CUATRO OPERACIONES El objetivo principal de este capítulo es que el alumno utilice adecuadamente las cuatro operaciones undamentales !"# $# %# &'( Las cuatro operaciones fundamentales, es el instrumento matemático mas antiguo utilizado por el hombre que nos permite resolver problemas de carácter comercial y de la vida diaria. Ejemplo )* Un comerciante compra cierta cantidad de agendas en S/.1! y los vende todos en S/.!"!, ganando as# S/.1,$% por agenda. &'uántas agendas compr( y cuánto le cost( cada una) Resoluci+n* *recio de costo total+ S/. 1! *reci *recio o de venta venta ttota otal+ l+ S/. S/. !" !"! ! ntonces+ -anancia total S/. 1%0 'omo ganancia en cada agenda es S/.1,$% ntonces+ 2 de agendas 1%0/1,$% 31! Ejemplo ,+ ,+ Un sastre pens( confeccionar 1%% camisas en !% d#as, pero tard( $ d#as más por traba4ar !,$ horas menos cada d#a. &'uántas horas traba4( por d#a) Resoluci+n+ Resoluci+n + l sastre perdi( !,$ horas por d#a, durante !% d#as5 es decir+ *erdi(+ !,$ 6 !% $% horas 50h = 10h / d Las que recupera en cinco d#as, a raz(n de+ 5d CA-CU-O .E .OS N/0EROS1 CONOCIEN.O* I' -A SU0A 2 .I3ERENCIA Se emplea solamente para determinar dos cantidades, si conocemos la suma 7 S8 y diferencia 7. 7.8 de ambos, lo que implica que una de las cantidades a calcular es mayor que la otra. 2 mayor
+ D S + 2
2 menor
− D S − 2
II' SU0A 2 COCIENTE n el caso que tengamos como dato la suma de dos n9meros 7S 7 S8 y el cociente de ambos 7q 7q8, podemos calcular ambos n9meros mediante la siguiente relaci(n+ 2 menor
S q +1
2 mayor
S .q q +1
III' .I3ERENCIA 2 COCIENTE n el caso que tengamos como dato la diferencia 7. 7 .8 y el cociente de ambos 7q 7q8, podemos calcular ambos n9meros mediante la siguiente relaci(n+ 2 menor
D q −1
2 mayor
D.q q −1
Nota+ Nota+ s recomendable recomendable saber que el cociente es la relaci(n del n9mero mayor al n9mero menor. : n un enunciado, al decir decir que+ - Un n9mero es el triple del otro significa que su cociente es ; - Un n9mero es la mitad del otro significa que su cociente es ! - Un n9mero es los los /3 /3 de de otro otro significa significa que+ q ...... ......
7q ;8. 7q !8.
Ejemplo 4* n cierto d#a, las horas transcurridas e6ceden a las que faltan transcurrir en horas. &< qu= hora ocurre esto) Resoluci+n* Sean >tiempo transcurrido? 7t.t8 y >tiempo no transcurrido?. Sabemos que la suma y la diferencia de estos dos tiempos es+ !h5 @ h 24 + 6 ⇒ t.t. 7mayor8 1$ horas 2 ∴ Aora+ 4 p(m(
S
Ejemplo 5 +@os 5 +@os personas tienen S/."%% y S/.;%%, respectivamente. respectivamente. Se ponen a 4ugar a las cartas a S/.1% cada partida y al final la primera que ha ganado todas las partidas, partidas, tiene el e l cuádruple de lo que tiene el segundo. &'uántas partidas partidas se 4ugaron) Resoluci+n La suma total de dinero, dinero, entre 4uego y 4uego, no var#a. ⇒ S S/.1!%% Luego de >n? 4ugadas+ q n ese momento el ganador tiene+ 1200 x 4 = S / .960 4 +1 habiendo ganado+ S/."% B S/."%% S/.% a S/. 1% cada partida. S / .60 ⇒ C de partidas n =6 S / .10 Ejemplo 6* n aquel entonces tu ten#as ten#as !% aDos más que yo, que ten#a la quinta parte de la edad que ten#as. Si eso sucedi( en 1"0%, actualmente 7!%%8 que edad tenemos, asumiendo asumiendo que ya cumplimos aDos. Resoluci+n+ Resoluci+n + n 1"0% la diferencia y el cociente de nuestras edades era+ @ !% 5 q $ Een#amos+ 20 x5 Eu 7mayor8 = 25 5 −1 Fo 7 menor8 !$ G !% $. ⇒
0:TO.OS OPERATI;OS
l prop(sito de este tema es mostrar los >m=todos? usados con mayor frecuencia, que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos5 aunque es necesario reconocer en que casos se deben aplicar. aplicar. 0ETO.O .E -AS .I3ERENCIAS !0
ulo' s un m=todo que se aplica a problemas donde participan dos cantidades e6cluyentes, una mayor que la otra, las que se comparan en dos oportunidades originando, generalmente, generalmente, en un caso sobrante o ganancia y en el otro caso un faltante o p=rdida. Ejemplo )* Un )* Un comerciante analiza+ si compro a S/.1$ el Hilo de carne me faltar#a S/.%%5 pero si s(lo compro de S/.0 el Hilo me sobrar#a S/.1%. &'uántos Hilogramos necesita comprar y de que suma dispone) Resoluci+n*
f Si compro a S/.1$ c/Ig GGGGGGG S/.%% s S/. 0 c/Ig GGGGGGGG S/.1% @u S/. 3 c/Ig
@t S/.$% Dt S / .560 ?@ ⇒ 'antidad 7Ig8 Du S / .7 ∴ @inero disponible
0%Ig 6 S/.0 J S/.1% S( ?@@
Ejemplo ,* ,* *ara ganar K!0 en la rifa de una filmadora filmadora se hicieron "% boletos, vendi=ndose 9nicamente 9nicamente 3$ boletos y originando as# una p=rdida de K13. 'alcular el costo de cada boleto y el valor de la filmadora.
Resoluci+n+
g Si vendiera "% bol GGGGGGGG K!0 p 3$ bol GGGGGGGG K13 B )6 bol B 56 ⇒ 'osto c/boleto
$45 15bol
4
∴ alor de la filmadora "% 6 ; G !0
B ,5,
0ETO.O .E- CANDREO !0m=todo inverso?, porque a partir del dato final se realizan las operaciones inversas hasta llegar al valor inicial. Ejemplo 4+ *epito? por su edad, el contest( con evasivas diciendo lo siguiente+ >si le agregas 1%, al resultado lo multiplicas por $ y enseguida le restas ! para luego e6traerle la ra#z cuadrada y por 9ltimo lo multiplicas por ;, obtendrás !?. &'uál es la edad de >*epito?) Resoluci+n+ 'onsiderando la edad de *epito+ 5 y aplicando las operaciones consecutivamente, como lo indicado por >*epito?, tenemos + J 1% 6 $ B ! 6 ; !
0ETO.O .E 3A-SA SUPOSICION !Re>la del Rombo' Se aplica cuando en un problema participan un n9mero de elementos divididos en dos grupos cuyos valores unitarios 7o caracter#sticas8 se conocen y además nos proporcionan el valor total, que es la resultante de sumar todos los valores unitarios. Ejemplo 6* n el sal(n de clase el peso promedio de cada alumno es de 3$ Hg y de cada alumna % Hg, si el peso total de todos es de %!% Hg. &n cuánto e6cede el n9mero de mu4eres al de los varones, si en total son %) Resoluci+n+ ste e6ceso es por que asumimos que todos eran varones, por lo que dimos un valor agregado a cada alumna de+ 3$ B % )6 F>. 480 ⇒ ° de alumnas ;! 15 ° de alumnos % B ;! !0 ∴ ∆ ;! B !0 5 : Las operaciones efectuadas en la soluci(n de este problema se pueden resumir en+
%
6
3$ G
G
%!%
% °
60 x75 − 4020 75 − 60
;!
sta es la regla práctica del m=todo de la falsa suposici(n, llamada N-L< @L NOPQO, que consiste en ubicar la informaci(n del problema en los cuatro v=rtices del rombo, de la siguiente manera+ P
E m
donde+ + 9mero total de elementos. P + Payor valor unitario. m + menor valor unitario. E + alor total.
Si se desea calcular el n9mero de elementos que tienen el menor valor unitario, se procede de la siguiente manera+ °
NExM − VT M − m
Ejemplo G+ n una billetera hay ! billetes que hacen un total de $% soles. Si solamente hay billetes de $% y 1% soles, cuántas eran de cada clase)
Resoluci+n+
!
6
$% G
G
$%
1% 24 x50 − 560 50 − 10 )G ° billetes 7S/.$%8 ! B 1 ?
⇒ ° billetes 7S/.1%8
RED-A CONUNTA s un m=todo que nos permite determinar la equivalencia de dos elementos. Procedimiento* 1. !. ;. .
'olocar la serie de equivalencias formando columnas. *rocurar que en cada columna no se repitan los elementos5 si se repiten cambiar el sentido de la equivalencia. Pultiplicar los elementos de cada columna. @espe4ar la inc(gnita.
Ejemplo H+ Si soles equivale a una libra esterlina5 ; yenes equivale a ! libras esterlinas5 $ marcos equivale a yenes5 y " marcos equivale a pesetas. &'uántas pesetas equivale a 1 soles) Resoluci+n+ S/. ! l.e. yen. " mar. R pes.
< < < < <
.!..".R
B
> > > > >
1 l.e. ; yenes $ marcos pesetas S/. 1 1.;.$..1 )@4
CONTEO .E 3IDURAS La facultad de observaci(n y percepci(n de cambios en muchas situaciones visuales está unida con la l(gica y la memoria. s necesario por eso, plantearse plantearse este tipo de situaciones, tales como las que aparecen en esta lista preliminar+
G 'omparar dos ob4etos para notar si son id=nticos
G ncontrar un ob4eto oculto, basándose en un modelo. G numerar y contar el con4unto de ob4etos observados G @escubrir el trazo de un recorrido oculto. G legir un recorrido (ptimo entre varias rutas disponibles, etc. *ara algunos de estos problemas se dispone de ciertos m=todos sistemáticos o algunas f(rmulas pre establecidas, mientras que para otros s(lo podemos contar con nuestra intuici(n e imaginaci(n imaginaci(n para obtener la soluci(n. Aaremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen. I(
CONTEO .E 3IDURAS
Ejemplo )* &'uántos triángulos observar en la la figura)
1
!
;
$
Los n9meros indican los triángulos reconocidos.
Ejemplo ,* &'uántos triángulos hay en
la figura)
Resoluci+n*
se pueden
a b c
<
d
e
f
g h
Eenemos que la cantidad de triángulos buscados son+ con 1 letra a, b, c, d, g, h J
C
.
E
Resoluci+n* *odemos contar de dos formas+ 1.
!.
Si utilizamos utilizamo s los v=rtices para identificarlos tendremos los siguientes triángulos+ ulos Si s(lo observamos y utilizamos nuestra memoria registramos estas imágenes+
! letras ab5 bc5 ad5 be5 cf5 de5 fg ; letras abc5 cfh letras abde5 defg5 defh $ letras bcefh 3 letras abcdefh ⇒ Eotal Ejemplo 4* 4* &'uántos segmentos en la siguiente figura) <
Q
Resoluci+n *
'
@
3 ! ; 1 1 !% hay
Si asignamos a cada uno de los pequeDos segmentos una letra 7e8, tenemos+ e e e e <
Q
'on 1 letra+ 'on ! letras+ 'on ; letras+ 'on letras+
'
@
en la figura)
segmentos ; segmentos ! segmentos 1 segmento.
Eotal de segmentos+ S J ; J ! J 1 1% ( S 1 J ! J ; J 1% Sumando miembro a miembro+ ! S $J$J$J$ !% s decir que para >e?, tenemos+ 4(5) SB B )@ 2 -eneralizando, para >n? espacios, tenemos ° Seg.
Ejemplo 6+ 6+ 'uántos cuadriláteros hay
n( n + 1)
Resoluci+n*
'alcularemos primero los cuadriláteros que habr#an sin las l#neas horizontales interiores y luego los cuadriláteros que habr#an sin las l#neas verticales interiores. s decir+
C de cuadriláteros
4(5) 1% 2
2
Nota+ Nota+ sta e6presi(n matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. Ejemplo + 'uántos triángulos hay en la figura)
C de cuadriláteros
3(4) 2
Luego, al superponerlos, se multiplican cuadriláteros )@ % G B G@ ⇒ C cuadriláteros
Resoluci+n+ Resoluci+n + Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. ntonces, para n $ C 5(6) triángulos )6 2
II(
3IDURAS .E TRAKO CONTINUO s posible dibu4ar algunas figuras con trazo continuo, esto es, sin recorrer dos veces la misma l#nea y sin levantar el lápiz del papel. 'on otros resulta imposible hacerlo. Ejemplo G* &'uáles de las figuras siguientes se puede dibu4ar con un solo trazo)
a
b
c
d
S(lo las figuras a, b y d se pueden dibu4ar de un solo trazo. La figura >c? es imposible trazarla, a menos que se repita un segmento. : Las razones se basan en una teor#a que se conoce desde la =poca de -eonard Euler 713$"8 y de la cual e6traemos algunos principios. G *ara que una figura figura se pueda dibu4ar de un solo trazo5 es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna l#nea, es necesario estar en alguno de los siguientes casos+ Caso I+ I+ Eodos los v=rtices de la figura dada deben ser pares5 entendi=ndose como v=rtice par aquel punto o nudo donde concurren un n9mero par de l#neas. La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los v=rtices y concluir en el mismo. Caso II+ II+ La figura debe tener s(lo dos v=rtices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los v=rtices impares y concluir en el otro v=rtice impar.
G 'ualquier otra situaci(n diferente a los dos casos, no da lugar a realizar la figura de un solo trazo. G Si deseamos dibu4ar de un solo trazo, una figura con mas de dos v=rtices impares, repetiremos como i−2 m#nimo l#neas5 donde >i? es el 2 n9mero de v=rtices impares. Ejemplo H* H* &'uáles de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por la misma l#nea)
<
Q
'
Ejemplo ?* 'omo m#nimo una araDa emplea $ minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de % cms. de longitud. &'uál es el tiempo que emplea en recorrer una arista)
Resoluci+n* *ara emplear el m#nimo tiempo en recorrer una arista, la araDa debe iniciar un recorrido en uno de los v=rtices. @ebido a que los 0 v=rtices son impares no podrá hacer el recorrido sin repetir algunos de ellos. ⇒ el m#nimo de aristas que repite en su 8−2 recorrido será+ ; 2 ∴ recorri(+ 1! J ; 1$ aristas Nesolviendo por regla de tres simple, tenemos+ 1$ aristas $ min T ;%% seg. 1 arista 6 1 x300 6 ,@ se> 15
OPERACIONES MATEMATICAS CONCEPTO* s un procedimiento matemático que sirve para transformar, su4eto a ciertas reglas, una o varias cantidades en otras5 basándonos en el principio de valor num=rico5 es decir, cambiando letras por n9meros. OPERA.OR* s un s#mbolo arbitrario que sirve para representar a una determinada operaci(n matemática y esta su4eto a una determinada regla de definici(n. OPERACILN 0ATE0ATICA* 'onsiste en la asociaci(n de una pare4a de n9meros para obtener uno nuevo que es resultado de la operaci(n. La adici(n, sustracci(n, multiplicaci(n y divisi(n son e4emplos de operaciones matemáticas. Se pueden definir Mnuevas operaciones asignándoles un operador que las distinga de las que ya conocemos, empleándose por lo general un asterisco 7:8 o cualquier otro s#mbolo. o debemos olvidar que cada >nuevo? operador debe acompaDarse de la regla o ley de formaci(n que la define. ESTRUCTURA* Operador a:b a J b J ab Operaci(n binaria Ley de formaci(n Ejemplo )+ Si se define la operaci(n a ♥ b seg9n la regla siguiente+ a ♥ b a J b J !ab Aallar+ ; ♥ $ Resoluci+n* *ara operar ; ♥ $ 5 reemplazamos a ; y b $5 en la regla de definici(n dada+ ⇒ ; ♥ $ ; J $ J !7 ; 6 $ 8 0 J !71$8 0 J ;% 4? • NOTA:
Si se trata de operar 7 1 ♥ ! 8 ♥ , se procede por partes y desde los s#mbolos de colecci(n5 es decir, empezando por la pare4a entre par=ntesis.
OPERACIONES .E3INI.AS POR TAJ-AS*
n lugar de una ley de formaci(n, para obtener el resultado, la operaci(n binaria puede presentar estos resultados en una tabla.
Ejemplo ,* *ara n9meros enteros definimos las siguientes operaciones+ a : b a! B b 5 a # b ; G b !5 y a ∆ b !a J;b Si 6 : 6 1! 5 y # y G 1% 5 Aallar el valor de 6 ∆ y 5 para 6 e y positivos Resoluci+n+
Ejemplo 4*
n la tabla no encontramos el resultado para ∇ 3 5 pero como los elementos distribuidos en el interior de la tabla son resultados de una ley de formaci(n para una operaci(n binaria, nuestra tarea será ahora hallarla.
@ada la tabla
:
3
$
!
;
3
$
0
0
;
1
"
1%
1
!
@e la tabla observamos que+ 1 ∇ ; ; que proviene de 1 J ; G 1 !∇$ !JB1 ∇; J;B1
Aallar+ [ 7 0 : 3 8 : $ ] : ! Resoluci+n+ *artimos de la operaci(n binaria a : b de modo que el primer elemento se ubica en la primera columna y el segundo elemento en la primera fila. *or lo que el resultado de 0 : 3 se ubica en la intersecci(n de estos n9meros. :
3
0
0
s decir que+ 0 : 3 0 ⇒ nos queda 7 0 : $ 8 : ! *rocediendo de manera seme4ante, tenemos que 0:$; Vinalmente+ ;:!B5 Se define la operaci(n a ∇ b, seg9n la tabla ad4unta. 1 ! ; ∇ 1
⇒
a b B a " b $ )
∇ 3 J 3 B 1 1% ∇ ; J ; B 1 0
Vinalmente+ 1% ∇ 0 1% J 0 B 1 )H OPERACIONES CO0O 3UNCIONES* *robablemente se recordará la t#pica frase >f de 6?5 de ciertas tareas escolares, que usualmente escribimos >f768?5 esta notaci(n es la funci(n. o parece evidente pero cada operador es una funci(n en la que empleamos 6 para indicar lo que ingresa como dato y f768 para indicar lo que se obtiene 7el resultado8
! 6! J 1
Se puede escribir+
Ejemplo 5*
1
-eneralizando+
!
;
@el mismo modo+
!
!
;
$
;
;
$
$
3
Aallar+ 7 ∇ 3 8 ∇ 7 ∇ ; 8 Resoluci+n*
f 768 ! 6! J 1
RWF
3 X − 2Y 5
Se puede escribir+ f 7R,F8
3 X − 2Y 5
Ejemplo 6*
Si definimos+
!
f 76 8 !6 J 1 Aallar+ f718 J f7%8
Resoluci+n+ *or comparaci(n hacemos que+ Si 6 1 ⇒ f718 !.1! J 1 ;
Resoluci+n+
Si 6 % ⇒ f7%8 !.%! J 1 1 Luego+ f718 J f7%8 ; J 1 5
Ejemplo G* Si
V7!6 J 18 6 G 1
Aallar+ V7;6 B !8 Resoluci+n+ n este tipo de problemas seguiremos el siguiente procedimiento+ G Xgualamos los dos argumentos !6 J 1 4% $ , - @espe4amos el >6? que nos dan en funci(n de la M% que nos piden !6 6
*ero por definici(n de la segunda operaci(n, tenemos+ 6 B %
x
x
J !
! J !
X
X
R G %
!
4% $ 4 3 x − 3
X
J !
J 1 R B % J 1
X
2
Vinalmente, reemplazamos en la funci(n que nos dan s decir+
-
x
x
J !
V7;6 B !8
3 x − 3 G1 2
J 1! X
3 x − 5 2
OPERACIONES COMPUESTAS
'onsiste en combinar dos o mas operadores, con sus respectivas leyes de formaci(n, incluyendo en una de ellas una operaci(n desconocida5 la cual hay que definirla empleando las operaciones dadas. Ejemplo H* Se define en los N+
! R J 1%
X
J 1! R
!
4 X + 104
X + 26 G 1!
⇒
esta nueva operaci(n+
a
a7a J !8 6 G % %
'alcular
!;
! 23 + 26 G 1! ! 6 3 B 1! B,
!;
Ejemplo ?*
Se define las operaciones
n
!n B $
n
! n
*ueden emplearse diferentes signos para indicar una operaci(n binaria5 las más usadas son+ :5 #.
Aallar >6?, en+
6
OPERACIONES JINARIAS 'onsiste en la asociaci(n de un par de elementos de un con4unto para obtener uno nuevo, que es resultado de la operaci(n.
G
;
Resoluci+n+ Neemplazando la primera operaci(n en la segunda, tenemos+
: 'uando el resultado de la operaci(n es un elemento del con4unto de partida se dice que el con4unto es cerrado 7'8 respecto a la operaci(n definida5 en caso contrario se dice que el con4unto es abierto 7<8 respecto a la operaci(n. 4emplo+ en el campo de l ; J 3 ∈ l → ' ; G G1 ∉ l → < ; 6 1! ∈ l → ' ; ÷ %,3$ ∉ l → <
! 7 !n B $ 8 n B 1%
n
ntonces, resolviendo por partes 78 B 1% 1
: *ropiedades+
Neemplazando en
1. Conmutativa+
1
!718 B $ ,4
;
a:b b:a !. Asociativa+
Luego+
a,b ∈ P
a,b,c ∈ P
7a:b8:ca:7b:c8
! 7;8 B $ 1
;. .istributiva+
Neemplazando en+
a,b,c ∈ P
a:7bWc8 7a:b8 W 7a:c8 ;
1
718 B 1% $ G
. Elemento neutro a ∈ P ∃ e/a: e a e + elemento neutro
Por lo tanto:
6
!; B 7 G 8 !"
Vinalmente5 aplicando !6 B $ !"
n este caso la operaci(n : es distributiva respecto a la operaci(n W
, tenemos
⇒ % B )H
•
n el caso de la adici(n ⇒ e% aJ%a
•
n el caso de la Pultiplicaci(n ⇒ e1 a61a
6( Elemento inverso
Ejemplo )@* Si se define la operaci(n mediante la tabla ad4unta
a ∈ P ∃ aG1 /a :aG1 e aG1 + lemento inverso
:
$
3
n el caso de la adici(n. aG1 Ga ⇒ aJ7Ga8 %
$
$
3
3
$
n el caso de la multiplicaci(n aG1
1 a
1 a
a. 1
⇒
Ejemplo 7* Se define la operaci(n : mediante la sgte. tabla+ : < Q ' @
a c d a b
b d a b c
' < Q ' @
d b c d a
Aallar >6? en+ aG1 : bG1 6 : c Resoluci+n* 1o 'alculamos el elemento neutro a:
a⇒
c
!o Parcamos en la tabla c : < Q C @
a c d a b
b d a b c
c a b c d
d b c d a
;o Aallamos los inversos respectivos aG1 a bG1 d cG1 c dG1 b ⇒ aG1:bG1 6 : c
a:d 6 : c b 6:c % B b
3 3 $ G1 G1 Aallar+ 7$ : 8 : 3
Resoluci+n 1o 'alculamos el elemento neutro $: $ ⇒ $ !o @e la tabla obtenemos los inversos de $ y $G1 $ B1 3 ⇒ 7$G1 : G18 : 3 7$:38 : 3 3:3G
SITUACIONES -ODICAS n este cap#tulo vamos a plantear situaciones en los que solo necesitaremos una pequeDa dosis de concentraci(n para dar con la respuesta debida5 sin necesidad de recurrir a la teor#a matemática, sino al sentido com9n.
'omo el nadador es el más 4oven, Luis no puede ser nadador 7ya que es el de más edad8. • Luis no 4uega básquet, ya que es vecino del basquetbolista. • Yuan es menor que el tenista, luego Yuan no es el tenista. • Yuan no 4uega básquet, ya que el basquetbolista es mu4eriego y Yuan es t#mido. •
'olocando en un cuadro todo lo analizado, tendremos+
eremos problemas sobre+ G Eest de decisiones. - 'ortes y stacas. - *arentesco 7Nelaciones familiares8 - Pá6imos y P#nimos. 'ertezas - Orden de Xnformaci(n - Nazonamiento l(gico. - Nazonamiento XnductivoG@eductivo.
Yuan Pario Luis Yorge
TEST .E .ECISIONES+ stá formado por problemas con un aparente caos en su redacci(n, donde e6isten muchos datos en desorden, los que pueden ser ordenados por lo general en cuadros.
ntonces el cuadro completo será+
Ejemplo )* n un club se encuentran cuatro deportistas cuyos nombres son+ Yuan, Pario, Luis y Yorge. Los deportes que practican son+ nataci(n, básquet, f9tbol y tenis. 'ada uno 4uega s(lo un deporte. - El nadador, que es primo de Juan, es cuñado de Mario y además es el más joven del grupo.
G Luis que es el de más edad, es vecino del básquetbolista, quien a su vez es un mu4eriego empedernido. G Yuan que es sumamente t#mido con las mu4eres y es 3 aDos menor que el tenista. &Mui=n practica básquet) Resoluci+n*
ataci(n Qásquet
O O O
V9tbol
O
Eenis
O
O
Como cada personaje practica sólo un deporte, en cada columna debe haber un SI y en cada fila también; Esto hace que si una fila y columna tienen en este caso tres veces NO, el cuarto casillero se completa con SI. ataci(n Qásquet
Yuan Pario Luis Yorge
O O O SX
V9tbol
O SX O O
SX O O O
Eenis
O O SX O
*or lo tanto, el que practica básquet es 0ario.
CORTES 2 ESTACAS*
Si tuvi=ramos una varilla de 1! cm, necesitamos hacer un corte para lograr dos piezas iguales, o dos cortes para lograr tres piezas iguales o tres cortes para lograr cuatro piezas iguales. Nepresentamos esto gráficamente+ 1!
•
C de 'ortes 1
12 G 1 6
1!
;
C de 'ortes !
C stacas $
12 G 1 4
;
;
C de 'ortes ;
;
LU
12 G 1 3
: l C de 'ONES que podemos hacer en una varilla estará dado por la siguiente relaci(n+ Lt Lu
G 1
* Para considerar el hecho de colocar postes o estacas, cada cierta distancia; como en el caso de cortes, lo consideramos gráficamente:
1!
C SE<'
C stacas
12 J1 4
1!
;
12 J 1 3
LU
LE .......
Nº ESTACAS =
n el 9ltimo e4emplo, 1! es la Longitud Eotal 7Lt8 de la varilla y ; es la Longitud de cada pieza o Longitud Unitaria 7L U8, de modo que en general+
C 'ONES
;
n general +
1! ;
;
12 J1 6
LU Lt Lu
+ 1
Ejemplo ,* Un 4oyero cobra S/.$ por dividir una barra de hierro en dos partes. 'uánto se tendrá que pagar si debe partirla en 3 pedazos) Resoluci+n* 'on 1 corte obtenemos ! pedazos ! cortes ; pedazos ; cortes pedazos + + ⇒ cortes 3 pedazos ∴ *ago 6 $ S(4@ PROJ-E0AS SOJRE PARENTESCO *or lo menos? , >
! hermanos *<*<
P
EXO
! esposos
; AXY
⇒
; hermanas ; sobrinas P#nimo nC de personas G
PROJ-E0AS SOJRE 0AI0OS 2 0INI0OS Ejemplo 5* Una urna tiene 1$ bolas negras, 1! ro4as y " amarillas. 'uál es la m#nima cantidad que debo sacar para tener al menos una de cada color)
Resoluci+n+ Supongamos que la primera bola que se e6trae es negra 7son las que mas hay85 luego necesito sacar una ro4a y finalmente una amarilla para tener una de cada color5 pero la pr(6ima puede seguir siendo negra y asZ sucesivamente. *or lo tanto, las primeras bolas que se e6traen son las 1$ de color negro5 las siguientes serán las 1! de color ro4o y finalmente se sacará una de color amarillo. ⇒ Qolas e6tra#das 1$ J 1! J 1 ,? ORDEN DE INFORMACIÓN
Los principales casos son+ a8 Ordenamiento vertical* se aplica para el ordenamiento de alturas tamaDos, edades, punta4es obtenidos por personas, entre otros. Ejemplo 6* Yudith es mayor que Susy. Soledad es menor que Yessica. Susy es menor que Soledad. Mui=n es la menor) Resoluci+n+ Yudith
Yessica Soledad
Susy
⇒ La menor es Sus8(
b8 Ordenamiento oriontal+ se aplica para ordenamiento de personas en una hilera o sentados en butacas o uno al lado de otro5 para autos en hilera, entre otros. Ejemplo G* Seis amigos+ <, Q, ', @, , V5 se sientan en seis asientos contiguos en el cine. < se sienta 4unto y a la izquierda de Q5 ' está a la derecha de <, entre V y @5 @ está 4unto y a la izquierda de 5 V está a la izquierda de . Mui=n ocupa el cuarto asiento, si los contamos de izquierda a derecha) Resoluci+n* Ubicando de acuerdo a la informaci(n, tenemos+ Xzquierda @erecha < Q V ' @ ⇒ el C asiento es ocupado por C
c8 Ordenamiento circular+ se aplica cuando un con4unto de seres se ordenan alredor de una mesa circular o eliptica, o 4uegan a la ronda. Ejemplo H* Seis amigos están sentados alrededor de una mesa eliptica. Si se sabe que Luis no está sentado al lado de nrique ni de Yos=. Vernando no está al lado de -ustavo ni de Yos=. nrique no está al lado de -ustavo ni de Vernando. *edro está sentado 4unto a nrique, a su derecha. Mui=n está sentado a la izquierda de nrique. Resoluci+n* Ubicando de acuerdo a la informaci(n tenemos+ J
G
E
19
L
20 P
⇒ OS: es el que está sentado a la
izquierda de nrique.
RAKONA0IENTO -LDICO* < continuaci(n abordaremos problemas que no requieren de alguna teor#a matemática comple4a, s(lo nuestro sentido l(gico. Ejemplo ?* PaDana será el ayer del antes de ayer del maDana del sábado. Mue d#a fue ayer) Resoluci+n : mpezamos por el final5 es decir+ PaDana del sábado + @omingo.
Resoluci+n* Si asignamos letras a las figuras pequeDas, ellas s(lo ser#an los triángulos simples. ⇒ 'ontando, en forma acumulada, por
filas, tendremos+ Aasta la fila+ 1 ! ; + !%
Eotal de triángulos+ 1 " 1 +
1! !! ;! ! !%!
∴ Eendremos en total 5@@ triángulos
simples.
⇒ PaDana será 4ueves
Aoy es Pi=rcoles.
∴
RAKONA0IENTO IN.UCTI;O s aquel tipo de razonamiento que partiendo de casos particulares llega a una conclusi(n en general+
Ejemplo 7* &'uántos triángulos simples, en total, hay en la figura) 1 2 3
PLANTEO DE ECUACIONES
*ara resolver un problema relativo a n9meros o cantidades desconocidas se debe e6presar una informaci(n escrita en idioma normal, en el simplificado idioma de las proposiciones
matemáticas, las cuales nos permiten operar con más comodidad y rapidez que otros procedimientos. sto implica realizar una especie de traducci(n de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye el argumento más 9til en todo el proceso de soluci(n. < continuaci(n presentamos un listado de frases t#picas que suelen aparecer en los problemas, y a un costado su respectiva traducci(n matemática+ l resultado de sumar un n9mero a 3
3JR
La suma de alg9n n9mero y 1;
J 1;
l resultado de restar a 10 alg9n n9mero
10 G [
@os veces la suma de un n9mero y $
!7 ∆ J $8
(tese que cada vez que nos hemos referido a un n9mero o alg9n n9mero, en la traducci(n matemática, =sta se ha representado por una letra 7R,F,[8 o un s#mbolo+ □ 5 ∆
Un n9mero, aumentado en $ da como suma !;
n
J $
!;
S/. menos que el costo de un sombrero es S/. 13
G ⇒ x
G
6
13
Procedimiento para resolver problemas La e6periencia nos permite proponer que lo esencial para resolver un problema planteando ecuaciones, consiste en la habilidad para seguir cada uno de los siguientes pasos+
18 Nepresentaci(n de las cantidades desconocidas o inc(gnitas por variables 76, y, z, ... etc.8. !8 *lanteo de las ecuaciones que relacionan a las inc(gnitas con los datos del problema. ;8 Soluci(n de las ecuaciones planteadas5 esto es, determinar los valores de las variables. 8 *rueba o verificaci(n de los valores obtenidos para ver si cumplen las condiciones del problema.
o está demás afirmar que las etapas de representaci(n y planteo, requieren la mayor concentraci(n posible, pues al realizarlas correctamente se asegura una soluci(n del problema. s por eso que a estas etapas les daremos mayor =nfasis en los e4emplos que presentaremos a continuaci(n. Ejemplo ) l cuadrado de un n9mero, disminuido en " equivale a 0 veces el e6ceso del n9mero sobre !. Aallar el n9mero. Resoluci+n+ Sea >? el n9mero buscado e interpretando la informaci(n, tenemos+ \ G " 0 7G!8 \ G " 0 B 1 \ G 0 J 3 % 7G38 7G18 % G3 % ( B1% 3 1 Ejemplo , l e6ceso de 0 veces un n9mero sobre % equivale al e6ceso de % sobre 3 veces el n9mero. Aallar el n9mero. Resoluci+n Sea >? el n9mero. @el primer párrafo obtenemos+ 0 G % @el segundo párrafo obtenemos+ % B 3 Las cuales son equivalentes ∴ 0 B % % B 3 1$ 1!% NB? Ejemplo 4
'ompr= el cuádruple del n9mero de caballos que vacas, si hubiera comprado $ caballos más y $ vacas más, el n9mero de caballos ser#a ! veces mayor que el n9mero de vacas. &'uántos caballos compr=) Resoluci+n @el primer párrafo encontramos+ 'aballos+ 6 acas + 6 @el segundo párrafo obtenemos+ 'aballos+ 6 J $ acas+ 6 J $ 'aballos ser#a ! veces mayor que vacas ; 6 J $ ;76J$8 6 J $ ;6 J 1$ 6 1% ⇒ caballos comprados son+ 71%8 5@ Ejemplo 5 n cada d#a, de lunes a 4ueves, gan= K más que lo que gan= el d#a anterior. Si el 4ueves gan= el cuádruplo de lo que gan= el lunes, &'uánto gan= el mi=rcoles) Resoluci+n @e la informaci(n obtenemos que+ Lunes + 6 Partes+ 6J Pi=rcoles+ 6 J 1! Yueves+ 6 J 10
6 6J <1 6 76 J 8 Si las dimensiones aumentaran en m tendr#amos+ 6J 6J0
6 J 0 !6 60 ∴ dimensiones ? m 8 ), m(
Ejemplo G Una mecan(grafa escribe 0$ palabras por minuto. mpieza su traba4o a las 0+%% am5 y % minutos despu=s, empieza otra mecan(grafa que escribe 1%! palabras por minuto. &< qu= hora habrán escrito estas el mismo n9mero de palabras) Resoluci+n La 1C mecan(grafa escribe 0$ palabras por minuto, entonces+ en 6 minutos escribirá+ 0$6 La !C mecan(grafa escribe 1%! palabras por minutos, y empieza % min despu=s, entonces+ en 76G%8 min escribirá+ 1%! 76G%8 'omo las mecan(grafas han escrito el mismo n9mero de palabras+ 1%! 76G%8 0$6 1%!6 B %0% 0$6 136 %0% 6 !% min 7 horas8 ⇒ hora 0 a.m. J h ), m Ejemplo H n un aula los alumnos están agrupados en bancas de alumnos por banca. Si se les coloca en bancas de alumnos por banca se necesitar#an ; bancas más. 'uántos alumnos hay en el aula)
Resoluci+n Sea el n9mero de alumnos en el aula y >6? el n9mero de bancas.
6 1C
1!6 ;6 !C
;C
Sumando todos los ladrillos debemos tener "$%. 6 J ;6 J 1!6 "$% 1"6 "$% 6 $% *rimer tabique + !%% Segundo tabique + 1
%$Eercer tabique
+ %%
Ejemplo 7 Se tiene tres n9meros tales que el segundo es /$ del primero, el tercero es ] del segundo y el producto de los tres n9meros es ;0%. Aallar el menor. Resoluci+n Sea 1, ! y ; los tres n9meros N 4 4 N 2 = N1 ⇒ 2 = 5 N1 5 N 3 3 N2 ⇒ 3 = 4 N2 4 @e esta proporcionalidad obtenemos que+ ! I 1 $H ; ;I l producto es ;0% ⇒ 7$I8 7I8 7;I8 ;0% %I; ;0% I; I ∴ el menor es ; ; 78 1! Ejemplo )@ Se reparte ;%%% soles entre personas de tal manera que a la primera le corresponda %% soles más que a la segunda5 a =sta, /$ de lo que le corresponde a la tercera5 y =sta 1%% soles más de lo que le corresponde a la cuarta. &'uánto recibi( la segunda persona) N3 =
Resoluci+n
10H !3%% H 1$% ∴ La segunda persona recibi(+ 71$%8 S( G@@
Ejemplo )) @e un tonel de 1% litros se e6trae tanto como veces no se e6trae, de lo que queda se e6trae tanto como no se e6trae. &'uánto queda en el tonel) Resoluci+n -raficando un tonel e interpretando la primera condici(n, tenemos+ 6 6
1%
6 J 6 1% $6 1% 6 !0 ⇒ Aa quedado !0 litros
-raficando en un tonel lo que a quedado e interpretando la segunda condici(n, tenemos+ Y y
y J y !0 ⇒ y 1
∴ Mueda en el tonel )5 litros(
EDADES ste tema corresponde esencialmente al planteamiento de ecuaciones. La soluci(n a este tipo de problema involucra reconocer cada uno de los siguientes elementos+ G SUETOS+ @ebemos identificar el n9mero de su4etos que intervienen. G TIE0PO 7verbo8+ debemos tener presente que la acci(n del problema se desarrolla en distintos tiempos. >Aace $ aDos? >@entro de 0 aDos?. G CON.ICIONES+ relaci(n entre los persona4es, en el tiempo. >Aace $ aDos tu edad era el triple de la edad que tengo? >@entro de 1% aDos mi edad será el doble de la que ten#as hace ; aDos?. PROBLEMAS SOBRE EDADES
TIPO I*
CUAN.O INTER;IENE -A E.A. !E' .E UN SO-O SUETO m? aDos @entro de >n? aDos Bm *asado
E *resente
Jn Vuturo
Ejemplo ) @entro de !% aDos *edro tendrá el doble de la edad que ten#a hace 1% aDos. &Mu= edad tendrá dentro de ! aDos) Resoluci+n* dad actual+
dad dentro de !% aDos+ J !% dad hace 1% aDos+ G 1% ⇒ *odemos plantear+
J !% !7 B 1%8 J !% ! G !% % ∴ @entro de ! aDos tendrá 5, a9os Ejemplo , Si al cuádruplo de la edad que tendr= dentro de 1% aDos, le restamos el triple de la edad que ten#a hace $ aDos resulta el doble de mi edad actual. Mue edad ten#a hace $ aDos. Resolución:
dad actual+ @entro de 1% aDos+ J 1% Aace $ aDos+ G $ ⇒ *lanteando la ecuaci(n+ 7 J 1%8 B ;7 B $8 ! J % B ; J 1$ ! $$ ∴ Aace $ aDos ten#a 6@ a9os Ejemplo 4 *edro tiene $ aDos. @entro de cuántos aDos tendrá el doble de la edad que ten#a hace 1$ aDos) Resoluci+n* dad actual+ $ aDos Aace 1$ aDos ten#a+ $ B 1$ ;% aDos l doble de esa edad es+ !7;%8 % aDos l tendrá % aDos dentro de+ % B $ )6 a9os TIPO II* CUAN.O INTER;IENEN -AS E.A.ES .E .OS O 0QS SUETOS s conveniente para la soluci(n de este tipo de problema el uso de un cuadro. *or e4emplo, analicemos para tres su4etos en tres tiempos y luego completamos el cuadro+
TIE0POS
*
<
E
Q
O
'
Y
E
;%
1$ !
S
A<' $ <^OS
@ENO 0 <^OS
Se observa que+ G La diferencia de edades entre dos personas, en el transcurso del tiempo no var#a.
Ejemplo 5 l le dice a lla+ >Fo tengo el triple de la edad que tu ten#as cuando yo ten#a la edad que tu tienes?. &'uántos aDos tienen ambos, si sus edades suman $% aDos) Resoluci+n+ mpleando un cuadro para ! persona4es, en dos tiempos, tenemos+ *asado
*resente.
L
y
;6
LL<
6
y
%$ 6 1% ∴ l tiene ;6 ;71%8 4@ a9os lla tiene y5 es decir+ ,@ a9os Ejemplo 6 @entro de !% aDos, la edad de Par#a será a la de @iana como es a ;. &'uál es la edad de ambas si hace 1; aDos la edad de Par#a era el qu#ntuplo de la de @iana) Resoluci+n+ mpleando cuadro de doble entrada, para dos persona4es y tres tiempos. *artiendo de la informaci(n en el futuro 7dentro de ,@ a9os8, tenemos+ *asado *resente Vuturo Par#a @iana
H ;H
'on este dato completamos el cuadro, para el presente y el pasado !ace )4 a9os'(
Resoluci+n* *asado
*resente
Noberto
6
,5 B G(
Qetty
;6
*asado *resente Vuturo Par#a
H B ;; H B !%
H
@iana
;H G ;; ;H B !%
;H
Aace *resent @entro 0 aDos e de 1! aDos *adre Ai4o
Eeniendo en cuenta que hace 1; aDos la edad de Par#a era el qu#ntuplo del de @iana, planteamos la siguiente ecuaci(n+ H B ;; $7;H B ;;8 H B ;; 1$H B 1$ 11 H 1;! H 1! ∴ dad de Par#a 71!8 B !% ,? a9os dad de @iana ;71!8 B !% )G a9os Ejemplo G Noberto tiene ! aDos5 su edad es el s=6tuplo de la edad que ten#a Qetty cuando Noberto ten#a la tercera parte de la edad que tiene Qetty. Mu= edad tiene Qetty)
*A -
*!A
Digamos que hace 8 años el hijo tenía “x” años; en tanto que el padre tenía “4x”. En la actualidad el hijo tendrá “x+8” y el padre “4x + 8” Dentro de 12 años tendrán “x + 20” y “4x + 20”.
Ubicando esta informaci(n en el cuadro tenemos+
Aace *resent @entro 0 aDos e de 1! aDos *adre R Ai4o
R
R J 0
R J !%
RJ0
R J !%
@e la segunda condici(n+ * !A 6 J !% !76 J !%8 6 J !% !6 J % !6 !% 6 1% ∴ dad del Padre 71%8 J 0 5? a9os ijo B )? a9os Ejemplo ? José le dice a Pablo: “Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”. Hallar ambas edades actuales. Resoluci+n* Empleando cuadro para dos personas y en tres tiempos; así como ubicando la información de la primera condición del problema, tenemos:
*asado *resent e Yos=
F
!R
*ablo
R
F
Vuturo
@e la segunda condici(n+ > nuestras edades sumarán ; aDos? Si *ablo tendrá !6, entonces Yos= tendrá ; B !6
*asado *resent e Yos=
F
!R
*ablo
R
F
Vuturo ; G !R !R
*or diferencia de edades 7no cambia con el transcurso del tiempo8+ G Eiempos pasado y presente y B 6 !6 B y !6 ;y .... 7X8 G Eiempos presente y futuro !6 B y 7; B !68 B !6 !6 B y ; B 6 y 6 B ; ..... 7XX8 Neemplazando en 7X8 tenemos !76 B ;8 ;6 1!6 B 1! ;6
6 1
n 7XX8+ y 718 B ; !1 ⇒ las edades son+
Yos=+ !718 ,? a9os *ablo + ,) a9os TIPO III* USO .E- CRITERIO ARIT0:TICO
*ara saber en que aDo cumpli( a7b8 aDos, es decir+ 7$8 !% aDos esta edad la sumaremos a su aDo de nacimiento5 es decir+ 1"$ J !% )7G6 Ejemplo )@ Una persona tiene en 1"00 tantos aDos como el producto de las dos 9ltimas cifras del aDo de su nacimiento. &'uál es su edad actual 7!%%8,
considerando que este aDo ya celebr( su onomástico) Resoluci+n* 'onsiderando aDo de nacimiento+ 19ab Eendremos que+ a7b8 1"00 B 19ab a7b8 1"00 B 1"%% B 1%a B b ordenando 1%a J b J a7b8 00 1%a J b71 J a8 00 sta igualdad cumple para+ ayb ya que+ 1%78 J 71 J 8 00 ⇒
'omo el problema relaciona a tres tiempos, entonces hacemos el esquema para el primer párrafo+ uan os<
Pasado yG; 6G3
Presente 3uturo 6 y
Seg9n el segundo párrafo tenemos+ Pasado Presente 3uturo uan 6 !y os< y G!y @e los dos esquemas, aplicando diferencia de edades, tenemos+ 7yG;8G76G38 6Gy ⇒ 6 yJ! !yG7G!y8 6Gy ⇒ 6 $yG Xgualando+ $y B yJ! y 0 y 13 ∴ Yos= tiene )H a9os
e = .t. =
e t
t=
e ν
e = espacio o distancia recorrida = rapidez empleada t = tiempo empleado
Definiciones Importantes: a)
Rapidez ( ν): Característica física de un móvil que nos informa que tan rápido este móvil pasa de una posición a otra. Se expresa en unidades de longitud por tiempo (e/t); ejemplos: m/s, m/min; km/h.
b)
MOVILES &Mui=n llegará primero a la *N) *NGU<'
;%I/h
1%m/s
Velocidad
( v ): Es
un magnitud vectorial que nos indica la rapidez con la que se mueve un objeto (móvil) y la dirección en que lo hace. Para la solución de estos problemas debemos tener cuidado que las unidades sean consistentes; por ejemplo si la rapidez esta expresada en m/s, el tiempo debe estar en segundos y la distancia en metros.
Ejemplo 1:
Los problemas referentes a móviles consideran a carros, trenes, aviones o personas; asimismo, hacen mención a metros por segundo, kilómetros por hora o a cualquier otra terminología relacionada con el movimiento. Estos problemas se resuelven básicamente con la fórmula: distancia = rapidez x tiempo, que corresponde a un movimiento uniforme.
Cinco horas demora un auto en viajar de Lima a Huancayo a razón de 80 km/h. Si cada 10 km en la carretera que une ambas ciudades se desea colocar un banderín, ¿Cuántos banderines se requieren, considerando que debe haber uno al principio y otro al final?
Resolución Debemos primero calcular la distancia entre Lima y Huancayo, para lo cual contamos con la rapidez con que viaja el auto y el tiempo que emplea; por lo tanto: d = x t = d = 400 km
Además: e
t
80km x 5 h h
Cálculo del número de banderines a colocar; para lo cual tenemos: dT = 400 km du = 10 km
Nº banderines =
encuentro del otro, se encontrarán en un tiempo te, definido por:
400 + 1 = 41 10
1
Rapidez Promedio:
Se refiere a la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total empleado
ν p =
te =
Dis tan cia Total Tiempo Total
Ejemplo 2: Un auto viaja de una ciudad A a otra B, distantes 500 km, a razón de 100 km/h y regresa hacia A con una rapidez de 50 km/h. Hallar la rapidez promedio durante el viaje de ida y vuelta.
100 km/h A
B 50 km/h 500 km
Ejemplo 3: La distancia entre dos ciudades es de 400 km. Un auto parte de la ciudad A hacia B a razón de 50 km/h y en el mismo instante parte de B hacia A otro auto a razón de 30 km/h. Después de cuánto tiempo se encontrarán y a que distancia del punto B?.
Resolución
Tiempo de viaje de regreso
500km tr = =10h 50km / h
VB = 30km/h te
Tiempo de viaje de ida:
500km = 5h 100km / h
d v2 + v1
donde: te : tiempo de encuentro d : distancia que los separa al inicio 2; 1: rapidez con la que viajan los móviles.
VA = 50 km/h
Resolución
ti =
2
A
dA
dB
B
400 km
Cálculo del tiempo de encuentro: te =
400km 400km = = 5h (50 + 30)km / h 80km / h
tiempo total = 5 + 10 = 15 h. Distancia total recorrida = 500 + 500 = 1000 km. prom =
1000km 200 2 = = 66 km / h 15h 3 3
Tiempo de encuentro:
Cálculo de la distancia de B hasta el punto de encuentro: dB = VB x te = 30 km/h x 5 h = 150 km
Tiempo de Alcance: Si dos móviles parten simultáneamente de diferentes puntos y viajan en la misma dirección pero en sentidos opuestos, una el
Si dos móviles parten simultáneamente y viajan en la misma dirección; en el mismo sentido y el segundo viaja con mayor
rapidez, entonces lo alcanzará el primero en un tiempo ta, definido por:
2
1 !
ta =
Resolución
d v2 − v1
donde: ta : tiempo de alcance d : distancia que los separa al inicio 2; 1: rapidez con la que viajan los móviles.
Ejemplo 4: La distancia entre dos ciudades A y B, es de 200 km. Un auto parte de la ciudad A hacia otra C, situada a 350 km al Est e de B, a razón de 50 km/h; en el mismo instante parte de B otro auto hacia C; a razón de 30 km/h. Después de cuánto tiempo alcanzará el móvil que partió de A al que partió de B y a que distancia de C ?
Resolución ta
VB = 30 km/h
A
B
C dB
200 km
Cálculo de tiempo de alcance: ta =
120 m
240 m
La distancia total que recorre el tren para cruzar es: 240 m + 120 m = 360 m En un tiempo de 6 min (360 seg) =
360m = 1m / seg 360 seg
Ejemplo 6: Luis viajó de Lima a Huancayo empleando 8 horas. Si al regreso aumenta su rapidez en 15 km/h llegando en 6 horas, ¿cuál es la distancia total recorrida?.
Resolución
ta VA = 50 km/h
Un Tren de 120 metros de longitud se demora en pasar por un puente, de 240 metros de largo, 6 minutos. ¿Cuál es la rapidez del tren?
200km 200 = = 10h (50 − 30)km / h 20
Distancia recorrida por B:
30km x10h = 300km h Se da el alcance a 50 km de C.
A la ida recorre una distancia “D” con una rapidez de km/h llegando en 8 h. D = 8 ....... (I) A la vuelta recorre la misma distancia “D” con una rapidez de ( + 15) km/h llegando en 6 h. D = 6( +15) ....... (II) Como (I) y (II) son iguales, tenemos: 8 = 6 ( + 15) 8 = 6 + 90 2 = 90 = 45 km/h
dB =
Ejemplo 5:
distancia total recorrida = 2D En (I) = 2 (8.45) = 720 km.
Ejemplo 7
La distancia entre T y L es de 550 km. Abner sale de T a L y Josué de L a T, ambos simultáneamente a las 10 pm. El ómnibus en que viaja Abner recorre a un promedio de 90 km por hora y el de Josué a 85 km por hora ¿A qué hora y a qué distancia de T se cruzarán?
Resolución = 90 km/h
= 85 km/h
T
L
8
p – 64 = 5 p=
Ejemplo 9 “Vladi” sale de su casa con una rapidez de “a” km/h y dos horas más tarde “Fuji” sale a buscarlo siguiendo la misma ruta, con una rapidez de “a+b” km/h. ¿En cuántas horas lo alcanzará?
Resolución
"a" km/h
550 km Para saber a que hora se cruzan, aplicaremos tiempo de encuentro: te =
550km = 3.14h 3h09 min. (90 + 85)km / h Se cruzarán a: 10 pm + 3 h 9 minutos
1:09 am DT = 90 x 3.14 =
d “Vladi” en 2 horas le ha tomado una ventaja de: d=
.t
d = 2a
"Fuji" "Vladi"
282 km 857m
Ejemplo 8: Un ladronzuelo corre a razón de 8m/s. Un policía que se encuentra a 150 m de distancia empieza a perseguirlo y logra alcanzarlo luego de 4 min. Con qué rapidez corrió el policía.
2a Que “fuji” debe descontarlo en:
ta =
d 2a 2a = = . Vf − Vv (a + b) − a b
Resolución Aplicando tiempo de alcance ta =
d νp − ve
ta = 4 min (4 x 60) seg =
240 =
8=
150m (Vp − 8)m / s
150 , simplificando Vp − 8
5 Vp − 8
69 m/seg = 8,62 m/s 8
Ejemplo 10
Dos motociclistas parten de un punto A, en el mismo sentido, a razón de 30 y 50 km/h. ¿Que tiempo deberá transcurrir para que estén separados 100 km?
d 3200m = = 128seg VA + VB (10 + 15)m / s
ts = 2 min con 8 seg.
Resolución Con los datos diagrama: ts A
ts =
hacemos
el
siguiente
100 km
V1= 30 Km/h B
V2= 50 Km/h
C ts
Conforme pasa el tiempo el motociclista que viaja con mayor rapidez se va separando más. Para determinar el tiempo que emplean para estar separados 100 km aplicamos:
Ejemplo 12 Una auto parte de Piura a las 5 pm y llega a Lima el día siguiente a las 2 pm otro auto sale de Piura a las 7 pm y llega a Lima el día siguiente a las 9 am. ¿A qué hora el segundo auto pasó al primero?
Resolución Analicemos bajo el siguiente esquema: D P
L
5 pm
ds 100km ts = = = 5h V2 − V1 (50 − 30)km / h
2 pm
D
Ejemplo 11 Dos ciclistas están separado por 200 metros y avanzan en sentidos contrarios con velocidades de 15 y 10 m/s separándose cada vez más. En qué tiempo estarán separado 3400 m?
Resolución Con los datos efectuamos el siguiente diagrama: VA = 15m/s
VB = 10m/s
ts
P 7pm
la rapidez con la que viajan son:
ts
A
B
D 21
;
2 =
D 14
D
200 m 3400 m
Ambos ciclistas, el que parte de A hasta C y el que parte de B hasta D, emplean el mismo tiempo para separarse adicionalmente: 3400 – 200 = 3200 m
9 am
Ambos autos recorren la misma distancia, D entre Piura y Lima, empleando diferentes tiempos t1 = 21 horas t2 = 14 horas
1 =
C
L
Como el auto 1 partió dos horas antes que el auto 2, le toma una ventaja “d” equivalente a: d = . t =
D .2 21
d=
2D 21
El auto 2 que es más veloz lo alcanzará y lo pasará en un tiempo t a:
2D 2D 2D d ta = = 21 = 21 = 21 ν 2 − ν1 D − D 3D − 2D D 14 21 42 42 ta =
2D x 42 = 4h 21 x D
el 2º auto pasó al 1º a las:
7 pm + 4 h = 11 pm
CRONOMETRIA
'ap#tulo relacionado en gran parte con el tema de planteo de ecuaciones y Nazonamiento L(gico. Los relo4es y su utilidad para la medici(n del tiempo son motivo de una gran variedad de problemas y acerti4os que para un me4or estudio se trata como tema aparte, teniendo en cuenta los siguientes ob4etivos espec#ficos )(
ANA-IKAR 2 CO0PREN.ER -A RE-ACILN ENTRE E- TIE0PO TRANSCURRI.O 2 E- TIE0PO NO TRANSCURRI.O1 PARA UN TIE0PO .ETER0INA.O. ¿Qué hora es?
Tiempo Total -u
Tiempo Transcurrido
Otra forma+
tiempo transcurrido 3 = t. que falta transcurrir 5
3k
5k 24 h
;H J $H ! H; ⇒ Aora ;7;8 7 oras
Ejemplo ,+
< que hora de la maDana el tiempo que marca un relo4 es igual a $/ de lo que falta para las 1! del mediod#a. Resolución
Tiempo no Transcurrido
n el primer e4emplo el intervalo de tiempo involucrado era todo el d#a 7! horas85 en este caso es s(lo el medio d#a5 es decir+
Ejemplo 1
&Mu= hora es cuando la parte transcurrida del d#a es igual a las ;/$ de lo que falta para terminar el d#a)
0h
12 h
Tiempo Transcurrido 5 = Tiempo que falta t. 4
Resolución
Un d#a+ ! horas Eiempo transcurrido+ 6 Eiempo que falta transcurrir+ !G6
5k
x
4k 12 horas
Gráficamente
0h
$6 3! B ;6 ⇒ 6 " 06 3! ∴ Aora " h. 7 am
24 - x 24 h
*lanteando una ecuaci(n, tenemos+ 3 >parte transcurrida? >es? 7>falta para 5 terminar?8 3 6 7! G 68 5
"H 1! H /; ⇒ Las Aoras transcurridas son+ $ 7/;8 !%/; !/; h Aoras % min. ∴ Aora que marca el relo4 G*5@ am(
Ejemplo 3
Son más de las ! sin ser las ; de esta tarde, pero dentro de % minutos faltarán para las el mismo tiempo que
ha transcurrido desde la 1 hasta hace % minutos. &Mu= hora es)
Ejemplo 5+
Resolución
@e acuerdo a la informaci(n, el intervalo a considerar es entre la 1 y las 5 por lo tanto+
1
2
3
4
'onsideramos tiempo transcurrido a partir de 1 pm + >6? min @entro de % min+ 6 J % @esde la 1 hasta hace % min+ 6 B % ⇒ lo que falta para las es 76 B %8 % 40
1
x-40
2
x - 40
3
x
4
x + 40
*lanteando la ecuaci(n, tenemos+ 76 J %8 J 76 G %8 ;h T 10% min 6 J % J 6 B % 10% 6 "% min Significa que desde la 1 pm han transcurrida "% min T 1 h ;% min
Un relo4 se adelanta ! min cada 1$ min. Si esta desperfecto ocurre ya hace 3 horas, que hora marcará las agu4as de tal relo4 si la hora e6acta es ;h $0 min. Resolución
regla de tres simple? Si se adelanta ! min en 1$ min5 en 3 horas 73 6 % !% min8, &'uánto se habrá adelantado) Se adelanta ! min ____ 1$ min R ____ !% min 2 x 420 R $ min 15 ⇒ La hora marcada, aplicando
AP AN J
Ejemplo 6+
Aace 1% horas que un relo4 se atrasa ; min cada media hora. &'uál es la hora e6acta si el relo4 indica que son las 11 h !0 min)
∴ Serán las ,*4@ pm
,(
PROJ-E0AS SOJRE A.E-ANTOS 2 ATRASOS( *ara desarrollar estos problemas, se puede aplicar criterios l(gicos y regla de tres5 teniendo en cuenta lo siguiente+ • •
Aora marcada 7hora falsa8 Aora correcta 7hora real8
Resolución
Negla de Eres Simple?+ Se atrasa
; min ____ ` hora R ____ 1% horas
3.10 = 60 min = 1 hora 1 / 2 ⇒ hora e6acta 7hora real8, aplicando AN AP J atraso 5 será AN 11 h !0 min J 1 h R B ), ,? min
R
Ejemplo 6
Pediante las siguientes e6presiones+ AP AN G
Un relo4 se adelanta $ min cada 10 horas a partir de las 0 am. &'uánto tiempo deberá transcurrir para que vuelva a dar la hora correcta)
Resolución
*ara resolver este problema debemos tener presente que+ para que un reloj vuelva a marcar la ora correcta deber= adelantarse !atrasarse' en total ), oras !H,@ min'( ntonces, resolviendo por >Negla de Eres Simple?, tenemos+ Se adelanta $ min ____ 10 h 3!% min ____ 6 720 x 18 = 144 x 18 horas 6 5 144 x 18 = 108 Mu= en d#as será+ 24 3.
ESTUDIO DEL RELOJ Y SUS MANECILLAS
Equivalencia entre espacio1 =n>ulo 8 tiempo !) vuelta' Espacio (div)
60 30 15 5
Ángulo
Tiempo (min.)
<> 360º <> 60 <> 180º <> 30 <> 90º <> 15 <> 30º <> 5
Ejemplo:
Desde las 3 en punto hasta las 4 en
punto 12
9
3 P
4 6
También:
60 En 60 min el horario avanza = 30º 2
∴ En M min el horario avanza
12
9
3
30º=6º+6º+6º+6º+6º 4
M 2
º
.
Angulo que forman las manecillas del reloj (Horario–Minutero):
Cuando el reloj marca las “H” horas “M” minutos o abreviadamente H:M el ángulo “α” formado por el horario y el minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula:
1div <> 6º <> 1min
. 1 / C . 1 d
A
α = ∓ 30H ±
11 M 2
Donde: H → hora de referencia (0≤H≤12) M → # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia α → Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados sexagesimales)
6
Relación entre el espacio recorrido por la manecilla del horario y minutero (en 1 hora)
El minutero recorre 60 divisiones en el mismo tiempo que el horario recorre 5 divisiones, por lo tanto se puede escribir una relación:
EH 5div. = EM 60div
Caso I:
Cuando el horario adelanta al minutero. 12
EH 1 x = = EM 12 12 x
Mi
12x
EH = Espacio recorrido por el horario EM = Espacio recorrido por el minutero (en 1 hora)
9
Af
Hi
3 x
α
6
Pf
30Hi
Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 12x + α = 30H + x
¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada caso? a) 4h 40 min b) 8h 25 min c) 12 h 36 min Resolución
Última hora pasada por el horario Transponiendo términos, obtenemos: α = 30 H – 11x Teniendo en cuenta que xº es lo que avanza el horario en M minutos, entonces:
Para estos casos, aplicamos la expresión general:
α = + 30 H ∓
Sin necesidad de emplear los signos; ya que el ángulo debe ser positivo. a)
M α = 30 H – 11 2 Caso II:
12
b)
Pf
Hi
275 2 480 − 275 205 = α = 2 2
3
x Hf
12x 6
Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 30H + x + α = 12x α = 11x – 30H
M α = 11 - 30H 2 Conclusión:
El signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada y el positivo al que se encuentra adelantada (tomando en cuenta siempre el movimiento de las manecillas del reloj). Notas:
a. Dado un tiempo determinado la hora referencial será la hora exacta anterior a la hora que nos dan. b. Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj; se entiende que es por el menor ángulo. Ejemplo 7:
11 (25) 2
α = 30(8) α = 240
30H Mi
α
11 (40) 2
α = 30(4) α = -120 + 220 α = 100º
Cuando el minutero adelanta al horario
9
11 M 2
c)
α = 102º30´ Cuando son las 12h, en la expresión, H se reemplaza por 0 (cero)
11 (36) 2
α = 30(0)
α = 0 + 198º Como debe considerarse el menor ángulo ⇒ α´ = 360 – 198 α´ = 162º Ejemplo 8
Indicar cuántos minutos después de la 1 forman ángulo recto las manecillas de un reloj. Resolución
Empleando la expresión:
α = ± H ∓
11 M 2
y reemplazando los datos tendremos 2 situaciones: (en ambos casos el Minutero adelanta al Horario; es decir, el H esta rezagado, por lo que a esta manecilla le asignaremos signo negativo). I) Cuando el menor ángulo es 90º 90 = -30 (1) +
11 M 2
11 M 2 240 9 = 21 min ⇒ M = 11 11 90 = -30 +
II)
Cuando el ángulo sea 270º (mayor ángulo) 270 = - 30(1)+
11 M 2
11 M 2 600 6 = 54 min ⇒ M = 11 11 300 =
Habrán dos situaciones entre la 1 y las 2 en que las agujas del reloj formarán ángulo recto.
9 ;y 11 6 Por segunda vez a la 1 con 54 11 Por primera vez a la 1 con 21
Ejemplo 9
La hora en que formarán 60º las manecillas será por primera vez a las 8h 32 vez a las 8h 54 4.
8 min y por segunda 11
6 min. 11
PROBLEMAS CAMPANADAS
SOBRE
El tiempo que se mide al tocar una cantidad “n” de campanadas siempre es a partir de una que “marca al poro”; es decir que lo medimos por intervalos. Gráficamente: 2
1
i
3
i i
........
i
"n" campanadas
i
A que hora entre las 8 y las 9 el menor ángulo formado por las manecillas del reloj es la quinta parte del mayor ángulo?
i = tiempo que demora cada intervalo
Resolución
Ejemplo 10:
Mayor + Menor = 360º 5x + x = 360º x = 60º
Resolución
Los dos ángulos (menor y mayor) suman 360º
Este ángulo lo formaron cuando eran las 8h M min. Para calcular “M” aplicamos:
α = 30 H 60 = 30(8)
11 M 2 11 M 2
Considerando signos, puede darse dos situaciones: I)
60 = -240 +
11 M 2
11 M 2 600 6 M= = 54 11 11 300 =
II)
60 = 240 -
11 M 2
11 M = 180 2 360 8 M= = 32 11 11
(n-1) intervalos
Un reloj señala la hora con igual número de campanas. Para indicar las 6 am. demoró 15 seg. ¿Cuánto demorará para indicar las 9 am? La solución a este tipo de problemas se hace aplicando “regla de tres simple”, tomando en cuenta los intervalos y generados entre campanada y campanada. Es decir: 6 am <> 6 camp → 5 int ____ 15 seg 9 am <> 9 camp → 8 int ____ x x=
8.15 = 24 seg. 5
⇒ se demorará 24 segundos
AJI-I.A. OPERATI;A CONCEPTO* n este cap#tulo se proporciona al estudiante una t=cnica que le permita efectuar operaciones aritm=ticas con mayor rapidez que lo com9n, para lo cual se ha recopilado una serie de situaciones en las que hay que operar con n9meros enteros, con n9meros decimales, con e6presiones algebraicas5 abarcando además de las cuatro operaciones fundamentales, la potenciaci(n y la radicaci(n. Mueda sobreentendido el conocimiento básico de dichas operaciones. '
1!; 6 7;J1;8 1!; 6 $%%
2
T:CNICAS
Ejm( 4* l n9mero !0G1, es e6actamente divisible por dos n9meros que están comprendidos entre % y 3%. &'uál es la suma de estos n9meros) Soluci+n*
o se trata de multiplicar todos los n9meros, s(lo hay que notar entre otras cosas, que el primer producto tiene el factor 1!, el cual no aparece en el Segundo -rupo y este tiene el factor en lugar de 1!. *odemos decir que como es la tercera parte de 1!, el producto que se está buscando es la tercera parte del primero. ∴ 6 $ 6 ... 6 1% 6 11 1""$0%% ÷ ;
GG6,?@@ Ejm( ,+ ¿Cuánto se obtiene al efectuar esta operación?
1!;6;J13361;J1!;61;J1336 ; Soluci+n*
@el álgebra elemental sabemos que a!Gb! 7aJb87aGb8 y al aplicar transformaciones sucesivas de este tipo al n9mero tendremos+ !0 B 1 7! !G187!!J18 7 !1! B 18 7! 1!J18 7!!J18 7! B 18 7! J 18 7!1!J18 7!!J18 7;87$87!1!J187!!J18 @e este resultado vemos que es divisible por ; y $, los cuales se encuentran comprendidos entre % y 3%, y que nos piden sumar. Luego+ G4"G6B),? Ejm( 5* Hallar la raíz cuadrada de: x: R 3+ 2 2 G 3− 2 2
y
el
tercer
→ Suma de cifras $ 7 !6'
Soluci+n*
+ n cifras → 7..8\ ...;$$...$$
6! 7 3 + 2 2 8 ! B ! 7 3 + 2 2 8
7nG18 cifras
7 3− 2 2 8 J 7 3− 2 2 8 ! ;J! 2 G ! 3 2 B 7! 2 8 ! J ;G ! 2 B ! 9 − 8 6! ⇒ 6 ! ∴ x 2 III(
IN.UCCILN 0ATE0QTICA
⇒
Suma de cifras 7 n
! cifras → 7""8\ "0%1 → Suma de cifras 10 " 7!8
Eenemos que observar los casos en las cuales una ley de formaci(n se cumple.
; cifras → 7"""8\ ""0%%1 → Suma de cifras !3 " 7;8
CASO III() 'uando elevamos al cuadrado un numeral formado 9nicamente por cifras ;, ( ".
cifras → 7""""8\ """0%%%1 → Suma de cifras ; " 78
! cifras → 7;;8\ 1%0" → Suma de cifras 10 7 !,'
$ cifras → 7"""""8\ """"0%%%%1 → Suma de cifras $ " 7$8 + n cifras → 7""..""8\ ""...""0%%...%%1 7nG18 cifras
; cifras → 7;;;8\ 11%00" → Suma de cifras !3 7 !4' cifras → 7;;;;8\ 111%000" → Suma de cifras ; 7 !5' $ cifras → 7;;;;;8\ 1111%0000" → Suma de cifras $ 7 !6' + + n cifras → 7;...;;8\ 11..11%00...00" 7nG18 cifras
⇒
7nG18 cifras
7nG18 cifras
⇒
7nG18 cifras
Suma de cifras 7 n
n general observamos que al elevar al cuadrado un n9mero formado por cifras ;, ( ", siempre en el resultado se observará que+ Suma de cifras "n 9mero de cifras !n @onde >n? es igual al n9mero de cifras al n9mero de cifras del n9mero que vamos a elevar al cuadrado.
Suma de cifras 7 n
! cifras → 78\ ;$ → Suma de cifras 10 7 !,' ; cifras → 78\ ;$$ → Suma de cifras !3 7 !4' cifras → 78\ ;$$$ → Suma de cifras ; 7 !5' $ cifras → 78\ ;$$$$
Ejm. 5:
Aallar la suma de cifras de >? si+ 71%33...333 B 33...3308\ 3" cifras
33 cifras
Solución:
Observaremos que como el sustraendo tiene ! cifras menos que el minuendo estará dos lugares a la derecha de =ste.
Ejm( G* Aallar el valor de >? si+ W = 10305050301 + 2040604020 Soluci+n*
3" cifras
Operando subradical+
1%33....333G 33....330 """....""" 30 cifras 7""...""8\
5
n 30
30 cifras ⇒ Suma de cifras 7!H?' B H@,
primero
la
cantidad
1%;%$%$%;%1J !%%%%!% 1!;$$;!1
Observamos que este n9mero es el desarrollo de+ 1!;$$;!171111118\ (111111) 2 )))))) CASO III.3
CASO III.2
'uando tengamos un numeral formado 9nicamente por cifras 1+
eamos que sucede con un n9mero que termina en cifra $ cuando se eleva al cuadrado+ 1x 2
71$8\ !!$ 2 25
! cifras → 7118\ 1!1 → Suma de cifras ,
2 x3
7!$8\ !$ 6 25
; cifras → 71118\ 1!;!1 → Suma de cifras " 4
3x 4
cifras → 711118\ 1!;;!1 → Suma de cifras 1 5 $ cifras → 7111118\ 1!;$;!1 → Suma de cifras !$ 6 + + n cifras → 7111...118\ 1!...n...!1 ⇒
Suma de cifras n
5 n 1%
>n? tiene que ser como má6imo >"? puesto que es el mayor valor que puede tomar una cifra.
7;$8\ 1!!$ 12 25 + 8x 9
70$8\ 3!!$ 72 25 + 11 x 12
711$8\ 1;!!$ 132 25 n general veremos que todo n9mero que termina en cifra $ al elevarse al cuadrado va a terminar en !$ y las otras cifras serán igual al producto de las cifras que no son $ por el n9mero consecutivo+ n ( n +1)
(n5) = ..........25 2
Ejm( H* Aallar >mJn? si+ 71 6 ; 6 $ 6 3 6...8\ ......mn
n general diremos que si operamos+ n7nJ187nJ!87nJ;8J1 [n7nJ;8J1]\
Soluci+n* Observaremos que lo que esta elevado al cuadrado es un n9mero formado por factores impares, siendo uno de los factores el n9mero $.
Ejm. 8:
Aallar la suma de cifras de >P? si+ P 100 x 101 x 102 x 103 + 1
*ar 6 *ar
Soluci+n*
Sin importar si es par o impar
Operando+
Xmpar 6 Xmpar Xmpar Eambi=n sabemos que al multiplicar un n9mero por otro que termina en cifra $ se observa+ *ar 6 7....$8 ...% Xmpar 6 7....$8 ...$ ntonces+ 716;6$636...8\7...$8\...!$ .....mn
P (100 x 103 + 1) 2 P 1%;%% J 1 1%;%1 Suma de cifras de P es+ 1J%J;J%J1 6 CASO III.5
*or lo tanto + m! 5 n$ m"nBH
Eambi=n tenemos el caso del producto de dos n9meros formados por la misma cantidad de cifras " y las cifras de las unidades suman 1%.
CASO III.4
( 99 ...99 a ) ( 99 ...99 b) = (99 ...900 ...0 a x b)
*or e4emplo+ 1 6 ! 6 ; 6 J 1 !$ 71 6 J 18\ 6 B ,6 ! 6 ; 6 6 $ J 1 1!1 7! 6 $ J 18\ )) B ),) ; 6 6 $ 6 J 1 ;1 7; 6 J 18\ )7 B 4G)
"n " cifras
"n " cifras
( n −1) cifras
( n −1) 2 cifras cifras
Ejm. 9:
Aallar el resultado de >*? si+ * 7"""""38 7""""";8 Soluci+n* Suman 1%
* 7"""""38 77777@@@@@,) Xgual cantidad
7""""";8
de cifras >"?
Operando las cifras terminales+
I;( CI3RAS TER0INA-ES Se llama as# a la cifra de las unidades, despu=s de efectuar diferentes operaciones, lo cual s(lo se realiza con las cifras de las unidades.
* [7..."8J7..."8G7...!8 ] * [...] LO.MAXIMO
LO.MAXIMO
Un n9mero que termina en al elevarse a cualquier potencia termina en , por lo tanto+ * [...]
LO.MAXIMO
G
Ejm. 10:
Aallar la cifra de las unidades al efectuar+ a.
7!1;08 J 7;1$8 B 7;1!8 7...08 J 7...8 G 7...!8 ...!
b.
7;1;38 70;3;8 7!1;1"8
7...18
*or inducci(n vemos que cuando+ ⇒ ... Si, n es impar n ⇒ ... 7...8 Si, n es par
7..."8
7;13;8 ; 7...;8 ; 7...;8 7...;8 7...;8 ...3 7..."8
7...;8
n la divisi(n, ni en la radicaci(n se puede determinar la cifra terminal5 pero en la potenciaci(n vamos a observar que+ : 'uando elevamos a cualquier potencia un n9mero que termina en %, 1, $ ( , el resultado terminará en la misma cifra+ 7...%8n ....% 7...18n ....1 7...$8n ....$ 7...8n ....
7..."8\7..."87..."8....1 7..."8;7..."87..."87..."8 ...." 7..."87..."87..."87..."87..."8 ....1 7..."8$7..."87..."87..."87..."87..."8..." *or inducci(n vemos que cuando+ ⇒ ...7 Si, n es impar ...7 n ⇒ ...) 7..."8 Si, n es par ...) Ejm( ),* Hallar la cifra terminal de: < 7!138 1!13 J 7;!03"8;1 Soluci+n*
Ejm( ))* Aallar la cifra terminal de+
7!1381!13 7...8XP*
* (RAZONAMIENTO19 + MATEMATICO99 − 12)
LO.⋅ MAXIMO
ntonces+ < 7...8 J 7...18 ...$ :
Solución:
Eambi=n observaremos que sucede cuando el n9mero termina en cifra ( " y lo elevamos a cualquier potencia+
7...8\7...87...8.... 7...8;7...87...87...8 .... 7...87...87...87...87...8 .... 7...8$7...87...87...87...87...8...
7...38 7...;8 7..."8 ..."
c.
:
*ero tambi=n tenemos que un n9mero puede terminar en !,;,3
9 0. n esos casos dividiremos el e6ponente entre y si el residuo es 1,! ( ; la cifra terminal de la base se multiplica dicha cantidad de veces5 pero si la divisi(n es e6acta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma veces. Observaci+n S(lo es necesario dividir las ! 9ltimas cifras del e6ponente. Ejm( )4* Aallar la cifra terminal de+ < 7!1;8 ;3$ Q 7;108 33; ' 7;1!38 !10 @ 7!1!!8 ;1 Soluci+n* : < 7!1;8 ;3$ 7...;83$ @ividiendo+ 75
;$
4
10
; ← residuo ⇒ la cifra terminal 7...;8 se repite ; veces < 7...;8 7...;8 7...;8 (((H ; veces :
Q 7;108 33; 7...083;
@ividiendo+ 3; ;;
10
1 ← residuo ⇒
la cifra terminal 7...08 se repite 1 vez
Q 7...08 (((? 1 vez :
' 7;1!38 !10 7...380
@ividiendo+ 0
G0
1!
% ← residuo ⇒
la cifra terminal 7...38 se repite veces ' 7...38 7...38 7...38 7...38 ...) :
@ 7!1!!8 ;1 7...!81
@ividiendo+ 1
;
! ← residuo ⇒
la cifra terminal 7...!8 se repite ! veces @ 7...!8 7...!8 ...5
FRACCIONES CONCEPTO+ Se denomina fracci(n a una o varias partes que se toma de la unidad dividida. Eodo T UX@<@ 1
1
1
1
1
1
$ → umerador → @enominador C-ASES .E 3RACCIONES 3RACCILN PROPIA+ Si el numerador es menor que el denominador. 4 5 21 4emplos+ ; ; ; etc. 5 9 49 a en general+ 1→ a b b
3RACCILN I0PROPIA+ Si el numerador es mayor que el denominador. 7 9 18 ; ; . 3 5 7 a n general+ T1→ a T b b
4emplos+
Nota+ Eoda fracci(n impropia origina una fracci(n mi6ta. 7 1 9 4 →2 ; →1 3 3 5 5 3RACCIONES O0OD:NEAS+ @os o más fracciones son homog=neas si presentan el mismo denominador+ 8 3 11 ; ; .... 4emplos+ 3 7 7 a b c en general+ ; ; ;...... b b b 3RACCIONES ETEROD:NEAS+
@os o más fracciones son heterog=neas si presentan denominadores diferentes. 5 8 10 12 4emplos+ ; ; ; 8 9 11 13 a c e ; ; ; b ≠ d ≠ f en general b d f
3RACCIONES OR.INARIAS+ Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 1%+ 7 5 7 ; ; 9 4 6 a en general+ ; b ≠ 10n ; n ∈ N b
4emplos+
3RACCIONES .ECI0A-ES Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 1%+ 3 7 11 ; 4emplos+ ; 10 100 10000 3RACCIONES IRRE.UCTIJ-ES+ Son aquellos cuyos t=rminos 7numerador y denominador8 son n9meros primos entre si o sea no tienen divisores comunes. 7lo que queremos decir son fracciones que no se pueden simplificar8. 4emplos+
7 4 15 17 ; ; ; 8 9 26 23
3RACCIONES RE.UCTIJ-ES+ Son aquellas cuyos t=rminos 7numerador y denominador8 no son primos entre s# o sea tienen divisores comunes 7se pueden simplificar8. 4emplos+
9 21 4 10 ; ; ; 12 49 8 100
3RACCIONES EUI;A-ENTES+
Una fracci(n es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus t=rminos son diferentes. 4emplos+
3 6 = 5 10
4 12 5 10 = : = 9 27 7 14
n general+ a es equivalente b
ak ; k ∈ Z+ bk
PROPIE.A.ES .E -AS 3RACCIONES ) Propiedad+ Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor que el que tiene mayor numerador. 11 7 > 4m+ 4 4 , Propiedad* Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador+ 7 7 > 4m+ 12 15 4 Propiedad* Si a los t=rminos de una fracci(n propia se le suma o se le resta un mismo n9mero, la fracci(n aumenta o disminuye respectivamente. 6 6 + 5 11 11 6 → = ⇒ > 4m+ 11 11 + 5 16 16 11 6 6−2 4 4 6 → = ⇒ < 11 11 − 2 9 9 11 5 Propiedad+ Si a los t=rminos de una fracci(n impropia, se le suma o se le resta un mismo n9mero la fracci(n disminuye o aumenta respectivamente. 11 11 + 3 14 14 11 → = ⇒ < 4m+ 6 6+3 9 9 6 11 11 − 3 8 8 11 → = ⇒ > 6 6−3 3 3 6 6 Propiedad* Si el numerador de una fracci(n se le multiplica o divide por un n9mero sin variar el denominador, la fracci(n queda
multiplicada o dividida por dicho n9mero, respectivamente. G Propiedad, Si al denominador de una fracci(n se le multiplica o divide por un n9mero sin variar el numerador, entonces la fracci(n queda dividida o multiplicada por dicho n9mero, respectivamente. H Propiedad+ Si se multiplica o divide por un mismo n9mero los dos t=rminos de una fracci(n, no se altera el valor de la fracci(n. N/0ERO .ECI0As la representaci(n de una fracci(n en su forma lineal, la cual contiene dos partes, una parte entera y una parte decimal. 4emplos +
15 26 27 18 4 5
%,$3"!;
!,%3"!;
%,0
C-ASI3ICACILN .E -OS N/0EROS .ECI0A-ES EACTOS O -I0ITA.OS 'uando el n9mero de la parte decimal tiene cifras limitadas 75 3 100 4 8 4 = %,0 10 5
%,3$
INEACTOS O I-I0ITA.OS 'uando el n9mero de la parte decimal tiene cifras ilimitadas. a8 Peri+dicos puros a 9 ab %, abab ............. %, ab 99
%,aaa ............... %, a
%,$$$............... →
%,!3!3 ............. 1/ b8 Peri+dicos mi%tos ab − a 90 abc − a %, abcbc ........... %, abc 990
%, abbb ............ %, ab
%,!111 ........... %.3;;; ............. %,"111 ............. %,%111 ............. a, bccc ............. a, bc aJ%, bc !, ............. 11,;!!! ........... Ejm. )* Aallar una fracci(n equivalente a /$, si la suma de sus t=rminos es 113.
Ejm( , 'alcular los
f
4.13 5.13
3 3 2 de las de los de 3! 4 7 9
Soluci+n* 3 3 2 3x 3x 2x 72 9x8 36 1 = = =5 x x x 72 = 4 7 9 4x 7 x 9 2x 7 7 7
3RACCION CO0O RE-ACION VParte $ TodoV f *arte Eodo
→ es5 son → de5 del
Ejm( 4* n una reuni(n asistieron 0% personas donde ;% eran varones en determinado momento 1$ pare4as están bailando. i8 &Mu= parte mu4eres)
Sol. f
4 ⇒ H J $H 113 5 H 1;
1 de 1 "
de
los reunidos son
P Mujeres 30 3 = = = T Todos 80 8
ii8 &Mu= parte del n9mero de hombres es el n9mero de mu4eres) 52 65
3RACCILN .E 3RACCILN Se denomina as# a las partes que se consideran de una fracci(n que se ha dividido en partes iguales.
P 30 3 = = T 50 5 iii8 &Mu= parte es el n9mero de personas que bailan respecto al n9mero de personas que no bailan)
f
f
P 30 3 = = T 50 5
iv8 &Mu= parte bailadores son bailadores)
de los hombres los hombres no
f
P 15 = =1 T 15
Gasta 2 No Gasta 5
v8 &Mu= parte respecto de las mu4eres que no bailan son los varones que si bailan) f W
P 15 3 = = T 35 7
-asta + !6 o -asta+ $6
*ierde+ 6 o pierde+ 6
Si se qued( con S/.;! ⇒ 6 ;! 60 ∴ Een#a 36 3708 $
An=lisis de cuanto se saca !pierde' o a>re>a !>ana' de una cantidad*
Se saca ueda o pierde Sus+ 3 1 → 4 4
A>re>o Resulta o >ano 1 2
→
2 5
→
3 5
8 9
17 → 9
4 15
→
11 15
3 7
→
3 2
10 7
Ejm* 5 Una persona ten#a S/. !% pierde y gana alternadamente en cinco 4uegos de azar+ 1/;5 ;/5 !/35 ;/$5 3/0 &'uánto dinero le qued( finalmente) Resolución
1 3 2 3 7 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − • 240 3 4 7 5 8
2 7 5 8 1 • • • • • 240 = 40 3 4 7 5 8 Ejm* 6 Par#a va al mercado y gasta !/$ de lo que no gasta5 luego pierde 1/ de lo que no pierde. Si al final le qued( S/.;!. &'uánto ten#a inicialmente) Resolución
-asta
⇒
2 7no gasta8 5
Ejm( G @iana va al mercado y gasta en carne 1/; de lo que tiene5 en cereales 1/ de lo que le quedaba y ;/0 del resto en verduras. Si todav#a le queda S/. !%. &'uánto gast() Resolución
Suponemos que tiene >6? soles. -asta de la sgte. manera+ 1 i8 n carne+ x 3 2 entonces le queda x 3 1 2 ii8 n cereales+ x 4 3 3 2 le queda x 4 3 3 3 2 iii8 n verduras+ x 8 4 3 le queda
5 3 2 x 8 4 3
*or dato+ 5 3 2 • • x = 20 8 4 3 6 ∴ -ast(+ B !% S( 55
Ejm( H+ @os tercios de los profesores de un colegio son mu4eres. @oce de los profesores varones son solteros, mientras que los ;/$ son casados. &'uál es el n9mero de profesores) Resoluci+n
*rof.+ 6
2 x 3 1 + x 3
P+
3 1 x 5 3 2 1 S+ x 5 3 @ato+ *rofesores solteros+ 1! ⇒
2 1 x = 12 5 3
'+
% B 7@
Ejm( ? Velipe entra a dos librer#as en forma sucesiva5 en la primera gasta 1/; de lo que ten#a más S/. 1% y en la segunda gasta 1/1% de lo que le queda más S/.1%. si regresa a su casa con S/.$; &'uál es la cantidad que ten#a al inicio). Resoluci+n 'antidad Xnicial+ 6 -asta 1 x + 10 L1 3 1 2 L! x − 10 + 10 10 3
Mueda 2 x − 10 3 9 2 x − 10 − 10 10 3
@ato+ Negresa a casa con S/. $; 9 2 ⇒ x − 10 − 10 = 53 10 3 9 2 x − 10 = 53 10 3 2 6 B 1% 3% 3
Problemas sobre 0EKC-AS Ejm( 7+ Un dep(sito contiene ; litros de leche y 10 litros de agua. Se e6traen 1$ litros de mezcla. &'uántos litros de leche quedaron) Resoluci+n+ Pezcla Xnicial+ $ℓ
Leche+ ;ℓ → f ℓ
36 2 = 54 3
1 3
sto quiere decir que en cualquier parte 2 de la mezcla las partes son de leche, 3 1 en tanto que la otra parte es de 3 agua.
∴ % B S( ),@
1%%ℓ
< %ℓ
→
Q %ℓ
→
60 3 100 5 2 f Q 5
f <
⇓
3 7$8 !3 ℓ 5 $ℓ 2 Q 7$8 10ℓ 5 ∴ 'osto+ !3 6 S/.1% S/. !3% 10 6 S/. $ S/. "%
<
Eotal S/. ;%
t1 !%h
RE.UCCION A -A UNI.A. regla de tres?8 ), oras *ara este tipo de recomendable aplicar+
problemas
es
1 1 1 1 P + + + ..... + = t1 t 2 t 3 tn T
⇒
tH tiempo que demora c/obrero en hacer la obra. * parte de la obra a hacer. Si es toda ⇒ * 1 E+ tiempo que demora en hacerse la parte de la obra, actuando 4untos. :
*ara el e4emplo anterior+
t! ;% h
1 1 1 + 20 30 T
m.c.m. %E ;E J !E % $E % T B ), Ejm( ), Una bomba < puede llenar una piscina funcionando s(lo en horas. Otra bomba Q lo puede llenar en $ horas, pero otra bomba ' lo puede descargar totalmente en !% horas. &Mu= tiempo emplearán las tres bombas funcionando a la vez para llenar totalmente la piscina) Resoluci+n* *odemos aplicar directamente+ 1 1 1 1 P ± ± ± ..... ± = t1 t 2 t 3 tn T
donde+ tH + tiempo que emplea c/grifo en llenar o descargar un dep(sito. * + parte del dep(sito a llenar E + tiempo que demora en llenarse 7J8 cuando llena 7G8 cuando descarga ⇒
@onde+
5
1 1 1 1 + − = 4 5 20 T
m.c.m. !%E $E J E G E !% 0E !% 20 5 = = 2,5 E 8 2 T B , 4@ min
TANTO POR CUANTO* eamos un e4emplo, tenemos un terreno de forma cuadrada y la dividimos en parcelas de " partes iguales y tomamos de esas partes+ Eotal T " partes
Ejemplos+ G l por !$ T .......... G l 3% por !%% T .......... G l ;%% por % T .......... G l 03 por ciento T .......... G l !% por ciento T .......... G l a por b T ............ G l 6 T ...........
partes T partes de " T /" el por " el m por ciento?.
Equivalencias+ G !$ T .......... G ;% T .......... G 10 T .......... G ;; 1/; T ......... G !/$ T .......... G ;/$ T .......... G 3/0 T .......... G ; T .......... G 1,$ T ........... Calcular+ a8 b8 c8 d8 e8
el $ de ;%%% ......... el $; de !%% ......... el 1; por !% de % ......... el $ por 0 del por 3 de !0 ....... el 1% del ;% del $% de !%%%
Se pueden sumar o restar porcenta4es de una misma cantidad+ Ejemplos* a8 b8 c8 d8
J !% ........... Q G ;% Q ........... !< J % < G ;/$ < ........... % < J ! 71;<8 G %,$ < .....
RE-ACILN PARTE $ TO.O EN TANTO POR CIENTO Parte Todo
• 100
*arte+ se indica con los t=rminos+ es son, serán ......... Eodo+ se indica con los t=rminos+ de, del, de los, .......... Ejemplos* 1.
&Mu= tanto por ciento es !% respecto a 0%)
AP-ICACIONES Nespecto a un total 71%%8 *ierde !% %
Mueda 0% %
-ano 1% ;;
Eengo 11% 1;;
m
71%%Gm8
R
71%%J68
Ejemplos* 1.
P 20 • 100 → • 100 = 25% T 80
!.
&Mu= tanto por ciento es < de Q) P A 100A • 100 → • 100 = T B B
.
&Mu= tanto por ciento de 7mJ18 es m!G1) P (m + 1)(m − 1) • 100 → • 100 = 100(m − 1) T (m + 1)
$.
Soluci+n*
&Mu= tanto por ciento de % es ) P 6 • 100 → • 100 = 10% T 60
;.
n nuestro sal(n de clases se observa que hay ! alumnos hombres y las mu4eres representan el ;; 1/; de aquellos. &Mu= tanto por ciento representa los varones respecto al total de alumnos) arones+ ! 1 100 %(42) = % (42) = 14 3 3 Eotal de alumnos+ ! J 1 $
Pu4eres+ ;;
P 42 • 100 ⇒ • 100 = 75% T 56
Una persona ten#a S/.!% y perdi( ; veces consecutivas el !$5 1% y $% respectivamente, lo que le iba quedando. &'uánto le quedo al final)
Si pierde+ !$
1%
$%
Le queda+ 3$
"%
$%
75 90 50 • • • 240 = S / . 81 100 100 100
Otro procedimiento+ !% G !$ le queda 10% 7!%G%8 10% G 1% le queda 1! 710%G108 1! G $% le queda 01 71!G018 !.
n una sala de QX-O una persona ten#a cierta cantidad de dinero y apuesta veces consecutivos. n las dos primeras pierde el 1% y ;% y en las dos 9ltimas ganan el !% y !$5 siempre de lo que iba quedando. Si al final se retir( con S/.10"%. &'uánto ten#a al inicio) &-an( o perdi(). Soluci+n* @inero inicial+ 6 1% ;% !% !$ "% 3% 1!% 1!$
⇒
90 70 120 125 • • • • x = 1890 100 100 100 100
0% 11% →
6 !%%%. ∴ perdi(+ !%%% B 10"% S/. 11%
.ESCUENTOS 2 AU0ENTOS SUCESI;OS Ejemplos* 1.
&< qu= descuento 9nico equivalen dos descuentos sucesivos del 1% y ;%)
'omparando con el n9mero base el precio disminuye en 1!. ;ARIACIONES PORCENTUA-ES Se denomina as# al cambio que e6perimenta una cantidad, con relaci(n a su valor original y que es e6presado en tanto por ciento. Ejemplos+ 1.
Si un n9mero aumenta en !%. &n qu= tanto por ciento aumenta su cuadrado)
1% ;% "% 3%→
*odemos analizar tomando como base un n9mero cualquiera que para nuestro caso es conveniente el n9mero 1% debido a que su cuadrado me dará como resultado 1%%.
90 70 63 • = = 63% 100 100 100
'omparando con el n9mero base Se ha descontado el ;3. !.
&< qu= aumento 9nico equivalen dos aumentos sucesivos del 1% y ;%)
!%
1%
→
1%%
71%%8
1!
→
1
718
1% ;%
Otro procedimiento+ 9mero base+ 1%%
11% 1;%→
110 130 • = 143% 100 100
Su cuadrado → 71!%8\
'omparando con el n9mero base equivale a un aumento del ;. ;.
80 110 • = 88 % 100 100
l precio del az9car en este mes ha ba4ado en un !% pero para el pr(6imo mes se proyecta un incremento del 1%. n cuánto var#a el precio, con respecto al inicial) @e acuerdo al enunciado tenemos+ !% 1%
2
120 144 = = 144% 100 100
*or lo tanto aumenta en !.
Si un n9mero disminuye en %. &n qu= tanto por ciento disminuye su cuadrado)
1%% → % ⇒ 7%8\ ; G%
su cuadrado
*or lo tanto a disminuido en ;.
1.
Se compra un E.. en K 0%%. &< c(mo deberá vender si se quiere ganar el !% del costo)
Si el radio de un cilindro aumenta en 1% y su altura disminuye en !%. &n qu= tanto por ciento var#a su volumen) l volumen de un cilindro está relacionado de la forma siguiente+
*' K 0%% - !% * 0%% J !% 70%%8 PC B 7G@ !.
endiendo un 4uego en 1$%% soles se gana el !% del costo. &'uál es su costo)
πr\ . h
* K 1$%% - !%
otamos que la variaci(n del volumen depende directamente de >r? y >h?
1$%% *' J !% *' 1$%% 1!% *' PC B ),6@
r\ . h 2
110 80 711%8 70%8 ⇒ = 96.8% 100 100
;.
Un art#culo que cost( S/. %% se vendi( haciendo un descuento del !% y a9n as# se gan( el !% del precio de costo. Aallar el precio fi4ado.
'on respecto al n9mero base a disminuido en ;,! AP-ICACIONES CO0ERCIA-ES n las transacciones comerciales se involucra tres elementos básicos que son+ * *recio de venta *' *recio de costo - -anancia o * *=rdida * *' J * *' G * Observaciones+ 1. Los tantos por cientos de ganancias y de p=rdida se aplican al precio de costo, salvo especificaci(n contraria en el problema. !. Los tantos por cientos de reba4a o descuento se aplican al precio fi4ado o de lista, salvo otra especificaci(n. Ejemplos*
'osto
S/. %%
R @ !% 7%% J R8 - !% 7%%8
@el gráfico podemos observar+ R !% 7%% J 68 J !% 7%%8 R 1!% J !%6 J 1!% 0%6 !% B 4@@ l precio fi4ado será el costo mas el aumento+ *V %% J ;%%
PF = 900
PROJ-E0AS RESUE-TOS
1.
Yorge vende su televisor en K1!% perdiendo en la venta K ;%. &Mu= perdi()
P+ ! →
Soluci+n* * K 1!% *=rdida+ K ;% ⇒
+ 1 ................. P+ ! B R ...........
∴ *erdi( 78 +
!.
*c K 1
%$30 x 100 150 !%
G R Pu4eres %GR
⇒
Si gastara el ;% del dinero que tengo y ganara el !% de lo que me queda, perder#a K1%. &'uánto tengo)
;.
l seDor L(pez vendi( dos pipas a K1!% c/u. Qasada en el costo, su ganancia en una fue !% y su p=rdida en la otra fue !%. &'uánto perdi()
Soluci+n*
*v1 1!% -1 !% *c1 *v1 1!% *c1 1!% 1!% *c 1 *E 1%% *EOE
.
*v! 1!% *! !% *c! *v! 0%*c! 1!%0%*c ! *'! 1
%$*'EOE
n un sal(n de clase hay 1 varones y ! mu4eres. &'uántas mu4eres deben retirarse para que el porcenta4e de hombres aumente en !)
Soluci+n+ %
+ 1 →
16 6 1%% 40
%
J! ;
16 = 64% 40 − x 16 64 = 40 − x 100
@esarrollando+ % G 6 !$ % B )6
Soluci+n*
Eengo+ 6 Si gastara+ ;%6 ⇒ me quedar#a+ 3%6 si ganara+ !% 73%68 16 tendr#a 0 de 6 ∴ perder#a+ 1%%G0 16 16 T K1% ⇒ 6 K 1%%%
%
$.
Si la base de un triángulo disminuye ;% y la altura aumenta %. &n qu= porcenta4e var#a su área)
Soluci+n* b
G;%
3% b
h
J%
1%h
b . h A = 2
⇒ disminuye en !
.
Se tiene 0% litros de una mezcla que contiene
Soluci+n* 0%
J 6 litros de agua 0% J 6 ⇒
48 20 1 = = 80 + x 100 5
!% 0% J 6 % B )G@ 3.
< puede hacer un traba4o en " d#as, Q es $% más eficiente que <5 el n9mero de d#as que Q emplea para hacer el mismo traba4o, es+ Soluci+n* Eraba4ador < Q
E7d#as8 ficiencia " 1%% 6 1$%
< mayor eficiencia, menor cantidad de d#as5 por lo tanto, aplicando >regla de tres simple inversa?, tenemos+ " 71%%8 6 71$%8 % B G días
SUCESIONES O'X @ SU'SX Una sucesi(n es un con4unto ordenado de elementos 7n9mero, letras, figuras8 tales que cada uno ocupa un lugar establecido, de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y as# sucesivamente5 acorde con una ley de formaci(n, criterio de orden o f(rmula de recurrencia. < los elementos de este con4unto se les denominan t=rminos de la sucesi(n. Las sucesiones pueden ser+ - Sucesiones gráficas - Sucesiones literales - Sucesiones num=ricas n ocasiones se presentan algunas sucesiones que son combinaci(n de las anteriores.
Ejm( )* Aallar los $ primeros t=rminos en cada caso, teniendo en cuenta las siguientes f(rmulas de recurrencia+ a8
Soluci+n+
b8
Ejemplos* a8 $5 35115135 .... b8 135 ;;5 $5 1!"5 .... c8 15 05 !35 5 .... d8 $5 1!5 !%5 ;%5 ;5 .... e8 V5 A5 Y5 L5 5...
s un con4unto ordenado de n9meros en el que cada uno de ellos tiene un orden designado5 es decir que a cada uno de los t=rminos de la sucesi(n le corresponde un n9mero ordinal.
E=rminos de la sucesi(n+ t1
!C ;C C..........nC
los t=rminos de la sucesi(n son+ ;, 13, $$, 1!", !$1, ..... t n
=
n
2
n +1
Soluci+n+ 12 1 = t1 1+1 2
22 4 = t! 2 +1 3
32 9 = t; 3 +1 4
4 2 16 = t 4 +1 5
52 25 = t$ 5 +1 6
SUCESION NU0ERICA
W Ordinal+
tn !n; J1
⇒ Los t=rminos de la sucesi(n
son+ 1 4 9 16 25 ; ; ; ; ;.... 2 3 4 5 6 c8
tn n! J ⇒ ..................
t! t; t......... t n d8
tn ;n J1 J 7nG18 7nG!8 ⇒ ..................
e8
tn n J! 7nG187nG!87nG;8
SUCESILN ARIT0:TICA 7Sucesi(n Lineal o de *rimer Orden8
⇒ ..................
Aallar el t=rmino en=simo en cada caso.
La diferencia entre dos t=rminos consecutivos 7tambi=n llamada raz(n aritm=tica8 es siempre constante. Su t=rmino en=simo está dado por+
a8
5 "5 15 !$5 .......
tn rn J t %
Soluci+n+
tn* E=rmino en=simo
t% + E=rmino anterior al primero t% t1Gr r + Naz(n aritm=tica r t! G t1 n+ Lugar del t=rmino en=simo
Ejm( ,*
t1
t!
t;
t
"
1
!$
!\
;\
\
$\
...... tn
⇒7n/18\
∴ tn 7n/18\
b8
!5 5 1!5 !% ..........
t% t1 B r
Ejm( 4* Aallar el t=rmino en=simo en cada caso+ a8 35 1!5 135 !!5 ....... Soluci+n*
Soluci+n
3 1! 13 !!.... "6 "6 "6
⇒
t1
t!
t;
t
!
1!
!%
;6
6$ ⇒ n7nJ18
16! !6;
5
...... tn
r $5 to 3G$ ! tn B 6n " ,
b8
$, ;", ;;, !3,.....
tn ....................
Soluci+n* $ ;" ;; !3 G G G ⇒ r G 5 to $ B 7G8 $1
d8
;5 5 115 105 ........
∴ tn Gn J $1 ( tn $1 B n
e8
tn .................... 3 3 9 6 ; ; ; ;..... 5 4 11 7
∴ tn n7nJ18
c8
1, `, 1,,!$,!1,..
tn .................... SUCESIONES NU0ERICAS I0PORTANTES
SU'SX *OLXOPX
En toda sucesi+n cuadr=tica el t
G$
G"
G"
G
!
tn a.n J b.n J c
%
G$ J
; J;
J J J donde a, b y c son valores constantes que se hallan de la siguiente manera+ t% 5 t1 5 t! 5 t; 5 t 5 t$ 5 ..... Jm% Jm1 Jm! Jm; Jm Jr Jr Jr Jr ar/!
G
'álculo de a, b y c+ r 4 a = ⇒ a ! 2 2 b mo B a G0 B ! ⇒ b G1% c to ⇒ c ; ∴ tn !n\ G 1%n J ;
c8
Ejm( 5*
!5 35 1;5 !%5 !05......
Solución:
Aallar el t=rmino en=simo en cada caso+ $5 115 1"5 !"5 15 ...... Soluci+n* $ 11 J
mo G B G0 to G$ B 7G08 ;
c t%
b m% G a
@onde+ r + m! B m1 mo m1 G r to t1 B mo
a8
⇒ r
t15
1"
!"
1
t; 5 6q
6q
'álculo de a5 b y c r 2 a ⇒ a = 1 ⇒ a 1 2 2 b mo B a ⇒ mo G1 ; c to ⇒ c 1
G$5
G"5 G"5
Soluci+n*
6q
tn t1 6 qnG1
m% t% 1
∴ tn n\ J ;n J 1
b8
t$5 .......
ntonces+
⇒
G
t5
q+ raz(n geom=trica
J! J!
r! ⇒ mo G! ⇒ to $G
t!5 6q
J0 J1% J1! J!
SUCESILN DEO0:TRICA5 n general+ @ada la sucesi(n geom=trica+
G$5
Ejm( 6+ Aallar el t=rmino en=simo en+ a8
!5 5 105 Soluci+n*
$5 1!5....
!
$ 1!
6;
;
10 6;
⇒ q ;
Observaci(n+ t1 !
6;
6;
← raz(n7q8
∴
t! ! 6 ; t; ! 6 ;! t ! 6 ;; + tn ! 6 ;nG1
J;
b8
;5 1!5 05 1"!5.... ⇒
c8
%51%5
J!
5 5 ; ;.... ⇒ 2 8
SUCESILN PO-INO0IA- .E OR.EN SUPERIOR eamos por e4emplo una sucesi(n de cuarto orden. 1C t1,
J$
!C ;C C $C C........nC t! , t; , t , t$ , t,.......,t n a b c d e p1 p! p; p q1 q! q; r r
J3 J!
t1 5 p1 ;5
l t=rmino en=simo tendrá la forma+ tn t n = t1C0n −1 + aC1n −1 + p1Cn2 −1 + r C3n −1 tn 4 + 2 (n − 1) + 3 (n − 1)(n − 2) + 2 (n − 1)(n − 2)(n − 3) 2.1
3.2.1
tn 4 + 2 (n − 1) + 3 (n − 1)(n − 2) + (n − 1)(n − 2)(n − 3) 2
3
Ejm( H* Aallar el t=rmino que sigue en+ a8
15 ;5 5 1%5 ..........
Solución:
1
Su t=rmino en=simo viene dado por+
; J!
t n = t 1 C n0 −1 + aC1n −1 + p1C n2 −1 + q1C n3 −1 + rC n4 −1
J;
J1
1% J
J1
1$ J$
J1
⇒ t$ 1$
donde+ Cnk =
a !5 r !5
n (n − 1)(n − 2)... k (k − 1)(k − 2)...(1)
>H? factores
b8
15
5 5 17 ; ; ; ............ 3 2 5
0 < K ≤ n; K ∈ Ζ + ; n ∈ Ζ +
Soluci+n*
Ejm( G* 'alcular el t=rmino en=simo en+
ncontrando fracciones equivalentes
5 5 115 !15 ;05....
2 5 10 17 ; ; ; 2 3 4 5
para t! y t, tenemos+
:
!
Soluci+n*
J!
J; 11
J$
$
J1%
!1
;0 J13
:
!
1% J$
13 J3
y
,G J"
J!
J!
J!
;
$
→
G
c8
J1
J1
⇒ t$
26 13 = 6 3
Ejm( ?* 'alcular el t=rmino en=simo de cada una de las sucesiones siguientes+
J1
a8
X5 5-5 V5 5-5
5 "5 15 1"5 ........
Solución:
Soluci+n*
O"#!$%a&'# ()! *a *!$a E #!
" J$
$!,-!. ,'$ *' ()! ,'!&'# #),'/!$
⇒
()! #! $aa ! '# #)!#-'/!#
1
J$ r$
1" J$
La #)!#-/ !# ! ,$-&!$ '$!/.
a*!$/aa#. *a# )a*!# *a#
'/! ' = 456 = 51
-/-%-)a*-a&'#. ! &'' ()! ⇒ tn $n B1
!/!&'#
b8 :
X
A
V
'
Soluci+n*
@ -
$5 1!5 !;5 ;05 ........
$
:
V ⇒ t3 '
d8
15 5 !35 !$5 ........ Soluci+n*
→
A
J3
⇒
⇒ t$ " 6 1% "%
J11
;0 J1$
J
r
La sucesi(n es de segundo orden ! G $ J; G J
!5 1!5 ;%5 $5 Soluci+n*
!;
J
⇒ t$ $$ ;1!$
e8
1!
r 5 4 a ! 2
1!
!;
J3 J11 J1$ J
J
mo ;
tn !n\ J n J ! ;5 35 115 !5....... Soluci+n* ;
3
to !
b ;G!1 c !
⇒
c8
;0
11
!
J
J %
J1; J"
D! a)!$' a* a/7*-#-# /' #! ,)!! !!$&-/a$ ()! '$!/ !#8 ,'$ *' a/' a#)&-&'# ()! #! $aa ! ,$-&!$ '$!/. )ya $a/ !#
r 5 de donde+ to ;G G1 ⇒ tn n B 1
@e donde+ t1 718G1 ; t! 7!8G1 3 t; 7;8G1 11 t 78G1 1$ 7no cumple8 'omo a cumplido para tres t=rminos, entonces concluiremos que el t=rmino general será de tercer orden y tendrá la forma+
G
@ebemos calcular >I?, para la cual tenemos de la sucesi(n principal tenemos que < !
n 7X8 tenemos+ ⇒ ! 78 B 1 J H7G187G!87G;8 ! 1$ J H 7;87!8718 3 de donde H 2 3 ∴
SNXS
Se denomina serie num=rica a la adici(n indicada de los t=rminos de una sucesi(n num=rica y al resultado de la adici(n se le llama valor de la serie 4m+ "5 105 !35 ;5 .... sucesi(n num=rica " J 10 J !3 J ;
"%
Serie num=rica
alor de la serie
SERIE ARIT0:TICA 1 + 2 + 3 + 4+ + /51 + / +$
+$
+$
+$
t n + t 1 n 2
S=
/=
tn − t 0
n 9mero de t=rminos S Suma de t=rminos tn ltimo t=rmino t1 *rimer t=rmino t% E=rmino anterior al primero r Naz(n de la serie $ = 2 : 1
Ejm( )( Aallar el valor de la siguiente serie S J 3 J 1% J 1; J.......J $0J 1
Soluci+n 'ada t=rmino de la serie es igual al anterior aumentado en tres5 es decir que la diferencia entre dos t=rminos consecutivos es ;5 por lo tanto+
r; 61 + 4 61 + 1 65 60 = 2 3 2 3
⇒ S
S B G6@ SERIE DEO0ETRICA 1+ 2 + 3 + 4++ /51 + /
6q 6q 6q
S=
6q
t n .q − t 1 q −1
S = 1
qn − 1 1 − q
/ = 1 ( /51
S Suma de t=rminos t1 *rimer t=rmino tn n=simo t=rmino n 9meros de t=rminos q Naz(n de la serie Ejm( ,* 'alcular el valor de la siguiente serie S ; J J 1! J ! J.......J 1$; Soluci(n+ Observamos que cada t=rmino de la serie es el doble del anterior, entonces+ q! 1536x 2 − 3 = 3069 2 −1 2 n − 1 ( S ; 6 2 1 − 'alculo de n+ ⇒ S
1$; ; 6 !nG1 !nG1 $1! ! " n G1 " ⇒ n 1%
∴ S ; 7!1%G18 71%!G18
S ;%"
SERIE DEO0:TRICA .ECRECIENTE E IN3INITA* !@YY)' l valor apro6imado de >S? lo obtendremos+ aplicando+ SL;M;TE =
t1
1− q
t1 *rimer t=rmino q Naz(n Ejm(4* Aallar el valor de >S?, si S ;! J 1 J 0 J J !..... Soluci(n+ Observamos que cada t=rmino de la serie es la mitad del t=rmino anterior5 por lo tanto+ 1 q 2 32 32 ⇒ S = = 64 1 − 1 / 2 1 / 2 REPRESENTACIÓN DE UNA SUMATORIA: n
a ∑ =
i
= ak + a k +1 + ... + a n
i k
Se lee+ sumatoria de los >ai? desde i H hasta i n5 donde >H? y >n? son los l#mites inferior y superior de la ∑, e >i? se llama #ndice de la sumatoria PROPIE.A.ES 1.
C de t=rminos de una sumatoria n
x i = x k + x k +1 + ... + x n ∑ i =k
C t=rminos n B H J 1 4emplo+ 25
xi ∑ i =3
!.
⇒ hay !$G; J 1
*ara sumas o diferencias de dos o más variables n
∑ i=k
7aiJ bi G ci8
∑ a i J ∑ bi G ∑ c i
;.
La sumatoria de una constante es igual al C de t=rminos por la constante n
a = (n − k + 1)a ∑ i =k
.
Una Σ se puede descomponer en dos o más Σ parciales n
k
n
xi = ∑ xi + ∑ xi ∑ i =1 i =1 i = k +1
$.
Sumatoria de una constante y una o más variables k
n
n
(ax i ± by i ) = a ∑ x i ± b∑ y i ∑ i =1 i =1 i =1
SERIES !Sumas' NOTAJ-ES 1.
Suma de los >n? primeros X consecutivos n
∑=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = i
n(n + 1)
2
Ejm( 5 Aallar el valor de+ S 1 J ! J ; J ... J $% $%7$18/! 1!3$ 1 3 + 1 + + 2 + ... + 120 2 2 1 [1 + 2 + 3 + ... + 240] 2 1 240(241) 2 2 1%
F
< ;1 J ;! J ...J0" n este caso le sumamos y restamos 71J!J;J...J;%8. < 71J!J;J...J;%8 J ;1J;!J...J0" G71J!J;J...J;%8 <
89(90) 30(31) − = 3540 2 2
n
∑i = i = n1
!.
n (n + 1) ηo(ηo + 1) − 2 2
Suma de los >n? primeros X impares consecutivos n
∑=1 (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) i
=
n2
Ejm( 6* Aallar el valor de+ S 1 J ; J $ J ... J " !n B 1 "5 n ;$ S ;$\ 1!!$ * ; J " J 1$ J .... J 1$; ; 71 J ; J $ J...J$18 2 51 + 1 *; 2 ; 7!8\ !%!0 M $1J$;J...J1;" 2
139 + 1 49 + 1 M − 2 2
2
M "%%G;!$ !3$ ;.
Suma de cuadrados de los >n? primeros X consecutivos n
∑=1 i2 = 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 i
=
n(n + 1)( 2n + 1)
6
Ejm( G* Aallar el valor de+ < 1 J J " J 1 J...J ;1 < 1\ J !\ J ;\ J \ J ...J1"\ < 1"7!%87;"8/ !3% S 11\ J 1!\ J 1;\ J ...J!\
Sumando y restando+ 71\ J !\ J ;\ J ...J1%\8 24(25)(49) 10(11)(21) − 6 6 S "%%G;0$ S $1$
S
.
Suma de cubos de los >n? primeros X consecutivos+ n
∑=1 i 3 = 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 i
n( n + 1) = 2
2
Ejm( H* Aallar el valor de+ S 1J0J!3JJ...J0%%% S 1; J !; J ;; J ...J!%; 2 20(21) S = 210 2 = 44100 2 < 1!$J!1J;;J...J13!0 < $; J ; J 3; J ... J1! ; 2
2
12(13) 4(5) < − = 5984 2 2
$.
Suma de cuadrados de los >n? primeros n9meros impares consecutivos n
2 2 ∑ (2i − 1) = 12 + 32 + 5 2 + ... + (2n − 1) i=1
Ejm( ?* Aallar el valor de+ S 1 J " J !$ J ... J !%1 S 1\ J ;\ J $\ J ... J $1\ !n B1 $1 5 n ! → S ! 7 6 !\ G18/; !;;
.
Suma de los >n? n9meros pares consecutivos
=
n(2n + 1)( 2n − 1)
3
n
2i = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) ∑ i =1
Ejm( 7* Aallar el valor de+ S ! J J J ... J % S ! 6 1 J ! 6 ! J ! 6 ; J... J ! 6 % n !% S !% 7!18 !%. P 1!J1J1J...J% P !% 7!18 B $ 78 ;"% 3.
Suma de cuadrados de los >n? primeros n9meros pares consecutivos
n
2
(2i )2 = 2 2 + 4 2 + 6 2 + (2n ) 2 = n (n + 1)(2n + 1) ∑ 3 i =1 Ejm( )@* Aallar el valor de+ P J 1 J ; J ... J ;%% P !\ J \ J \ J ...J %\ n ;% 2 P 6 ;% 7;18 718 ;30!% 3
PROJ-E0AS RESUE-TOS 1. < las 0+%% am Luis y er(nica escuchan una noticia. Luis comunica esta noticia a dos de sus amigos, cada uno de los cuales lo comunica a otros dos caballeros y as# sucesivamente. er(nica comunica la noticia a tres de sus amigas, cada una de las cuales lo comunica a otras tres damas y as# sucesivamente.
Si cada persona demora 1% minutos en comunicar la noticia a sus oyentes. &'uántos caballeros y cuántas damas conocerán esta noticia a las " am.)
Resoluci+n Aaciendo el análisis tenemos que la cantidad de personas que se enteran de la noticia a las+ 0+%% 0+1% 0+!%.... "+%% son 1 7L8 → ! → ...... 1 78 → ; → " ...... 'omo la noticia >corre? en progresi(n geom=trica, la cantidad total de caballeros y damas que conocerán la noticia serán+ ⇒ S Cab
2 7 − 1 = 127 = 1 + 2 + 4 + ... = 1 x 2 1 −
⇒ S Dam
!.
37 − 1 = 1093 = 1 + 3 + 9 + ... = 1 x 3 1 −
@eterminar la suma de cifras del resultado+
S 1J;J$J11J;;J$$J111J;;;J$$$J.. % sumandos Resoluci+n
+ + 999 + ... 9 99 20 sumandos
20
S 71%G18 J 71%%G18 J 71%%%G18 J... S
10 ...−1 + 100 + 1000 + − 1 −1 − ... −1 20
20
Los t=rminos de la serie del primer grupo aumentan geom=tricamente, entonces+ S S =
10 20 − 1 10 x 10 − 1 21 10 − 10 − 20 9
− 20
!1 cifras
S
10 21 − 190 999...9810 9 9
S
111...1%"% !1 cifras
⇒ Suma de cifras de >S? 10 J " !3
;.
@ada la sucesi(n+ 1,!,G;,,$,G,3,0,G"..... La suma de sus cien primeros t=rminos es+
Resoluci+n
1J!B; J J$B J 3J0G" J ... J "3J"0B"" J 1%%
S S
% J ; J J ... J " J 1%% ;.1 J ;.! J ... J ;.;! J 1%%
S
3
S
10
.
La suma de los !% primeros t=rminos de la serie+
32.33 + 100 2
; J $ J" J 1$ J ........ es+ Resoluci+n *ara analizar los t=rminos de la serie los ubicamos como una sucesi(n ; 5 ; 5 $ 5 " 5 1$ 5 % J! J J !
J!
J!
→ r !
→ la serie es cuadrática, donde el t=rmino general es de la forma+
tn an\ J bn J c donde+
r 2 = ⇒ a =1 2 2 b moBa %B1 → b G1 c to → c ;
a
s decir+ tn n\ G nJ ; ⇒
20
+ + 3+ 5 9+ 15 .... = ∑ (n 2 − n + 3) 20 SUMANDOS
n =1
20.21.41 20.21 − + 3.20 6 2
!03% B !1% J % !3!%
$.
Si+ % n 15 la suma de+ 1 J !n J;n ! Jn; J$n J.... es igual a+
Resoluci+n @ándole otra forma a la serie tenemos+ 1 1 J n J n\ J n ; J n J ... → S1 1− n
n 1− n n2 ; n\ J n J n J ... → S; 1− n n3 ; n J n J ... → S 1− n n4 n J ...→ S$ 1− n ntonces+
n J n\ J n; J n J ... → S!
S S1 J S! J S; J S J ... 1 S 71 J n J n\ J n ; J n J ...8 1− n 1 1 S 6 71 B n8 G! 1− n 1− n .
n esta secuencia Vila 1+ 1,! Vila !+ !, ;, , $, Vila ;+ ;, , $, , 3, 0, ", 1% Vila + , $, , 3, 0, ", 1%, 11, 1!, 1;, 1 + + Aallar la suma de los n9meros de la fila ;! Resoluci+n *royectándonos a la fila ;!, tenemos+ Vila ;! + ;!, ;;, ;, ;$, ....,1! Mue al sumarlos, obtenemos+ S ;! J ;; J ; J ;$ J ... J 1! 126 + 32 . 95 = 7505 2
S
3ila N t
Resoluci+n S ;%% J ;%; J ;% J ;%" J ...J ;"" 399 + 300 399 − 297 X S 2 3 699 102 x S = 11883 2 3 0.
'alcular+ i=n
∑=1 (3i2 − 3i + 1) i
Resoluci+n
propiedades n
n
n
∑1 (3i 2 − 3i + 1) = ; ∑1 i 2 − 3∑1 i + ∑1 1 n (n + 1)(2n + 1) n (n + 1) −3 + 1.n 6 2 n (n + 1)(2n + 1) − 3(n + 1) + 2 2 ; n
3
ANA-ISIS CO0JINATORIO
de
sumatorias,
tenemos+
V<'EONX
Calcular* E =
,(
20!+21!+22! 20! x 22 2
allar !a"b'1 si* 8! = 56 a! xb!
*NX'X*XO @ PULEX*LX'<'X
7*NX'X*XO VU@m? maneras y para cada una de estas, otro evento >Q? se puede efectuar de >n? maneras,. entonces los eventos < y Q se pueden efectuar simultáneamente o uno seguido del otro, de+ >m 6 n? P<N
Soluci+n 'omo cada falda puede ponerse con cada una de las blusas → Paneras de vestirse será ; 6 1! PRINCIPIO .E A.ICION Si un evento >m? maneras y otro evento >Q? se puede efectuar de >n? maneras, entonces >Q?, se puede efectuar de+ >m J n? P<N
Ejemplo 4
>Iaty? desea via4ar de Lima a 'a4amarca5 si dispone de l#neas a=reas y ! l#neas terrestres &de cuantas maneras diferentes puede realizar el via4e) Soluci+n+ *ara via4ar de Lima a 'a4amarca, puede hacerlo por l#nea a=rea 7 maneras8 o por l#nea terrestre 7! maneras8. Paneras de via4ar+ J ! ;ARIACILN 7v8 s cada uno de los diversos ordenamientos que pueden formarse tomando alguno o todos, de un numero dado de ob4etos y teniendo en cuenta el orden en que se toman estos. n
V r
=
n!
(n − r )!
n n9mero total de elementos r n9mero de elementos tomados 7agrupados8 Ejemplo 6+ 'uántas variaciones se pueden obtener con los elementos a,b,c,d,e tomados de ! en !. Solución
:
Eener presente que si interesa el orden de colocaci(n de cada elemento, es decir que+ ab ≠ ba
ntonces, las variaciones serán ab, ac, ad, ae ba, bc, bd, be ca, cb, cd, ce !% da, db, dc, de ea, eb, ec, ed Patemáticamente designaremos la variaci(n para >n? elementos tomados de r en r, por+ Vrn n 7nG18 7nG!8 ... 7r factores8 V25 = 6 x 4 = 20
o tambi=n aplicando+ Vrn =
n! 5! ⇒ V25 = = 20 (n − r )! 3!
Ejemplo G+ n una competencia, en la que participarán $ atletas, se entregarán medallas de oro, plata y bronce a los ; primeros en llegar a la meta. Si llegasen, uno a continuaci(n del otro, de cuántas maneras se puede efectuar la premiaci(n).
Solución
PER0UTACILN !P'* Si se toma todos los elementos del con4unto para ordenarlos, la variaci(n recibe el nombre de permutaci(n es decir si+ v n →
V nn
= Pn = n!
Ejemplo H &'uántas permutaciones se obtienen con los elementos 1,!,;)
Solución
1;! !;1 ;!1
⇒
permutaciones *; ;
Ejemplo ? &@e cuántas maneras se pueden ordenar $ personas en una fila) Soluci+n+............................... *NPUE<'X 'XN'ULn? elementos se disponen alrededor de un circulo, el n9mero de permutaciones, si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento, será+ n
Pc
= (n − 1)!
Ejemplo 7 &@e cuántas maneras pueden sentarse 0 personas alrededor de una mesa redonda) Soluci+n* *3 3 $%% Ejemplo )@+ &@e cuántas maneras se pueden sentar $ personas alrededor de una fogata) Soluci+n+ .................................................... *NPUE<'X 'O N*EX'XO Si se tiene n elementos donde hay+ r1 elementos de una primera clase r! elementos de una segunda clase r; elementos de una tercera clase rH elementos de una H B =sima clase
l numero de permutaciones diferentes que se puede formar con ellos es+ Pn r1 .r2 ...rk =
n! r1 ! x r2 ! x r3 ! x...xrk !
@onde+ r1 J r! .... J r H n Ejemplo )) 'uántas palabras de $ letras se pueden formar con las letras de la palabra PP. Soluci+n n la palabra encontraremos $ letras de las cuales se repiten las letras y P, es decir+ n $5 r1 !5 r! ! ntonces n! 5! = = 30 r1! x r2 ! 2!2!
Pn r1 ,r2 =
Ejemplo ),* n cuántas formas se pueden ordenar los siguientes cubos+ ! ro4os, ; verdes y ! azules Soluci+n n total hay 3 cubos para ordenarlos uno a continuaci(n de otro5 pero se repiten los colores, por lo que los ordenamientos distintos serán+ P7 2,3, 2 =
7! = 210 2! 3! 2!
CO0JINACILN !C' s cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, tomando todos los elementos o grupos de estos, no importando el orden en que se tomen estos. n
C r
=
n!
(n − r )!.r !
n 9mero total de elementos r 9mero de elementos tomados 7agrupados8 4emplo 1; Se desean saber cu=ntas combinaciones se puedan realiar con los elementos a1b1c1d1e tomados de , en ,( Soluci+n Eener en cuenta que no interesa el orden de ubicaci(n de los elemento, es decir que+ ab ba, entonces las combinaciones serán+
ab bc cd de
ac bd
ad be ce
ae
B )@
4emplo 1 [Cu=ntos comitrupo de G personas\ Soluci+n+ OJSER;ACIONES C on = 1 C1n = n C nn = 1 )( C r n = C nn− r ,( !C( Complementarias' C on + C 1n + C 2n + ... + C nn = 2 n ;. C1n + C n2 + ... + C nn = 2 n − 1
.I3ERENCIA ENTRE CO0JINACIONES 2 ;ARIACIONES Las combinaciones se diferencian por sus elementos5 en tanto que las variaciones por el orden de los mismos. • • •
*ara las variaciones el orden de sus elementos si interesa, ya que no es lo mismo decir !; que ;!. *ara las combinaciones el orden no interesa. @os combinaciones son diferentes s(lo si difieren por lo menos en un elemento+ abc5 abd5 bcd5 acd. PROJ-E0AS RESUE-TOS
1.
'uántos n9meros de ; cifras pueden formarse con $ d#gitos sin que se repita uno de ellos en el n9mero formado
Resoluci+n*
$ ;
← @#gitos posibles
C de maneras $ 6 6 ; % :
de ubicar en cada ca4a.
'omo si nos interesa el orden+ m! Vnm = (m − n )! V35 =
!.
5! 120 = = % (5 − 3)! 2
@e cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de asientos personas.
Resoluci+n Xnteresa el orden en que están sentados → maneras V46 = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
;.
Un estudiante tiene que resolver 1% preguntas de 1; en un e6amen. &'uántas maneras de escoger las preguntas tiene)
Resoluci+n Se tiene que escoger 1% preguntas, sin interesar el orden5 entonces+ 13! Paneras C13 = 286 10 = 10! x 3! .
@e cuántas maneras ! peruanos, colombianos y ; paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten 4untos)
Resoluci+n • Las tres nacionalidades pueden ordenarse en una fila de ; maneras. • Los dos peruanos pueden sentarse de ! Los cuatro colombianos de • Los tres paraguayos de ; • ∴ Aay ; 6 ! 6 6 ; 13!0 maneras
$.
@e cuántas maneras pueden escogerse un comit= compuesto de ; hombres y ! mu4eres de un grupo de 3 hombres y $ mu4eres.
Resoluci+n : : ∴
.
@e los 3 hombres se puede escoger ; de C 37 maneras @e las $ mu4eres se puede escoger ! de C 52 maneras l comit= puede escogerse de+ C 37 6 C 52 ;$% maneras Un total de 1!% estrechados de manos se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cort=s con cada uno de los demás, cuál es el n9mero de personas presentes)
Resoluci+n @el total de personas 7n8 se saludan de ! en !5 sin interesar el orden, entonces+ n! = 120 C n2 = (n − 2)! x 2! n (n − 1)(n − 2)! = 120 (n − 2)! x 2! n (n − 1) = 120 2 ⇒ n = 16
PROJAJI-I.A.ES
l cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripci(n y análisis de fen(menos estad#sticos. La teor#a de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicaci(n directa en muchos problemas de ingenier#a, administraci(n, econom#a, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estad#sticos. 4m+ &'uál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado) EPERI0ENTO A-EATORIO !]' Se denomina e6perimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EE0P-OS 1 + Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ! +
Se lanza un dado y se observa el n9mero que resulta
ESPACIO 0UESTRA- ! '. s el con4unto de resultados posibles de un e6perimento aleatorio. *ara los e4emplos antes mencionados+ Ω1 {7c,c85 7c,s85 7s,c85 7s,s8} Ω! {715!5;55$58 } E;ENTOS O SUCESOS+ Un evento o suceso son subcon4untos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras may9sculas del alfabeto 7<5 Q5 ....8. @el e4emplo 1 antes mencionado, sea el evento < en los ! lanzamientos sale un cara, por lo menos < {7c,c85 7c,s85 7s,c8} OPERACIONES ENTRE SUCESOS* Se han indicado anteriormente que los sucesos son con4untos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. Operaci(n < ∪ Q+ < ∩ Q+ < B Q+ <' +
Se lee+ Ocurre <, ocurre Q o ambas Ocurre al menos uno de ellos. Ocurre < y ocurre Q5 Ocurre ambas a la vez Ocurre solamente <5 Ocurre < pero no Q o ocurre el suceso <.
C-ASES .E SUCESOS PROJAJI-ISTICOS
W SUCESOS 0UTUA0ENTE EC-U2ENTES* @ados los sucesos < y Q se dice que ellos son mutuamente e6cluyentes si y s(lo si < ∩ Q φ 5 esto quiere decir que no ocurren 4untos 7simultáneamente8. 4emplo+ n una aula de *re U<', se tiene los siguientes sucesos+ <+ Q+ '+ ⇒
Un grupo de alumnos tienen de 1$ a 13 aDos Un grupo de alumnos tienen más de 13 aDos pero no más de 1" aDos Un grupo de alumnos son mayores de 1" aDos. Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos.
W SUCESOS CO0PATIJ-ES
Se tiene dos urnas < y Q, la urna < contiene ; bolas ro4as y bolas negras, en tanto que la urna Q tiene bolas ro4as y 3 bolas negras. Si se saca de la urna < una bola y se deposita en la urna Q5 al sacar una bola de la urna Q, el resultado dependerá de la bola que se sac( de la urna <. : @VXX'X @ *NOQ
Ejm )* @eterminar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un n9mero primo.
Soluci+n Ω {1,!,;,,$,} < {!,;,$} → *7<8 ;/ 1/! n forma general para >n? dados se cumple que C casos totales n → 'uando se lanzan dos dados simultáneamente, aumenta la diversidad de eventos
que puedan ocurrir, esto es+ \ ; casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUP< de los n9meros que aparecen en sus caras superiores. 'U<@NO de las SUP
@ado ! @ado 1 ↓ 1 ! ; $
1 ! ; $ ! ; $ 3
; $ 3 0
$ $ 3 3 0 0 " " 1%
3 0 " 1% 11
3 0 " 1% 11 1!
@e este cuadro se deduce que+ : :
SUP< P
Nesumen del cuadro de Sumas+
Sum a C de casos *rob aG bilida d
! ; $ 3 0 " 1 1 1 % 1 ! 1 ! ; $ $ ; ! 1 1 ! ; $ $ ; ! 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Ejm( ,* &'uál es la probabilidad que al lanzar dos dados, su suma sea un m9ltiplo de ; ) Soluci+n+
*ara que sea m9ltiplo de ;, la suma debe ser ;,," o 1!, siendo los casos favorables de !,$, y 1 respectivamente, que en total hacen !J$JJ1, igual a 1! casos favorables, con respecto a ; casos en total. *or lo tanto, la probabilidad será+ 12 1 = 36 3 Para el caso de NAIPES+ @ebemos saber que el mazo consta de $! cartas+ G palo de 1; cartas de corazones7 ♥8 G palo e 1; cartas de diamantes 7 ♦8 G palo de 1; cartas de Er=boles 7 ♣8 G palo de 1; cartas de spadas 7 ♠8 Ejm 4* @e un mazo de $! cartas, al e6traer una de ellas &'uál es la probabilidad de que sea un as) Soluci+n+ 'omo en un mazo de $! cartas hay ases, entonces la probabilidad será+ 4 1 = 52 13 Para el caso de 0ONE.AS* Una moneda tiene una 'n? monedas, se cumple que+ C de casos totales !n @educci(n sencilla+ en cada PO@<, se cumple que+ *robabilidad para obtener '
O *7<8 1%%
Al espacio muestral ( ) le corresponde P( ) = I
: La probabilidad será 1 cuando el suceso sea seguro. : La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible EONP< @ L< <@X'X+ Si < y Q son sucesos no e6cluyentes definidos en un espacio muestral, entonces+ *7<∪Q8 *7<8 J *7Q8 B *7<∩Q8
Si < y Q son sucesos mutuamente e6cluyentes < ∩ Q φ5 * 7< ∩ Q8 %
*7< ∪ Q8 *7<8 J * 7Q8 TEORE0A .E -A 0U-TIP-ICACION Sean < y Q dos sucesos incluidos en el espacio muestral Ω, entonces+ G Si < y Q son sucesos no independientes *7< ∩ Q8 *7<8 6 *7Q/<8 4m. + Una urna contiene bolitas azules y blancas. Se e6traen dos bolitas sucesivamente y sin reposici(n. 'alcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Soluci(n *7b ∩a8 *7b8 6 *7a/b8
4 6 4 x = 10 9 15
G Si < y Q son independientes *7< ∩ Q8 *7<8 6 *7Q8 4m. $+ Una urna contiene bolitas azules y blancas. Se e6traen dos bolitas sucesivamente, con reposici(n. 'alcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. Soluci(n+ *7a y b8 *7a8 6 *7b8
6 4 6 = x 10 10 25
ETRACCILN SI0P-E *ara naipes, bolas y otras, cuando se quiere e6traer de una en una, la probabilidad se determina por un simple cociente de los casos favorables respecto a los casos totales. 4m. + @e una ca4a que contiene $ bolas ro4as y ; negras, se e6trae uno de ellos al azar. @eterminar la probabilidad que sea negra. Soluci(n n 7Ω8 0 n 78 ; T *78 ;/0
REN<''X PLEX*L
'uando se e6traen @OS o más ob4etos, se puede hallar la *robabilidad por dos m=todos. a8
PEO@O @ L< VN<''X Aacer el *NO@U'EO de tantas fracciones como REN<''XOS se hayan realizado.
C de Vracciones C de 6tracciones 4m. 3+ @e un mazo de $! cartas. &'uál es la probabilidad de que al e6traer tres al azar, =stas sean una figura 7Y, M, I8) Soluci(n+ n un mazo de $! cartas e6isten cartas >Y?, cartas >M? y cartas >I?, entonces tendremos 1! cartas favorables que se van a e6traer de una en una. 12 La probabilidad de la primera será+ 52 11 La probabilidad de la segunda será+ , ya que hay una figura menos. 51 10 La probabilidad de la tercera será 50 12 11 10 , , La probabilidad respuesta será el producto+ 52 51 50 b8
PEO@O @ L*robabilidad de la 6tracci(n P9ltiple equivale a un 'O'XE de 'OPQX<'XOS?. Se debe aplicar una 'OPQX<'X, tanto a los '
C kr *7H8 n Cr Siendo+ I 9mero de casos favorables que se e6traen al azar de >r? en >r? 7rT18 P 9mero de casos totales, que se e6traen al azar de >r? en >r?.
4m. 0+ @e un mazo, se e6traen ! cartas &'uál es la probabilidad que sean espadas) Soluci(n+ 'omo en un mazo de $! cartas hay 1; espadas, por el m=todo de las combinaciones, tenemos que+ La probabilidad será+ 1 C132 / C52 2 17 4m. "+
n una urna se tiene bolas negras, $ blancas y 3 verdes. Obtener cara por lo menos ! veces al lanzar al aire ; veces una moneda? Soluci(n+ Si lanzamos por vez primera, puede que resulte cara y si no cae cara tiene que ser sello5 luego si lanzamos la moneda por !da vez y despu=s por ;ra vez se presentarán las ocurrencias que ilustramos en el diagrama ad4unto. LANZAMIENTO DE LA MONEDA 1 vez 2 veces 3 veces CCC CC CCS C CSC CS CSS SCC SC S
SCS SSC SS SSS
'omo nos piden hallar la probabilidad de sacar por lo menos ! caras, esto es ! o más caras, entonces las caras favorables que observamos en la tercera columna son+ ccc, ccs, csc y scc, siendo posibilidades de un total de 0, luego+
*7por lo menos ! caras8
4 1 = 8 2
!. n una ca4a hay $ bolas ro4as y ; negras. Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la ca4a, luego se saca otra bola. &'uál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean ro4as) Soluci(n+ La probabilidad de sacar una bola ro4a la primera vez es de+ probabilidad de sacar una bola ro4a la segunda vez es de+
5 −1 4 = . 8 −1 7
5 5 = , y la 5+3 8
'omo la ocurrencia de los sucesos están ligadas mutuamente, aplicamos el teorema dado+ 5 4 20 5 *7N y N8 *7N8 J *7N8 x = = 8 7 56 14 ;. Se escogen al azar naran4as entre 1% naran4as que hab#an en una ca4a, de las cuales estaban malogradas, &'uál es la probabilidad de que ! e6actamente sean malogrados) Soluci(n+ Seg9n los datos se tiene+ Eotal de naran4as+ 1% a8
Si se e6traen naran4as del total de naran4as 71%8, entonces el n9mero de maneras se obtendrá+ C104 =
b8
malogrados sanos
10 x9 x8x 7 = !1% maneras 1x 2x3x 4
Si se e6traen naran4as, donde dos naran4as deben ser malogradas entonces los otros dos serán sanas. l con4unto de casos posibles de e6traer dos naran4as malogradas de los y ! sanas de los será.
C62 x C 42 =
6x5 4x3 x "% maneras 2 2
∴ la probabilidad es de+ P(A) =
90 3 = 210 7
Un profesor de aula ha seleccionado a 1% niDos y niDas para recitar ; poes#as para actuaci(n central del aniversario del plante. &'uál es la probabilidad de que los dos primeros sean niDos y la 9ltima sea niDa) 4.
Soluci(n+ Seg9n los datos el total de alumnos seleccionados son+ 1% niDos
1 alumnos
niDos @eterminando las probabilidades tenemos+ 10 5 = 14 7 9 Mue el segundo sea niDo+ 13 4 1 = Mue el tercero sea niDa+ 12 3
Mue el primero sea niDo+
'omo los tres eventos son independientes uno del otro, la probabilidad final será+ *7V8
5 9 1 15 x x = 7 13 3 91
$. ueve personas se sientan al azar en una mesa redonda. &'uál es la probabilidad de que ; personas queden contiguas) Soluci(n+ Sean <, Q y ' las personas que van a sentarse siempre 4untas o contiguas, entonces+ 'alculamos el n9mero total de formas en que se puedan sentar las " personas+ 7"G 18 0 Si las ; personas 7<, Q y '8, siempre están 4untos, entonces las formas que se pueden ubicar es+ ; 6 ! 6 1 formas Las personas restantes se podrán ubicar de+ formas Vinalmente la probabilidad 7*7<88 de que las tres personas queden contiguas es+
7*7<88
6 x 6! 6 x 6! 3 = = 8! 8x 7 x 6! 28
'OEO @ VX-UN
G 'omparar dos ob4etos para notar si son id=nticos G ncontrar un ob4eto oculto, basándose en un modelo. G numerar y contar el con4unto de ob4etos observados G @escubrir el trazo de un recorrido oculto. G legir un recorrido (ptimo entre varias rutas disponibles, etc. *ara algunos de estos problemas se dispone de ciertos m=todos sistemáticos o algunas f(rmulas pre establecidas, mientras que para otros s(lo podemos contar con nuestra intuici(n e imaginaci(n para obtener la soluci(n. Aaremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen. II(
CONTEO .E 3IDURAS
Ejemplo )* &'uántos triángulos observar en la figura)
!.
Si s(lo observamos y utilizamos nuestra memoria registramos estas imágenes+
1
$
E
Resoluci+n* *odemos contar de dos formas+ 1.
Ejemplo ,* &'uántos triángulos hay en la figura)
Resoluci+n*
a b c
.
Los n9meros indican los triángulos reconocidos.
d C
;
se pueden
<
J
!
Si utilizamos los v=rtices para identificarlos tendremos los siguientes triángulos+ ulos
e
f
g h
Eenemos que la cantidad de triángulos buscados son+ con 1 letra a, b, c, d, g, h ! letras ab5 bc5 ad5 be5 cf5 de5 fg 3 ; letras abc5 cfh ! letras abde5 defg5 defh ; $ letras bcefh 1 3 letras abcdefh 1 ⇒ Eotal !% Ejemplo 4* &'uántos segmentos hay en la siguiente figura)
<
Q
'
@
Resoluci+n * Si asignamos a cada uno de los pequeDos segmentos una letra 7e8, tenemos+ e e e e <
Q
'on 1 letra+ 'on ! letras+ 'on ; letras+ 'on letras+
'
@
Resoluci+n+ Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. ntonces, para n $ 5(6) C triángulos )6 2
Ejemplo 6+ 'uántos cuadriláteros hay en la figura)
segmentos ; segmentos ! segmentos 1 segmento.
Eotal de segmentos+ S J ; J ! J 1 1% ( S 1 J ! J ; J 1% Sumando miembro a miembro+ ! S $J$J$J$ !%
Resoluci+n*
'alcularemos primero los cuadriláteros que habr#an sin las l#neas horizontales interiores y luego los cuadriláteros que habr#an sin las l#neas verticales interiores. s decir+
s decir que para >e?, tenemos+ 4(5) SB B )@ 2 -eneralizando, para >n? espacios, tenemos ° Seg.
n( n + 1)
2
C de cuadriláteros
4(5) 1% 2
Nota+ sta e6presi(n matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. Ejemplo + 'uántos triángulos hay en la figura)
C de cuadriláteros
3(4) 2
Luego, al superponerlos, se multiplican ⇒ C cuadriláteros )@ % G B G@
