UNIDAD I: DIAGRAMA DE FEYNMAN Introducción:
Richardd Fey Richar Feynma nmann fue uno de los más trabajo ajo más impo import rtan ante tess físi físico coss del del sil silo o !!" !!" Su trab en electrodinámica cuántica le valió el #remio No$el de Física en %&'(, compartido con Julian Schwin Schwinger ger y Sin-c Sin-chir hiroo !omonag omonaga" a" #n este este trabaj trabajoo desarr desarroll ollóó un m$todo m$todo para para estudiar estudiar las interacciones ) propiedades de las partículas su$atómicas utili tili%a %and ndoo los los denominados diaramas de Fe)nman" Relas $ásicas so$re diaramas de Fe)nman:
#odemos di$u*ar dos tipos de líneas & una l'nea recta con una flecha o una onda"
+as podemos di$u*ar en cual,uier dirección" Sólo
debemos conectar estas l'neas si tenemos dos l'neas con
flechas encontrándose con una l'nea ondulada"
(a orientación de las flechas es importante" Una flec-a de$e apuntar al ./rtice ) la otra -acia el otro lado"
+os diaramas sólo de$en contener pie0as conectadas" )ada
l'nea debe conectar con un v$rtice" *o
debe haber ninguna parte del diagrama desconectada"
+as líneas rectas de$en ser rectas ) las onduladas1 eso1 una onda"
#ero1 cuidado1 no podemos -acer cosas así:
(uego de hacer varios diagramas podr'amos tratar de encontrar patrones& ¿Hay relación entre el número de líneas externas y el número de líneas internas y vértices?
Si sabemos el n+mero de l'neas eternas con flechas apuntando hacia adentro, podemos deducir el n+mero de l'neas eternas con flechas .ue apuntan hacia afuera/ ¿Es posible hacer diagramas que contengan bucles? ¿Eso cambia las respuestas anteriores?
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23u/ sinifica todo esto4
)ada l'nea recta es una partícula" (os v$rtices son interacciones" (as reglas antes mencionadas son una idea general de una teor'a de part'culas y sus interacciones" Se la llama 0#1, Electrodinámica cuántica" (as l'neas con flechas son part'culas de materia 2fermiones3" (as l'neas onduladas es una part'cula de fuer%a 2 bosones3 .ue, en este caso, intermedia la interacción electromagn$tica& es el fotón" (os diagramas cuentan una historia acerca de cómo un conjunto de part'culas interact+an" Se leen los diagramas de i%.uierda a derecha y esto es importante por.ue las part'culas con flechas .ue apuntan de i%.uierda a derecha son electrones" (as .ue apuntan hacia la otra dirección son positrones " Se puede pensar en las flechas como apuntando en la dirección del flujo de la carga el$ctrica" 4asta a.u' tenemos entonces&
e5
es
De
un
positrón,
esto
e-
es un
electrón
podemos
)
la
hacer
amma
es
algunos
un
fotón"
comentarios
(a interacción con el fotón mostrada arriba incluye secretamente información acerca de la conservación de la carga el$ctrica& para cada flecha .ue apunta hacia una dirección, debe haber otra hacia el otro lado" #ero
podemos
rotar
la
interacción
)
contar
una
-istoria
diferente"
6.u' hay algunos ejemplos de distintas maneras de interpretar una interacción 2leyendo de i%.uierda a derecha3&
#sto se interpreta as'& 5%6 un electrón emite un fotón ) contin7a 586 un positrón a$sor$e un fotón ) contin7a 596 un electrón ) un positrón se ani,uilan en un fotón 56 un fotón espontáneamente produce un par de electrón ) positrón
#n el lado i%.uierdo de un diagrama tenemos las ;partículas entrantes<, .ue son las .ue colisionarán entre s' para producir algo" 7or ejemplo, en el +=> esas ;partículas entrantes< son los ,uar?s ) luones
,ue
.i.en
dentro
de
los
aceleradores
de
protones"
#n el lado derecho de un diagrama tenemos las ;partículas salientes<, .ue son las detectadas luego de una interesante interacción" 7ara la teor'a brevemente conceptuada arriba, podemos imaginar un colisionador de electrones y positrones como el viejo (#7 y S(6)" #n esos eperimentos un electrón y un positrón colisionan y las part'culas resultantes son detectadas" #n nuestra simplificada teor'a 0#1, 2,u/ clase de ;se@ales eperimentales<
5confiuraciones
de
partículas
salientes6
podrían
medirse4
7or ejemplo& ¿es posible tener una se!al de un solo electrón con dos positrones? ¿Existen restricciones sobre cu"ntos #otones salen?
2
+as
líneas
eternas
corresponden
a
partículas
,ue
entran
o
,ue
salen"
8 las l'neas internas/ Representan part'culas .irtuales .ue no son directamente observadas"$on creadas cu"nticamente y desaparecen de la misma #orma% sirviendo sólo a que un con&unto de interacciones ocurran para que las partículas entrantes se conviertan en partículas salientes'
6.u' tenemos un ejemplo de un fotón virtual mediando la interacción entre un electrón y un positrón"
#n el primer diagrama, el electrón y el positrón se ani.uilan en un fotón .ue luego produce otro par electrón-positrón" #n el segundo diagrama, un electrón empuja a un fotón hacia un positrón cercano 2sin si.uiera tocarlo3" #sto se entiende con la idea de .ue las part'culas de fuer%a son etra9os objetos cuánticos .ue median las fuer%as" Sin embargo, nuestra teor'a trata a las part'culas de fuer%a y materia igual" 7odemos dibujar diagramas donde hay fotones en el estado eterno y los electrones son virtuales&
#ste es un proceso donde la lu% 2el fotón3 y un electrón se empu&an uno a otro y se llama dispersión >ompton" *otar, de paso, .ue no me molest$ en inclinar la part'cula virtual vertical en el segundo diagrama" #sto es por.ue no importa si lo interpretamos como un electrón virtual o un positrón virtual& podemos decir .ue 2:3 el electrón emite un fotón y luego se dispersa del fotón o 2;3 .ue el fotón entrante produjo un par con la resultante ani.uilación positrón-electrón para formar un fotón saliente&
Esta es la idea $ásica de los diaramas de Fe)nman" Nos permiten escri$ir ,u/ interacciones son posi$les" #reuntas Frecuentes 2>uál es el sinificado de los e*es x e y4
#stos son realmente diagramas de espacio tiempo .ue conceptuali%an la
*o, pero es fácil cree erróneamente eso si tomas a los diagramas demasiado en serio" #l camino .ue las part'culas toman a trav$s del espacio es determinado no sólo por las interacciones 2capturadas por los diagramas de Feynman3, sino la cinemática 2.ue no es captada por los diagramas3" 7or ejemplo, uno deber'a imponer cosas como momento y conservación de la energ'a" #l punto de los diagramas es
3
entender las interacciones a lo largo del camino de las part'culas, no la real trayectoria de la part'cula en el espacio" 2Esto sinifica ,ue los positrones son sólo electrones .ia*ando -acia atrás en el tiempo4
#n los tempranos d'as de la electrodinámica cuántica, eso parec'a ser una idea .ue la gente gustaba decir de ve% en cuando por.ue sonaba atractiva" 1esde el punto de vista de los diagramas 2y en alg+n sentido tambi$n en forma matemática3 uno podr'a tomar esa interpretación, pero no ganamos nada" #ntre otras ra%ones más t$cnicas, ese punto de vista es más bien contraproducente por.ue el marco matemático de la teor'a de campo cuántica está construida sobre la idea de causalidad" 23u/ sinifica ,ue un con*unto de partículas entrantes ) partículas salientes pueden tener m7ltiples diaramas4
#n los ejemplos de arriba de dispersiones dos a dos mostr$ dos diagramas diferentes .ue toman el estado de entrada y producen el re.uerido estado de salida" 1e hecho, hay infinitos de esos diagramas" 1esde la mecánica cuántica uno debe sumar todas las formas para tener del estado de entrada el estado de salida" 2>uál es el sinificado de las relas 9 ) 4
(a regla > dice .ue sólo nos vamos a ocupar acerca de una cadena particular de interacciones" *o nos importa acerca de part'culas adicionales .ue no interaccionan o cadenas independientes de interacciones" (a regla ? hace .ue los diagramas sean fáciles de leer" @casionalmente deberemos dibujar l'neas curvas o incluso l'neas .ue pasan por debajo de otras" 2De dónde .ienen estas relas4
(as reglas .ue dimos arriba 2llamadas reglas de Feynman3 son esencialmente la definición de una teor'a de f'sica de part'culas" Aás completamente, las reglas deben tambi$n incluir unos n+meros asociados con los parámetros de la teor'a 2por ej"& las masas de las part'culas3" (os estudiantes de graduado en f'sica de part'culas pasan gran parte de su primer a9o aprendiendo cómo etraer las reglas diagramáticas de epresiones matemáticas 2y luego cómo usar los diagramas para hacer más matemática3, pero el contenido f'sico de la teor'a es más intuitivamente entendido al mirar los diagramas directamente e ignorando la matemática"
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Los diagramas de Feynman (denominados así por Richard Feynman) son imagenes figurativas de las contribuciones de las interacciones entre partículas, descritas por la teoría cuantica de campos. Usando estas imagenes, procesos complicados son ilustrados y sus probabilidades de producirse pueden calcularse mas a cilmente. >onstrucción
(os diagramas de Feynman se componen de agrupaciones de s'mbolos básicos, representando ciertos tipos de part'culas elementales" (os fermiones 2part'culas materiales3 están de acuerdo con la convención habitual de representarse mediante l'neas continuas con flecha" (a flecha indica con su sentido si se trata de una part'cula 2en la dirección de tiempo3 o una antipart'cula 2en contra de la dirección del tiempo3" )asualmente, a menudo se presentan antipart'culas, cuyo movimiento no tiene el significado f'sico .ue les atribuye el diagrama" 7ara las letras de las l'neas de part'culas y antipart'culas, hay varias convenciones" #n la mayor'a de los casos se escribe el s'mbolo eacto de la part'cula" Sin embargo, algunos autores utili%an una notación más corta y más general, .ue puede referirse tanto a la part'cula como a la antipart'cula 2por ejemplo, en lugar de o de 3, ya .ue la información, si se trata de una part'cula o una antipart'cula, ya va indicada en la dirección de la flecha" (a dirección del eje de tiempo unas veces se elige de abajo arriba, y otras veces de i%.uierda a derecha" (os bosones, elementos .ue median en la interacción entre part'culas, por lo general son representados mediante l'neas onduladas o espirales, dependiendo de la interacción representada" (as part'culas escalares se representan t'picamente con l'neas discontinuas" 4ay algunas ecepciones a estas reglas generales, por ejemplo, los bosones B pueden ser simboli%ados como l'neas discontinuas" #n los gráficos .ue figuran a continuación, el tiempo se muestra de i%.uierda a derecha&
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Los diagramas de Feynman tienen líneas externas que convergen en puntos de interacción. Las líneas internas conectan pares de puntos de interacción. Las líneas externas corresponden a partículas entrantes y salientes. Los puntos de interacción donde las líneas se encuentran, también se llaman vértices. En los vértices se pueden cre ar, destruir o dispersar partículas.
Elementos del diagrama
#n un eperimento tenemos& part'culas iniciales CD interact+an C-D part'culas finales :"- 6s' pues en un diagrama representaremos las part'culas iniciales y finales mediante una l'nea sólida" Eeneralmente ponemos una dirección para indicar el paso del tiempo" 7ero esto simplemente es una ayuda, en realidad los diagramas en general no se les tiene .ue considerar como cosas .ue representan movimientos de part'culas en el espacio tiempo" 1e hecho, uno podr'a elegir poner el eje temporal en cual.uier otra posición y por regla general no se representa en los diagramas por.ue se da por entendido" 7or ejemplo, ser'a igualmente válido&
;"- !enemos .ue distinguir entre part'culas y antipart'culas" #sto se hace poniendo una flecha sobre la l'nea de forma .ue si la flecha apunta en el sentido positivo del eje temporal será una part'cula y si la flecha apunta en el sentido negativo del eje temporal será una antipart'cula&
>"- El ./rtice: na teor'a f'sica de interacciones entre part'culas necesita de dos cosas básicas& :" #l tipo de part'culas .ue interact+an C ('neas eternas sólidas" ;" 0u$ tipo de interacción se da entre ellas C (ineas partidas u onduladas"
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Supongamos .ue tenemos dos part'culas .ue interact+an a trav$s de una interacción, eso define lo .ue se llama un v$rtice de interacción&
?"- )onsideremos ahora un proceso donde una part'cula interact+a con una part'cula G&
6.u' estamos representando el proceso " #s decir, una part'cula emite un cuanto del campo de interacción 2part'cula interna3 y se transforma en una part'cula G" #ste cuanto de interacción es absorbido por una part'cula y se transforma en una part'cula G" 7ero tambi$n podr'amos tener esta situación&
0ue representa el proceso donde dos part'culas colisionan, en la colisión estas se desintegran emitien un mensajero de la interacción y este se desintegra en dos part'culas G"
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#ropaadores
(as l'neas interiores son llamadas propagadores y se interpretan como part'culas virtuales .ue no pueden ser observadas" 1ebido a esto, hay una ambigHedad" )ual.uier pareja de gráficos con las mismas l'neas de entrada y de salida son e.uivalentes, y se pueden sumar entre s'" E*emplos Dispersión de MBller
7ara el cálculo de la dispersión de dos fermiones -dispersión de AIller- se tienen en cuenta los diagramas de Feynman con dos electrones de entrada y dos de salida" (as imágenes muestran la dispersión en el orden más bajo 2a nivel de árbol3" (as cuatro l'neas eternas representan los fermiones entrantes y salientes y la l'nea de eje interior virtual representa los fermiones .ue genera la interacción electromagn$tica"
1os fermiones 2por ejemplo, electrón y positrón3 con un bosón de mediación virtual 2por ejemplo, un fotón3
n diagrama e.uivalente de dispersión de AIller con un propagador diferente )ada uno de estos diagramas se corresponde con una contribución a la dispersión, todo el proceso de difusión está representado por la suma de todos los diagramas" Efecto >ompton
)omo otro ejemplo, a continuación figura el efecto )ompton anali%ado en el orden más bajo" na ve% más, los posibles diagramas se suman"
#fecto )ompton
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#l cálculo de estos casos de dispersión y en general, las reglas de epresiones matemáticas, .ue corresponden a las l'neas y v$rtices de los diagramas de Feynman, se pueden encontrar en muchos libros de teto de f'sica de part'culas 2ver enlaces3" Cucles
6demás de los diagramas con estructura de árbol, el software para el cálculo eacto de los llamados diagramas en bucle son de la mayor importancia"
(os posibles diagramas de Feynman se pueden clasificar por el n+mero de bucles internos a medida .ue se conoce el fin de cada bucle, y como parte de un desarrollo en serie se suman& " 4ay una cantidad indefinida de diagramas posibles" Sin embargo, las contribuciones de orden superior dependen de las potencias correspondientes determinadas a partir de las constantes de acoplamiento hasta anularlas" (as contribuciones de orden suficientemente alto son entonces num$ricamente insignificante de acuerdo con la hipótesis de trabajo de la teor'a de perturbaciones, ya .ue tienen un efecto m'nimo sobre el resultado final" Relas de Fe)nman
(as reglas de Feynman describen .u$ interacciones son posibles y cuáles no lo son" Fotones (os fotones interact+an con todas las part'culas elementales cargadas el$ctricamente" Representación para electrones y muones&
Cosones
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#l bosón K interact+a entre todas las demás part'culas elementales del modelo estándar con la ecepción de los gluonesL simultáneamente, los fotones sólo interact+an con los bosones B" #n particular, los neutrinos no tienen ninguna interacción con los fotones" 7or lo tanto, en este caso se deberá dar la generación y detección de bosones K y de bosones B" Mosones B #l bosón B media entre neutrinos por un lado y leptones con carga l 2electrones, muones y tauones3 por otro" #ntre .uarNs del tipo up y do(n, el bosón B es el portador de la carga el$ctrica positiva 2B 53 o negativa 2B -3" 1ebido a la carga el$ctrica, la interacción del bosón B está sujeta a la presencia del fotón" 6demás, interact+a con el bosón K y con otros bosones B"
(os bosones B son especialmente interesantes por.ue tienen permitido el cambio de OsaborO" #sto significa .ue el n+mero de electrones, neutrinos, etc" puede cambiar" #sta caracter'stica juega un papel importante acerca de la desintegración beta"
PQ-desintegración de un neutrón P 5-desintegración de un protón Eluones Representación gráfica de la neutrali%ación de las cargas a imagen de la me%cla de los colores rojo, verde y a%ul, y de cada color con los otros dos colores (os gluones median en la interacción fuerte entre .uarNs" (os .uarNs tienen un Ocarga de color O libremente asociada" #n contraste con la carga el$ctrica, .ue sólo presenta dos valores 2OpositivoO 253 y OnegativoO 2-33, la carga de color de los .uarNs presenta m+ltiples posibilidades" (os gluones son los responsables del
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e.uilibrio entre los OcoloresO asociados a cada part'cula& ORojoO, OGerdeO y O6%ulO, y de sus opuestos& O6nti-RojoO 2OcianO3, O6nti-verdeO 2OmagentaO3, y O6nti-a%ulO 2OamarilloO3" #n cada interacción, la neutrali%ación de colores entre los .uarNs con cargas de color rojo, verde, a%ul, cian, magenta, amarillo, rojo, cian, verde, magenta o a%ul, amarillo se verifica a trav$s de los gluones" (as part'culas con tres .uarNs son los bariones 2.ue incluyen por ejemplo a protones y neutrones3" (as part'culas de dos .uarNs son los mesones denominados O.uarNs libresO, .ue se unen inmediatamente a bariones o mesones por la acción de los gluones transmisores de la fuer%a fuerte" Aatemáticamente, los gluones forman una estructura algebraica asimilable al grupo unitario especial S2>3 de las matrices herm'ticas sin tra%a de dimensión >T>" 7or lo tanto, hay ocho 2> ;-:3 gluones diferentes" (os gluones llevan dos cargas de color" 7or lo tanto ellos mismos están sujetos a la interacción fuerte, y por lo tanto se pueden conectar consigo mismos" 7or lo tanto, teóricamente tambi$n podr'an producirse bolas de gluones sin la intervención de .uarNs" Sin embargo, esta configuración a+n no ha sido detectada" Cosones de =is
#l bosón de 4iggs interact+a con todas las part'culas elementales masivas, es decir, tambi$n consigo mismo 2auto-interacción3" Unicamente no hay interacción con fotones y gluones" #l modelo estándar demuestra .ue las part'culas elementales obtienen su masa eclusivamente por esta interacción ipos de diaramas de Fe)nman Diaramas coneos
Si cada v$rtice está conectado a trav$s de l'neas internas y a otros v$rtices entre s', la tabla se define como contigua, de otro modo es incoherente" #n cada porción contigua del diagrama, la suma de las energ'as, los impulsos y cargas de las part'culas entrantes es igual a la suma de las energ'as, los impulsos y cargas de las part'culas salientes" Diaramas irreduci$les
Si cuando se corta por cual.uier punto el diagrama se generan siempre dos gráficas inconeas, se dice .ue el diagrama es irreducible" #n caso contrario, no pueden ser simplificados sistemáticamente como un producto de integrales simples" Diaramas amputados
)on una variación gráfica 2relativa a las auto-energ'as3 en función de la distancia de las l'neas eteriores, por lo .ue se llaman diagramas OamputadosO" Diaramas de autoenería
n grafo con un la%o, l'neas eteriores y sólo dos v$rtices se denomina 2despu$s de la amputación3 1iagrama de auto-energ'a" Su valor depende solamente de la energ'a y el momento .ue fluye a la otra, además del giro por las l'neas eternas y un v$rtice" Diaramas en es,ueleto
n gráfico sin subdiagramas de auto-energ'a se denomina un diagrama en esqueleto"
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