METODE RUNGE-KUTTA DAN METODE BANYAK LANGKAH
Metode Euler kurang efisien dalam masalah-masalah praktis, karena dalam metode Euler diperlukan h << 1 untuk memperoleh hasil yang cukup teliti (akurat). Metode Runge-kutta dibuat untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi dan kelebihan dari metode ini adalah bahwa untuk memperoleh hasil-hasil tersebut hanya diperlukan nilai-nilai fungsi dari titik-titik sebarang yang dipilih pada suatu interval bagian.
Penyelesaian PDB dengan metode deret Taylor juga tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan turunan perhitungan fx,y. Lagipula, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat diterima dalam masalah praktek.
Metode Runge-Kutta merupakan alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapat derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekalius menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi fx,y pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling populer karena banyak di pakai dalam praktek.
A. Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta merupakan salah satu dari satu perangkat metode yang penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan syarat awal
y'=fx,y
y(x0) diberikan
Untuk memecahkan persoalan ini, pada sumbu waktu x dipilih simpul-simpul waktu diskret
x0, x1,x2,…,xr,xr+1,…,xn dan seterusnya
dengan xr+1= xr+ hr, dengan hrmerupakan "step length" dari saat ke-r ke saat ke-(r+1). Pada umumnya "step length" tergantung pada r, tetapi untuk mudahnya diperlakukan konstan, yaitu h.
Bentuk umum metode Runge-Kutta orde-n adalah:
yr+1=yr+a1k1+a2k2+ …+ ankn
dengan a1,a2,…,an adalah tetapan dan
k1=hf(xr,yr)
k2=hfxr+p1h,yr+q11k1
k3=hfxr+p1h,yr+q21k1+q22k2
...
kn=hf(xr+pn-1h, yr+qn-1,1k1+qn-1,2k2+ ... +qn-1,n-1kn-1
Nilai ai,piqij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan entuk umum metode Runge-Kutta orde-n akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.
Galat per langkah metode Runge-Kutta orde-n Ohn+1
Galat longgokan metode Runge-Kutta orde-n Ohn
Orde metode = n
Berikut beberapa jenis Metode Runge-Kutta :
Metode Runge-Kutta Orde Satu
Metode Runge-Kutta tingkat satu berbentuk
Metode Runge-Kutta Orde Dua
Metode Runge-Kutta tingkat satu berbentuk
Metode Runge-Kutta Orde Tiga
Metode Runge-Kutta yang terkenal dan banyak dipakai dalam praktek adalah metode Runge-Kutta orde tiga dan metode Runge-Kutta orde empat. Kedua metode tersebut terkenal karena tingkat ketelitian solusinya tinggi (dibandingkan metode Runge-Kutta orde sebelumnya, mudah diprogram, dan stabil)
Metode Runge-Kutta orde tiga berbentuk
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode Runge-Kutta orde tiga berbentuk
Metode Runge-Kutta Orde Lima
Penyelesaian PDB dengan MATLAB dapat menggunakan subrutin ode23 yang merupakan eksplisit dari metode range-kutta (2,3)
Contoh Soal
Diketahui persamaan diferensial:
y = y t2+ 1, 0 t 2, y(0) = 0, 5
Jika N = 10, maka step-size bisa dihitung sebagai berikut
Perhitungan menggunakan rumus matematika
h= b -aN=2 -010=0,2
ti=a+ih=0+i0,2 ti=0,2i
w0=0,5
Terapkan metode Runge-Kutta Orde-4 ini. Untuk menghitung w1, tahap - tahap perhitungannya:
akhirnya diperoleh w1
Dengan cara yang sama, w2,w3, w4 dan seterusnya dapat dihitung dengan program komputer.
Perhitungan menggunakan MATLAB
Rumus MATLAB
Hasil Running Program MATLAB
