INV. OPERATIVA I
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
NOMBRE:
Richard Esparza
PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN
TUTOR: Ec. Juan Carlos Erazo
Sangolquí, 20 Mayo del 2016
1
INV. OPERATIVA I
PROBLEMAS MANUALES
1. 2.3a.5 La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida”. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende qu e si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego? 1) Función objetivo X1 = Horas de trabajo X2 = Horas de juego Z(max) = X1 + 2X2
2) Restricciones o limitaciones X1 + X2 ≤ 10 horas X1 ≥ X2 Estudio y juego X2 ≤ 4 horas
3) Desigualdad en Igualdad
(1)
X1 + X2 = 10 (2) X1 = X2 (3) X2 = 4
4) Graficar
(1)
X1
X2
0 10
(2)
X1
X2
10
0
0
0
5
5
2
(3)
X1
X2 4
INV. OPERATIVA I
5) Coordenadas de puntos extremos (C,D)
-
Punto C ( ec2 y ec3 ) (2) (3)
X1 = X2 X2 = 4
→ X1 = 4 ► Punto C (4,4)
-
Punto D (ec1 y ec3) (1) (3)
X1 + X2 = 10 X2 = 4
X1 + 4 = 10 → X1 = 6 ► Punto D (6,4)
3
INV. OPERATIVA I
6) Reemplazar coordenadas en función objetivo P (X1, X2)
Z (max) = X1 + 2X2
C (4,4) = 4 + 2(4) = 12 D (6,4) = 6 + 2(4) = 14
Punto óptimo
Z (max) = 14 X1 = 6 horas de trabajo X2 = 4 horas de juego
Solución:
2. Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficiados por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia. 1) Función objetivo X1 = Pantalones tipo A X2 = Pantalones tipo B Z(max) = 6X1 + 4X2
2) Restricciones o limitaciones 2X1 + X2 ≥ 250 Producción X1 ≤ 75 Pantalones tipo A X2 = 125 Pantalones tipo B
3) Desigualdad en Igualdad (1) (2) (3)
2X1 + X2 = 250 X1 = 75 X2 = 125
4) Graficar (1)
X1
X2
0
250
125
0
(2)
X1 75
4
X2
(3)
X1
X2 125
INV. OPERATIVA I
5) Coordenadas de puntos extremos (C,D)
-
Punto C ( ec1 y ec3 ) (1) (3)
2X1 + X2 = 250 X2 = 125
2X1 + 125 = 250 → X1 = 65 ► Punto C (62.5, 125 )
-
Punto D (ec2 y ec3) (2) (3)
X1 = 75 X2 = 125
► Punto D (75, 125)
5
INV. OPERATIVA I
6) Reemplazar coordenadas en función objetivo P (X1, X2)
Z (max) = 6X1 + 4X2
C (62.5, 125) = 6(62.5) + 4(125) = 875 D (75, 125) = 6(75) + 4(125) = 950 Punto óptimo
Z (max) = 950 X1 = 75 pantalones tipo A X2 = 125 pantalones tipo B
Solución:
3. Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por tres máquinas M1, M2 y M3. La máquina 1 procesa 0.5 unidad de A y 0.5 de B, M2 procesa 1 de A, 0.5 de B, M3 procesa 0.5 de A y 2 de B. Se dispone al menos de 65 horas semanales para M1, 95 para M2 y 100 para M3. El costo de A es de 3 dólares y 5 dólares el de B ¿Cuántas unidades de A y B se deben producir para que el costo sea mínimo? 1) Función objetivo X1 = Unidades de A X2 = Unidades de B Z(min) = 3X1 + 5X2
2) Restricciones o limitaciones 0.5X1 + 0.5X2 ≥ 65 Máquina M1 X1 + 0.5X2 ≥ 95 Máquina M2 0.5X1 + 2X2 ≥ 100 Máquina M3
3) Desigualdad en Igualdad (1) (2) (3)
0.5X1 + 0.5X2 = 65 X1 + 0.5X2 = 95 0.5X1 + 2X2 = 100
4) Graficar (1)
X1
X2
0 130
(2)
X1
X2
130
0
0
95
6
(3)
X1
X2
190
0
50
0
200
0
INV. OPERATIVA I
5) Coordenadas de puntos extremos (C,D)
-
Punto C ( ec1 y ec2 ) (1) (2)
0.5X1 + 0.5X2 = 65 -X1 - 0.5X2 = -95
-0.5X1 = -30 → X1 = 60 60 + 0.5X2 = 95 → X2 = 70 ► Punto C (60, 70)
-
Punto D (ec1 y ec3) (1) (3)
0.5X1 + 0.5X2 = 65 -0.5X1 - 2X2 = -100
-1.5X2 = -35 → X2 = 23.33
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INV. OPERATIVA I
0.5X1 + 0.5(23.33) = 65 0.5X1 = 65 – 11.665 → X1 = 106.67 ► Punto D (106.67, 23.33 )
6) Reemplazar coordenadas en función objetivo P (X1, X2)
Z (min) = 3X1 + 5X2
C (60, 70) = 3(60) + 5(70) = 530 D (106.67, 23.33) = 3(106.67) + 5(23.33) = 436.66
Solución:
Punto óptimo
Z (min) = 436.66 X1 = 106 unidades de A X2 = 23 unidades de B
4. Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X 1, a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X 2 a un costo de 4 dólares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo? 1) Función objetivo X1 = Onzas aditivo X1 X2 = Onzas aditivo X2 Z(min) = 2X1 + 4X2
2) Restricciones o limitaciones 15X1 + 4X2 ≥ 32 Vitamina A 2X1 + 2X2 ≥ 10 Vitamina B 4X1 + 14X2 ≥ 40 Vitamina C
3) Desigualdad en Igualdad (1) (2) (3)
15X1 + 4X2 = 32 2X1 + 2X2 = 10 4X1 + 14X2 = 40 → 2X1 + 7X2 = 20
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INV. OPERATIVA I
4) Graficar (1)
X1
X2
0 2.13
(2)
X1
X2
8
0
0
5
X1
X2
5
0
2.86
0
10
0
5) Coordenadas de puntos extremos (C,D)
-
Punto C ( ec1 y ec2 ) (1) (2)
15X1 + 4X2 = 32 2X1 + 2X2 = 10 → Multiplicar por -2
15X1 + 4X2 = 32 -4X1 – 4X2 = -20 11X1 = 12 → X1 = 1.09
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(3)
INV. OPERATIVA I
2(1.09) + 2X2 = 10 2X2 = 10 – 2.18 → X2 = 3.91 ► Punto C (1.09, 3.91 )
-
Punto D (ec2 y ec3) (2) 2X1 + 2X2 = 10 (3) -2X1 - 7X2 = -20 -5X2 = -10 → X2 = 2 2X1 + 2(2) = 10 2X1 = 6 → X1 = 3 ► Punto D (3, 2)
6) Reemplazar coordenadas en función objetivo P (X1, X2)
Z (min) = 2X1 + 4X2
C (1.09, 3.91) = 2(1.09) + 4(3.91) = 17.82 D (3, 2) = 2(3) + 4(2) = 12 Punto óptimo
Solución:
Z (min) = 12 X1 = 3 onzas aditivo X1 X2 = 2 onzas aditivo X2
10
INV. OPERATIVA I
PROBLEMAS A COMPUTADORA
5. 3.1-7 La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.
a) b)
Formule un modelo de programación lineal Use el método gráfico para resolver el modelo.
1) Función objetivo X1 = televisores 27 in X2 = televisores 20 in Z(max) = 120X1 + 80X2
2) Restricciones o limitaciones X1 ≤ 40 ventas televisores 27 in X2 ≤ 10 ventas televisores 20 in 20X1 + 10X2 ≤ 500 horas-hombre
3) Desigualdad en igualdad (1) X1 = 40 (2) X2 = 10 (3) 20X1 + 10X2 = 500
4) Gráfico y solución
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INV. OPERATIVA I
Solución:
Z(max) = 3200 X1 = 20 televisores 27 in X2 = 10 televisores 20 in
6. 3.1-8 La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.
a)
Formule un modelo de programación lineal.
b)
Utilice el método gráfico para resolver este modelo. (Cuál es la ganancia total que resulta?
1) Función Objetivo X1 = Lámpara 1 X2 = Lámpara 2 Z(max) = X1 + 2X2
2) Restricciones o Limitaciones X1 + 3X2 ≤ 200 unidades de metal 2X1 + 2X2 ≤ 300 unidades de componentes eléctricos. X2 ≤ 60 unidades producto 2
3) Desigualdad en igualdad (1) X1 + 3X2 = 200 (2) 2X1 + 2X2 = 300 (3) X2 = 60
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INV. OPERATIVA I
4) Gráfico y Solución
Solución:
Z(max) = 175 X1 = 125 unidades lámpara 1 X2 = 25 unidades lámpara 2
7. Una fábrica elabora dos clases de shampoo A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores beneficios? 1) Función objetivo X1 = botellas shampoo A X2 = botellas shampoo B Z(max) = 0.8X1 + 0.9X2
2) Restricciones o limitaciones X1 + X2 ≤ 80 botellas combinadas 0.1X1 + 0.4X2 ≤ 20 horas X1 ≤ 70 demanda A 0.01X1 + 0.02X2 ≤ 1 capacidad 13
INV. OPERATIVA I
3) Desigualdad en igualdad. (1) (2) (3) (4)
X1 + X2 ≤ 80 botellas combinadas 0.1X1 + 0.4X2 ≤ 20 horas X1 ≤ 70 demanda A 0.01X1 + 0.02X2 ≤ 1 capacidad
4) Solución y gráfico
Solución:
Z(max) = 66 X1 = 60 botellas shampoo A X2 = 20 botellas shampoo B
8. 7.2-16 Nutrientes en fertilizantes .- Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes? 1) Función objetivo X1 = bolsas mezcla 1 X2 = bolsas mezcla 2 Z(min) = 4X1 + 5X2
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INV. OPERATIVA I
2) Restricciones o limitaciones 2X1 + 2X2 ≥ 80 nutriente A 6X1 + 2X2 ≥ 120 nutriente B 4X1 + 12X2 ≥ 240 nut riente C
3) Desigualdad en igualdad (1) 2X1 + 2X2 = 80 (2) 6X1 + 2X2 = 120 (3) 4X1 + 12X2 = 240
4) Gráfico y solución
Solución:
Z(max) = 170 X1 = 30 bolsas mezcla 1 X2 = 10 bolsas mezcla 2
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