TOPOGRAFIA II JORGE E. URIBE SAAVEDRA
1
OBJETIVO Complementar conocimientos de Topografía I. Complementar - Precisión - Utilización de equipos mecánicos y digitales. - Se trabajará trabajará con Estación total, teodolito y eclímetro (en ese ese orden de porcentaje de participación) Presentar sus aplicaciones en proyectos viales, hidráulicos, urbanos, energéticos y mineros
2
OBJETIVO Complementar conocimientos de Topografía I. Complementar - Precisión - Utilización de equipos mecánicos y digitales. - Se trabajará trabajará con Estación total, teodolito y eclímetro (en ese ese orden de porcentaje de participación) Presentar sus aplicaciones en proyectos viales, hidráulicos, urbanos, energéticos y mineros
2
Programa Topografía II
1.- Resumen de conceptos Topografía I 2.- Resumen de conceptos Topografía I -Medición de ángulos por reiteración 3.- Topografía automatizada 4.- Redes de apoyo en planimetría, pothenot 5.- Precisión de Redes de nivelación- Mínimos Cuadrados 6.- Medición de distancias y ángulos-Mínimos cuadrados 7.- Aplicaciones – seminario examen parcial EXAMEN PARCIAL 3
Levantamiento topográfico Etapas levantamiento topográfico
Recopilación de información , Planificación del levantamiento Trabajo de Campo Trabajo de Gabinete
4
Levantamiento Topográfico 1.-RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN Internet
Reconocimiento(de ser posible)
Gente del lugar
Planos anteriores
Información complementaria:
-Clima(temperatura, lluvias, sol, nieve) -Transporte, Hospedaje, Alimentación, Campamento -Personal -Equipos 5
Levantamiento Topográfico 2.- Planificación del Levantamiento - Precisión deseada- Equipo(costo) - Tiempo disponible- Personal y equipos(costo) - De acuerdo a condiciones de la zona : Acceso, condiciones meteorológicas, personal y equipo disponible en la zona, hospedaje, alimentación, campamento y envío de información etc.
6
Levantamiento Topográfico 3.- Trabajo de campo -Revisar equipos antes de salir al campo -Croquis y registros de campo - Validar los registros de campo - Validar los objetivos diarios propuestos 4.- Trabajo de gabinete -Gabinete campamento -Gabinete oficina central 7
Levantamiento Topográfico REDES DE APOYO - Poligonación - Triangulación En función de: - Condiciones de zona a levantar( Dificultad, área) - Precisión 8
Poligonación cerrada 1.- Ubicar vertices que permitan levantar la mayor parte de la zona. 2.- Debe poder observarse los vertices vecinos 3.- La poligonal no encierra necesariamente la zona de trabajo 4.- De ser necesario evaluar la utilización de poligonales secundarias 5.- Orientar la poligonal 9
Poligonación Cerradacontinuación 6.-Los errores angulares y lineales deben ajustarse a lo requerido por el proyectista. Error Relativo Etotal=Eang(rad)+Elin Erelativo=Etotal/perime tro 7.- Calculo de coordenadas 10
Poligonación-Resumen Un levantamiento topográfico debe plasmar sobre un plano detalles planimetricos y altimetricos(ambos); complementado con un informe. Los valores altimetricos de precisión se realizán con el nivel de ingeniero(cotas de los vertices o puntos topográficos) La medición de distancias de los lados del poligono debe realizarse como minímo con cinta de acero.(resultado al que se le hara las correcciones respectivas).
11
Poligonación cerrada Si tenemos detalles no observables desde la poligonal principal, podemos crear una poligonal secundaria E,F,G,C,D Control Angular E1 +F+G+C1+D C
B
A F E1
G C1
Control de descomposición lineal
D
E 12
Poligonación cerrada -Croquis con los detalles del área (hondonadas, canales, etc)
Curvas de Nivel
A
13
Poligonal abierta Poligonal utilizada para proyectos y obras de desarrollo longitudinal, Como: -Carreteras -Ferrocarriles -Canales Norte magnético
B
Zab A
C 14
Poligonal abierta Se miden ; - Acimut -Ángulos( entre alineamientos, por deflexión, etc) -Distancias de alineamientos B D1 A
C
Controles: -Acimut trasladado , contrastado contra el medido en esa posición. -Coordenadas 15
BIBLIOGRAFÍA
Topografía Técnicas Modernas- Jorge Mendoza Topografía Automatizada- Jorge Mendoza Topografía para ingenieros-Phillip Kissan Técnicas modernas en TopografíaBannister-Raymond-Baker Topografía – Dante Alcántara Topografía- Miguel Montes de Oca 16
Medición de ángulos Redes de apoyo I- Repetición Acumulamos medidas- promedio del total acumulado 1°medida) 50°30’10” 4° y última medida)202°00’48” PROMEDIO= 50°30’12” II- Reiteración Diferentes inicios- promedio considerando todas las medidas Ejemplo: Inicios referenciales( 0° , 90°, 180°, 270°) Medidas: 0°00’10”-50°30’20”= 50°30’10” 90°00’12”- 140°30’25”= 50°30’13” 17
Medicion de angulos horizontales:REITERACIÓN ° Segmento= 360°/# de series ° A mayor número de series mayor precisión Ejemplo 1: 360°/4 series= 90° SERIE 1° 2° 3° 4°
INICIO 0|00’00”
90°00’00” 180°00’00” 270°00’00”
REAL-campo 00°00’40” 90°00’50” 180°02’10” 270°04’30” 18
REITERACIÓN:ejemplo REITERACIÓN:e jemplo #2 . est pv Lectura B C B A C B C B C
directa 00°00’06” 173°06’06” 90°00’22” 263°06’34” 180°00’39” 353°06’45” 270°00’20” 83°06’22”
Lectura inversa 180°00’19” 353°06’22” 270°00’29” 83°06’38” 00°00’42” 173°06’42” 90°00’16” 263°06’22”
Promedios parciales 173°06’02” 173°06’10” 173°06’03” 173°06’04”
19
REITERACIÓN Promedio Estación P.E= 173°06’02”+173°06’10”+173°06’03”+ 173°06’04”/4 = 173°06’05” Nota.- Apartir de una estación se miden uno(01) o más ángulos. __________________ __________ ________________ ________________ __________ __
20
Reiteración
Ofrece más precisión que el de repetición Posee un error accidental ligeramente mayor que el de repetición Se utiliza en triangulaciones y levantamientos geodesicos d 1° y 2° orden La precisión de los teodolitos son menores o iguales a 1”
21
Topografía Automatizada
Levantamientos con Teodolito digital Levantamiento con Estación Total Estación Total es: - Teodolito digital y - Distanciometro
22
TEODOLITO ELECTRONICO
Teodolito digital Medida en pantalla digital de cristal cuarzo Limbos codificados y sensor electrónico para convertir valor analógico a digital Sistemas de lectura: - Incremental - Absoluto 23
Teodolito electrónico
INCREMENTAL - Diferencia entre dos alineamientos - Limbos con Franjas transparentes y oscuras - Poseen dos escalas, una más precisa
24
Teodolito Digital-Sistemas de lecturas ABSOLUTO -Limbo codificado con cero absoluto °Estático Fotosensor inmóvil y limbo gira con la alidada con micrometro Para los minutos y segundos °Dinámico Dos fotosensores, uno origen de lectura y otro móvil con la alidada Franjas transparentes y oscuras
25
Distanciometro Base y prisma(reflector) o superficie reflectante de color claro(baja la precisión) Base junto con teodolito La onda se refleja en primer cuerpo en el camino En el recorrido no debe haber obstaculos (ramas, etc) long.onda
Distanciometro Prisma 26
Distanciometro Correcciones en las mediciones debido a: -Temperatura - Húmedad - Presión -La medición varias ondas de diferente frecuencia - Dependiendo de la distancia se emiten ondas para 10,000 1000, 100, 10 y decimales -Puede ser rayos °infrarojos – hasta 8 km °Láser-hasta 60 km - Error (ppm) partes por millon 27
Distanciometro Libreta eléctronica -01 prisma -03 prismas -09 prismas Libreta-colectora de datos, conectada a l teodolito electronico yo Distanciometro. Después del campo se conecta a una computadora, y procesarlos con algún software predeterminado -Necesitamos un orden o croquis de trabajo. Algunas realizan correcciones y hasta cálculos de coordenadas 28
Estación total Teodolito digital y Distanciometro en un solo equipo, Adicionalmente tienen libreta electrónica y microprocesador Alta precisión y gran ahorro de tiempo, con los principios básicos Mide ángulos horizontales , ángulos verticales y distancias inclinadas; que se procesan Puede medir alturas de edificaciones , árboles y replanteos. Archivos de pc a Estación total
29
Estación Total Métodos Planimétricos Considerar Espalda.- Visual a punto , alineamiento con acimut conocido Frente .- Visual al punto que se le desea asignar coordenadas
30
Revisión de Conceptos de Topografía I Redes de Apoyo- Levantamiento topográfico
Poligonación Triangulación Antes de la aparición y propagación en uso de la Estación Total(teodolito digital y distanciometro) La triangulación era la solución para trabajar en terrenos de grandes obstáculos de trabajo (grandes desniveles, arbolados,etc). Ya que requiere de menor número de mediciones de distancias. -
31
Triangulación-red de apoyo -
Divide el terreno en triángulos con lados comunes. Se miden los ángulos de los triángulos y un lado, que se utilizará como base de apoyo.
32
Triangulación-Clases 1° Orden -Bases 1/1000000 -Cierre de triangulos 1” -Cierre en longitud: Clase I: 1/100000 Plano de ciudades Clase II: 1/50000 Red básica Clase III: 1/25000 Todo lo demás 2° Orden Clase I .-Bases: 1/1000000; C. triangulos: 1,5”; Cierre long: 1/20000 Red regional y redes auxiliares Clase II.-Base:1/500000; C.triangulos:3”; Cierre long. 1/10000 Red costera, ríos , obras de ingeniería 3° Orden -Bases:1/250000; C.Triangulos: 5”; Cierre long.: 1/5000
33
Triangulación Cadena de triángulos Cadena de polígonos, triangulos dentro de los poligonos Cadena de cuadriláteros,Cuatro triangulos La de triangulos es la más sencilla y de menor precisión
Coeficiente “R”
MANEJAMOS LA PRECISIÓN RELATIVA DE LAS FIGURAS Cuanto menor es “R”, la figura tiene mayor precisión
Ejm.- Triangulación de 3° orden R< 25 para una figura y R<125 entre Dos bases. 34
Triangulación-Coeficiente “R” C=(n’-s’ +1)+(n-2s+3) # de condiciones que debe cumplir la fig.
n= # total de lados de la red, incluyendo las bases n’= # de lados observados en ambas direcciones,incluida la base
s= # total de estaciones s’= # de estaciones de observación
D= # de direcciones observadas δA; δB= dif. Log. De los senos, expresadas con seis cifras cifras deci males correspondientes a la variación de 1” en los ángulos opuestos A y B
un triangulo, que son los ángulos que se oponen, respectivamente, al lado conocido y al que se trata de conocer. R= ((D-C)/D ) Σ(δ²A+ δA.δB+δ²b) 35
Triangulación-Coeficiente “R Se requiere calcular el coeficiente de precisión del cuadrilátero ABCD para determinar el lado CD, partiendo de la base AB, habiendose observado todos los lados en sus dos direcciones opuestas. C R= ((D-C)/D ) Σ(δ²A+ δA.δB+δ²b) D 60 44
40
A
37
36
43
53
Lado Cadena Δ comun
Ang. (δ²A+ δA.δB+δ²b) Opues δA.;δB Σ tos
R
AC
60;43 40;36 90;53 104;40 77;60 89;47 53;37 47;44
47
B
C=(6-4+1)+
AD
(6-8+3)=4
BC
(D-C)/D=(104)/10=0.6
BD
ACB ACD ADB ACD BAC BCD BAD BCD
9.8; 22.2
32
19
2.4 ;5.2
7.6
5
2.0 ;3.7
5.7
3
15.2 ;12.8
28.0
17
La cadena de mas precisión, es la formada por los
Δs
36
Compensación-Triangulación 1° Condición angular - Triangulo: 180° - Poligono formado por varios triangulos: 180° (n-2) - Angulos alrededor de un punto: 360° 2° Calculo de lados del triangulo, a partir de un lado – base(medido con la mayor precisión); por medio de la ley de senos 37
Cuadrilatero con diagonales Ecuaciones de Condición 1+2+3+4+5+6+7+8=360° 1+8=4+5 ; 2+3=6+7
D Base
8
7 12
A
6
C 5
4
B
AB/AD= sen 8/sen 3 AB= DA sen 8/sen 3 DC= DA sen 1/sen 6
Relacionamos lados y angulos BC= DA sen 8 sen 2/ sen3 sen5 BC= DA sen1 sen 7/sen 6 sen 3 Sen1 sen3 sen5 sen7 /sen2 sen4 sen6 sen8= 1 (logsen1+logsen3+logsen5+logsen7)-(logsen2+logsen4+logsen6+logsen8 38
Compensación-Triangulación
Se deben considerar variaciones que ayuden a satisfacer la ecuación Log sen(1+v1) Para las diferencias logaritmicas se considera log sen(1+v1)=log sen(1+dl1v1) dl1v1+dl3v3+dl5v5+dl7v7-dl2v2-dl4v4dl6v6dl8v8=(logsen1+logsen3+logsen5+logsen7 -logsen2-logsen4-logsen6-logsen8= W 39
Compensación-Triangulación
Las variaciones deben ser prioporcionales a las diferencias logaritmicas v1/dl1= v3/dl3=v5/dl5=v7/dl7=K v2/dl2= v4/dl4=v6/dl6=v8/dl8= -K v1=K dl1 K dli2= W
40
Triangulación: cuadrilatero condiciones-resumen D
A
3 4
2 1 B 8
7
5 6 C
1+2+3+4+5+6+7+8=360° COND.#1 1+2=5+6 COND.#2 3+4=7+8COND.#3 log sen1+log sen3+log sen5+log sen7-(log sen2 +log sen4+log sen6+log sen8)=0 COND#4 (1+v1)+(2+v2)+(3+v3)+(4+v4)+(5+v5)+ (6+v6)+(7+v7)+(8+v8)=360° .......I v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8=E1 E1=360°-(1+2+3+4+5+6+7+8) (1+v1)+(2+v2)=(5+v5)+(6+v6) v1+v2-v5-v6=E2=5+6-(1+2)
41
v3+v4-v7-v8=E3=7+8-(3+4) log sen(1+v1)-log sen(2+v2)+log sen(3+v3)-... .....log sen(8+v8)=0 log sen1+d1v1-log sen2-d2v2+.......... .......-logsen8-d8v8=0 d1v1-d2v2+d3v3-.......-d8v8=E4=log sen2+ log sen4+log sen6+log sen8-(log sen1+ log sen3+log sen5+log sen7)
42
D1=(d1-d2)+(d3-d4)+(d5-d6)+(d7-d8) D2=(d1-d2)-(d5-d6) D3=(d3-d4)-(d7-d8) D4=(d1)²+(d2)²+.......+(d8) ² (di) ² – elemento al cuadrado E4-(1/8 E1D1+1/4 E2D2+1/4 E3D3) K4= ----------------------------------------------D4-(1/8 (D1)² +1/4(D2)² +1/4(D3)²) K3= ¼ (E3-K4D3) ; K2=¼(E2-K4D2);K1=1/8(E1-K4D1) v1=K1+K2+d1K4 v2=KI+K2-d2K4 v3=K1+K3+d3K4 v4=K1+K3-d4k4
v5=K1-K2+d5K4 v6=K1-K2-d6K4 v7=K1-K3+d7K4 v8=K1-K3-d8K4
43
Ejemplo númerico Angulos medidos d d2 logaritmos senos (1) 46°18’50” 2.00(*) 4.00 9.859219 1.57 2.46 9.904820 (2) 53°26’10” (3) 42°11’30” 2.32 5.38 9.827118 (4) 38° 3’40” 2.70 7.29 9.789935 1.30 1.69 9.929924 (5) 58°19’10” (6) 41°25’40” 2.40 5.76 9.820646 3.07 9.42 9.753862 (7) 34°43’00” (8) 45°41’30” 2.07 4.28 9.854665 D4=40.28 39.370123 39.370066 360°00’30” E1=-30 E4= 39.370066-39.370123=-57 x (10)-6 (*)d1=log sen46°18’50”-log sen46°18’51”=2.0 x(10)-6 log sen46°18’50”= -01407808586 +10=9.859219 E2=46°18’50”+53°26’10”-(58°19’10”+41°25’40”)=-10 E2= -10 ;E3=+20 44
d1-d2=2.00-1.57=+0.43 d3-d4=2.32-2.70=-0.38 d5-d6=1.30-2.40=-1.10 d1-d2 =+0.43 d3-d4=-0.38 d7-d8=3.07-2.07=+1.00 -(d5-d6)=+1.10 -(d7-d8)=-1.00 --------------------------D1=-0.05 D2=+1.53 D3=-1.38 (D1)²=0.0025 1/8(D1)²= 0.0003 1/8 E1D1=+0.187 (D2)²= 2.3409 ¼(D2)² = 0.5852 ¼ E2D2= -3.825 (D3)²=1.9044 ¼(D3)² = 0.4761 ¼ E3D3= -6.900 -----------------1.0616 -10.538 -57-(-10.538) +20-1.185x 1.38 K4= -------------------= -1.185 ; K3= ---------------------=+4.59 40.28-1.062 4 -10+1.185x1.53 -30-1.185x0.05 K2= -------------------- =-2.047; K1=---------------------=-3.757 4 8
45
v1=-5.80-2.00x 1.18=-8.16”=-8”; v5=-1.71-1.30x1.18= -3.24”=-3” v2=-5.80+1.57x1.18=-3.95”=-4”; v6=-1.71+2.40x1.18=+1.12”=1” v3=+0.83-2.32x1.18=-1.91”=-2; v7=-8.35-3.07 x1.18=-11.97”=-12” v4=+0.83+2.70x1.18=+4.02”= 4”; v8= -8.35+2.07x1.18=-5.91”=-6” Se redondeo a 1”
Angulos compensados y su comprobación 46°18’42”+ 58°19’07”+ (1) 46°18’42” 9.859203 (2) 53°26’06” 9.904814 53°26’06” 41°25’41” (3) 42°11’28” 9.827113 ------------ ------------(4) 38°03’44” 9.789946 99°44’48” 99°44’48” (5) 58°19’07” 9.929920 (6) 41°25’41” 9.820648 42°11’28”+ 34°33’48” (7) 34°33’48” 9.753825 38°03’44” 45°41’24” 9.854653 ------------- -----------(8) 45°41’24” ----------------- ------------ ------------ 80°15’12” 80°15’12” 360° 00’00” 39.370061 39.370061 46
Compensación de cuadrilatero con diagonales:ejemplo – pag1 D 8
A
1 2
7
6 C 5 4 3 B
1 24°22’10.75” 2 58°54’34.92” 3 68°46’57.32” 4 22°53’44.60” 5 29°24’00” 6 74°37’10.08” 7 53°03’23.6” 8 27°57’33.75” Suma 359°59’35” Error angular 25” 47
Compensacion de cuadrilatero con diagonales:ejemplo pag2 E3= 360°-359°59’35”=25” C3= 25”/8= 3.125”
E2= angs 7+6- angs 2+3=127° 40’33.68”-127°41’32.24”=58.56” C2=58.46/4=14.64”
E1=angs1+8-angs4+5=52°19’44.5”-52°17’44.60”=1’59.9” C1=120”/4=30”
dl =(log sen del ang. Corregido más un segundo)(log sen del ang. Corregido); en el ejemplo Tenemos dl=log sen 24°21’44.875”-log sen 24°21’43.875”=0.46 K=sumatoria log/sumatoria dl alcuad=84.39/0.82 48
Comprobación con E2 y E1 Ang 7+6-ang 2+3= 127°40’58”-127°41’15”= E2’= 17 C2’=17/4=4.25 ang1+8-ang 4+5=52°18’44”-52°19’03”=E1’=19” C1’= 19/4=4.75
49
Compensación de cuadrilatero con diagonales:ejmplo pag 3 Ang C1/C2 1 -30” 2 -14.64 3 -14.64 4 +30 5 +30 6 +14.64 7 +14.64 8 -30
C3 3.125 3.125 3.125 3.125 3.125 3.125 3.125 3.125
Ang. corregi 24°21’43.875” 58°54’23.405” 68°46’45.805” 22°54’17.725” 29°24’33.125” 74°37’27.845” 53°03’41.365” 27°57’6.875” 360°00’0.02”
logsen 9.6154 9.9326 9.9695 9.5901 9.6911 9.9842 9.9027 9.6709 0.0008
50
continuación dl 0.46 0.13 0.08 0.50 0.38 0.05 0.16 0.4
dl2 0.21 0.02 0.01 0.25 0.14 0.0 0.03 0.16
C4(“)
-47 +13 -08 +51 -39 +05 -16 +41
Corregido 24°20’56.875” 58°54’36.405” 68°46’37.805” 22°55’8.725” 29°23’54.125” 74°37’32.845” 53°03’25.365” 27°57’47.875”
0.82 51
CONTINUACION
C1/C2(“)
+4.75 -4.25 -4.25 -4.75 -4.75 +4.25 +4.25 +4.75 0
Ang.correg logsen 24°21’01.625” 58°54’32.155” 68°46’33.55” 22°55’3.975” 29°23’44.375” 74°37’37.095” 53°03’29.615” 27°57’52.625” 360°00’0.01” .000027
dl 4.6 1.3 0.8 5 3.7 1.7 1.6 3.9
dl2
82.84
52
continuación Ang 7+6-ang4+5= 52°18’53”-52°18’54” E2”= 1”
53
Nivelación de alta precisión 1.-Nivelación Topográfica 2.-Nivelación Geodésica Nivelación Topográfica de alta precisión
Ep= 0.004 distancia ruta en kilometros - Niveles de gran precisión y gran sensibilidad - Comprobar y corregir el equipo diariamente Proteger equipos del sol Puntos sobre planchas
54
Errores en Nivelación Topográfica Ec,r=Error Curvatura T. y Refracción Atmosférica Ec=Error por Curvatura Terrestre=0.078 K²
K en Kilometros Er= -0.010 K² Ec,r= 0.068 K² 55
Nivelación topográfica de alta precisión -Visuales máximas
de 80 metros - Distancias iguales vista atrás y vista adelante, medidas con estadía -Lecturas con los tres hilos horizontales y aprox de 0.25 mm - Trabajar con dos miras - No operar con viento o aire muy caliente 56
Nivelación de alta precisión Método de los tres hilos Hilo superior Hilo reticular Hilo inferior
p
V.Atras
A h.s 1,765 h.c 1,655 h.i 1.545
V.Ade 109.910
COTA
D(m)
108.255 50,0
P= 1,655
1
1,800 108,188 55,00 1,723 54,00 1,644 P=1,722
57
Redes de nivelación B 24 Km 6.879 Ec=0.063 18 Km 27 Km +5.373 -1.569
A
Ec=0.096
41 Km -2.676
21 Km -8.145
19 Km +3.282 C
E Ec=0.12
45 Km +6.312
Aproximaciones sucesivas -Iniciar con el circuito de mayor error y seguir de acuerdo al tamaño de error
D
58
itine lado B BC
K /% 19/17
I Desn ICorr +3.282 +0.02
IDesCo IIDesn +3.302 +3.302
IVDesn +3.293
C D E B A E D A E A B E
CD
45/40
+6.312 +0.05
+6.362 +6.362
+6.342
DE
21/19
-8.145
+0.02
-8.125
-8.105
-8.111
EB
27/24
-1.569
+0.03
-1.539
-1.520
-1.524
total
112/100 -0.12
+0.12
0.0
+0.039
0.0
AE
18/22
-5.373
-0.016 -5.389
-5.379
ED
21/26
+8.125 -0.020 +8.105
+8.110
DA
41/52
-2.676
-2.711
total
80/100 +0.076 -0.076 0.0
EA
18/26
+5.389 -0.013 +5.376
+5.379
AB
24/35
-6.879
-0.017 -6.896
-6.902
BE
27/39
+1.539 -0.019 +1.520
+1.523
total
69/100 +0.049 -0.049 0.0
-0.040 -2.716
0.0
0.0
59
Ajuste por Minimos cuadrados Introducción Al evaluar comportamientos en ingeniería; debemos buscar la función que nos permita bosquejar en un gran porcentaje su comportamiento. Un método para el caso de funciones lineales es el de Mínimos Cuadrados Vamoas a buscar y= f(x) que puede ser lineal,exponencial o logaritmica 60
Mínimos Cuadrados
Normalmente se realiza una evaluación de los pares extraidos como valores de campo La evaluación considera la consistencia de estos datos, como generadora( coeficiente) Como paso previo debe realizarse una extracción de aquellos valores puntuales que perturban un probable comportamiento. Esta separación debe ser como máximo el 30% La función encontrada nos permitirá realizar evaluaciones en diferentes condiciones . 61
Minimos cuadrados-ejemplo X 2 3.0 4.0 5.0 6.0 Y 1 2.2 2.9 4.0 5.1 Función y= ax+b
62
Minimos cuadrados
Las diferencias son debido a todos lor errores que se suceden en el momento de la medición. Estan distribuidos a cada lado de la recta, pero definenla tendencia lineal e1
•L a tendencia será e1+e2+e3+e4+e5+ .....+ei=casi 0
e2
•Ó e1+e2+e3+e4+..........+ei= mínimo
63
Minimos cuadrados
y1= ax1+b+e1 y2=ax2+b+e2 y3= ax3+b+e3 E total= e1²+e2²+e3²+.......+ei²= Mínimo dE/da=0 dE/db=0
64
Red de nivelación-Mínimos cuadrados A
24 Km B 6.879 Ec=0.063 18 Km 27 Km +5.373 -1.569 Ec=0.096
41 Km -2.676
21 Km -8.145
19 Km +3.282 C
E Ec=0.12
Condiciones: f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0 45 Km f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0 +6.312 f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0 F= Vab²+Vbe²+Vea²+Vda²+Vde²+Vbc²+Vcd²=Mín. D Ec.Lagrange: U=F-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 F mínimo δU/δVab=0 2Vab -2λ1(1)=0 Vab=λ1 δU/δVbe=0 2Vbe-2λ1(1) -2λ3(-1) Vbe= λ1-λ3 65
Red de nivelación-Mínimos cuadrados F= Vab²+Vbe²+Vea²+Vda²+Vde²+Vbc²+Vcd²=Mín Ec.Lagrange: U=F-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 F mín δU/δVab=0 2Vab- 2λ1(1)=0 Vab=λ1 δU/δVbe=0 2Vbe-2λ1(1)-2λ3(-1) =0 Vbe= λ1-λ3 δU/δVea=0 2Vea-2λ1(1)-2λ2(-1) =0
Vea=λ1-λ2
2Vda-2λ2(1) =0 Vda= λ2 2Vde-2λ2(-1) -2λ3(1)=0 Vde= λ3-λ2 2Vbc-2λ3(1) =0 Vbc= λ3 2Vcd-2λ3(1) =0 Vcd= λ3 f1:Vab+Vbe+Vea-0.063= λ1+ λ1-λ3 + λ1-λ2 =3 λ1 -λ2 -λ3-0.063 =0 f2:Vda-Vea-Vde-0.096= λ2-(λ1-λ2 )-(λ3-λ2)=3 λ2- λ1- λ3-0.096=0 f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=λ3+ λ3+(λ3-λ2)-(λ1-λ3 )= 4 λ3- λ2- λ1-0.12=0 δU/δVda=0 δU/δVde=0 δU/δVbc=0 δU/δVcd=0
66
Mínimos Cuadrados angular Caso. Ángulos internos de un triangulo 2 v1+v2+v3=180°-(A+B+C) 1 3 f1=v1+v2+v3-E=0 F=v1²+v2²+v3²=Mínimo Ecuación de Lagrange : U=F-21f1 Como f1=0 U=F “F”mínimo: δU/δv1=0 2v1-2 1(1)=0 v1= 1 δU/δv2=0 2v2- 2 1(1)=0 v2= 1 y v3= 1 F1= 1 + 1 + 1 – E=0 1=E/3 v1=v2=v3=E/3
67
Mínimos cuadrados Compensación con datos de diferente precisión f1=v1+v2+v3-E=0 F= P1v1²+ P2v2²+ P3v3²=Mínimo Lagrange: U=F-2λ1f1 Dado que f1=0 U=F “F” mínimo : δU/δv1= δU/δv2= δU/δv3=0 δU/δv1=0 2P1v1- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P1 δU/δv2=0 2P1v2- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P2 δU/δv3=0 2P1v3- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P3 F1=λ1/P1+λ1/P2+ λ1/P3
68
Mínimos cuadrados Nivelación-diferente precisión 24 Km B 6.879 Ec=0.063 18 Km 27 Km +5.373 -1.569
19 Km +3.282
No olvidar que la A distancia recorrida es C inversamente proporcional a la Ec=0.096 precisión o peso del E recorrido. 21 Km Ec=0.12 Condiciones: 41 Km -8.145 -2.676 f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0 45 Km +6.312 f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0 D
f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0
F= PabVab²+PbeVbe²+PeaVea²+PdaVda²+PdeVde²+PbcVbc²+PcdVcd²=Mín. F= 1/24Vab²+1/27Vbe²+1/18Vea²+1/41Vda²+1/21Vde²+1/19Vbc²+1/45Vcd²=Mín 69
