Jenis – Jenis Graf dan Graf Bipartisi Edi Sutomo email
:
[email protected] twitter : @ed_1st
Abstrak mekalah ini membahas tentang pengklasifikasian graf serta termasuk mengupas tentang Graf Bipartisi. secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya dan bisa juga ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa poin dari pembahasan graf bipartisi suatu graf yaitu himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik di (demikian pula dengan titik – titik di ) tidak bertetangga. Kata Kunci: Jenis Graf, Graf Bipartisi
1. Pendahuluan Teori graf sebagai sub cabang dari matematika diskrit dengan objek kajian segala sesuatu
yang berbeda dan saling terpisah (lawan dari kontinu)
dipergunakan untuk menampilkan
obyek-obyek diskrit dan hubungannya.
Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan
obyek sebagai
noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara obyek
dinyatakan
dengan garis (Munir, 2003). Secara kontekstual graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis-garis yang menghubungkan obyek-obyek tersebut. Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antar objek-objek yang tidak mementingkan urutan.
2. Dasar – dasar Graf Telah diketahui bersama, secara umum terdapat 3 (tiga) komponen graf, yaitu; (1) titik (vertices) atau noktah yang merepresentasikan objek pada suatu graf, (2) sisi (edge) yaitu garis yang menunjukan menunjukan keterhubungan antar titik titik tersebut, dan (3) loop atau sebuah sisi yang menghubungkan titik pada dirinya sendiri.
Gambar 1. Graf yang memuat loop Definisi 1 Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik tidak kosong
dan himpunan garis-garis
yang dipasangkan degan
aturan tertentu dan dinotasikan dengan Contoh 1: Diberikan
dengan
dan maka penggambaran graf yang dimaksud
adalah
Gambar 2. Graf . Dua
titik
dikatakan
berhubungan
(adjacent)
jika
ada
garis
yang
menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut Titik Terasing (Isolating Point) Graf yang tidak mempunyai titik (sehingga tidak mempunyai garis) disebut graf kosong.
Jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah (Directed Graph, atau sering disingkat digraph). Jika semua garisnya tidak berarah, maka graf-nya disebut Graf Tak Berarah (undirected graph). Dalam kajian ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graf tak berarah. Definisi 2 Sisi
dikatakan menghubungkan titik
dan
.
Jika
adalah sisi pada graf , maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), dan
serta
sisi
dan
disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya,
ditulis dengan
.
Definisi 2 dapat digambarkan sebagai berikut : Gambar 3. Sisi e = (u, v). Karena
sisi di
(adjacent), sedangkan
dan
, maka serta
dan dan
disebut terhubung langsung
disebut terkait langsung (incident).
Definisi 3 Banyaknya unsur di
disebut “order” dari
dan banyaknya unsur di
dan dilambangkan dengan
disebut “size” dari
dan dilambangkan dengan
.
Definisi 3 bisa digambarkan melalui salah satu graf berikut, 𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒
𝑣
Gambar 4. Graf
dengan order 4 dan size 4.
Gambar 4 menunjukan bahwa graf dan
tersebut diperoleh dari .
,
Definisi 4 Graf
disebut subgraf dari graf
himpunan titik di di
jika himpunan titik di
dan himpunan sisi di
, atau ditulis dengan
adalah subset dari
adalah subset dari himpunan sisi dan
subgraf , maka dapat ditulis
. Jika
adalah
.
Deskripsi dari definisi 4 bisa dilihat pada gambar berikur,
Gambar 5.
subgraf .
Definisi 5 Misal
adalah graf dengan
merupakan subgraf dari adalah semua sisi di
dan
, maka
dengan himpunan titik
dan sisinya
yang tidak terkait langsung dengan
Penggambaran dari definisi 5 adalah,
Gambar 6. Penghapusan vertex pada graf . Melalui gambar
bagian
jumlah vertex maupun edge nya makin
lama makin berkurang jumlahnya. Definisi 6 Jika terdapat graf
dan
himpunan titiknya adalah
,maka
adalah subgraf
dan himpunan sisinya adalah
Definisi 6 digambarkan melalui contoh berikut,
yang .
Gambar 7. Penghapusan sisi dari Graf Gambar 7
merupakan penurunan dari gambar
dan gambar
dengan menghilang sisi
merupakan penurunan dari gambar
menghilangkan sisi
dengan
.
3. Beberapa Jenis Graf Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Berikut ini adalah jenis graf berdasarkan ada tidaknya sisi yang paralel atau loop. i. Graf Sederhana (simple graph), graf ini merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung sisi ganda ataupun loop. Contoh gambar graf sederhana adalah, 𝑣 𝑒 𝑣
𝑒 𝑒
𝑣
𝑣
𝑒
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒 𝑒5 𝑒
𝑣 𝑒 𝑣
Gambar 8. contoh graf sederhana. ii. Graf tak sederhana (unsimple graph)¸graf tak sederhana merupakan inverse dari graf sederhana, sehingga setiap graf yang memiliki sisi ganda dan atau loop masuk dalam kategori graf tak sederhana. Secara umum, graf tak sederhana dibagi dalam dua kategori, yaitu:
a. graf ganda (multigraph), yaitu graf yang mengandung lebih dari satu sisi untuk dua titik yang sama. Salah satu representasi graf ganda ditunjukan oleh gambar 9 dibawah ini, 𝑣 𝑒
𝑒
𝑒
𝑣
𝑣
𝑒 𝑒7
𝑒6
𝑒5 𝑣
gambar 9. graf ganda b. graf semu (pseudograph), graf ini merupakan graf yang memiliki loop, termasuk juga graf yang memiliki loop dan sisi ganda. Salah satu representasi dari graf semu ditunjukan oleh gambar 10 dibawah ini, 𝑣 𝑒
𝑒
𝑒
𝑣
𝑒 𝑒7
𝑒6
𝑣
𝑒5 𝑣
Gambar 10. Graf semu Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya. Graf ini dikelompokan dalam dua kategori, yaitu: a. graf berarah (directed graph atau digraph) yaitu graf yang setiap sisinya memiliki arah, pada graf berarah kondisi
,
b. graf tak berarah (undirected graph) merupakan graf yang setiap sisinya tak memiliki arah. Bila ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf, secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu:
a. graf berhingga (limited graph), yaitu graf yang jumlah titiknya berhingga. Gambar 1 sampai gambar 10 diatas merupakan representasi dari graf berhingga. b. graf
tak berhingga (unlimited graph), merupakan graf
titiknya
yang jumlah
tak berhingga. Gambar dibawah ini merepresentasikan graf tak
berhingga,
Gambar 11. Graf tak berhingga. 4. Beberapa Graf Sederhana yang Khusus Selain pengelompokan graf seperti diatas, terdapat juga graf sederhana yang khusus. Beberapa graph sederhana khusus yang sering dijumpai dan banyak didiskusikan adalah, a. Graf Lengkap (Complete Graph) Graph lengkap merupakan graph sederhana yang setiap titiknya terhubung ke setiap titik yang lain. Graph lengkap dengan dinotasikan dengan
. Setiap titik
pada graf lengkap yang terdiri dari
berderajat
buah titik
. Jumlah sisi
buah titik adalah
. Contoh
graf lengkap direpresentasikan oleh gambar berikut,
Gambar 11. Graf Lengkap. b. Graf Kosong Graf kosong pada
titik yang dinotasikan dengan
merupakan graf
yang himpunan sisi–sisinya merupakan himpunan kosong. Dengan
kata lain graf yang tidak memiliki sisi sehingga setiap titik tidak saling terhubung. Contoh graf kosong direpresentasikan oleh gambar berikut;
Gambar 12. Graf Kosong c. Graf Komplemen Apabila terdapat graf
, maka komplemen dari
yang dinotasikan
oleh ̅ merupakan graf yang titiknya adalah titik dari graf sisinya bukanlah sisi dari graf
atau ditulis dengan
, namun
̅ komplemen
. Perhatikan gambar dibawah ini,
Gambar 13. Graf
̅ dan komplemennya
d. Graf Lingkaran (cycles) Graph lingakaran merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graph lingkaran dengan dengan
. Jika titik–titik pada
buah titik dilambangkan
adalah
maka sisi-
sisinya adalah
dan
Gambar 14. Graf lingkaran
7.
e. Graf Teratur (Reguler Graph) Syarat dari graf teratur adalah setiap titiknya memiliki derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik adalah graf teratur berderajat
maka dikatakan sebagai
. Jumlah sisi pada graph teratur
berderajat
dengan
buah titik adalah
graf reguler dengan
. Graf kosong merupakan
. Gambar berikut merupakan contoh dari
graf teratur,
Gambar 15. Graf teratur. 5. Graf Bipartisi(Bipartisie Graph) Suatu graf
yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua
himpunan bagian misal
dan
sedemikian sehingga setiap sisi di dalam
menghubungkan sebuah titik di
ke sebuah titik di
dan dinotasikan dengan
merupakan graf Bipartisi
. Dengan kata lain, setiap pasang titik di
(demikian pula dengan titik – titik di
) tidak bertetangga. Gambar 16
merupakan contoh graf Bipartisi,
Gambar 16. Graf Bipartisi. Apabila setiap titik di
terkoneksi dengan semua simpul di disebut
sebagai
(complete Bipartisie graph), dinotasikan dengan Bipartisi lengkap adalah
.
graph
Bipartisi
, maka lengkap
. Jumlah sisi pada graf
Teorema 1 Graf
jika dan hanya jika tidak terdapat sikel ganjil (odd cycles)
Bukti Harus ditunjukan bahwa terdapat sikel ganjil bukanlah graf bipartit. Misalkan
merupakan titik dari sikel ganjil
pada
. Jika
dari
atau
merupakan graf bipartisi, maka , maka
karena merupakan tetangga dari
karena merupakan tetangga dari diperoleh
akan menjadi bagian
. Akan tetapi apabia
dan
dan seterusnya hingga dan
saling bertetangga
hal ini menimbulkan kontradiksi dan merupakan dirinya sendiri, sehingga partisi yang dilakukan tidak valid untuk graf . Selanjutnya, kita tetapkan sebuah partisi dari dari
dengan aturan :
1. 2. Selanjutnya perlu ditunjukan bahwa Andaikan
dan
memang partisi dari
adalah dua titik di , sehingga
menjadi lintasan terpendek
,
menjadi titik temu pertama dari
. Jelas bahwa sejak
adalah lintasan – lintasan terpendek, maka bagian lintasan terpendek Andaikan dari dan
dan
dan . Karena
. Misalkan
menjadi lintasan terpendek dan
.
dan dan
juga merupakan
. Faktanya mereka memiliki panjang yang sama. berturut – turut adalah bagian dan
dan
memiliki panjang yang sama menyebabkan
juga memiliki kesamaan yang sama. maka tidak ada dua titik di
yang bertetangga. Begitu juga di , tidak terdapat dua titik yang saling bertetangga. Maka
memang sebuah partisi di
ini merupakan contoh graf yang bisa dipartisi,
. Gambar dibawah
Gambar 17. Graf yang bisa dipartisi. Graf
diatas tidak memiliki cycle ganjil sehingga bisa dibipartisi
menjadi graf bipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi yang dimilikinya sebelum dibipartisi. Sebuah graf terhubung memiliki bipartisi yang unik. Berikut adalah gambar graf bipartisi dari graf
Gambar 18. Gambar bipartisi graf
pada gambar 17 diatas.
dari (bentuk lain dari gambar 17).
Terlihat bahwa graf tersebut bukanlah graf bipartisi komplit sehingga graf tersebut tidak dapat dijadikan biclique subgraf dari graf itu sendiri. Jika suatu graf tidak dapat dibipartisi dengan tetap mempertahankan semua titik dan sisinya maka graf tersebut bukanlah graf bipartisi tapi hanya akan memiliki subgraf bipartisi saja.
Gambar 19. Biclique dari subgraf .
Graf G pada gambar 19 memiliki cycle dengan panjang ganjil maka graf tersebut tidak dapat dipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi didalamnya. Dengan kata lain graf tersebut bukanlah graf bipartisi. Untuk graf yang ada disampingnya tersebut merupakan sebuah subgraf bipartisi komplit (biclique) dengan
dan
. Sebuah subgraf
biclique dapat disebut subgraf biclique maksimal jika kita tidak mungkin menambahkan sisi lagi ke himpunan sisi 〈
〉, yang berarti subgraf
tersebut mengandung tepat semua sisi yang berawal di
dan berakhir di .
Definisi 7 Sebuah bipartisi
disebut biclique jika untuk setiap
terdapat sebuah sisi antara
dan
{
dan , yaitu
}. 5.1 Subgraf Bipartisi Sebuah graf sisi
terdiri dari himpunan titik
dengan
. Diasumsikan
merupakan sebuah graf tak
berarah dan tanpa lup, yaitu tidak terdapat pasangan sisi tak berurut. Sebuah graf
dan himpunan
dan setiap 〈
kurung siku adalah sebuah subgraf dari graf
adalah
〉 yang dilambangkan dengan jika dan hanya jika
dan
. Himpunan sisi himpunan titik
dan
dari biclique
, maka kita dapat mengabaikan himpunan sisi dan
menunjukkan sebuah biclique sebuah graf tak berarah, sisi-sisi antara
dan
dapat ditentukan dengan dua
sebagai
. Diberikan
dan adalah dua subset dari
adalah
. Jika
dan semua
membentuk sebuah biclique subgraf dari
, maka
dan
dikatakan membentuk sebuah biclique subgraf dari . Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap subset
dari
,
dan
membentuk sebuah biclique subgraf dari .
Definisi 8 Sebuah graf
〈
biclique subgraf dari
〉 adalah maksimal biclique subgraf jika sedemikian sehingga
dan
adalah adalah
maksimal dengan artian bahwa tidak terdapat subgraf bipartisi komplit lain
〈
〉 dari
dengan
dan
sedemikian sehingga
dan
6. Penutup Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya dan bisa juga ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa titik tekan dari graf bipartisi suatu graf
yaitu
himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik di
(demikian pula dengan titik – titik di ) tidak bertetangga.
7. Referensi Harris, John M, Hirst, Jeffry L, Mossinghoff, Michael J. 2008. Combinatorics and Gra[h Theory (Second Edition). Springer Science+Business Media, LLC Godsil C and Gordon Royle. 2000. Algebraic Graph Theory. Graduate Texts in Mathematics 207. Springer. Asratian A. S, Tristan M. J. Denley and Roland Haggkvist. 1998. “Bipartite Graphs and Their Application”, Cambridge Tracts inMathematics 131.
