Propagación de Errores
1 AÑO 2009
FÍSICA I TRABAJO PRÁCTICO II: PROPAGACIÓN DE ERRORES FECHA:
07 DE ABRIL DE 2009
ALUMNOS:
POULSEN, TANIA MOLINI, FRANCO
PROFESORES:
MARMORA, JESSICA KÖNIG, PABLO
COMISIÓN:
Comisión E
“E”
Física I
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Índice Introducción.........................................................................................................................3 Marco teórico........................................................................................................................3 Errores experimentales.............................................................................................................................3 Apreciación de un instrumento y estimación.........................................................................................3 Error absoluto, valor representativo e incertidumbre relativa..............................................................3 Obtención del del radio de un casquete casquete esférico mediante mediante un esferómetro...................... esferómetro............................ ............ ............ ...........4 .....4
Desarrollo de la experiencia...............................................................................................5 Primera parte.............................................................................................................................................5 Segunda parte...........................................................................................................................................7
Conclusiones........................................................................................................................8 Apéndice...............................................................................................................................9 ECUACIONES............................................................................................................................................9
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Introducción La experiencia que realizamos tenía como objetivo establecer el volumen de un cuer cuerpo po (cil (cilin indr dro) o) en form forma a indi indire rect cta, a, vali valién éndo dono nos s para para ello ello de dato datos s obtenidos en forma directa. Medimos la altura del cilindro y el diámetro, para lo cual hicimos uso de distintas herramienta herramientas, s, y pudimos pudimos de esta forma forma comparar comparar la precisión de cada método. También determinamos el radio de una esfera en forma indirecta con un esferómetro.
Marco teórico Errores experimentales
Al medir una cierta cantidad de veces un mismo cuerpo pueden obtenerse resultados levemente diferentes, causados por distintos errores cometidos durante la medición. Estos se clasifican en dos tipos: ti pos: Errores sistemáticos: afectan de forma directa a las mediciones y pueden ser detectados, por lo cual se los l os puede reducir o eliminar. Errores accidentales: generalmente son provocados por factores externos, que pueden o no ser identificados, y son inevitables. •
•
Apreciación de un instrumento y estimación
La apreciación de un instrumento es la menor división de la escala, mientras que la estimación de una lectura es el menor intervalo que el observador es capaz de determinar con ese instrumento. Error absoluto, valor representativo e incertidumbre relativa
Debido a que durante la medición de cualquier cantidad física se cometen errores (no tiene sentido, en física, hablar del valor verdadero de una cantidad), es necesario cuantificarlos. Para esto, se determinan los siguientes conceptos: •
Error absoluto ( ∆ X ); se define como: ∣ X M − X m∣
ΔX =
2
Ecuación I
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Donde XM y Xm son el máximo y el mínimo valor obtenidos en las mediciones.
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•
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Valor representativo ( X ); es el valor promedio entre X 0
M
X 0 =
y
X m
, es decir:
X M X m 2
Ecuación II •
Incertidumbre relativa ( ε ); se define como el cociente entre el error absoluto y el valor representativo: ε ( x ) =
Δx x0
Ecuación III
Tanto el valor representativo como el error absoluto deben expresarse en las mismas unidades. Una vez determinados siguiente forma:
X 0
y
ΔX
, el resultado de la medición se expresa de la
X = X 0 ± ∆ X
Ecuación IV
Obtención del radio de un casquete esférico mediante un esferómetro h 2 r 2 R = 2h Ecuación V (deducción en Apéndice )
Donde R es el radio, h la altura medida por el esferómetro, esferómetro, y r la distancia dis tancia desde el vástago móvil móvil en el centro del instrumento hasta cada uno de sus extremos fijos.
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Desarrollo de la experiencia Para poder realizar la práctica se utilizaron los siguientes instrumentos: •
•
•
•
•
•
•
•
•
Calibre. Casquete esférico de vidrio. Cilindro metálico. Cinta métrica. Esferómetro. Farola. Hilo. Micrómetro. Probeta.
Primera parte
Antes ntes de come omenzar nzar las las med medicio icion nes deter etermi min namos amos cada una de las las apreciaciones de los instrumentos: para la cinta métrica fue de 1mm; para el calibre, de 0,05mm; en el caso del micrómetro fue de 0,01mm y, finalmente, para la probeta de 1cm 3. En todos los casos consideramos el error absoluto de cada medición igual a la menor división de la escala del instrumento utilizado. Las medidas que tomamos del cilindro fueron: el diámetro, con la cinta métrica, el calibre y el micrómetro; la altura, con la cinta y el calibre (el micrómetro era demasiado pequeño para medirla), y el volumen (por el principio de Arquímedes) con la probeta. Hay que aclarar que para la medición de altura correspondiente al micrómetro utilizamos el valor obtenido con el calibre. Los datos obtenidos pueden observarse en la siguiente tabla: Inst ru rument o
Diámet ro ro (c (cm)
Alt ur ur a ( cm cm)
Vi ( cm cm^3)
∆V (cm^3)
V-∆V (cm^3)
V+∆V (cm^3)
V±∆V
Cint a Métr ica
1,850
5,775
15,52
2
14
18
(16 ± 2) cm^3
Calibre
1,890
5,800
16,27
0,1
16,2
16,4
(163 ± 1)x10^-1 cm^3
Micrómetr o
1,892
5,8 ( Calibre)
16,31
0,02
16,29
16,33
(1631 ± 2)x10^-2 cm^3
-
-
16,00
1
15
17
( 16 ± 1)cm3
Probeta
Apéndice ) (Desarrollo de los cálculos en el Apéndice
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El siguiente gráfico muestra los diferentes intervalos de incerteza obtenidos en cada una de las mediciones:
Intervalos ntervalos de Incerteza ncertez a 19,00 18,50 18,00 17,50
317,00 ^ 16,50 m c ) 16,00 V ∆15,50 ± V ( 15,00 14,50 14,00 13,50 13,00 Cinta Métrica
Calibre
Micrómetro
Probeta
Instrumentos
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Segunda parte
El profesor llevó a cabo la medición de un casquete esférico y de una farola, y los resultados de h y R obtenidos fueron: Medición
h (c (cm m)
r (c (cm m)
R (c (cm m)
∆h (c (cm m)
∆R (c (cm m)
R-∆ -∆R R (c (cm m)
R+∆ +∆R R (c (cm m)
R±∆R (c (cm m)
1190x10^-2 11
1194x10^^-2 2
(11 (1 192±2)x )x1 10^^-2 2
Casquete Esférico 1
0,691
4
1192x10^^-2 2
1x10^-2
2x10^^-2 2
Farola 1
0,607
4
1348x10^-2
1x10^-2
2x10^^-2 2
1346x10^^-2 2
1350x10^-2
(13 (1 348±2)x )x1 10^-2
2
0,535
4
1522x10^-2
1x10^-2
2x10^^-2 2
1520x10^^-2 2
1524x10^-2
(15 (1 522±2)x )x1 10^-2
3
0,556
4
1467x10^-2
1x10^-2
2x10^^-2 2
1465x10^^-2 2
1469x10^-2
(14 (1 467±2)x )x1 10^-2
4
0,568
4
1437x10^-2
1x10^-2
2x10^^-2 2
1435x10^^-2 2
1439x10^-2
(14 (1 437±2)x )x1 10^-2
5
0,535
4
1522x10^-2
1x10^-2
2x10^^-2 2
1520x10^^-2 2
1524x10^-2
(15 (1 522±2)x )x1 10^-2
Apéndice ) (Desarrollo de los cálculos en el Apéndice Para estimar un radio representativo de la esfera, con la ecuación IX (ver Apéndice ) obtuvimos: R = (1435 ± 2) × 10− 2 cm El erro errorr abso absolu luto to del del esfe esferó róme metr tro o ( Δh ) que que toma tomamo moss corr corres espo pond nde e a la apreciación del mismo, 0,01 mm. Como utilizamos un método indirecto para calcular el radio, debimos obtener el error absoluto ( ΔR ) mediante el método de propagación de Apéndice ). errores (ver ecuación VIII en el Apéndice En el sigu siguie ient nte e gráf gráfic ico o pued pueden en comp compar arar arse se los los dist distin into toss inte interv rval alos os de incertidumbre generados en cada una de las mediciones para el caso de la farola, ya que en el caso del casquete sólo realizamos una medición y no hay resultados r esultados que contrastar: Intervalos de Incerteza
1530 1510 1490 m c 1470 2 ^ 0 1450 1 x 1430 ) R ∆ ± 1410 R ( 1390 1370 1350 1330
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Mediciones
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Conclusiones Lo principal de esta práctica fue que pudimos comprobar que nunca puede obtenerse el verdadero valor de una magnitud física, ya que demostramos que utilizando diversos instrumentos, por más exactos que fueren, los resultados eran similares pero no iguales. Parte de ello se debe a que la precisión máxima que pudimos lograr fue obse observ rvan ando do las las míni mínima mass divi divisi sion ones es de los los inst instru rume ment ntos os y apro aproxi xima mand ndo o el valo valor r correspondiente a la medida. Sin embargo, esta aproximación nunca es exacta, y esto genera valores aleatorios que explican los diferentes resultados. Fina Finalme lment nte e debe debemo moss dest destac acar ar que que si bien bien los los erro errore ress sist sistem emát átic icos os y de apreciación de los instrumentos analógicos que utilizamos uti lizamos generaron incertezas, de haber empleado un dispositivo digital el error hubiese sido menor, menor, pero no nulo.
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Apéndice ECUACIONES
Para realizar la primera parte de la experiencia fue necesario utilizar la fórmula del volumen de un cilindro: 2
V =π
d h 4
Ecuación VI
Para determinar el error absoluto partimos de la siguiente expresión: ε(V) = ε(π) + ε(d 2 ) + ε(h) + ε( 4 ) ΔV V
=
Δπ + 2 Δd + Δh π d h
+
Δ4 4
Considerando suficientes cifras significativas para π, podemos despreciar su error absoluto, así como el error absoluto de 4.
ΔV = V 2
Δd Δh
+
d h Ecuación VII
Al realizar la segunda parte de la experiencia fue necesario utilizar la ecuación V para obtener los radios “R”. Deducción de la ecuación para hallar el radio de un casquete esférico con un esferómetro. La primera expresión se obtiene por Pitágoras, considerando el triángulo rectángulo conformado por el cateto mayor “ R-r ” (negro), el cateto menor “r ” (verde), y la hipotenusa “ R ” (rojo). ( R − r ) 2 + r 2 = R 2 R 2
−
2 Rh + h 2
+
= R 2 − 2 Rh + h 2 + r 2 = 0 h 2 + r 2 = 2 Rh h + r = R 2
r 2
2
2h Ecuación V
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h r R
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Para determinar el error absoluto partimos de la siguiente expresión:
R
⇒
= h+
ΔR R
r 2 h
⇒ ε(R) = ε h +
r 2 Δh + Δ h = = r 2 h+ h
r 2 1 ΔR ⇒ h 2 R
Δh +
r 2 Δr 2 2 h r h+
+
r 2 h
⇒ ΔR = Δh 1 +
r 2 Δ h + h = 2 + r h+ h
Δh h
r 2 h2
1 ⇒ 2
2 Δ
=
r 2 Δh Δh + h2 r 2 h+ h
⇒
Ecuación VIII
Para la expresión final del radio “R” representativo de la esfera utilizamos la ecuación IX .
R = R promedio ±
∆
Rmáx
Ecuación IX Donde “R ” es el promedio entre el promedio máximo y el mínimo valor obtenido de “R”, y “∆R ” es el máximo valor “∆R”. máx
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