5.5. THEOREMA CHEBYSHEV
Chebishev Chebishev menemukan hubungan hubungan antara dua nilai yang simetri terhadap terhadap rataan dengan simpangan bakunya, yakni peluang suatu selang yang brejarak k simpangan baku dan dan rataan. rataan.
T.5.13. Peluang bahwa setiap peubah acak x mendapat nilai dalam k simpangan baku dan nilai rataannya adalah paling sedikit ( 1-1/k 2) 1 P = ( µ − kx X µ + kx) ≥ 1 − 2 k
Bukti : Menurut Menurut defenisi
σ 2 = E [ X − µ ) 2 ] =
=
µ − kσ
∫
−∞
µ − k σ
≥ ∫
−∞
∞
∫
−∞
( x − µ ) 2 f ( x )dx
( x − µ ) 2 f ( x) dx +
( x − µ ) 2 f ( x) dx +
µ + k σ
∫
µ − k σ
∞
∫
µ + k σ
( x − µ ) 2 f ( x ) dx +
∞
∫
µ + k σ
( x − µ ) 2
( x − µ ) 2 f ( x) dx
Dalam hal ini kedudukan X memenuhi : X − µ : ≥ k σ yang berarti x ≤ µ − k σ atau x ≥ µ + k σ sehingga ( x − µ ) 2 ≥ k 2 σ 2 dan σ 2 ≥ 1 2
k
µ − k σ
∫
−∞
µ − k σ
≥ ∫
−∞
Maka
k 2σ 2 f ( x )dx + k 2σ 2 f ( x) dx +
µ + k σ
∫
µ − k σ
∞
∫
µ + k σ
∞
∫
µ + k σ
k 2σ 2 f ( x ) dx atau
k 2σ 2 f ( x) dx
f ( x ) dx = P ( µ − k σ X µ + k σ ) ≥ 1 − 1 / k 2
Cara lain untuk membuktikan Teorema Chebyshev adalah sebagai berikut . Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi padat f ( x ) maka : ∞
∫ ≥∫
E ( X ) =
0
∞
a
x f ( x) dx =
∫
a
x f ( x )dx +
0
x f ( x) dx = a
P ( X ≥ a) ≤
E ( X ) a
∞
∫ a
∫
∞
a
x f ( x ) dx ≥
∫
∞
a
x f ( x ) dx
x f ( x ) dx = a P ( X ≥ a)
rumusan ini disebut pertidaksamaan Mar cov
Dengan mengganti a = k 2 :
1
P [( X − µ ) ≥ k ] ≤ 2
2
E [( X − µ ) 2 ] k 2
atau P ( X − µ ≥ k ) ≤
E [ ( X − µ ) 2 ] k 2
=
σ 2 k 2
atau P ( X − µ ≥ k σ ) ≤ σ / k 2 Jadi P ( µ − k σ X µ + k σ ) = 1 − P ( X − µ ≥ k σ ) ≥ 1 − σ / k 2 5.6. MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Pandang X peubah acak dengan fungsi fungsi peluang f(x) maka rataan pangkat pangkat r r adalah ∑ X f ( x ) dan ini disebut momen ke r sekitar nol (awal), sedangkan rataan r pangkat pangkat r dari selisih selisih X terhadap terhadap A (konstan) (konstan) adalah ∑( x − A) f ( x )
disebut momen ke r sekitar A, Bila semua unsur mengandung peluang yang sama maka r r rataan tersebut berturut adalah ∑ x / n dan ∑( x − A) / n
D.5.9.Defenisi Momen ke- r sekitar awal peubah acak X µ r = E ( X r ) diberikan oleh a.
∑ x
r
f ( x), x diskrit
x
b.
∞
∫
−∞
x r f ( x) dx, x kontinu
D.5.10. Defenisi Momen ke- r sekitar A peubah acak X diberikan oleh µ r ( A) = E [( X − A) r ] = '
a.
∑
( x − A) r f ( x ), diskrit
x
b.
∞
∫
−∞
( x − A) r f ( x) dx, x kontinu
D.5.10. Defenisi Defenisi : Fungsi pembangkit momen momen peubah peubah avak x tx diberikan oleh E (e ) dan disimbolkan dengan M (t) (sering M x (t ) ( sering juga dengan φ (t ) ) = juga dengan dengan a.
∑e
tx
f ( x ), x diskrit
x
∞
T. 5.14. Teorema : Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit pembangkit momen momen M x (t ) maka d r M x (t ) 2 t = 0 dt r
i = µ r
Bukti : Dianggap bahwa turunan dan int egra ln ya ada maka : d r M x (t ) r
dt
= a. ∑ x r e tx f ( x), x diskrit x
b.
∫ x
r
e tx f ( x ) dx , x kontinu
Dengan membuat t − 0 diperoleh E ( X r ) = µ r ' Contoh 5.24. Nyatakanlah var ians dengan momen dan fpm
Jawab : Menurut defenisi σ 2 x = E [( X − µ ) 2 ], bentuk ini adalah momen kedua sekitar rataan. Momen sekitar rataan biasanya disimbolkan dengan µ r ( r kons tan ta ) Jadi Var ( X ) = σ 2 x = µ 2 Menurut defenisi µ = E ( X ) , sedangkan E ( X ) = E ( X 1 ) = µ 1 , '
demikian juga E ( X 2 ) = µ 2
'
σ 2 = µ 2 − µ 2 = d 2 M x (t ) / dt 2 − (dM x (t ) / dt ) 2 , t = 0 '
Selanjutnya turunan pertama dan kedua fpm berturut , d [ M x (t )] / dt = n ( pe t + q ) n pe t dan d 2 [ M x (t )] / dt 2 np[e t ( −1)( pe1+ q ) n− 2 pe t + ( pe t + q) n −1 e 1 Dengan t =0 diperoleh µ 1' = np dan µ 2' = np[ ( n − 1) p + 1] karena itu
rataan µ = µ 1' = np dan Varians σ 2 = µ 2' − µ 2 = np (1 − p ) = npq
T.5.15.Teorema: Suatu peubah peubah acak memiliki memiliki fungsi pembangkit momen yang tunggal tunggal teorema tunggal Jika : M x (t ) = M y (t ) untuk semua t maka
X dan Y memiliki sebaran peluang yang sama
T.5.16. Teorema
M x + n (t ) = e at Mx (t ) 3
M x + n (t ) = E e t ( X + a )
Bukti:
= e at E (e tX ) = e at Mx ( x) M aX (t ) = Mx ( at )
T.5.17. Teorema :
t ( aX ) = E e ( ta ) X = Mx (at ) Bukti : M aX (t ) = E e
Teorema Jika X 1 , X 2 , ......, X n adalah peubah acak bebas dengan fpm Mx1 (t ), Mx 2 (t ), ......, Mx n (t ) berturut − turut , dan Y = X 1 + X 2
+ ..... + X n maka M y (t ) = Mx1 (t ), Mx 2 (t ), ......, Mx n (t )
= E (e ty ) = E [e t ( X 1 + X 2 +..... X n ) ]
Bu Bukti : M y (t )
= Ka Karena
∞
∫
...
−∞
∞
∫ e
t ( X 1 + ........ + Xn Xn )
−∞
f ( x1 , ....., x n ) dx 1 ..... dx n
acak X bebas maka :
pe peubah
f ( x1 , x 2 , ....., x n ) = f 1 ( x1 ) . f 2 ( x 2 ) ....... f n ( x n ) se sehing ingga M y (t )
tx1
∞
=∫ e f 1 ( x1 ) dx 1 . −∞
∞
∫
−∞
tx
e
2
f 2 ( x 2 ) dx 2 .
∞
∫
−∞
tx n
e
f n ( x n ) dx n
Mx x 1 (t ) . Mx 2 (t ) ..... M Mx x n (n ) = M
Pada pembicaraan berikut yang dimaksud dengan dengan peubah normal adalah peubah yang mempunyai sebaran normal pada contoh 5.26. yang akan dibicarakan lebih lanjut dalam pertemuan lanjutan. Pembaca diharapkan dapat menerima teorema berikut : T .5.19. Teorema X 1 , X 2 , ....... , X n peubah acak beban menyebar normal dengan rataan µ 1 , µ 2 , ........., µ n dan var ians σ 12 , σ 22 ,........, σ n2 , berturut − turut maka peubah acak peubah acak Y = a1 X 1 + a 2 X 2 + ........ + a n X n menyebar normal dengan rata − rata µ y = a1 µ 1 + a 2 µ 2 + .......... + a n µ n dan var ians σ y2 = a σ 12 σ 12 + a σ 22 σ 22 + ........ + σ n2 σ n2 EVALUASI
4
1. Diketahui Diketahui bahwa bahwa jumlah jumlah produk produksi si susatu perusahaan perusahaan terhadap terhadap sejenis barang barang antik mempunyai rata-rata 50 buah perminggu a) Berapakah Berapakah peluang peluang bahwa perusahaan perusahaan itu itu memprod memproduksi uksi paling sedikit 75 buah barang antic. b) Jika varians varians produksi produksi perming perminggu gu sama sama dengan dengan 25, berapakah berapakah peluang produksi produksi perminggu perminggu antara 40 hingga hingga 60 Jawab : Misalkan X peubah acak menyatakan jumlah atau banyaknya barang antic yang diproduksi perminggu. a) Menur Menurut ut pertid pertidak aksa samaa maan n Marco Marcov v P ( X 75) ≤ E ( X ) / 75 = 50 / 75 = 2 / 3 b) Yang diminta adalah peluang peluang ( 40 ≤ X ≤ 60 ) ini berarti P [ (50 − 10) ≤ X ≤ (50 + 10)] P [ 50 − 2.5) ≤ X ≤ ( 50 + 2.5)] σ = 5 dan µ = 50 sedangkan k = 2 Jadi menurut teorema Chebyshev : P [ 50 − 2.5) ≤ X ≤ ( 50 + 2.5)] ≥ 1 −
1 22
P (40 X 60 ) ≥ 3 / 4
5
