TERMINOLOGI DASAR
Ada beberapa terminologi (istilah) dasar yang berkaitan dengan graph. Beberapa diantaranya dijabarkan sebagai berikut:
Subgraph dan Komplemen Subgraph
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G1 = (V1, E1) adalah subgraph dari G jika V1 V dan E1 E. Sedangkan Komplemen dari subgraph G1 terhadap graph G adalah graph G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
Perhatikan Gambar 1.9 berikut
(b) (c)
Gambar 1.9. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G (G1); (c). Komplemen dari G1.
Subgraph yang Direntang (Spanning Subgraph)
Subgraph G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan spanning subgraph jika V1 = V. Dalam hal ini G1 mengandung semua simpul dari G.
(b) (c)
Gambar 1.10. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G; (c). Spanning subgraph
Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul pada graph, disimbolkan d(v) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.
(b) (c)
Gambar 1.11. (a). Graph G1; (b). Graph G2; (c). Graph G3.
Pada Graph G1: d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Pada Graph G2: d(1) = 3, bersisian dengan ruas ganda.
d(3) = 4, bersisian dengan loop.
Catatan: loop dihitung berderajat dua; d(v) = 2. Hal ini dikarenakan loop direpresentasikan sebagai (v, v) dan simpul v bersisian dua kali pada sisi (v, v).
Pada Graph G3: d(5) = 0, disebut simpul terpencil / simpul terisolasi.
d(4) = 1, disebut simpul akhir atau simpul bergantung.
Lemma Jabat Tangan
Jumlah derajat semua simpul pada suatu graph adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graph tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka
veVd v=2 " E "
Lemma jabat tangan juga benar untuk graph berarah, dalam hal ini d(v) = din(v) + dout(v)
Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(a) adalah
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5
Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(b) adalah
d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5
Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(c) adalah
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 4
Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga jika keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi.
Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Pada graph G1, simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan simpul 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 4.
Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v.
Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Sisi e4 pada graph G2 bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3.
Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Perhatikan graph G3 pada Gambar 1.11.
Simpul 5 adalah simpul terpencil.]
Graph Kosong (Null Graph atau Empty Graph)
Graph kosonng adalah graph yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. Graph kosong biasa ditulis dengan Nn dengan n adalah jumlah simpul.
Gambar 1.12. Graph Kosong N5
Gelang (Loop)
Loop adalah sisi yang menghubugkan sebuah simpul yang sama. e5 pada Graph G2 Gambar 1.11 disebut loop.
Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujan vn di dalam graph G adalah barisan berselang seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, ..., vn-1, en, vn sedmikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graph.
Catatan:
Simpul dan sisi yang dilalui didalam lintasan boleh berulang.
Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali).
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan tertutup (closed path), sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path).
Mislanya pada Gambar 1.11 (b); 1, e1, 2, e4, 3, e5, 3, adalah lintasan dari simpul 1 ke simpul 3 yang melalui sisi e1, e4, dan e5.
Sirkuit atau Siklus (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana jika setiap sisi yang dilalui berbeda. Pada Gambar 1.11(a), 1 , 2, 3, 1, adalah sebuah sirkuit sederhana dengan panjang 3, yang dihitung berdasarkan jmlah sisi di dalam sirkuit tersebut. Sedangkan 1, 2, 3, 4, 2, 1, bukan merupakan sirkuit sederhana karena sisi (1, 2) dilalui sebanyak dua kali.
Cut-set
Cut-set dari graph terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set menghasilkan dua buah komponen terhubung. Yang harus diingat adalah di dalam cut-set tidak boleh mengandung himpunan bagian yang juga merupakan cut-set.
Gambar 1.13. Sebuah graph terhubung menjadi sebuah graph tak terhubung dikarenakan adanya cut set.
Pada Gambar 1.13, jika kita membuang (1, 2), (1, 4), (6, 4), dan (6, 5) maka graph menjadi tidak terhubung. Jadi himpunan {(1, 2), (1, 4), (6, 4), (6, 5)} adalah cut-set. Himpunan {(1, 2), (2, 4)} juga merupakan cut-set. Tetapi himpunan {(1, 2), (2, 4), (4, 5)} bukan merupakan cut-set karena terdapat {(1, 2), (2, 4)} yang juga merupakan cut-set dan merupakan himpunan bagian dari {(1, 2), (2, 4), (4, 5)}.
GRAPH SEDERHANA KHUSUS
Beberapa graph sederhana khusus yang biasa dijumpai adalah
Graph Lengkap (Complete Graph)
Graph lengkap adalah graph sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graph lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul Kn berderajat n – 1. Jumlah sisi pada graph lengkap yang terdiri dari n buah simpual adalah n(n – 1)/2. Rumus ini diperoleh sebagai berikut : untuk 1 buah simpul terdapat (n – 1) buah sisi ke (n – 1) simpul lainnya, maka untuk n buah simpul terdapat n(n – 1) buah sisi. Karena setiap sisi terhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya, maka jumlah sisi seluruhnya dibagi dua yaitu n(n – 1)/2.
Perhatikan Gambar 1.14 berikut
Gambar 1.14. Graph lengkap K1 sampai K6
Graph Lingkaran
Graph lingakaran adalah graph sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graph lingkaran dengan n buah simpul dilambangkan dengan Cn. Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, ..., vn, maka sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), ..., (vn-1, vn), dan (vn, v1). Dengan kata lain, ada sisi dari simpul terakhir, vn, ke simpul pertama, v1.
Perhatikan Gambar 1.15 berikut
C3 C4 C5 C6
Gambar 1.15. Graph lingkaran C1 sampai C6
Graph Teratur (Reguler Graph)
Graph teratur adalah graph yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. apabila derajat setiap simpulnya adalah r maka graph tersebut disebut sebagai graph teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graph teratur berderajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.
Perhatikan Gambar 1.16 berikut:
(a). n = 4, r = 3
(b). n = 6, r = 3
(c). n = 8, r = 3
Gambar 1.16. Graph teratur
Graph Bipartit (Bipartite Graph)
Graph G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2 sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2, disebut graph bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2). Dengan kata lain, setiap pasang simpul di V1 (demikian pula dengan simpul-simpul di V2) tidak bertetangga.
Perhatikan Gambar 1.17 berikut
Gambar 1.17. Graph bipartit
Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2, maka G(V1, V2) disebut sebagai graph bipartit lengkap (complete bipartite graph), dilambangkan dengan Km,n. Jumlah sisi pada graph bipartit lengkap adalah mn.
Graph bipartit dapat digunakan sebagai model masalah penempatan tenaga kerja dengan titik-titik di V1 sebanyak m buah ditafsirkan sebagai m lowongan jenis pekerjaan dan titik-titik di V2 ditafsirkan sebagai n orang pelamar yang dapat menempati satu atau lebih lowongan ini. Sisi-sisi mewakili jenis-jenis lowongan pekerjaan yang dapat diisi oleh seorang pelamar sesuai dengan kemampuannya. Salah satu persoalannya ialah dapatkah setiap pelamar ini ditempatkan pada posisi yang sesuai dengan kemampuannya? Misalnya sebuah graph bipartit mencerminkan ada 3 lowongan pekerjaan dengan 4 pelamar, dan tafsirannya ialah pelamar pertama mempunyai kemampuan untuk menempati salah satu dari ketiga jenis pekerjaan, pelamar kedua dan ketiga mampu untuk jenis pekerjaan pertama dan ketiga, sedangkan pelamar keempat hanya mampu untuk jenis pekerjaan kedua. Penerimaan pegawai akan lebih obyektif apabila berpedoman pada nilai hasil seleksi kemampuan pelamar. Setiap nilai ini biasanya dicantumkan bersebelahan dengan sisinya yang sepadan dan dikenal sebagai bobot sisinya. Graph yang setiap sisinya mempunyai bobot disebut graph berbobot.
