Trabajo Colaborativo, subgrupo 9 Semanas 2-7, Junio de 2018
Lanzamientos de proyectil proyectil De Oro Sining José Luis
Orjuela Herrera Jhon Freddy
Rey Mendez Jhorman
Cód. 1511024279
Cód. 1521020839
Cód. 1711026625
Rodríguez Duque Karen Jiseth
Pérez Tejedor Julián Andrés
Cód. 1621022425
Cód. 1711020758
Resumen — En el presente informe se presenta todos los aspectos relevantes al trabajo colaborativo realizado a través del simulador PHET®. En el cual, se determinó el valor de la gravedad ajustando los valores obtenidos de alcance horizontal y altura inicial por medio del simulador. Esto, seleccionando el mejor ajuste de los datos con la ayuda del coeficiente de Pearson, obteniendo un error relativo porcentual de 0.228 % para el valor de la gravedad con respecto al teórico. Palabras clave: Movimiento de proyectil, Ajuste de datos, coeficiente de Pearson. the following report presents all relevant aspects of the collaborative work carried out through the PHET® simulator. Abstract — the In which, the value of gravity was determined by adjusting the values obtai ned of horizontal range and init ial height by means of the simulator. This was made possible by choosing the best adjustment of data with the help of the Pearson coefficient, obtaining a percentage relative error of 0.228 % for the value of of gravity with respect respect to the theoretical one.
Keywords: Projectile Motion , Data adjustment, adjustment, Pearson’s Pearson’s coefficient.
INTRODUCCIÓN Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la gravedad. Existe una variedad de ejemplos de proyectiles. Un objeto que es dejado caer del reposo es un proyectil. Un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba también es un proyectil. Y un objeto que es lanzado lanzado hacia arriba en un ángulo con respecto a la horizontal t ambién es u n proyectil. Todos los ejemplos antes mencionados se considerarán proyectiles solo si la influencia influencia de la resistencia del aire es despreciable. Por lo tanto, un proyectil se define como cualquier objeto que una vez lanzado o dejado caer continúa en movimiento por su propia inercia y solo es influenciado por la fuerza de la gravedad [1]. Una de las formas más sencillas de lidiar con el movimiento de proyectiles es analizar el movimiento en cada dirección por separado. En otras palabras, se tendrán un conjunto de ecuaciones ecuaciones para describir el movimiento horizontal (movimiento rectilíneo uniforme) y otro para describir el movimiento vertical (movimiento uniformemente acelerado). Esto es posible ya que el cambio en la velocidad vertical no afecta la velocidad horizontal del proyectil y viceversa. Puesto de otra manera, si dispararas una bala horizontalmente y al mismo tiempo dejases caer otra, ambas tocarían el suelo al mismo tiempo [2]. La Tabla 1 muestra las principales ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento de proyectil. proyectil.
Tabla 1. Ecuaciones 1. Ecuaciones movimiento de proyectil [3]
Movimiento Horizontal Movimiento Vertical
= , (1) = + ,
(2) 2
Ajuste lineal Un ajuste lineal busca modelar la relación de dependencia entre dos variables ajustando una ecuación lineal a los datos observados. Una variable se considera dependiente , y la otra independiente . Por ejemplo, una persona podría relacionar el peso de individuos individuos con sus alturas respectivas respectivas usando un ajuste ajuste lineal [4].
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Un ajuste lineal tiene una ecuación de la forma:
=+ Donde cada término corresponde a:
: : : ( = 0) : í Antes de intentar ajustar un modelo lineal a los datos observados, primero se debe determinar si existe o no una relación entre las variables de interés. Esto no necesariamente implica que una variable causa la otra, pero sí que existe una asociación significativa entre las dos variables. Muchos fenómenos estudiados por la ciencia y la ingeniería no siguen necesariamente un comportamiento lineal y, cuando es posible conocer su estructura, es más que evidente la necesidad de ajustar el modelo real a pesar de no ser lineal. Comúnmente estos se linealizan para encontrar sus parámetros [5].
Ajuste Exponencial En ocasiones, el ajuste lineal se puede usar con relaciones que no son inherentemente lineales como se mencionó anteriormente, sino que pueden hacerse lineales después de una transformación. En particular, consideramos el siguiente modelo exponencial[6]:
= Tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, tenemos la siguiente ecuación equivalente:
ln = ln + Esta ecuación tiene la forma de un modelo de ajuste lineal (donde se ha añadido un término de error ε):
= + +
Ajuste Potencial Otro modelo de ajuste no lineal es el modelo de ajuste potencial, que se basa en la siguiente ecuación [7]:
= Tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, tenemos la siguiente ecuación equivalente:
ln = ln + ln Esta ecuación tiene la forma de un modelo de ajuste lineal (donde se ha añadido un término de error ε):
= + ′ +
Ajuste Polinómico El modelo polinomial es un modelo lineal, lo que es algo que suele generar confusión. Sin embargo, los estadísticos se refieren a un modelo lineal como aquel en el que los parámetros ocurren en forma lineal, independientemente de cómo las variables independientes entran en el modelo [5]. Los modelos polinomiales se pueden usar en aquellas situaciones donde la relación entre el estudio y las variables explicativas es curvilínea. A veces, una relación no lineal en un rango pequeño de variables explicativas también puede modelarse mediante polinomios [8]. El modelo polinomial de orden k de una variable viene dado por:
= + + + ⋯ + + De segundo orden:
= + + + Los coeficientes y se llaman parámetro de efecto lineal y parámetro de efecto cuadrático respectivamente. La interpretación del parámetro es el intercepto con el eje y, y puede incluirse en el modelo siempre que el rango de datos incluya x = 0. Si x = 0 no está incluido, entonces no tiene interpretación. Politécnico Gran Colombiano
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METODOLOGÍA Se utilizó un simulador de tiro parabólico PHET, proporcionado por la universidad de Colorado en Boulder [9], con el fin de realizar mediciones del alcance horizontal ( ), variando la altura inicial , y manteniendo los siguientes parámetros constantes:
Tabla 2. Constantes
Ángulo de tiro ( ) Rapidez inicial ( ) Masa de la bala Diámetro del cañón Gravedad ()
55° 12 ⁄ 16,00 0,20 9,81 ⁄
Figura 1. Simulador PHET
Fueron tomadas 15 medidas de alcance horizontal, para alturas iniciales de 1 a 15 metros, seguido a esto se usó la herramienta de Excel para graficar los puntos encontrados y realizar ajustes estadísticos. Para ello se aplicaron a los datos ajustes: Lineal, Exponencial, Potencial y Polinómica de orden 2. Esto con el fin de obtener el mejor ajuste por medio del cálculo del coeficiente de correlación de Pearson, proporcionado por el mismo Excel, posteriormente se determinó el valor de la gravedad, a través de la ecuación teórica y la obtenida para el mejor ajuste, luego se calculó el error relativo de este valor con respecto al real usado en el experimento de 9,81 ⁄ .
RESULTADOS La Tabla 3 muestra los resultados obtenidos de la simulación bajo las condiciones establecidas. Tabla 3. Resultados de la simulación
() ()
1 14,45
2 15,08
3 15,65
4 16,18
5 16,69
6 17,17
7 17,63
8 18,07
9 18,49
10 18,9
11 19,27
12 19,68
13 20,05
14 20,42
15 20,77
Para realizar el diagrama de dispersión de datos se seleccionan los dato s de la tabla 3 en Excel y se procede a insertar dispersión:
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El siguiente paso es seleccionar el conjunto d e puntos del diagrama de dispersión haciendo click derecho, agregar línea de tendencia:
Por último se selecciona el ajuste pertinente, y se selecciona el recuadro “presentar el valor R cuadrado en el gráfico” para conocer el valor del coeficiente de co rrelación de Pearson:
Luego de graficar los diferentes ajustes para los datos y determinados los coeficientes de Pearson para cada uno, se obtuvo la Tabla 4.
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Tabla 4. Ajuste de los datos
Tipo de Ajuste
Ecuación
R
= 2,2372 32,046
0,9967
0,9935
= 0,0074,
0,9630
0,9274
= 3(10− ) ,
0,9747
0,95
= 0,1033 1,4177 0,1028
1
1
Lineal 20 15
] m10 [ Y 5 0 14
16
18
20
X [m]
Exponencial 20 15
] m10 [ Y 5 0 14
16
18
20
X [m]
Potencial 20 15
] m10 [ Y 5 0 14
16
18
20
X [m]
Polinómica de orden 2 20 15
] m10 [ Y 5 0 14
16
18
20
X [m]
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ANÁLISIS DE RESULTADOS A partir de las ecuaciones del movimiento de proyectil, buscamos una función de la forma () , con el fin de comparar con la correlación obtenida de mejor ajuste. De (1) se tiene:
= , = (3) , Remplazando (3) en (2) 0
, , 2(, ) () = + cos() 2( cos()) = +
Remplazando valores (Tabla 2)
= tan(55°) +
2((12)cos(55))
= 1,4281 +
(4) 94,749
Como observamos en la Tabla 4 la función que mejor se ajusta a los datos es la polinómica de orden 2, esto por el valor de 1 en el coeficiente de Pearson, cabe resaltar que para otros ajustes polinómicos de mayor orden también se obtiene este valor de R, sin embargo, dada la naturaleza de la ecuación teórica (4), que es una función polinómica de orden 2, se elige entonces la de orden 2 como el mejor ajuste. Ahora bien, al comparar la ecuación 4 con la ecuación obtenida para el ajuste polinómico de orden 2 (Tabla 4), notamos que son muy similares en su estructura, no obstante, esta última tiene un término más que la ecuación teórica. Este es producto de la incertidumbre o de los pocos datos que se tomaron para realizar el ajuste, por lo que puede interpretarse como un error. Tabla 5. Ajustada vs Teórica
Ajustada
Teórica
= 1,4177 + 0,1033 0,1028
= 1,4281 +
94,749
Por analogía,
= 0,1033 94,749
= 9,7876
Error relativo porcentual
El error relativo porcentual es el cociente dado por el error absoluto ( = ̅ . donde ̅ es el valor real o de referencia de la medida y el valor obtenido en la medición) y el valor real o de referencia de la medida multiplicado por 100. El error relativo nos sirve de indicador de calidad de mediciones realizadas [10].
=
̅ (100%) = (100%) ̅ ̅
Reemplazando:
=
9.81 9.7876 (100%) = 0.228% 9.81
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CONCLUSIONES
Como resultado de los ajustes realizados a los datos a partir de regresión de tipo lineal, exponencial, potencial y polinómico, es posible concluir que un tipo de ajuste correlacionará en mayor proporción las variables de acuerdo al coeficiente de correlación de Pearson (R). Para el presente trabajo el ajuste polinomial de grado 2 es el que mejor se ajusta a los 15 datos obtenidos de alcance horizontal y altura inicial, por lo que la aproximación de la variable de interés - la gravedad - tendrá el menor error relativo posible de entre todos los ajustes. Este fue de 0.228 %. El estudio se realizó teniendo en cuenta variables tales como altura inicial, ángulo de disparo y velocidad inicial. Otras variables como lo son la masa y diámetro del proyectil y la resistencia del aire no tienen influencia en el estudio del movimiento. Cabe resaltar que como toda experimento esta provisto de fuentes de error, en este caso fue muy pequeño y sus posibles causas podrían ser, la poca cantidad de datos al momento de realizar el ajuste, los cuales podrían haber cerrado aun mas la brecha entre la cantidad real y la teórica.
REFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
P. Classroom, “Projectile Motion.” [Online]. Availa ble: http://www.physicsclassroom.com/class/vectors/Lesson-2/Whatis-a-Projectile. K. Academy, “What is 2D projectile motion?” [Online]. Available: https://www.khanacademy.org/science/physics/two dimensional-motion/two-dimensional-projectile-mot/a/what-is-2d-projectile-motion. R. A. Serway and L. D. Kirkpatrick, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics , vol. 26, no. 4. 1988. Y. University, “Lienar Regression.” [Online]. Available: http://www.stat.yale.edu/Courses/1997 -98/101/linreg.htm. R. Walpole, R. Myers, S. Myers, and Y. Keying, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, vol. 53, no. 9. 2012. R. S. U. Excel, “Exponential Regression using a Linear Model.” [Online]. Available: http://www.real statistics.com/regression/exponential-regression-models/exponential-regression/. R. S. U. Excel, “Power Regression.” [Online]. Available: http://www.real-statistics.com/regression/power-regression/. I. K. Shalabh, “Polynomial Regression Models A,” Regres. Anal., pp. 1 – 12. U. of C. Boulder, “PHET, Interactive Simulations,” 2002. [Online]. Available: https://phet.colorado.edu/es/simulation/projectile-motion. Fisicalab, “Errores Absolutos y Relativos.” [Online]. Available: https://www.fisicalab.com/apartado/errores-absolutorelativos#contenidos.
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