ESCUELA POLITECNICA DEL EJRCITO
CONSULTA DE FILTROS
FILTRO DE CHEBYSHEV Los filtros de Chebyshev son un tipo de filtro electrónico, puede ser tanto analógico como digital. Nombrados en honor de Pafnuti Chebyshev. La función matemática que aproxima su respuesta en frecuencia utiliza los polinomios de Chebyshev.
INTRODUCCIÓN
Son usados para separar bandas de frecuencias (Pasa-bajos, pasaaltos, pasa-banda o suprimebanda).
Tienen desempeño más limitado que los filtros senoc-enventanado, pero son apropiados en la mayoría de las aplicaciones.
Son filtros recursivos y por lo tanto, muy rápidos de ejecutar. Su origen proviene de la imitación de filtros analógicos equivalentes, aprovechando el hecho de que la teoría de filtros analógicos tiene siglos de desarrollo.
Están diseñados para tener el roll-off más rápido posible a costa de permitir ripple. Son filtros óptimos en este sentido: dado el orden (cantidad de polos) y el ripple permitido, tienen el roll-off óptimo.
El ripple está presente en la banda pasante o en la banda atenuante, pero no en ambas.
Involucran un compromiso entre el roll-off y el ripple. Cuanto mayor es el ripple permitido, mas rápido es el roll-off.
Pueden diseñarse para que el ripple sea nulo. En este caso, reciben un nombre especial: filtro Butterworth.
CLASIFICACIÓN DE FILTROS CHEVYSHEV
Filtros Butterworth (sin ripple) Tipo I: Ripple en la banda pasante Tipo II: Ripple en la banda atenuante
No tienen ripple.
Se diseñan especificando tres parámetros: el tipo de respuesta (pasabajos, pasaltos), la frecuencia de corte y el orden.
Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia de corte constante).
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Al aumentar el orden, crece el retardo de grupo, o equivalentemente, la fase es menos lineal.
El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden fijo.
DESCRIPCIÓN Con los filtros de Chebyshev se consigue una caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario. Se conocen dos tipos de filtros Chebyshev, dependiendo del rizado en alguna banda determinada:
FILTROS DE CHEBYSHEV DE TIPO I Son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo. La respuesta en frecuencia es:
Para Donde N es el orden del filtro, Ωc es la frecuencia de corte, Ω es la frecuencia analógica compleja (Ω=j w) y T N( x ) es el polinomio de Chebyshev de orden N, que se define como:
con T 0(x ) = 1 y T 1(x ) = x En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el módulo de su respuesta en frecuencia oscila (rizado) entre 1 y
.
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Roll-off al variar el ripple permitido en la banda pasante (orden = 4, fc = pi/2)
Diagrama de polos y ceros al variar el ripple permitido en la banda pasante
FILTROS DE CHEBYSHEV DE TIPO II Estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante. Su respuesta en frecuencia es:
Para
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En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estarían en una elipse y los ceros sobre el eje imaginario.
Roll-off al variar el ripple permitido en la banda atenuada (orden = 4, fc = pi/2)
DISEÑO
Se diseñan especificando tres cuatro parámetros: el tipo de respuesta (pasabajos, pasaltos), la frecuencia de corte, el orden y el ripple en decibeles (en la banda pasante si es de tipo I o en la banda atenuada si es de tipo II).
Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia de corte constante y el ripple constante).
Al permitir mayor ripple, el roll-off mejora.
El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden y ripple fijo.
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FILTRO DE BESSEL En la electrónica y el procesamiento de señales , un filtro de Bessel es un tipo de filtro lineal con un máximo plana retardo de grupo (máximo lineal la respuesta de fase ). Filtros de Bessel se utilizan a menudo en cruce de audio sistemas. Filtros analógicos de Bessel se caracterizan por el retardo de grupo casi constante a través del paso de banda, preservando así la forma de onda de las señales filtradas en la banda de paso. El nombre del filtro es una referencia a Friedrich Bessel , un matemático alemán (1784-1846), quien desarrolló la teoría matemática en que se basa el filtro. Los filtros también son llamados Bessel-Thomson filtros en el reconocimiento de WE Thomson, que trabajaba en la manera de aplicar las funciones de Bessel para el diseño de filtros.
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A Bessel filtro de paso bajo se caracteriza por su función de transferencia : [2]
Donde θ n (s) es un revés polinomio de Bessel de que el filtro debe su nombre y 0 ω es una frecuencia elegida para dar el deseado frecuencia de corte. El filtro tiene un retardo de baja frecuencia en grupos de 1 / ω 0.
La aproximación de Bessel tiene una banda de paso suave y la respuesta de banda de detención, como la Butterworth por el orden mismo filtro, la atenuación de la banda pasante a la aproximación de Bessel es mucho menor que el de la aproximación de Butterworth. Las siguientes cifras son representativas de un filtro de paso bajo Las características de respuesta son espejo fotografiado para los filtros de paso alto.
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El diseñador puede ver que no hay onda en la banda de paso de un filtro de Bessel, y que no tiene el rechazo tanto en la banda de rechazo como un filtro Butterworth. La respuesta de fase de los tres tipos de filtro se muestra a continuación La respuesta de Bessel tiene la menor tasa de cambio de fase.
EJEMPLO Se desea diseñar un filtro Bessel con un retraso constante t0=0.02s dentro de un 0.1% hasta w=100 rad/s, con una atenuación no mayor de 2.5 dB en la banda de paso. La frecuencia normalizada para un retraso unitario es u=wt0 = (100) (0.02)=2 rad/s. Una primera estimación del orden del filtro está dada por:
Por tanto se elige n=4.
A continuación se calcula la atenuación real y el retraso normalizado.se ilustra esto usando el enfoque de la función de Bessel y calculando de manera sucesiva:
1. Coeficiente de Q4(s)=[1, 18, 45, 105, 105]; Q4(0)=105. 2. Jn(wn)= J4(2) = 0.0141, J-n-1(wn)= J-5(2)= 4.4613
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3. H(v)2 = (105)2 / 210[(0.0141)2+(4.4613)2] =0.541 Ax= -10 log(0.541)=2.67 dB 4. tn =1 –[(0.541)(28) / (105)2] =0.987 Puesto que 1-tn>0.001 y A (u)>Ap, ni la atenuación ni el retraso normalizado cumplen con los requerimientos. Por tanto, se aumenta el orden n a 5 y se vuelve a calcular: 1. coeficientes de Q 5(s) = [1, 15, 105, 420, 945, 945]; Q 5(0) =945 2. Jn (wn) = J5 (2) = 0.0026. , J-n-1(wn) = J-6(2) = -18.5914. 3. H (v)2 = (945)2 log(0.631)=2.001Db
/
214[(0.0026)2+(18.59)2]
=
0.631
Ax=
-10
4. tn =1 –[(0.631)(210) / (945)2] =0.9993.
Filtro de Cauer Un filtro elíptico o filtro de Cauer es un tipo de filtro eléctrico. Su nombre se debe al matemático alemán Wilhelm Cauer, una de las personas que más ha contribuido al desarrollo de la teoría de redes y diseño de filtros. El diseño fue publicado en 1958, 13 años después de su muerte. Están diseñados de manera que consiguen estrechar la zona de transición entre bandas y, además, acotando el rizado en esas bandas. La diferencia con el filtro de Chevyshev es que este sólo lo hace en una de las bandas. Estos filtros suelen ser más eficientes debido a que al minimizar la zona de transición, ante unas mismas restricciones consiguen un menor orden. Por el contrario son los que presentan una fase menos lineal.
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DISEÑO La respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo elíptico es:
, para Donde N es el orden del filtro, Ωc es la frecuencia de corte, Ω es la frecuencia analógica compleja (Ω=j w) y RN (x) es la función jacobiana elíptica de orden N, normalmente de primera clase:
El filtro elíptico tiene una frecuencia de corte muy afilados, que le hace ideal para los casos de diseño de filtros, donde debe haber atenuación en las frecuencias graves acaba de entrar en la banda de paso del filtro. Además, porque el efecto dominó se distribuye a través de ambos el paso y dejar de bandas en la función elíptica de filtro, lo hace un candidato excelente para un filtro de paso bajo, donde la cantidad de error debe ser minimizado en ambos lados de la frecuencia de corte. El filtro Chebyshev, con un ritmo más lento de roll-off y una ondulación desequilibrado, no ofrece ninguna de estas ventajas. Por lo tanto, en los casos en que hay señales de que están muy cerca, y hay que corte exactamente en o muy cerca de una frecuencia en particular, el filtro elíptico se recomienda para la modulación de audio.
