1.2 Tipos de Errores Por razones prácticas, sólo puede manejarse una cantidad fnita de bits para cada número en una computadora, y esta cantidad o longitud varía de una máquin máquina a a otra. otra. Por Por ejempl ejemplo, o, cuando cuando se realiz realizan an cálcul cálculos os de ingeni ingenierí ería a y ciencia, es mejor trabajar con una longitud grande; por otro lado, una longitud peque equea a es más más eco económi nómica ca y úti útil para para cálc cálcul ulo os y proc proced ediimie mientos ntos administrativos. !os !os err errores ores num" num"ri rico cos s se gene genera ran n con con el uso uso de apr apro#ima #imaci cion ones es para para representar las operaciones y cantidades matemáticas. $l error num"rico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teór teóric ico o que que dic% dic%a a magn magnit itud ud tien tiene. e. &n aspe aspect cto o impo import rtan ante te de los los erro errore res s num"ric num"ricos os es su estabi estabilid lidad ad num"ri num"rica. ca. 'ic%a 'ic%a estabi estabilid lidad ad se refer refere e a como como dentr dentro o de un algori algoritmo tmo de análi análisis sis num"ric num"rico o el erro errorr de apro# apro#ima imaci ción ón es propagado dentro del propio algoritmo. $l concepto de error es consustancial con el cálculo num"rico. $n todos los problemas es (undamental %acer un seguimiento de los errores cometidos a fn de poder estimar el grado de apro#imación de la solución que se obtiene.
1.- Error absoluto. $s la di(erencia entre el valor de la medida y el valor tomado como e#acto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o in(erior )la resta sale positiva o negativa*. +iene unidades, las mismas que las de la medida. $l error absoluto de una medida no nos in(orma por sí solo de la bondad de la misma. $s evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un (olio. $l error absoluto es el valor absoluto de la di(erencia entre el valor e#acto y el valor apro#imado. apro#imado. -ay autores que defnen el error absoluto como la di(erencia entre el valor apro#imado y el valor e#acto, donde la di(erencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. in embargo, podríamos tomar como (órmula general la siguiente e#presión/
0uando el valor e#acto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida (ísica, se %abla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error cometido nunca e#cederá a ese valor. i llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá/
2.- Error relativo. $l error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor e#acto. $l error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en (orma de porcentaje )1*. 2uc%as veces conocemos el error absoluto )$a*, pero es imposible conocer el valor e#acto )3*, en cuyo caso, para %allar el error relativo )$r* dividimos el error absoluto entre el valor apro#imado o considerado como e#acto. +ambi"n puede %ablarse de cota del error relativo, que si la representamos como 4, se cumplirá/
A – A´) / A ≤ β 3.- Error porcentual. $l error porcentual es (ácil de defnir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 55.
ER ! ER " 1## $.- Error de redondeo. 3 continuación se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra fnita. 0omo no es posible guardar un numero binario de longitud infnita o un nu mero de más dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se está empleando, se almacena sólo un numero fnito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeo error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muc%as veces puede llegar a ser considerable. 6a que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 8 ci(ras signifcativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. in embargo, %ay dos razones del porqu" pueden resultar críticos en algunos m"todos num"ricos/
0iertos m"todos requieren cantidades e#tremadamente grandes para obtener una respuesta. 3demás, estos cálculos a menudo dependen entre sí. $sto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. $n consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeo, el e(ecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser signifcativo. $l e(ecto del redondeo puede ser e#agerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeos y muy grandes al mismo tiempo. 6a que en este caso se presenta en muc%os m"todos num"ricos, el error de redondeo puede resultar de muc%a importancia.
%.- Error de trunca&iento. 0uando una e#presión matemática se remplaza por una (órmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento. !os errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una apro#imación en lugar de un procedimiento matemático e#acto. $stos tipos de errores son evaluados con una (ormulación matemática/ la serie de +aylor. +aylor es una (ormulación para predecir el valor de la (unción en 9i: en t"rminos de la (unción y de sus derivadas en una vecindad del punto 9i. iendo el t"rmino fnal/
Rn! ''('n1) '*))/'n1)+),n1 $n general, la e#pansión en serie de +aylor de n"simo orden es e#acta par aun polinomio de n"simo orden. Para otras (unciones continuas di(erenciables, como las e#ponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación e#acta mediante un número fnito de t"rminos. 0ada una de los t"rminos adicionales contribuye al mejoramiento de la apro#imación, aunque sea un poco.
1. 3Ti posdeer r or es . 0RE
E45 5R67A E8E7.
ERRR A0976T.
$s la di(erencia entre el valor de la medida y el valor +enemos una recta de 5.<= cm tomado comoEA! :;e –y al medir tenemos una e#acto. apro#imación de 5.<. ;a:
ERRR RE7AT;.
$s el cociente entre el error absoluto y el valor e#acto. i se multiplica por 55 se obtiene elER! tanto 1 de;a/;e < error. 1##.
ERRR R4ET6A7.
$s el resultado de multiplicar el $l resultado del error relativo error relativo ER! Er < es @=?%$. $ntonces, el error por 55. porcentual es #=#@?%. 1## .
ERRR E
e eliminan
o tiene
&na piscina con capacidad de 7> m=, tiene un error absoluto menor a medio metro cúbico, )error ? 5,@ m=*. $ntonces el error relativo ) #=%/>1?* es de <,>@8 .
@,A@=< )3 0$B+C2$+DE* F @,A@=
REE.
ci(ras signifcativas de un número a partir de su representació n decimal, para obtener un valor apro#imado Br&ula.
)= 0E2E $ ?@* F @,A@.
e refere al error presente cuando se usa 'ado el número real =,8@>A<, una suma consideramos los 8 dígitos a la truncada o fnita para9e utiliCaderec%a de la coma decimal. $l apro#imar lala serieresultado es/ ERRR Esuma de unainDnita de =,8@ TR64AET. serie infnita. Talor.
ERRR FERETE.
on errores que e#isten en los valores de los datos, causados por i necesitamos usar Pi en un verdaderas cálculo, podemos escribirlo equivocacione o tienecomo 3.14, 3.1416,3.141592653 s, Br&ula. 5589793.
007GRAHAI 1. Steven C. Chapra, Métodos Numérios para !n"enieros, 6# ed., M $ra% &i''. 2. Métodos numérios. !ntrodui(n, ap'iaiones ) propa"ai(n. *ntonio &uerta Cere+ue'o, are'ona, 1998, p-"s. 7277. 3. *ntonio Nieves &urtado, /ederio C. 0omn"ue+ S-nhe+, Métodos Numérios, 3# ed., CS*.
