MATCHING Graf

KELOMPOK: INAYATUL AINI

JAUHARI

0607258 0607096

MILKI M. FAISAL

0607212

PIPIN FITRIADI

0607173

RAIFA MUKTI

0607564

TEORI GRAF MATCHING Definisi: Subset M dalam E disebut Matching di G jika elemen-elemennya adalah sisi

yang bukan loop dan setiap dua sisinya tidak saling ajasen di G. Ujung-ujung sisi di M dikatakan Matched di bawah M.

Sebuah Matching M Saturates terhadap titik v, dan v disebut M-saturated, jika ada sisi dalam M insiden dengan v. Jika tidak ada, v disebut M-unsaturated . Jika setiap titik dalam G M-saturated, maka Matching M Sempurna. M adalah Maximum Matching jika G tidak memiliki Matching M’ dengan |M’| >|M|, sehingga setiap Matching Sempurna adalah Maximum Matching.

Misal M Matching di G, sebuah lintasan M-alternating di G adalah lintasan yang sisi-sisinya bergantian di E \ M dan M. Contoh: Lintasan v5v8v1v7v6 di gambar (Maximum Matching) adalah sebuah lintasan

M-alternating. Lintasan M-augmenting adalah lintasan M-alternating yang pangkal dan ujungnya M-unsaturated.

Teorema 5.1( Berge,

1957)

Matching M di G adalah Maximum Matching jika hanya jika G tidak memuat lintasan M-augmenting.

Bukti

(→) Misalkan M Matching di G, dan misalkan bahwa G memuat lintasan Maugmenting v0v1 . . . v2m+1. Definisikan M’ ⊆ E dengan M’=(M\{ v1v2, v3v4, . . ., v 2m-1v2m}) ∪ { v0v1, v2v3, . . ., v 2mv2m+1} Maka M’ adalah Matching di G, dan |M’|=|M|+1. Sehingga M bukan Maximum Matching. (←) Misalkan M bukan Maximum Matching, dan misalkan M’ Maximum Matching di G, maka |M’|>|M|. H=G[M ∆ M’] dimana M ∆ M’ menotasikan perbedaan simetris M dan M’. Setiap titik dalam H memiliki derajat 1 atau 2 di H, karena setiap titik hanya bisa  berinsiden dengan paling banyak 1 sisi dalam M, dan 1 sisi dalam M’. Jadi setiap komponen dalam H adalah siklus genap dengan sisi-sisi yang bergantian di M dan M’, atau lintasan dengan sisi-sisi yang bergantian di M dan M’. H memuat lebih banyak sisi dalam M’ daripada M, dan terdapat komponen lintasan P dalam H yang sisi awal dan akhirnya dalam M’. Dikarenakan pangkal dan ujung lintasan P merupakan M’-saturated di H, maka pangkal dan ujung tersebut Munsaturated di G. sehingga P adalah lintasan M-augmenting di G.