“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad”
Secundaria
Semana N° 12
Ejemplo : Consiste en deducir o inferir con certeza la(s) conclusión(es) a partir de una o más premisas, haciendo uso de los diagramas de Venn Euler. Para la solución de problemas se hará uso de la siguiente simbología.
Todos los hombres son guapos. S P 1ra forma Hombres
2da forma
guapos
guapos
hombres Conjunto vacío
Conjunto no vacío
Falta información
vacío
El conjunto de los hombres están incluido en el conjunto de guapos. (inclusión)
Afirmativos S E R O D A C I F N A U C
2.1.2. Cuantificador Universal Negativo
Universales Negativos
Se representa en forma general como : Ningún S es P
Afirmativos Particulares
Diagrama de Venn Euler. Negativos
S
P S
2.1. Cuantificador Universal
ó
Cuando de un Universo (U) se toma todo o ningún elemento. 2.1.1. Cuantificador Universal afirmativo
Se representa en forma general como : Todo S es P
Región vacía
Ejemplo : Ningún profesor es bohemio
Diagrama de Venn Euler S
S
P S
P
1ra forma profesor
P 2da forma
bohemio profesor bohemio
ó
La región sombreada representada una región vacía (no hay elementos)
P
vacío (sin elementos)
Esta representada por una relación de exclusión a través de dos conjuntos disjuntos.
Colegio Privado
2
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
2.2. Cuantificador particular
Cuando tomamos algunos (no se sabe cuantos) elementos del universo. 2.2.1. Cuantificador Particular Afirmativa
Se representa en forma general como :
PROBLEMAS RESUELTOS
1) En : “Ningún adulto es irracional” , las posibles conclusiones válidas son : I. Ningún irracional es adulto. II. Todo adulto es racional. III. Algunos adultos son irracionales. irracionales.
Algunos S son P Representación en Diagramas de Venn
Solución : Adulto
Irracional
P
S X
Esta representado por una relación de Intersección
Analizando : I) Verdadera
III) Falso
2.2.2. Cuantificador Particular negativo
En forma general se representa como : Algún S no es P Diagrama de Venn Euler S
II) Verdadera
2) Algunas ciudades no grandes no son inadecuadas para vivir, dado que : A) Algunos lugares adecuados para vivir son ciudades grandes. B) Toda ciudad grande es adecuada para vivir.
P
C) Muchos lugares adecuado para vivir no son ciudades grandes.
X
La gráfica muestra que por lo menos un elemento de S está fuera del conjunto P.
D) Ninguna ciudad grande es inadecuada para vivir. E) Algunas ciudades adecuadas para vivir son lugares grandes. Solución :
Se debe tomar en cuenta lo siguiente:
universal afirmativa
=
Particular negativa
particular afirmativa
=
universal negativa
Inadecuadas
Ciudades no grandes
x
Algunos lugares adecuados para vivir no son ciudades grandes.
En forma práctica se tiene : Rpta : C
(todos) = algunos...no (ningún) = algunos (algunos) = ningún (algunos...no) = todos
3) Dadas las premisas premisas :
Todos los cerdos vuelan Ningún cerdo tiene cola
Colegio Privado
3
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
¿Cuáles de las siguientes conclusiones son verdaderas? I. No todos los cerdos tienen cola. II. Ningún animal que vuela tiene cola. III. Existen animales sin cola que vuelan. A) Sólo I D) II y III
B) Sólo II E) I y III
C) Sólo III
Solución :
cerdos vuelan
vuelan
ó
cerdos cola
cola
I.
(Falsa) la conclusión debe ser una relación entre los que vuelan y los que tienen cola.
II. (Falsa), no necesariamente. III. (Verdadera) esos animales sin cola, pueden ser los cerdos (ley del contenido existencial) Rpta : C
CUESTIONARIO
I.- Negar las siguientes afirmaciones:
3).- “Algunos ingenieros son limeños” a) Todos los ingenieros son limeños b) Algunos ingenieros no son limeños c) Ningún ingeniero es limeño d) Algunos no ingenieros son limeños e) Todos los ingenieros no son limeños. 4).- “Algunos peruanos no son patriotas ” a) Ningún peruano es patriota b) Todos los peruanos son patriotas c) Ningún peruano es antipatriota d) Todos los peruanos son antipatriotas e) Algunos peruanos son patriotas 5).- Algunos perros no son mamíferos a) Todos los perros son mamíferos b) Ningún perro es mamífero c) Algunos perros son mamíferos d) Todos los perros son no mamíferos e) Todos los perros no son mamíferos 6).- Ningún astronauta no es marciano a) Algunos astronautas son marcianos b) Todos los astronautas son marcianos c) Algunos astronautas no son marcianos d) Todos los astronautas no son marcianos e) Algunos no astronautas son no marcianos 7).- Todos los peruanos no son europeos a) Ningún peruano es europeo b) Algunos peruanos no son europeos c) Ningún peruano no es e uropeo d) Algunos peruanos son europeos e) Ningún europeo es peruano 8).- Algunos mercenarios son humanitarios a) Ningún mercenarios no es humanitarios b) Todos los mercenarios son humanitarios c) Algunos mercenarios no son humanitarios d) Todos los mercenarios no son humanitarios e) Ningún mercenario es humanitario
1).- Todos los hombres son vertebrados. a) Ningún hombre es vertebrado. b) Algunos hombres son vertebrados. c) Ningún hombre es no vertebrado. d) Algunos hombres no son vertebrados. e) Ningún hombre es invertebrado.
9).- “Todas las vacas son rumiantes” a) Algunas vacas son rumiantes b) Todas las vacas no son rumiantes c) Algunas vacas no son rumiantes d) Ninguna vaca es rumiante e) Ninguna vaca no es rumiante
2).- “Ningún mineral es vegetal” a) Todos los minerales no son vege tales b) Algunos minerales son vegetales c) Algunos minerales no son vegetales d) Todos los minerales son vegetales e) Algunos no minerales no son vegetales
10).- “Ningún vendedor es mal educado” a) Todos los vendedores son mal educados b) Algunos vendedores no son mal educados c) Todos los vendedores son mal ed ucados d) Algunos vendedores son mal educados e) Todos los vendedores están bien educados.
Colegio Privado DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
11).- “Ningún dibujante tiene mal pulso” a) Todos los dibujantes tienen mal pulso b) Algunos dibujantes no tienen buen pulso c) Todos los dibujantes no tienen mal pulso d) Algunos dibujantes no tienen mal pulso e) Todos los dibujantes tienen buen pulso 12).- “Algunos atletas tienen buen físico” a) Todos los atletas tienen buen físico b) Ningún atleta tienen buen físico c) Todos los atletas no tienen buen físico d) Ningún atleta no tiene buen físico e) Algunos atletas tienen buen físico 13).- “Algunos payasos no tienen sentido del humor” a) Ningún payaso no tienen sentido del humor b) Todos los payasos no tienen sentido del humor c) Algunos payasos tienen sentido del humor d) Todos los payasos tienen sentido del humor e) Ningún payaso tienen sentido del humor 14).- “Todos los pintores son artistas” a) Algunos pintores son artistas b) Ningún pintor es artista c) Algunos pintores son excéntricos d) Ningún pintor no es artista e) Algunos pintores no son artistas 15).- “Algunos profesores no son metódicos” a) Ningún profesor es metódico b) Todos los profesores son metódicos c) Ningún profesor no es metódico d) Todos los profesores no son metódicos e) Ningún profesor es no metódico
II.- Usando los Diagramas de Venn Euler, responde:
16).- Si todos los cajamarquinos son peruanos y algunos peruanos son escritores, resulta que: a) Algunos cajamarquinos son escritores b) Todos los cajamarquinos son escritores c) Algunos escritores son cajamarquinos d) Algunos cajamarquinos no son peruanos e) Algunos escritores son peruanos 17).- Todos los vendedores de Centauro son intrépidos. Algunos ingenieros son vendedores de CENTAURO. Por lo tanto:
4
a) Todos los ingenieros son intrépidos b) Algunos intrépidos son ingenieros c) Algunos ingenieros no son intrépidos d) Jorge es ingeniero, entonces es i ntrépido e) Dámaso es vendedor de CENTAURO, entonces es ingeniero 18).- Los gatos son animales que ladran. Ningún animal que ladra tiene colmillos. Por lo tanto: a) FÉLIX tiene colmillos, entonces es un gato. b) Los perros no son gatos, entonces ladran c) Los animales que no tienen colmillos ladran d) Algunos animales que no son gatos tienen colmillos e) Es imposible que los gatos tengan colmillos 19).- Ningún ingeniero es pintor. Carlota y Giseles son pintoras. Todo pintor es un artista. Por lo tanto: a) Ningún ingeniero es artista b) Carlota y Giseles son artistas e ingenieros c) Carlota es ingeniero y Giseles es artista d) Ninguna es ingeniero ni artista e) Algunos no ingenieros son pintores 20).- Toda persona que come sólo vegetales, disfruta de buena salud. Ningún borracho disfruta de buena salud. a) Algunos vegetarianos son borrachos b) Si Óscar es vegetariano, puede se borracho c) Si Eduardo es borracho, es vegetariano d) Ningún borracho no es vegetariano e) Ningún borracho es vegetariano 21).- Todos los perros son canes. Ningún gato es can. Algunos perros ladran. Por lo tanto: a) Algunos gatos ladran. b) Ningún gato es no can. c) Algunos gatos son felinos. d) Algunos canes ladran e) Ningún gato no ladra. 22).- Si todos los deportistas son atléticos y algunos hombres son deportistas. Entonces: a) Todos los atléticos son hombres. b) Ningún deportista es no atlético c) Todos los deportistas son hombres d) Algunos no atléticos son hombres e) Todos los hombres son atléticos
Colegio Privado
5
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
23).- Cuál de las siguientes afirmaciones se puede concluir: - Algunos artistas son pintores. - Ningún pintor es ingeniero. a) Todos los artistas no son ingenieros b) Algunos artistas no son ingenieros c) Algunos artistas son ingenieros d) Algunos que no son ingenieros son artistas e) Mas de una es correcta 24).- Ningún científico admite la clonación de seres humanos, pero algunos aficionados a la ciencia ficción la admiten. En consecuencia: a) Todos los aficionados a la ciencia ficción son científicos b) Ningún científico es aficionado a la ciencia ficción. c) Algunos aficionados a la ciencia ficción no son científicos. d) Todos los científicos son aficionados a la ciencia ficción e) Ningún aficionado a la ciencia ficción es científico. 25).- Si se sabe que: - Ningún tanto es inmortal. - Todos los postulantes son mortales - Juan es postulante Entonces se deduce que: a) Juan es santo y mortal b) Juan es santo c) Juan es inmortal d) Juan no es santo e) Juan es mortal 26).- Si es falso que: Algunos mamíferos son invertebrados. Entonces: a) Algunos mamíferos no son vertebrados. b) Todos los mamíferos son vertebrados. c) Es falso que ningún mamífero es vertebrado. d) Nadie que sea vertebrado es mamífero. e) Algunos invertebrados son mamíferos. 27).- “Es falso que algunas mujeres opten por el machismo” equivale a: a) Toda mujer opta por el machismo b) Ninguna mujer opta por el machismo c) Algunas mujeres optan por el machismo d) Muchas mujeres no optan por el machismo e) No toda mujer opta por el machismo
28).- Si: - Todo inteligente es hábil. - Algunos inteligentes son petulantes. Entonces: a) Algunos inteligentes son petulantes b) Algunos hábiles son petulantes c) Todos inteligente es petulante d) Todo hábil es inteligente e) Ningún inteligente es no petulante 29).- “Algunas rosas son aromáticas”, es falso. Por lo tanto también es verdad que: I. Ninguna rosa es aromática. II. Algunas rosas no son aromáticas. III. Toda rosa no es aromática. IV. Toda rosa si es aromática. a) I y II b) Solo I c) Todas d) I, II y III e) solo IV 30).- “Si ningún católico tiene fe” es falso entonces, señale la conclusión verdadera a) Todo católico tiene fe. b) Algunos católicos tienen fe. c) Algunos católicos no tienen fe. d) Nadie que tanga fe es católico. e) No hay conclusión. CLAVES
1) d
2) b
3) c
4) b
5) a
6) c
7) d
8) e
9) c
10) d
11) b
12) b
13) d
14) e
15) b
16) e
17) b
18) d
19) e
20) e
21) d
22) b
23) e
24) c
25) e
26) b
27) b
28) b
29) b
30) b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad”
PreUniversitario
Semana N° 11
INTRODUCCIÓN: En este capítulo utilizaremos las operaciones básicas de la aritmética en la solución de los problemas, aplicando los métodos prácticos operativos como: I.- Método de la falsa suposición o rombo. II.- Método de las operaciones inversas o cangrejo. III.- Método de las diferencias o rectángulo. IV.- Método de la conjunta.
I.- MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN O ROMBO Para la solución de problemas con este método usaremos el siguiente procedimiento. 1.- Falsa suposición (F.S.) o supuesto. 2.- Error total (E.T.) 3.- Error Unitario (E.U.)
Ejemplo 2: Se quiere embotellar 111 l de aceite en 27 botellas; unas de 5l y otras de 3l. ¿Cuántas botellas más de 5l hay que de 3l.? Solución: 1.Falsa suposición (FS) Asumimos que todas las botellas son de 5l, tendríamos: 27 x 5 = 135l
2. Error total (ET): 135 – 111 = 24 3. Error unitario (EU): 5 – 3 = 2 ET
4. N° de elementos = EU (el menor) 24 2
ET 4.- N° de elementos = EU
(el menor)
Ejemplo 1: En un grupo de carneros y pavos, el número de patas es 36 y el número de cabezas es 15. ¿Cuántos carneros hay? Solución: *Asumimos que todos los animales sean carneros (4 patas)
1.Supuesto (FS) Tendriamos: 15 x 4 = 60 patas *Pero sólo tenemos 36 patas
12 (botellas de
Como disponemos de 27 botellas, entonces hay 15 botellas de 5l. Respuesta: 15 – 12 = 3 botellas más. Ejemplo 3: En un parque hay niños paseándose ya sea en bicicleta o triciclo. En total se cuentan 60 pedales, 30 timones y 78 ruedas. ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay? Solución: 1.Falsa suposición (FS) Suponiendo que todos tenemos: 30 x 3 = 90 ruedas
2.Error Total (ET) : 60 – 36 = 24 patas *Al no considerar un pavo (2 patas); el número de patas aumenta en:
2.Error total (ET) ET = 90 – 78 = 12 ruedas
3.Error Unitario (EU) = 4 –2 = 2 patas
3. Error unitario (EU) EU = 3 –2 = 1 rueda
4. N° de elementos (pavos)
=
ET EU
24 2
12 pavos
3l )
4. N° de elementos = (bicicletas)
E .T . E .U .
sean
12 1
triciclos
12
Colegio Privado
2
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Como tenemos 30 timones, entonces hay 18 triciclos. 18 – 12 = 6 triciclos más.
II.- MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS (CANGREJO) Debido a que conocemos el resultado y cada
Ejemplo 4: ¿Cuántas monedas de S/.2 debo entregar para pagar una deuda de S/.29, si tengo 10 monedas de S/.5 y S/.2?
Solución :
una de las operaciones realizadas para llegar a dicho resultado, entonces para poder encontrar la incógnita pedida se empiezan desde el final (dato), es decir , a
Supuesto : Si las 10 monedas fueran de S/.5 tendría en total 10 x 5 = 50 soles. Pero la deuda solo asciende a S/29. por lo que sobraría : 50 – 29 = 21 soles Esto se debe a que hemos considerado que todas las monedas son de S/.5 y ninguna de S/.2. Al no considerar 1 moneda de S/.2 aumento al dinero que tengo en 5-2 = 3 soles (error unitario), luego el número de monedas de S/.2 que no consideré es :
N° de monedas =
21 Error Total = = 7 3 Error Unitario
de S/.2 Método Práctico (Rombo)
partir del último resultado y regresamos hasta el inicio del problema, haciendo las operaciones inversas correspondientes.
Ejemplo 5: La edad de Silvia se quintuplica, al resultado se le suma 60, para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente restarle 4, obteniendo 2 años. ¿Cuál es la edad de Silvia? Solución:
Operaciones Directas x 5 + 60 10 - 4 EDAD 2 2 5 – 60 x 10 ( ) + 4 Operaciones Inversas
( )Valor unitario
+
Edad de Silvia =
-
Total de Elementos
Recaudación Total
Valor Unitario Pedido
(2 4) 2 10 60 5
60 años
La edad de Silvia es de 60 años.
Ejemplo 6:
A la cantidad de soles que tengo le añado 5, Para el ejemplo anterior.
al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 4, al número obtenido le saco la raíz
S/.5
+
-
cuadrada y al resultado le sumo 3 para
S/.29
10
S/.2
N° de monedas de S/.2
=
10 x5 29 7 52
finalmente, dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. Entonces inicialmente tenía :
Colegio Privado
3
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Solución :
Pedro
Operaciones Directas
Inicial
Incógnita
Operaciones Inversas
10
Resultado -5
+5 15 x3
72
Pablo 40 2
Eduardo 20 2
Total 132
12 2
80 132-52
40 2
132
28 2
80
56
28
24 2
3
48
45 +4
132 132
-4 49 ( )2 7
+3
-3 10
2 Dato final
x2 5
Inicialmente tenían : 72, 40 y 20 soles respectivamente Ejemplo 8: Tres amigos A, B, C juegan a las apuestas entre sí, con la condición de que el que pierde duplique el dinero de los demás. Si cada uno pierde una apuesta en orden alfabético y al final terminan con S/.48, S/.56 y S/.28, ¿cuánto tenían inicialmente? Solución:
Ejemplo 7
Dinero
Pedro, Pablo y Eduardo se ponen a jugar con la condición de que la que pierda duplique el dinero de las demás; si cada una pierde una apuesta y al final. terminan con S/48, S/.56 y S/.28. ¿Cuánto tenían inicialmente? Solución :
Amigos
Pablo
Eduardo
.2
.2
Queda .2
Pierde Duplica
.2
.2
.2
pierde duplica
48
56
28
2°
3°
A
72
?
B
40
x2 80
28
x2 = 56
20
x2 40 x2 80
? = 28
C
132
Pedro Pierde duplica
1°
al inicio
12 x2 24 x2 = 48+
132
?
132
132
Total
Observación: La suma de los 3 amigos no varia (132), ya que el dinero entre ellos se intercambia.
Ojo: El signo de interrogación “?” nos quiere decir, que el jugador pierde y no sabemos cuánto ahora le queda. 132
Empezando por el dato final tenemos :
III.- MÉTODOS DE LAS DIFERENCIAS O RECTÁNGULO Se emplea este método cuando hay una situación (problema) que se presenta dos incógnitas, para encontrar la solución se procederá de acuerdo al ejemplo ilustrativo.
Colegio Privado
4
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Ejemplo 9: Si compro 7 libros me sobran 11 soles, pero si compro 10 libros me falta 13 soles. ¿Cuál es el costo de un libro? Solución: Este problema tiene 2 incógnitas, el costo de cada libro y el dinero que tiene el director. 7 libros
S/.11
S/.13
Dinero que tengo
Falta
Ejemplo 10: En la Semana de la Educación Inicial” la tutora desea repartir chocolates a sus alumnos, si les da 5 a cada uno le faltaría 30 chocolates, si les da 3 a cada uno le sobraría 70 chocolates. ¿cuántos chocolates tiene la tutora? falta sobra 30 70 50 Número de niños = 53
Número de chocolates =50(5) - 30 = 220 O también : Da 5 Da 3
10 libros
Del gráfico observamos que si se quiere comprar 10-7 = 3 libros (diferencia total) se tendría que gastar lo que sobró y lo que falta , es decir:
Falta 30 Sobra 70
N° de Niños =
30 70 50 53
N° de chocolates = 3(50) + 70 =
220
11 + 13 = S/24 Costo libro :
S / .24 = S/.8 3
MÉTODO PRÁCTICO (Rectángulo ) Si las cantidades son del mismo tipo, se debe tomar en cuenta lo siguiente: i) Lo que falta y lo que sobra se suman , las otras cantidades se restan y estos resultados se dividen. ii)Lo que sobra y lo que sobra se resta, las otras 2 cantidades se restan y estos dos resultados se dividen. Es decir: Gráfico: 7 libros
Ejemplo 11: Un padre de familia dice : si a cada uno de mis hijos les doy S/.3 me sobraría S/.19, pero si a cada uno les doy S/.5 me sobraría S/.5. ¿Cuánto tiene el padre de familia? Solución : sobró sobró
N° de Hijos :
19 5 =7 53
Dinero que tiene = 7(3) + 19 = S/.40 o también : Da : 3 sobra : 19 Da : 5 sobra : 5 N° de hijos =
19 5 =7 53
Sobra S/.11 Dinero que tiene = 5(7) + 5 = S/.40
IV.- MÉTODO DE LA CONJUNTA 10 libros
N° de libros =
11 13 10 7
Falta S/.13
24 3
8 libros
Este método consiste en ordenar las cantidades dadas en dos columnas de tal forma que el producto de las cantidades de la primera columna sea equivalente al producto de la segunda columna. Las cantidades no se deben repetir en una misma columna.
Colegio Privado
5
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Ejemplo 12: Hace algunos años, el cambio monetario era el siguiente: por 8 soles daban 5 cruzados, 10 cruzados por 3 pesos; 6 pesos por 4 dólares. ¿Cuántos soles daban por 2 dólares? Solución: Se disponen los datos en columnas, teniendo en cuenta el orden “opuesto” (al otro lado de la equivalencia) para una misma característica, unidad; etc. Así: 8 soles <> 5 cruzados 10 cruzados <> 3 pesos 6 pesos <> 4 dólares 2 dólares <> x soles
Luego se multiplican los valores que hay en una u otra columna, verificando que las “unidades monetarias” se simplifiquen (cancelen):
Ejemplo 14:
En la casa de cambio “Miguelito”, 8 soles equivalen a 5 cruzeiros, 10 cruzeiros equivalen a 3 pesos, 6 pesos equivalen a 4 dólares. ¿Cuántos soles equivalen a 2 dólares? Solución : Columna 1
Columna 2
8 soles <> 10 cruzeiros <> 6 pesos <> 2 dólares <>
5 cruzeiros 3 pesos 4 dólares “x” soles
8 . 10 . 6 . 2 <>
5.3.4.x
Simplificando el valor de x es : x = 16
(8 soles)(10 cruzados)(6 pesos)(2 dólares)
CUESTIONARIO
<> (5 cruzados)(3pesos)(4 dólares)(x soles)
I.- MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN Simplificando y efectuando: x = 16
Ejemplo 13:
1).- Cada vez que voy al cine gasto S/. 18 y cada vez que voy al teatro gasto S/.24. Si he salido 12 veces (al cine o al teatro) y gasté S/.264, ¿cuántas veces he salido al cine? a) 6Kg
En la “Feria Agraria” por 3 patos dan 2 pollos, por 4 pollos dan 3 gallinas, por 12 gallinas dan 8 pavos y 5 pavos cuestan S/.150. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?
b) 3
Columna 1 3 patos 4 pollos 12 gallinas 5 pavos “x” soles 3 . 4. 12 . 5 . x
<> <> <> <> <>
Columna 2 2 pollos 3 gallinas 8 pavos 150 soles 5 patos
<>
2 . 3 . 8 . 150 . 5
Simplificando y encontrando la variable se tiene : x = 50 soles
d) 2
e) 7
2).- Angie tiene S/.3100 en billetes de S/.50 y S/.100. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 40 billetes? a) 18 b) 28
Solución :
c) 4
c) 12
d) 14
e) 22
3).- En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 180 puntos, ¿Cuántas preguntas respondió correctamente? a) 46 b) 40
c) 36
d) 2
e) 68
4).- En un salón hay 36 carpetas, unas bipersonales y otras para 4 alumnos. Si en total hay 96 alumnos ocupando todas las carpetas, ¿cuántas carpetas son bipersonales? a) 30 b) 6
c) 18
d) 9
e) 24
Colegio Privado
6
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
5).- Un ferrocarril conduce 250 pasajeros en vagones de primera y segunda clase; los primeros pagan S/. 8,5 y los últimos S/.5. Si la recaudación total fue S/.1600, ¿Cuántos viajaron en segunda clase? a) 75 d) 150
b) 100 e) 200
c) 125
6).- En un zoológico hay 56 animales entre aves y felinos. Si se cuentan el número de patas tenemos que es 196, luego: I. Hay 42 felinos. II. La diferencia entre felinos y aves es 24. III. Si vendiéramos todas las aves a S/.5 cada una, recaudaríamos S/.70. Son ciertas: a) Solo III d) I y III
b) Solo I e) N.A.
c) I y II
7).- Una persona concurre al hipódromo a apostar a la carrera de caballos. En cada carrera que acierte gana S/.250 y si no acierta pierde S/.150. Después de 24 carreras, su capital ha aumentado S/.3200. ¿Cuántas carreras acertó? a) 7
b) 8
c) 17
d) 13
e) 12
8).- Un litro de leche pura pesa 1030g. Cierta mañana se reciben seis litros que pesan 6120g. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9).- Se reunieron todos los alumnos y alumnas del 1ro y 2do año de nuestro colegio, donde notamos lo siguiente: En un grupo de 72 alumnos, todos los hombres tienen 13 años y todas las mujeres 11 años. Si la suma de las edades de todos los de ese grupo es 860 años, ¿cuántos hombres había en dicho grupo? a) 36 b) 38
c) 35
d) 34
e) 33
10).- Una canasta contiene 80 frutas entre plátanos y manzanas. Cada plátano pesa 300g y cada manzana 220g. Si la canasta pesa en total (con frutas) 24Kg y además las frutas pesan 16Kg. Más que las canasta. Luego son ciertas: I. El peso de todos los plátanos es 5Kg más que la canasta vacía. II. Hay 20 manzanas más que plátanos.
III. Si por todos los plátanos me dan S/.60, cada plátano costaría S/.2. a) Solo II d) I y III
b) Solo III e) N.A.
c) Todas
II.- MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS 1).- Cada vez que sale al recreo un alumno, gasta la mitad de su dinero y 3 soles más. Si luego del tercer recreo se quedó sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente? a) S/.60 d) 36
b) 52 e) 144
c) 42
2).- Lucas recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene, luego su papá le da 30 soles y por último su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al final Lucas tienen 240 soles, ¿cuánto tenía inicialmente? a) S/.20 d) 18
b) 25 e) 15
c) 30
3).- El agua contenida en un pozo se agota en tres horas. En cada hora, baja el nivel del agua la mitad de la altura, más un metro. Determina la altura inicial del agua que había en el pozo. a) 12m d) 14
b) 13 e) 11
c) 15
4).- La edad de Magaly se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3, obteniéndose 12 de cociente. Halla la edad de Magali dentro de 8 años. a) 15 d) 21
b) 18 e) 27
c) 23
5).- Cuatro jugadores “A”, “B”, “C” y “D” acordaron que en cada partido el perdedor cuadruplicará el dinero de los otros tres. Ellos pierden cada uno una partida en el orden dado. Después de lo cual ellos tienen cada uno 256; 512; 768 y 1024 soles respectivamente. ¿cuánto suma lo que tenían “C” y “D” en un principio? a) S/.233 d) 764
b) 840 e) 157
c) 153
Colegio Privado
7
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
6).- Tres amigos “A”, “B” y “C” acuerdan de que el que pierde la partida triplicará el dinero de los otros dos. Pierden una partida cada uno de ellos en orden de presentación quedándose al final de las tres partidas cada uno con S/.180. ¿Cuánto tenía “C” inicialmente? a) S/.126,6 d) 59,8
b) 40,6 e) 46,6
c) 366,8
c) Alberto perdió 96 soles. d) Jorge perdió 88 soles. e) Alberto ganó 80 soles.
III.- MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS 1).- Claudio reparte rosas entre sus amigas. Si reparte 8 a cada una, le sobran 15 y si reparte 11 a cada una, le falta 3. ¿Cuántas rosas tenía? a) 62 b) 54
7).- Se tiene tres aulas “A”, “B” y “C” con cantidades diferentes de alumnos. Si de cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como hay en ese momento en cada uno de estos, en orden alfabético, quedándose al final cada una con 120 alumnos, ¿Cuántos alumnos tenía el aula “A” inicialmente? a) 105 d) 210
b) 60 e) 120
b) 280 e) 420
c) 300
9).- Una persona participó en 3 apuestas, en la primera duplicó su dinero y gastó S/.30. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/.54. En la tercera cuadruplicó la suma restante y gastó S/.72, al final, le quedaron S/.48. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) S/.28 d) 51
b) 30 e) 29
d) 66
e) 63
2).- Para comprar un obsequio se le pidió a cada alumno 75 soles pero faltaba 440 soles. Si les pedían 80 soles a cada uno, sobraba 440 soles. ¿Cuántos alumnos había? a) 88 d) 176
b) 126 e) N.A
c) 44
c) 195
8).- Doña Lucha acude al casino “Admiral”. En la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida pierde S/.140, en la tercera nuevamente duplica su dinero y en la cuarta pierde S/.920. Si luego de esta última partida sale deprimida porque se quedó sin un sol, ¿con cuánto dinero fue al casino? a) S/.240 d) 360
c) 48
c) 31
10).- Jorge, Manuel y Alberto se ponen a jugar de acuerdo a las siguientes condiciones: El ganador de cada partida recibirá de cada uno de los otros dos la mitad del dinero que tenga cada uno. Si ganan un juego, en ese orden, y al final quedan con 48; 72 y 128 soles respectivamente. Se puede afirmar que: a) Jorge ganó 72 soles. b) Manuel perdió 18 soles.
3).- Mientras iba al mercado, una pescadora pensaba: “Si vendo mis pescados a $18 cada uno, me compraría un vestido y me sobrarían $6; pero si los vendo en $20, me sobrarían $90, luego de comprarme el vestido”. ¿Cuánto cuesta el vestido?” a) 600 d) 750
b) 500 e) N.A
c) 700
4).- El número de alumnos de un salón puede ubicarse en filas de 9. Pero si se ponen 2 alumnos menos en cada fila hay que poner 2 filas más. ¿Cuántos alumnos hay? a) 35 b) 45
c) 67
d) 63
e) 99
5).- Pedro invita a sus amigos al cine. Si entran todos a platea le van a faltar “x” soles pues cada entrada vale “y” soles, pero si entran a platea alta le van a sobrar “m” soles pues cada entrada vale “n” soles. ¿cuántas personas conformaban el grupo? m x m x x m a) b) c) y n n y y n m x m x d) e) n y y n 6).- Se trata de llenar un cilindro al cual concurren 2 cañerías. Si abro la primera que arroja 52 litros de agua cada 5 minutos y la dejo funcionar cierto tiempo, logra llenar el cilindro y se han rebalsado 72
Colegio Privado
8
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
litros. Si abro el segundo y funcionan el mismo tiempo que funcionó el primero faltaría 40 litros de agua para llenar al cilindro, debido a que este caño arroja 20 litros de agua cada 3 minutos. ¿Qué capacidad tiene el cilindro? a) 280 d) 240
b) 260 e) N.A.
c) 420
7).- Un vendedor de uvas razona de la siguiente manera: Si vendo a S/.5 los 5/6 de Kg, entonces ganaré S/.40; en cambio si los vendo a S/.3 los 3/5 de Kg, perderé S/.16. Si vendiese toda la uva que tengo, recibiendo S/,30 por Kg, entonces recibiría en total: a) S/.650 d) 380
b) 484 e) N.A
c) 32
d) 28
e) 86
9).- Cuando Carlos compró 12 pañuelos y le sobró 36 soles, en cambio si hubiera comprado 28 pañuelos le hubiera faltado 12 soles. ¿Cuánto cuesta c ada pañuelo? a) S/.2,50 d) 6
b) 4 e) 8
c) 3
10).- Un niño compró 8 chocolates y le sobro S/.6. Si hubiera comprado 10 chocolates le sobraría S/.3. ¿Cuánto cuesta cada chocolate? a) S/.1,5 d) 2,4
a) 12 b) 28
b) 2 e) 1,6
c) 1,2
IV.- MÉTODO DE LA CONJUNTA 1).- Si 4 Toyotas cuestan igual que 6 Ticos, 3 Ticos como 10 Datsun, 7 Datsun como 21 Fiat y 6 Fiat como 8 Volvos. ¿120 Volvos a cuántos Toyotas equivalen? b) 7
c) 6
d) 25
e) 64
3).- Si 4 camotes pesan tanto como 7 cebollas; 5 cebollas tanto como 12 tomates; 2 tomates tanto como 7 caiguas y 18 caiguas pesan tanto como 3 papas. Se sabe además que 3 camotes pesan 1Kg. ¿Cuántas papas pesarán igual que 20 Kg de camote? a) 96 d) 150
b) 125 e) 147
c) 86
4).- Una compañía está formada por 8 departamentos; cada departamento tiene 3 sucursales. En cada 2 sucursales hay 5 oficinas y en cada oficina trabajan 12 empleados ¿ Cuántos empleados trabajan en 10 compañías? a) 6 000 d) 8 200
d) 9
e) 11
b) 7 200 e) 8 000
c) 7 600
5).- Si: x = 2y 5y = 3z 12z = 4w ¿100w a cuántos “x” equivalen? a) 100 d) 85
b) 80 e) 250
c) 90
6).- En un bazar se observa que el precio de 4 pantalones equivalen al precio de 10 camisas, y 5 camisas cuestan tanto como 7 chompas. ¿Cuántas chompas se pueden comprar con 2 pantalones? a) 5
a) 5
c) 20
c) 410
8).- Vendiendo una caja de clavos a S/.3 los 2/3 de Kg, ganaría S/.58,50 pero vendiendo a S/.2,625 los 5/6 de Kg, perdería S/.29,25. ¿Cuántos kilogramos de clavos hay en la caja? a) 65 b) 68
2).- Si: a = bc c = de ebd = 4 ¿”7a” a cuánto equivale?
b) 8
c) 10
d) 9
e) 7
7).- En una feria agropecuaria, 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta S/.30? a) S/.36 d) 45
b) 30 e) 37
c) 42
Colegio Privado
9
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
8).- ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 16 niños, si el trabajo de 8 niños equivale al de 6 niñas, el de 2 mujeres al de 4 niñas y el de 6 mujeres al de un hombre? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
CLAVES BLOQUE I 1) c 2) e
3) a
4) e
5) d 6) d
7) c
8) b
1) c 2) b
3) d
4) c
5) e 6) e
7) c
8) c
1) e 2) d
3) d
4) d
5) e 6) d
7) e
8) a
1) c 2) b
3) e
4) b
5) e 6) e
7) a
8) a
9) d 10) c 9).- Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar; 4 lápices valen lo mismo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen S/.30 y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos, ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles? a) S/.12 d) 44
b) 28 e) 56
b) 2 e) N.A.
9) e 10) d
c) 36
BLOQUE III
10).- El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 1 d) 4
BLOQUE II
c) 3
9) c 10) a
BLOQUE IV
9) c 10) a
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad”
Pre-Universitario
SEMANA N° 10 y 11
1.- INTRODUCCIÓN: Nuestro lenguaje está lleno de muchos enunciados que pueden ser medidos (costo de un lapicero, número de personas en una fiesta, el peso de un individuo, etc) y otras que no se pueden medir (actitud de las personas, etc) En este capitulo trabajaremos con aquellas expresiones medibles o que se pueden representar en forma matemática.
2.- CONCEPTO: Plantear una ecuación es representar en forma matemática (forma simbólica ) lo expresado en un lenguaje común (verbal).
3.- COMO PLANTEAR UNA ECUACIÓN Se parte de: Lenguaje Común. (enunciado)
Luego se: - Lee - Interpreta - Simboliza
Para finalmente transformar al lenguaje matemático Solucionar la ecuación.
4.- ECUACIONES DIOFANTICAS: Son ecuaciones cuyas incógnitas aceptan únicamente solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto a cualquier coeficiente pero también en forma práctica se resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?
Solución:
Veces que baja Veces que sube
x
(x+1)
Luego: 5(x + 1) = 75 5x + 5 = 75 x = 14 veces subió y bajó Sólo avanzó 14 escalones y como subió una vez más avanzó 5 escalones más. Finalmente: 14 + 5 = 19 escalones 2.- En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contesto incorrectamente? Solución:
N° blanco N° correctas N° incorrectas
x
3x
(30
- 4x)
Luego: 0(x) + 4(3x) + (-1)(30 - 4x) = 82 12x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x=7 Finalmente: Incorrectas = 30 – 4(7) = 2 3.- A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero si A le diera la mitad a B entonces B tendría la misma cantidad que C. ¿Cuántos limones tiene “B”?
Colegio Privado
2
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
compró: 4 aretes + 6 sortija = 10 artículos
Solución:
k k A 2k
B 3k
6.- Se debe pagar S/.184 con monedas de S/.2 y S/.5. ¿Cuántas monedas como máximo se debe emplear?
C
Planteando: 2k + 3k + 4k = 126 9k = 126 k = 14
Solución:
N° monedas de S/. 2 N° monedas de S/. 5
Finalmente: B = 3(14) = 42 4.- Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40 m entonces su área se hace igual a
9 16
del área inicial. Determina el
perímetro del cuadrado original.
x y
Para dar el máximo número de monedas debemos dar el máximo de monedas de menor valor es decir de S/.2 y el mínimo de monedas y S/.5. 2x + 5y = 184 max 87
min 2
Debo dar 87 monedas de S/. 2 y 2 monedas de S/.5
Solución:
L Lado
En total daré: 87 + 2 = 89 monedas
2
9 4L 40 L2 4 16
Simplificando: (L - 10)2 = (L - 10) =
9 16 3 4
CUESTIONARIO
L2
I.- Escribe al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados:
L
4L - 40 = 3L L = 40
1) El quíntuple de un número, disminuido en su mitad.
Perímetro = 4(40) = 160m
...............................................................
5.- Una persona compró con S/.148 aretes sortijas. Si cada arete costó S/.13 y cada sortija S/.16. ¿Cuántos artículos compró en total? Solución:
N° aretes N° sortijas
en su tercera parte. ............................................................... 3) El cuadrado de un número aumentado en seis.
x
...............................................................
y
13x + 16y = 148 Tanteando:
2) El cuádruple de un número aumentado
1
8,4
2
7,6
3
6,8
4
6
Soluciones descartadas (no son enteras)
4) El cuadrado de un número disminuido en cinco. ............................................................... 5) La suma de los cubos de dos números consecutivos. ...............................................................
Colegio Privado
3
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
6) El cubo de la suma de dos números impares y consecutivos. ............................................................... 7) “a” es 5 veces “b”
3).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/. 10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías S/.5 más de lo que tengo, ¿cuánto tengo?
............................................................... a) S/.50 d) S/.40
8) “a” es 5 veces más que “b”
b) S/.55 e) S/.45
c) S/.60
............................................................... 9) “a” es 5 más que “b” ............................................................... 10) “a” es 5 veces mayor que “b” ............................................................... 11) Dos números están en la relación de 3 es a 5. ............................................................... 12) “m” excede a “n” en “x” ............................................................... 13) “El exceso de “m” sobre “n” es “z” ............................................................... 14) “a” es excedido por “b” en 20 unidades. ...............................................................
II.- Subraya la alternativa correcta:
1).- Ana y Katty fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pago por cada uno. Si Ana gastó S/.600 menos que Katty y compraron 30 artículos en total, ¿Cuánto gastó Ana? a) S/.100 d) S/.625
b) S/.81 e) S/.400
b) S/.15 e) S/.30
5).- Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemática. Suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se de el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada con esta materia, ¿Cuánto demorará resolver matemáticamente si el examen dura tres horas? a) 45 min d) 60 min
b) 52 min e) 50 min
c) 62 min
6).- Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad consumieron 1 taza de leche y 3 tazas de café y pagaron 10 soles, entonces una taza de leche cuesta: a) 2,5 soles d) 5 soles
b) 3 soles e) 6 soles
c) 4 soles
c) S/.25
2).- Ana tiene el doble de lo que tiene María en dinero; luego Ana le prestó cierta suma a María; por lo que ahora María tiene el triple de lo que le queda a Ana. Si el préstamo que pidió María excede en S/.6 a lo que tenía inicialmente, ¿con cuánto se quedó Ana? a) S/.12 d) S/.24
4).- En el camino a un hormiguero se escuchó la siguiente conversación: “Si tú me dieras un gramo, cargaríamos el mismo peso”. Respuesta: “Pero si yo te diera un gramo, cargarías el doble que yo”. ¿Cuántos gramos cargan entre los dos? a) 14 b) 12 c) 16 d) 20 e) 7
c) S/.18
7).- En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mil d) 75 mil e) 150 mil
Colegio Privado
4
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
8).- En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; ó 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 4 horas 30 min e) 3 horas 30min 9).- Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro “2p” cuando cada uno de sus lados aumenta en “x” (Área de rectángulo = base x altura, perímetro = de sus 4 lados) a) x2 + px d) x2 – p2
b) x2 – px c) (x+p)2 2 2 e) x – 2px + x
10).- Un día viernes en el colegio 200 Millas un alumno preguntó a su profesor de R.M. “¿Qué hora es?”, y le contestó: “La hora es tal que la fracción que falta por transcurrir del día, es igual a la fracción que falta por transcurrir de la semana, considerando lunes como inicio de la semana”. ¿A qué hora le hizo la pregunta? a) 15:00 h d) 18:00 h
b) 16:00 h e) 19:00 h
c) 17:00 h
11).- Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian en 9, ¿qué resto dará al dividir el número por 7? a) 6
b) 3
c) 1
d) 5
e) 2
12).- En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas; después que se retiran 8 parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más que el nuevo número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? a) 16 b) 32 c) 48 d) 64 e) 72 13).- En un edificio de 4 pisos se observa que el número de habitaciones de cada piso es uno más respecto del inmediato anterior y en cada habitación hay tantas ventanas como habitaciones hay en el
respectivo piso. Si el total de ventanas del último piso y el total de habitaciones del primer piso suman 69, calcula cuántas habitaciones en total tiene el edificio. a) 28 d) 16
b) 26 e) 36
c) 12
14).- Se tiene x, (x + y) , 2y monedas de S/.1, S/.2 y S/.5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/.10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo el número de monedas que excedía las monedas de S/.2 a las de S/5. Calcula cuánto dinero se tiene en monedas de S/.2. a) S/.24 d) S/.120
b) S/.116 e) S/.128
c) S/.64
15).- Una madre debe repartir una herencia de 70 mil dólares en el momento del nacimiento de su hijo o hija. Si tuviera un hijo ella recibiría la mitad de lo que recibe su hijo. Pero si naciera mujer, la madre recibiría el doble de lo de su hija. Llegó el día del parto y para sorpresa de todos nacieron gemelos, un hombre y una mujer. ¿Cuánto recibió el hijo? a) $20 000 d) $40 000
b) $10 000 e) $25 000
c) $30 000
16).-Con S/.1 296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas, siendo los precios respectivos de cada clase de vaso 7; 8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas de vasos se compraron? a) 4 d) 10
b) 6 e) 12
c) 8
17).- En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Si se saca 5 fichas blancas, queda el doble de fichas negras que blancas. Si se extrae 6 fichas negras y 3 blancas, la razón de blancas a negras será 8: 11. ¿Cuántas fichas blancas hay en la bolsa? a) 23
b) 19
c) 25
Colegio Privado
5
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
d) 28
e) 16
18).- El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es la diferencia de las cifras del número? a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
23).- En una reunión de amigos los cuales estaban en pareja, cada varón compra una caja de chocolates para cada dama. En cada caja el número de chocolates es tanto como el número total de cajas, y estas son tantas como el triple del número de soles que cuesta cada chocolate. Si los varones gastan en total 243 soles. ¿cuántas damas son las damas afortunadas?
e) 9 a) 15 d) 9
19).- A un campamento de retiro, asisten 320 personas entre varones, mujeres y niños. Si el número de varones es tres veces más que el número de mujeres y éste es el triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay? a) 120 d) 240
b) 160 e) 200
c) 320
20).- Sobre un estante se pueden colocar 15 litros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente caben en el estante? a) 15 d) 30
b) 20 e) 18
b) 25 e) 35
b) 115 $ e) 215 $
24).- Una rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la segunda dos perlas más 1/7 de las tres restantes, la tercera tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?. Dar como respuesta la suma de ambos resultados. a) 36 d) 35
c) 40
22).-Se han comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Halla la diferencia del precio del sombrero con el traje. a) 110 $ d) 112 $
c) 12
c) 24
21).- Ana le dice a Raúl: “Si me dieras 5 de tus galletas, ambos tendríamos la misma cantidad” y éste respondió: “Si me dieras 10 de las tuyas, tendría el triple de lo que te quedaría”. ¿Cuántas galletas tiene Ana? a) 10 d) 30
b) 18 e) 6
c) 119 $
b) 42 e) 48
c) 50
25).-Un asunto fue sometido a votación de 800 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el triple de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 13 es a 11. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión entre la primera y segunda votación? a) 416 d) 220
b) 160 e)180
c) 150
Colegio Privado
6
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
CLAVES 1) c
2) c
3) b
4) b
5) a
6) c
7) b
8) d
9) a
10) b
11) b
12) c
13) b
14) b
15) d
16) a
17) b
18) c
19) d
20) b
21) b
22) c
23) d
24) b
25) b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
Nueva Educación en una Nueva Sociedad” “
Secundaria
1° Unidad Temática N°
09
2° Objetivo N° 01
3° Tema N°
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- DEFINICIÓN:
Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas a una estructura o una ley de formación. OPERADORES CONVENCIONALES + x
4° Contenido N° 11.1
XI
a b = 2a+ 5b 3 7
1).- Si: Halla: Solución
3 7 = 2(3)+ 5(7) 3 7 = 6+ 35 OPERACIÓN Adición Sustracción Multiplicación División Radicación
3 7 = 41
2).- Si: m n = mn - nm + 2 Halla: 4 2 Solución:
OPERADORES NO CONVENCIONALES # *
OPERACIÓN Grilla Asterisco Triángulo Tetha Nabla
4 2 = 42 - 24 + 2 4 2 = 16 - 16 + 2 42= 2 3).- Si a b= ( a2 + b2 )(a-b); Halla : 3 1 Solución:
Para realizar los ejercicios de este tipo se debe tener presente lo siguiente: Todas las operaciones están definidas dentro del campo de los números Reales.
Cada ejercicio consta de tres partes bien establecidas:
Ley de Formación. Datos Auxiliares. La Incógnita.
3 1= ( 32 + 12 )(3-1) 3 1= ( 9 + 1 )(2) 3 1= (10 )(2) 3 1= 20 4).Sea (x) la operación definida en A=(a;b;c) mediante la tabla. Halla el valor de M= a 2 x b x c3 x
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
Colegio Privado
2
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Solución:
M = a2 x b x c3 M=axaxbxcxcxc M= a xbxcxcxc M= b xcxcxc M= a xcxc M= c xc M= b
3).- Si:
mn
m%n=
m
Calcula: 3 % (1%3) +2
5).- Dadas las condiciones: F(a;b) = 2a + b y Q(a;b) = 3a - b Halla el resultado de : F F(1;3);Q(2;-3) Solución:
a) 15/3 d) 11/5
Halla:
F(5;9) = 2(5) + 9 = 19.
a) 25
6 # 3 # 18 2 # 5
b) 30 c) 36
6).- Sabiendo que: x
= x(x+2) + 1;
x
Calcula E =
=2
5).- Se define:
x
c) 13/3
4).- Si: a # b = a 2+ 2b
F(1;3) = 2(1) + 3 = 5 Q(2;-3) = 3(2) – (-3) = 6+3 = 9 Luego:
b) 12/5 e) 13/5
x y
Halla:
d) 45 1 2
e) 39
x 4y 1
M ( 30 2) (8 1) 13
+
3
1
a) 28
b) 26 c) 40
d) 38
e) 41
Solución:
13
= 13(13+2) + 1 = 196
3
=2
6).- Se define: 3 2
1
3
2 3
xy x y
= 1(1+2) +1 = 4 Halla: P =
E = 196 + 32 4 E = 228 4
CUESTIONARIO
C) 3
E) 5
2).- Si x = 3x – 1 Halla:
A) 1
B) 2
A 3 B 2
;
M N MN
Halla: 10 * 11 a) 1
4 -2
b) x10y20 d) x25y12
A* B =
D) 4
7).- Dadas las operaciones :
1).- Si a # b = 7a - 13b; Calcula: ( 4 # 2 ) # ( 2 # 1) B) 2
x x xy
a) x12y35 c)x20y10 e) x25y35
E = 57
A) 1
xy x y
= 2. 3(3+2) + 1 = 32
b) 1/2 c) 13
8).- Si: m n = m (n+1); 2
C) 3
Halla: D) 4
E) 5
45 4 ( 21)
d) 0
e) 11 a b = a2+b
Colegio Privado
3
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
a) 0 b) 22/17 c) 22/37 d) 1 9).- Si: a = 4a - 5 x
e) 4
Halla “X” en : [x * ( 2 * 1 )] + ( 1 * 2 ) = 14 a) 1
= x - 10
Halla:
b) -1
c) 2 3
15).- Si se sabe: 14
a) 1
b) -1
c) 6
d) 4
e) 2
d) -2
e) 3
x y x3 y 2
2 3
Calcula:
a) 593 b) 81 c) 13
d) 512 e) 17
10).- Si: a # b = a + b; si a y b son pares a # b = a .b; si a ó b no es par
c) 13
d) 11
e) 14
11).- Si: a b = 2a; si 0 < b < 20 y a b = b+1; en otros casos
b) 4
c) 14
d) 22
a) 10 b) 20
3
+
6 5
e) 11
1 x
b) 5
5 1 y x
c) 1
18).-Si:
d) 2
e) 3
x = x3+1
Halla: M
b) 13 c) 11
1
a) 1
d) 12
e) 1
b) 23
c) 2
1
1 ......
13).- Si: a # b = 8 # x = 39
b2
e) 5
= x2 + x
Halla “x” en:
Halla: “x”
x2 - 1 c) 6
d) 4
19).- Si: x
a2-
b) 5
=
( 56 ) (6 5 ) (4 3) 2
a) 4
e) 25
* #
4 1
12).- Si se cumple las leyes de formación en orden de prioridad: a (a+1) = 3a a (a - 1) = 2a a b = 2a+3b
a) 10
d) 40
17).- Si: a b = a# - b
a) 7
Simplifica:
c) 30
Halla el valor de “x” en:
Entonces: (5 21) 3 es igual a: a) 44
A = 3 9
Halla:
Halla: (3 # 2) # 6 a) 12 b) 10
16).- Se define : a b = x.a + b 4 5 = 33
d) 7
e) 3 a) 1
14).- Si: a * b = 2a + 2b + ab
= 156
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
x
y
Colegio Privado
4
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
20).- Se define en R + a
CLAVES
=a(a–3)
Halla “n” si: 2
n n 4 2
a) 1 b) 2
= 10
c) 3
d) 4
e) 5
1) a
2) b
3) c
4) d
5) d
6) d
7) a
8) d
9) a
10) a
11) a
12) c
13) b
14) b
15) a
16) c
17) a
18) c
19) b
20) c
21) d
22) c
23) c
21).- Sabiendo que: a * b = a – b a @ b = a/b +1 Calcula el valor de “X” en la siguiente expresión: (4 * 5) @ x = 5/6 a) 1
b) 5
c) 3
d) 6
e) –6
22).- Calcula el valor de “n” e n: (n % 6) = (n * 9) Si: a % b = 3 a b 2
a * b = a + b 2 –5 a) 48 b) 72
c)146
d) 121 e) 191
23).- Sabiendo que: x
y
4
3
= xm + 5y = 39
Calcula: 7
a) 48 b) 72
5
c)67
d) 121 e) 91
COL2003/3°S/RMAT-11 10-08-03 V.A.A
