UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Y AGRIMENSURA
CÁTEDRA: ALGEBRA I
Subido por: Salaj. C Javier. Alumno regular en la carrera PROFESORADO PROFESORADO EN MATEMATICA. MATEMATICA.
FORMA POLINÓMICA O POLINOMIO FORMAL Llamamos formas polinómicas, polinomio formal o simplemente polinomio en una indeterminada x, sobre un dominio de integridad A, a toda expresión del tipo: P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +… + a2x2 + a.x + a0 =
n
∑a
i.
xi
i =0
Con todos los ai ∈ A e i ∈ N0. A a0 lo llamamos termino independiente y si a n ≠ 0, an recibe el nombre de coeficiente principal. Si an = 1, llamamos polinomio monómico al polinomio. Cuando no existen dudas sobre la indeterminada de la cual se trata, podemos indicar simplemente con P en lugar de P(x). El grado de un polinomio, es un entero no negativo definido así: grP = máx. {i/ai ≠0} Decimos que dos polinomios son iguales cuando tienen iguales coeficientes y los mismos grados. OPERACIONES Sea P el conjunto de todos los polinomios formales del anillo de A. Es decir: P= {P/P: N0 → A} En P definimos la adición y el producto mediante: Suma de polinomios : P+Q: N0 → A es talque: (P+Q)(n) = P(n) + Q(n) Sean los polinomios: n
2
n-1
n
P(x) = a0 + a.x + a2x +…+an-1x + anx =
∑a
i.
xi
i =0
n
2
Q(x) = b0 + b.x + b2x +…+bn-1x
n-1
n
+ bnx =
∑b i =0
i.
xi
P(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a + b).x + (a2 + b2).x2 +…+ (an + bn).xn
Producto de polinomios:
P. Q = N0 → A es talque: n
(P. Q) (n) =
∑ i
P (i). Q (n-i)
=0
Sean los polinomios: n
2
n-1
n
P(x) = a0 + a.x + a2x + …+ an-1x + anx =
∑a
i.
xi
i =0
n
2
Q(x) = b0 + b.x + b2x + … +bn-1x
n-1
n
+ bnx =
∑b i =0
i.
xi
P(x). Q(x) = (a. b0) + (a0. b + a. b0).x + (a0.b2 + a.b + a2.b0).x2 +…+ (an.bn).xn+n
ESTRUCTURA DE (A[X], +, • ) El conjunto de todos los polinomios en x, sobre un dominio de integridad A, que denominamos A [x], es, con la suma y el producto antes definidos, un nuevo dominio de integridad que contiene a A. Propiedades: SUMA
S1: Asociativa de la suma en A [x]: P, Q, R ∈ A[x]: (P+Q)+R = P+ (Q+R). S2: Conmutatividad de la suma en A[x]: P, Q ∈ A[x]: P+Q = Q+P S3: Existencia del elemento neutro para la suma en A [x]: ∃Q ∈ A[x]/ P ∈ A[x]: P+Q = P S4: Existencia de inversos aditivos en A [x]: P ∈ A[x]: ∃Q ∈ A[x]/ P+Q = N, siendo N el neutro. PRODUCTO
P1: Asociativa del producto en A [x]: P, Q, R ∈ A[x]: (P.Q).R = P. (Q.R). P2: Conmutatividad del producto en A[x]: P, Q ∈ A[x]: P. Q = Q.P P3: Existencia del elemento neutro para el producto en A [x]: ∃Q ∈ A[x]/ P ∈ A[x]: P. Q = P SUMA Y PRODUCTO
D: Distributividad del producto respecto a la suma en A [x]: P, Q, R ∈ A[x]: (P+Q).R = P.R + Q.R Por ser la suma y el producto, leyes de composición interna en A [x], y por verificar las propiedades S 1, S2, S3, S4, P1, P2, P3 y D, decimos que la terna (A[X], +, • ) tiene estructura de anillo conmutativo con unidad. También es un anillo integro por no tener divisores de cero. POLINOMIOS EN UN CUERPO A los polinomios en una indeterminada x con coeficientes en un cuerpo K denotamos K[x]. Elementos inversibles en K [x] .
El anillo de polinomios K [x] no es un cuerpo pues no todo elemento no nulo de K[x] admite inverso multiplicativo en K [x]. Teorema: “Un polinomio de K [x] admite inverso multiplicativo si y solo si es de grado cero”. P admite inverso multiplicativo ⇔ gr. P = 0 Demostración: ⇒ ) Sea P ∈ K[x] un polinomio con inverso multiplicativo en K [x] ⇒ ∃Q ∈ K[x]/P.Q = I, como K[x] es dominio de integridad se tiene: gr. (P.Q) = grP + gr Q = = gr I = 0 y como los grados son números naturales, debe ser grP = 0 ⇐ ) Si grP = 0 ⇒ p = a0 ≠ 0 ^ a0 ∈ K ⇒ P admite inverso multiplicativo y es P-1= a0. De esta manera probamos que los únicos elementos inversibles de K [x] son las constantes de K [x] que son las constantes no nulas de K.
DIVISIBILIDAD EN K [X]. Dado los polinomios A y B de K [x], siendo B no nulo, existen y son únicos los polinomios Q y R/ i. A= B. Q + R ii. R=0 ∨ grR< grB. Se pueden presentar los casos: 1) Si A=0 ∨ grA< grB ⇒ Q=0 ^ R=A 2) Si grA ≥ grB ⇒ grQ= grA - grB. TEOREMA DE RUFFINI. Si el dividendo A es tal que grA = n ≥ 1 y el divisor B es tal que grB = 1 y además B es mónico, es posible hallar el cociente y el resto de la división de A por B mediante el procedimiento llamado regla de Ruffini. En efecto: sean Q y R el cociente y el resto respectivamente. Por el algoritmo de la división se tiene que A= B. Q + R ^ (R=0 ∨ grR< grB) y además grQ = grA –grB= n-1. Entonces R=0 ∨ grR< 1 ⇒ r=0 ∨ grR= 0, es decir que podemos identificar a R con una constante de K que llamaremos r. Sea A= an.xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a.x + a, grA = n ≥ 1 y B= x+b, pero b= -a para algún a ∈ K ⇒ B= x-a. Como A=B. Q+r ⇒ A = (x-a).Q + r, reemplazando Q (grado n-1): A= (x-a). (qn-1xn-1 + qn-2xn-2 + … + q.x + q0) + r; distribuyendo: A= (x-a). qn-1xn-1 + (x-a). qn-2xn-2 +… + (x-a). q.x + (x-a). q.x + r = = qn-1xn – aqn-1xn-1 + qn-2xn-1 – aqn-2xn-2 + … + qx2 – aq.x + q0x – aq0 +r = = qn-1xn + (qn-2 – aqn-1).x n-1 + (qn-3 – aqn-2).xn-2 + … + (q0 – aq).x – aq0 + r Esta cadena de igualdad solo es verdadera si: qn-1 = an qn-2 – aqn-1 = an-1 ⇒ qn-2 = an-1 + aqn-1 qn-3 – aqn-2 = an-2 ⇒ qn-3= an-2 + aqn-2 --------------------------------------------------q0 – aq = a ⇒ q0 = a + aq r – aq0 = a0 ⇒ r = a0 + aq0 Estos resultados se pueden hallar con el siguiente esquema:
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA EN K [X] Todo polinomio de grado positivo de K[x] puede expresarse como producto de polinomios primos de K [x]. esa representación es única, salvo el orden de los factores. TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de P por x -
α
es P(x).
Demostración: Dividiendo P por x - α , se tiene, por el algoritmo de la división que: P = (x - α ). Q + r, donde r es el resto de la división de P por x - α . Especializando la x por α resulta: P ( α ) = (x - α ). Q ( α ) + r = 0 + r ⇒ P ( α ) = r Ejemplo: Sea P(x)= 2x3 + 5x2 +2x +1; P (-2)= 2. (-2)3+ 5. (-2)2+ 2. (-2) +1 = 1, que coincide con el resto de la división de P(x) por x- (-2)= x+2. En efecto:
RAIZ DE UN POLINOMIO Sea P ∈ K[x] y Definición:
α ∈
K:
es raíz de P si y solo sí la especialización de x por α es cero. α es raíz de P ⇔ P ( α ) = 0 Por el teorema del resto, también puede decirse que α es raíz de P si y solo sí el resto de la división de P por (x - α ) es cero. α
Ejemplo: 2 Si P(x)= x – 4x + 4, entonces α = 2 es raíz de P pues P (2)= 22 – 4.2 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0 2 2 Si P(x)= x + 1, entonces α = i, pues P(i)= i +1= -1+1= 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA DESCOMPOSICION FACTORIAL Todo polinomio P ∈ C[x] de grado n ≥ 1 puede escribirse, de manera, única, como producto de la forma: n
P(x)= an. (x -
α 1
). (x -
). … . (x -
α 2
α n
) = an.
∏( x − i =1
Donde
,
,…,
α 1 α 2
α n
α i
);
∈ C y son raíces no necesariamente distintas, de P.
Demostración por inducción:
1. Si grP=n=1, entonces P= a1. x + a0 = a1. x + a1≠0; haciendo α 1
=-
α 1
a0 a1
a0 a1
a = a . 1 x − − a
0
1
, pues
h
se tiene P= a 1. (x -
α 1
)= a1.
∏( x −
α i
) , donde
i =1
es raíz de P pues P( α 1)=0
2. Suponemos que la propiedad es valida cuando grP=h
⇒ P= (x - α h+1). Q (*), siendo grQ=h;
h
por hipótesis inductiva Q= a h+1.
∏( x −
α i
) . Sustituyendo en (*) obtenemos:
i =1
h
P= (x -
). ah+1.
α h+1
∏( x −
α i
) = ah+1.
i =1
h +1
∏( x −
α i
) . Entonces el teorema es válido
i =1
para todo n ≥ 1 y se tiene: P= a n.
n
∏( x −
α i
) donde
α i
, con i= 1, 2,…, n son
i =1
raíces de P, no necesariamente distintas debido a que en la demostración no hemos utilizado el hecho de que lo sean. Además la unicidad de la descomposición esta asegurada por el teorema fundamental de la aritmética en K[x]. CONSECUENCIAS I. El teorema de la descomposición factorial afirma que todo polinomio P de grado positivo puede escribirse como el producto del coeficiente principal por n factores binomiales de primer grado, no necesariamente distintos, y son “exactamente n”, pues sino el grado de P no seria n, y como α 1, α 2, … , α n son raíces no necesariamente distintas de P, se concluye que “todo polinomio P de grado n ≥ 1 admite a lo sumo n raíces distintas en C. II. Supongamos ahora que entre esos n binomios hay exactamente K 1 iguales entre sí, K2 iguales entre sí, etc. y K r iguales entre sí, con r ≤ n, entonces la descomposición factorial de p es: P= an. (x - α 1) k1. (x- α 2) k2. … . (x - α r )kr
donde α 1, α 2,…, α r son todas la raíces distintas de P y K i con i= 1, 2,…, r son los máximos exponentes tales que (x - α i)ki | P. Es evidente que por cuestiones de grado, debe cumplirse que K 1 + K 2 +… r
+ Kr =
∑k = n, es decir que “la suma de los ordenes de multiplicidad de i
i =1
las raíces distintas de un polinomio es igual a su grado” TEOREMA DE GAUSS “Si el polinomio P una raíz racional
∈ p
q
Z[x], de grado n y término independiente no nulo, admite , siendo p y q coprimos (máximos común divisor igual a 1),
entonces p es divisor del termino independiente y q lo es del coeficiente principal.” n
∑a
Hipótesis: P=
i.
xi
∧
ai
∈ z ∧ an ≠ 0 ≠ a , 0
i =0
p q
es raíz de P ∧ mcd (p, q) = 1
Tesis: p| a0 ∧ q| an Demostración: p
Por hipótesis
⇒ a0 + a1.
q
p
∈ Q es raíz de P + a2.
q
p 2 q2
+… + an-1.
⇒
p P q = 0
p
n −1
q
n −1
+ an.
i
p a i . ∑ q = 0 i= n
⇒
p n qn
⇒
0
= 0; multiplicando y
dividiendo por q n tenemos: a0. qn + a1. p. qn-1 + a2. p2. qn-2 + … + an-1. pn-1. q + an. pn = 0 (1) Pasando términos al otro miembro y sacando factor común p tenemos: a1 .q
a0.q = - n
n −1
+a
2
n −2 n −2 n −1 . p.q ... a n −1 . p .q a n . p .p
+ +
+
S
∈
Z pues ai, p y q son enteros ⇒ a0.qn= s . p ⇒ p divide exactamente a a0. qn, siendo s el cociente y 0 el resto, es decir p| a 0. qn, pero hay una propiedad en Z que afirma que si p y q son coprimos entonces p y q n también son coprimos y una de las reglas de la aritmética establece que si un entero divide al producto de otros dos y es coprimo con uno de ellos, entonces divide al otro. Entonces tenemos que p| a 0. De la ecuación (1), pasando términos al segundo miembro y sacando factor común q tenemos: s
a0 .q n −
1
an. p = - n
a . p.q n − + a . p + 2
1
2
2
n −3 n −1 .q ... a n −1 . p
+ +
.q
T
n T ∈ Z pues ai, p y q son enteros ⇒ an. p =
T . q
⇒ q | an. pn, pero q y p son
coprimos ⇒ p y qn son coprimos, entonces efectuando un análisis similar al anterior, tenemos que q | a n.
Este teorema es útil para detectar las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, y si estos fueran racionales, el análisis se efectúa sobre un polinomio equivalente al de coeficientes enteros. COROLARIO DEL TEOREMA DE GAUSS
Si P ∈ Z[x], de grado n, es tal que,
n
∑a
i.
xi
con a0=a1=…=ar-1 y ar ≠ 0 siendo
i =0
r ≤ n, entonces se cumple: I. 0 es raíz de p con multiplicidad r. II. Las raíces racionales no nulas de P coinciden con las de Q, siendo P=xr . Q Demostración: I. P= an.xn+…+ ar .xr , sacando factor común x r : P= xr . (an.xn-r +…+ ar ) ⇒ ⇒ P=xr . Q ∧ grQ= n-r pues an ≠ 0 ⇒ P= (x-0) r . Q ∧ Q (0) = ar ≠ 0 entonces 0 es raíz de P con multiplicidad r. II. El polinomio Q= an.xn-r +…+ ar cumple con las condiciones exigidas para la aplicación del teorema de Gauss pues sus coeficientes son enteros y ar ≠ 0. Si P admite una raíz racional no nula
p q
r
p p p ⇒ p = .Q = 0 ⇒ como q q q
p p p = 0 ⇒ es también raíz de Q y recíprocamente, toda ≠ 0 , debe ser Q q q q r
raíz de Q anula también a P. Este corolario permite también aplicar el teorema de Gauss a polinomios con término independiente nulo. Ejemplo: Siendo P= x5 + x4 -5x3 +3x2, hallar todas sus raíces.
P= x5 + x4 -5x3 +3x2= x2. (x3 + x2 - 5x + 3) ⇒ P=x2. Q ∧ Q (0) ≠ 0 ⇒ por el colorarlo del teorema de Gauss se tiene que 0 es raíz doble de P, es decir α 1= α 2 = 0 y las raíces racionales o no de Q serán también de P. como Q es mónico, si admite raíces racionales, estas serán enteras y son los divisores de 3, es decir p; ±1 ; ±3 Sabemos que las raíces de Q son: 1, raíz doble y -3 , raíz simple. Entonces las raíces de P son todas racionales y son α 1= α 2 = 0, α 3= α 4 = 1 y α 5= -3 y la descomposición factorial es: P= (x-0). (x-1). (x-1). (x-3)= x2. (x-1)2. (x+3) RAICES COMPLEJAS DE POLINOMIOS REALES “Si un polinomio real admite una raíz compleja, entonces admite a su conjugada.” n
Hipótesis: P=
∑a
i.
xi
∧ ai ∈ R ∧ an ≠ 0 ∧ Z ∈ C es raíz de P.
i =0
Tesis:
Z
es raíz de P.
Demostración: por hipótesis Z es raíz de P ⇒ P (Z) = 0 ⇒
n
n
⇒ ∑ ai . Z = 0 ⇒ ∑ ai .Z i = i
i =0
⇒
0
i =0
n
⇒ (por conjugado de la suma y de 0) ∑a .Z = 0 ⇒ i
i
i =0 n
⇒
∑a
(por conjugado del producto)
. Z i = 0
i
i =0
⇒
⇒ (por conjugado de una potencia y por hipótesis) ⇒ P ( Z ) = 0 ⇒Z es raíz de P.
N
( ) ∑ = ai . Z
I
i
=0
⇒
0
Consecuencia: todo polinomio real de grado impar admite una r aíz real. RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES Consideremos un polinomio P ∈ C[x] de grado n expresado en su forma desarrollada como: n
P=
∑a
i.
xi
= anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0
i =0
En forma factorizada se tiene: n
P= an
∏( x − a ) = a (x-a ). (x-a ). … . (x-a n
i
1
2
n-1
). (x-an)
i =0
donde ai con i= 1, 2,..., n, son todas las raíces complejas, simples o múltiples. Suponiendo que las raíces son a 1, a2, a3,…, an-1, an resulta: a1+ a2+… + an= -
a ( n −1) an
a1.a2+ a1.a3+…+ an-1.an =
n
= ∑a
i
=−
a n −1 an
i =1
a( n −2 ) an
=
∑a a i < j
a1.a2.a3+ a1.a2.a4+… + an-2.an-1.n = − Expresando:
i
j
a ( n −3 ) an
=
a n−2
=
an
n
∑a a a i
j
k
i < j
=−
a n −3 an
P= an.xn + an-1.xn-1+…+ a.x + a0
Las relaciones anteriores se traducen en: La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo divido por el coeficiente principal. La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal. Ejemplo:
Dado el polinomio P= 2x 3 + x2 - 7x – 6 y sabiendo que sus raíces son α 2
=2y
=-
α 3
3 2
α 1
, verificar las relaciones entre raíces y coeficientes.
En nuestro polinomio a 3= 2, a2= 1, a1= -7, a0= -6; α 1
+
α 2
.
α 1 α 2
.
.
+
+
α 3
.
=-
α 1 α 3
α 1 α 2 α 3
1 2
+
=−
a2 a3
.
α 2 α 3
3 3 = -1. 2 + (-1). − + 2. − = 2 2
a 3 = -1. 2. − = 3 = − a 2
0
3
−
7 2
=
a1 a3
= -1,
