Nombre: Ronnie Bejeguen Naranjo
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA INDUSTRIA II OB+ETI,OS ESPECÍ-ICO 1. Aplica Aplicarr los conocimie conocimiento ntoss y habilid habilidades ades adquiri adquiridas das en el curso curso de Estadí Estadísti stica ca descriptiva en el análisis de datos de ingeniería y ciencias para fundamentar el análisis de datos y el papel que desempeñará la teoría de probabilidad en la inferencia estadística.
Esa!"si#a b$si#a 1. Los siguientes siguientes son los números números de de minutos minutos que una una persona persona debe esperar esperar un un autobús autobús para irir a trabaar en 1! días laborales"
%& 1 %' # ( # ) 1$ ' % * 1& ) 1$ %( a. Encu Encuen entr tree la medi media. a.
x´ =
10+ 1+ 13 + 9 + 9 + 9 + 2 + 10 + 3 + 8 + 6 + 17 + 2 + 10 + 15 15
=8
b. Encu Encuen entr tree la la med media iana na.. ' 1 ( ( ) ! * % # # 1$ 1$ 1$ 1) 1! 1&+
x =9 ~
c.
,ibue ,ibue un histog histogram ramaa de frecue frecuenci ncias. as.
Histograma de frecuencias 6 5 4
frecuencias 3 2 1 0 1
5
9
13
17
tiempo de espera de una persona al autobus
d. ,ibu ,ibue e un diag diagra rama ma de caa caa..
Q1= X 4=3
Q2= 8 Q3= X 12= 10 max { X ( 1) ,Q 1−1.5 RI }= max { 1,−7.5 }=1 min { X X ( 15) , Q3 + 1.5 RI }=min { 17,20.5 }=17
1
)
%
1$
(. -on refe referen rencia cia al eerc eercici icioo anterio anteriorr encuent encuentre re
s
2
=
1
s
1&
2
usando la f/rmula que define
s
2
n
∑ ( x x − x´ ) n−1 =
2
i
i 1
2
s=
1
(−7 ) + 2 (−6 ) +(−5 ) +(−3 ) +(− 2) + 2 ( 1 ) + 3 ( 2 ) +5 + 7 + 9 ]=¿ [(− 14 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
().0(
). na na comp compañ añía ía de segu seguro ross cons conside idera ra que el número número de vehí vehícul culos os 'y+ que que circ circul ulan an por una una determinada autopista a más de 1($ 2m3h puede ponerse en funci/n del número de accidentes '4+ que ocurren en ella. ,urante ! días obtuvo los siguientes resultados"
A##i!enes
!
&
(
1
#
1!
1%
1$
%
($
x i
,e."#u/os y i
a . - a l c u l a el el #oe0i#iene !e #orre/a#i1n /inea/ .
x´ = 4.8
y´ =14.2
cov cov ( x , y )=
^ ^(
cov cov x , y )= 2
s x =
1 4
1
n
∑ ( x x − x´ ) ( y − y´ )
n −1 i = 1 1 4
i
i
[ 0.16 +8.36 +11.76+23.56 + 24.36 ] =17.05
[ 0.04 + 4.84 + 7.84 +14.44 + 17.64 ] =11.2
2
s y =
1 4
r x, y =
[ 0.64 + 14.44 + 17.64 + 38.44 + 33.64 ]=26.2
cov cov ( x , y ) = 17.05 =0.99 s x s y 11.2 √ 26.2 26.2 √ 11.2
^
4. 5En cuánta cuántass formas formas ordena ordenadas das un direct director or de televi televisi/n si/n puede puede program programar ar * comerc comerciale ialess
diferentes durante los * cortes asignados a comerciales en la transmisi/n del primer periodo de un uego de hoc2ey? 6
P6=6 ! =720
5. ,etermine el número de formas en que un fabricante puede elegir ( de 1! ubicaciones para un
nuevo almac6n.
( ) 15 2
=
15 ! 2! 3 !
=105
Probabi/i!a! *. Los Los tren trenes es de ater aterri ri7a 7ae e hidráu hidráulilico coss que que sale salenn de una plan planta ta de repa reparac raci/ i/nn de avione avioness se inspeccionan para ver si tienen defectos. 8egistros hist/ricos indican que %9 tienen defectos s/lo en ees *9 tienen defectos s/lo en bues y (9 tienen defectos en ees y bues. no de los trenes hidráulicos se selecciona al a7ar. 5-uál es la probabilidad de que el conunto tenga A" defectos en ees :" defectos en bues a. un bue bue defe defect ctuo uoso so;; P(A)=0.08
b. un ee ee o bu buee def defec ectu tuos oso; o; P (AUB)=0.08 + 0.06 – 0.02
c.
e4acta e4actamen mente te uno uno de de los los dos dos tipos tipos de defe defecto; cto;
P ( A )− P ( A ∩ B )+ P ( B )− P ( A ∩ B )= 0.08 −0.02 + 0.06 −0.02 =0.1 d. ning ningún ún tip tipoo de de defe defect cto; o;
P ( ( A ∪ B ) ) =1− 0.12 =0.88 C
&. La probabi probabilida lidadd de que un nuevo aeropu aeropuert ertoo obtendrá obtendrá un premio premio por su diseño diseño es de $.1* la probabilidad de que obtendrá un premio por el uso eficiente de materiales es de $.(0 y la probabilidad de que obtendrá ambos premios es de $.11. A" obtener premio por diseño :" obtener premio por uso eficiente de materiales a. 5-uál es la probab probabilidad ilidad de que obtendrá obtendrá al menos menos uno uno de los dos dos premios; premios;
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B )= 0.16 + 0.24 − 0.11=0.29
b. 5-uál es la probab probabilidad ilidad de que obtendrá obtendrá solo uno de los dos dos premios; premios;
P ( A )+ P ( B )− 2 P ( A ∩B ∩ B ) =0.16 + 0.24 −2 ( 0.11 ) =0.18
Probabi/i!a! Con!i#iona/2 E3enos in!e4en!ienes 5 Teorema !e Ba5es %.
¿
Demuesre que P ( A )
P ( A )=
1 −b
1− b − a 1− b
P ( B ) − P ( A ∩ B C
P ( A )=
C
P ( B
)
C
C
P ( A )=
1− P ( A
)
C
P ( B ) − P ( A ) P P ( B
¿
1 −b− a
C
P ( B
)
C
)
C
)
C
P ( B ) ¿ P ( A )=¿ C
P ( A )= P ( A )
#. na na encu encues esta ta de consu consumi mido dore ress en una comu comuni nida dadd part partic icula ularr most mostr/ r/ que 1$9 1$9 no esta estaba bann satisfechos con los trabaos de plomería reali7ados en sus casas. La mitad de las queas se refería refería al plomero plomero A que reali7a reali7a 0$9 de los trabaos trabaos de plomería plomería de la poblaci/n. Encuentre Encuentre la probabilidad de que un consumidor obtenga"
A" el plomero es A E1" trabao no satisfactorio E(" trabao satisfactorio ='A+>$.0 ='E1+>$.1 ='E(+>$.# a. un trabao trabao de de plomería plomería no no satisfacto satisfactorio rio dado dado que el plomero plomero era era A.
P ( E1| A )=
P ( E E1 ) P ( A| E1 ) P ( A )
=
(0.1 )( 0.5 ) 0.4
=0.125
b. un trabao trabao de plomería plomería satisfactori satisfactorio o dado dado que el plomero plomero era A.
P ( A )= P ( E E1 ) P ( A| E1 ) + P ( E E2 ) P ( A| E2 ) P ( A )− P ( E1 ) P ( A A| E1 ) P ( A| E2 ) = P ( E 2 ) P ( A| E2 ) =
0.4 −( 0.1 )( 0.5 )
( 0.9 )
= 0.39
P ( E E2 ) P ( A A| E2 ) ( 0.9)( 0.39 ) = =0.8775 P ( E2| A ) = P ( A ) 0.4 1$. En una planta de electr/nicos electr/nicos se sabe por e4perienci e4periencias as pasadas que la probabilidad probabilidad es de $.%) de que un nuevo trabaador que asisti/ al programa de capacitaci/n de la compañía cumplirá con las cuotas de producci/n y que la probabilidad correspondiente es de $.)! para un nuevo trabaador que no asisti/ al programa de capacitaci/n de la compañía.
P ( A| E1 )= 0.83 P ( A| E2 ) = 0.35 P ( E1 )= 0.8 P ( E2 )= 0.2 P ( A )= P ( E E1 ) P ( A| E1 ) + P ( E E2 ) P ( A| E2 )= ( 0.8 ) ( 0.83 )+ ( 0.2 ) ( 0.35 )=0.734 11. -on referencia referencia al eercicio anterior anterior encuentre la probabilidad probabilidad de que un nuevo trabaador trabaador que cumple con las cuotas de producci/n
P ( E1| A )=
P ( E E1 ) P ( A| E1 ) P ( A )
=
(0.8 )( 0.83 ) 0.734
=0.9
P ( E E2 ) P ( A A| E2 ) ( 0.2)( 0.35 ) = =0.09 P ( E2| A ) = P ( A ) 0.734
1(. 1(. na na prue prueba ba de diag diagn/ n/st stic icoo para para una una enfe enferm rmed edad ad es tal tal que que 'cor 'corre rect ctam ament ente+ e+ detec detecta ta la enfermedad en #$9 de los individuos que en realidad tienen la enfermedad. ?ambi6n si una persona no tiene la enfermedad la prueba reportará que 6l o ella no la tiene con probabilidad .#.
P ( A| E1 )= 0.9 P ( A| E2 ) =0.1 P ( E1 )= 0.01 P ( E2 )= 0.99 P ( E1| A )=
P ( E 1 ) P ( A| E 1 )
( 0.01 )( 0.9) =0.08 P ( E E1 ) P ( A| E1 ) + P ( E E2 ) P ( A| E2 ) ( 0.01 ) ( 0.9 )+( 0.1 )( 0.99 ) =
1).
P ( A| E1 )= 0.6 P ( A| E2 ) = 0.3 P ( E1 )=
15
P ( E2 )=
5
20
20
P ( E1| A )=
P ( E 1 ) P ( A| E 1 ) P ( E E1 ) P ( A| E1 ) + P ( E E2 ) P ( A| E2 )
( 15 )( 0.6 ) =
20
( )( 15 20
0.6 )+(
5 20
=0.54 )( 0.3 )
Disribu#i1n !e 4robabi/i!a!es 4ara ,ariab/es Dis#reas 10. n supervisor supervisor en una planta manufacture manufacturera ra tiene tres hombres hombres y tres mueres trabaando trabaando para para 6l y desea escoger escoger dos trabaadore trabaadoress para un trabao trabao especial. o queriendo queriendo mostrar sesgo en su selecci/n decide seleccionar los dos trabaadores al a7ar. ,enote con B el número de mueres en su selecci/n. Encuentre la distribuci/n de probabilidad para
{
Y .
1
; y = 0,1,2 P (Y = y )= 3 esto de y 0 ; resto
1!.
X b ( 4,0.8) a. e4actamente e4actamente dos de los cuatro cuatro componentes componentes dure más de de 1$$$ horas horas
()
2 2 P ( X =2 ) = 4 0.8 0.2 =0.1536
2
b. el subsis subsistema tema opere opere más de 1$$$ 1$$$ hora horas. s.
P ( X ≥ 2 )= P ( X =2 ) + P ( X =3 )+ P ( X = 4 )
()
()
3 4 P ( X ≥ 2 )= 0.1536 + 4 0.8 0.2+ 4 0.8 =0.9728
3
4
1*. na cooperativa cooperativa agrícola agrícola afirma que #$9 de las sandías embarcadas embarcadas están están maduras y listas para comerse. Encuentre las probabilidades de que entre 1% sandías embarcadas 4" C de sandías maduras y listas
X b ( 18,0.9 ) a. las 1% están están madura madurass y lista listass para para comer comerse@ se@
( )
18 P ( X =18 ) = 18 0.9 =0.15
18
b. al menos menos 1* 1* están están madur maduras as y lista listass para para comers comerse@ e@
P ( X ≥ 16 ) = P ( X =16 )+ P ( X =17 ) + P ( X = 18 )
( )
( )
16 2 17 P ( X ≥ 16 ) = 18 0.9 0.1 + 18 0.9 0.1 + 0.15= 0.73
16
c.
17
cuando cuando mucho mucho 10 están están madu maduras ras y lista listass comers comerse. e.
P ( X ≤ 14 )=1− P ( X ≥ 14 ) =1 − P ( X =15 ) − P ( X =16 )
( )
15 3 P ( X ≤ 14 )=1− 18 0.9 0.1 −0.73 =0.1
15
1&. 5-uántas 5-uántas veces esperaría esperaría usted lan7ar al aire una moneda balanceada balanceada para obtener obtener la primera cara; 1%. n ingeniero ingeniero de control de calidad inspecciona inspecciona una muestra muestra aleatoria aleatoria de ) baterías baterías de cada lote de (0 baterías automotrices listas para embarcarse.
X ( =24, n=3, a =6 )
a. ningun ningunaa de de las las bate batería ríass con con defe defecto ctos; s;
( )( ) ) = = = ( )
P ( X 0
6 18 0 3 24 3
0.4
b. tan solo solo una una de las baterí baterías as con con defe defecto ctos; s;
( )( ) = )= = ( )
P ( X 1
c.
6 18 1 2 24 3
0.45
al meno menoss dos dos de las baterí baterías as con con defe defecto ctos; s;
P ( X ≥ 2 )= P ( X =2 ) + P ( X =3 ) P ( X ≥ 2 )= 1 − P ( X < 2 ) P ( X ≥ 2 )=1 − P ( X =1 )− P ( X =0 )
P ( X ≥ 2 )=1 −0.45 − 0.4 =0.15 1#. 1#. Entr Entree las las 1* ciud ciudad ades es que que una una soci socied edad ad prof profes esio iona nall cons consid ider eraa para para sus sus pr/4 pr/4im imas as ) conv conven enci cione oness anua anuale les s & está estánn en la part partee occi occiden denta tall de Esta Estado doss nid nidos. os. =ara =ara evit evitar ar discusiones la selecci/n se dea al a7ar.
X ( =16, n =3, a= 7 )
a. ninguna ninguna de las las convencione convencioness se realice realice en la 7ona 7ona oeste oeste de Estados Estados nidos; nidos;
( )( ) ) = = = ( ) 7 9 0 3
P ( X 0
16 3
0.15
b. todas las convencio convenciones nes se realicen realicen en la 7ona 7ona oeste de Estados Estados nidos; nidos;
P ( X =0 )=
( )( ) = ( ) 7 9 3 0 16 3
0.0625
($. Llegan clientes clientes a un mostrador mostrador de salida en una tienda de departamento departamentoss de acuerdo con una distribuci/n de =oisson a un promedio de siete por hora. ,urante una hora determinada .cuales son las probabilidades de que" D" C de clientes que llegan al mostrador en una hora
X Poisson( "=7 ) a. no lle llegu guen en más más de de tres tres clie client ntes es; ;
P ( X ≤ 3 ) = P ( X =0 ) + P ( X =1 )+ P ( X =2 ) + P ( X =3 ) −7
−7
P ( X ≤ 3 ) = e + e
(7)+
−7
2
−7
2
e 7
+
3
e 7 6
=0.087
b. lleg llegue uenn al meno menoss dos dos clie client ntes; es;
P ( X ≥ 2 )= 1 − P ( X < 2 )=1 − P ( X =1 )− P ( X =0 ) −7
−7
P ( X ≥ 2 )= 1 − e 7 −e =0.99 c.
lleg llegue uenn e4act e4actam ament entee cinco cinco clie client ntes es;; −7
5
e 7 =0.128 P ( X =5 ) = 5!
(1.
Y
que tiene una distribuci/n de =oisson con media " . Encuentre E [ Y ( Y # 1 )]
luego use esto para demostrar que
y
$ ( ( Y ) ) = " .
− " y
%
e " E [ y ( y −1 ) ] = y ( y −1 ) y ! y =0
∑
− " y − 2
%
2
e " " E [ y ( y −1 ) ] = y ( y −1 ) y ( y −1)( y −2 )! y =0
∑
%
− " y −2
e " =e− " " 2 e "= " 2 E [ y ( y −1 ) ] =e " y= 0 ( y − 2 ) ! − "
2
∑
E [ y ( y −1 ) ] = "
2
E [ y
2
− y ]= " 2
E [ y ] − E [ y ] = " 2
2
E [ y ] = " + E [ y ] = " + " 2
2
2
$ ( ( y ) = E [ y ]− & = " + "− " = " 2
2
2
2
Disribu#i1n !e 4robabi/i!a!es 4ara ,ariab/es Coninuas ((. ((.
' ( ( y )=
{
(y ( 1− y ) ; 0 ≤ y ≤ 1 c)a*+)ier er otro otro )nto )nto-0, en c)a*+)i
a. Encu Encuen entr tree el el val valor or de k que haga de
( y ) una funci/n de densidad de probabilidad. ' (
b. Encuentre P ( 0. 4 ≤ Y ≤ 1 ) -
(). La proporci/n proporci/n de tiempo por día día en la que todas las caas de un supermercad supermercadoo están ocupadas ocupadas es una variable aleatoria Y con funci/n de densidad"
( y )= ' (
{
cy 2 ( 1− y ) 4 , 0 ≤ y ≤ 1 0, enc)a en c)a*+)ie *+)ierr otro otro )nto
a. Encu Encuen entr tree el el val valor or de c b.
Encuentre E ( y ) -
que haga de
y ¿ + una funci/n de densidad de probabilidad. ' ¿
(0. La cantidad cantidad de tiempo que una cámara cámara de seguridad seguridad operará operará sin tener que resetearse resetearse es una variab variable le aleato aleatoria ria que tiene la distri distribuc buci/n i/n e4pone e4ponencia nciall con > !$ días. días. Encuen Encuentre tre las probabilidades de que tal cámara" a. tendrá tendrá que resetea resetearse rse en meno menoss de ($ días@ días@ b. no tend tendrá rá que que rese resetea tearse rse en al al menos menos *$ días. días. (!. La magnitud magnitud de temblo temblores res registra registrados dos en una regi/n regi/n de Am6ric Am6ricaa del orte orte puede puede modelarse modelarse como si tuviera una distribuci/n e4ponencial con media (.0 según se mide en la escala de 8ichter. Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta regi/n" a. sea mayor mayor que que ).$ ).$ en la escal escalaa de 8ichte 8ichterr. b. caiga caiga entr entree (.$ (.$ y ).$ ).$ en la la escal escalaa de 8ichte 8ichterr. (*. En un proces procesoo fotogr fotográfi áfico co el tiempo tiempo para procesa procesarr % F 1$ impres impresion iones es de una tareta tareta de memoria puede tratarse como una variable aleatoria cuya distribuci/n normal tenga una media de 1$.(% segundos segundos y una desviaci/n estándar estándar de $.1( segundos. segundos. Encuentre la probabilidad probabilidad de que tardará" a. entre 1$.$$ y 1$.!$ 1$.!$ segundos segundos para para procesar procesar una una de las impresion impresiones@ es@ b. al menos menos 1$.($ 1$.($ segun segundos dos para para proce procesar sar una una de las impre impresio siones nes@@ c. cuando cuando mucho mucho 1$.)! 1$.)! segun segundos dos para para procesar procesar una una de las impres impresion iones. es. (&. -on respecto respecto al eercicio anterior anterior 5para cuál valor es la probabilidad probabilidad de $.#! de que superará superará el tiempo que tarda en procesar una de las impresiones; (%. ,ada ,ada una variab variable le aleatori aleatoriaa que tenga tenga la distri distribuc buci/n i/n normal normal con 1.!*(! encuentre las probabilidades de que tomará un valor. a. mayor qu que 1* 1*.%@ b. menor qu que 10 10.#@ c. entr entree 1).* 1).* y 1%.% 1%.%@@ d. entr entree 1*. 1*.!! y 1*.& 1*.&..
Teorema Teo rema !e L"mie #enra/
& > 1*.( 1*.( y
2
.
>
(#. Los tiempos tiempos de servicio servicio para los clientes clientes que pasan por por la caa en una tienda tienda de venta al menudeo son variables aleatorias independientes con media de 1.! minutos y varian7a de 1.$. -alcule la probabilidad de que 1$$ clientes puedan ser atendidos en menos de ( horas de tiempo total de servicio.
