Capítulo III: NÚMEROS REALES Introducción: Hasta ahora hemos estudiado los conjuntos en general, los cuales constituyen una forma de organización de los mismos. Ahora vamos a estudiar a los principales conjuntos numéricos, los principales conjuntos son:
Son los números
que se expresan en modo de fracción. f racción.
Hasta aquí podemos recordar algunas propiedades de estos conjuntos numéricos:
, ya que todos los números que forman el conjunto de los Naturales también forma parte de los Enteros.
, entonces
Analicemos un ejemplo:
Demuestra que
Recuerda que existen algunos especialistas que gustan separar el conjunto de los naturales del siguiente modo:
,
Teniendo en cuenta la representación de un número fraccionario, o racional, como , podemos expresar el número como un fraccionario donde . Así ocurre con todos los números naturales y enteros (por eso el también es un número racional). Pero además podemos expresar el como fraccionario utilizando todos los números que son múltiplos o divisores de este, y que sean diferentes de
Por ejemplo: , al simplificar la fracción obtenemos que:
Por lo tanto:
Además se definieron los números Irracionales ( ), que son son aquellos aquellos que que no pueden expresarse como fracción:
Ejemplo:
1
Capítulo III: NÚMEROS REALES Teniendo en cuenta la definición de los números irracionales, es imposible que o viceversa.
Siendo así,
formaría un nuevo conjunto que se conoce como:
Este conjunto al estar formado por los subconjuntos sus elementos a .
, también incluye en
Representación gráfica de los Números reales:
En una recta numérica, o recta real, pueden representarse los números reales ( , de modo que a cada número real x, le corresponde exactamente un punto P sobre la recta, y viceversa. La propuesta de representación de los y su
correspondencia con los puntos de la recta se conoce como “Correspondencia biunívoca o correspondencia uno a u no” Veamos entonces la representación gráfica: B
-4
a
-1 -2/3 0
x Reales negativos (
1
2
3
Reales positivos (
4
P
5
21/5
Al representar los números reales se puede observar que entre 2 números reales se ubica una cantidad infinita de números erales. Esta propiedad de los números reales se llama Densidad. Ejemplo:
entre
los
números
,
Definamos entonces cómo llamar a esa distancia entre
podemos
números dados.
Intervalo: es un subconjunto de
ubicar
, que representa todos los números reales que se ubican entre 2 números dados, .Se clasifican de la siguiente forma: Abierto: Se representa como Notación de conjunto: no incluye los extremos Cerrado: Se representa como Notación de conjunto: sí incluye los extremos Semiabierto: Se representa como o incluye a “ ” Notación según conjunto: para = incluye a “ ” Notación según conjunto: para = No incluye a “ ”, Infinito: Se representa como son todos los reales mayores que “ ”
2
Capítulo III: NÚMEROS REALES
todos los reales mayores o iguales a “ ” Infinito: Se representa por:
No incluye a “ ”, son
todos los reales menores que “ ” Infinito: Se representa por:
, incluye a “ ”, son
Infinito: Se representa como:
. Sí incluye a “ ”,son
todos los reales menores o iguales que “ ”
Como los intervalos constituyen subconjuntos de los números reales, las operaciones “unión”, “intersección y “diferencia” también están definida s para dichos conjuntos.
Ejercicios Resueltos: 1. Escribir en notación de intervalo el siguiente conjunto:
Respuesta:
2 Determine el conjunto de números reales que satisfacen la siguiente propuesta Represéntelos gráficamente.
3
Si el intervalo es abierto en 3, se grafica así: 3
Ejercicios Propuestos: 1. Dados los intervalos
Determine los conjuntos siguientes: a) b) c) d) e) f) g)
2. Represente gráficamente los incisos anteriores 3. Escriba los siguientes conjuntos en notación de intervalo a)
3
Capítulo III: NÚMEROS REALES b) c)
A continuación estudiaremos ciertas propiedades del Conjunto de los Números Reales, que serán de mucha utilidad para tu t u aprendizaje:
Axiomas de campo
Se define para todo a, b, c
Para Suma:
Para Multiplicación :
Unicidad y cerradura (resultado único para cada (resultado único para cada valor de a y b valor de y respectivamente) respectivamente) Conmutativa Asociativa Modulativa Módulo o elemento “ ” Módulo o elemento neutro neutro Invertiva es el elemento opuesto es el recíproco o inverso de de Ejemplo: Ejemplo Distributiva (factor común)
Es el único axioma que relaciona las dos operaciones
Ejemplo:
es el factor común
Demuestre que:
Solución:
4
Capítulo III: NÚMEROS REALES Propiedades derivadas de los axiomas de campo
Ley cancelativa:
Para todo a, b, c , la ecuación tiene una única solución en representado por el valor que toma en la misma. Propiedad Hankeliana (ausencia de divisores de cero):
Para todo
Si
Para todo Si Para todo Si
Si
Si
Si
Para todo
Cuadrado de suma o resta de dos números reales: Si Cubo de suma o resta de dos números reales:
Suma o resta de dos números cúbicos reales:
5
,
Capítulo III: NÚMEROS REALES Ejercicios Resueltos
– –– –– – z números reales tales que: 1. Sea x, y, z números Suponiendo que compruebe que
Propiedades conmutativas y asociativas
Por cuadrado de 2 números naturales Propiedades asociativas
Sumando –z a cada miembro de la ecuación
Propiedad invertiva
Dividiendo ambos miembros por
:
Simplificando:
Lo que queda demostrado
2. Para qué valores de , la siguiente igualdad se cumple:
Respuesta: La igualdad se cumple para los valores 3. Verifique la siguiente igualdad1:
1
Matemática para el ciclo diversificado. Primera Parte. Colectivo de autores.
6
Capítulo III: NÚMEROS REALES
4. 2 La suma de números enteros naturales impares consecutivos es Encuentre los números.
Número menor:
Número intermedio: Número mayor: Ecuación:
+
Número menor:
Número intermedio: Número mayor: Solución:
5. Sean números reales. Demuestre que la siguiente igualdad es ciertas. Determine para qué valores de las variables las expresiones expresiones no tienen solución solución
Dicha expresión no tiene solución para
2
Matemática para el ciclo diversificado. Primera Parte. Colectivo de autores.
7
Capítulo III: NÚMEROS REALES Ejercicios Propuestos 1. Verifique las siguientes igualdades. i gualdades. a) b) c) d) e) f) g)
– –
2. Determine los valores que satisfacen las ecuaciones siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
3. Demuestre si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas.
a)
b)
c)
d) e) f)
. Simplifique todo lo que sea posible 4. Sea x ,
Calcule
para x=4, x=-5, x=1.
5. Factorice o desarrolle las siguientes expresiones según corresponda 8
Capítulo III: NÚMEROS REALES a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
–
6. Dada la siguiente función Determine el el valor valor de f(x), si
donde
Simplifique la expresión. .
7. Desarrolle las siguientes expresiones. Posteriormente calcule el valor de las funciones para a) b) c)
8. Complete con el término que falta en cada caso, el desarrollo de cuadrados. Posteriormente factorice dichas expresiones. Calcule el valor de cada expresión para
a) b) c) d)
9. Sean números reales. Demuestre que las siguientes igualdades son ciertas. Determine para qué valores valores de las variables las expresiones expresiones no tienen solución a)
b) c)
9
–
Capítulo III: NÚMEROS REALES 10. Descomponga las siguientes expresiones en tantos factores como sea posible a)
b) c) d)
11. Hallar el valor de a) b) c) d) e) f) g)
para los cuales la ecuación se cumple
12. Javier es mayor que José, la relación de sus edades es ½. Además si sumamos la edad de Javier y la de José se obtiene el número . ¿Qué edad tiene cada uno?
Existe un subconjunto de
Si
Axiomas de Orden
denotado
(reales positivos), tal que:
Suma de positivos
Producto de positivos
Tricotomía:
Sea , entonces se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
10
Capítulo III: NÚMEROS REALES Inecuaciones o desigualdades: En una desigualdad intervienen 1 o más variables y su diferencia con las ecuaciones radica en que el signo “=” es sustituido por los signos “≤” ( menor o igual que), que), “≥” (mayor o igual que), que), “>” (mayor que), “<” (menor que).
Usando solamente el subconjunto de los descrito anteriormente, se deducen las reglas más utilizadas en el trabajo con inecuaciones o desigualdades de números reales. Es así que se plantea que:
Y por consiguiente:
Las expresiones mismo modo
se utilizan como resumen de es la expresión abreviada de
. Del
En cualquiera de los casos anteriores y es un número ubicado en el interior del intervalo (x; z). Lo mismo ocurre en la expresión si se utilizan los signos “≥”, “≤”.
Propiedades derivadas de los Axiomas de Orden
1. Tricotomía: Si , entonces solo una de las proposiciones siguientes puede ser verdadera a la vez (es decir, una solución para cada valor de x e y)
2. Transitiva: Para todo x, y, z
3. Si x, y, z
11
, entonces:
;
Capítulo III: NÚMEROS REALES 4.
5. Reglas para la adición y multiplicación de números reales (Número positivo)+ (Número positivo)= Número positivo (Número negativo)+ (Número negativo)= Número negativo Si se suma un número negativo + número positivo, el signo del resultado será el del mayor Valor absoluto de los dos números. (Número positivo) x (Número positivo)= Número positivo (Número negativo) x (Número negativo)= Número positivo (Número positivo) x (Número negativo)= Número negativo
6. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se mantiene; mientras si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.
7. Para todo 8. 9.
Veamos a continuación algunos ejemplos donde se ilustran las propiedades y axiomas de orden.
Ejercicios Resueltos 1. Coloque el signo “<” o”>” según corresponda.
12
....
Utilicemos la representación gráfica
Capítulo III: NÚMEROS REALES
Como puede observarse el área dentro de una figura f igura dada (en este caso una circunferencia) que ocupa 1/3 es mayor que el área que ocupa ¼. Por lo tanto el signo quedaría:
–
A través de la calculadora científica podemos determinar que
Por lo tanto
2. Se tienen los números
, tales que
Compruebe que
Si , entonces son números negativos tales que números negativos tienen orden inverso a los positivos. Por lo que si
. Los
Si , entonces Multiplicando ambas partes de la desigualdad por
Simplificando:
Entonces:
Por propiedades de campo
Pero ambos números, siguen siendo menores que planteada en el enunciado. Por lo tanto:
13
por hipótesis
Capítulo III: NÚMEROS REALES A través del ejercicio anterior hemos comprobado una propiedad de orden que cumplen todos los números reales (en este caso los negativos, pues es donde se definieron )
Te propongo entonces que compruebes tú mismo los enunciados siguientes:
Ejercicios Propuestos 1. 2.
3. Sean lo siguiente:
Demuestre que las relaciones
.
, implican
4. Ordena en forma creciente los siguientes números. ¿Cuál es el símbolo que corresponde con dicha relación en ese orden? a) b) c)
5. Sean implican:
. Demuestre que las relaciones
6. Determine ¿para qué números reales se cumplen los siguientes incisos?: a) b) c) d) e)
7. Indica con V ó F si son verdaderas ó falsa respectivamente cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a) Si entonces para todos , b) Para todo , si entonces c) Siendo números reales positivos , .
14
Capítulo III: NÚMEROS REALES Solución de desigualdades o inecuaciones
En el ejercicio número 6, utilizando un poco de lógica, hemos resuelto algunas inecuaciones. Hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación consiste en determinar el conjunto solución que hace a la desigualdad verdadera. Para resolver una desigualdad debemos transformar dicha inecuación en una inecuación equivalente (tiene el mismo resultado) ¿Cómo lo hacemos? Mediante el uso de los axiomas de orden y las propiedades derivadas de estos, estudiados anteriormente. Además pueden realizarse operaciones en la desigualdad sin cambiar el conjunto solución. Por ejemplo: Se puede sumar (o restar) la misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad Se puede multiplicar (o dividir) la misma cantidad positiva en ambos miembros de la desigualdad. Se puede multiplicar (o dividir) una cantidad negativa en ambos miembros de la desigualdad, pero en este caso, debe invertirse el sentido de la desigualdad.
Ejemplo: Exprese una variable de la siguiente desigualdad en función de la l a otra presente en la misma:
Solución: Multiplicando por 2 ambos miembros se obtiene
Cuando
Simplificamos
cambiamos de miembro
Restamos x en cada miembro, y
obtenemos
que es igual a
obtiene
que es igual a
Dividimos por 5 ambos miembros, y obtenemos
15
una
inecuación
que o
ecuación) a un número o variable, lo que en realidad se
Sumamos 2y a ambos miembros y se
que es igual a:
(en
decimos
hace
es
aplicar
la
operación contraria a la que efectúa el número o variable, en ambos lados de
la
ecuación
inecuación
o
Capítulo III: NÚMEROS REALES
Ejercicios Resueltos: 1. Resolver a)
,
2
Conjunto solución: b)
5/2
3
Una vez en este punto no podemos reducir ni modificar más la inecuación , por lo que procedemos a evaluar el signo que toma cada uno de los factores de la inecuación. Para ello evaluamos igual a cero cada uno de los factores
Ahora evaluamos el comportamiento de los signos en cada intervalo
resultante
-
-
+
+
-
+
+
+
-
-
-
+
-
+
-
+
Conjunto Solución: Se excluye del conjunto solución el porque hacen el denominador 0, e indefinirían la inecuación. 16
Capítulo III: NÚMEROS REALES Ejercicios Propuestos: 1. Resolver a)
b) c)
d) e) f)
g) h) i) j)
2. Halle el conjunto solución en cada caso a) b) c) d) e) f)
3. Encuentre los valores de x que satisfacen a) b) c) d) e) 17
Capítulo III: NÚMEROS REALES f)
4. Resuelva en función de a) b) c) d) e) f) g) h)
las siguientes inecuaciones:
Cotas y Extremos de un Conjunto de Números Reales. Completitud
Sea las cotas, se definen como los números extremos del intervalo, es decir en este caso sería 3 y 6. Además se establece que la cota inferior (mínimo) del intervalo o conjunto es el menor número que pertenece a él, y viceversa, la cota superior (máximo) es el mayor número contenido en el conjunto. En este caso la cota definida es la inferior, que es igual a 3, porque en el caso de la cota superior es el número más cercano a 6 pero que no incluye al 6. Por lo que decimos que la cota superior es indeterminada. En general cualquier número mayor ó igual igua l que todo elemento del conjunto es una cota superior de conjunto. A partir de la actividad anterior completaremos las siguientes definiciones.
Sea un conjunto de reales no vacío. 1) está acotado superiormente superiormente sí y solo si existe un número El número es entonces la Cota superior de
2) está acotado inferiormente sí y solo si existe un número Al real lo llamamos cota inferior de . 3) 4)
18
está acotado sí y solo si es máximo de
está acotado inferior y superiormente.
sí y solo si
Capítulo III: NÚMEROS REALES 5)
es mínimo de
sí y solo si
Ejercicios. 1) Para cada uno uno de los siguientes siguientes conjuntos, determina, determina, si tienen extremo superior, inferior, máximo y mínimo.
Axioma de Completitud
está acotado superiormente entonces
Existe
Ejercicio: Representa el conjunto en el eje real. ¿Está acotado superiormente?, ¿tiene extremo superior? ¿Y el conjunto }, Tiene extremo superior?
Valor Absoluto:
Se reconoce como el valor positivo de todo número
Se representa como
y cumple que:
.
El Valor Absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia de este al origen (cero). Igualmente el valor absoluto de puntos 0 x
19
si x>0
se interpreta como la distancia entre los x
si x<0
0
Capítulo III: NÚMEROS REALES Propiedades del Valor Absoluto:
Para todo x, y
Ejercicios Resueltos: Resolver las siguientes inecuaciones:
a)
Dicha igualdad es equivalente a
y
y cada una de ellas arroja el
siguiente resultado
Conjunto Solución: S=
b
Primero determinaremos para qué intervalos inter valos
cada operación de valor absoluto es positiva o negativa.
20
+
-
+ -
Capítulo III: NÚMEROS REALES
Caso 1:
Según el diagrama de signos cuando
entonces
Por lo que la inecuación original:
y
quedaría como sigue:
entonces
por lo tanto
Conjunto Solución caso 1: S 1=
Caso 2:
Ambos valores absotulos son negativos, por lo que la
inecuación original quedaría bajo la forma
Conjunto solución del Caso 2: S 2= porque
no está en el intervalo
Caso 3:
Análogamente a los casos anteriores (el primer Valor absoluto queda positivo, y el segundo es negativo) por lo que:
21
Capítulo III: NÚMEROS REALES
Conjunto Solución Solución del del Caso 3: S3
Una vez analizados los 3 casos posibles, el conjunto solución del ejercicio
St= St=
Ejercicios Propuestos: 1. Determina el Valor absoluto de cada número: a) b) c) d) e) f)
2. Verifique que: a) b) c) d) e)
3. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 22
Capítulo III: NÚMEROS REALES b) c) d) e) f) g) h)
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Capítulo III: NÚMEROS REALES BIBLIOGRAFÍA
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