METODE RUNGE-KUTTA Disusun untuk memenuhi tugas mata ku liah Metode Numerik Dosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.Si
Disusun oleh: Fauziah Putri Sasmitoasih
4150408004
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2010
KATA PENGANTAR
Pertama-tama saya mengucapkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas berkah dan rahmat-Nya sehingga saya dapat
menyusun laporan tugas metode numerik ini ini
dengan lancar. Tugas ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan mata kuliah Metode Numerik yang merupakan mata kuliah yang harus ditempuh guna mendapatkan gelar kesarjanaan S1 pada Jurusan Matematika,Prodi Matematika,Fakultas MIPA,Universitas Negeri Semarang. Tugas Metode numerik ini bertujuan untuk mempelajari tentang metdode runge-kutta beserta rumus dan aplikasi serta contohnya. Saya menyadari bahwa laporan Tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, saya mengharapkan kritik,saran maupun sumbangan pendapat yang sifatnya membangun dari para pembaca demi peningkatkan laporan ini di kemudian hari. Saya berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat, baik bagi saya maupun para pembaca sekalian.
Semarang, Desember 2010
Penyusun
BAB
I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
Sampai sekarang pengolahan persamaan differensial dipusatkan pada penentuan penyelesaian dari persamaan differensial. Secara lebih khusus metode kita ini memberikan bentuk atau formula penyelesaian. Sebagai contoh misalnya persamaan diffrensial
mempunyai bentuk penyelesaian berbentuk
. Namun sering kali penyelesaiannya tidak segampang seperti contoh diatas. Dalam
hal dimana penyelesaian dinyatakan dalam fungsi seperti
yang
relative sederhana pun ketepatan nilai numerisnya dari y dapat menyebabkan beberapa masalah dalam perhitungan. Dan apabila kita dapat mengingak dalam pelajaran kalkulus banyak kita temukan fungsi yang tidak mempunyai anti-turunan dank arena itu mustahil untuk menyatakan intergral tak tertentu fungsi-fungsi ini menjadi bentuk dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam konteks ini yang sama ini ada banyak persamaan differensial yang mustahil diperoleh bentuk penyelesaiannya. Dalam kasus semacam ini kita ³selesaikan´ persamaan differensial itu dengan menerapkan metode numeris tertentu. Pada saat ini banyak metode numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan differensial seperti : 1. Metode Euler. 2. Metode Deret Taylor. 3. Metode Runge-kutta. 4. System persamaan Differensial orde satu dan P enerapannya. Untuk metode euler masih dapat ditemukan kekurangannya yaitu seperti adanya kesalahan pemotongan atau kesalahan pendiskritan. Dan pada umumnya penambahan n (pengecilan jarak) mengurangi kesalahan pemotongan. Tetapi kesalahan jenis lain disebut kesalahan pembulatan cenderung menjadi lebih berarti bila h menjadi lebih kec il.
Untuk metode taylor sebenarnya tingkat ketelitiannya lebih dari metode euler namun hanya bisa sampai deret taylor orde-2.dan semakin tinggi orde_nya makin sulit perhitungannya. Oleh karena itu M etode runge-kutta yang dapat menyajikannya.
Dalam pemberian hampiran taylor kita tuliskan :
Hampiran taylor orde tiga juga akan mempunyai tambahan suku-suku :
Berdasarkan pengetahuan yang kita tentang deret taylor dari kalkulus kita tau bahwa ketelitian dari hampiran kita membaik sesuai dengan banyaknya suku yang digunakan. Sebaliknya semakin banyak suku yang digunakan maka semakin sulit perhitungannya. Oleh sebab itu dengan adanya metode runge-kutta akan mempermudah menghitung hampiran orde banyak. Oleh karena itu untuk mengerjakan hampiran orde banyak cenderung memilih menggunakan metode runge-kutta. Dan menghitung hampiran orde banyak dengan teliti adalah kelebihan dari metode Runge-kutta.
B.
Rumusan Masalah.
Namun perhitungan runge-kutta secara manual juga sangat melelahkan sebab membutuhkan cara yang cukup banyak. Oleh sebab itu saya berinisitif untuk membuat perhitungan
metode
runge-kutta
dalam
bentuk
program
³ turbo
pascal´ agar
pengerjaannya lebih mudah. Sehingga dapat ditulis masalah yang timbul adalah : 1. Perhitungan secara manual yang masih terlalu sulit. 2. Banyaknya cara yang harus ditempuh dalam menggunakan cara metode runge-kutta secara manual. 3. Kurang teliti apabila dikerjakan secara manual. 4. Banyaknya bentuk atau model dalam pengerjaan metode runge-kutta ini.
C.
Pembatasan Masalah.
Dari sekian masalah yang timbul saya berinisatif untuk membuat program untuk metode runge-kutta orde-4 dengan bahasa pemograman ³ turbo pascal´ . Saya mengambil yang orde ke-4 sebab yang perhitungannya lebih rumit bila dibandingkan dengan metode runge-kutta orde lainnya. Selain itu saya mengambil orde 4 ini sebab agar tidak terjadi kesalahan penghitungan
dan
tidak
terjadi
kesalahan
penghitungannya akan menjadi lebih akurat.
pembulatan.
Sehingga
hasil
dalam
BAB
II
ISI A. Metode Runge-Kutta.
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau dengan menggunakan interval (x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan. Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai y (x), sedang penggunaan panjang.
(x
yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
yi 1
!
yi
dengan *(xi, yi, interval.
( xi ,
(x)
y i , x) x
(8.19)
adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum: ! a1k 1 a2 k 2 ... an k n
(8.20)
dengan a adalah konstanta dan k adalah: k 1 = f (xi, yi)
(8.21a)
k 2 = f (xi + p1(x, yi + q11 k 1(x)
(8.21b)
k 3 = f (xi + p2(x, yi + q21 k 1(x + q22 k 2(x)
(8.21c) /
k n = f (xi + pn ± 1(x, yi + qn ± 1, 1 k 1(x + qn ± 1, 2 k 2(x + ~+ qn ± 1, n ± 1 k n ± 1(x)
(8.21d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k 1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k 2, yang juga muncul dalam persamaan untuk menghitung k 3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan. Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan. 1)
Metode
Rung e-K utt a Or der 4
Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih tinggi. Metode ini mempunyai bentuk: yi
1
yi 1
!
k 1
!
f ( xi , yi )
k 2
!
f ( xi
k 3
!
f ( xi
k 4
!
f ( xi
6
( k 1 2 k 2
(8.33a)
2 k 3 k 4 ) x
dengan:
1 2 1 2
(8.33b)
x, y i
1
k 1 x)
(8.33c)
k 2 x)
(8.33d)
2
x, y i
1 2
(8.33e)
x, yi k 3 x)
Contoh soal: Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4. dy dx
3
2
! 2 x 12 x
20 x 8,5.
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
(x !
0,5. Kondisi awal pada x = 0
adalah y = 1.
Penyelesaian: Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k 1, k 2, k 3 dan k 4.
3
) 12( 0 2 ) 20(0) 8,5
k 1
! 2 (0
k 2
! 2(0,25
3
) 12( 0,25 2 ) 20(0,25) 8,5
k 3
! 2(0, 25
3
) 12(0,25 ) 20(0, 25) 8,5
k 4
! 2 (0,5
3
!
8,5.
2
) 12( 0,5 2 ) 20(0,5) 8,5
!
!
4,21875 .
!
4,21875 .
1, 25.
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x): 1 y ( 0,5) ! 1 [ (8,5 2( 4,21875) 2( 4,21875 ) 1,25]0,5 6
!
3,21875 .
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode EULER I
X
HEUN
POLIGON
RALSTON
Y
Y
RUNGE-KUTTA
YE Y
I
t
(%)
Y
I
t
(%)
I
t
(%)
I
t
(%)
Y
I
t
(%)
0.00
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0.50
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
1.00
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
1.50
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.50
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
3.00
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.50
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
4.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B.
Mengerjakan Metode Runge-kutta dengan Program Turbo Pasca l
Sebelum mengerjakan dengan program haruslah kita mengerti tentang tata cara pembuatannya terlebih dahulu. Sehingga yang perlu dilakukan adalah menampilkan algoritma dan flowchart atau diagaram alur terlebih dahulu. Maka : 1. Algoritma a. Tentukan soal yang akan di kerjakan. b. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan rumus metode runge-kutta orde 4. c. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y d.
Lalu
telah diolah dalam program.
e. Cetak program.
2. Flowchart (diagram alur). MULAI
MASUKKAN NILAI AWAL X Y H XN
HITUNG H = (B-X)/N
CETAK
X,Y
HITUNG :
k 1
!
f ( xi , yi )
k 2
!
f ( xi
k 3
!
f ( xi
k 4
!
f ( xi
1 2
1 2
x, yi
x, y i
1 2
1 2
k 1 x)
k 2 x)
x, yi k 3x)
TENTUKAN :
Xi = x+h Yi =y+(ki+2k2+2k3+k4)/6
CETAK
Xi,Yi
STOP
C.
Menampilkan Program. Soal :
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4. dy dx
3
2
! 2 x 12 x
20 x 8,5.
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah adalah y = 1. Penyelesaian :
(x !
0,5. Kondisi awal pada x = 0
Dan apabila program ini di run maka yang akan muncul adalah :
D. Membandingkan program d engan cara manua l C ara M anual
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4. dy dx
3
2
! 2 x 12 x
20 x 8,5.
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
(x !
0,5. Kondisi awal pada x = 0
adalah y = 1.
Penyelesaian: Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k 1, k 2, k 3 dan k 4. 3
2
k 1
! 2 (0
) 12( 0 ) 20(0) 8,5
k 2
! 2(0,25
3
) 12( 0,25 ) 20(0,25) 8,5
k 3
! 2(0, 25
3
) 12(0,25 ) 20(0, 25) 8,5
k 4
! 2 (0,5
3
!
8,5.
2
!
4,21875 .
2
!
4,21875 .
) 12( 0,5 2 ) 20(0,5) 8,5
!
1, 25.
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x): 1 y ( 0,5) ! 1 [ (8,5 2( 4,21875) 2( 4,21875 ) 1,25]0,5 6
!
3,21875 .
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode EULER I
X
HEUN
POLIGON
RALSTON
Y
Y
RUNGE-KUTTA
YE Y
I
t
(%)
Y
I
t
(%)
I
t
(%)
I
t
(%)
Y
I
t
(%)
0.00
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0.50
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
1.00
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
1.50
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.50
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
3.00
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.50
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
4.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cara
program :
Sehingga dari 2 buah cara yang digunakan kesimpulannya adalah : ³H asil
perhitungannya menemukan hasil yang sama juga lebih akurat
ketika menggunakan pemograman pascal, sebab caranya lebih mudah dan hasilnya lebih cepat didapatkan dan jelas lebih akurat,selain itu dengan menggunakan program maka kesalahan yang ditimbulkan akan lebih bisa diminimalisir.´
BAB
III
SARAN
Penggunaan menggukana program computer lebih akurat dan lebih mudah penggunaannya sehingga hasil yang didapat pun lebih valid dari pada pengerjaan secara manual. Dan hasil yang didapat dari kedua cara pengerjaan itu pun sama sehingga tidak perlu khawatir dalam menggunakan program pascal dalam menghitung metode rungekutta orde 4 dan orde lainnya.
PENUTUP
Demikianlah yang dapat saya sampaikan dalam laporan tugas metode numerik ini mengenai metode Rung-kutta. Dan apabila masih banyak kesalahan saya ucapkan banyak kata maaf serta terimakasih kepada pembaca atas waktunya membaca tulisan dari laporan saya ini dan bila masih banyak kesalahan saya haturkan banyak kata maaf.
Semarang,Desember 2010
Penyusun
DAFTAR PUSTAKA
Ladas/finzio.Santoso,Widiarti.1988.P ersamaan
Moder n.Jakarta:
Erlangga.
Irfan_Metode_numerik,pdf. www.thesatya.com Google.com.
Diff er ensial Biasa
dengan P ener apan
