Teori Graf

TEORI GRAF Pendahuluan Permasalahan yang muncul di dunia nyata sering terkait dengan objek diskrit dan relasi antar objek tersebut. Sebagai contoh: ada beberapa kota dalam suatu propinsi, dan ada jalan yang menghubungkan dar suatu kota ke kota lain. Hal ini kota merupakan objek diskrit, sedangkan jalan merelasikan merelasikan antar satu objek objek ke objek objek lainnya. lainnya. Contoh lainnya, dalam sistem jaringan jaringan komputer terdiri dari objek-objek computer baik sebagai server maupun workstation. Disini kita bisa mencari apakah satu komputer dapat terhubung ke komputer lainnya. Permasalahan-permasalahan seperti ini dapat dimodelkan secara baik dengan menggunakan konsep, graf, graf, graf berarah, pohon, maupun maupun pohon biner. Dalam bab ini kita akan membahas membahas tentang konsep dasar graf, contoh-contoh pemakaian dalam kehidupan sehari-hari, dan bagaimana mengimplementasikan mengimplementasikan graf dalam pemrograman komputer.

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa mengerti konsep graf, macam-macam graf, dan dapat menerapkan me nerapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Memahami definisi graf tak berarah dan graf berarah, dan dapat mengaitkannya mengaitkannya dalam permasalahan sehari-hari. 2. Memahami pengertian lintasan lintasan dan sirkuit dalam graf tak berarah dan graf graf berarah. 3. Memahami pengertian Sikuit Euler Dan Hamilton dan penerapannya. penerapannya. 4. Mampu menyelesaikan Permasalahan Perjalanan Penjual. 5. Memahami definisi dan dapat mengenali Graf Isomophic.

Oleh: Bandung Arry Sanjoyo

1

6. Memhami penertian penertian Graf Planar dan dapat dapat mengaitkanny mengaitkannyaa dalam permasalahan permasalahan seharihari. 7. Dapat merepresentasikan Graf Dalam Program Komputer


2

5.1 Kegiatan Belajar I: Definisi Graf Tak Berarah Dan Graf Berarah

Suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut verteks (atau node) yang terhubung oleh edge-edge (atau arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan verteks) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan edge). Secara fataumal, definisi dari graf sebagaimana yang terlihat pada definisi dibawah ini.

Definisi 5.1.1. Suatu graf tak berarah (Undirected graf ) G adalah suatu pasangan terurut ( V, E ) dengan V merupakan himpunan verteks (node) dan E adalah himpunan dari multiset yang

terdiri dari dua elemen di V , elemen dari E dinamakan edge atau arc. Graf tak berarah ini biasa disimbolkan dengan G=(V,E ). ). Himpunan verteks V biasa dituliskan dengan V

{v1 , v 2 ,..., v n } , dalam hal ini V mempunyai n

buah elemen yaitu v1 , v 2 ,..., dan vn . Begitu juga himpunan E biasa dituliskan juga dengan E {e1 , e2 ,..., em } dimana ei

{v j , v k }

e jk .

Verteks u dan v dikatakan adjacent dikatakan adjacent jika ada sebuah edge e = { u, v }. Dalam hal ini, verteks u dan v disebut titik disebut titik ujung dari e, dan e dikatakan menghubungkan dikatakan menghubungkan verteks u dan v. Atau edge e dikatakan incident dengan vertek u dan v. Untuk bisa memahami definisi graf tak berarah diatas, akan diberikan beberapa contoh berikut ini. Contoh 5.1.1:

G=({a, b, c, d }, }, {{a,b}, {a,d }, }, {b,b}, {b,c}, {c,d }}) }}) merupakan graf tak berarah. Pada graf G ini mempunyai himpunan verteks V={ a, b, c, d }, }, jadi himpunan V terdiri dari verteks – verteks – verteks a, b, c, dan d. Sedangkan himpunan edge E adalah {{ a,b}, { a,d }, }, { b,b}, { b,c}, {c,d }}, }}, terlihat

bahwa setiap elemen dari E merupakan multiset yang terdiri dari dua verteks di V. Jadi sesuai dengan definisi diatas G merupakan graf tak berarah. Verteks a dan b dikatakan adjacent karena ada edge { a,b} yang menghubungkan antara verteks a dan b.


3

Penggambaran Graf Tak Berarah

Suatu graf

tak berarah G=(V,E) G=(V,E) dapat dinyatakan dinyatakan dalam bentuk gambar gambar dengan dengan aturan

penggambaran sebagai berikut: 1. Untuk setiap verteks vi 2. Untuk

setiap

edge

V digambarkan dengan lingkaran kecil atau titik titi k berlabel vi. eij

E atau eij

digambarkan

{vi , v j }

dengan

garis

yang

menghubungkan menghubungkan dari verteks vi ke verteks v j . Contoh 5.1.2:

Untuk graf tak berarah pada Contoh Contoh 5.1.1. dapat dinyatakan dinyatakan dalam bentuk bentuk Gambar 5.1.1 (a) atau Gambar 5.1.1. (b).

a

b

d

c

a

b

d

c

(a)

(b) Gambar 5.1.1.

Contoh 5.1.3:

Graf tak berarah pada Gambar 5.1.2. merupakan graf dengan verteks adalah sub-sub program p1 , p2 , p3 , p4, dan p5. Dan edge { p ,i p j} menyatakan dua sub program pi dan p j yang

menggunakan data yang bersama. p1

p3

p2

p4

p5

Gambar 5.1.2.


4

Definisi 5.1.2. Suatu graf berarah ( Directed graf ) G adalah suatu pasangan terurut ( V, E )

dengan V merupakan himpunan verteks (node) dan E adalah relasi biner pada V atau E :V →V. Elemen dari E dinamakan edge atau arc (busur). Graf berarah ini biasa disimbolkan dengan G=(V,E ). ).

Sebagaimana pada graf tak berarah,

{v1 , v 2 ,..., v n } , dalam hal ini V mempunyai n buah elemen yaitu v1 , v 2 ,..., dan v n . Begitu

V

himpunan verteks V biasa dituliskan dengan

juga ei

himpunan E

biasa

dituliskan

juga

dengan

E {e1 , e2 ,..., em }

(v j , vk ) merupakan pasangan terurut verteks. Ingat bahwa (v j , v k )

dimana

(v k , v j ) .

Verteks u dan v dikatakan adjacent dikatakan adjacent jika ada sebuah edge e = (u, v) atau e = (v, u). Dalam hal e = (u, v), verteks u disebut verteks awal dari e dan verteks v disebut verteks akhir dari e, dan e from) verteks u dan dikatakan dikatakan menghubungkan dari (incident from dan menghubungkan ke (incedent to) verteks v.

Untuk bisa memahami definisi graf tak berarah diatas, akan diberikan beberapa contoh berikut ini. Contoh 5.1.4:

G=({a, b, c, d }, }, {(a,b), (a,d ), ), (b,b), (b,c), (c,d )} )} merupakan graf tak berarah. Pada graf G ini – verteks mempunyai himpunan verteks V={ a, b, c, d }, }, jadi himpunan V terdiri dari verteks verteks – verteks a, b, c, dan d. Sedangkan himpunan edge edge E adalah {( { ( a,b), (a,d ), ), (b,b), (b,c), (c,d )}, )}, terlihat bahwa

setiap elemen dari E merupakan himpunan dari pasangan terurut dari dua verteks di V. Jadi sesuai dengan definisi diatas G merupakan graf berarah. Verteks a dan b dikatakan adjacent karena ada edge ( a,b) yang menghubungkan antara verteks a dan b. Penggambaran Graf Berarah Graf Berarah

Suatu graf graf

berarah G=(V,E) G=(V,E) dapat dapat dinyatakan dinyatakan dalam dalam bentuk bentuk gambar gambar dengan dengan aturan

penggambaran sebagai berikut: 1. Untuk setiap verteks vi

V digambarkan dengan lingkaran kecil atau titik titi k berlabel vi.

2. Untuk setiap edge eij

E atau eij

(vi , v j ) digambarkan dengan garis berarah yang

menghubungkan menghubungkan dari verteks vi berarah ke verteks v j .


5

Contoh 5.1.5:

Untuk graf berarah pada Contoh Contoh 5.1.4. dapat dinyatakan dinyatakan dalam bentuk bentuk Gambar 5.1.3 (a) atau Gambar 5.1.3. (b).

a

b

d

c

a

b

d

c

(a)

(b) Gambar 5.1.3.

Contoh 5.1.6:

Graf

berarah

pada

Gambar

5.1.4.

merupakan

graf

dengan

verteks

adalah

gardu

transfataumatatau aliran listrik g1 , g2 , g 3 , g 4, dan g5. Dan edge ( g ,i g j) menyatakan aliran listrik mengalir dari gardu pi ke gardu p j. g1

g3

g2

g4

g5

Gambar 5.1.4. Contoh 5.1.7:

Dalam suatu kompetisi kompetisi catur yang menggunakan menggunakan aturan permainan setengah kompetisi, kompetisi, setiap pasang pemain hanya hanya bertdaning satu satu kali. Ada empat pemain yaitu: yaitu: Anang, Badu, Cecep, dan Deny. Hasil dari kompetisi kompetisi tersebut disajikan disajikan dalam graf graf berarah pada pada Gambar 5.1.4. 5.1.4. Setiap pemain dinyatakan dengan verteks dan edge ( u,v)

menyatakan bahwa pemain u

mengalahkan pemain v.


6

Gambar 5.1.4. berarah atau graf tak berarah.. Untuk selanjutnya istilah graf istilah graf mempunyai mempunyai makna graf makna graf berarah atau graf tak berarah


7

5.2 Kegiatan Belajar II: Multigraf Dan Graf Berbobot

Lihat graf pada Gambar 5.2.1, edge e5 dan e6 menghubungkan veteks yang sama, dua edge yang sejajar/paralel atau biasa dinamakan mengubungkan vertek yang sama dinamakan edge yang sejajar/paralel atau juga dengan multiedge. dengan multiedge. Sedangkan edge e3 incedent pada satu verteks b, suatu edge yang loop. Suatu graf G dapat memuat edge sejajar atau loop, incident pada sebuah verteks dinmakan loop. dan ini kan membawa kita pada definisi berikut ini.

a

b

d

c

Gambar 5.2.1. Definisi 5.2.1.

Suatu Multigraf G=(V, E ) adalah graf berarah atau tak berarah dengan V merupakan himpunan verteks dan E berupa multiset dengan elemen: i.

berupa pasangan terurut verteks ( u, v) jika graf graf G berarah, atau atau

ii. berupa himpunan dengan elemen dua verteks { u, v} jika graf graf G tak berarah. Suatu Mutigraf yang tidak memuat edge paralel dan tidak memuat loop dinamakan graf sederhana.

Dari definisi diatas, suatu multigraf dapat berupa graf berarah ataupun tak berarah. Perlu dilihat lebih jauh, bahwa dengan didefinisikannya E merupakan multiset, mempunyai makna bahwa E boleh mempunyai elemen kembar.


8

Suatu multigraf dikatakan berhingga jika graf tersebut mempunyai jumlah verteks berhingga. Sebagai akibat dari jumah verteks berhingga, maka banyaknya edge juga berhingga. Suatu graf berhingga dengan banyaknya verteks hanya satu dinamakan graf trivial.

Definisi 5.2.2. Derajat dari suatu verteks pada graf G=(V, E)

i.

Untuk graf tak berarah G, derajat dari verteks u, disimbolkan dengan deg(u) , adalah banyaknya edge yang incident dengan verteks u.

ii. Untuk graf berarah G, derajat masuk dari verteks u adalah banyaknya edge yang terhubung ke verteks u. Sedangkan derajat keluar dari verteks u adalah banyaknya edge yang terhubung dari verteks u. Derajat dari verteks u adalah derajat masuk + derajat keluar. Contoh 5.2.1:

Pada Gambar 5.2.2 merupakan multigraf tak berarah, yaitu ada lebih dari satu edge yang menghubungkan verteks Jkt dan Bdg. Multigraf banyak dijumpai pada jalur transpatautasi yang menghubungkan antar kota, biasanya dari kota / tempat satu ke kota / tempat lain ada lebih dari satu jalur. Derajat dari verteks masing-masing verteks adalah: deg(Jkt)=3, deg(Bdg)=3, deg(Smg)=3, deg(Jgy) =2, deg(Sby)=3, dan jumahan dari semua derajat verteks ini adalah 14.

Gambar 5.2.2. Teorema 5.2.1. Untuk suatu graf G=(V,E), jumlahan dari derajat verteks sama dengan dua deg(v)

kali banyaknya edge pada G. Atau

2 | E |

v V

Bukti:


9

Untuk setiap edge e E , memberikan kontribusi sebanyak 2 pada penghitungan penghitungan derajat pada verteks, dan dari definisi derajat dari verteks adalah banyaknya edge yang terhubung dengan E |. verteks tersebut, maka jumlahan derajat dari semua verteks adaah 2| E |. [Terbukti].

Contoh 5.2.2:

Pada Gambar Gambar 5.2.3 merupakan merupakan multigraf multigraf

berarah, karena karena ada lebih dari satu edge edge yang

menghubungkan verteks 1 dan 3. Derajat pada setiap verteks adalah: Verteks

Derajat masuk

1 2 3 4 Jumlah

1 2 3 1 7

Derajat keluar

Jumlah

4 0 1 2 7

5 2 4 3 14

Terlihat bahwa jumlahan derajat (masuk dan keluar) adalah 14 dan banyaknya edge adalah 7. vertex) . Suatu verteks yang mempunyai derajat nol dikatakan verteks terisolasi (isolated vertex). 1

2

3

4

Gambar 5.2.3. Jika kita memperhatikan kembali graf-graf pada contoh yang terdahulu, maka banyaknya verteks yang berderajat ganjil adalah genap. Pada graf Gambar 5.2.2 bayaknya verteks berderajat ganjil adalah 4, yaitu verteks Jkt, Bdg, Smg, dan Sby. Pada graf Gambar 5.2.3 banyaknya verteks berderajat ganjil adalah 2 yaitu verteks 1 dan 4. Hal ini kita nyatakan dalam teorema berikut ini. Teorema 5.2.2. Untuk suatu graf G=(V,E), banyaknya verteks yag berderajat ganjil adalah

genap. Bukti: Kebenaran dari Teorema 5.2.2 akan kita buktikan secara induksi. Misal banyaknya banyaknya edge adalah n.

Basis induksi:


10

Untuk setiap n=0, banyaknya edge yang berderajat berder ajat ganjil adalah 0 atau genap. Sebagai gambaran lihat Gambar 5.2.4, verteks yang berwarna hitam berderajat ganjil, dan banyaknya adalah genap .

(a)

(b)

(c)

Gambar 5.2.4.

Langkah asumsi: Kita anggap bahwa untuk graf G=(V,E) dengan banyak edge n= k mempunyai banyak verteks yang berderajat ganjil adalah genap. Jadi pernyataan benar untuk n=k.

Langkah induksi: Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1, atau akan ditunjukkan bahwa pernyataan benar apabila edge bertambah satu . Penambahan satu edge akan mengakibatkan beberapa alternatif berikut ini: i.

Jika kedua verteks ujung dari edge yang baru keduanya berderajat ganjil (yang berarti sebelum penambahan edge keduanya berderajat genap) maka terjadi penambahan dua buah edge yang berderajat ganjil. Sehingga banyaknya banyaknya edge yang berderajat ganjil adalah tetap genap.

ii. Jika kedua verteks ujung dari edge yang baru keduanya berderajat genap (yang berarti sebelum penambahan edge keduanya keduanya berderajat ganjil) maka terjadi pengurangan dua buah edge yang berderajat ganjil. Sehingga banyaknya banyaknya edge yang berderajat ganjil adalah tetap genap. iii. Jika satu verteks ujung dari edge yang baru berderajat ganjil dan satu ujung lain berderajat genap maka tidak ada penambahan atau pengurangan pengurangan verteks yang yan g berderjat ganjil. Sehingga banyaknya edge yang berderajat ganjil adalah t etap genap. Dengan demikian kebenaran teorema di atas terbukti secara induksi. [Terbukti]. Sekarang kita akan menuju ke suatu graf yang setiap edgenya berlabel sebuah bilangan riil seperti graf pada Gambar 5.2.4. Label pada setiap edge pada graf tersebut menyatakan jarak antar kota dalam kilo meter. Label bilangan bilangan riil pada edge dinamakan dinamakan bobot dari edge tersebut.


11

Suatu graf (berarah atau tak berarah) yang setiap edgenya mempnyai bobot dinamakan graf berbobot dan secara fataumal didefinisikan sebagai sebagai berikut.

Gambar 5.2.4.

Definisi 5.2.3. Graf berbobot (weighted graf ) adalah suatu graf (berarah atau tak berarah)

yang setiap edge e E diberikan label bobot bilangan bilangan riil. Graf berbobot disimbolkan disimbolkan dengan dengan G=(V, E,W ) degan (V,E ) dapat berupa graf berarah atau tak berarah dan W merupakan suatu fungsi yang memetakan himpunan edge ke himpunan bilangan riil R atau W:E → R. Untuk edge e E dan r R , w(e)=r menyatakan label r pada edge e. Contoh 5.2.3:

Dalam suatu kompetisi catur yang menggunakan aturan permainan sistem kompetisi penuh, setiap pasang pemain hanya hanya bertdaning dua kali. kali. Ada empat pemain pemain yaitu: yaitu: Anang, Badu, Cecep, dan Deny. Hasil dari kompetisi kompetisi tersebut disajikan dalam graf berarah pada Gambar Gambar

5.2.5. Setiap pemain dinyatakan dengan verteks dan edge ( u,v,r ) menyatakan bahwa pemain u mengalahkan pemain v dalam waktu r menit.

Gambar 5.2.5. Edge dari Anang ke Badu berabel 100 artinya Anang mengalahkan Badu dalam waktu 100 menit. Ada juga edge dari Badu ke Anang berlabel 150 artinya bahwa dalam pertemuan yang lain Badu mengalahkan Anang dalam waktu 150 menit. Ada dua edge dari Anang ke deny


12

masing-masing berabel 80 dan 75, artinya bahwa dalam dua pertemuan Anang mengalahkan Badu dalam waktu 80 menit dan 70 menit.


13

5.3 Kegiatan Belajar III: Lintasan Dan Sirkuit Dalam suatu graf G, jika verteks menyatakan kota dan edge menyatakan jalan yag menghubugkan kota satu dengan kota lain, maka perjalanan dari suatu kota melewati beberapa kota dan berkhir di kota yang lain melalui sederetan jalan. Sederetan jalan yang demikian ini dinamakan suatu lintasan dari kota awal menuju kota a khir. Definisi 5.3.1. Lintasan

Dalam suatu graf G=(V,E), Lintasan (path) dari vertek v0 menuju v n dengan panjang n adalah sederetan berselang-seling antara (n+1) verteks dan n edge yang berawal dari verteks v0 da berakhir dengan verteks vn atau dalam bentuk simbol sebagai berikut. v0, e1 , v1, e2 ,..., v n-1, en , vn

edge ei incident dengan verteks vi-1 dan vi untuk i=1, 2, ..., n . Dalam suatu graf G=(V,E,W), Lintasan (path) dari vertek v0 menuju v t adalah sederetan berselang-seling verteks dan edge yang berawal dari verteks v0 da berakhir dengan verteks vt atau dalam bentuk simbol sebagai berikut. v0, e1 , v1, e2 ,..., v t-1, e ,t vt

edge ei incident dengan verteks vi-1 dan vi untuk i=1, 2, ..., t . t

Panjang lintasan dalam graf berbobot G adalah

w( ei ) i

atau jumlahan dari semua bobot

1

edge dalam lintasan tersebut. Kalau kita perhatikan definisi lintasan diatas, panjang lintasan dalam graf berbobot dan tidak berbobot ada perbedaan. Dalam graf berbobot panjang lintasan adalah jumlahan semua bobot edge pada lintasan. Sedangkan dalam graf tidak berbobot panjang lintasan adalah banyaknya edge pada lintasan tersebut. Untuk lebih jelasnya kita lihat contoh berikut ini. Ingat bahwa verteks dan edge yang dilalui di dalam lintasan boleh diulang-ulang. Sebuah lintasan

dikatakan

lintasan

sederhana

(simple

path)

jika

lintasan

tersebut

tidak

memuat/melewati edge yang sama dua kali (setiap edge yang dilalui hanya satu kali). Sebuah


14

lintasan

dikatakan

lintasan

dasar

(elementary

path)

jika

lintasan

tersebut

tidak

memuat/melewati verteks yang sama dua kali (setiap verteks yang dilalui hanya satu kali, verteks awal dan akhir boleh sama). – simbol edge pada Jika graf yang sedang kita tinjau merupakan graf sederhana, maka simbol – simbol penuisan lintasan dapat kita hilangkan. Hal ini dikarenakan edge dari verteks u ke v dalam graf sederhana tidak lebih dari satu. Sedangan pada multigraf, penulisan lintasan l intasan harus lengkap.

Definisi 5.3.2. Sirkuit

Dalam suatu graf G, Suatu Lintasan (path) yang mempunyai verteks awal dan verteks akhir sama dinamakan Sirkuit (Circuit ) atau Cycle. Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit ) jika sirkuit tersebut tidak memuat/melewati edge yang sama dua kali (setiap edge yang dilalui hanya satu kali). Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit dasar (elementary circuit ) jika sirkuit tersebut tidak memuat/melewati verteks yang sama dua kali (setiap verteks yang dilalui hanya satu kali, verteks awal dan akhir boleh sama). Contoh 5.3.1:

Untuk graf tak berarah dan tak berbobot pada Gambar 5.3.1, carilah: a. Lintasan dari a ke d yang panjangnya masing-masing 1, 2, 3, dan 6? b. Lintasan sederhana dari c ke b yang panjangnya 4? c. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 5?

a

b

d

c

Gambar 5.3.1. Penyelesaian: a. Lintasan dari a ke d :


15

Yang panjangnya 1: a-e2-d merupakan lintasan sederhana dan juga lintasan dasar. Yang panjangnya 2: tidak ada Yang panjangnya 3: a-e2-d-e5-c-e5-d bukan lintasan sederhana, juga bukan litasan dasar. a-e2-d-e5-c-e6 -d merupakan lintasan sederhana, bukan lintasan dasar. a-e1-b-e4-c-e6 -d merupakan lintasan sederhana. sederhana.

dan yang lainnya, silahkan dicoba cari yang lainnya. Yang panjangnya 6: a-e1-b-e3-b-e4-c-e5-d-e6 -c-e5-d bukan lintasan sederhana. Dan masih ada satu lagi, silahkan dicoba untuk dicari . b. Lintasan sederhana dari c ke b yang panjangnya 4 adalah a-e5-d-e6 -c-e4-b-e3-b. Dan masih ada satu lagi, silahkan dicoba untuk dicari. c. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 5: a-e2-d-e6 -c-e4-b-e3-b-e1-a. Dan silahkan dicoba untuk mencari yang lainnya.

Contoh 5.3.2:

Untuk graf berarah dan tak berbobot pada Gambar 5.3.2, carilah lintasan dari a ke d yang panjangnya masing-masing 1, dan 4?

a

b

d

c

Gambar 5.3.2. Penyelesaian: Graf pada Gambar 5.3.2, himpunan edge E tidak memuat memuat elemen kembar. Oleh karena itu lintasanny li ntasannyaa dapat dituliskan dengan meggunakan meggunakan sederatan verteks-verteks saja. Lintasan dari a ke d yang panjangnya 1 adalah a-d, merupakan lintasan sederhana dan lintasan dasar . Lintasan dari a ke d yang panjangnya panjangnya 4 adalah adal ah a-b-b-c-d, merupakan lintasan sederhana dan bukan lintasan dasar .


16

Contoh 5.3.3:

Untuk graf tak berarah dan berbobot pada Gambar 5.3.3, carilah beberapa lintasan dari a ke z dan tentukan panjangnya? panjangnya? b a

1 2

7

d

5

3

2

4

f

6 c

1

e

Gambar 5.3.3. Penyelesaian: No

Lintasan dari a ke z

Panjang lintasan

1

a-c-e-f

11

2

a-b-d-f

10

3

a-b-e-f

12

4

a-b-c-e-f

10

5

a-b-c-e-d-f

8

...

Selanjutnya kita akan melihat keterhubungan suatu graf. Keterhubungan dua buah verteks dalam suatu graf adalah penting. Dua buah verteks u dan verteks v dikatakan terhubung jika terdapat lintasan dari u ke v. Jika verteks u terhubung dengan verteks v maka pasti verteks v dapat dicapai dari verteks u. Misal suatu graf menggambarkan suatu jaringan komputer, maka dua komputer akan dapat berkomunikasi apabila kedua komputer tersbut terhubung dalam jaring jaringan. an. Secara Secara fataumal, definisi graf terhubung adalah sebagai berikut: Definisi 5.3.3. Graf Tak Berarah Terhubung Ter hubung

Dalam suatu graf tak berarah G, G disebut graf terhubung (connected graf ) jika untuk setiap pasang verteks u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke. Jika tidak demikian tak-terhubung (disconnected graf ). maka graf G disebut graf tak-terhubung ).

Contoh 5.3.4:


17

Untuk graf tak berarah pada Gambar 5.3.4 (a) merupakan graf terhubung, karena jika kita ambil dua verteks sembarang u dan v pada graf tersebut, maka ada lintasan dari u ke v. Sedangkan untuk graf tak berarah pada Gambar 5.3.4 (b) merupakan graf tak terhubung, karena ada sepasang verteks yang tidak ada lintasan yang menghuungkannya, yaitu tidak ada lintasan dari verteks a dan f.

(a)

(b) Gambar 5.3.4.

Definisi 5.3.3. Graf Berarah Terhubung Terhubung

Suatu graf berarah G disebut graf terhubung (connected graf ) jika arah pada setiap edge pada G dihilangkan, akan didapat graf tak berarah terhubung. Jika tidak demikian maka graf berarah G disebut graf tak-terhubung (disconnected graf ). ).

Dalam graf berarah terhubung, dua verteks u dan v

dikatakan terhubung kuat (strongly

connected ) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan terdapat lintasan berarah dari v ke u.

Dan dua verteks u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected ) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v tetapi tida ada lintasan dari v ke u. Definisi 5.3.4. Graf Berarah Terhubun Ter hubung g Kuat

Suatu graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graf ) jika setiap pasang verteks pada G terhubung kuat. Jika ada sepasang verteks di G yang tidak terhubung kuat, maka graf G dikatakan terhubung lemah (weakly connected graf ) dihilangkan, akan didapat graf tak berarah terhubung. Jika tidak demikian maka graf berarah G disebut graf takterhubung (disconnected graf ). ).

Contoh 5.3.5:

Untuk graf tak berarah pada Gambar 5.3.5 (a) merupakan graf terhubung kuat, karena untuk setiap pasang verteks u dan v di dalam graf tersebut terdapat lintasan dari u ke v dan lintasan


18

dari v ke u. Sedangkan graf pada Gambar 5.3.5 (b) merupakan graf terhubung lemah, karena tidak semua pasangan verteks mempunyai lintasan dari dua arah. Contohnya: untuk verteks a dan verteks d, ada lintasan dari a ke d, akan tetapi tidakada lintasan dari d ke a.

(a)

(b) Gambar 5.3.4.

.


19

5.4 Kegiatan Belajar IV: Lintasan Euler Dan Hamilton Tulisan pertama tentang tentang graf adalah karya Leonhard Euler pada 1736. Tulisan tersebut menyajikan sebuah permasalahan umum yang menyertakan sebuah solusi yang sekarang disebut masalah jembatan Königsberg. Dua pulau terhampar di Sungai Pregel yang terletak di kota Königsberg (saat ini Kaliningrad di Rusia) saling terhubung oleh jembatan-jembatan, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar Gambar 5.4.1 (a). Permasalahannya Permasalahannya adalah untuk memulai berjalan dari sembarang lokasi A, B, C, atau D menyeberangi setiap jembatan satu kali, kemudian kembali lagi pada tempat semula. Ini yang dinamakan dengan permasalahan sirkuit Euler. Permasalahan Euler pada jembatan Königsberg dapat disederhanakan dalam bentuk graf seperti yang terlihat pada Gambar 5.4.1 (b).

(a)

(b)

Gambar 5.4.1 Jembatan Kőnigsberg Kőnigsberg dan grafnya Definisi 5.4.1. Lintasan Euler dan Sirkuit Euler Lintasan Euler pada suatu graf G adalah suatu lintasan yang melewati setiap edge pada graf G tepat satu kali. Sirkuit Euler pada suatu graf G adalah suatu sirkuit yang melewati setiap edge pada graf G

tepat satu kali. Lintasan Euler melewati setiap edge dari graf tepat satu kali. Bila lintasan Euler tersebut kembali ke verteks asal maka lintasan tertutup tersebut dinamakan sirkuit Euler. Graf yang Eulerian graf ). mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler ( Eulerian ). Sedangkan graf G hanya memiliki

lintasan Euler dinamakan graf semi-Euler (semi-Eulerian graf).


20

Contoh 5.4.1:

Perhatikan Gambar 5.4.2. Setiap graf yang berada pada gambar tersebut merupakan graf semi Euler, yaitu hanya terdapat lintasan Euler. d

b

d

b

a

f

a e

c

e

c

(a)

(b) Gambar 5.4.2 Graf semi Euler

Untuk graf pada Gambar 5.4.2 (a), salah satu lintasan Eulernya adalah: c-a-b-c-e-b-d-e. Dan graf ini tidak memiliki sirkuit Euler. Sedangkan untuk graf pada Gambar 5.4.2 (b), salah satu lintasan Eulernya adalah: c-a-b-c-e-b-d-e-f-d. Dan graf ini tidak memiliki sirkuit Euler.

Contoh 5.4.2:

Perhatikan Gambar 5.4.3. Setiap graf yang berada pada gambar tersebut merupakan graf Euler, yaitu terdapat sirkuit Euler. b

f

a

a c

d

b d

e

c

(a)

e

(b) Gambar 5.4.3 Graf Euler

Untuk graf pada Gambar 5.4.3 (a), salah satu sirkuit Eulernya adalah: a-b-c-d-e-c-a. Sedangkan untuk graf pada Gambar 5.4.3 (b), salah satu lintasan Eulernya adalah: a-b-c-e-b-d-e-f-d-c-a. Contoh 5.4.2:

Perhatikan graf Gambar 5.4.1. Graf permasalahan jembatan Königsberg tersebut tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler.


21

b d

f

a

a c

d

b

e

c

(a)

e

(b) Gambar 5.4.3 Graf Euler

Untuk graf pada Gambar 5.4.3 (a), salah satu sirkuit Eulernya adalah: a-b-c-d-e-c-a. Sedangkan untuk graf pada Gambar 5.4.3 (b), salah satu lintasan Eulernya adalah: a-b-c-e-b-d-e-f-d-c-a.

Syarat cukup dan perlu keberadaan lintasan Euler maupun sirkuit Euler dalam suatu graf ternyata sangat sederhana. Euler menemukan syarat tersebut untuk memecahkan masalah jembatan Konigsberg, Konigsberg, yang dinyatakan di dalam Te orema 5.4.1 sampai dengan teorema 5.4.3. Teorema 5.4.1. Jika suatu graf tak berarah terhubung G terdapat sirkuit Euler maka setiap

verteks di dalam graf G tersebut berderajat genap. Bukti: Dipunyai bahwa dalam suatu graf G yang terdapat sirkuit Euler yang berawal dari suatu verteks, misal a, dan akan berakhir di a. Ini berarti bahwa ada edge awal dan edge akhir dari sirkuit yang memberikan kontribusi pada jumlahan derajat dari a sebanyak dua. Sedangkan untuk verteks lain b, yang bukan verteks awal atau akhir dari sirkuit, yang dilalui sirkuit, ada edge menuju b dan edge keluar b. Ini mengakibatkan derajat dari verteks tersebut bertambah dua (genap). Karena setiap edge pada graf G harus dilalui oleh sirkuit Euler dan setiap edge yang dilalui derajatnya bertambah dua (genap), maka setiapverteks akan berderajat genap.

Teorema 5.4.2. Jika setiap verteks di dalam suatu graf tak berarah terhubung G berderajat

genap maka pada graf G terdapat sirkuit Euler.

Bukti: Pembuktin teorema ini akan dilakukan secara induksi. Misal banyaknya edge adalah n. Basis induksi:


22

Untuk n=0, graf G terhubung dan tidak mempunyai edge, berarti graf G hanya terdiri dari sebuah verteks. Oleh karena itu pada G ada sirkuit Euler yang terdiri dari verteks tunggal dan tanpa edge.

Langkah asumsi asumsi dan induksi: Danaikan G mempunyai n edge, n > 0, dan bahwa sembarang graf terhubung dengan k edge, k < n, setiap verteks mempunyai mempunyai derajat genap maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler. Ini merupakan cara langsung untuk membuktikan bahwa sebuah graf terhubung dengan verteks atau lebih, masing-masing masing-masing mempunyai derajat derajat genap, mempunyai mempunyai sebuah sirkuit, sehingga sehingga kita asumsikan bahwa graf tersebut mempunyai paling sedikit t iga verteks. Karena G terhubung, terdapat verteks v1 , v2 , dan v3 di G dengan edge e1 insident pada v1 dan v2, serta edge e2 insiden pada v2 dan v3. Jika kita hapus edge e1, dan e2, tetapi kita biarkan

verteks-verteksnya, dan kita tambahkan sebuah edge e yang insiden pada v1 dan v3 untuk memperoleh graf G' seperti terlihat pada Gambar 5.4.4(a). Perhatikan bahwa setiap komponen dari graf G' mempunyai edge lebih sedikit dari n edge. Dan dalam setiap komponen dari graf G' setiap verteks mempunyai derajat genap. Kita tunjukkan bahwa G' mempunyai satu atau pun dua komponen.

(a)

(b)

(c)

Gambar 5.4.3 Pembuktian teorema 5.4.2 Misalkan v adalah sebuah verteks di G. Karena G terhubung, terdapat sebuah lintasan P di G dari v ke v1. Misalkan P' adalah bagian dari lintasan P yang berawal dari v yang edgeedgenya juga di G'. Selanjutnya P' berakhir baik pada v1 , v 2 , ataupun v3 karena satu-satunya cara P gagal sebagai sebuah lintasan di V' adalah P mengdanung satu dari edge-edge terhapus e1 atau e2. Jika P' berakhir di v1, maka v berada di komponen yang sama seperti v1 di G, Jika P' berakhir di v3 [lihat Gambar 5.4.3 (b)], maka v berada di komponen yang sama


23

dengan v3 di G’, yang berada dalam komponen yang sama dengan v1 di G' (karena edge e di G' insiden pada v1 dan v3). Jika P' berakhir di v2, maka v2 berada dalam komponen yang

sama dengan v. Oleh karena itu, sembarang verteks di G' berada dalam komponen yang sama dengan baik v1 maupun v2. Sehingga G' mempunyai satu atau dua komponen. Jika G' mempunyai satu komponen, yakni, jika G' terhubung, kita dapat menerapkan hipotesis induktif untuk menyimpulkan bahwa G' mempunyai sebuah sirkuit Euler C'. Sirkuit Euler ini dapat dimodifikasi untuk menghasilkan sebuah sirkuit Euler di G, kita hanya mengganti kemunculan edge e di C' dengan edge-edge e1 dan e2. Danaikan bahwa G' mempunyai dua komponen [lihat Gambar 5.4.3 (c)]. Menurut hipotesis induktif, komponen yang mengdanung v1 mempunyai sebuah sirkuit Euler C' dan komponen yang mengdanung v2 mempunyai sebuah sirkuit Euler C" yang berawal dan berakhir di v2. Sebuah sirkuit Euler di G diperoleh dengan memodifikasi C' dengan menggantikan ( v1, v3) di C' dengan ( v1, v2) yang diikuti oleh ( v2, v3) atau dengan menggantikan ( v3, v1) di C' dengan ( v3, v2) yang diikuti oleh C" yang diikuti oleh ( v2, v1). Langkah Induktif telah lengkap dan G mempunyai sebuah sirkuit Euler. [ Terbukti ]

Teorema 5.4.3. Untuk suatu graf tak berarah terhubung G merupakan graf semi Euler

(terdapat lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf G tersebut terdapat tepat dua verteks berderajat ganjil. Bukti: Bukti dari teorema ini dibiarkan untuk latihan.

Pembahasan lintasan dan sirkuit Euler di atas untul graf tak ber arah terhubung. Bagaimana dengan graf yang berarah terhubung. Untuk graf berarah, keberaaan lintasan dan sirkuit Euler lang disajikan pada teorema 5.4.4 yang tidak sertai dengan bukti.

Teorema 5.4.4. Graf berarah terhubung G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G

terhubung dan setiap verteks memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap verteks memiliki derajat masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua verteks, yang pertama memiliki derajat keluar satu lebih besar derajat-masuknya, dan yang kedua memiliki derajat masuk satu lebih besar dari derajat-keluarn ya.


24

Jika pada pembahasan lintasan dan sirkuit Euler melewati setiap edge dari graf tepat sekali,

maka selanjutnya kita akan mengkaji permasalahan suatu lintasan yang melewati setiap verteks pada graf tepat satu kali.

Definisi 5.4.2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton pada suatu graf G adalah suatu lintasan yang melewati setiap verteks graf G tepat satu kali. Sirkuit Hamilton pada suatu graf G adalah suatu sirkuit yang melewati setiap edge pada graf G tepat satu kali.

Dari definisi di atas, apabila dalam lintasan Hamilton verteks awal sama dengan verteks akhir, lintasan tersebut menjadi tertutup dan dinamakan sikuit Hamilton. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. Nama sirkuit Hamilton muncul ketika Sir William Hamilton membuat permainan dodecahedron. Pada tahun 1859 Sir William Hamilton menawarkan mainan teka-teki ke pabrik

alat mainan Dublin. Mainan itu terdiri dari dodecahedron (yaitu benda yang disusun oleh 12 buah pentagonal dan di sini ada 20 buah titik sudut) dan tiap titik sudut diberi nama ibukota negara seperti terlihat pada Gambar 5.4.4 (a). Permainan yang dapat dilakukan adalah membentuk perjalanan keliling dunia, yang mengunjungi 1 ibukota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal. Persoalan ini dinamakan mencari sirkuit Hamilton. Gambar 5.4.4 (b) adalah graf yang memodelkan proyeksi dodecahedron dengan sebuah sirkuit Hamilton yang bergaris tebal.


25

(a)

(b)

Gambar 5.4.4 Sirkuit Hamilton pada dodecahedron

Selanjutnya akan dibahas beberapa teorema yang menunjukkan keberadaan lintasan atau sirkuit Hamilton, yaitu Teorema Dirac dan Teorema Te orema Ataue. Teorema 5.4.5. Dirac

Jika graf G merupakan graf sederhana dengan n buah verteks, n ≥ 3, sedemikian sehingga derajat tiap verteks paling sedikit n/2 maka graf merupakan graf Hamilton.

Teorema 5.4.6. Ataue

Jika graf G merupakan graf sederhana dengan n buah verteks, n ≥ 3, sedemikian sehingga jumlah derajat tiap pasang verteks u dan v di G yang tidak adjacent paling sedikit n atau d(u) +d(v) ≥ n maka graf merupakan graf Hamilton.

Teorema 5.4.7. Jika graf G adalah graf lengkap maka G merupakan graf Hamilton.

Teorema 5.4.6. Jika graf G merupakan graf lengkap dengan n buah verteks, n ≥ 3, maka

terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

Teorema 5.4.7.


26

Jika graf G merupakan graf lengka p dengan n buah verteks, n ≥ 3 dan n ganjil, maka terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada edge yang beririsan). Jika graf G merupakan graf lengkap graf lengkap dengan n buah verteks, n ≥ 3 dan n g enap, maka terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

Contoh 5.4.3:

Persoalan pengaturan tempat duduk: Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka m emutuskan duduk sedemikian sehingga sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?. dilaksanakan?. Penyelesaian: Persoalan di atas dapat direpresentasikan oleh sebuah graf dengan sembilan buah verteks sedemikian sehingga setiap verteks menyatakan anggota klub, dan edge yang menghubungkan dua buah verteks menyatakan kedua verteks tersebut bertetangga dalam tempat duduk, lihat Gambar 5.5.5. 1 9

2

3

8

7

4 6

5

Gambar 5.5.5 Sirkuit Hamilton: 1, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8, 9, 1 edge dengan garis tebal, menyatakan salah satu cara pengaturan tempat duduk. Pada fataumasi ini atauang 1 bertetangga kiri dengan 2 dan bertetangga kanan dengan atauang 9. Atauang 2 bertetangga kiri dengan 3 dan bertetangga kanan dengan atauang 1, dan seterusnya. Sirkuit Hamilton: 1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6, 1 edge dengan garis tipis, menyatakan salah satu cara lain pengaturan tempat duduk. Pada fataumasi ini atauang 1 bertetangga kiri dengan 5 dan


27

bertetangga kanan dengan atauang 6. Atauang 2 bertetangga kiri dengan 6 dan bertetangga kanan dengan atauang 7, dan seterusnya. Kalau kita lihat sirkuit Hamilton garis tebal dan garis tipis tidak beririsan edge dengan sirkuit Hamilton yang bergaris tipis, atau kedua sirkuit tersebut saling asing. Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda ada (9-1)/2 = 4. Oleh karena itu atauang dalam klub tersebut dapat bertemu dalam 4 hari dengan selalu berganti tetangga tetangga duduk. Suatu graf dapat berupa graf Hamilton dan sekaligus berupa graf Euler, seperti graf pada Gambar 5.5.6. b

d f

a c

e

Gambar 5.5.6 Graf Hamilton sekaligus graf Euler


28

5.5 Kegiatan Belajar V: Lintasan Terpendek

Dalam suatu graf berbobot G=(V,E,W), panjang lintasan dari verteks awal s ke verteks akhir t t

w( ei )

adalah i

dengan w(ei) adalah bobot pada edge ei yang berada pada lintasan tersebut,

1

atau jumlahan dari semua bobot edge dalam lintasan tersebut. Sebagaimana kita ketahui sebelumnya bahwa lintasan dari satu verteks ke verteks lain tidak tunggal, sehingga panjang lintasan dari verteks s ke verteks t bisa lebih dari satu nilai. Dari sini, muncul suatu permasalahan bagaimana mencari lintasan terpendek dari vertek s ke verteks t . Definisi 5.5.1. Lintasan Terpendek Lintasan terpendek dari verteks s ke verteks t pada suatu graf berbobot G=(V,E,W) adalah

minimal dari semua panjang lintasan yang dapat dibentuk dari verteks s menuju verteks v.

Contoh 5.5.1:

Perhatikan graf tak berarah berbobot dan terhubung pada Gambar 5.5.1. b 3

a

5

d

1 3

7

c

Gambar 5.5.1. Tabel berikut ini menampilkan beberapa lintasan terpendek dari suatu verteks ke satu verteks yang lain.


29

Vertek awal

Vertek tujuan Lintasan dari s ke t

s

t

a

b

Panjang Lintasan terpendek dan lintasan dan panjangnya

3 8 15

a-b a-c-b a-c-d-b

a-b

Panjang = 3

Dan lainnya a

d

a-b-d

8 7 10

a-b-c-d a-c-d

a-b-c-d

Panjang = 7

Dan lainnya d

b

d-b

5 4 13

d-c-b d-c-a-b

d-c-b

Panjang = 4

Dan lainnya Dan yang lainnya

Contoh 5.5.2:

Perhatikan graf berarah berbobot dan terhubung pada Gambar 5.5.2. b 5

3 1

-2

a 7

c

d 3

Gambar 5.5.2. Tabel berikut ini menampilkan beberapa lintasan terpendek dari suatu verteks ke satu verteks yang lain. Vertek awal

Vertek tujuan Lintasan dari s ke t

s

t

a

d

a-b-d

a-c-b-d a-c-d a-c-d-a-b-d

Panjang lintasan 8 13 10 16

Lintasan terpendek dan dan panjangnya a-b-d

Panjang = 8

Dan lainnya a

c

a-c a-b-d-a-c

7 13

a-c

Panjang = 7

Dan lainnya Dan yang lainnya


30

Langkah-langkah Langkah-langkah untuk mencari lintasan terpendek dari dari satu verteks verteks

ke satu verteks lain

ditemukan oleh E. W. Dijkstra, lahir 5 Mei 1930 di Rotterdam Beldana. Oleh karena itu, langkah-langkah untuk mencari lintasan terpendek ini dikenal sebagai algoritma Dijkstra. Karena dedikasinya pada pemograman maka pada saat pernikahannya di tahun 1957, ia mencantumkan prdariesinya sebagai seatauang programmer. Akan tetapi pemerintah Beldana menyatakan bahwa prdariesi semacam itu tidak ada dan dia harus mengubah prdariesi menjadi "fisikawan teatauitis:" Ia memenangkan Turing Award dari Association fatau Computing Machinery pada tahun 1972. Ia juga terpilih sebagai Schlumbleger Centennial Chair in Computer Science di Universitas Texas, Austin tahun 1984.

Ingat bahwa dalam pembahasan pencarian lintasan terpendek ini, graf G=(V,E,W) menyatakan sebuah graf berbobot tersambung dan tidak memuat sirkuit (cycle) dengan panjang negatif. Algatauitma Dijkstra melibatkan pemasangan label pada setiap verteks v

V . Anggaplah kita

akan mencari lintasan terpendek dari verteks s ke verteks lainnya. Dua langkah utama dalam algatauitma Dijkstra adalah: 1. Pemberian label pada vertek 2. Pencarian lintasan dan penghitungan panjang lintasan t erpendek 1. Langkah Pemberian label pada verteks

Pada setiap vertek v

V diberikan label [ p(v), d(v), m(v) ] dimana:

p(v)

: predecessatau v (verteks sebelum v di dalam lintasan)

d(v)

: Panjang (distance) lintasan dari verteks awal s menuju verteks v.

m(v)

(’ -’). : suatu tdana tdana yang nilainya permanen (’*’) atau sementara (’-

Urutan langkah-langkah pencarian pemebrian label dalam algatauitma Dijkstra sebagai berikut: i.

Langkah inisialisasi: ’ atau [s,0,*]. Untuk verteks awal s diberikan label p(s)=s, d(s)=0, dan m(s)=’ *’ atau Untuk setiap verteks v

‘ atau V selain s diberikan label p(v p(v)= )=v, v, d(v) d(v)= = , dan m(s)=’ -‘ atau

[v, , -]. t = verteks terakhir yang diberikan tdana permanen (*), pada awal ini t=s.

ii.

Untuk setiap verteks v

V yang adjacent dengan t dan tidak berlabel permanen, lakukan:

Penghitugan Penghitugan label d(v)=min {d(v), d(t)+ w(t,v) }, w(t,v) adalah bobot edge ( t,v).


31

Label p(v)

iii.

Untuk verteks v

tetap, jika d (v) d (t )

w(t , )

t ,

w(t , )

jika d (v) d (t )

V yang belum berlabel permanen, kita cari verteks u yang mempunyai

p(u) paling kecil dan label jarak p(u)

beri tdana permanen pada u atau m(u)=* dan p(u)=. t= verteks terakhir yang diberikan tdana permanen (*), atau t=u.

iv.

Jika ada verteks v

V yang adjacent dengan t maka ulangi dari langkah ii, jika-tidak-

maka selesai.

2. Langkah pencarian lintasan dan penghitungan panjang panjang lintasan terpendek te rpendek

Dari hasil pelabelan (graf yang sudah berlabel) langah sebelumnya, dilakukan: i.

Pencarian panjang lintasan terpendek dari verteks s ke verteks v

V.

Panjang litasan terpendek dari s ke v adalah d(v). ii.

Pencarian lintasan terpendek dari verteks s ke verteks v

V.

Berawal dari v, atau t=v. Dan Litasan Terpendek =’v’; =’v’; Selama t s lakukan: Lintasan terpendek = p(t) digabung dengan Lintasan terpendek ; t=p(t);

Contoh 5.5.3:

Untuk graf pada Gambar 5.5.3, dapatkan lintasan terpendek dari a ke d dan dari a ke c. b 3

a

5

d

1 3

7

c

Gambar 5.5.3. Penyelesaian: Langkah Pemberian label pada verteks. Verteks awal adalah verteks a, dan beri label pada verteks a dengan [ a,0,*] Label untuk verteks lainnya dapat dilihat langsung l angsung pada gambar graf, label ada disebelah verteks. Oleh: Bandung Arry Sanjoyo

32

[b,¥ ,-] ,-] b 3

5

[a,0,*] a

,-] d [d,¥ ,-]

1 3

7

c [c,¥ ,-] ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan a, yaitu vertek b dan c lakukan: d(b)=min {d(b), d(a)+ w(a,b)}= }={ { , 0+3} 0+3} = 3 dan dan labe labell p(b)=a d(c)=min {d(c), d(a)+ w(a,c) }= }={ { , 0+7} 0+7} = 7 dan dan labe labell p(c)=a

Label graf tampak seperti gambar berikut ini. [a, ,-] ,-] b 3

5

[a,0,*] a

,-] d [d,¥ ,-]

1 3

7

c [a, ,-]

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks b. Verteks b kita beri label permanen, atau m(b)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks b, dan graf menjadi: [a, ,*] ,*] b 3

5

[a,0,*] a

,-] d [d,¥ ,-]

1 3

7

c [a, ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan b, yaitu vertek c dan d lakukan: d(c)=min {d(c), d(b)+ w(b,c) }={7, 3+1} 3+1} = 4 dan label label p(c)=b d(d)=min {d(d), d(b)+ w(b,d)}= }={ { , 3+5} 3+5} = 8 dan dan labe labell p(d)=b

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks c. Verteks c kita beri label permanen, atau m(c)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks c, dan graf menjadi: Oleh: Bandung Arry Sanjoyo

33

[a, ,*] ,*] b 3

5

[a,0,*] a

,-] d [b, ,-]

1 3

7

c [b, ,*] ,*]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan c, yaitu verteks d, lakukan: d(d)=min {d(d), d(c)+ w(c,d) }={8, 4+3} = 7 dan label p(d)=c

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks verteks d. Verteks d kita beri label permanen, atau m(d)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks d, dan graf menjadi: [a, ,*] ,*] b 3

a

5

d [c, ,*]

1 3

7

c [b, ,*] ,*]

Dan sudah tidak ada lagi vertek yang berlabel tidak permanen, langkah pelabelan selesai. selesai. Langkah pencarian lintasan dan penghitungan panjang lintasan terpendek Lintasan terpendek dari a ke d : Panjang lintasan terpendeknya terpendeknya adalah d(d) = 7. Lintasan terpendeknya adalah: o Dari vertek d buat lintasan: d o Gabung p(d)=c dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: c-d o Gabung p(c)=b dengan lintasan sebelumnya, didapat: b-c-d o Gabung p(b)=a dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: a-b-c-d Jadi lintasan terpendeknya terpendeknya adalah: a-b-c-d. Lintasan terpendek dari a ke c: Panjang lintasan terpendeknya terpendeknya adalah d(c) = 4. Lintasan terpendeknya adalah: o Dari vertek c buat lintasan: c o Gabung p(c)=b dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: b-c o Gabung p(b)=a dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: a-b-c Jadi lintasan terpendeknya terpendeknya adalah: a-b-c.


34

Contoh 5.5.4:

Untuk graf pada Gambar 5.5.4, dapatkan lintasan terpendek dari s ke t. b

12

d

2 3

s 6

c c

-5

2

t

3 6

14

d

Gambar 5.5.4. Penyelesaian: Langkah Pemberian label pada verteks. Verteks awal adalah verteks s, dan beri label pada verteks s dengan [ s,0,*] Label untuk verteks lainnya dapat dilihat langsung pada gambar graf, label ada disebelah verteks. [b,¥ ,-] ,-] b

[d,¥ ,-] ,-] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [c,¥ ,-] ,-]

2

t

3

[t,¥ ,-] ,-]

6

e [e,¥ ,-] ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan s, yaitu vertek b dan c lakukan: d(b)=min {d(b), d(s)+ w(s,b)}= }={ { , 0+2} 0+2} = 2 dan dan label label p(b)=s d(c)=min {d(c), d(s)+ w(s,c)}= }={ { , 0+6} 0+6} = 6 dan dan lab label p(c)=s

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks b. Verteks b kita beri label permanen, atau m(b)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks b, dan graf menjadi: [s, ,*] ,*] b

[d,¥ ,-] ,-] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [s, ,-]

2

t

3

[t,¥ ,-] ,-]

6

e [e,¥ ,-] ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan b, yaitu vertek c dan d lakukan: d(c)=min {d(c), d(b)+ w(b,c) }={6, 2+3} = 5 dan label label p(c)=b d(d)=min {d(d), d(b)+ w(b,d)}= }={ { , 2+1 2+12 2 = 14 dan dan lab label el p(d)=b

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks verteks c. Verteks c kita beri label permanen, atau m(c)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks c, dan graf menjadi: Oleh: Bandung Arry Sanjoyo

35

[s, ,*] ,*] b

[b, ,-] ,-] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [b, ,*]

2

t

3

[t,¥ ,-] ,-]

6

e [e,¥ ,-] ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan c, yaitu verteks e, lakukan: d(e)=min {d(e), d(c)+ w(c,e) }={∞ }={∞, 5+14}= 19 dan label p(e)=c

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks verteks d. Verteks d kita beri label permanen, atau m(d)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks d, dan graf menjadi: [s, ,*] ,*] b

[b, ,*] ,*] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [b, ,*]

13

t

3

[t,¥ ,-] ,-]

6

e [c, ,-] ,-]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan d, yaitu verteks e dan t, lakukan: d(e)=min {d(e), d(d)+ w(d,e) }={19, 14+3}= 17 dan label p(e)=d d(t)=min {d(t), d(d)+ w(d,t)}={∞, 14+13}= 27 dan label p(t)=d }={∞, 14+13}=

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks verteks e. Verteks e kita beri label permanen, atau m(e)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks e, dan graf menjadi: [s, ,*] ,*] b

[b, ,*] ,*] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [b, ,*]

13

t

3

[d,27,-]

6

e [d, ,*]

Untuk semua vertek yang tidak berlabel permanen dan adjacent dengan e, yaitu verteks t, lakukan: d(t)=min {d(t), d(e)+ w(e,t)}={27, 17+6}= 23 dan label p(t)=e

Untuk verteks yang belum berlabel permanen, kita cari sebuah verteks yang mempunyai mempunyai label jarak paling kecil dan didapatkan didapatkan verteks verteks t. Verteks e kita beri label permanen, atau m(t)=*. Verteks terakhir yang berlabel permanen adalah verteks t, dan graf menjadi:


36

[s, ,*] ,*] b

[b, ,*] ,*] 12

d

[s,0,*] 2 3

s 6

-5

c c 14 [b, ,*]

13

t

3

[e,23,*]

6

e [d, ,*]

Dan sudah tidak ada lagi vertek yang berlabel tidak permanen, langkah pelabelan selesai. selesai. Langkah pencarian lintasan dan penghitungan penghitungan panjang lintasan l intasan terpendek Lintasan terpendek dari s ke t : Panjang lintasan terpendeknya terpendeknya adalah d(t) = 23. Lintasan terpendeknya adalah: o Dari vertek t buat lintasan: t o Gabung p(t)=e dengan lintasan sebelumnya, didapat: e-t o Gabung p(e)=d dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: d-e-t o Gabung p(d)=b dengan lintasan sebelumnya, sebelumnya, didapat: b-d-e-t o Gabung p(b)=s dengan lintasan sebelumnya, didapat: s-b-d-e-t Jadi lintasan terpendeknya terpendeknya adalah: s-b-d-e-t.


37

5.6 Kegiatan Belajar VI: Subgraf, Graf Isomorpik, Dan

Pada bagian ini kita akan membahas tentang suatu graf yang merupakan bagian dari graf lain. Konsep dasar subgraf ini sangat penting dalam pengembangan teataui graf dan penerapannya. Secara fataumal subgraf didefinisikan seperti berikut ini.

Definisi 5.6.1. Subgraf graf G Pandang graf G

=

subgraf dari graf G jika H = H( V’, E’) dikatakan sebagai suatu subgraf dari G( V, E). Suatu graf H

semua verteks dan edge dari H termuat dalam himpunan verteks dan edge dari G, atau jika V’ X V dan E‘ X E. Secara khusus: i.

Jika verteks v di G, maka G - v merupakan merupakan subgraf dari G yang diperoleh dengan cara menghapus v dari G dan menghapus semua edge di G yang incedent dengan v.

ii. Jika edge e di G, G, maka G - e merupakan subgraf dari G yang diperoleh dengan cara menghapus e dari G.

Contoh 5.6.1:

Untuk graf pada Gambar 5.6.1 (b) dan Gambar 5.6.1 (c) merupakan subgraf dari graf pada Gambar 5.6.1 (a).

(a)

(b)

(c)

Gambar 5.6.1. Selanjutnya kita akan melihat dua graf yang serupa akan tetapi keuda graf tersebut tidak sama. Seperti yang

graf

G1=({a,b,c,d},{{a,b},{a,d},{b,c},{c,d})

pada

Gambar

5.6.2

(a)

dan

graf

G2=({1,2,3,4},{{1,2},{1,4},{2,3},{3,4}) Gambar 5.6.2 (b) berikut ini.


38

a

b

d

c

G1

1

2

3

4

(a)

G2

(b) Gambar 5.6.2 Dua graf yang serupa tapi ta k sama

Walaupun secara gambar sama, hanya berbeda penamaan saja, akan tetapi secara definisi graf keduanya berbeda karena {a,b,c,d} ≠ {1,2,3,4}. Perhatikan juga graf pada Gambar 5.6.3 (a) dan graf pada Gambar 5.6.3 (b). Secara gambar geometrik graf keduanya kelihatan berbeda, akan tetapi kedua graf tersebut sama. b

a

b

d

a

c

d

c

(a)

(b) Gambar 5.6.3 Dua graf yang sama

Dari paparan di atas, akan membawa kita pada keserupaan dua buah graf yang disebut dengan isomorpik. Definisi 5.6.2. Isomorpik Graf G=(V,E) =(V,E) dan G*= E*) dikatakan isomorpik (isomorphic) jika ada korespondensi satu-satu G*=(V*, E*) {u,v} } di G maka edge { f(u),f(v)} juga di G*. f :V Y V* sedemikian sehingga jika edge {u,v G*.

Contoh 5.6.2:

Untuk graf pada Gambar 5.6.4, ada 10 graf yang bentuknya diserupakan huruf. Dapatkan pasangan graf yang saling isomorpik.

Gambar 5.6.4. Perhatikan bahwa: Graf bentuk huruf A dan R adalah adalah isomorpik.


39

Graf bentuk huruf F dan T adalah adalah isomorpik. Graf bentuk huruf K dan X adalah adalah isomorpik. Graf bentuk huruf M, S, V dan Z adalah isomorpik.

Suatu graf dapat diperoleh dari graf lain dengan cara menambahkan verteks ditengah dari suatu edge pada graf tersebut. Graf yang didapat dengan cara demikian ini dinamakan graf homeomorpik, dan didefinisikan seperti berikut ini. i ni. Definisi 5.5.3. Homeomorpik

Dua graf G dan G* dikatakan homeomorpik (homeomorphic) jika keduanya diperoleh dari suatu graf yang sama (atau graf yang isomorpik) dengan cara menambahkan beberapa vertek pada suatu edge dari graf asalnya.

Contoh 5.6.3:

Untuk graf pada Gambar 5.6.5 (b) dan graf Gambar 5.6.5 (c) adalah homeomorpik karena keduanya didapat dari graf pada Gambar 5.6.5 (a) dengan cara menambahkan beberapa vertek pada suatu edge yang sama di graf pada Gambar 5.6.5 (a).

(a)


(b) Gambar 5.6.5

(c)

40

5.7 Kegiatan Belajar VII: Graf Planar Pada sub bab ini, kita akan belajar tentang suatu gambar graf yang digamabar dalam suatu bidang dengan edge satu dengan lainnya tidak saling memotong. Sebagaimana telah disinggung pada sub bab sebelumnya bahwa suatu graf dapat digambarkan dalam beberapa macam bentuk, seperti Gambar 5.7.1 berikut ini. Graf pada Gambar 5.7.1 (a) dan graf pada Gambar 5.7.1 (b) adalah graf yang sama. Pada Gambar 5.7.1 (a) tidak ada edge yang saling memotong, memotong, sedang graf pada Gambar 5.7.1 (b) ada edge yang saling potong. Hal ini akan membawa kita pada definisi berikut ini. b

b

a

d

c

a

d

c

(a) (b) Gambar 5.7.1 Dua graf yang sama, beda representasi

Definisi 5.7.1. Graf Planar Suatu Graf G Graf G dikatakan graf planar jika graf tersebut dapat digambar dalam bidang tanpa ada edge-

edge yang saling memotong. Gambar graf yang tidak memuat edge-edge yang saling berpotongan dinamakan representasi planar ( planar ). planar representation) dari graf planar, atau sering dinamakan j uga dengan graf bidang ( plane plane graf ).

Suatu graf planar dapat juga mempunyai gambar graf yang memuat edge-edge yang saling berpotongan. Akan tetapi grafnya tetap planar. Untuk menunjukkan bahwa suatu graf planar, cukup ditunjukkan representasi planar dari graf tersebut. Contoh 5.7.1:

Tunjukkan bahwa graf G=({a, b, c, d, e, f, g, h }, E ) merupakan graf planar? Dimana hinpunan edge E = {{a,b}, {a,d }, }, {a,e}, {b,c}, {b ,f }, }, {c,d },{ },{c,g}, {d,h}{e,f },{ },{e,h},{ f,g},{g,h}}.


41

Graf G di atas dapat dinyatakan dalam bentuk Gambar 5.7.2 (a) dan Gambar 5.7.2 (b). Dalam representasi pada Gambar 5.7.2 (b) tidak ada edge-edge yang saling berpotongan. Oleh karena itu, graf G merupakan graf planar. h

g f

e

f e

g

h

d

c

d

c a

a

b

b

(a)

(b) Gambar 5.7.2 Dua Dua graf untuk graf graf G contoh 5.7.1.

Contoh 5.7.2: Graf lengkap K n adalah suatu graf sederhana dengan n verteks dan setiap pasang verteks

dihubungkan dengan dengan sebuah edge. Derajat pada setiap verteks adalah n -1.

K1

K2

K3

K4

(a)

(b) (c) (d) Gambar 5.7.3 Graf lengkap K 1, K2, K3, K4, K5

K5 (e)

Perisalah apakah graf lengkap ( complete graph ) K1, K2, K3, K4, K5 seperti pada Gambar 5.7.3 merupakan graf planar?. Penyelesaian: Terlihat pada Gambar 5.7.3 (a), (b), dan (c) bahwa pada graf lengkap K 1, K2, K3 merupakan graf planar karena tidak ada edge-edge yang berpotongan pada ketiga graf tersebut. Sedangkan untuk graf lengkap K 4 dapat dirubah menjadi gambar graf untuk K 4 seperti Gambar 4.7.4 berikut ini.


42

Gambar 5.7.4 Representasi planar untuk graf lengkap K 4. Untuk graf lengkap K 5 bukan merupakan graf planar, ketidak-planaran suatu graf akan dibahas dibelakang melalui beberapa teorema. Sekarang kita coba untuk menghindarkan perpotongan antar edge-edge. Untuk memudahkan pembahasan edge-edge pada graf tersebut kita berilabel seperti Gambar 5.7.5 (a). e 2

e 1

e 1

e 5 e 6 e 7

e 2 e 5

e 6

e 7

e 1

e 2 e 7

e 5

e 6

e 1

e 7

e 5

e 6

e 2 e 8

e 3 e 4

e 9

e 8 e 4 e 3

e 10

(a)

e 9

e 10

e 8 e 4 e 3

e 9 e 10

(b) (c) Gambar 5.7.5 Dua bentuk graf lengkap K 5.

e 8 e 4 e 3

e 9 e 10

(d)

Edge e2 kita coba hindarkan dari berpotongan dengan edge e5 dan edge e6 . Begitu juga untuk edge e3 kita coba hindarkan dari berpotongan dengan edge e5 dan edge e8 , menghasilkan suatu gambar graf K5 Gambar 5.7.5 (b). Masih ada dua edge yang berpotongan, yaitu edge e6 dan edge e8. Kita coba edge e6 dilewatkan keluar segmen garis edge e8, bisa keluar dari segmen garis edge e8, akan tetapi akan memotong edge lain e2 atau e4, lihat gambar 5.7.5 (c) dan (d). Oleh karena itu graf lengkap K 5 tidak planar, begitu juga untuk graf lengkap K n ( dengan n ≥ 5 ) bukan merupakan graf planar.

Definisi 5.7.2 Peta Dan Wilayah Suatu Peta (map) adalah suatu suatu representasi representasi planar dari suatu suatu multigraf. Jika multigraf dari dari peta

tersebut terhubung, maka peta tersebut dikatakan terhubung. Sebuah peta membagi bidang menjadi beberapa wilayah (region). Wilayah satu dengan yang lainnya dipisahkan oleh sederetan edge-edge yang mebentuk sirkuit/cycle dalam graf tersebut. Derajat dari suatu wilayah r, deg(r), adalah panjang sirkuit yang membatasi wilayah r.


43

Representasi planar untuk graf lengkap K 4 pada Gambar 5.7.6 (a) dan (b) membagi bidang menjadi 4 wilayah. Wilayah r 1, r 2, dan r 3 adalah terbatas atau dibatasi oleh edge sekumpulan edge-edge yang membentuk sikuit/cycle, sedangkan wilayah f 4 adalah tak terbatas. Panjang sirkuit r 1, r 2, r 3, dan r 4 masing-masing adalah 3, 3, 3, dan 3. r 1 r 3

r 2

r 1 r 2

r 4

r 4

r 3

(a) (b) Gambar 5.7.6 Representasi planar K4 membagi bidang menjadi 4 wilayah.

Teorema 5.7.1. Jumlahan dari derajat semua wilayah dari suatu peta sama dengan dua kali

banyaknya banyaknya edge pada peta tersebut.

Contoh 5.7.3:

Perhatikan peta pada Gambar 5.7.7. Graf tersebut memiliki edge sebanyak 9 buah edge dan verteks sebanyak 6 buah verteks.

a

r 3

r 1

c r 2

b

d

e

r 4

f

r 5

Gambar 5.7.7. Peta tersebut terbagi kedalam wilayah dan batas wilayah berikut i ni. Wilayah r 1

Sirkuit Batas wilayah

Panjang sirkuit = der (r)

a-b-c-e-a

4

R2

b-c-d-b

3

R3

a-b-d-a

3

R4

c-d-e-c

3

R5

a-d-e-f-e-a

5 18


44

Teorema 5.7.2. Persamaan Euler

Jika e menyatakan banyaknya edge, dan n menyatakan banyaknya verteks pada suatu map, maka banyaknya wilayah wila yah ( r ) adalah r=e-n+2.

Contoh 5.7.4:

Perhatikan peta pada Gambar 5.7.6, banyaknya verteks n=4, dan e=6, maka banyaknya wilayah adalah r=6-4+2=4. Dan pada peta Gambar 5.7.7, banyaknya banyaknya wilayah wila yah adalah r=9-6+2=5. Jika G merupakan multigraf terhubung planar yang memiliki 3 verteks atau lebih, dan representasi planar dari G adalah H, maka: i.

Suatu wilayah di H mempunyai derajat 1 jika dan hanya jika batas wilayah tersebut adalah sebuah loop. Lihat wil wilayah ayah r 3 pada Gambar 5.7.8. r 3 r 1 r 2

r 5

r 4

Gambar 5.7.8 Wilayah dengan derajat 1 dan 2. ii. Suatu wilayah di H mempunyai derajat 2 jika dan hanya jika batas wilayah tersebut adalah dua multiple edge. Lihat wilayah wila yah r 5 pada Gambar 5.7.8. Selanjutnya jika G adalah suatu graf, bukan merupakan multigraf, maka setiap wilayah r i di G mempunyai derajat 3 atau lebih.

Teorema 5.7.3. Pertidaksamaan Euler

Jika G merupakan graf terhubung planar tidak punya loop dengan banyaknya verteks adalah n dan banyaknya edge e adalah dua atau lebih, maka e ≤ 3n-6. Bukti:


45

Karena graf (bukan multigraf) terhubung planar dan tidak punya loop, setiap wilayah r i mempunyai batas wilayah paling sedikit 3 edge, deg(r )≥3 , dengan i=1,2, …,r . Dan r menyatakan banyaknya wilayah i pada graf tersebut. tersebut. Atau dengan kata lain jumlahan derajat dari dari semua wilayah paling sedikit adalah 3r, sehingga didapat pertidaksamaan berikut ini. r

deg(r i )

3r

i 1

Brdasarkan teorema sebulumnya bahwa jumlahan derajat semua wilayah sama dengan 2 kali banyaknya edge. Oleh karena itu didapt: 2e ≥3r

Substitusikan persamaan Euler r=e-n+2, didapat: 2e ≥3(e-n+2)

atau e ≤3n-6

[Terbukti]

Untuk graf yang terhubung planar dan tidak punya loop, berlaku pertidaksamaan Euler. Sebagai kontraposisi dari kalimat ini bahwa: untuk suatu graf terhubung, tidak punya loop, yang tidak memenuhi pertidaksamaan Euler maka graf tersebut tidak planar. Ini bisa dipakai untuk menentukan ketidak-planaran suatu graf yang terhubung dan ti dak punya loop. Contoh 5.7.5:

Perhatikan graf lengkap K 5. Akan kita tunjukkan bahwa K 5 tidak planar. Graf ini memenuhi kriteria pada teorema 5.7.3. Banyaknya verteks n=5 dan banyaknya edge e=10, kalau kita masukkan ke pertidaksamaan Euler didapat: 10 ≤3(5)-6 atau 10 ≤9

Hal ini tidak mungkin, oleh karena itu graf K 5 tidak planar.

Teorema 5.7.4.

Jika G merupakan graf terhubung planar tidak punya loop dengan banyaknya verteks adalah n, banyaknya edge e, dan tidak memuat sirkuit dengan panjang 3 maka e ≤ 2n-4.


46

Bukti dari teorema ini mirp dengan bukti pada teorema sebelumnya, dan dipakai untuk latihan. Contoh 5.7.6:

Perhatikan permasalahan tiga rumah ( r1, r2, dan r3) dengan tiga utilitas sambungan listrik(l), air (a), dan gas ( g). Apa mungkin jalur sambungan dari 3 utilitas tersebut tidak saling berpotongan?. berpotongan?. Karena kalau saling berpotongan bisa membahayakan. Lihat Gambar 5.7.9 (a).

(a) Tiga rumah dan tiga utilitas

r1

r2

r3

g

a

l

(b) Graf untuk tiga rumah tiga utilitas Gambar 5.7.9.

Permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk graf Gambar 5.7.9 (b), apakah graf tersebut planar? Penyelesaian: Dalam graf 5.7.9 (b) terdapat verteks sebanyak n=6, edge sebanyak e=9, dan tidak memuat sirkuit dengan panjang 3 . Oleh karena itu, graf ini memenuhi kriteria pada teorema 5.7.4. Kalau kita masukkan ke dalam pertidaksamaan pada teorema 5.7.4 e ≤ 2n-4, didapat: 9 ≤ 2(6)-4 atau 9 ≤ 8

Hal ini tidak mungkin, oleh karena itu graf tersebut tidak planar.


47

Soal Latihan Graf Tak Berarah, Graf Berarah, Berar ah, Multigraf dan Graf Berbobot

1. Gambarkan graf tak berarah G=(V, E) dengan himpunan V dan E adalah: a. V={1, 2, 3, 4, 5} dan E={{1,2}, {1,4}, {2,3}, {2,5}, {3,4}} b. V={a, b, c, d, e, f } dan E={{ a,b}, {a,e}, {a,f }, }, {b,c}, {b,d }} }} 2. Gambarkan graf berarah G=(V, E) dengan himpunan V dan E adalah: a. V={1, 2, 3, 4, 5} dan E={(1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,5), (3,4), (4,5), (5,4)} b. V={a, b, c, d, e, f } dan E={(a,b), (a,e), (a,f ), ), (a,e), (b,a), (b,d ), ), (e,f )} )} c. V={Cengkareng, V={Cengkareng, Juanda, Polonia, Hasanudin, NgurahRai, Panarung} E={(Cengkareng,Juanda), E={(Cengkareng,Juanda), (Juanda,Cengkareng (Juanda,Cengkareng), ), (Cengkareng, (Cengkareng, Polonia), (Polonia, Cengkareng), (Juanda, NgurahRai), (NgurahRai, ( NgurahRai, Juanda), (Juanda, Hasanuddin), (Hasanuddin, Juanda), (NhurahRai, Hasanuddin), (Hasanuddin, (Hasanuddin, NgurahRai), (Hasanuddin, Panarung), (Panarung, ( Panarung, Hasanuddin)} 3. Perhatikan gambar graf berikut ini

a

b e

a

b

c

d

e

f

c

d

(a)

(b)

Tuliskan graf tersebut dalam bentuk G=(V, E). 4. Untuk graf pada soal nomor 3 (a), apakah a. Verteks a adjacent dengan verteks b ?. b. Verteks a adjacent dengan verteks c ?. c. Verteks a adjacent dengan verteks d ?. d. Verteks a adjacent dengan verteks e ?. Jeslakan alasannya!. 5. Untuk graf pada soal nomor 3 (b), apakah a. Edge e1 incident dengan verteks a dan b ?. b. Edge e1 incident dengan verteks b dan a ?. c. Verteks a incident dengan verteks c ?. d. Edge e1 incident dengan Edge e2 ?.


48

e. Verteks a adjacent dengan edge e1 ?. Jelaskan alasannya !. 6. Untuk graf pada soal nomor 3, hitunglah derajat setiap verteks dan bagaimana hubungan jumlahan derajat verteks dan banyaknya verteks. 7. Perhatikan gambar graf berbobot berikut ini a

b

a

b

c

d

c

d

e

f

(a)

(b)

Tuliskan graf tersebut dalam bentuk G=(V,E). 8. Tentukan derajat masuk, derajat keluar, dan derajat dari setiap verteks pada graf berikut ini. a

b

d

c

9. Dalam suatu seleksi bulu tangkis tunggal putra menggunakan sistem setengah kompetisi, Agus mengalahkan Bedu dalam dua set langsung, Bedu mengalahkan Candra dalam 3 set, Agus mengalahkan Candra dalam 2 set, Candra mengalahkan Deni dalam 2 set, Deni mengalahkan Agus dalam 3 set, dan Deni mengalahkan Bedu dalam 3 set. Gambarkan pertandingan ini dengan menggunakan graf berarah berbobot. 10. Buatlah gambaran dalam bentuk graf dari hubungan antar Kota/Kabupaten di Propinsi tempat anda berada, hubungan antar kota/kabupaten diberikan bobot yang menyatakan: menyatakan: a. Jarak dari kedua kota/kabupaten. kota/kabupaten. b. Lamanya Lamanya perjalanan dari kota/kabupaten ke kota/kabupaten lain. c. Biaya perjalanan antar kota/kabupaten. kota/kabupaten.

Lintasan dan Sirkuit

11. Untuk graf tak berarah dan tak berbobot pada gambar berikut ini


49

a

b

c

d

e

f

Carilah: a. Lintasan dari a ke d yang panjangnya masing-masing 1, 2, 3, dan 6? b. Lintasan dasar dari c ke b yang panjangnya 3? c. Lintasan sederhana dari c ke b yang panjangnya panjangnya 3? d. Sirkuit dasar dari a ke a yang panjangnya 4 ?. e. Sirkuit dasar dari a ke a yang panjangnya 7?. f.

Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 4 ?.

g. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 7?. 12. Untuk graf tak berarah dan tak berbobot pada gambar berikut ini a

b e

d

c

Carilah: a. Lintasan dari a ke d yang panjangnya masing-masing 1, 2, 3, dan 6? b. Lintasan dasar dari c ke b yang panjangnya 4? c. Lintasan sederhana dari c ke b yang panjangnya panjangnya 4? d. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 5? e. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 3? 13. Untuk graf berarah dan tak berbobot pada gambar berikut ini a

b

d

c

Carilah: a. Lintasan dari a ke d yang panjangnya masing-masing 1, 2, 3, dan 6?


50

b. Lintasan dasar dari c ke b yang panjangnya 3? c. Lintasan sederhana dari c ke b yang panjangnya panjangnya 3? d. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 4? e. Sirkuit sederhana dari a ke a yang panjangnya 4? 14. Perhatikan gambar graf berbobot berikut ini a

b

c

d

e

f

Carilah beberapa: a. Lintasan dari a ke d dan tentukan panjangnya? b. Lintasan dasar dari c ke b dan tentukan panjangnya? c. Lintasan sederhana dari c ke b dan tentukan panjangnya? panjangnya? d. Sirkuit sederhana dari a ke a dan tentukan panjangnya? e. Sirkuit sederhana dari a ke a dan tentukan panjangnya?

15. Perhatikan gambar graf berarah dan berbobot berikut ini a 4

2 7

b 3

3 c

d 6

Carilah beberapa: a. Lintasan dari a ke d dan tentukan panjangnya ?. b. Sirkuit dari a ke a dan tentukan panjangnya panjangnya ?. c. Apakah vertek u dan d terhubung kuat ?. d. Apakah graf di atas terhubung kuat ?.

Lintasan Euler dan Hamilton

16. Perhatikan graf berikut ini b d

a c

a. Dapatkan lintasan Euler ? b. Dapatkan sirkuit Euler ? c. Apakah merupakan Eulerian atau Semi Eulerian graf ?.

e


51

17. Carilah lintasan dan sirkuit Euler pada graf berikut ini. b

d

a

f e

c

18. Tunjukkan bahwa graf berikut ini mempunyai Sirkuit Hamilton.

19. Graf pada soal nomor 17, apakah mempunyai mempunyai Sirkuit Hamilton?. 20. Buatlah suatu graf yang mempunyai sifat: a. b. c. d.

Mempunyai Sirkuit Euler dan Sirkuit Hamilton. Mempunyai Sirkuit Euler dan tidak mempuyai Sirkuit Hamilton. Tidak mempunyai Sirkuit Euler dan mempunyai Sirkuit Hamilton. Tidak mempunyai Sirkuit Euler dan Sirkuit Hamilton.

Lintasan Terpendek

21. Gambar graf berikut ini mewakili hubungan antar komputer dalam suatu jaringan komputer di devisi Marketing dari sebuah perusahaan. a

2 b

5

6

d

3 c

2

4

3 7

e

f

3 g

7 5

h

Verteks mewakili sebuah komputer dan edge menyatakan jalur komunikasi, sedangkan bobot pada edge menyetakan lamanya (dalam detik) tranfer data per 1 Kbyte. Pada setiap sore hari komputer a mengirim sebuah file ke semua komputer yang lain. Dapatkan waktu tercepat pada setiap komputer.

3


52

22. Gunakan algoritma Dikjstra untuk mendapatkan lintasan terpendek dari verteks a ke vertek f pada graf berikut ini. a

b

c

d

e

f

23. Gunakan algoritma Dikjstra untuk mendapatkan lintasan terpendek dari verteks a ke vertek z pada graf berikut ini.

b

f

j

c

g

k

a

z d

h

l

e

i

m

24. Gunakan algoritma Dikjstra untuk mendapatkan lintasan terpendek dari verteks a ke setiap verteks pada graf nomor 2. 25. Gunakan algoritma Dikjstra untuk mendapatkan lintasan terpendek dari verteks a ke vertek z pada graf berikut ini. b

2

d

2 -1

a

-5

4 z

3

5

6 c

8

d

Subgraf, Graf Isomorpik

26. Tuliskan dua buah subgraf dari graf G=({a,b,c,d},{{a,b},{a,d},{b,c},{c,d}) ?. 27. Dapatkan

dua buah subgraf yang G=({1,2,3,4},{{1,2},{1,4},{2,3},{3,4}) ?.


mempunyai

verteks

{ 1,2,3,4 }

dari

graf

53

28. Dapatkan 4 subgraf yang memuat 10 verteks dari graf berikut ini.

29. Apakah graf G1 dan G2 berikut ini isomorpik ?. Berikan alasan. al asan. a. G1=({a,b,c,d},{{a,b},{a,d},{b,c},{c,d}}) dan G2=({1,2,3,4},{{1,2},{1,4},{2,3},{3,4}}) ? b. G1=({a,b,c,d,e},{{a,b},{a,d},{b,c},{c,d},{e,a}) dan G2=({1,2,3,4,5},{{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5}}) ?

30. Apakah graf G1 dan G2 berikut ini isomorpik ?. Berikan alasan. al asan. a.

G 1 1

3

G 2

a

b

d

c

a

b

d

c

4

2

b.

G 1

G 2

B C

A D

c.

G 1

G 2

d.


54

G 1

G 2

Graf Planar

31. Tunjukkan bahwa graf G=({a,b,c,d},{{a,b},{a,d},{b,c},{c,d}) merupakan graf planar? 32. Tunjukkan bahwa graf G=({a, b, c, d, e, f, g }, E ) merupakan graf planar? Dimana himpunan edge E = {{a,b}, {a,d }, }, {a,e}, {b,c}, {b ,f }, }, {c,d }, }, {c,g}, {e,f }, }, { f,g}}. 33. Apakah graf berikut ini merupakan graf planar?. Berikan alasan.

34. Apakah setiap graf planar merupakan suatu peta ?. 35. Suatu graf yang bukan multigraf biasa disebut juga graf linear. Tunjukkan bahwa graf planar linear mempunyai verteks yang berderajat tidak lebih dari 4. 36. Tunjukkan bahwa pada graf planar linear dan terhubung yang mempunyai 6 verteks dan 12 edge, wilayahnya dibatasi oleh 3 edge.


55

DAFTAR PUSTAKA:

1. GRIMALDI, R.P., “Discrete and Combinatorial Mathematics Introduction”, Addison-Wesley Addison-Wesl ey Publishing Publishi ng Co., 1989.

-

An

Applied

2. Liu, C.L., “Elements Of Discrete Mathemathics”, Mat hemathics”, McGraw-Hill, McGraw-Hill, 1986. 3. ROBERT, F.S., “Applied Combinatorics”, Prentice -Hall Inc., 1984. McGraw -Hill, 2003. 4. ROSEN, K.H., “Discrete Mathematics and Its Applications”, McGraw-Hill, 5. Seymour L., Marc L.L., “Schaum’s Outline of Theory and Problems of Discrete Mathematics”, Second Edition. McGraw-Hill, McGraw-Hill, 1997.


56


57

Teori Graf

Recommend Documents