METODE ITERASI SEDERHANA
Kelompok 4 Adnan Widya I (M0513003) Bara Okta P. J. (M0513012) Moh. Alvan P. U (M0513032) Shofwah Dinillah (M0513043)
METODE EULER
Bentuk umum:
menghitung penyelesaian persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope yang kemudian diberi turunan pertama. Rumus umum yang digunakan oleh metode Euler adalah .
Contoh Soal 1. Diketahui
persamaan dan nilai . Gunakan metode Euler untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! Jawab: Dalam persamaan tersebut, nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi
Contoh Soal
Langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut:
Jadi, nilai
Contoh Soal 2. Jika diketahui solusi sejati persamaan pada
nomor 1 adalah , maka carilah galat eksaknya! Jawab:
Nilai solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .
Contoh Soal 3. Jika diketahui solusi sejati persamaan pada
nomor 1 adalah , maka carilah galat eksaknya! Jawab:
Nilai solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .
Contoh Soal 4. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan
metode Euler untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! Jawab:
Dalam persamaan tersebut, nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi
Contoh Soal
Jadi, nilai
METODE HEUN
Bentuk umum:
Suatu modifikasi dari metode Euler dengan memperkirakan kemiringan ɸ. Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah yang digunakan untuk menghitung nilai dengan ekstrapolasi linier sehingga menghasilkan rumus perhitungan
Contoh Soal 5. Selesaikan persamaan differensial
dengan interval sampai dengan ketetuan pada saat nilai, dan hitung galatnya!
Jawab:
Tabel 1-Tabel hasil perhitungan dengan menggunakan metode Heun
Contoh Soal 6.
Buktikan bahwa nilai galat pada metode Heun adalah !
Jawab:
Pada Metode Heun, nilai eksak dapat dirumuskan dalam bentuk sedangkan nilai hampirannya dinyatakan dalam dengan menggunakan patokan keduanya, maka perhitungan galat menjadi sebagai berikut ini:
Contoh Soal
Galat
= = -) = = = = =
(terbukti)
Contoh Soal 7. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan
metode Heun untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya 5! Jawab:
Contoh Soal
….
Jadi, nilai .
Contoh Soal 8. Selesaikan persamaan dengan menghitung nilai bila
diketahui nilai dari !
Jawab:
Jadi, nilai
Bentuk umum:
METODE RUNGEKUTTA
Rumus umum dari metode Runge-Kutta adalah dengan nilai dari adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum ɸ=.
Contoh Soal 9. Selesaikan masalah nilai awal y’=(t-y)/2 pada [0,3] dengan nilai y(0)=1 dan lebar langkah h=1,1/2, ¼, 1/8! Jawab:
Dengan menggunakan rumus iterasi pada Runge-Kutta h tk yk Orde tk 1 yk2, h(sebagai tk yk ) / 2 berikut 3 yk 1 yk , k 0,1,2,........., dengan t0 0, y0 1 2 2 2 h Maka, penyelesaiannya adalah t/2
ye
t 2
Contoh Soal 10.
Jika diketahui persamaan differensial biasa adalah dengan nilai , maka tentukan nilai dari dengan metode Runge-Kutta orde tiga dan gunakan ukuran langkah !
Jawab:
Contoh Soal
Jadi, nilai dari .
Contoh Soal 11. Diketahui persamaan differensial hitunglah
nilai dari dengan menggunakan metode RungeKutta Orde Empat! Jawab:
Persamaan tersebut kita dapat mengubahnya ke dalam bentuk , sehingga nilai dari . Dalam perhitungan dengan metode Runge-Kutta orde empat, maka nilai dari masing-masing k adalah:
Contoh Soal
Sehingga akan diperoleh nilai dari
Contoh Soal 12.
Selesaikan persamaan differensial dengan menggunakan metode Runge-Kutta Orde 2!
Jawab:
Jadi, nilai
A M I R E T
H I S A K
REFERENSI
___. Solusi Persamaan NonLinear. https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 13.20 WIB.
___. Persamaan Non-Linear . http://dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/28386/Persamaan+Non-Linier.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.25 WIB.
___. Praktikum 4 Penyelesaian Persamaan Non Linear Metode Iterasi. http://ira.lecturer.pens.ac.id/metnum/Praktikum2_4.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.12 WIB.
___. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel. http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-nonlinear-dua-variabel.html . Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 10.00 WIB.
___. http://mohtar.staff.uns.ac.id/files/2009/05/kuliah-2.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.55 WIB.
___. http://raesyagusmiyanti.blogspot.com/2012/02/v-behaviorurldefaultvmlo_09.html . Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.56 WIB.
___. Sistem Persamaan Linear. http://rerimeitasari.blogspot.com/2012/03/sistem-persamaan-linear.html . Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 10.10 WIB.
___. Penyelesaian Persamaan Nonlinear. http://sutedjo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/12113/3PersNonLin(IterasiNRSecant).pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 12.43 WIB.
Ramadijanti, Nana. Persamaan Non Linier. http://www.slideshare.net/dagangku1/metode-numerik-persamaan-linier. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 13.19 WIB.
