MODUL TEORI GRAF
Kode / SKS
: 247H1203 / 3 SKS
Disajikan pada
: Semester IV
Prasyarat
: Matematika Diskrit
!j!a !j!an n Ins Instr! tr!si sion ona" a" #m!m #m!m
: Ma$a Ma$asi sis% s%a a mam mamp! p! memo memode de"k "kan an
masa"a$ nyata nyata keda"am mode" &ra' serta men&eta$!i konsep keterat!ran da"am ketidakterat!ran( Dis!s!n o"e$
: Dr( Hasma%ati) M(Si
Pro&ram St!di
: Matematika
*!r!san
: Matematika
+a$!"tas
: MIP,
Istit!si
: #ni-ersitas Hasan!ddin
.e'erensi : 1( ary $artran $artrand) d) rtr!d rtr!d .( e""erm e""ermann) ann) 13) 13) Applied Applied and algorithmic Graph Theory ) M5.,6HI88( M5.,6HI88( 2( .ein$ ein$a ard Diest ieste" e" 2000 2000) ) rap$ rap$ $eor $eory y: rad! rad!s ste e9ts 9ts In Mat$emati5s) Sprin&er( 3( 6atar! Mayeda 172) rap$ $eory) $eory) 6I8;I<.S 6I8;I<.SI<( I<( 4( S!m= S!m=er er "ain "ainny nya( a(
1
Minggu I
Pertemuan Ke ,(
: 1 dan 2 (150 menit
!j!an Intr!ksiona" Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a Ma$asis%a men&eta$!i !nt!k !nt!k apa dan men&apa =e"ajar eori eori ra'
>(
Pokok >a$asan
: Kontra Pem=e"ajara jaran n
(
S!= S!= Poko Pokok k >a$a >a$asa san n
: Pen& Pen&an anta tar) r) si"a si"a=! =!s) s) dan dan Pend Penda$ a$!" !"!a !an n
Penda!u"uan
Pada ta$!n 1?3@) 8eon$ard !"er mem=!ktikan =a$%a perja"anan di kota Koni&s Koni&s=er =er& & den&a den&an n syara syaratt me"a"! me"a"!ii setiap setiap jem=at jem=atan an tepat tepat sat! sat! ka"i) ka"i) tidak tidak dapat dapat di"aksana di"aksanakan( kan( Da"am Da"am pem=!ktia pem=!ktianny nnya a !"er !"er menyeder$ menyeder$anak anakan an sit!asi sit!asi jem=atan jem=atan Koni&s=er& it! menjadi s!at! dia&ram seperti pada am=ar 1(
Gambar 1
>erkat pekerjaan !"er yan& dii"$ami me"a"!i persoa"an jem=atan Koni&s=er& it!) maka m!n5!""a$ s!at! 5a=an& Matematika yan& 5!k!p pentin&) yan& dikena" den&an nama eori rap$ rap$ $eory(
2
Minggu I
Pertemuan Ke ,(
: 1 dan 2 (150 menit
!j!an Intr!ksiona" Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a Ma$asis%a men&eta$!i !nt!k !nt!k apa dan men&apa =e"ajar eori eori ra'
>(
Pokok >a$asan
: Kontra Pem=e"ajara jaran n
(
S!= S!= Poko Pokok k >a$a >a$asa san n
: Pen& Pen&an anta tar) r) si"a si"a=! =!s) s) dan dan Pend Penda$ a$!" !"!a !an n
Penda!u"uan
Pada ta$!n 1?3@) 8eon$ard !"er mem=!ktikan =a$%a perja"anan di kota Koni&s Koni&s=er =er& & den&a den&an n syara syaratt me"a"! me"a"!ii setiap setiap jem=at jem=atan an tepat tepat sat! sat! ka"i) ka"i) tidak tidak dapat dapat di"aksana di"aksanakan( kan( Da"am Da"am pem=!ktia pem=!ktianny nnya a !"er !"er menyeder$ menyeder$anak anakan an sit!asi sit!asi jem=atan jem=atan Koni&s=er& it! menjadi s!at! dia&ram seperti pada am=ar 1(
Gambar 1
>erkat pekerjaan !"er yan& dii"$ami me"a"!i persoa"an jem=atan Koni&s=er& it!) maka m!n5!""a$ s!at! 5a=an& Matematika yan& 5!k!p pentin&) yan& dikena" den&an nama eori rap$ rap$ $eory(
2
eory rap$ s!da$ =anyak =erkem=an& dan memi"iki se&i terapan di =anyak =idan& i"m!) misa"nya di =idan& +isika) Kimia) I"m! Kom!nikasi) .ekayasa "istrik) enetika) dan "ain"ain( eori rap$ j!&a erat kaitannya den&an =e=erapa 5a=an& Matema Matematik tika) a) antar antara a "ain "ain A teory teory Matrik Matriks) s) ,na"is ,na"isa a
Sa"a$ Sa"a$ sat! sat! persoa persoa"an "an da"am da"am eori rap$ rap$ ada"a ada"a$ $ men&$i men&$it!n t!n& & =any =anyakny aknya a rap$ yan& tidak isomorp$ik) yan& dise=!t Enumerasi ( n!meration( n!meration( K$!s!s !nt!k &ra' po$on dapat di"ak!kan di"ak!kan den&an den&an men&ap"ikasikan men&ap"ikasikan Teorema Cayley .
Persoa"an "ain ada"a$ men&$it!n& =anyaknya pohon pohon perent perentang ang dari &rap$ "en&kap Kp dan pohon dan pohon perentang spaninnin& spaninnin& tree dari se=aran& &rap$ ter$!=!n& seder$ana( Po$on perentan& dari &rap$ "en&kap K p ternyata ada kaitannya den&an po$on =er"a=e" yan& tidak isomorp$ik( Karena it! =anyaknya po$on perentan& dari s!at! &rap$ "en&kap Kp dapat dapat di$it!n& di$it!n& den&an den&an eorema ay"ey ay"ey)) sedan& sedan& po$on po$on perentan& dari &rap$ te$!=!n& seder$ana dapat di$it!n& den&an Teorema Matriks Pohon Matri9ree $eorem(
Pen&ertian dan si'atsi'at dasar yan& seder$ana dari s!at! &rap$) =erik!t teorema) teorema) dan pen&ertia pen&ertian n tentan& tentan& derajat) derajat) isomorp$ik isomorp$ik)) s!=&rap$) s!=&rap$) serta =e=erapa =e=erapa &rap$ k$!s!s di!raikan pada pem=a$asan =erik!t(
3
Minggu II#III
Pertemuan Ke
: $#% ($00 menit
,( !j!an Intr!ksiona" Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a Ma$asis%a men&in&at kem=a"i =e=erapa =e=erapa de'inisi dan pen&ertian dasar yan& ada da"am teori &ra' >( Pokok Pokok >a$asan >a$asan
: Konsep Konsep dasar dasar &ra'
( S!= Pokok Pokok >a$asan >a$asan
: ra') s!=&ra') s!=&ra') derajat derajat dan isomor'isma isomor'isma
K&n'e Da'ar Gra) De'inisi &ra' dan !ns!rB!ns!r dari &ra' akan dis!s!n den&an men&&!nakan =a$asa $imp!nan( $imp!nan( Karena it! se=e"!m se=e"!m sampai pada de'inisi de'inisi akan dije"askan dije"askan syarat syarat dari s!at! $imp!nan( Da"am pen&ertian $imp!nan disyaratkan =a$%a setiap e"emennya $anya m!n5!" sat! ka"i saja( De)ini'i 1 ra' ra' G ada"a$ ada"a$ pasan&an pasan&an V G, X G, , diman dimana a V G ada"a$ $imp!nan =er$in&&a) yan& e"emene"emennya dise=!t titik erte! erte! ) ) dan X dan X G ada"a$ $imp!nan pasan&an pasan&an pasan&an tak =er!r!t dari e"emene"emen e"emene"emen V G yan& =er=eda) yan& dise=!t sisi edge( edge( >erdasarkan de'inisi ini) V G dise=!t $imp!nan $imp!nan titik dan X G dise=!t $imp!nan sisi( #nt! #nt!k k "e=i "e=i$ $ mema mema$a $ami mi De'i De'ini nisi si 1 di=e di=erik rikan an 5ont 5onto$ o$ sepe sepert rtii =erik =erik!t !t(( Misa Misa"k "kan an di=erikan V(G" # Cu, ,$ ,% dan X dan X G terdiri dari pasan&anpasan&anu, pasan&anpasan&anu, , ,$ ,$ , u,$ , dan $,% ) ) ata! X G # Cu, Cu, ), ),$ $ , u,$ , $,% ( ( Maka &am=ar &am=ar &ra' dari G seperti pada am=ar 1(
4
u z
G:
w v
Gambar 1
e"a$ di de'inisika de'inisikan n =a$%a =a$%a &ra' terdiri dari $imp!nan titik V(G" V(G" dan $imp!nan sisi X G". Masin&mas Masin&masin& in& pasan&an pasan&an
X E u, da"am X(G" ada"a a"a$ r!s! r!s!k k dari ari G(
>anyakny >anyaknya a titik simp!" dari G dinyatakan den&a p , dan =anyakny =anyaknya a r!s!k r!s!k dari G dinyatakan den&an &. S!at! &ra' G den&an p den&an p titik simp!") dise=!t &ra' =er"a=e" orde p) =i"amana masin&
masin& titiknya memp!nyai nama yan& =er"ainan) katakan"a$ ata! di=eri sat! =i"an&an =!"at positi' yan& =er=eda dari $imp!nan C1)2)3) F ) p ) p( ( #nt!k memper"an5ar !raian tentan& &ra') $!=!n&an antara d!a titik) antara d!a sisi) dan dan anta antara ra titi titik k dan dan simp simp!" !" di=e di=eri ri nama nama tert terten ent! t!(( H!=! H!=!n& n&an an$ $!= !=!n !n&a &an n it! it! dide'inisikan se=a&ai =erik!t ( De)ini'i 2 Misa"kan G Misa"kan G ada"a$ ada"a$ s!at! &ra'( itik i i, , ' V G dan sisi ! sisi !
X G(
*ika ! *ika ! # i i ) maka dikatakan =a$%a : ' 1( itik i i =ertetan&&aad'acent den&an titik ' ( =ertetan&&aad'acent 2( sisi ! terkaitincident terkaitincident den&an titik" i i ( ( Demikian p!"a !nt!k titik ' . .
5
Misa"kan ! , ! ) ) dan ! * ada"a$ r!s!k dari s!at! &ra' G dan ada"a$ titik simp!"nya( *ika ! , ! ), dan ! * terkait den&an simp!" ) maka r!s!k ! ) ! )) dan ! * dikatakan =ertetan&&a( v
1
v
4
x1
x2 x4
v
2
x
3
v
3
Gambar 2
Simp!" , )) dan * ada"a$ simp!" yan& =ertetan&&a( Sedan&kan dan + ada"a$ simp!" yan& tidak =ertetan&&a( .!s!kr!s!k yan& =ertetan&&a ada"a$ r!s!k ! *, ! ) , dan ! +) dan terkait den&an simp!" *.
De)ini'i $ D!a &ra' H E VH)GH dan E V)G( ra' H dise=!t s!=&ra' dari ) jik V
V dan GH
G( *ika VH E V) maka H dikatakan s!=&ra'
perentan& dari ( #nt!k "e=i$ mema$ami de'inisi di=erikan am=ar 3( ra' G dan G) ada"a$ s!=&ra' dari G(
G
G :
G :
1
2
Gambar 3
u-gra maksimal H dari &ra' ada"a$ s!=&ra' yan& memen!$i !nt!k setiap sisi 6
e∈ H dan -∈VH =er"ak! e terkait den&an - di H jika $anya jika e terkait den&an - di ( S!=&ra' e ada"a$ s!=&ra' maksima" den&an $imp!nan titik V dan $imp!nan sisi Ce( Sedan&kan s!=&ra' - ada"a$ s!=&ra' maksima" dari den&an $imp!nan titik VC- dan $imp!nan sisi C-!: ! ∈V( #nt!k sem=aran& $imp!nan titik simp!" S) S
V) s!=&ra' terind!ksi [S] ada"a$
s!=&ra' maksima" dari den&an $imp!nan titik S( Karena it! d!a titik =ertetan&&a pada [S] jia $anya jika ked!a titik terse=!t =ertetan&&a di ( onto$ s!=&ra' terind!ksi dari pada am=ar 3 ada"a$ 1(
/alan %a"k pada s!at! &ra' ada"a$ =arisan titik simp!" dan r!s!k: -1) e1) -2) e2) ((() en1) -n yan& dim!"ai den&an s!at! titik simp!" dan diak$iri o"e$ s!at! titik simp!" p!"a den&an setiap r!s!k terkait den&an titik yan& ada di kiri dan kanannya(
*&a"#*&a" 1(
Per$atikan &ra' G =erik!t(
G:
Dari &ra' ) H) dan =erik!t manaka$ yan& mer!pakan s!=&ra' dari G(
:
H:
:
2( Misa"kan V E C1) 2) 3) 4) dan EC12) 13) 1) 2) 23( am=ar &ra' ( 7
3( Diketa$!i &ra' =erik!t( ent!kan V dan ( 1
2
:
4 3
4( Misa"kan SEC2) 3) 4) 7) 11) 13( am=ar"a$ &ra' den&an $imp!nan titik S
∈ S( dan $imp!nan sisi memen!$i ij ∈ jika ij∈S dan ij
Dera+at Da"am s!at! &ra' terdapat =anyak parameter yan& =er$!=!n&an den&an se=!a$ &ra' G( Men&eta$!i ni"aini"ai dari parameterparameter terse=!t dapat mem=erikan in'ormasi men&enai &ra' G( De)ini'i $, Derajat s!at! simp!" i da"am &ra' G, di"am=an&kan 0 d i 1, ada"a$ =anyaknya r!s!k !
X G yan& terkait den&an simp!" i.
Simp!" s!at! &ra' yan& =erderajat no" dise=!t simp!" terasin& dan &ra' yan& $anya terdiri dari sat! simp!" dise=!t &ra' tri-ia"( Sedan& simp!" yan& derajatnya sat! dise=!t simp!" termina"( ra' pada am=ar 1) memi"iki sat! simp!" yan& =erderajat sat! yait! simp!" %, dan sat! simp!" yan& =erderajat ti&a yait! simp!" $, serta d!a simp!" =erderajat d!a yait! simp!" u dan .
Te&rema 1 *!m"a$ derajat simp!" da"am s!at! &ra' G ada"a$ d!a ka"i =anyaknya r!s!k ata! 8
-u.ti, Misa"kan &ra' G terdiri sat! r!s!k) =erarti G memi"iki d!a simp!" yan& masin& masin& =erderajat sat!) se$in&&a j!m"a$ derajat simp!" da"am G ada"a$ d!a( Karena setiap r!s!k men&$!=!n&kan d!a simp!") maka =anyaknya r!s!k akan menam=a$ j!m"a$ derajat simp!" da"am G ada"a$ d!a( Ini =erarti j!m"a$ derajat simp!" da"am G ada"a$ d!a ka"i j!m"a$ r!s!k(
*ika sem!a titik dari &ra' memp!nyai derajat yan& sama maka dise=!t gra reguler ( ra' =erik!t ada"a$ &ra' re&!"er =erore 3(
I'&m&r)i., D!a &ra' V(G ",X(G " dan V(G) ",X(G) "( S!at! pemetaan sat!sat! dari V(G " ke da"am V(G) " dikatakan isomorphisme dari V(G ",X(G " keda"am
V(G) ",X(G) ") jika !nt!k masin&masin& pasan&an i , ' V(G) i , ' X(G, maka
9
D!a &ra' 1 dan 2
dikatakan isomorphik ) jika ada
isomorphisme antara 1 dan 2( onto$ &ra' isomorphik di=erikan pada am=ar 4(
V
1
V
2
V
u
u
3
5
1
G2:
G1:
u
u
6
2
V
4
V
5
u
u
V
3
4
6
Gambar 4
Dari am=ar 4) 1 dan 2 dikatakan isomorphik karena :
K&m"emen, ra' 2 dise=!t komplement dari &ra' G =i"a V 2 #V G dan u ∈ E 2 jika dan $anya jika u ∉ E G( Komp"emen dari &ra' G dinotasikan den&an
G
(
/&nt&!, Per$atikan &ra' den&an 4 titik =erik!t den&an komp"emennya
:
:
am=ar
*ika pada s!at! &ra' terdapat d!a titik yan& tidak di$!=!n&kan o"e$ s!at! titik) maka &ra' terse=!t dise=!t &ra' tak ter$!=!n&( ,ki=atnya &ra' terse=!t mem!at s!=&ra' 10
yan& terpisa$kan sat! sama "ain( S!=&ra' terhu-ung maksimal pada &ra' dise=!t komponen( Se=a&ai 5onto$ dapat di"i$at pada &am=ar a =erik!t(
:
am=ar a
ra' pada &am=ar a memp!nyai d!a komponen( Dapat diperiksa =a$%a s!=&ra' sik"!s den&an ti&a titik simp!" 3 =!kan komponen dari di atas(
*&a"#*&a"
1( Konstr!ksi s!at! &ra' =erorde yan& titiktitiknya =erderajat 1) 2) 2) 3) 4( >erapa !k!ran dari &ra' terse=!t( 2( ,5o men&!ndan& temannya !nt!k =erpesta di r!ma$nya( Ketika a5ara pesta =er"an&s!n&) ,5o =ertanya kepada ke "ima temannya terse=!t J >erapa =anyak oran& yan& mereka kena" pada pesta mereka it! J Masin& masin& temannya it! mem=erikan ja%a=an yan& =er=eda( ,paka$ it! m!n&kin 3( Misa"kan m dan n ada"a$ =i"an&an as"i( !nj!kkan =a$%a tidak ada &ra' yan& memp!nyai m titik =erderajat &enap dan n titik =erderajat &anji"( 4( >erikan d!a &ra' 3re&!"er =erorde @ dan =er!k!ran yan& tidak isomor'ik(
11
( am=ar sem!a &ra' nonisomor'ik =erorde 3( @( >erikan s!at! &ra' G yan& =erorde yan& memen!$i G
≅
G
.
7( erdapat ti&a &ra' re&!"er =erorde ) dan de"apan &ra' re&!"er =erorde @( am=arkan sem!a &ra' terse=!t( ?( !nj!kkan =a$%a d!a &ra' G1 dan G2 ada"a$ isomor'ik jika $anya jika komp"emennya isomor'ik( ( an=ar sem!a &ra' 4re&!"er =erorde 7 yan& tidak isomor'ik( 10( !nj!kkan =a$%a ked!a &ra' =erik!t tidak isomor'ik(
G
:
1
G
:
2
11( am=arkan komp"emen dari masin&masin& &ra' pada soa" no( 7( ,paka$ 5omp"ement dari masin&masin& &ra' terse=!t isomor'ik 12( !nj!kkan =a$%a jika S ada"a$ $imp!nan &ra' =erorde 4) maka S mem!at pa"in& sedikit ti&a &ra' yan& isomor'ik( 13( ent!kan s!at! &ra' yan& =erorde @ dan =er!k!ran 7 yan& tidak mem!at s!at! s!=&ra' yan& isomor'ik den&an C 4( 14( erdapat d!a &ra' pada &am=ar =erik!t yan& isomor'ik( !nj!kkan ked!a &ra' terse=!t dan =!ktikan ke=enarannya(
12
Minggu I
Pertemuan Ke
: # (150 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a mamp! mem=edakan operasi pada $imp!nan dan sistem =i"an&an den&an operasi da"am &ra' >( Pokok >a$asan
: perasi da"am &ra'
( S!= Pokok >a$asan
: ra' &a=!n&an) &ra' j!m"a$) dan &ra' ka"i
Oera'i Da"am Gra) erdapat =e=erapa 5ara !nt!k mempero"e$ &ra' =ar! den&an me"ak!kan s!at! operasi ter$adap d!a &ra'( perasi terse=!t ada"a$ &a=!n&an) tam=a$ dan perka"ian( Gra) Ga3ungan4 +um"a! dan er.a"ian
13
Misa"kan di=erikan d!a &ra' yan& sa"in& "epas dan H( Gra ga-ungan ∪H ada"a$ &ra' =ar! den&an $imp!nan titik V ∪HE V ∪VH dan $imp!nan sisi ∪HE ∪H( Gra 'umlah H ada"a$ &ra' =ar! den&an $imp!nan titik VHE V
∪VH dan $imp!nan sisi HE ∪H∪C!-: !∈V) -∈VH ( Sedan&kan gra kali 9H ada"a$ &ra' den&an $imp!nan titik V9HE V9VH yait! setiap titik di 9H ada"a$ pasan&an !)-) den&an !
∈V dan -∈VH( D!a titik 9)y dan s)r
=ertetan&&a di 9H jika 9Es dan yr ∈H ata! yEr dan 9s∈( /&nt&!, Di=erikan &ra' P2 dan P3 =erik!t(
P2:
P3
ra' &a=!n&an ada"a$ P2∪P3 :
!
-1
2
3
ra' j!m"a$ ada"a$
P2P3 :
Gra) .a"i P29P3 ada"a$
!)1
-)1
!)2
-)2
14
!)3
-)3
*&a"#*&a" 1.
am=ar"a$ &ra' P2∪K3) P2K3) dan P2 9 K3
2.
am=ar"a$ &ra' 3P2∪2K3∪24 den&an K3 dan 4 ada"a$ seperti =erik!t(
K3:
4
Minggu #I
Pertemuan Ke
: #12 ($00 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a men&ena" =e=erapa &ra' k$!s!s >( Pokok >a$asan
: >e=erapa jenis &ra'
( S!= Pokok >a$asan
: 8intasan) sik"!s) po$on) &ra' "en&kap) =intan&)
roda) &ra' =ipartit) dan "ain"ain(
-e3eraa 6eni' Gra) Pada s!==a= ini akan di=a$as =e=erapa jenis &ra') diantaranya ada"a$ &ra' "intasan) &ra' sik"!s) &ra' po$on) &ra' =intan& dan &ra' roda( Gra) Linta'an De)eni'i % 15
ra' "intasan den&an n 3 titik ada"a$ &ra' yan& titiktitiknya dapat di!r!tkan da"am s!at! =arisan u,u) ,...,un
sedemikian se$in&&a E P #Cui ,ui45 i # ,...,n6( ra'
"intasan den&an n titik di notasikan den&an P n( onto$ &ra' "intasan di=erikan pada &am=ar 2((
v
v2
v4
3
v5
v
... v
1
n
Gambar 2.5
Gra) *i."u' De)ini'i *ika P n 5# , ), ..., n ada"a$ s!at! &ra' "intasan =erorde n dan n 3 *, maka &ra' C n 5# P n 4 C , ) dise=!t sik"!s =erorde n. Panjan& P n ada"a$ n6, yait! =anyaknya sisi pada P n dan panjan& sik"!s C n ada"a$ n. ra' sik"!s !nt!k n titik dinotasikan den&an C n ( onto$ &ra' sik"!s di=erikan pada &am=ar 2(@.
v
v2
3
v4
v
5
... Panjan& s!at! "intasan ada"a$ =anyaknya sisi yan& ada pada "intasan terse=!t( v vn
1
Pada s!at! &ra' yan& mem!at sik"!s tent!"a$ ada yan& memp!nyai panjan& ter=esar dan ada yan& terke5i"( Panjan& Gambar sik"!s 2.6 terke5i" dise=!t &irt dan dinyatakan den&an g dan panjan& sik"!s ter=esar dise=!t Ke"i"in& 5ir5!m'eren5e pada &ra' dinyatakan den&an c( 16
:
am=ar 2(@a
ra' pada &am=ar 2(@a memp!nyai gE3 dan 5E? Pada s!at! &ra' ter$!=!n& setiap d!a titik simp!"nya di$!=!n&kan o"e$ pa"in& sedikit d!a "intasan( Karena it! "intsan"intasan terse=!t ada yan& pendek dan ada yan& panjan&( Panjan& "intasan terpendek yan& men&$!=!n&kan d!a titik men!nj!kkan jarak ked!a titik terse=!t dan dinyatakan o"e$ d!)-( 8e=i$ je"asnya di=erikan de'inisi =erik!t( De)ini'i *arak antara d!a titik !)- pada s!at! &ra' dit!"is d!)- den&an d!)-E 0 jika !E-A d!)-E k) jika !≠- dan k ada"a$ panjan& "intasan terpendek yan& men&$!=!n&kan ! dan -( *ika tidak ada "intasan yan& men&$!=!n&kan titik !) -) maka d!)-E
∞(
Gra) P&!&n ra' po$on =anyak diterapkan !nt!k =er=a&ai keper"!an diantaranya ada"a$ se=a&ai str!kt!r or&anisasi s!at! per!sa$aan) si"si"a$ s!at! ke"!ar&a) skema sistem &!&!r s!at! pertandin&an) dan ikatan kimia s!at! mo"ek!" ada"a$ jenis &ra' yan&
17
ter&o"on& se=a&ai po$on(
am=ar 2(7
De)ini'i 10 Misa"kan T ada"a$ &ra' ter$!=!n&( *ika T tidak memi"iki sik"!s) maka T dise=!t &ra' po$on( onto$ se=!a$ &ra' po$on T di=erikan pada am=ar 2(7a(
Gambar 2.7a
ra' tak ter$!=!n& yan& komponenkomponennya po$on dise=!t hutan. Dan &ra' yan& $anya terdiri dari sat! titik dise=!t po$on tri-ia"( Te&rema $
18
*ika ada"a$ &ra' yan& memi"iki p titik) maka pernyataanpernyataan =erik!t ada"a$ eLi-a"en( a( ada"a$ po$on( =( memi"iki p1 sisi dan tidak memi"iki sik"!s( 5( ada"a$ &ra' ter$!=!n& dan memi"iki p1 sisi( d( Setiap d!a titik simp!" dari di$!=!n&kan o"e$ tepat sat! "intasan( e( tidak memi"iki sik"!s) dan jika pada ditam=a$kan sat! sisi 9 yan& men&aitkan d!a titik di yan& tidak =ertetan&&a) maka 9 memi"iki sat! sik"!s( A.i3at 1 *ika ada"a$ po$on nontri-ia") maka memi"iki pa"in& sedikit d!a titik =erderajat sat!
A.i3at II *ika ada"a$ $!tan yan& memi"iki p titik simp!" dan k komponen) maka memi"iki pk sisi(
Gra) Leng.a De)ini'i 11 ra' "en&kap ada"a$ s!at! &ra' yan& terdiri dari p titik simp!" dan setiap titik simp!"nya =ertetan&&a( ra' "en&kap den&an p titik dinotasikan den&an 7 p)( onto$ se=!a$ &ra' "en&kap di=erikan pada &am=ar 2(?( V3 K 3
V3
V4
V1
V2
K 4
V1
V2 Gambar 2. 8
19
Gra) -intang De)ini'i 12 ra' =intan& den&an n titik ada"a$ &ra' po$on yan& memp!nyai sat! titik =erderajat
dan titik "ainnya =erderajat sat!( ra' =intan& den&an n titik dinotasikan
den&an
(
onto$ &ra' =intan& di =erikan pada am=ar 2((
Gambar 2. 9
Dapat di"i$at =a$%a =intan& dan "intasan ada"a$ &ra' po$on yan& m!da$ dikena"i karena memi"iki 5iri5iri k$!s!s(
Gra) R&da De)ini'i 1$ ra' roda dinotasikan den&an 8 n ada"a$ &ra' "in&karan C n ditam=a$ sat! simp!" 9) yakni 8 n # C n 49!:, dimana simp!" ! =ertetan&&a den&an sem!a simp!" pada &ra' "in&karan C n( onto$ &ra' roda di=erikan pada am=ar 2(10 W4
20
Gambar 2.10
ra' G -ipartit jika V G dapat dipartisi keda"am d!a s!=$imp!nan tak koson& V 1 dan V 2) sedemikian se$in&&a !nt!k setiap sisi e#u ∈ E G) =er"ak! u ∈ V 1 dan ∈ V 2 ata! ∈ V 1 dan !
∈ V 2 ( ra' G dikatakan &ra' -ipartit lengkap) jika E GECu5 u∈ V 1)
∈ V 2 dan dinotasikan 7 n,m( >erik!t ini ada"a$ &ra' "en&kap den&an titik dan &ra' =ipartit "en&kap 7 *,; (
K
K
5
$45
Te&rema 7 ra' nontri-ia" ada"a$ =ipartit jika $anya jika tidak mem!at sik"!s den&an panjan& &anji" -u.ti, Misa"kan tidak mem!at sik"!s den&an panjan& &anji"( ,s!msikan ter$!=!n&( Misa"kan ! ada"a$ se=aran& titik di ) dan # ada"a$ $imp!nan yan& mem!at titiktitik den&an panjan& &enap dari !( Misa"kan p!"a 6 ada"a$ $imp!nan yan& mem!at titik den&an panjan& &anji" dari !( Den&an demikian C#) 6 ada"a$ ko"eksi partisi dari V( ,n&&ap"a$ =a$%a ! di #) =erarti d!)!E0(
#
1
2 21
4 3 #:
!
6:
1
2
7
4
3
@
@
7
Kita k"aim =a$%a setiap sisi dari men&aitkan s!at! titik di # dan s!at! titik di 6( ,ndaikan it! tidak =enar( >erarti terdapat sat! sisi di yan& men&aitkan d!a titik di # ata! d!a titik di 6) se=!t it! !9
∈ den&an %)9 ∈ 6( Karena d!)% dan d!)9
d!anya &anji") maka dapat dit!"is d!)%E2s1 dan d!)9E 2r1 !nt!k s!at! =i"an&an as"i s) r( 8a=e"i titiktitik dari ! ke % dan dari ! ke 9 se=a&ai =erik!t( #E-0) - 1) ((() -2s1E% dan !E90) 9 1) ((((() 92r1E9( D!a "intasan terse=!t tam=a$ sisi %9 meme=ent!k sik"!s ) den&an : !) -1) (((((() -2s1E%) 9E 92r1 ) (((((() 91) 90E!( Sik"!s memp!nyai panjan& 2s1 2r1 tam=a$ sat! sisi %9( Den&an kata "ain panjan& ada"a$ 2s12r11E 2sr11(
22
1)jE1)2)3)4) dan i ≠ j) se=!t iE2 dan jE3( Da"am $a" ini) terdapat "intasan P3: %2) !2) %3) !3 den&an panjan& 3(
*ika "intasan ini ter"etak pada s!at! sik"!s ) maka
EP3C!3)%2 den&an panjan& 4( Sit!asi "ain akan se"a"! ser!pa( Karenanya dapat disimp!"kan =a$%a tidak mem!at sik"!s &anji"(
#:
!1
6:
%1
!2
!3
%2
!4
%3
%4
*&a"#*&a"
1( am=ar sem!a po$on yan& =erorde ( 2( am=ar sem!a po$on =erorde 7 den&an
∆(T ) ≥
4(
3( Misa"kan 2 ada"a$ hutan 'orest =erorde p) =er!k!ran & dan terdiri dari k komponen( !nj!kkan =a$%a p E & k ( 4( Misa"kan G ada"a$ s!at! &ra' =erorde p( !nj!kkan =a$%a keti&a pernyataan =erik!t ada"a$ eki-a"en( a( G ada"a$ po$on A =( G ter$!=!n& dan =er!k!ran p 1 A 5( G =er!k!ran p1 dan tidak meme!at sik"!s(
23
( !nj!kkan =a$%a setiap po$on nontri-ia" memp!nyai pa"in& sedikit d!a titik !j!n&( @( *ika u dan ada"a$ d!a titik yan& =er=eda pada po$on T ) maka pasti ada sat! "intasan dari u ke ( 7( ,n&&ap"a$ =a$%a T ada"a$ s!at! po$on =erorde p yan& titiktitiknya $anya =erderajat 1 dan 3( !nj!kkan =a$%a T memp!nyai p2/2 titik yan& =erderajat 3 ?( Po$on perentan& ada"a$ s!=&ara' perentan& s!at! &ra' yan& mer!pakan po$on( !nj!kkan =a$%a setiap &ra' ter$!=!n& mem!at s!at! po$on perentan&( ( Misa"kan G ada"a$ &ra' ter$!=!n& yan& terdiri dari n titik dan n sisi( >erapa =anyak sik"!s yan& m!n&kin term!at pada G 10( >erikan d!a po$on nonisomor'ik yan& memp!nyai =arisan derajat sama( 11( !nj!kkan =a$%a jika G ada"a$ po$on yan& sem!a titiknya =erderajat &anji") maka =anyaknya sisi pada G ada"a$ &anji"( 12( !"iskan den&an =enar de'inisi &ra' =ipartite "en&kap( 13(,paka$ &ra' po$on mer!pakan &ra' =ipartit "en&kap 14( !"iskan pen&ertian &ra' m!"tipartit "en&kap( 1(Misa"kan G ada"a$ s!at! &ra' =erorde p 3( G ada"a$ =ipartit jika $anya jika setiap sik"!s pada G memp!nyai panjan& &enap( >!ktikan(
1@( !nj!kkan =a$%a setiap &ra' "en&kap nontri-ia" mer!pakan &ra' m!"tipartit "en&kap( 17(>erikan 5onto$ &ra' "en&kap =ipartit(
24
1?( >erikan sat! 5onto$ &ra' =ipartite =erorde yan& setiap titiknya ter"etak pada s!at! sik"!s( 1( ,paka$ =isa di=!ktikan pernyataan =erik!t( *ika G ada"a$ &ra' =ipartite) maka setiap sisi dari G ter"etak pada s!at! sik"!s &enap( 20( >erikan 5onto$ &ra' =ipartite "en&kap yan& mer!pakan sik"!s( 21(Misa"kan G ada"a$ &ra' seder$ana( Gra su-diision s!=di-ision &ra' dari &ra' G dinotasikan den&an G ada"a$ s!at! &ra' =ar! yan& dipero"e$ den&an menjadikan sisi eEu di G menjadi titik =ar! e dan e =ertetan&&a den&an u dan ( !nj!kkan =a$%a G mer!pakan &ra' =ipartite( 2 oran&
Minggu II
Pertemuan Ke
: 1$#17 (150 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a men&eta$!i =ent!k pe%arnaan &r >( Pokok >a$asan
: Pe%arnaan &ra'
( S!= Pokok >a$asan
: Pe%arnaan titik) pe%arnaan sisi) dan =e=erapa
=ent!k pe%arnaan "ainnya(
Pe8arnaan Gra) Pe%arnaan &ra' terdiri dari d!a ma5am yait! pe%arnaan titik dan pe%arnaan sisi( De)ini'i 17
25
Pe%arnaan titik pada &ra' ada"a$ pem=erian %arna pada $imp!nan titik V den&an at!ran setiap titik di=eri $anya sat! %arna dan d!a titik yan& =ertetan&&a di=eri %arna =eda( onto$ pe%arnaan titik pada &ra' di=erikan pada &am=ar 2(11( 3
2 1
3
2
2
2
2
1 2 2
Gambar 2.11
S!at! &ra' G dikatakan -er$arna6k jika titiktitik pada G dapat di%arnai den&an k %arna( >i"an&an as"i terke5i" k sedemikian se$in&&a G =er%arna k dise=!t -ilangan kromatik dari G) dan dinotasikan den&an χ( Se=a&ai i""!strasi) &ra' =ipartite yan& terdiri dari n4m) yan& dinotasikan !rr dan .o=erts memperkena"kan pe%arnaan n %arna da"am penent!an =i"an&an .amsey n %arna( Se"anj!tnya) Koro"o-a dan Hasma%ati dkk() men&ap"ikasikan pe%arnaan &ra' da"am penent!an =i"an&an .amsey d!a %arna !nt!k &ra' =intan& kom=inasi &ra' roda(
Penerapan
pe%arnaan
&ra'
!nt!k
menye"esaikan
masa"a$ pada =idan& i"m! "ain j!&a =e"!m =anyak di"ak!kan( >askoro ( ( Dan .( Simanj!ntak men&ap"ikasikan pe%arnaan &ra' se=a&ai str!kt!r dasar pem=an&!n 26
skema pem=a&ian ra$asia secret sharing scheme ("( Skema dan so'%are SSS yan& di$asi"kan masi$ ter=atas pada str!kt!r pe%arnaan &ra' =intan& star ( Se"anj!tnya S!darsana I 6() dkk men&em=an&kan skema dan so't%are SSS terse=!t den&an men&&!nakan str!kt!r pe%arnaan &ra' yan& "e=i$ !m!m) yait! &a=!n&an =intan& star dan =intan& &anda dou-le star ( Te&rema 5 ra' memp!nyai =i"an&an kromatik 2 jika $anya jika ada"a$ tidak koson& dan =ipartit -u.ti, Misa"kan
χE2 ata! =anyaknya %arna minim!m yan& di&!nakan ada"a$ d!a)
se=!t it! %arna 1 dan %arna d!a( K!mp!"kan titiktitik =er%arna 1 den&an nama $imp!nan # dan 6 ada"a$ $imp!nan titik yan& =er%arna d!a( Men!r!t de'inisi pe%arnaan titik di partisi # jika memp!nyai tetan&&a) maka tetan&&anya ada di 6( >erarti setiap sisi di men&aitkan s!at! titik di # dan s!at! titik di 6( *adi ada"a$ &ra' =ipartit(
Tuga' 8en&kapi =!kti eorema 3(
De)ini'i 15 Pe%arnaan sisi pada &ra' G ada"a$ pem=erian %arna pada sisi pada s!at! &ra' G) sedemikian se$in&&a setiap d!a sisi yan& =ertetan&&a memp!nyai %arna yan& =er=eda( onto$ pe%arnaan sisi pada &ra' di=erikan pada &am=ar 2(12( 2
1 2
1
3
2 1 Gambar 2.12
27
Minggu III
Pertemuan Ke
: 15#1% (150 menit
U+ian tenga! 'eme'ter dan em3a!a'an '&a" u+ian
*&a" U+ian
1( Diketa$!i 10 editor di=a&i keda"am 7 ke"ompok( Ke sep!"!$ editor terse=!t di =eri nomor dari an&ka 110 se=a&ai edintitas( Ke"ompok 1:EC1) 2) 3) 2:E C1) 3) 4) A 3:E C2) ) @) 7A 4:E C4) 7) ?) A :E C2) @) 7A @:EC?))10A 7:E C1) 3) ) 10( Masin&masin& ke"ompok mem=i5arakan topik tertent!) dan pada $ari j!mat setiap 3 min&&! diadakan p"eno( erdapat d!a ata! "e=i$ ke"ompok tidak dapat me"ak!kan ke&iatan pada %akt! yan& sama o"e$ karena terdapat seseoran& yan& =erada pada d!a ata! "e=i$ ke"ompok( Mode"kan s!asana ini keda"am mode" &ra'( 2( am=ar &ra' 3P4∪23∪K4 3( am=ar &ra' P43( 4( S!at! &ra' tertent! memp!nyai titik 14 dan sisi 27( Derajat masin&masin& titik ada"a$ 3) 4) ata! ( erdapat @ titik =erderajat 4( >erapa =anyak titik =erderajat 3 dan ( ,paka$ =isa di=!ktikan pernyataan =erik!t( *ika G ada"a$ &ra' =ipartite) maka setiap sisi dari G ter"etak pada s!at! sik"!s &enap( @( !nj!kkan =a$%a *ika u dan ada"a$ d!a titik yan& =er=eda pada po$on T ) maka pasti ada sat! "intasan dari u ke (
28
7( !nj!kkan =a$%a jika S ada"a$ $imp!nan &ra' =erorde 4) maka S mem!at pa"in& sedikit ti&a &ra' yan& isomor'ik( ?( ent!kan s!at! &ra' yan& =erorde @ dan =er!k!ran 7 yan& tidak mem!at s!at! s!=&ra' yan& isomor'ik den&an C 4( ( erdapat d!a &ra' pada &am=ar =erik!t yan& isomor'ik( !nj!kkan ked!a &ra' terse=!t dan =!ktikan ke=enarannya( 10(Misa"kan G ada"a$ &ra' seder$ana( Gra su-diision s!=di-ision &ra' dari &ra' G dinotasikan den&an G ada"a$ s!at! &ra' =ar! yan& dipero"e$ den&an menjadikan sisi eEu di G menjadi titik =ar! e dan e =ertetan&&a den&an u dan ( !nj!kkan =a$%a G mer!pakan &ra' =ipartite( 2 oran&
Minggu I9
Pertemuan Ke
: 1#1 (150 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a men&eta$!i =ent!k matriks &ra' >( Pokok >a$asan
: Matriks ra'
( S!= Pokok >a$asan
: Matriks ketetan&&aan) dan matriks keterkaitan
Matri.' Gra)
29
Kadan&kadan& penyajian s!at! matriks dapat memperm!da$ seseoran& !nt!k men&ana"isa$ s!at! &ra') apa=i"a ana"isa it! memer"!kan per$it!n&an( Matriks ketetanggaan adja5en5y matri9 dan matriks keterkaitan in5iden5e matri9 ada"a$ isti"a$ matriks da"am &ra' den&an =ent!k tertent!( ,dap!n =ent!k ata! de'inisinya dapat di"i$at pada penyajian =erik!t( De)ini'i 1% Matriks ketetan&&aan , E a ij dari s!at! &ra' =er"a=e" den&an p titik simp!") ada"a$ matriks =er!k!ran p9p) den&an a ijE 1 jika -i =ertetan&&a den&an - j dan aijE 0 !nt!k $a" yan& "ain( onto$( Pandan& &ra' pada &am=ar =erik!t( v2
v1 V5
v3
V4
Matriks ketetan&&aan dari &ra' di atas ada"a$
V1 V2 V3 V4 V5
-1 -2 -3 -4 -
De)ini'i 1
30
Matriks keterkaitan > E = ij dari s!at! &ra' =er"a=e" den&an p titik simp!" dan L sisi) ada"a$ matriks =er!k!ran L9p) den&an = ijE 1 jika ei terkait den&an - j dan =ijE 0 !nt!k $a" yan& "ain( onto$( Pandan& &ra' =erik!t( V1
e1
-2
e3
e2
V3
e4
-4
Matrik keterkaitan dari &ra' di atas ada"a$
>E
V1
-2
-3
-4
e1
1
1
0
0
e2
0
1
1
0
e3
1
0
1
0
e4
0
0
1
1
Soa"Soa" 1( >!at matriks keterkaitan dari &ra' K4( 2( Misa"kan ada"a$ matriks keterkaitan dari K4) tent!kan (
31
Minggu 9#9I
Pertemuan Ke
: 1#22 ($00 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a meny!s!n dan men5ari 5ara ter=aik !nt!k meny!s!n o=jeko=jek da"am &ra' >( Pokok >a$asan
: Perentan&an dan n!merasi
32
( S!= Pokok >a$asan
: Perentan&an) dan en!merasi &ra' po$on
Perentangan Dan Enumera'i Misa"kan &ra' ada"a$ &ra' ter$!=!n& den&an p titik dan L sisi( Pada kita dapat me"enyapkan sat! sisi 9) se$in&&a 9 masi$ tetap mer!pakan &ra' ter$!=!n&( ra' 9 dise=!t s!=&ra' perentan&( Ha" ini te"a$ disin&&!n& pada =e=erapa min&&! yan& "a"!( Se"anj!tnya) jika mem!at sik"!s dan kem!dian di"ak!kan pe"enyapan sat! sisi pada sik"!s terse=!t dan seter!snya se$in&&a s!=&ra' yan& terak$ir tidak mem!at "a&i sik"!s) maka s!=&ra' terak$ir terse=!t dise=!t po$on perentan&( *ika di"ak!kan "a&i $a" yan& sama yakni menye"enyapkan =e=erapa sisi "a&i dan =er=eda den&an yan& se=e"!mnya akan dipero"e$ "a&i po$on perentan& yan& "ain(
*ika proses
pe"enyapan sisisisi di"ak!kan =er!"an&!"an& akan dipero"e$ =e=erapa po$on perentan& dari ( >anyaknya po$on perentan& yan& dipero"e$ dapat di$it!n& den&an men&&!nakan teorema matriks po$on( Se=e"!m menyajikan teorema matriks po$on ter"e=i$ da$!"! disajikan d!a teorema =ert!r!tt!r!t se=a&ai =erik!t( Te&rema % Misa"kan ada"a$ &ra' =er"a=e" den&an matriks keterkaitan >( Matriks ada"a$ matriks yan& dipero"e$ dari > den&an men&&anti sa"a$ sat! an&ka 1 den&an 1 pada setiap ko"omnya( *ika den&an m titik simp!" dan m r!s!k) maka mem!at sik"!s se$in&&a detm9mE0( -u.ti
33
Misa"kan O ada"a$ s!at! sik"!s yan& term!at di &ra' ( ,n&&ap"a$ =a$%a 91) 92) (((() 9k dan -1) -2) ((((() -i den&an i ≤k ada"a$ sisi dan titik pada O( *ika memi"iki m titik dan m sisi) maka matriks dari dapat dit!"is se=a&ai =erik!t(
K9K
K9MK
0
MK9MK
m9m E
Men!r!t 8ap"a5e) determinan matriks di atas ada"a$ detM9M E ± detK9K( detMK9MK( *ika iEk) maka
detK9K E
1
0
0 (((
1
1
1
0 (((
0
0
1
:
:
:
0
0
1 ((((
1 (((
:
0
E 0(
: 1
*ika i k) detK9K j!&a =erni"ai no") se=a= sem!a e"emen =aris kek ada"a$ no"( Den&an demikian detM9M E 0(
Te&rema S!at! &ra' yan& memi"iki n E m1 titik simp!" dan m sisi ada"a$ s!at! &ra' po$on) jika $anya jika ni"ai detM9M ada"a$ 1 ata! 1( Da"am setiap kejadian "ain determinan ini =erni"ai no"(
34
Te&rema , Te&rema Matri.' P&!&n Misa"kan ada"a$ &ra' =er"a=e" ter$!=!n& den&an matriks ketetan&&aan ,( Matriks M ada"a$ matriks yan& dipero"e$ dari B, den&an men&&anti e"emen dia&ona" ke B i den&an derajat -i( Maka sem!a ko'aktor dari matriks M ada"a$ sama dan ni"ainya sama den&an =anyaknya po$on perentan& dari ( -u.ti, 1( Kita akan mem!"ai pem=!ktian ini den&an mem=!at matriks =ar! Eeij dari ) yakni dipero"e$ dari matriks keterkaitan > den&an men&&anti sa"a$ sat! an&ka 1 pada setiap ko"mnya den&an 1( ,n&&ota =aris kei dan ko"om kej dari ada"a$ ei1ej1ei2ej2(((eiLejL) yan& j!m"a$nya sama den&an derajat -i jika -iE-j( ,pa=i"a -i =ertetan&&a den&an -j ni"ainya 1) dan 0 !nt!k $a" "ainnya( ,ki=atnya EM( 2( Pandan&"a$ s!at! s!=matriks dari yan& mem!at p1 ko"om(s!=matriks =erorde p9p1 ini =erses!aian den&an s!at! s!=&rap$ perentan& H dari &rap$ tersam=!n& yan& memi"iki p1 r!s!k( ,pa=i"a se=aran& =aris dari s!=matriks terse=!t dike"!arkan) katakan"a$ =aris kek) maka akan dipero"e$ s!at! matriks =!j!r san&kar + yan& =erorde p1 9 p1( *ika s!=&rap$ perentan& H =!kan po$on) =erarti H memi"iki ja"an "in&kar) se=a= H memi"iki p titik simp!" dan p1 r!s!k(men!r!t teorema 4) Q det + Q E 0( *ika s!=&arap$ perentan& H mer!pakan po$on) maka men!r!t teorema ) Q det + Q E 1( Den&an demikian Q det + Q sama den&an Q det + Q E 1( #nt!k mem!da$kan men&ik!ti ja"an pikiran di atas di=erikan s!at! 5onto$ se=a&ai =erik!t:pandan&"a$ &rap$ pada =erik!t(
35
V1
G4
V4
X5
G1
G3
: V2
G2
V3
am=ar 3(1( K49 Matriks keterkaitan dari ada"a$
G1 V1
92
93
94
9
1
0
0
1
1
V2
1
1
0
0
0
E -3
0
V4
0
1
1
0
1
0 1
Dan
E
3
1
1
1
1
2
1
0
1
1
3
1
36
1 0
1
0
1
2
*ika ko"om ke2 dan ko"om ke3 pada matriks di$i"an&kan) dipero"e$ s!at! s!=matriks 1 yan& mem!at p1 ko"om( Karena pE4) maka s!=matriks 1 yan& =erorde p9p1 ada"a$
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1 E
S!=&ra' 1 =erses!aian den&an sat! s!=&ra' perentan& dari ( Sekaran& kita akan mem=ent!k matriks =!j!rsan&kar + den&an men&$i"an&kan sa"a$ sat! =aris 1) katakan"a$ =aris ke2( >ent!k matriks + ada"a$ 1 +
E
0 0
1
1
0
1
1
0
Pada matriks + dapat di"i$at =a$%a +E1( Karena +E1) maka s!=&ra' perentan& dari yan& =erses!aian den&an 1 mer!pakan po$on( >ent!k s!=&ra' po$onnya dapat di"i$at seperti =erikt( -1 91
94
-4
9
H: -2
-3 37
S!=&ra' perentan& H dipero"e$ den&an men&$i"an&kan sisi 92 dan 93 pada &ra' ( Ha" ini =erses!aian den&an men&$i"an&kan ko"om ke 2 dan ko"om ke3 matriks ( 3( Pem=!ktian terak$ir teorema matriks po$on ada"a$ men&&!nakan teorema >inet Ba!5$y tentan& $!k!m determinan matriks( eorema =inet5a!5$y men&atakan =a$%a J*ika , dan > ada"a$ d!a matriks yan& =erorde n9n) dan jika k E n) maka det , K9< ><9K E
∑ det ,K9R( Det >I9K( Den&an KE1)
2) 3 ( ( ( ) k ( *ika kEm) maka determinan pada teorema ini ada"a$ determinan perka"ian d!a matriks =!j!rsan&kar( S!at! &rap$ tersam=!n& den&an titik simp!" V 1) V 2) ( ( ( ) V 3) ( ( ( ) Vm) dan r!s!k G1) G2) ( ( ( ) G n A m E n ( se$in&&a matriks dari &rap$ terse=!t ada"a$ =erorde m9n( Dari matriks M9< ) kita mem=!at s!=matriks 1 yan& =erorde m 9 m1 ( jika sa"a$ sat! =aris dari 1 di"enyapkan dipero"e$ matriks =!j!rsan&kar + yan& =erorde 9 m 1 ( !nt!k teorema >ineta!5$y: ,K9I E +) sedan&kan > I9K E + ( den&an men&in&at =a$%a pen&$i"an&an sa"a$ sat! =aris dan ko"om pada matriks M ada"a$ =erses!aian den&an ++ ( =erarti se=aran& ko'aktor dari M sama den&an det ++ ( men!r!t >inet a!5$y:
det++ E det + ( det + ( $a" ini men!nj!kkan =a$%a j!m"a$
perka"ian dari sem!a determinan !tama + dan + sama den&an ni"ai ko'aktor e"emen !tama dari M sedan& + =erses!aian den&an po$on perentan& dari ) jika |det +| E 1 ( *adi ter=!kti =a$%a =anyaknya po$on perentan& dari sama den&an ni"ai se=aran& ko'aktor dari M( Pada &am=ar 3(1 ( Matriks M dari &rap$ terse=!t ada"a$
38
ME
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4
Ko'aktor dari e"emen 2) 3) pada matriks M ada"a$
E ? ( *adi =ayaknya
po$on perenrentan& dari &rap$ pada
am=ar 3(1 ada"a$ ? kede"apan po$on perentan& terse=!t dapat di"i$at pada &am=ar =erik!t ini(
Enumerasi &ra' ada"a$ men&$it!n& =anyaknya &ra' =er"a=e" yan& tidak isomor'ik( Konsep en!merasi ini pentin& karena =anyak masa"a$ nyata dapat dise"esaikan me"a"!i konsep ini( Misa"nyaA =erapa =anyak mo"ek!" kimia yan& r!m!snya ?H1?
39
>erapa =anyak ren5ana arsitekt!r "antai &ed!n& yan& memen!$i si'atsi'at tertent! Dan "ain"ain( onto$ en!merasi ata! men&$it!n& =anyaknya &ra' =er"a=e" yan& tidak isomor'ik !nt!k &ra' de&an ti&a titik simp!" dapat di"i$at se=a&ai =erik!t(
1
3
1
2
1
1
3
3
2
2
3
2 3
1
2 3
2
1
1
3
1
3
2
2
Men&$it!n& =anyaknya &ra' seder$ana =er"a=e" den&an n titik dapat di"ak!kan yakni men&&!nakan konsek%ensi >ema /a-atan Tangan ( >anyaknya sisi yan& m!n&kin ada"a$ nn1/2 dan setiap sisi ada ata! tidak ada men&atakan ada 2 kem!n&kinan( *adi =anyaknya &ra' seder$ana =er"a=e" yan& tidak isomor'ik ada"a$ 2nn1/2 ( Sedan&kan =anyaknya &ra' tak =er"a=e" yan& tidak isomor'ik "e=i$ ke5i" karena "a=e"nya tidak =erpen&ar!$"a&i( onto$) =anyaknya &ra' seder$ana tak =er"a=e" den&an 3 titik simp!" $anya 4 yakni:
40
n!merasi &ra' yan& =anyak mendapat per$atian ada"a$ en!merasi &ra' po$on( Da"am $a" ini) men&$it!n& =anyaknya po$on =er"a=e" den&an sej!m"a$ titik tertent!( #nt!k masa"a$ ini) di&!nakan eorema ay"ay( Men!r!t ay"ay: =anyaknya po$on =er"a=e" den&an p titik simp!" ada"a$ p p2(
*&a"#*&a" 1( Hit!n& =erapa =anyak &ra' den&an 4 titik) dan &am=arkan &ra'nya( 2( Hit!n& =erapa =anyak &ra' =er"a=e" den&an 4 titik) kem!dian &am=ar &ra'nya( 3( Hit!n& =erapa =anyak po$on =er"a=e" den&an 4 titik( am=ar &ra'nya(
41
Minggu 9I2#9
Pertemuan Ke
: 2$#2% ($00 menit
,( !j!an Intr!ksiona" K$!s!s: Ma$asis%a men!"is dan tampi" !nt!k menyampaikan pendapat >( Pokok >a$asan
: Presentasi
( S!= Pokok >a$asan
: Mem=!at maka"a$ dan presentasi
T&i. Ma.a"a!: -i"angan Ram'e
-i"angan Ram'e Konsep a%a" =i"an&an .amsey ada"a$ konsep =i"an&an .amsey K"asik( "e$ karena it! pada a%a" penyajian ini dim!"ai den&an pen&ertian =i"an&an .amsey k"asik kem!dian di"anj!tkan den&an pen&ertian =i"an&an .amsey &ra'(
-i"angan Ram'e K"a'i. Pada ta$!n 13) rdos dan SNekeres men&kaji teori .amsey dan kem!dian men&ap"ikasikannya keda"am teori &ra'( Kajian mereka it! men&$asi"kan teori .amsey k"asik( #nt!k kas!s d!a %arna teori terse=!t dinyatakan se=a&ai =erik!t( Te&rema 2,1 untuk setiap -ilangan -ulat n dan n) , terdapat -ilangan -ulat terkecil M ? sedemikian sehingga 'ika m 3 M ?, maka setiap pe$arnaan dua $arna pada sisi6
42
sisi gra lengkap 7 m akan memuat su-gra yang semua sisinya -er$arna sama dan isomorik dengan 7 n atau 7 n) . >i"an&an M0 dise=!t =i"an&an .amsey k"asik d!a %arna yan& se"anj!tnya dise=!t =i"an&an .amsey k"asik) dan dinotasikan den&an =(n,n) " pen&ertian =(n,n) " dapat dinyatakan se=a&ai =erik!t(
De)ini'i 2,5,1, Di=erikan d!a =i"an&an as"i n dan n) ) =i"an&an .amsey k"asik =(n,n) " ada"a$ =i"an&an =!"at terke5i" m sedemikian se$in&&a setiap pe%arnaan pada sem!a sisi 7 m, katakan"a$ mera$ dan =ir!) akan mem!at s!=&ra' =er%arna mera$ yan& isomor'ik den&an 7 n ata! s!=&ra' =er%arna =ir! yan& isomor'ik den&an 7 n) ( Pe%arnaan d!a %arna) mera$ dan =ir!) pada sem!a sisi &ra' "en&kap 7 m) yait! s!=&ra' =er%arna mera$ dan s!=&ra' =er%arna =ir!( Sa"a$ sat! dari s!=&ra' terse=!t) katakan"a$ s!=&ra' =er%arna mera$) mer!pakan s!=&ra' pem=an&!n 7 m dan s!=&ra' =er%arna =ir! ada"a$ komp"emen dari s!=&ra' pem=an&!n terse=!t( rdos dan SNekeres 13 mem=!ktikan eksistensi =i"an&an .amsey k"asik =(n,n) " den&an men!nj!kan =atas atas dan =atas =a%a$nya( >atas atas dan =atas =a%a$ terse=!t) =ert!r!tt!r!t) disajikan da"am d!a teorema =erik!t(
Te&rema 2,2 >atas atas( #nt!k setiap =i"an&an as"i n dan n) ) =(n,n) " senantiasa
ada) dan memen!$i =(n,n) "
(
Te&rema 2,$ >atas =a%a$( =(n,n) " T
!nt!k n T 2 dan n2 T 2( 43
-i"angan Ram'e Gra)
Doron&an !tama !nt!k memper"!as konsep =i"an&an .amsey k"asik menjadi konsep =i"an&an .amsey &ra' kom=inasi d!a &ra' se=aran& ada"a$ adanya $arapan =a$%a pada ak$ir kajian penent!an =i"an&an .amsey &ra' akan dipero"e$ s!at! metode da"am menent!kan =i"an&an .amsey k"asik =(n,n) " !nt!k n dan n) yan& "e=i$ =esar( De'inisi =i"an&an .amsey &ra' ada"a$ se=a&ai =erik!t( De)ini'i 2,1 Di=erikan se=aran& d!a &ra' G dan @ ) =i"an&an .amsey &ra' d!a %arna =(G,@" ada"a$ =i"an&an as"i terke5i" m sedemikian se$in&&a !nt!k setiap pe%arnaan den&an d!a %arna pada sem!a sisi Km katakan"a$ mera$ dan =ir! maka Km akan se"a"! mem!at s!=&ra' mera$ yan& isomor' den&an ata! s!= &ra' =ir! yan& isomor' den&an H( Pada dasarnya) konsep =i"an&a .amsey &ra' d!a %arna dapat diper"!as menjadi konsep =i"an&an .amsey &ra' m!"ti%arna( De)ini'i 2,2 Di=erikan &ra' 1)2)F(k ) =i"an&an .amsey &ra' m!"ti%arna =(G, G2)Gk" ada"a$ =i"an&an as"i terke5i" m sedemikian se$in&&a !nt!k setiap pe%arnaan k %arna pada sem!a sisi 7 m akan mem!at s!=&ra' Gi !nt!k s!at! i yan& sem!a sisinya =er%arna sama( Pada pen!"isan se"anj!tnya) =i"an&an .amsey &ra' d!a %arna $anya dit!"is =i"an&an .amsey( >anyak pene"iti men&kaji =i"an&an .amsey) diantaranya ada"a$ $a-ata" dan Harary 172( Sa"a$ sat! $asi" '!ndamenta" dari mereka ada"a$ =atas =a%a$ 44
=i"an&an .amsey =(G,@"( se=e"!m menyajikan teorema =atas =a%a$ =i"an&an dari $a-ata" dan Hararyy) ter"e=i$ da$!"! disajikan de'inisi tentan& &ra' kritis good6 gra ( De)ini'i 2,$ S!at! &ra' "en&kap den&an n titik (7 n " dise=!t &ra' kritis !nt!k G dan @ jika terdapat pe%arnaan pada sem!a sisisisi 7 n katakan mera$ ata! =ir!) sedemikian se$in&&a 7 n tidak mem!at s!= &ra' mera$ yan& isomor' den&an G dan tidak mem!at s!=&ra' =ir! yan& isomor' den&an H( Te&rema 2,7 (/!a;ata"#
(@" adalah -ilangan kromatik gra @ dan C(G" adalah -anyaknya titik
pada komponen ter-esar gra G. Maka .)H T (@" 1 B 1 1
-u.ti, pandan& &ra' + ≔
( ra' + tidak mem!at &ra' ter$!=!n&
yan& =erorde pa"in& sedikit ( den&an demikian) + tidak mem!at &ra' den&an orde ( karenanya + tidak mem!at ( de'inisikan s E
dapat diperiksa =a$%a
ada"a$ &ra' m!"tipartit Ks( je"as Ks terdiri dari
partisi) se$in&&a tidak mem!at &ra' den&an =i"an&an kromatik
demikian
tidak mem!at H( jadi) dipero"e$ =(G,@" T
(@"( den&an
1 E (@" 1 B 1
1( >erdasarkan =atas =a%a$ $-ata" dan Harary ini dipero"e$:
• >atas =a%a$ !nt!k = n )8 m dimana n ≥ 3 dan m &anji" ada"a$ 3n B 2
45
• >atas =a%a$ !nt!k = T n)7 m dimana n dan m sem=aran& ada"a$ m1n B 11 >e=erapa =i"an&an .amsey yan& te"a$ di$asi"kan antara "ain: S( ,( >!rr dkk( da"am U2R mem=!ktikan =a$%a km4l n B minmi,n' B 1 6min(mi,n' 4C ) dimana
G
= k )
H
≤ = mG,n@ ≤ km4ln
= l ) i E α 0G dan ' E α 0@ ( Da"am U1R) ( (
>askoro dkk( mem=!ktikan =a$%a jika n ≥ 3) maka = n,8 E 3n2( $en dkk( U3R) men!nj!kkan =a$%a jika n ≥ m1 ≥ 2 dan m &anji" maka = n,8 m E 3n2( Da"am U@R) Hasma%ati mempero"e$ = n,8 m E m4n2 !nt!k n &anji" dan m &enap) = n,8 m E m4n1 !nt!k yan& "ainnya( Maka"a$ ini akan mem=a$as men&enai =i"an&an .amsey !nt!k kom=inasi k6 copy &ra' =intan& den&an &ra' roda dan kom=inasi k6copy &ra' po$on den&an &ra' "en&kap( >erik!t ini ada"a$ =e=erapa $asi" yan& akan di&!nakan da"am pem=!ktian pem=!ktian teorema(
Te&rema 2,2, Hasma%ati U7R( *ika n ≥ 3 dan m &anji" m ≤ 2n1) maka = n,8 m E 3n2(
Te&rema 2,$ V( $-ata" U4R( = T n,7 m E n1m1 1) !nt!k se=aran& =i"an&an as"i n dan m(
=erik!t ini disajikan d!a $asi" yait! =i"an&an .amsey = kn,8 m dan =i"an&an .amsey = kT n,7 m) dimana k men!nj!kkan =anyaknya komponen(
46
Te&rema 2,7, 6ika n
≥ 3) dan m &anji" m ≤ 2n1) maka = kn,8 m E 3n2 k1n(
-u.ti: Misa"kan m &anji" m ≤ 2n1 dan n ≥ 3(
Pandan& &ra' 2# K kn
−1
∪ 2 K ( ra' ini n −1
=erorde 3n3 k1n dan terdiri dari 3 komponen( Komponen pertama ada"a$ &ra' "en&kap =erorde kn61) dan d!a komponen "ainnya j!&a masin&masin& mer!pakan &ra' "en&kap) den&an orde =ert!r!tt!r!t n1) n1( Komponen pertama $anya mem!at (k − 1) S n ) dan d!a komponen "ainnya masin&masin& tidak mem!at &ra' 2# K kn
−1
∪ 2 K tidak mem!at n −1
kS n (
Se"anj!tnya) per$atikan
S n (
*adi
ra'
E
F (
K
n-1
F
K
kn-1
K
n-1KK
K kn −1 K n −1
+ K n −1
mer!pakan &ra' tripartit yan& terdiri dari ti&a partisi den&an
masin&masin& partisi memp!nyai kn61, n61,dan n61 titik( ,ndaikan F mem!at 8 m den&an m &anji") maka titik p!sat roda akan =erada pada sa"a$ sat! partisi dan rim roda
C m =erada
pada ked!a partisi "ainnya( Karena sik"!s
C m
ada"a$ &anji") maka
ked!a partisi terse=!t tidak m!n&kin mem=ent!k &ra' =ipartit( ,ki=atnya)
47
keti&a
partisi dimaks!d di atas tidak m!n&kin mem=ent!k &ra' tripartit s!at! kontradiksi( *adi
F
&ra'
= (m − 2) K
W m !nt!k
tidak
F
n −1
W m
mem!at
!nt!k
∪ K tidak mem!at kn dan kn −1
m
&anji"(
Den&an
F E K kn −1 K n −1
m &anji"( Karena it!) dipero"e$ = kn,8 m
demikian
+ K tidak mem!at n −1
≥ 3n2 k1n !nt!k m &anji"(( ≤ 3n2 k
>erik!tnya akan dit!nj!kkan =a$%a =i"an&an .amsey = kn,8 m
1n( Da"am pem=!ktian akan di&!nakan proses ind!ksi matematika( #nt!k k # 1) =erdasarkan eorema 1(1 dipero"e$ = n,8 m E 3n2( ,s!msikan eorema =enar !nt!k setiap
r
<
k )
yakni = rn,8 m E 3n2 r 1n(
eorema j!&a =enar !nt!k
r
=
k (
,m=i" se=aran& &ra' F 1 den&an roda r
<
W m (
k )
maka =erdasarkan as!msi
mem!at
F 1
E 3n2 k1n( ,ndaikan
,kan dit!nj!kkan F 1 mem!at kn( Karena
dan T ada"a$ s!=&ra' W m )
F 1
,kan dit!nj!kkan =a$%a
F 1 mem!at
F 1
( k − 1) S n ( !"is
yan& diind!ksi o"e$ A( Karena
F 1 mem!at
tidak mem!at
≥ 3n2 r1n !nt!k setiap
maka men!r!t eorema 1(1) s!=&ra' T mem!at
dapat disimp!"kan =a$%a
F 1
A
= V ( F ) \ V ((k − 1)S )
T E3n2
S n (
n
1
dan
T tidak
Den&an demikian
k S n ( *adi dipero"e$ = kn,8 m
≤ 3n2 k
1n(
Te&rema $,2, = kT n,7 mE = T n.7 m k1n !nt!k se=aran& =i"an&an as"i n dan m.
-u.ti: Pandan& &ra' tidak mem!at
kT n dan
F
= (m − 2) K
n −1
∪ K ( ra' ini =erorde m1n1k 1n) kn −1
komp"emennya tidak mem!at K m ( Karena it!) dipero"e$
48
≥ m1n1k 1n41( Se=a"iknya) tetapkan m dan n kem!dian
= kT n,7 m
ap"ikasikan ind!ksi matematika !nt!k k. *ika k#1) =erdasarkan eorema 1(2 dipero"e$ = T n,7 m E n1m1 1( ,s!msikan eorema =enar !nt!k setiap
r
<
k (
,kan di=!ktikan eorema j!&a =enar !nt!k r#k. ,m=i" se=aran& &ra'
F F 1 1 den&an
E m1n1k 1n41( ,ndaikan
mem!at K m ( ,kan dit!nj!kkan F 1 mem!at !nt!k setiap B
r
<
k )
kT m (
n
Em1n11 dan mem!at
T n (
F 1
≥ m1n1r1n1
maka =erdasarkan as!msi F 1 mem!at (k − 1)T n ( !"is
= V ( F ) \ V ((k − 1)T ) dan @ ada"a$ s!=&ra' 1
Karena
tidak F 1
H tidak
mem!at
K m )
F 1 yan&
diind!ksi o"e$ <( Karena
maka men!r!t eorema 1(2) s!=&ra' @
Den&an demikian dapat disimp!"kan =a$%a
dipero"e$ = kT n,7 m
H
F 1 mem!at
k T n ( *adi
≤ m.1n1 k1n41(
Ke'imu"an Pada pasa" 1 penda$!"!an diketa$!i =a$%a
=i"an&an .amsey
!nt!k
kom=inasi &ra' =intan& dan &ra' roda = n,8 m den&an m &anji" sama den&an ni"ai =atas =a%a$ $-ata" dan Harary( Demikian p!"a !nt!k =i"an&an .amsey kom=inasi &ra' po$on den&an &ra' "en&kap = T n,7 m j!&a sama den&an ni"ai =atas =a%a$ $-ata" dan Harary( Pada pasa" 3) di=a$as men&enai =i"an&an .amsey !nt!k kom=inasi k kopi &ra' =intan& den&an &ra' roda = kn,8 m dan kom=inasi k kopi &ra' po$on den&an &ra' "en&kap = kT n,7 m( Hasi" dari pem=a$asan terse=!t )
men!nj!kkan =a$%a terdapat $!=!n&an
antara =i"an&an .amsey !nt!k kom=inasi &ra' =intan& dan &ra' roda = n,8 m 49
den&an =i"an&an .amsey !nt!k kom=inasi k 5opy &ra' =intan& dan &ra' roda = kn,8 m (
Ha" ini j!&a =er"ak! pada kom=inasi &ra' po$on dan &ra' "en&kap
= T n,7 m den&an kom=inasi k 5opy &ra' po$on dan &ra' "en&kap = kT n,7 m( Masa"a$ yan& masi$ ter=!ka !nt!k dikaji ada"a$ =i"an&an .amsey
= kn,8 m
!nt!k m &enap) dan = kT n,@ ( dimana @ ada"a$ se=aran& &ra' ke5!a"i &ra' 7 m( Kem!dian se"idiki apaka$ ada $!=!n&an antara = n,8 m den&an = kn,8 m !nt!k m &enap) dan = T n,7 m den&an = kT n,7 m) den&an k ≥ 2(
Da)tar A=uan
U1R ( ( >askoro) S!ra$mat) S( M( !rr) P( rdos dan *( H( Spen5er) .amsey $eorems 'or M!"tip"e opies o' rap$s) Trans. Amer. Math. oc () 20) 17( U3R ;( *( $en) ;( ( O$an& dan K( M( O$an&) $e .amsey
50
U@R Hasma%ati) >i"an&an .amsey !nt!k kom=inasi ra' >intan& ter$adap ra' .oda) Tasisi Magister ) Departemen Matematika I>) 2004( U7R Hasma%ati) ( ( >askoro dan H( ,ssiyat!n) Star6$e"" .amsey Mala ng ) Indonesia) @ Desem=er 2004(
*&a"#*&a" 1( Misa"kan +1 ada"a$ 'ra' =erorde s dan +2 ada"a$ &ra' =erorde t( !nj!kkan =a$%a r+1) +2 ≤ rKs)Kt 2(
Kita m!"ai den&an rk4)KE2( !nj!kkan =a$%a jika &ra' ada"a$ &ra' =erorde 2 tidak mem!at K4 se=a&ai s!=&ra') maka mem!at "ima titik yan& sa"in& =e=as(
3( !nj!kkan =a$%a = )T ;, 7 ; E = T ; .7 ; 4( ent!kan =atas =a%a$ men!r!t $a-ata" dan Harary !nt!k = n,8 m) jika n ≥ 3 dan m &anji" m ≤ 2n1( (
ent!kan =atas =a%a$ men!r!t $a-ata" dan Harary !nt!k = n,8 m) jika n ≥ 3 dan m ≥2n1(
51
