Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista Evangelista g
Geometría: Parte de la matemática que trata de las prop propie ieda dade dess la medid edida a de la e!tensión. Punto: Limite m"nimo de la e!t e!tensi ensión ón que que se co cons nsid ider era a sin sin longitud# latitud ni profundidad. profundidad. Línea: Esta formado por la sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud. Línea recta: Línea curva:
-
Prof Prof.. Lic.
g - ∈ -
Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen. Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los e!tremos. e!tremos. g g - Plano: 'upe 'uper( r(ci cie e imag imagin inar aria ia ilimitada# es engendrada por una l"ne l"nea a rec ecta ta cuan cuando do se desp despla laza za paralel ela amente a su posición original. Porción de Plano P
Línea quebrada:
Línea mixta:
Figu Figura ra Geom Geomét étri rica ca:: Es un con) co n)un unto to de punt puntos os ó sist sistem emas as de l"neas super(cies que rec eci& i&en en el nom nom&re &re de (gur (gura as geom*tricas. ifcado de los tér términ minos Signifc
matemticos: !xioma: Es una prop propos osic ició ión n Lín Línea recta: sucesión sucesión contin$a contin$a evidente por si misma que no de puntos que se desplaza %acia necesita demostración+ am&os e!tremos en forma "eorema: Proposición que ilimitada. medi me dian ante te un ra razo zona nami mien ento to se g g %ace evidente consta de dos - partes, %ipótesis tesis. Semi–recta: Parte de la recta que #orola #orolario rio:: Es una consecuencia carece de punto de origen. de uno o varios teoremas. g Postu Postula lado do:: Propos Proposición ición que sin
o
- ∉ -
Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista ser evidente se admite su certeza por no ser posi&le demostrarla. Lema: Es un teorema preliminar que sirve de &ase para demostrar un teorema principal. $scolio: Es una advertencia o anotación que se %ace para aclarar# ampliar o restringir proposiciones anteriores. Pro%osici&n: Es el enunciado de una %ipótesis ó suposición conclusión.
'i%&tesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución. Problema: Es una proposición que se %ace con el o&)eto de aclararlo ó resolverlo. (%eraciones con Segmentos: 'uma+ g -
g
34 = n ( n − 2)
/ Para pol"gonos secantes 34 = L . n ( n − 2)
n = n$mero de (guras L = n$mero de lados del poligono
+,G-L( Es la (gura formada por dos raos divergentes que tienen un e!tremo com$n denominado v*rtice. -
g
8ertice 7g
Lados
g
g R
g '
/ PR = P' − P1 − R' / P1 = PR − 1' / R' = P' − PR )ximo n*mero de %untos de corte / Para puntos secantes
/ Para circunferencias secantes
Resta+ g 1
n( n − 2) 5
g 0
g C
/ -0 = - + C + C0 / -0 = - + 0 / -0 = -C + C0 g P
34 =
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6 , R -7 # 7 6 3otación+ -7 .isectri/: Rao que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
-
g
α
7g α
&isectriz
g
#lasifcaci&n: Los ángulos se clasi(can seg$n
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su magnitud# seg$n sus caracter"sticas seg$n su posición de sus lados.
α + θ = >:°
α
01 Seg*n su )agnitud:
θ
b7 9ngulos 'uplementarios
2: 9ngulo 3ulo+
α = :4
7
3:
9ngulo
θ
Conve!o+
:° < α < 2;:4
agudo + o ! e v n o C
α + θ = 2;:4
α
:4 < α < >:4
recto+ o&tuso +
α
α = >:4 α
>:4 < α < 2;:4
41 9ngulo llano+
0001 Seg*n Posici&n de sus lados a7 9ngulos adacentes suplementarios
α = 2;:4
α + θ = 2;:4
α
α θ
51 9ngulo Cóncavo+
b7 9ngulos Consecutivos 2;:4 < α < <=:4
C
α 0
61
9ngulo
de
una
vuelta+
α = <=:4
α 001 Seg*n sus características a7 9ngulos Complementarios
θ
β
α
7
-
α + θ + β + ...... = <=:°
c7 9ngulos v*rtice
α
opuestos
por
θ
α=θ
el
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+ngulos 8ormados %or dos rectas %aralelas y una recta secante
+ngulos de lados %aralelos a? &?
2 @
θ
5
L2
<
sur suur L 2 L 5
α α
θ
= ;
c?
A
L5
B
9ngulos internos+ < , @ , A , = 9ngulos e!ternos+ 2 , 5 , B , ; 9ngulos alternos internos+
φ θ
+ngulos de %er%endiculares 2? 0os ángulos agudos
lados
=A C,5 C== C @
9ngulos
alternos
e!ternos+
C=; C 2 = BC , 5
9ngulos con)ugados internos+
θ
+ =D2;:4 C @ α=θ
9ngulos con)ugados e!ternos+ C 2+ ;D2;:4
α
C
C 5C + BD2;:4
9ngulos correspondientes+
5? 0os ángulos o&tusos
φ
φ=θ
CDA C,< C =B = ;C C,@ 2D=C , 5
Pro%iedades entre rectas %aralelas: 21 'i+ M3
θ
M
α !
θ
β
α
θ
α + θ = 2;:°
α + θ +β = !+
31 isectrices de un par lineal
α θ θ α
3
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ángulos del triángulo adacentes a *l.
no
α + θ = >:4
θ
"R0+,G-L(S Es la (gura formada por tres segmentos de recta que se unen pos sus e!tremos 5 a 5.
-
!Dα + θ
41 En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos e!teriores es <=:4.
θ
θ5
z α
β
-
C !
$lementos: 8*rtices+ -, C Lados+ -, C -C 9ngulos interiores+ α , θ β 9ngulos e!teriores+ ! , , z
"eoremas Fundamentales 21 En todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 2;:4
θ< -
C θ2
θ2 + θ 5 + θ < = <=:4
51 En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma la sustracción de las longitudes de los otros dos lados. 'i+ a > & > c
&
c
θ α
! C
α
β
-
C
α + θ + β = 2;:4
31 En todo triángulo la medida de un ángulo e!terior es igual a la suma de las medidas de dos
& − c < a < &+ c
61 En todo triángulo se cumple que a maor lado se le opone a maor ángulo viceversa. 'i+ a > & > c θ
&
c α
a
β
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prolongación.
θ>α>β
Ceviana e!terior
#lasifcaci&n de "ringulos:
Ceviana interior
01 Por sus lados
escaleno
E )ediatri/: C 0 Es la l"nea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualquiera.
isosceles
equilatero
001 Por sus ngulos C
Friángulo Rectangulo
Mediatriz -
o l u g n a u c i l & 7 o l u g n a i r F
θ α
β
Friangulo -cutangulo α < >:4 , θ < >:4 , β < >:4
Friangulo 7&tusangulo α > >:4
α
Líneas ,otables "ringulo
en
α αθ θ
isectriz interior
C
)ediana: Es el segmento determinado por un v*rtice el punto medio del lado opuesto.
el
.isectri/: Es el segmento que &iseca al ángulo de referencia# se tienen &isectrices interiores e!teriores isectriz e!terior
-
Mediana
-
C
!ltura: Es el segmento determinado por la partida de un v*rtice la llegada en forma perpendicular al lado opuesto o su prolongación.
E
-
0
C
#eviana: Es el segmento determinado por un v*rtice un punto cualquiera del lado opuesto o de su
altura e!terior
altura interior
C
Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista 9 Pro%iedades en el triangulo is&sceles1 isectriz -ltura Mediana Mediatriz Ceviana
2
La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero %acia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
c
La suma de las distancias de un punto de la &ase de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes. 3
! = a + &
%
% = a + &+ c
& a
+ngulos Formados Por Las Líneas ,otables 21 9ngulo formado por dos &isectrices interiores. 'u medida es igual a >:4 más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
! a
& P
#onsecuencia:
α α
-
! = a + &
θ
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θ
! a
&
θ
!
6 ! = >:4 + 5
θ θ
C
3. ángulo formado por dos &isectrices e!teriores. 'u medida es igual a >:4 menos la mitad de la medida del tercer ángulo α interior. α
P
! 0
9 Pro%iedades en el triangulo equiltero1 ortocentro incentro &aricentro circuncentro
θθ
-
C ! = >:4 −
6 5
41 9ngulo formado por una &isectriz interior una e!terior# su medida es igual a la mitad del
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tercer ángulo interior. ! + = m+ n
! -
α α
0
1
θθ
! =
6 5
C
θ
α=θ
Pro%iedades !dicionales -
21
α C
"ringulos ,otables:
Rectngulos
α !Dθ + α + β
@A4
!
θ -
31 ! =
@A4
< A<4
B@4
5A
B
!
41
A
< 2=4
a
5@
α α
n
&
<:4
m
θ θ
5
β
m+ n 5
=:4
5
B2#A4
@ =<#A4
2:
5=#A4
2;#A4
m+ n = a + &
A
5
<
n m
51
#ongruencia de "ringulos m
Primer #aso: !L!
a + & = m+ n
&
a
61
;!ngulo–Lado–!ngulo7 0os triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado los ángulos adacentes a *l.
n
m
H
≅
n !
α
-
α
θ
C
-H
θ
CH
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∆ -C ≅ ∆ - H HC H
∆ -C ≅ ∆ - H HC H
Segundo #aso: L!L ;Lado–!ngulo–Lado7 0os triángulos son congruentes# si tienen congruentes dos lados el ángulo comprendido entre ellos.
"eorema de la base media En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados# es paralelo al tercer lado su longitud igual a su mitad. -C = 5M3
M θ
3
-C EE M3
θ
"eorema de la .isectri/ C -
H
≅ α
α
C
-
CH
-H
∆ -C ≅ ∆ - H HC H
α α
"ercer #aso: LLL ;Lado–Lado–Lado7
"eorema de la )ediatri/ H
≅ C
-
CH
-H
∆ -C ≅ ∆ - H HC H
#-!
#uarto #aso: LL!m ;Lado–Lado–!ngulo mayor7 0os triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes un ángulo congruente opuesto al lado maor.
H
Los cuadriláteros# es todo pol"gono de cuatro lados. #L!S0F0#!#0(,: 21 #uadriltero #onvexo 'us ángulos interiores son ángulos conve!os C
≅ -
C
-H
CH
-
0
Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista 31 #uadriltero #&ncavo Posee un ángulo interior cóncavo 0 -
C
#-!(S 21 P!R!L$L(GR!)(S: 'on cuadriláteros que poseen lados paralelos dos a dos además congruentes entre s"# entre ellos encontramos+
- = C0
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C = -0
000 R().(: 'us cuatro lados congruentes sus ángulos opuestos congruentes dos a dos. & & -
c c
a a
C
dd
0
- = C = C0 = -0
Cuadrado Rectángulo Rom&o Rom&oide
0= R().(0<$: 'us lados sus ángulos opuestos son congruentes dos a dos entre s"+
0 #-!
C
0
- = C0 CD-0 6 = mC 6 6 6 m mDm0
-
PR(P0$
0
- = C = C0 = 0-
00 R$#"!,G-L(: 'us cuatro ángulos rectos sus lados opuestos congruentes dos a dos. C
-
0
L(S
En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos adacentes a un lado de todo paralelogramo sin suplementarios. Las diagonales de los paralelogramos se &isecan mutuamente.
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"R!P$#0(S
'on cuadriláteros que poseen dos lados opuestos paralelos se les denomina &ases del trapecio dos lados no paralelos.
0 "ra%ecio $scaleno: Es el trapecio en el cual sus lados no paralelos son de diferente longitud.
C
Los ángulos adacentes a los lados no paralelos son suplementarios La longitud de la mediana IM3? es igual a la semisuma de las longitudes de sus &ases+ M3 =
0
- ≠ C0
00 "ra%ecio lados no congruentes
0s&sceles: paralelos
'us son
La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales IP1?# es igual a la semidiferencia de longitudes de sus &ases.
C
P1 =
-
−& 5
"R!P$?(0<$S 'on cuadriláteros conve!os que no poseen lados paralelos. 'e tiene dos clases de trapezoides
0 - D C0
000 "ra%ecio Rectngulo:
+& 5
C
"ra%e/oide !simétrico: C
-
0
6 = m 6 = >:4 m-
-
&
PR(P0$
1
P
3
0
- ≠ C ≠ C0 ≠ -0
"ra%e/oide Simétrico:
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'i KG es &aricentro del triangulo 0
! g G
a
-
- = C -0DC0
! = a+ &
&
"$(R$)!S #()PL$)$,"!R0(S: a
α
a
! =
!
! &
!=
&
&
α+θ
5
θ
&
a aα !
! =
+& 5
α+θ
! =
!
5
−& 5
&& θ &&
θ !=
!
α
a
aa
&
a
θ−α
5
&
! c
a m
n
&
0
-
c
& a
a + c = & + d
C
-
c
d
a
mDn aD&
se
C
& ! + = 2;:4
d d
$n todo Paralelogramo cum%le que:
!
c 0 !D a&cd @ d
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#0R#-,F$R$,#0!
Es el con)unto de todos los puntos aferentes que constituen una l"nea curva plana cerrada# cuos puntos están a la misma distancia KR IR → radio? de un punto interior K7 denominado centro de la misma.
L < → recta e!terior Segmentos: P1 → cuerda - → cuerda má!ima o diametro M3 → Nec%a o ságita
"$(R$)!S <$ L! #0R#-,F$R$,#0! L F
M P
7g
L<
R
'i F es punto de tangencia+ ⇒ 7F ⊥ L F
7 M
gP< gP2
3
F g
$lementos de la #ircun8erencia 1
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7
L2
gP5 F
-
M 7
L5 Puntos: → K7 centro de la circunferencia KF → punto de tangencia P2 → punto aferente de la circunferencia P5 → punto interior a la circunferencia P< → punto e!terior a la circunferencia Rectas: L 2 → recta tangente L 5 → recta secante
'i + 7M ⊥ - ⇒ -3D3
3
'i + 7M = 73 ⇒ -DC0
C 3
0
-
0
C α α
'i + - C0 O O ⇒ CD-0
P
P- = P
-
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congruentes B
-
C
'i -C es el diametro -6CD>:4
r
gC
Dg
r
A
-C0D-0
1
M
#oncuencia: B
3
P
O2 g r
0
C - C0+ Fangentes E!teriores M3 P1+ Fangentes Qnteriores -DC0 M3DP1
gO5 r A
D-7 P D25:4 -7 2 5
"eorema de Poncelet
(bseraci&n: B
c
a
C
r &
a + & = c + 5r
Posiciones relativas dos #ircun8erencias O2
!dicionales:
entre
A
D
- EE C0
O5
y
A
β θ β θ 21 Si las circun8erencias son
x P
m R -P D
! 5
B
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Si: @PA es %unto de tangencia
y
x
U
N
C
P
z
! + + z = 2;:4
O = m P3 O = m PC O m PS
231 Si: @RA es %unto de tangencia B y R
x
!D
P(L0G( ,(S
Es todo con)unto de segmentos consecutivos# los cuales siguen diferentes direcciones. Es decir es toda poligonal cerrada 3 θ< θ@ α@ C α< θA
A
αA
α5
Si: @"A es %unto de tangencia B
C
α2
α= θ=
T
M
θ5
0
θ2
E
$lementos D A - EEC0
Si: @"A es %unto de tangencia
a
aD&
F
&
Lados+ - , C , C0 , ..... 8ertices+ - , , C , .... 9ngulos interiores+ α2 , α 5 , α < , ..... 9ngulos e!teriores+ θ2 , θ 5 , θ < , ..... 0iagonal+ C 0iagonal media + M3 #lasifcaci&n Por su Forma 21 Polígono Plano: Lados
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4 Polígono $quingulo: Poseen todos sus ángulos interiores congruentes
coplanares gC
g -g
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a a
g0
31 Polígono !labeado: Lados no coplanares
a a a
a
1 Polígono Regular: Es aquel pol"gono que es equilátero equiángulo a la vez
-
θ
θ
E
0
θ
θ
θ
C
2 Polígono #onvexo: 'us ángulos interiores son conve!os. g -
g
5 Polígono 0rregular: 'on los que poseen ángulos lados desiguales.
C
0
3 Polígono #&ncavo: Sno o mas ángulos interiores son cóncavos.
C E
2
g
<
5
g
g
-
g@ 0
61 Polígono equiltero: Poseen sus Lados congruentes C
0
P(R S- ,B)$R( <$ L!<(S Friangulo + < lados Cuadrilátero + @ lados Pentágono + A lados Te!ágono + = lados Teptágono + B lados 7c=togono + ; lados Eneágono + > lados 0ecágono + 2: lados Sndecágono + 22 lados 0odecágono + 25 lados Pentadecágono + 2A lados Qcoságono + 5: lados
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PR(P0$
=
n( n − <) 5
La suma de las medidas de los ángulos interiores resulta ser+ ' i = 2;:4 ( n − 5)
La suma de las medidas de los ángulos e!teriores# resulta ser+ 'e = <=:4
La suma de las medidas de los ángulos centrales ' c = <=:4
La medida de un ángulo interior de un pol"gono regular o equiángulo+ Ri =
2;:4 ( n − 5) n
La medida de un ángulo e!terior de un pol"gono regular o equiángulo. Re=
<=:4 n
Prof. Lic.
