE (8,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==6) IF(K==6)THEN THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'ANDA 'ANDA MEMILIH METODE RUNGE KUTTA ORDE 4' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' OPEN(9,FILE= OPEN (9,FILE='ORDE 'ORDE 4.TXT',STATUS= 4.TXT',STATUS='UNKNOWN' 'UNKNOWN') ) WRITE(9,*) WRITE (9,*)' ' NO HASIL' WRITE(9,*) WRITE (9,*)'' '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)' ' NO HASIL' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G* E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) (A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*(0.5*M(I)) S(I)=Y(I)*X(I) !K4 Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(2*M(I))+(2*X(I))+S(I)))*D) WRITE(9,2)J(I),Y(I) WRITE (9,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) WRITE (*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' ''
33
GO TO 1 END IF END DO ELSE WRITE(*,*)'' WRITE(*,*) '' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'SORRY 'SORRY SOB! PILIHAN LOE SALAH!!!' WRITE(*,*) WRITE (*,*)'' '' GO TO 7 2 1
END IF FORMAT(I5,F10.3) FORMAT (I5,F10.3) END
script grafik a=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.973,1.967,1.959,1.952,1 a=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.973,1. 967,1.959,1.952,1.943,1.934,1.923, .943,1.934,1.923,1. 1. 912,1.9,1.887]; b=[2,1.993,1.986,1.977,1.968,1.957,1.945,1.931,1.916, b=[2,1.993,1.986,1.977,1.968,1.957,1 .945,1.931,1.916,1.899,1.88,1.858, 1.899,1.88,1.858,1. 1. 832,1.803,1.77]; c=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.974,1.967,1.96,1.952,1. c=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.974,1. 967,1.96,1.952,1.944,1.935,1.925,1 944,1.935,1.925,1.9 .9 15,1.903,1.891]; d=[2,1.997,1.995,1.992,1.989,1.985,1.982,1.979,1.975, d=[2,1.997,1.995,1.992,1.989,1.985,1 .982,1.979,1.975,1.971,1.967,1.963 1.971,1.967,1.963,1 ,1 .958,1.954,1.949]; e=[2,1.996,1.992,1.988,1.983,1.978,1.973,1.968,1.962, e=[2,1.996,1.992,1.988,1.983,1.978,1 .973,1.968,1.962,1.956,1.949,1.942 1.956,1.949,1.942,1 ,1 .934,1.926,1.917]; f=[2,1.995,1.989,1.983,1.976,1.968,1 f=[2,1.995,1.989,1. 983,1.976,1.968,1.96,1.952,1.942,1 .96,1.952,1.942,1.932,1.92,1.908,1 .932,1.92,1.908,1.8 .8 94,1.879,1.863]; g=[100,200,300,400,500,600,700,800,9 g=[100,200,300,400, 500,600,700,800,900,1000,1100,1200 00,1000,1100,1200,1300,1400,1500]; ,1300,1400,1500]; plot(g,a,'-r*' plot(g,a,'-r*',g,b, ,g,b,'-b*' '-b*',g,c, ,g,c,'-g*' '-g*',g,d, ,g,d,'-y*' '-y*',g,e, ,g,e,'-m*' '-m*',g,f, ,g,f,''k*', k*' ,'LineWidth' 'LineWidth',3) ,3) xlabel('Panjang xlabel('Panjang Saluran (Meter)') (Meter)') ylabel('Kedalaman ylabel('Kedalaman (Meter)') (Meter)') title('Merah(Euler), title('Merah(Euler), Biru(Heun), Hijau(Poligon), Kuning(Raltson), Ungu(Orde 3), Hitam(Orde 4)') 4)')
34
