Tipos de Discontinuidad Teoria y Ejercicios

TIPOS DE DISCONTINUIDAD TEORIA Y EJERCICIOS

1 . Discontinuidad evitable . 1 .   No

existe imagen.

2 .   La

imagen no coincide con el límite.

2 . Discontinuid Discontinuidad ad inevitable o de primera especie. especie . 1.

De salto finito .

2.

De salto infinito .

3 . Discontinuidad esencial o de segunda especie . Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe

y

éste es finito. Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

La función presenta una discontinuidad evitable en x = 2 porque tiene límite, pero no tiene imagen.

La función presenta una discontinuidad evitable en x = 2 porque la imagen no coincide con el límite. Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua. Ejemplo

Si redefinimos la función del caso 1 conseguimos una función continua.

DISCONTINUIDAD EVITABLE Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

Ejemplo

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Ejemplo

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

DISCONTINUDAD ESENCIAL O SEGUNDA ESPECIE Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

1.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

2.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda. EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1

La función es continua en todos los puntos de su dominio. D = R − {−2,2} La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.

2

La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3 La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3

y x=2+√3

3

La función es continua en toda

4

|−1 − (−3)| = 2 La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .

5

En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

6

La función es discontinua inevitable de salto 1/2 en x = 0 .

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

f(0)=0

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1

La función es continua en x = 0.

2

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.

Encontrar los puntos de la función f(x) = x 2 + 1+ |2x − 1| es discontinua.

La función es continua en toda

.

Dada la función:

Determinar los puntos de discontinuidad de la función. La función exponencial es positiva para toda x denominador de la función no se puede anular. Sólo hay duda de la continuidad en x = 0.

Resolvemos la indeterminación dividiendo por

La función es continua

− {0}.

∈

, por tanto el

Estudiar la continuidad de la función:

La

función

f(x)

es

continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la

continuidad en x = 0.

La función  no es continua en x = 0 , porque no está definida en ese punto.

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

La función es continua en toda

.

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

La función

está acotada

. por tanto se

verifica:

, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero. Al ser f(0) = 0. La función es continua.

Dada la función:

1

 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

f(5) = 0.

Resolvemos la indeterminación:

f(x) no es continua en x = 5  porque:

2

¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los

valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

Si

la función sería continua, luego la función

redefinida es:

Dada la función:

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3.

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

La función definida por:

es continua en [0, ∞). Hallar el valor de

a  que

hace que esta afirmación sea cierta.

Sea la función:

Determinar el valor de

a  para

que f(x) sea continua.

En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto de unión.

Calcular el valor de

k  para

que la siguiente función sea continua.

Por tanto no existe límite y, por consiguiente no se puede conseguir que f(x) sea continua en x=0, sea cual sea el v alor que se le dé a

Se considera la función

Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua. Sólo existe duda de la continuidad en x = 1.

Para que la función sea continua debe cumplirse que:

k .

Por otro lado tenemos que:

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que: a = 1 b = −1

Hallar

a

y

b  para

que la función sea continua.

Calcular los valores de

a

y

b  para

que la siguiente función sea continua.

b= 1

3a = −2 a = −1

Dada la función

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.