Aproximación de Chebyshev En algunas aplicaciones, una respuesta plana en la banda de paso no es importante. En este caso, puede ser preferible la aproximación de Chebyshev porque decae más rápidamente en la región de transición que un filtro de Butte rworth. El precio que hay que pagar por est a rápida caída es que aparece rizado en la banda de paso de la respuesta en frecuencia. La atenuación con un filtro de Chebyshev siempre es mayor que la atenuación de un filtro de Butterworth del mismo orden. El número de rizados en la banda de paso de un filtro paso bajo de Chebyshev es igual a la mitad del orden del filtro: número de rizados = n/ 2. Si tenemos un filtro de orden 10, tendrá 5 rizados en la banda de paso; si el orden de un filtro es 15, tendrá tend rá 7,5 rizados. La Figura 21.8b muestra una vista ampliada de una respuesta de Chebyshev para un filtro de orden 20, que tiene 10 rizados en la banda de paso. En la Figura 21.8b, los rizados tienen el mismo valor de pico a pico. Por esto, a veces, la aproximación de Chebyshev se denomina aproximación con
igual rizado. Normalmente, un diseñador elegirá una amplitud de rizado comprendida entre 0,1 y 3 dB, dependiendo de las necesidades de la aplicación.
Aproximación inversa de Chebyshev En aplicaciones en las se requiere una r espuesta plana en la banda de paso, así como una caída rápida en la región de transición, un diseñador puede utilizar la aprox imación inversa de Chebyshev. Esta aproximación proporciona una respuesta plana en la banda de paso y una respuesta con rizado en la banda eliminada. La velocidad de caída en la región de transición es comparable a la del filtro de Chebyshev. El filtro inversor de Chebyshev tiene una banda de paso plana, una caída rápida en la región de transición y una banda eliminada con rizado. Monotónica quiere decir que la banda eliminada no presenta rizado. Con las aproximaciones vistas hasta el momento, filtros de Butterworth y de Chebyshev tenemos bandas eliminadas monotónicas. La aproximación inversa de Chebyshev tiene una banda eliminada con rizado. Cuando se especifica un filtro inverso de Chebyshev, debe especificarse la atenuación mínima aceptable en la banda eliminada ya que ésta puede presentar rizados que pueden alcanzar este valor. Por ejemplo, en la Figura 21.9, el filtro inverso de Chebyshev tiene una atenuación en la banda e liminada de 60 dB. Como puede ver, el rizado se aproxima a este nivel en diferentes frecuencias de la banda eliminada. La inusual respuesta de la banda eliminada de la Figura 21.9 se debe a que el filtro inverso de Chebyshev tiene componentes que producen hendiduras en determinadas frecuencias de la banda eliminada. En otras palabras, en algunas frecuencias de la banda eliminada, la atenuación tiende a infinito.
RESPUESTA AL ESCALÓN Fíjese en que la respuesta al escalón de un filtro de Butterworth (Figura 21.12a) sobrepasa el nivel final, oscila un par de veces y finalmente se fija en el valor final de 1 V. Una respuesta al escalón como ésta puede ser aceptable en algunas aplicaciones, pero no es ideal. La re spuesta al escalón de un filtro de Chebyshev (Figura 21.12b) es peor. Oscila muchas veces antes de fijar su v alor final. Una respuesta al escalón como ésta está lejos de la respuesta ideal y no es aceptable en determinadas aplicaciones. La respuesta al escalón del filtro inverso de Chebyshev es similar a la de Butterworth porque ambas respuestas son planas en la banda de paso. La respuesta al escalón del filtro elíptico es similar a la de Chebyshev porque ambas respuestas presentan bandas de paso con rizado.
PENDIENTE Las aproximaciones de Chebyshev, inversa de Chebyshev y elíptica presentan una pendiente muy pronunciada en la región de transición, pero la aproximación de Bessel presenta una pendiente menor. Las pendientes en las zonas de tr ansición de los filtros diferentes del de Butterworth no se pueden resumir mediante ecuaciones simples porque son pendientes no lineales y dependen del orden del filtro, la amplitud del rizado y de otros factores. Aunque no podemos escribir ecuaciones para dichas pendientes no lineales, sí podemos comparar las diferentes pendientes en la región de transición. La Tabla 21.1 muestra la atenuación para n=6 y Ap=3 dB. Los filtros están ordenados por sus atenuaciones una octava por encima de la frecuencia de corte. El filtro de Bessel tiene la pendiente menos pronunciada, le sigue el filtro de Butter worth, y así sucesivamente. Todos los filtros con bandas de paso o bandas eliminadas con rizado presentan pendientes en la región de transición que son más pronunciadas que las correspondientes a los filtros de Bessel y Butterworth, que presentan rizado en sus respuestas en frec uencia.
RESPUESTA DEL FILTRO PASABANDA Las respuestas del filtro paso banda son diferentes. He aquí las e specificaciones utilizadas en los ejemplos siguientes: n=12, Ap= 3 dB, f0= 1 kHz y BW= 3 kHz. La respuesta de Chebyshev de la Figura 21.15b muestra una banda de paso con rizado y una banda eliminada monotónica. Hay seis rizados en la banda de paso, cantidad igual a la mitad del or den del filtro, lo que está de acuerdo con la Ecuación (21.5). La Figura 21.15 c es la respuesta de la aproximación inversa de Chebyshev. En este caso, tenemos una banda de paso plana y una banda eliminada con rizado.
RESPUESTA DE FILTRO DE BANDA ELIMINADA Las respuestas del filtro de banda eliminada son las opuestas a las respuestas del filtro paso banda. Se representan las respuestas del filtro paso banda para n=12: Ap=3B, f0=1 kHz y BW=3 kHz. La respuesta de Chebyshev de la Figura 21.16b muestra una banda de paso con rizado y una banda eliminada monotónica. La Figura 21.16c es la respuesta de un filtro inverso de Chebyshev , presenta una banda de paso plana y una banda eliminada con rizado.
CONCLUSIÓN Cuando se necesita una banda de paso plana, los filtros de Butterworth y el inverso de Chebyshev son los candidatos lógicos. La pendiente de la región de transición, el o rden del filtro y otras consideraciones de diseño determinarán entonces cuál de los dos utilizar. Si es aceptable una banda de paso con rizado, los mejores candidatos son los filtros de Chebyshev y elíptico. De nuevo, la pendiente de la región de transición, el orden del filtro y otras consideraciones de diseño determinarán la opción final.
