HANDOUT GRAF PLANAR DAN GRAF BIDANG
Kelompok 1 Anggota kelompok :
Siti Rofiqoh
(23070160014)
Fithrohtul Wafiroh
(23070160016)
Nursyaidah
(23070160039)
Sabto Hendri P
(23070160094)
Lailatul Faizah
(23070160113)
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA TAHUN AJARAN 2017/2018
GRAF PLANAR DAN GRAF BIDANG Definisi 1
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan) disebut sebagai graf planar, jika tidak maka disebut graf tak-planar. Perlu diperhatikan bahwa belum tentu suatu graf yang secara kasat mata terlihat sisisisinya saling berpotongan tak-planar. Graf tersebut mungkin saja planar karena graf tersebut dapat digambarkan kembali dengan cara berbeda yang sisi-sisinya tidak saling berpotongan. Contoh 1. Graf planar :
Contoh 2. Graf tak-planar :
Definisi 2
Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang ( plane graph). Pada gambar di bawah ini, ketiga buah graf adalah graf planar, tetapi graf (a) bukan graf bidang, sedangkan graf (b) dan (c) adalah graf bidang. Ketiga graf ini isomorfik. Untuk selanjutnya, istilah graf planar baik untuk graf yang dapat digambar (ulang) pada bidang datar tanpa ada sisi-sisi yang berpotongan maupun graf yang memang sudah tergambar tanpa sisi-sisi yang berpotongan (graf bidang)
1
(a)
(b)
(c)
Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka ( face). Jumlah wilayah pada graf bidang dapat dihitung dengan menghitung wilayah yang dibatasi dengan sisi-sisi dari sebuah graf termasuk wilayah terluar. Contoh 3 :
Rumus Euler
Jumlah wilayah ( f ) pada graf planar sederhana juga dapat dihitung dengan rumus Euler sebagai berikut :
− + = 2
atau
= − + 2
Keterangan :
= jumlah sisi = jumlah simpul Contoh 4 :
Misalkan graf sederhana planar dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah terbentuk? Penyelesaian : Diketahui jumlah simpul = = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 × 4 = 96. Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat seluruh simpul = 2 × jumlah sisi, sehingga 2
jumlah sisi = =
ℎ ℎ
2
=
96 2
= 48
maka, dari rumus Euler bahwa :
− + = 2, sehingga = jumlah wilayah= 2 − + = 2 − 24 + 48 = 26 buah.
Pada graf planar sederhana terhubung dengan wilayah, buah simpul, dan buah sisi (dengan > 2) selalu berlaku ketidaksamaan berikut :
≥
3 2
2
atau
3
≥
dan
≤ 3 − 6
Ketaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler , yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana (kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak memenuhi). Dinyatakan dengan corollary berikut : Corollary 1 jika adalah graf sederhana terhubung dengan adalah jumlah sisi dan
adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini ≥ 3 , maka berlaku ketidaksamaan Euler
≤ 3 − 6. Namun ketidaksamaan Euler hanyalah syarat perlu agar suatu graf dikatakan planar, tetapi bukan syarat cukup. Artinya, meskipun suatu graf planar sederhana memenuhi kedua ketidaksamaan itu, tetapi tidak selalu menjamin keplanaran suatu graf. Maka dari itu muncul asumsi baru bahwa setiap wilayah pada graf bidang dabatasi oleh paling sedikit empat buah sisi. Dengan demikian, total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4 . Tetapi, karena suatu sisi berada pada batas paling banyak dua wilayah, maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2. Jadi, muncul ketidaksamaan berikut :
2 ≥ 4
atau
2
≥
dan
hal tersebut dinyatakan dengan corollary berikut :
3
≤ 2 − 4
Corollary 2 jika adalah graf sederhana terhubung dengan adalah jumlah sisi dan
adalah jumlah simpul, yang dalam hal ini ≥ 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler ≤ 2 − 4.
Contoh 5 :
Tunjukkan bahwa graf tersebut adalah graf planar! Penyelesaian : Pada graf tersebut diketahui bahwa = 4 atau ≥ 3 dan = 6 Maka, menggunakan pertidaksamaan Euler :
≤ 3 − 4
6 ≤ 3(4) − 4
Dengan kata lain, graf tersebut adalah graf planar.
Contoh 6 :
Tunjukkan keplanaran dari graf di atas? Penyelesaian : Pada graf tersebut diketahui bahwa = 6 atau ≥ 3 selain itu tidak ada sirkuit yang panjangnya 3 dan = 9 Maka, menggunakan pertidaksamaan Euler :
≤ 2 − 4
9 ≤ 2(6) − 4
Dengan kata lain, graf tersebut adalah graf tak planar. sumber : Munir, R. (2014). Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
4
