Teoria Classica de Campos

Teoria Clássica de Campos Mario C. Bertin 17 de junho de 2015

Sumário 1 Transformações de Lorentz 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Postulados fundamentais da relatividade restrita . . . . . . . . . . . . 1.3 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Composição de velocidades, contração de Lorentz e dilatação do tempo 1.5 O espaço-tempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 A partícula livre relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 7 10 12 13

2 Transformações infinitesimais 2.1 Transformações infinitesimais em Rn 2.2 Evolução temporal . . . . . . . . . . . . 2.3 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15 15 16 17 18

3 A geometria de Minkowski 3.1 Vetores e covetores de Lorentz . . . . . . . . . . . . 3.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincaré 3.4 Álgebra de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 A representação adjunta . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 21 23 24 24 26 28

4 O formalismo lagrangiano para campos 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Variações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 A primeira variação da ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Os termos de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Os princípios de Hamilton e Weiss e as equações de campo

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31 31 32 34 37 38

5 Os teoremas de Noether 5.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 A equação de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 O primeiro teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Translações e a conservação de energia e momento . 5.6 Rotações, momento angular e spin . . . . . . . . . . 5.7 O segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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41 41 42 43 45 46 50 53 56

6 O campo escalar 6.1 O campo escalar real . . . . . . . . . 6.2 O campo escalar complexo . . . . . . 6.3 Simetrias internas . . . . . . . . . . 6.4 Simetrias de gauge locais e interação

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59 59 61 61 62

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2

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7 O campo eletromagnético 7.1 O campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 O campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Liberdade de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 68 72

8 Campos espinoriais 8.1 A álgebra de Clifford relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rotações: a representação espinorial das transformações de Lorentz 8.3 Representações de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Espinores de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 A ação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Aplicando o princípio de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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75 75 79 82 86 86 88

9 Campos de Gauge 9.1 Revisitando o campo escalar . . . 9.2 Transformações de gauge globais 9.3 Transformações de gauge locais . 9.4 A lagrangiana invariante . . . . . Referências . . . . . . . . . . . . . . . .

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91 91 92 94 97 99

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3

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Capítulo 1

Transformações de Lorentz 1.1

Introdução

Na mecânica clássica, a trajetória de uma partícula é descrita a partir da segunda lei de Newton F=

dp , dt

(1.1)

em que p = mv, sendo m a massa e v = x˙ = dx/dt a velocidade da partícula, definida a partir da escolha de um sistema de coordenadas no espaço retangular R3 . A posição da partícula pode ser representada por um vetor posição x = (x, y, z), em que x, y e z são número reais relacionados a três eixos cartesianos ex , ey e ez . A escolha de um sistema de coordenadas que descreve o movimento de uma partícula em R3 é o equivalente físico à escolha de um sistema de referência a partir do qual qualquer medida sobre o sistema pode ser tomada. Segundo a primeira lei de Newton, se a força resultante que age sobre uma partícula é nula, existe sempre um sistema referencial para o qual a velocidade da partícula é constante em sentido, direção e módulo. Um referencial que obedece a essa propriedade é chamado referencial inercial, e uma das propriedades mais importantes da dinâmica de um sistema clássico é que (1.1) continua vális ou, dito de outra forma, é covariante em qualquer desses referenciais. Dizemos, assim, que o sistema físico é invariante sob a escolha entre referenciais inerciais. Esta invariância retira do espaço o caráter absoluto que lhe havia atribuído a mecânica de Aristóteles. Por outro lado, outra suposição fundamental da mecânica newtoniana é sobre a natureza imutável do tempo. Para qualquer referencial inercial, a passagem do tempo deve ser a mesma, o que implica que se dois referenciais inerciais são usados para descrever um mesmo sistema, intervalos de tempo medidos por ambos possuem o mesmo valor absoluto. Vamos supor uma partícula de massa m de força resultante nula, que se move com velocidade v com relação a um determinado referencial inercial O, cujo sistema de coordenadas seja dado por x = (x, y, z). Agora vamos supor um segundo referencial inercial O0 . Por simplicidade vamos escolher este segundo referencial de modo que seus eixos cartesianos sejam paralelos aos eixos cartesianos de O e que, em t = 0, a origem dos dois sistemas coincida. O sistema de coordenadas de O0 é dado por x0 = (x0 , y 0 , z 0 ) e sua origem move-se com velocidade u, constante, com relação a O. Ambos os sistemas de coordenadas estão relacionados por x0 = x − ut.

(1.2)

Lembremos que, segundo o caráter absoluto do tempo, t0 = t. Se x (t) representa a trajetória da partícula sob o ponto de vista de O, (1.2) também resulta na trajetória da partícula x0 (t) medida pelo referencial O0 . Neste caso, a velocidade da partícula medida por O0 é dada por v0 =

dx0 dx0 d dx = = (x − ut) = − u = v − u. 0 dt dt dt dt

5

(1.3)

Esta é a lei de composição de velocidades na mecânica newtoniana. Note que p0 = mv0 =⇒

dp0 dv0 dv dp =m =m = , dt dt dt dt

(1.4)

desde que a massa seja constante. Este resultado implica que a aceleração de um sistema é invariante sob a escolha de referenciais inerciais. Para que a segunda lei (1.1) seja covariante, uma força F que age sobre a partícula também não pode depender da escolha do referencial inercial. Outro invariante sob a transformação (1.2) vem a ser a quantidade ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dx · dx,

(1.5)

que é a métrica euclidiana do espaço cartesiano R3 . Tomando-se (1.2), temos 2

(ds0 ) = dx0 · dx0 = dx · dx = ds2 .

(1.6)

Dada a invariância da métrica, é imediato notar que a norma dos vetores em R3 também é preservada, o que implica que distâncias medidas por O devem ser as mesmas medidas por O0 . Portanto, os sistemas físicos descritos pela mecânica clássica são invariantes pelas transformações x0 = x − ut,

(1.7a)

0

(1.7b)

t = t, que são chamadas transformações de Galilei.

1.2

Postulados fundamentais da relatividade restrita

Até o século XIX, a relatividade de Galilei era considerada uma propriedade dos sistemas físicos, em razão do grande sucesso da mecânica clássica. Contudo, na segunda metade do século XIX as bases matemáticas do eletromagnetismo clássico foram reunidas em forma final, através das equações de Maxwell. Foi uma grande surpresa quando os estudos de Lorentz e Poincaré revelaram que tais equações não eram covariantes às transformações (1.7), ou seja, o eletromagnetismo não obedecia à relatividade galileana. Este fato tornou-se um problema teórico fundamental, visto que a lei de força de Lorentz é baseada na mecânica newtoniana e, portanto, uma incompatibilidade entre a teoria de Maxwell e a mecânica surgiu em nível formal. Esta incompatibilidade não foi, contudo, observada imediatamente nas experiências em eletrodinâmica clássica (as trajetórias de partículas carregadas que se movem em campos eletromagnéticos, por exemplo, são bem descritas desde que as velocidades das partículas sejam tipicamente pequenas). Contudo, experimentos como o de Michelson e Morley (1989) mostraram que a velocidade da luz no vácuo independe do movimento relativo entre a fonte e o observador, em clara violação da relatividade de Galilei. Einstein observou que a incompatibilidade entre o eletromagnetismo e a mecânica newtoniana deveria ser corrigida modificando-se a mecânica, de modo que os sistemas físicos obedecessem dois postulados fundamentais: 1. Todo sistema físico é invariante pela escolha de referencial inercial; 2. A velocidade da luz é uma constante independente do movimento relativo entre fonte e observador. Vamos supor que uma fonte de luz seja ligada na origem de um dado referencial inercial O, que é munido de um sistema de coordenadas x = (x, y, z) e, também, de um relógio cujo instante t = 0 marca o instante em que a fonte de luz é ligada. A frente de onda se move à

6

velocidade da luz, que denominaremos como c (tem o valor de exatamente 299.792.458 metros por segundo no vácuo), e é descrita pela equação x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 , neste referencial. Agora, consideremos um segundo referencial inercial O0 , não rotacionado com relação a O. O sistema de coordenadas x0 = (x0 , y 0 , z 0 ) relativo a O0 tem origem coincidente com a origem de O no instante em que a fonte é ligada, ou seja, quando t = 0 em O. Contudo, consideraremos que O0 possui seu próprio relógio e que, neste, o intervalo de tempo medido não coincide necessariamente com o relógio carregado por O. Ou seja, t0 6= t. Mas podemos definir o tempo em O0 de modo que t0 = 0 quando t = 0. Isto é possível visto que as coordenadas da fonte são as mesmas em ambos os referenciais quando esta é ligada, ou seja, o evento que deu origem ao pulso de luz é simultâneo em ambos os referenciais. Se a velocidade da frente de onda é a mesma para ambos os referenciais, temos x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 , ou seja, c2 t02 − r02 = c2 t2 − r2 ,

(1.8)

em que r2 = x2 + y 2 + z 2 , o mesmo para r0 . Para simplificar o sistema, vamos supor que O0 mova-se com velocidade constante u = uex com relação a O, em que u seja constante, real e positivo. Assim, c2 t02 − x02 = c2 t2 − x2 .

(1.9)

Esta configuração é chamada configuração padrão.

1.3

Transformações de Lorentz

Para que o postulado 1 seja válido, a transformação (t, x) → (t0 , x0 ) deve ser linear. Portanto vamos considerar x0 = Ax + cBt, ct0 = Cx + cDt. Em (1.9), temos c2 t2 − x2

=

2

2

(Cx + cDt) − (Ax + cBt)

= C 2 x2 + c2 D2 t2 + 2cCDxt − A2 x2 − c2 B 2 t2 − 2cABxt = C 2 − A2 x2 + D2 − B 2 c2 t2 + 2c (CD − AB) xt. Ao igualar os coeficientes, C 2 − A2 = −1, D2 − B 2 = 1, CD = AB. Vamos supor a seguinte solução: A = D = cosh φ, B = C = − sinh φ, em que o ângulo φ é chamado rapidez. Esta solução não é única, mas é escolhida por requerimentos físicos. Em primeiro lugar, a configuração padrão implica que x0 e t0 crescem com x e t, por isso a escolha do sinal negativo em B e C. Em segundo lugar, as transformações 7

resultantes devem levar às transformações de Galilei para |u| c. Levando em conta esses critérios, temos x0 = x cosh φ − ct sinh φ, ct0 = −x sinh φ + ct cosh φ, ou em forma matricial, 0 cosh φ − sinh φ ct ct = . x0 − sinh φ cosh φ x

(1.10)

Podemos, também, colocar o sistema na forma x0 = cosh φ (x − tanh φct) , ct0 = cosh φ (ct − tanh φx) . Para interpretar o significado físico de φ, vamos observar a origem de O0 , ou seja, x0 = 0. Isto implica em x − tanh φct = 0 =⇒ tanh φ =

x . ct

Contudo, u = x/t, portanto tanh φ =

u ≡ β. c

(1.11)

Vamos definir, também, γ ≡ cosh φ.

(1.12)

Assim, temos tanh φ = β =⇒ γ =

sinh φ , β

enquanto cosh2 φ − sinh2 φ = 1 =⇒ sinh2 φ = γ 2 − 1. Comparando-se as duas equações, temos γ2 =

γ2 − 1 =⇒ γ 2 1 − β 2 = 1 =⇒ γ = β

r

1 . 1 − β2

Portanto, a transformação pode ser colocada também nas formas mais conhecidas x0 = γ (x − βct) , β t0 = γ t − x , c ou x − ut , 1 − u2 /c2 t − u/c2 x 0 t = p . 1 − u2 /c2 x0 = p

(1.13a) (1.13b)

8

Nesta configuração, as direções y e z ficam inalteradas, de modo que a forma completa é dada por x0 = p

x − ut 1 − u2 /c2

(1.14a)

,

y 0 = y,

(1.14b)

0

(1.14c)

z = z, 2

t − u/c x , t0 = p 1 − u2 /c2

(1.14d)

ou nas duas formas de notação matricial,    0  cosh φ − sinh φ 0 0 ct    x0   0  =  − sinh φ cosh φ 0 0     y  0 0 1 0  0 0 0 1 z0     0  ct γ −γβ 0 0 ct     x0  γ 0 0   x ,  0  =  −γβ  0  y  0 1 0  y  z 0 0 0 1 z0

 ct x  , y  z

(1.15)

(1.16)

As transformações (3.12), ou mesmo na forma (1.15) são chamadas transformações de Lorentz, ou simplesmente boosts de Lorentz. É imediato observar que as transformações de Lorentz inversas são dadas substituindo-se u por −u, β por −β ou φ por −φ nessas transformações. As transformações de Lorentz são precisamente as transformações que deixam a teoria eletromagnética de Maxwell invariante. A forma mais geral das transformações de Lorentz, usadas quando os referenciais O e O0 movem-se com uma velocidade u = ux ex + uy ey + uz ez , mas ainda mantêm a mesma orientação, é dada por 0 ct γ −γBT ct = , (1.17) r0 r −γB (γ − 1) BBT /β 2 em que B é o vetor coluna     βx ux 1 u B ≡  βy  =  uy  = , c c βz uz e BT é o vetor linha BT ≡

βx

βy

βz

=

O produto BBT é dado por  βx2 βx βy T βy2 BB =  βy βx βz βx βz βy

1 c

ux

uy

uz

=

uT . c

 βx βz βy βz  , βz2

2

e β 2 = BT B = |u| /c2 . Observando-se a forma (1.15), é imediato calcular o limite não relativístico, ou seja, a baixas velocidades das transformações de Lorentz. Observemos que este limite é dado por u c =⇒ β 1 =⇒ φ 1. Neste caso, temos sinh φ → φ, cosh φ → 1, tanh φ → φ = β = u/c. 9

Então, 

  ct0 1  x0   −β  0 =  y   0 z0 0

−β 1 0 0

 ct 0 0  x 0 0   1 0  y z 0 1

  , 

ou seja, x0 = x − βct = x − ut, β u t0 = t − x = t − 2 x ≈ t, c c que são as transformações de Galilei na configuração padrão.

1.4

Composição de velocidades, contração de Lorentz e dilatação do tempo

Vamos verificar como um objeto, que se move a uma velocidade v com relação a O, move-se com relação ao referencial O0 . Por simplicidade vamos utilizar a configuração padrão, neste caso, vx =

dx . dt

Vamos utilizar a transformação de Lorentz inversa dada por x = γ (x0 + βct0 ) . Temos, considerando-se γ e β constantes, 0 0 dx dt0 dx dt0 dx =γ + βc =γ + βc vx = dt dt dt dt dt 0 0 dt dx = γ + βc . dt0 dt Agora, temos a transformação β dt0 βvx t0 = γ t − x =⇒ =γ 1− . c dt c Portanto, βvx 1 − βvx /c 0 vx = γ 1 − (vx0 + βc) = (vx + βc) . c 1 − β2 vx 1 − β 2 − βc (1 − βvx /c) vx − vx β 2 − βc + β 2 vx vx − βc 0 vx = = = , 1 − βvx /c 1 − βvx /c 1 − βvx /c 2

ou seja, vx0 =

vx − u . 1 − uvx /c2

(1.18)

Para as demais componentes, temos 0 dy dy 0 dy 0 dt0 βvx 0 dt 0 vy = = = 0 = vy = γvy 1 − , dt dt dt dt dt c ou vy0 =

vy . γ (1 − uvx /c2 )

(1.19)

10

Ainda, vz0 =

vz . γ (1 − uvx /c2 )

(1.20)

Essas são as equações para composição de velocidades na relatividade restrita. Através essas, podemos mostrar que a velocidade da luz é a mesma para ambos os referenciais. Um raio de luz disparado em (x = 0, t = 0) no referencial O tem velocidade vx = c. Portanto, temos c−u 1 − u/c c−u 0 = =c = c, vx = 1 − uc/c2 1 − u/c 1 − u/c em concordância com o segundo postulado. Vamos supor uma régua de comprimento l com relação a um sistema referencial em repouso O. Neste caso, temos l = x2 − x1 , em que x2 é a posição de uma das extremidades da régua, enquanto x1 < x2 é a posição da outra extremidade, ambas com relação a O. Supondo um segundo referencial O0 que se move com velocidade u = uex com relação a O, em uma configuração padrão, temos x(2,1) = γ x0(2,1) + ut0(2,1) , em que t0(2,1) são os instantes de tempo medidos por O0 em que as medidas de posição da régua são tomadas. Para que O0 tome uma medida do comprimento da régua, as medidas de x01 e x02 devem ser sincronizadas, ou seja, tomadas considerando-se ∆t0 = t02 − t01 = 0. Neste caso, l = γ [x02 − x01 + u (t02 − t01 )] = γ [l0 + u∆t0 ] = γl0 , ou seja, l0 =

p 1 l = l 1 − u2 /c2 . γ

(1.21)

Como γ é sempre maior que 1, toda medida de comprimento na direção do movimento do observador é sempre menor que a mesma medida feita por um observador em repouso com relação ao objeto. Este fenômeno é conhecido como contração de Lorentz. Agora, vamos supor um relógio em repouso com relação a um referencial O. Vamos ver como um intervalo de tempo, digamos ∆t0 = t02 − t01 é medido por um referencial O0 com velocidade u = uex com relação ao relógio, em uma configuração padrão. A transformação de Lorentz relevante é dada por t0 = γ t − u/c2 x , portanto, ∆t0 = γ t2 − t1 − u/c2 (x2 − x1 ) = γ ∆t − u/c2 ∆x . Contudo, como o relógio está em repouso com relação a O, temos que ∆x = 0, então, ∆t . ∆t0 = γ∆t = p 1 − u2 /c2

(1.22)

Como γ é sempre maior que 1, qualquer observador mede intervalos de tempos dilatados com relação a um observador em repouso com relação ao relógio. Este fenômeno é conhecido como dilatação do tempo. Portanto, o intervalo de tempo medido por um relógio depende do observador, e não consiste mais em uma medida absoluta. Quanto mais rápido se move o relógio, maior o intervalo de tempo medido pelo observador. Para todo observador inercial, existe um relógio para o qual os intervalos de tempo são mínimos. Segundo (1.22), este relógio é aquele que encontra-se em repouso com relação ao observador, e o tempo medido por este é chamado tempo próprio τ . 11

1.5

O espaço-tempo de Minkowski

De forma análoga à relatividade de Galilei, existe uma medida invariante às transformações de Lorentz. Ela é definida pela métrica de Minkowski ds2 = dx0

2

− dx1

2

− dx2

2

− dx3

2

,

em que renomeamos as coordenadas xi = x1 = x, x2 = y, x3 = z , e definimos uma quarta coordenada x0 = ct. A métrica de Minkowski é uma métrica do espaço-tempo de Minkowski M4 , que é um espaço plano pseudo-riemanniano de quatro dimensões. Um sistema de coorde nadas em M4 consiste em quatro coordenadas xµ = x0 , x1 , x2 , x3 , que também distinguem entre diferentes eventos no espaço-tempo. A métrica de Minkowski é escrita por 3 X

ds2 =

ηµν dxµ dxν ,

(1.23)

µ, ν = 0, 1, 2, 3.

µ,ν=0

A partir de agora, usaremos a notação de Einstein, para a qual a repetição de dois índices implica em soma sobre todos os valores deste índice, ou seja, escreveremos simplesmente ds2 = ηµν dxµ dxν .

(1.24)

ηµν são as componentes da métrica de Minkowski no sistema de coordenadas xµ . Em notação matricial, se este sistema de coordenadas for ortogonal, temos   1 0 0 0  0 −1 0 0   (1.25) ηµν =   0 0 −1 0  . 0 0 0 −1 Podemos, também, escrever uma transformação de Lorentz com esta notação. Ela é dada por x0µ = Λµν xν .

(1.26)

Na configuração padrão, temos em representação matricial    γ −γβ 0 0 cosh φ − sinh φ    − −γβ γ 0 0  =  sinh φ cosh φ Λµν =   0 0 0 0 1 0   0 0 0 1 0 0

 0 0 0 0  . 1 0  0 1

(1.27)

A métrica de Minkowski não é um métrica propriamente dita. A razão é a presença dos sinais negativos em (1.25), que resultam no fato de que dois eventos distintos em R4 podem ter distância nula. Note que ds2 = ηµν dxµ dxν = dx0

2

− dx1

2

2

+ dx3

− dx2

2

− dx3

2

2

= c2 (dt) − dx1

2

− dx2

2

− dx3

2

é nulo sempre que 2

c2 (dt) = dx1

2

+ dx2

2

,

que é a equação que representa a frente de uma onda que se desloca com velocidade c. No espaço-tempo de Minkowski, esta equação demarca o cone de luz, ou seja, a região na qual todos os corpos com velocidade c se deslocam. Todos os pontos no cone de luz estão a uma distância nula com relação à métrica de Minkowski.

12

1.6

A partícula livre relativística

Ação ˆ

s1

S = −mc

ds,

ds2 = ηµν dxµ dxν .

(1.28)

s0

Variações δxµ = x ¯ µ − xµ ,

δxµ (s0 ) = δxµ (s1 ) = 0.

Primeira variação da ação ˆ s1 ˆ δS = −mcδ ds = −mc s0

(1.29)

s1

(1.30)

δds.

s0

De (1.28), temos δ ds2 = δ (ηµν dxµ dxν ) = δηµν dxµ dxν + ηµν δ (dxµ ) dxν + ηµν dxµ δ (dxν ) δηµν dxµ dxν + 2ηµν dxµ δ (dxν ) dxµ dxµ dxν 2 (ds) + 2ηµν dsδ (dxν ) = δηµν ds ds ds 2 = δηµν uµ uν (ds) + 2ηµν uµ dsδ (dxν ) . =

uµ = dxµ /ds,

Por outro lado, δ ds2 = 2dsδ (ds) , assim, 2

2dsδ (ds) = δηµν uµ uν (ds) + 2ηµν uµ dsδ (dxν ) , que torna-se δ (ds) =

1 δηµν uµ uν ds + ηµν uµ δ (dxν ) , 2

(1.31)

Com δdxµ = d¯ xµ − dxµ = d (¯ xµ − xµ ) = d (δxµ ) e integrando por partes, δ (ds)

= = =

1 δηµν uµ uν ds + ηµν uµ δ (dxν ) 2 1 δηµν uµ uν ds + ηµν uµ d (δxν ) 2 1 δηµν uµ uν ds − d (ηµν uµ ) δxν + d (ηµν uµ δxν ) . 2

(1.32)

O termo de diferencial total será nulo quando na integral (1.30), pois torna-se um temo de fronteira ˆ s1 s d (ηµν uµ δxν ) = ηµν uµ δxν |s10 = 0, s0

devido a (1.29). Assim, δ (ds)

= = =

1 δηµν uµ uν ds − d (ηµν uµ ) δxν 2 1 δηµν uµ uν ds − dηµν uµ δxν − ηµν duµ δxν 2 1 duµ δηµν uµ uν ds − dηµν uµ δxν − ηµν dsδxν . 2 ds

13

(1.33)

Temos δηµν =

∂ηµν α δx , ∂xα

∂ηµν α dx . ∂xα

dηµν =

(1.34)

Assim, δ (ds)

∂ηµν α µ ν duµ 1 ∂ηµν µ ν α u dx u dsδx − u δx − η dsδxν µν 2 ∂xα ∂xα ds ∂ηµν α µ duµ 1 ∂ηµν µ ν α ν u u dsδx − u u dsδx − η = dsδxν µν 2 ∂xα ∂xα ds 1 ∂ηµν µ ν ∂ηµα ν µ duµ α α = u u dsδx − u u dsδx − η dsδxα µα α ν 2 ∂x ∂x ds duµ 1 ∂ηµν µ ν ∂ηµα µ ν u u u − u − η dsδxα . = µα 2 ∂xα ∂xν ds =

(1.35)

Vamos simetrizar o termo 1 ∂ηµα µ ν 1 ∂ηνα µ ν ∂ηµα µ ν u u = u u + u u . ∂xν 2 ∂xν 2 ∂xµ Assim, 1 ∂ηµν µ ν 1 ∂ηµα µ ν 1 ∂ηνα µ ν duµ u u − u u − u u − η dsδxα µα 2 ∂xα 2 ∂xν 2 ∂xµ ds 1 ∂ηµα ∂ηνα ∂ηµν duµ µ ν + + − = − ηµα u u dsδxα . ds 2 ∂xν ∂xµ ∂xα

δ (ds)

=

(1.36)

Vamos definir os símbolos de Christoffel do primeiro tipo: 1 ∂ηµα ∂ηνα ∂ηµν γαµν ≡ + − . 2 ∂xν ∂xµ ∂xα Assim, duµ µ ν + γαµν u u dsδxα . δ (ds) = − ηµα ds Com (1.37) em (1.30), ˆ ˆ s1 δS = −mc δds = mc s0

s1

s0

(1.37)

duµ µ ν ds ηµα + γαµν u u δxα . ds

(1.38)

A condição de extremo δS = 0 resulta em mcηµα

duµ + mcγαµν uµ uν = 0. ds

Com a métrica inversa à esquerda, temos µ duµ λα λα µ ν λ du λα µ ν 0 = mc η ηαµ + η γαµν u u = δµ + η γαµν u u ds ds λ du = mc + η λα γαµν uµ uν . ds Vamos definir os símbolos de Christoffel do segundo tipo 1 µλ ∂ηαλ ∂ηβλ ∂ηαβ µ µλ Γ αβ ≡ η γλαβ = η + − . 2 ∂xβ ∂xα ∂xλ

(1.39)

Então, temos como resultado a equação geodésica mcaµ + mcΓµαβ uα uβ = 0,

aµ = duµ /ds = d2 xµ /ds2 .

14

(1.40)

Capítulo 2

Transformações infinitesimais Transformações infinitesimais em Rn

2.1

Vamos supor um espaço euclidiano de n dimensões Rn com um sistema de coordenadas xi . A forma mais geral de uma transformação contínua em Rn é definida por um conjunto de m + 1 parâmetros (, λa ), em que a = 1, · · · , m. Com estes, definimos as transformações nas coordenadas e no tempo, t → t¯ = t¯() ,

xi → x ¯i (t¯, λa ) = x ¯i (, λa ) ,

(2.1)

com as seguintes condições: 1. As funções t¯() e x ¯i (, λa ) devem ser analíticas nas variáveis independentes. 2. As transformações devem ser conexas à identidade, ou seja, (, λa ) → 0

=⇒

t¯ → t e x ¯i (t¯) → xi (t) .

(2.2)

Se as variáveis transformadas são analíticas, podem ser expandidas em séries de Taylor: dt¯ + O 2 , (2.3a) t¯ = t + d =0 d¯ xi d¯ xi x ¯ i = xi + + λa + O 2 , λ2 . (2.3b) a d ,λ=0 dλ ,λ=0 Considerando apenas termos de primeira ordem, temos dt¯ t¯ = t + , d =0 d¯ xi dt¯ d¯ xi x ¯ i = xi + + λa dt¯ d ,λ=0 dλa ,λ=0 ¯ d¯ xi i i dt = x + x˙ + λa d dλa =0

(2.4a) (2.4b) (2.4c)

,λ=0

Nestas, definimos d¯ xi dt¯ i ¯ , δx ≡ δt ≡ λa . d =0 dλa ,λ=0

(2.5)

Assim, ¯ i. x ¯i = xi + x˙ i δt + δx

(2.6) 15

Neste caso, vemos que a forma final da transformação é dada por ¯ i + δt δxi = δx

dxi , dt

(2.7)

com x ¯i = xi + δxi ,

t¯ = t + δt.

(2.8)

Portanto, transformações contínuas infinitesimais possuem a mesma forma analítica de primeiras variações. Neste caso, variações que dependem de um conjunto de parâmetros contínuos.

2.2

Evolução temporal

Vamos supor a transformação t¯ = t + δt,

(2.9)

mas que nenhuma transformação seja definida em q i . Ainda assim, (2.9) implica em x ¯i = xi + δtx˙ i ,

(2.10)

ou seja, δxi = δtx˙ i .

(2.11)

Se δt = dt, então temos dt = t¯ − t e δxi = dtx˙ i = dxi , que determina a evolução temporal dos pontos em Rn em função do tempo. Desejamos estudar as propriedades de composição de evoluções temporais. Primeiro, da equação (2.10) temos d d i i i i i x ¯ = x + δtx˙ = x + δt x = 1 + δt xi . (2.12) dt dt Assim, podemos realizar uma evolução temporal ao atuar o operador diferencial gt ≡ 1 + δt

d dt

(2.13)

em xi , ou seja, x ¯i = gt xi .

(2.14)

Sejam gt1 e gt2 dois operadores de evolução temporal. Notemos que 1. A composição de duas evoluções temporais é uma evolução temporal: xi (t0 ) → xi (t1 ) → xi (t2 ) = gt2 xi (t1 ) = gt2 gt1 xi (t0 ) d d d d = 1 + δt2 1 + δt1 xi (t0 ) = xi (t0 ) + δt1 xi (t0 ) + δt2 xi (t0 ) dt dt dt dt d d i +δt2 δt1 x (t0 ) . dt dt O último termo é quadrático em δt, portanto ficamos apenas com os primeiros termos xi2 = xi0 + δt1

d i d x + δt2 xi0 = xi0 + (δt1 + δt2 ) x˙ i0 = xi0 + δtx˙ i0 , dt 0 dt

em que δt = δt1 + δt2 . 16

(2.15)

2. A ordem da composição não altera o resultado final: gt2 gt1 q i = gt1 gt2 q i

=⇒

(2.16)

[gt1 , gt2 ] = 0.

3. A composição de k evoluções temporais é dada por Gt =

k Y

k

gtp = (gt ) =

p=1

k d 1 + δt , dt

quando todos os δt0 s forem iguais. No limite para k → ∞, temos Gt = lim

k→∞

∆t d 1+ k dt

k

d = exp ∆t , dt

∆t = t − t0 .

(2.17)

Neste caso, dizemos que gt é membro de uma álgebra de Lie, enquanto Gt é membro de um grupo de Lie. Este processo é conhecido como exponenciação da álgebra da evolução temporal, e dá origem a uma transformação finita, com ∆t finito, e não infinitesimal. Gt é simplesmente o operador que carrega a evolução temporal de um tempo t0 a t. Em função de (2.16), a álgebra é dita abeliana, ou comutativa. No argumento da exponencial, há o campo vetorial Xt =

d = q˙i ∂i , dt

(2.18)

que acompanha o termo ∆t. Na forma infinitesimal, temos gt = 1 + δtXt = 1 + δtq˙i ∂i = 1 + δq i ∂i .

(2.19)

O campo vetorial Xt é denominado gerador da evolução temporal.

2.3

Translações

Vamos supor a transformação xi (t) → x ¯i (t) = xi (t) + ai ,

ai ∈ R.

(2.20)

Esta operação é chamada translação, pois translada um ponto a outro de Rn a tempo constante. Neste caso, δt = 0,

δxi = ai .

(2.21)

Duas translações resultam em uma translação, ou seja, xi → x ¯ i = xi + a i → x ei = x ¯i + bi = xi + ai + bi = q i + ci , em que ci = ai + bi . Portanto, translações também formam um grupo. A natureza do grupo é a mesma da evolução temporal: a ordem da composição não altera a translação total. Dizemos que um grupo cuja ordem da composição não importa é um grupo abeliano. O operador infinitesimal que carrega a operação de translação pode ser deduzido pela igualdade ∂ ∂xi x ¯i = xi + ai = xi + aj j = 1 + aj j xi , ∂x ∂x

17

ou seja, gx ≡ 1 + ai

∂ ∂ = 1 + δxi i , ∂xi ∂x

(2.22)

que tem a mesma forma da evolução temporal, exceto que neste caso, δxi = ai . O operador gx é um elemento da álgebra de translações, que também é abeliana, ou seja, [gx1 , gx2 ] = 0. A composição de k translações iguais resulta em

i

x ¯ =

∂ 1 + δx ∂xj j

k

xi ,

que no limite k → ∞ torna-se

i

x ¯ = lim

k→∞

∆xj ∂ 1+ k ∂xj

k

j ∂ x = exp ∆x xi = Gx xi , ∂xj i

(2.23)

em que

∂ Gx = exp ∆x ∂xj j

(2.24)

é o elemento do grupo de translações. Os operadores diferenciais Pi ≡

∂ ∂xi

(2.25)

são os geradores de translações, denominados momentos conjugados.

2.4

Rotações

O grupo de rotações, por ser um exemplo não abeliano, merece uma atenção especial. Toda rotação pode ser descrita pela relação x ¯i = Rij xj ,

(2.26)

em que R é uma matriz ortogonal n × n de determinante 1. O grupo de rotações em n dimensões é chamado SO (n), o grupo ortogonal especial, que é isomórfico ao espaço das matrizes ortogonais de determinante unitário. É uma propriedade das transformações ortogonais a preservação da norma de vetores e da métrica de Rn . Vamos tomar o exemplo tridimensional, em que consideraremos primeiro uma rotação ˆ com ângulo θ. A matriz desta transformação é dada por passiva no eixo z   cos θ − sin θ 0 Rz (θ) =  sin θ cos θ 0  . (2.27) 0 0 1 Para θ 1, podemos aproximar esta matriz pela sua forma infinitesimal de primeira ordem       1 −θ 0 1 0 0 0 −θ 0 rz (θ) =  θ 1 0  =  0 1 0  +  θ 0 0  ≡ 1 + θJ z , (2.28) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 em que 

0 Jz ≡  1 0

−1 0 0

 0 0 . 0

(2.29)

18

Nos outros eixos, temos rx (θ) = 1 + θJ x ,

(2.30)

ry (θ) = 1 + θJ y ,

em que 

0 Jx ≡  0 0

0 0 1

 0 −1  , 0



0 Jy ≡  0 −1

 0 1 0 0 . 0 0

(2.31)

As matrizes J a são os geradores de rotações em três dimensões. Uma rotação geral em três dimensões contém três parâmetros independentes, que podem ser colecionados em um vetor θ ≡ (θ1 , θ2 , θ3 ). Na forma infinitesimal, temos r (θ) = 1 + θ · J = 1 + θa J a = 1 + θ1 J 1 + θ2 J 2 + θ3 J 3 . Dizemos que o objeto 

0 W = θa J a =  θ3 −θ2

−θ3 0 θ1

 θ2 −θ1  , 0

(2.32)

(2.33)

é um elemento da álgebra de Lie de SO (3), denotado pelo símbolo so (3). A identidade 1, em conjunto com os geradores J a , formam uma base para a álgebra so (3). A relação de comutação de so (3) é facilmente calculada por [J a , J b ] = abc J c ,

(2.34)

o que caracteriza a álgebra como não abeliana. A exponenciação da álgebra é direta, dada por R (θa ) = exp [−θa J a ] .

(2.35)

Agora, vamos definir p θ ≡ θ 2 = |θ| , u ≡ θ/ |θ| .

(2.36)

A forma geral de um elemento do grupo é dada por   c + (1 − c) u1 u1 (1 − c) u1 u2 − su3 (1 − c) u1 u3 − su2 c + (1 − c) u2 u2 (1 − c) u2 u3 − su1  , R =  (1 − c) u1 u2 − su3 (1 − c) u1 u3 − su2 (1 − c) u2 u3 − su1 c + (1 − c) u3 u3

(2.37)

em que c ≡ cos θ,

s ≡ sin θ.

(2.38)

Em componentes, temos Rij = δji − ijk uk sin θ + ui uj − δji (1 − cos θ) Vamos atuar a matriz R no vetor u: Rij uj = δji − ijk uk sin θ + ui uj − δji (1 − cos θ) uj = δji uj − ijk uk uj sin θ + ui uj uj − δji uj (1 − cos θ) = ui − ijk uk uj sin θ + ui uj uj − δji uj (1 − cos θ) = ui + u2 − 1 ui (1 − cos θ) = (1) ui , ou seja, u é um autovetor de R cujo autovalor é 1. Este é o denominado eixo de rotação. 19

(2.39)

Quando atua em um vetor posição x, temos Rij xj

= xi − ijk uk xj sin θ + ui uj xj − xi (1 − cos θ) = xi − ijk uk xj sin θ + ui uj xj − ui uj xj cos θ − xi + xi cos θ = −ijk uk xj sin θ + ui uj xj − ui uj xj cos θ + xi cos θ i = (u × x) sin θ + ui (u · x) + xi − ui (u · x) cos θ.

Nesta equação, i xk ≡ ui (u · x) é a componente de x paralela a u e i x⊥ ≡ xi − ui (u · x) é sua componente ortogonal. Assim, Rx = xk + x⊥ cos θ + (u × x) sin θ. Agora, vamos voltar ao espaço Rn . Uma rotação finita é descrita por x ¯i = Rij xj , enquanto a infinitesimal tem forma ¯i 1 ∂x δω ab , x ¯ (ω) = x + δx (ω) = x + 2 ∂ω ab ω=0 i

i

i

i

(2.40)

em que ω ab são as componentes de uma matriz n × n antissimétrica, com m = n2 − n /2 componentes independentes. Dizemos que m é o número de parâmetros independentes necessários para parametrizar a transformação infinitesimal, que deve ter a forma x ¯i (ω) = xi + δω ij xj .

(2.41)

Neste caso, 1 ∂x ¯i 1 ∂x ¯i ab δx = δω = xj δω ab , 2 ∂ω ab ω=0 2 ∂ω ab ∂xj ω=0 i

considerando linearidade em x ¯.

Assim, definimos i (Jab ) j

∂x ¯i ≡ , ∂ω ab ∂xj ω=0

(2.42)

de modo que 1 1 ∂x ¯i i j ab xj δω ab = xj δω ij . (Jab ) j x δω = 2 2 ∂ω ab ∂xj ω=0

(2.43)

A solução para a equação anterior é dada por i

(Jab ) j ≡ δaj δbi − δbj δai .

(2.44)

A relação destes objetos com os geradores Ja é dada por i

(Ja ) j =

1 bc i (Jbc ) j , 2 a

(2.45)

e, assim, (Ja )ij = −aij .

(2.46)

Dizemos que os geradores na forma (2.46) estão na representação adjunta do grupo de rotações, pois são representados por matrizes que possuem a mesma dimensão do grupo. 20

Capítulo 3

A geometria de Minkowski 3.1

Vetores e covetores de Lorentz

Agora, vamos considerar um espaço-tempo de Minkowski M4 com um sistema de coordenadas cartesiano {xµ }. Como vimos, este espaço é caracterizado pela métrica ds2 = ηµν dxµ dxν = dx0

2

− dx1

2

− dx2

2

− dx3

2

.

(3.1)

Uma transformação de Lorentz é dada por uma matriz Λ na forma x ¯ = Λx

←→

x ¯µ = Λµν xν .

(3.2)

A métrica deve ser preservada por transformações de Lorentz.

Definição 1. Um vetor de Lorentz, ou vetor de Lorentz contravariante, consiste em um objeto u = uµ ∂µ = uµ (∂/∂xµ ) invariante por transformações de Lorentz, ou seja, x ¯ = Λx =⇒ u ¯ (¯ x) = u (x) .

Note que, dado (3.2), ∂µ =

∂ ∂x ¯ν ∂ ∂ ν = = Λ = Λνµ ∂¯ν . µ µ ν ∂x ∂x ∂ x ¯ ∂x ¯ν µ

Se a matriz Λ tem uma inversa Λ−1 , então multiplicamos a expressão anterior por Λ−1 : µ µ µ Λ−1 λ ∂µ = Λ−1 λ Λνµ ∂¯ν = Λνµ Λ−1 λ ∂¯ν = δλν ∂¯ν , ou seja, ∂¯µ = Λ−1

ν µ

(3.3)

∂ν .

Aplicando-se a invariância em u, temos u = uµ ∂µ = uµ Λνµ ∂¯ν = u ¯ν ∂¯ν . Portanto, u ¯µ = Λµν uν .

(3.4) 21

Assim, se um vetor u = uµ ∂µ é invariante de Lorentz, suas componentes se transformam com a mesma forma do sistema de coordenadas. Dizemos que componentes de vetores que se transformam como (3.4) transformam-se contravariantemente. A métrica (3.1) naturalmente implica em uma métrica para os vetores de Lorentz, de modo que o produto escalar é dado por u · v = ηµν uµ v ν .

(3.5)

Se a métrica é invariante, este produto também o é. Neste caso, u · v = u ¯ · v¯ e u ¯ · v¯ = η¯µν u ¯µ u ¯ν = η¯µν Λµα uα Λνβ uβ = η¯µν Λµα Λνβ uα uβ = ηαβ uα uβ . Assim, ηαβ = Λµα η¯µν Λνβ = ΛT

µ α

η¯µν Λνβ

e η¯µν =

Λ−1

T α µ

ηαβ Λ−1

β ν

(3.6)

.

Em notação matricial, η¯ = Λ−1

T

η Λ−1 .

(3.7)

Definição 2. Todo vetor de Lorentz u possui um dual uT , denominado covetor, ou vetor de Lorentz covariante. Este objeto é um funcional linear, ou seja, age em vetores e resulta em um escalar real tendo como regra o produto escalar, de modo que uT [u] ≡ u2 = ηµν uµ uν .

(3.8)

A regra (3.8) define um isomorfismo entre vetores e covetores, de modo que uma base {∂µ } de vetores induz uma base para os covetores. Esta base é naturalmente tomada como as diferenciais {dxµ }, e toda 1-forma α pode ser escrita como α = αµ dxµ . Cada elemento da base é um covetor que, ao agir sobre um elemento da base de vetores, resulta na operação dxµ [∂ν ] = δ µν .

(3.9)

Portanto, a ação de um covetor α em um vetor u é dada por α [u] = αµ dxµ [uν ∂ν ] = αµ uν dxµ [∂ν ] = αµ uν δνµ = αµ uµ . Da mesma forma, uT [u] = uµ dxµ [uν ∂ν ] = uµ uν dxµ [∂ν ] = uµ uµ = ηµν uµ uν . Então, uµ = ηµν uν ,

(3.10)

ou seja, a métrica é a matriz jacobiana do isomorfismo entre vetores e covetores. Dizemos assim que a métrica "baixa" índices de componentes de vetores e os transforma em componentes de covetores.

22

Seja η −1 a inversa da matriz métrica, de modo que suas componentes sejam dadas por η µν , de modo que η µλ ηλν = δνµ . Podemos mostrar que uµ = η µν uν ,

(3.11)

ou seja, a métrica inversa "levanta" índices de componentes de covetores, transformando-os em componentes contravariantes. Covetores também são invariantes por transformações de Lorentz, ou seja, x ¯ = Λx =⇒ α ¯ (¯ x) = α (x) . Então, u ¯T [¯ u] = u ¯µ u ¯µ = u ¯µ Λµν uν = uν uν , de modo que uν = u ¯µ Λµν , ou, ν u ¯µ = uν Λ−1 µ .

(3.12)

Assim, componentes de covetores se transformam com a inversa da transformação. Dizemos que esta transformação é covariante.

3.2

Tensores

Definição 3. Um tensor do tipo (p, q) é um objeto geométrico invariante de Lorentz com a forma p vezes

T =

µν···λ Tαβ···γ

z }| { (∂µ ∂ν · · · ∂λ ) dxα dxβ · · · dxγ . | {z }

(3.13)

q vezes

As leis de transformação das componentes de base são dadas por ν ∂¯µ = Λ−1 µ ∂ν , trans. covariante, d¯ xµ = Λµν dxµ , trans. contravariante. Portanto, p trans. contravariantes

T¯τδ···ρ ψ···φ

α β γ µν···λ = Λ−1 τ Λ−1 ψ · · · Λ−1 φ Tαβ···γ | {z }

z }| { Λδµ Λν · · · Λρλ

.

(3.14)

q trans. covariantes

Por exemplo, a métrica é um tensor do tipo (0, 2) ds2 = ηµν dxµ dxν . Então, suas componentes se transformam por η¯µν = Λ−1

α µ

Λ−1

β ν

ηαβ .

23

3.3

Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincaré

A invariância do produto escalar resulta na expressão µ ηαβ = Λµα η¯µν Λνβ = ΛT α η¯µν Λνβ . Se η é a métrica de Minkowski, temos α δβα = Λµα δνµ Λνβ = Λµα Λµβ = ΛT µ Λµβ , ou seja, ΛT Λ = 1 ⇐⇒ Λ−1 = ΛT .

(3.15)

Portanto, transformações de Lorentz são ortogonais. Tomando-se o determinante de (3.15), obtemos 2 det ΛT Λ = 1 =⇒ (det Λ) = 1, ou seja, det Λ = ±1.

(3.16)

Definição 4. O grupo de Lorentz é definido pelo conjunto de transformações lineares ortogonais que preserva a métrica de Minkowski.

O sinal do determinante define se a transformação é conexa à identidade ou à antiidentidade. Por enquanto, estamos interessados em transformação conexas à identidade, pois elas deixam invariante a orientação do sistema de coordenadas local {xµ }. A dimensão deste conjunto de transformações é 4 (quatro), de modo que este é isomórfico ao conjunto das matrizes ortogonais 4 × 4 de determinante unitário. Este conjunto forma um grupo com a operação de multiplicação matricial, denominado SO (1, 3). O grupo de Lorentz SO (1, 3) é, portanto, o grupo de pseudo-rotações em M4 . A denominação entre parênteses caracteriza o fato de que um elemento do grupo é uma pseudo-rotação: (1, 3) indica que a direção temporal x0 é diferente das 3 direções espaciais. Neste caso, dizemos que SO (1, 3) é um grupo pseudo-ortogonal, e é obviamente distinto do grupo de rotações em quatro dimensões SO (4). Este último consiste no grupo que deixa invariante uma métrica euclidiana em R4 . O grupo de Poincaré é o grupo que inclui pseudo-rotações e translações e, como vimos, constitui um grupo de dimensão 5. É possível mostrar que um espaço invariante por um grupo ortogonal também é invariante pelo seu respectivo grupo inomogêneo, que inclui translações. Este grupo também é chamado grupo de Lorentz inomogêneo ISO (1, 3).

3.4

Álgebra de Lorentz

Vamos nos ater ao grupo de Lorentz por enquanto. Este grupo é um grupo de Lie, ou seja, possui uma estrutura diferenciável. Na prática, isto significa que toda transformação de Lorentz pode ser "expandida em série de Taylor" ao redor da identidade do grupo: ∂Λ 1 ∂ 2 Λ a Λ = 1 + a δ + δa δb + · · · , ∂ =0 2 ∂a ∂b =0 em que a é um conjunto de parâmetros linearmente independentes que caracteriza uma representação do grupo. Se o grupo age em vetores e covetores, por exemplo, estes parâmetros 24

serão em número seis, mas podem ser colocados sob a forma de uma matriz 4×4 antissimétrica de traço nulo. Se tomarmos a expansão até o termo de ordem 1, temos ∂Λ a (3.17) gΛ ≡ 1 + a δ = 1 + a Ja . ∂ Esta é a forma geral de um elemento da álgebra de Lie de SO (1, 3), que denominados a álgebra so (1, 3). Ja formam um conjunto de operadores também linearmente independentes, que são os geradores da álgebra. A forma explícita de Ja depende do objeto geométrico no qual o grupo atua, portanto, de sua representação. Por enquanto, vamos supor que Λ seja uma matriz real. Se o grupo é ortogonal, temos T

ΛT Λ = 1 =⇒ (gΛ ) gΛ = 1. Assim, 1 = (1 + a Ja )

T

T 1 + b Jb = 1 + a Ja + (a Ja ) ,

ou seja, T

a Ja = − (a Ja ) . Se a são parâmetros reais, temos Ja = −JaT ,

(3.18)

ou seja, os operadores Ja são antissimétricos. Por outro lado, é fácil verificar que se det Λ = 1, det Ja = 0. Por outro lado, consideremos W = a Ja . Temos η¯ = ΛT ηΛ = 1 + W T η (1 + W ) , que resulta em η¯ = η + ηW + W T η em primeira ordem. Se Λ preserva a métrica, η¯ = η e então, ηW + W T η = 0, ou W T = −ηW η −1 .

(3.19)

Vamos tomar o traço desta expressão: trW T = tr −ηW η −1 = −tr ηW η −1 = −tr η −1 ηW = −trW. Contudo, trW T = trW , então devemos ter que trW = 0. Portanto, cada elemento do grupo de Lorentz SO (1, 3) é conectado a um elemento da álgebra so (1, 3), que formam o conjunto das matrizes antissimétricas de traço nulo com base no espaço de Minkowski. A relação álgebra-grupo de Lie se dá através da operação de exponenciação da álgebra: Se W é um elemento genérico da álgebra de Lie, seu respectivo elemento de grupo é dado por (3.20)

Λ = exp (W ) .

25

3.5

A representação adjunta

Uma representação pode ser compreendida intuitivamente como uma realização de um grupo abstrato através de um grupo matricial. Quando atuamos um elemento do grupo de Lorentz em um vetor de Lorentz, por exemplo, os geradores J são realizados por um conjunto de µ matrizes Jab de elementos (Jab ) ν , com a, b = 1, 2, 3, 4. Neste caso, um elemento da álgebra é dado por gΛ = 1 + ω ab Jab ,

(3.21)

em que ω ab forma uma matriz antissimétrica de traço nulo nos índices ab. Eles são, portanto, seis parâmetros independentes. O grupo SO (1, 3) é um subgrupo de GL (1, 3), ou seja, é um subgrupo de todas as matrizes 4 × 4 de determinante não nulo. O grupo GL (1, 3) forma um espaço vetorial, cuja base mais simples consiste no conjunto de matrizes µ

(∆ab ) ν = δaµ ηbν . Por exemplo,  ∆11

1  0  = 0 0

0 0 0 0

(3.22)

0 0 0 0

  0 0  0   , ∆12 =  0  0 0  0 0

−1 0 0 0

  0 0 0  0 0   , ∆13 =  0  0 0 0  0 0 0

0 0 0 0

−1 0 0 0

 0 0  , ··· . 0  0

Toda matriz de GL (1, 3) pode ser escrita por A = Aab ∆ab .

(3.23)

Esta base, denominada base canônica, é completa e linearmente independente. De fato, nesta base uma matriz tem componentes iguais ao seus elementos, ou seja, Aab = Aµν . Vamos tomar a multiplicação matricial ∆ab ∆dc µ

λ

µ

(∆ab ) λ (∆cd ) ν = δaµ ηbλ δcλ ηdν = ηbc δaµ δdν = ηbc (∆ad ) ν . O colchete de Lie é dado por h i µ λ µ λ µ λ (∆ab ) λ , (∆cd ) ν = (∆ab ) λ (∆cd ) ν − (∆cd ) λ (∆ab ) ν , que resulta em h i h i µ λ µ (∆ab ) λ , (∆cd ) ν = δae ηbc δdf − δce ηda δbf (∆ef ) ν . Portanto, a álgebra é caracterizada pelos colchetes (ef )

[∆ab , ∆cd ] = C(ab)(cd)

(3.24)

∆ef ,

com constantes de estrutura (ef )

C(ab)(cd)

= δae ηbc δdf − δce ηda δbf .

(3.25)

Portanto, de (3.24) vemos que gl (1, 3) é uma álgebra de Lie não abeliana. Note que as matrizes Jab = ∆ab − ∆ba

(3.26)

são antissimétricas, possuem traço nulo e são linearmente independentes. Neste caso, elas formam uma base para um subespaço de matrizes: são os geradores da álgebra so (1, 3). Suas componentes são dadas por µ

(Jab ) ν = δaµ ηbν − δbµ ηaν .

(3.27) 26

Note que [Jab , Jcd ]

[∆ab − ∆ba , ∆cd − ∆dc ] = [∆ab , ∆cd ] − [∆ab , ∆dc ] − [∆ba , ∆cd ] + [∆ba , ∆dc ] (ef ) (ef ) (ef ) (ef ) = C(ab)(cd) − C(ab)(dc) − C(ba)(cd) + C(ba)(dc) ∆ef δae ηbc δdf − δce ηda δbf − δae ηbd δcf + δde ηca δbf ∆ef + −δbe ηac δdf + δce ηdb δaf + δbe ηad δcf − δde ηcb δaf ∆ef = δae ηbc δdf − δde ηcb δaf + δbe ηad δcf − δce ηda δbf ∆ef + +δde ηca δbf − δbe ηac δdf + δce ηdb δaf − δae ηbd δcf ∆ef = δae ηbc δdf − δaf ηbc δde ∆ef + δbe ηad δcf − δce ηda δbf ∆ef + δde ηca δbf − δbe ηac δdf ∆ef + δce ηdb δaf − δae ηbd δcf ∆ef =

= δae ηbc δdf (∆ef − ∆f e ) + δbe ηad δcf (∆ef − ∆f e ) +δde ηca δbf (∆ef − ∆f e ) + δce ηdb δaf (∆ef − ∆f e ) . Com (3.26) temos [Jab , Jcd ]

δae ηbc δdf + δbe ηad δcf + δde ηca δbf + δce ηdb δaf Jef = δbe ηad δcf + δae ηbc δdf − δae ηbd δcf − δbe ηac δdf Jef =

(ef )

= f(ab)(cd)

(3.28)

Jef ,

em que as constantes de estrutura são (ef )

f(ab)(cd)

= δbe ηad δcf + δae ηbc δdf − δae ηbd δcf − δbe ηac δdf .

(3.29)

Em forma explícita, temos a álgebra [Jab , Jcd ] = ηad Jbc + ηbc Jad − ηdb Jac − ηac Jbd .

(3.30)

Definição 5. A realização de uma álgebra e seu respectivo grupo de Lie abstratos como uma álgebra e grupo de Lie matricial é denominada representação.

Definição 6. A representação na qual os geradores da álgebra possuem a mesma dimensão dos elementos do grupo é denominada representação adjunta.

Neste caso, os geradores Jab , definidos por (3.26) e (3.27), da álgebra de pseudo-rotações em quatro dimensões são os geradores da representação adjunta deste grupo. A representação adjunta também é chamada, em física, de representação vetorial, porque esta representação realiza o grupo de pseudo-rotações em vetores de M4 .

27

3.6

Invariantes

Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial com uma base completa {Ja }, o conjunto de geradores da álgebra. Neste caso, podemos definir um produto interno. Sejam dois elementos A = Aa Ja e B = B a Ja da álgebra, temos 1 a b A B + Ab B a tr (Ja Jb ) ≡ γab Aa B b . A · B ≡ tr Aa B b Ja Jb = 2

(3.31)

Nesta expressão, µ

µ

ν

tr (Ja Jb ) = (Ja Jb ) µ = (Ja ) ν (Jb ) µ . Os objetos γab ≡

1 tr (Ja Jb ) 2

(3.32)

são componentes da denominada métrica de Killing. Se a métrica de Killing tem sinal definido e é não degenerada, ela define um bom produto interno. Neste caso, uma álgebra de Lie é também um espaço de Hilbert. Elementos do grupo de Lie podem agir em elementos da álgebra. Por exemplo, uma rotação em R3 age sobre um gerador Ja na forma Ja −→ R−1 Ja R. Neste caso, tr (Ja Jb ) −→ tr R−1 Ja RR−1 Jb R = tr R−1 Ja Jb R = tr RR−1 Ja Jb = tr (Ja Jb ) , ou seja, a métrica de Killing é invariante por rotações: R−1 γab R = γab .

(3.33)

Tratando-se de transformações infinitesimais, R = 1 + ω a Ja , R−1 γR = 1 + ω a JTa γ 1 + ω b Jb = γ + ω a γJa + ω a JTa γ + ω a ω b JTa γJb ≈ γ + ω a γJa + JTa γ = γ, portanto, γJa + JTa γ = γJa − Ja γ = [γ, Ja ] = 0.

(3.34)

A métrica de Killing, então, comuta com os geradores. Neste caso, todo escalar construído com a métrica de Killing é um invariante. Contudo, em um sistema dinâmico de dimensão finita, somente um número finito desses invariantes são linearmente independentes. No caso de rotações em três dimensões, há apenas um invariante J 2 = γab Ja Jb ,

(3.35)

que é o quadrado do momento angular. Este tipo de invariante é denominado invariante de Casimir da álgebra. Para cada representação do grupo de rotações, o problema de autovalores J 2 uj = αj uj indica um espectro de autovalores de J 2 . Como J 2 é um invariante, o espectro também é invariante. No caso do momento angular, é sempre possível escrever J 2 uj = j (j + 1) uj .

(3.36) 28

Neste caso, dizemos que j é o spin da representação. É fácil verificar para o grupo de rotações que, na representação adjunta, j = 1 quando os autovetores são vetores euclidianos. Para grupos de álgebras de Lie mais gerais, é possível encontrar outros invariantes de Casimir, cada um deles uma forma multilinear invariante, como (3.35). O número maximal de invariantes independentes é denominado rank da álgebra de Lie. O grupo de rotações tem rank 1: apenas J 2 é invariante. Em uma determinada representação, os autovalores desses operadores de Casimir também são invariantes pela ação do grupo, portanto o espectro é invariante. O resultado é que uma representação é completamente determinada pelos espectros dos operadores de Casimir do grupo, então as quantidades físicas relevantes quando há uma simetria sob determinado grupo de Lie são dadas pelos objetos geométricos que são autovetores simultâneos dos operadores de Casimir.

29

Capítulo 4

O formalismo lagrangiano para campos 4.1

Introdução

Agora, vamos nos voltar à análise do problema variacional de se encontrar condições necessárias e suficientes para que uma dada integral fundamental tome um valor extremo (máximo ou mínimo) local. Este problema variacional é comum em diversas áreas da física e da matemática que compartilham de quantidades geométricas que assumam, por requerimentos físicos ou puramente matemáticos, um valor máximo ou mínimo. Por exemplo, o problema variacional que descreve fenômenos da ótica geométrica consiste em encontrar a trajetória do raio de luz para a qual o tempo de propagação seja mínimo (princípio de Fermat). A dinâmica de partículas relativísticas, como outro exemplo, refere-se ao problema de se encontrar trajetórias no espaço-tempo que maximizem o tempo próprio. Problemas variacionais na mecânica clássica [12, 13], disciplina na qual o cálculo variacional encontrou seu maior terreno de desenvolvimento, precisam ser definidos com base em espaços não tão facilmente intuídos. Um sistema físico neste cenário é descrito por uma trajetória em um espaço de configuração Qn formado por suas coordenadas generalizadas q a , em que a = 1, . . . , n e n indica a dimensão de Qn . Tal trajetória é definida pelas equações paramétricas γ : q a = q a (t) ,

(4.1)

em que t é um parâmetro relacionado univocamente com o tempo. O problema variacional consiste em encontrar condições necessárias e suficientes para que a integral fundamental ˆ t1 A [γ] ≡ L (t, q a , q˙a ) dt, (4.2) t0 a

em que q˙ ≡ dq a /dt, assuma um valor extremo sobre C, fornecida uma função Lagrangiana L que dependa do tempo, das coordenadas e de suas velocidades. Neste caso, precisamos que as funções q a (t) sejam pelo menos de classe C 2 . Este problema variacional recebe o nome de princípio de Hamilton quando a primeira variação das coordenadas generalizadas em t = t0 e t = t1 é nula. A aplicação direta do princípio de Hamilton leva às equações de Euler-Lagrange d ∂L ∂L − a = 0, dt ∂ q˙a ∂q

(4.3)

que são as equações diferenciais que ditam a dinâmica da teoria. O caráter do tempo como parâmetro de evolução nessas teorias é bastante especial. Em primeiro lugar, é um parâmetro de evolução único: a integral (4.2) é uma integral simples e as soluções das equações (4.3), se existirem, são famílias de curvas de 1-parâmetro que dependem de um conjunto de condições iniciais. Em segundo lugar, embora seja sempre possível 31

um processo de reparametrização, a integral fundamental não é independente da escolha do parâmetro. Por isso, as equações de Euler-Lagrange não são apenas equações que descrevem uma dada geometria no espaço de configuração, mas possuem também a interpretação de equações que caracterizam um sistema dinâmico finito. Por causa do papel especial do tempo, o formalismo Hamiltoniano pode ser naturalmente introduzido e a mecânica clássica pode ser analisada através do espaço de fase T ∗ Qn , onde as equações de movimento tomam a forma de um conjunto de equações de primeira ordem. No espaço de fase há a introdução de uma estrutura simplética natural, através da qual é possível conhecer a forma da evolução de qualquer observável físico sem a necessidade da resolução das equações de movimento. Além disso, as propriedades geométricas do espaço de fase permitem que o efeito de transformações sobre observáveis sejam imediatamente reconhecidos, independentemente da dinâmica específica da teoria. Dentre as transformações mais importantes estão as transformações canônicas, que preservam o elemento de volume do espaço de fase. A importância desse formalismo canônico para a física não pode ser subestimada, visto que a mesma estrutura formal está presente também na mecânica quântica. O cálculo variacional para a mecânica clássica envolve também os teoremas de Noether, que dizem respeito a identidades obedecidas quando a integral fundamental (4.2) é invariante por alguma classe de transformações, assim como o formalismo de Hamilton-Jacobi. O mesmo quadro para teorias de campos não pode ser traçado tão naturalmente. Como veremos, campos são sistemas que dependem de um conjunto de parâmetros, geralmente identificados com as coordenadas cartesianas do espaço-tempo. A integral fundamental que caracteriza o problema variacional, análoga à integral (4.2), é uma integral múltipla. Além disso, os sistemas em campos mais importantes na física são invariantes por reparametrizações. Essas características fazem desses sistemas essencialmente distintos dos sistemas clássicos, nos quais o tempo tem um papel privilegiado. Em especial, não há uma forma única de dinâmica Hamiltoniana e, tampouco, um único formalismo de Hamilton-Jacobi possível. Outro aspecto das teorias de campos mais importantes para a física são as simetrias de gauge, que são características de sistemas singulares.

4.2

Variações

Um campo pode ser descrito por um conjunto de n funções φi (x), em que x representa um ponto no espaço-tempo de 4 dimensões, localmente descrito por um sistema de coordenadas xµ = x0 , x1 , x2 , x3 em um dado volume Ω. Todas as nossas considerações serão restritas ao sistema contido nesse volume. O índice i varia de 1 a n. Vamos trabalhar em um espaço de configuração construído da seguinte forma. Os campos φ são coordenadas de uma variedade Qn de dimensão n. Em conjunto com essa variedade, definimos também um espaço para os parâmetros, R4 . O espaço de configuração vem a ser o produto direto definido por Q ≡ Qn ×R4 , de modo que o volume Ω, o qual será tratado também como o domínio dos campos φ, esteja imerso em Q. Vamos supor que os campos sejam funções de classe C ∞ , de modo que podemos definir todas as suas derivadas φiµ ≡

dφi ≡ ∂µ φi , dxµ

φiµν ≡ ∂µ ∂ν φi ,

....

(4.4)

Uma configuração φ dos campos é definida como os valores dos campos e de suas derivadas primeiras, ou velocidades, em cada ponto do espaço-tempo: φ : φi (x) , φiµ (x) , ∀ x ∈ R4 . (4.5) Consideremos, agora, a existência de uma densidade Lagrangiana L xµ , φi , φiµ , contendo derivadas dos campos até primeira ordem. Com essa densidade Lagrangiana definimos a ação ˆ A [φ] ≡ L xµ , φi , φiµ dω, (4.6) Ω

32

em que usamos a notação dω ≡ dx0 dx1 dx2 dx3 . Para definir o problema variacional, vamos considerar uma transformação ativa no espaço de configuração, que pode ser imaginada como um arraste suave dos campos e dos parâmetros. Existe uma configuração física φ (x), que será arrastada suavemente para uma configuração φ0 (y), de modo que a topologia e geometria do espaço de configuração e, consequentemente do espaço de Minkowski, seja preservada. Isto significa que não serão permitidas transformações que envolvam "colar" e "furar" o espaço-tempo, nem transformações que mudem a métrica de Minkowski. A configuração física φ (x) deve ser um extremo da integral fundamental. Para realizar esta transformação, vamos fazer da configuração φi um membro de uma família de configurações de 1-parâmetro, definida por φ (u) : φi = φi (xµ , u) ; φiµ = φiµ (xµ , u) ; · · · , (4.7) pelo menos de classe C 2 em u. Se uma dada configuração φ (u0 ) é um extremo da integral fundamental (4.6), correspondendo à configuração física do sistema, A (u0 ) deve ser menor (ou maior) que um valor A (u) calculado em uma configuração φ (u), pertencente a uma vizinhança fechada |u − u0 | de φ (u0 ). Supondo |u − u0 | um número muito pequeno, desprezando termos 2 de ordem maior ou igual a |u − u0 | , a expansão de φ (u) em série de Taylor ao redor da configuração φ (u0 ) pode ser escrita por dφi (xα , u) i α i α δu, (4.8) φ (x , u) ≈ φ (x , u0 ) + du u=u0 e assim também para as derivadas dos campos, em que δu ≡ u − u0 . Esta é a fórmula de primeira ordem para a comparação entre duas configurações φ (u0 ) e φ (u) para um conjunto fixo de parâmetros xµ . Ela nos permite definir a primeira variação dos campos a ponto fixo, dada pela expressão i ¯ i ≡ φi (xµ , u) − φi (xµ , u0 ) = dφ δφ δu. (4.9) du u=u0 A mesma expressão é válida para as derivadas. Por exemplo, temos a primeira variação de φaµ : dφiµ i i α i α ¯ δφµ ≡ φµ (x , u) − φµ (x , u0 ) = δu du u=u0 d dφi d ¯ i d2 φi δu = δu = µ δφ . = µ µ dx du u=u0 dx du u=u0 dx Na expressão acima, usamos a derivada total definida por ˆ d ∂ δ δ δ i i i ≡ + dω + φ (x) + φ (x) + · · · . φ (x) x µα µνα α dxα ∂xα δφi (x) δφiµ (x) δφiµν (x) Ω

(4.10)

A integral que aparece na expressão acima atende ao fato de que campos são, de forma rigorosa, tratados como distribuições do espaço-tempo: as derivadas com relação aos campos são derivadas funcionais e não simples derivadas parciais. Por essa razão usamos o símbolo δF (x) /δφ (y) para caracterizar a derivada funcional de uma função F (x), aplicada em um ponto x do volume Ω, com relação a uma função φ (y), aplicada em um ponto y do mesmo domínio. A relação mais fundamental vem a ser δφi (x) = δji δ 4 (x − y) , δφj (y)

(4.11)

em que temos a delta de Dirac de dimensão 4: ( ˆ 0 se x 6= y, 4 δ (x − y) = , δ 4 (x − y) d4 x = 1. ∞ se x = y. M4 33

(4.12)

No geral podemos ignorar a escrita das integrais, de modo a não sobrecarregar a notação, o que faremos em boa parte do trabalho. Contudo, quando somas em derivadas funcionais aparecem, integrais geralmente as acompanham e devemos ficar atentos a este fato. Por exemplo, usaremos repetidamente expressões do tipo φiµ δL/δφi , com L sendo a densidade Lagrangiana, que devem ser lidas como ˆ δL (y) i . (4.13) dωx φµ (x) i δφ (x) Ω A primeira variação (4.9), portanto, é o termo de primeira ordem da comparação entre duas configurações infinitesimalmente próximas, mantendo fixos o conjunto de parâmetros xµ e, portanto, o domínio Ω. Podemos generalizar este argumento e considerar também a comparação com configurações que variem os parâmetros. Basta considerarmos 0i µ φ0 (u) : φ0i = φ0i (y µ , u) ; φ0i (4.14) µ = φµ (y , u) , em que os parâmetros y µ representam coordenadas de um volume Ω0 do espaço-tempo. Podemos escolher esta configuração de modo que y µ = xµ para u = u0 e, assim, ambos os conjuntos estão relacionados pela equação dy µ µ µ ν µ δu, (4.15) y = y (x , u) ≈ y + du u=u0 em que, por último, tomamos a expansão até primeira ordem em δu. Com a variação dos parâmetros, temos a primeira variação total dφi (y µ , u) dφi (y µ , u) dy β φ0i (y µ , u) ≈ φi (y µ , u0 ) + δu + δu du dy β du u=u0 u=u0 ¯ i + φa = φi (xµ , u0 ) + δφ δxβ , β u=u0

ou seja, ¯ i + φi δxβ , δφi ≡ δφ β

(4.16)

em que dy β δx ≡ δu. du u=u0 β

4.3

(4.17)

A primeira variação da ação

Vamos escrever a integral fundamental para a configuração φ (u0 ): ˆ A (u0 ) = L xµ , φi , φaµ dω,

(4.18)

Ω

assim como para a configuração φ0 (u): ˆ 0 A (u) = L y µ , φ0a , φ0a µ dω ,

(4.19)

Ω0

em que dω 0 ≡ dy 0 dy 1 . . . dy d . A primeira variação total da ação é definida por dA (u) δA ≡ A (u) − A (u0 ) ≈ δu. du u=u0

(4.20)

O operador δ ≡ δu

d du

(4.21) 34

é um operador diferencial de primeira ordem, que obedece às propriedades de uma derivada ordinária: é linear e obedece à regra de Leibniz. Neste caso, vamos calcular ˆ ˆ δA = δ L xµ , φi , φaµ dω = (δLdω + Lδdω) . (4.22) Ω

Ω

A variação total atua sobre o elemento de volume na seguinte forma: µ µ dy dy 0 δ (dω) = dω − dω = det dω − dω = det − 1 dω. dxν dxν Note que y µ = xµ + δxµ , então d (δxµ ) dy µ µ = δ + . ν dxν dxν O determinante é dado por  d(δx0 ) 1 + dx0  µ  d(δx1 ) dy  0 det = det  d(dx δx2 )  dxν  dx0 d(δx3 ) dx0

1

d(δx0 ) dx1 d(δx1 ) + dx1 d(δx2 ) dx1 d(δx3 ) dx1

1

d(δx0 ) dx2 d(δx1 ) dx2 d(δx2 ) + dx2 d(δx3 ) dx2

1

d(δx0 ) dx3 d(δx1 ) dx3 d(δx2 ) dx3 d(δx3 ) + dx3

    .  

É fácil verificar que, em primeira ordem, o determinante é aproximado por µ dy d (δxµ ) det = 1 + . dxν dxµ

(4.23)

Então, d (δxµ ) d (δxµ ) − 1 dω = dω. δ (dω) = 1 + dxµ dxµ

(4.24)

Na integral, temos ˆ ˆ d (δxµ ) δA = (δLdω + Lδdω) = δL + L dω. dxµ Ω Ω Note que L

d dL d (δxµ ) = µ (Lδxµ ) − δxµ µ , µ dx dx dx

e, neste caso, ˆ

d µ µ dL dω δA = δL + µ (Lδx ) − δx dx dxµ Ω ˆ ˆ dL d = δL − δxµ µ dω + dω µ (Lδxµ ) , dx dx Ω Ω ou, ˆ

ˆ ¯ δLdω +

δA = Ω

dω Ω

d (Lδxµ ) , dxµ

(4.25)

em que ¯ = δL − δxµ dL . δL dxµ

(4.26)

35

Primeiro, vamos calcular δL = δu

dL δL δL ∂L = δxµ µ + δφi i + δφiµ i . du ∂x δφ δφµ

(4.27)

Por outro lado, dL δx = δxµ dxµ µ

∂L δL δL + φiµ i + φiµν i µ ∂x δφ δφν

,

(4.28)

de modo que dL ¯ δL = δL − δxµ µ dx ∂L µ ∂L i δL i δL µ i δL i δL = δx + δφ + δφµ i − δx + φµ i + φµν i ∂xµ δφi δφµ ∂xµ δφ δφν δL δL = δφi − δxµ φiµ + δφiµ − δxµ φiµν , δφi δφiν ou, ¯ δL =

δ − δxµ

d dxµ

φi

δL δL µ d + δ − δx φiν i δφi dxµ δφν

¯ i δL + δφ ¯ i δL . = δφ µ δφi δφiµ

(4.29)

Vamos calcular agora a variação ¯ i = δφi − δxν φi . δφ µ µ νµ

(4.30)

Primeiro, δφiµ

dφi dφi dxν dφ0i dφi dφ0i = µ − µ = µ ν − µ µ dx dy dx dy dx dx 0i i ν dφ dx dφ − µ. dy µ dxν dx

= δ =

Note que xµ = y µ − δxµ . Portanto, δφiµ

0i d dφi ν ν dφ (y − δx ) − dy µ dxν dxµ 0i ν d (δx ) dφ dφi dφ0i d (δxν ) dφ0i dφi = δµν − − = − − dy µ dxν dxµ dxµ dy µ dxν dxµ ν 0i d (δx ) dφ d φ0i − φi − = dxµ dy µ dxν i 0i 2 0i d δφ d ν dφ ν d φ − δx + δx . = dxµ dy µ dxν dy µ dxν

=

Em primeira ordem, δφiµ

= = =

i d δφi d d 2 φi ν dφ − δx + δxν µ ν µ µ ν dx dx dx dx dx d δφi − δxν φiν + δxν φiνµ dxµ d ¯ i δφ + δxν φiνµ , dxµ

(4.31)

que resulta em ¯ i = d δφ ¯ i + δxν φi − δxν φi = d δφ ¯ i . δφ µ νµ νµ µ µ dx dx 36

(4.32)

Temos ¯ ¯ i δL + δφ ¯ i δL = δφ ¯ i δL + d δφ ¯ i δL δL = δφ µ i i i µ δφ δφµ δφ dx δφiµ ¯ i δL . ¯ i δL − d δL + d δφ = δφ δφi dxµ δφiµ dxµ δφiµ Na integral,

(4.33)

ˆ

ˆ d ¯ δLdω + dω µ (Lδxµ ) dx Ω ˆ ˆΩ d δL d δL µ i δL i ¯ ¯ − µ i dω + . = dω µ Lδx + δφ δφ δφi dx δφµ dx δφiµ Ω Ω

δA =

(4.34)

Vamos deixar a primeira integral como está, mas desejamos escrever a segunda integral ¯ = δφ − δxµ φµ : como combinações lineares das variações totais dos campos. Vamos usar δφ ˆ ˆ d µ ν i δL i δL ¯ i δL − d δL dω + dω Lδx − δx φ + δφ δA = δφ ν δφi dxµ δφiµ dxµ δφiµ δφiµ Ω Ω ˆ ˆ d δL d i δL i δL i δL µ ν ¯ = δφ − µ dω + dω µ δφ − φν i − δν L δx . δφi dx δφiµ dx δφiµ δφµ Ω Ω Vamos definir δL i φ − ηµν L, δφiµ ν

(4.35)

ˆ d µ ν i δL ¯ i δL − d δL dω + − H δx . dω δφ δφ ν δφi dxµ δφiµ dxµ δφiµ Ω Ω

(4.36)

Hµν ≡ assim, ˆ δA =

4.4

Os termos de fronteira

A integral ˆ d δL i µ ν dω µ δφ − H δx ν dx δφiµ Ω é uma integral de uma divergência total no volume Ω. Segundo o teorema de Gauss, a integral de um divergente de um campo vetorial em um volume Ω deve ser igual à integral da projeção ortogonal do mesmo campo vetorial na fronteira ∂Ω de Ω, ou seja, ˆ ˆ dF µ (x) dω = dσnµ (x) F µ (x) , dxµ Ω ∂Ω em que nµ (x) são componentes de um vetor unitário tangente a ∂Ω em determinado ponto x. Neste caso, ˆ ˆ δL i δL i d µ ν µ ν δφ − H ν δx = dσnµ δφ − H ν δx . (4.37) dω µ dx δφiµ δφiµ ∂Ω Ω Por esta razão, integrais de divergentes em um problema variacional são denominados termos de fronteira, já que eles dependem apenas das configurações e variações dos campos na fronteira de Ω. O campo vetorial relevante é dado por Φµ ≡

δL δφi − Hµν δxν , δφµi

(4.38)

37

e é uma combinação linear de δφ e δx. Os coeficientes são Hµν =

δL i φ − ηµν L, δφµi ν

(4.39)

que são as componentes de um objeto que recebe o nome de densidade de energia-momento. Há, também, os coeficientes πiµ ≡

δL , δφiµ

(4.40)

que são denominados momentos conjugados covariantes. Veremos mais adiante que essas quantidades são fundamentais na definição de quantidades conservadas e invariantes do problema variacional.

4.5

Os princípios de Hamilton e Weiss e as equações de campo

Um princípio físico é necessário para que se defina a configuração física dos campos. É usual, a princípio, a utilização do princípio de Hamilton:

Proposição 1. O Princípio de Hamilton para campos. Seja uma configuração de campos φ e uma integral fundamental, ou ação A, definida a partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, φ, φµ ). Considere, também, uma variação dos campos δφ que não modifique o volume Ω ⊂ M4 e seja nula na fronteira ∂Ω. Neste caso, φ é uma configuração física do sistema se a ação for estacionária quando calculada nesta configuração, em comparação com a ação calculada sobre qualquer outra configuração φ0 em uma vizinhança fechada de φ.

A condição necessária, mas não necessariamente suficiente, para que a ação seja estacionária é dada por δA = 0, ou seja, a primeira variação da ação tendo como base a configuração estacionária deve ser nula. Nas condições do princípio de Hamilton, a variação δφ deve ser tal que (4.41) δxµ = 0 e δφi (x) x∈∂Ω = 0. Neste caso, a primeira variação da ação, (4.36), toma a forma ˆ ˆ d δL d i δL δA = δφ − µ i dω + dω µ πiµ δφi , i δφ dx δφ dx Ω Ω µ visto que δ = δ¯ quando δx = 0. O termo de fronteira envolve o cálculo de δφ na fronteira de Ω, ˆ ˆ d dω µ πiµ δφi = dσx nµ (x) πiµ (x) δφi (x) x∈∂Ω , dx Ω ∂Ω que é nulo devido à segunda condição (4.41). Neste caso, ˆ d δL i δL δA = δφ − µ i dω. δφi dx δφµ Ω

(4.42)

38

O volume Ω é fixado a priori. Contudo, o procedimento acima deve ser válido para qualquer volume no qual o sistema de coordenadas cartesiano {xµ } seja válido e, também, no qual os campos sejam bem definidos. Sem perda de generalidade, podemos considerar Ω arbitrário. Além disso, as variações δφi devem ser linearmente independentes: a variação de um campo φi não pode depender da variação de uma campo φj para j 6= i. A condição de extremo δA = 0 implica em que a integral (4.42) seja nula. Se Ω é arbitrário e δφi são LI, o termo entre colchetes deve ser nulo, ou seja, d δL δL − µ i = 0. δφi dx δφµ

(4.43)

Essas são as equações de campo, são as equações de Euler-Lagrange da ação (4.6).

Observação 1. O princípio de Hamilton pode ser flexibilizado na condição de que δφ seja nulo na fronteira. Ainda mantendo Ω fixo, é suficiente que os momentos covariantes sejam tangentes a ∂Ω na fronteira, ou seja, nµ (x) πiµ (x)|x∈∂Ω = 0.

(4.44)

Isto implica na nulidade dos termos de fronteira e resulta nas mesmas equações de campo. Esta condição, contudo, restringe as configurações físicas àquelas que obedecem ao vínculo (4.44), que se torna uma condição de contorno.

Um segundo princípio é mais geral e permite variações no volume Ω:

Proposição 2. O Princípio de Weiss. Seja uma configuração de campos φ e uma integral fundamental, ou ação A, definida a partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, φ, φµ ). Sejam uma variação dos campos δφ = φ0 (y) − φ (x) e uma variação no volume δx = y − x, infinitesimais e arbitrários. Neste caso, φ (x) é uma configuração física do sistema se a primeira variação da ação depender apenas da fronteira de Ω.

O princípio de Weiss permite, portanto, variações arbitrárias no espaço de configuração, ou seja, permite todo arraste de campos que respeite a topologia e a geometria do espaço-tempo, ao contrário do princípio de Hamilton. Se a primeira variação só depende da fronteira, existe pelo menos um conjunto de funções F µ tais que ˆ ˆ dF µ δA = dω µ = dσ |nµ (x) F µ (x)|x∈∂Ω . dx Ω ∂Ω ¯ − δxµ φµ , de modo que Neste caso, δx 6= 0 e δφ = δφ ˆ ˆ ˆ d δL d dF µ i δL i δL µ ν ¯ δA = δφ − dω + dω δφ − H δx = dω . ν δφi dxµ δφiµ dxµ δφiµ dxµ Ω Ω Ω Para que δA não dependa do volume, temos a condição ˆ ¯ i δL − d δL dω = 0, δφ δφi dxµ δφiµ Ω 39

¯ i linearmente independentes. Neste caso, temos que deve ser respeitada com Ω arbitrário e δφ δL d δL − µ i = 0, i δφ dx δφµ que são as equações de campo (4.43) da ação. No princípio de Weiss, não se exige que os termos de fronteira sejam nulos. Contudo, dependendo do volume Ω em consideração, condições de contorno nos campos e nas velocidades talvez sejam necessárias para garantir a existência das integrais.

40

Capítulo 5

Os teoremas de Noether 5.1

Simetrias

Vamos supor uma transformação infinitesimal xµ → x ¯µ = xµ + δxµ ,

φi (x) → φ¯i (¯ x) = φi (x) + δφi .

(5.1)

Um funcional de ação A é denominado invariante sob estas transformações se a ação calculada nas novas variáveis, ˆ ¯ φ¯µ , A¯ φ¯ = d¯ ωL x ¯, φ, (5.2) ¯ Ω

for igual à ação calculada nas antigas variáveis ˆ A [φ] = dωL (x, φ, φµ ) ,

(5.3)

Ω

ou seja, A¯ = A.

(5.4)

A condição (5.4) pode ser escrita através da diferença finita ∆A = A¯ − A = 0.

(5.5)

Vamos supor que δxµ são funções analíticas de um conjunto de parâmetros aµ e que δφi são funções analíticas de um conjunto de m parâmetros λa , em que a toma os valores de 1 a m. Portanto, as transformações (5.1) fazem parte de uma classe de transformações contínuas. Além disso, temos a condição (aµ , λa ) → 0

=⇒

δx = δφ = 0

=⇒

x ¯µ = xµ , φ¯i = φi ,

(5.6)

para as quais dizemos que as transformações são conexas à identidade. Se as transformações são contínuas e conexas à identidade, podemos expandir A¯ em série de Taylor: 0 dA¯ dA¯ µ A¯ λa = A + a + λa + O λ2 . (5.7) µ a da a,λ=0 dλ a,λ=0 Colecionando apenas termos até primeira ordem, temos A¯ ≈ A + δA,

(5.8)

em que δA é uma primeira variação de A com relação às transformações (5.1), ou seja, ∆A ≈ δA,

(5.9) 41

em primeira ordem da aproximação de Taylor. Uma condição necessária para que ∆A seja nulo é, claramente, que δA seja nulo para as transformações (5.1). É claro que esta condição não é suficiente, de modo que podemos definir o que denominamos invariância fraca. A ação A é fracamente invariante sob as transformações (5.1) se δA = 0. De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma invariância, esta se refere a uma invariância fraca. Uma invariância forte, em que ∆A = 0 é, claramente, também uma invariância fraca. As transformações que deixam um funcional invariante são chamadas simetrias deste funcional. Simetrias contínuas e conexas à identidade, caracterizada pelos m + 4 parâmetros aµ e λa , podem ser explicitamente colocadas na forma d¯ xµ µ aν δx = daν a,λ=0 dφ¯i dφ¯i dφ¯i d¯ xν dφ¯i i µ a µ δφ = a + λ = a + λa daµ a,λ=0 dλa a,λ=0 d¯ xν daµ a,λ=0 dλa a,λ=0 ν dφ¯i i dx µ ¯ i, = φν a + λa = δxµ φiµ + δφ daµ a,λ=0 dλa a,λ=0 em que dφ¯i i ¯ δφ = λa . dλa a,λ=0 Nessas expressões, definimos dφ¯i d¯ xµ i , Υ ≡ , Γµν ≡ a daν a,λ=0 dλa a,λ=0

(5.10)

que são funções independentes dos parâmetros. Em resumo, δxµ = Γµν aν ,

5.2

¯ i = φi Γµ aν + Υi λa . δφi = φiµ δxµ + δφ µ ν a

(5.11)

A equação de Lie

A primeira variação de A sob uma transformação infinitesimal geral caracterizada pelas funções δxµ e δφi foi calculada em (4.36), resultando em ˆ ˆ δL d δL ¯ i d i δL µ ν δA = dω − δφ + dω δφ − H δx . (5.12) ν δφi dxµ δφiµ dxµ δφiµ Ω Ω Com as definições (5.11), ˆ δL d δL d µ i λ ν µ i i a a µ ν γ δA = dω − Υ λ + π φ Γ a + π Υ λ − H Γ a . a a ν γ i δφi dxµ δφiµ dxµ i λ ν Ω Se δA = 0 em um volume Ω arbitrário, então δL d δL d − Υia λa = − µ πiµ φiν − H µν Γνγ aγ + πiµ Υia λa . i µ i δφ dx δφµ dx Esta é a equação diferencial de Lie.

42

(5.13)

5.3

O primeiro teorema

Vamos separar, por conveniência, as transformações exclusivamente nos campos (δxµ = 0), das transformações exclusivamente no ponto do espaço-tempo (δφ = 0). No primeiro caso, temos δxµ = Γµν aν = 0, portanto tomaremos Γ = 0 em (5.13). Então, d δL d δL − µ i Υia λa = − µ πiµ Υia λa . i δφ dx δφµ dx Agora, vamos considerar os parâmetros λa independentes do ponto, ou seja, constantes em xµ . Neste caso, se λa são linearmente independentes, temos δL d δL d − µ i Υia = − µ πiµ Υia . (5.14) δφi dx δφµ dx Dizemos que essas são transformações internas globais. Internas, pois consistem em m transformações exclusivamente nos campos, sem mudança nas coordenadas de M4 . Globais, pois são transformações a parâmetros constantes, que não dependem do ponto do espaço-tempo. Com (5.14), podemos enunciar a forma matemática do primeiro teorema de Noether:

Teorema 1. Primeiro teorema de Noether (versão matemática). Para cada simetria da ação, existe uma combinação linear das equações de campo que é igual a uma divergência total.

Este teorema também vale no segundo caso, em que δφ = 0, consistindo em transformações ¯ i = −δxµ φi , resultando em Υi λa = exclusivamente no espaço-tempo. Neste caso, temos δφ a µ i µ ν −φµ Γ ν a . Então, (5.13) torna-se δL d δL d − (5.15) φiµ Γµγ = − µ H µν Γνγ , i µ i δφ dx δφµ dx com aµ constantes. Então, temos o caso em que quatro simetrias resultam em quatro combinações lineares das equações de Euler-Lagrange iguais a quatro divergências totais. Toda simetria global (com parâmetros constantes) pode ser separada em uma transformação interna e uma transformação no ponto, de modo que o caso misto não é de muito interesse. Simetrias internas possuem uma enorme relevância em teorias de campos, como por exemplo as transformações de gauge. Por outro lado, toda teoria de campo relativística é invariante pelo grupo de Poincaré, que consiste em translações e pseudo-rotações em M4 . Transformações de Poincaré são transformações globais no ponto, portanto. Outra versão do primeiro teorema de Noether pode ser formulada a partir da equação de Lie d δL ¯ i d δL − µ i δφ = − µ πiµ δφi − H µν δxν , (5.16) δφi dx δφµ dx agora escrita na forma geral. Note que, se as equações de campo são satisfeitas, δL d δL − µ i = 0, δφi dx δφµ a seguinte divergência é nula: dΦµ = 0, dxµ

Φµ ≡ πiµ δφi − H µν δxν .

(5.17) 43

No caso de transformações internas globais, temos Φµ = πiµ δφi = πiµ Υia λa , ou seja, dΦµ =0 dxµ

=⇒

d πiµ Υia = 0. µ dx

As funções Φµa ≡ πiµ Υia são denominadas correntes próprias, e as equações dΦµa =0 dxµ

(5.18)

são denominadas equações de continuidade. No caso de transformações no ponto, temos Φµ = −H µν δxν = −H µν Γνλ aλ , que resulta em dΦµ =0 dxµ

=⇒

d (H µν Γνλ ) = 0. dxµ

(5.19)

Neste caso, as correntes próprias são as funções Φµλ ≡ Hνµ Γνλ , que obedecem às equações de continuidade dΦµν /dxµ = 0.

Teorema 2. Primeiro teorema de Noether (versão física I). Para cada simetria da ação, existe uma equação de continuidade para um conjunto de correntes próprias.

Equações de continuidade aparecem em toda teoria física com simetrias. Por exemplo, considere as equações de Maxwell com fontes ∇·E=

ρ , ε0

∇ × B = µ0 j + µ0 ε0

∂E . ∂t

Derivando a primeira equação parcialmente no tempo e tomando o divergente da segunda, temos ∂E 1 ∂ρ ∂ (∇ · E) = ∇ · = , ∂t ∂t ε0 ∂t ∇ · ∇ × B = µ0 ∇ · j + µ0 ε0 ∇ ·

∂E = 0. ∂t

Portanto, a última equação resulta em ∇·j+

∂ρ = 0, ∂t

que é a equação de continuidade para a carga elétrica. Vamos introduzir a 4-corrente ρ ,j . jµ = c

44

Então, ∇·j+

∂j µ ∂ρ ∂j 0 ∂j 0 = = 0. =∇·j+c =∇·j+ 0 ∂t ∂t ∂x ∂xµ

A corrente j µ é um exemplo de corrente de Noether própria, como veremos no estudo do campo eletromagnético. Outro exemplo consiste na equação de Schrödinger i~

∂ψ ~2 2 =− ∇ ψ + V ψ. ∂t 2m

Seu complexo conjugado resulta em −i~

∂ψ ∗ ~2 2 ∗ =− ∇ ψ + V ψ∗ . ∂t 2m

Multiplicando a primeira equação por ψ ∗ e a segunda por ψ, temos ~2 ∗ 2 ∂ψ =− ψ ∇ ψ + V ψ ∗ ψ, ∂t 2m ∂ψ ∗ ~2 ∇2 ψ ∗ ψ + V ψ ∗ ψ. −i~ ψ=− ∂t 2m i~ψ ∗

Tomando a diferença, temos ∂ ~2 (ψ ∗ ψ) = − ∇ · [ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ] . ∂t 2m Definindo-se ρ = i~ψ ∗ ψ e j = ~2 /2m (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ), temos i~

∂ρ + ∇ · j = 0, ∂t que é também uma equação de continuidade, desta vez para a probabilidade de transição em mecânica quântica. Esta equação de continuidade também é resultante do primeiro teorema de Noether, desta vez para a mecânica quântica.

5.4

Cargas conservadas

Agora, podemos trabalhar de forma mais geral. Se a ação possui uma simetria global, existe uma corrente própria Φµa¯ , em que a ¯ = a para uma simetria interna e a ¯ = µ para uma simetria de ponto. A equação de continuidade é dada por dΦµa¯ = 0. dxµ

(5.20)

Esta é uma equação diferencial parcial nas coordenadas, portanto tem um caráter local. Com condições de contorno apropriadas, este tipo de equação também resulta em uma lei de conservação global. Primeiro, vamos supor um observador em repouso com relação à origem de um sistema de coordenadas cartesiano {xµ }. Seu tempo próprio é a coordenada x0 = ct, de modo que seu relógio mede um tempo t = x0 /c em seu referencial. Vamos supor, aqui, um sistema de unidades natural em que c = 1. Este observador faz experiências sobre um conjunto de campos φi (x) em seu laboratório, que tem volume V . Ele está interessado especialmente na integral da equação (5.20) em Ω, de modo que 0 ˆ t1 ˆ ˆ t1 ˆ ˆ µ dΦa¯ dΦka¯ dΦµa¯ ¯ 3 dΦa 3 dt d x µ = dt d x + , k = 1, 2, 3. I= dω µ = dx dx dx0 dxk t0 V t0 V Ω 45

Esta integral divide-se em duas: ˆ ˆ t1 ˆ ˆ t1 d ~ a¯ . I= dt d3 xΦ0a¯ + dt d3 xdiv Φ dt t0 V t0 V Na segunda integral, podemos usar o teorema de Gauss em três dimensões. Ela resulta em ˆ

t1

ˆ

~ a¯ d3 xdiv Φ

dt t0

ˆ

t1

ˆ dt

= t0

V

~ a¯ . d2 x n · Φ

A

Vamos supor que o observador expanda o volume ao infinito e, neste caso, ele supõe que as ~ a¯ vão a zero na fronteira de V . Portanto, a segunda integral é correntes tridimensionais Φ nula e ˆ t1 ˆ ˆ t1 ˆ ˆ t1 d 3 0 3 0 3 0 dt d d xΦa¯ = d xΦa¯ I= d xΦa¯ = . (5.21) dt t0 t0 V V V t0 Se (5.20) é satisfeita, I = 0, de modo que ˆ d d3 xΦ0a¯ = 0. dt V A quantidade ˆ Qa¯ (t) ≡ d3 xΦ0a¯ (x, t)

(5.22)

V

é chamada de carga de Noether, e é uma quantidade conservada no tempo, visto que dQa¯ = 0. dt

(5.23)

Teorema 3. Primeiro teorema de Noether (versão física II). 0 ~ ~ a¯ = 0 na fronteira de um volume tridimensional Seja Φa¯ = Φa¯ , Φa¯ tal que n · Φ V , em que n é um vetor unitário ortogonal à superfície definida ´ pela fronteira de V . Então, para cada simetria da ação, existe uma carga Qa¯ = V d3 xΦ0a¯ que é uma constante de movimento.

Portanto, simetrias implicam em cargas conservadas, que são constantes de movimento do ponto de vista de um observador inercial.

5.5

Translações e a conservação de energia e momento

Considere a transformação δxµ = aµ , com coeficientes aµ constantes. Esta operação representa uma translação no espaço-tempo. Neste caso, δxµ = Γµν aν = aµ

=⇒

Γµν = δνµ .

46

Essas transformações são efetuadas de modo que δφi = 0, pois campos relativísticos são naturalmente invariantes por translações. Então a equação de Lie torna-se δL d δL d − φiν δxν = − µ (H µν δxν ) , i µ i δφ dx δφµ dx que resulta em δL d δL d − φiν = − µ (H µν ) . δφi dxµ δφiµ dx Se as equações de campo são satisfeitas, d δL δL − µ i = 0, i δφ dx δφµ temos d (H µν ) = 0. dxµ

(5.24)

Portanto, existem quatro equações de continuidade para a densidade de energia-momento: ∂ 0 ~ ν = 0, H +∇·H ∂t ν

(5.25)

~ν . em que consideramos H µν = H 0ν , H Agora, é conveniente entendermos melhor o papel da densidade de energia-momento. Podemos obter uma definição formal abaixo.

Definição 7. Densidade de energia-momento canônica. Seja E o espaço vetorial dos vetores de Lorentz definidos em M4 e Φ o espaço de todas as funções escalares de Lorentz definidas em M4 . A densidade de energia-momento é um funcional bilinear T : E × E → Φ. Dado um sistema de coordenadas {xµ } e uma base de covetores dxµ , T tem a forma T = Hµν dxµ dxν , cujas componentes são dadas por Hµν ≡

δL i φ − ηµν L, δφiµ ν

(5.26)

em que L é uma densidade lagrangiana. Neste caso, T é um tensor do tipo (0, 2).

Considere agora um observador em um referencial inercial com 4-velocidade u = uµ ∂µ :

Definição 8. Densidade de energia. Seja u a 4-velocidade de um observador e T a densidade de energia-momento de um campo. A densidade de energia do campo ρ medida por este observador é definida pelo escalar ρ ≡ T (u, u) = Hµν uµ uν .

(5.27)

47

Supondo que o observador esteja em repouso com relação ao seu sistema de coordenadas local, temos u = (1, 0, 0, 0). Neste caso, ρ = Hµν uµ uν = H00 u0 u0 = H00 . Neste caso, o tempo medido por este observador é dado por t = x0 /c e, a tempo constante, podemos integrar esta expressão em um volume V tridimensional: ˆ ˆ ˆ δL i φ − L d3 x. ρ (x) d3 x = H00 (x) d3 x = δφi0 0 V V V Esta integral é precisamente a energia do campo no volume V , ou seja, ˆ H= H00 (x) d3 x

(5.28)

V

é a função hamiltoniana do campo. Neste caso, a energia é a integral no volume da componente H00 de T quando o observador encontra-se em repouso com relação ao seu próprio referencial. No caso mais geral, a energia é dada por ˆ H= Hµν (x) uµ uν dσ, (5.29) Σ

em que Σ é um volume tridimensional ortogonal à velocidade u.

Observação 2. O processo descrito acima é uma escolha de dinâmica relativística. Uma dinâmica relativística envolve a escolha de um eixo temporal, neste caso a velocidade u de um observador, de modo que seu tempo próprio seja o parâmetro de evolução temporal. Neste caso, o observador mede os campos não mais como funções no espaço-tempo, mas como funções do tempo t e das posições x de um espaço tridimensional Σt onde todos os pontos são definidos a t constante. Uma escolha de dinâmica relativística, portanto, decompõe o espaço-tempo em espaços tridimensionais Σt em cada tempo t. Os físicos chamam este processo de folheação do espaço-tempo, de modo que cada Σt é uma folha tridimensional a t constante. Quando t = x0 /c e Σt = R3 , esta dinâmica é denominada dinâmica instantânea. Existem, até o momento, cinco dinâmicas relativísticas não equivalentes.

Agora, vamos considerar um vetor τ unitário e ortogonal a u. Este vetor é claramente tangente a Σ, visto que u é ortogonal a Σ. De fato, podemos definir um conjunto de três vetores τk = (τ1 , τ2 , τ3 ) que formam uma base ortonormal de Σ. Cada vetor é um eixo ortonormal de Σ. Neste caso, Definição 9. Densidade de momento. Seja τ um vetor unitário ortogonal à velocidade u de um observador, e T a densidade de energia-momento de um campo. A densidade de momento do campo na direção de τ , pτ , medida por este observador é definida por pτ ≡ T (u, τ ) = Hµν uµ τ ν .

(5.30)

Na dinâmica instantânea, u = (1, 0, 0, 0). Seja τ1 = (0, 1, 0, 0). Neste caso, p1 = Hµν uµ τ ν = H01 u0 τ 1 = H01 .

48

Esta é a densidade de momento na direção x1 . Da mesma forma, p2 = H02 e p3 = H03 , de modo que pk = H0k ,

(5.31)

k = 1, 2, 3.

Integrando-se esta expressão, temos ˆ ˆ Pk ≡ pk (x) d3 x = Pk ≡ H0k (x) d3 x. V

(5.32)

V

Esta expressão define o momento total do campo em cada direção espacial. Por fim, definimos: Definição 10. Densidade de estresse. Seja τk uma base para Σ, tal que Σ seja ortogonal à velocidade u de um observador. Seja T a densidade de energia-momento de um campo. Considere também uma superfície gaussiana Γk ortogonal a cada τk em determinado ponto de Σ. O fluxo da componente m da densidade de momento através de uma superfície Γn é dado por τmn ≡ T (τm , τn ) = Hmn τ m τ n ,

(5.33)

e é denominado densidade de estresse do campo.

Na dinâmica instantânea, é imediato verificar que (5.34)

τmn = Hmn . Assim, quando u = (1, 0, 0, 0), temos   ρ p1 p2 p3  p1 τ11 τ12 τ13   Hµν =   p2 τ21 τ22 τ23  . p3 τ31 τ32 τ33

(5.35)

As componentes τ11 , τ22 e τ33 são denominadas densidades de estresses normais a cada direção. Quando são iguais, τkk (sem soma em k) é denominado densidade de pressão do campo. Integradas em Σ, (5.35) formam as componentes do tensor de estresse. Da mesma forma, as integrais ˆ Hµν (t, x) dσ (5.36) Tµν (t) ≡ Σt

são as componentes do denominado tensor energia-momento. Vamos voltar à discussão anterior. Vimos que a invariância da ação sob translações implica em que as equações de Euler-Lagrange resultam em uma equação de continuidade para a densidade de energia-momento. Neste caso, vamos escrever ∂ µ Hµν = 0,

(5.37)

que vem a ser a forma mais comum de notação. Dizemos que Hµν é uma quantidade conservada. Vamos trabalhar na dinâmica instantânea de agora em diante. Integrando (5.37) em Ω ⊂ M4 , temos ˆ ˆ ˆ µ 0= dω∂ Hµν = dt d3 x∂ µ Hµν Ω V ˆ ˆ = dt d3 x ∂ 0 H0ν + ∂ k Hkν , k = 1, 2, 3. V

49

Temos ˆ

ˆ

ˆ d3 x ∂ 0 H0ν + ∂ k Hkν =

dt V

dt

d dt

ˆ

d3 xH0ν

V

ˆ

+

d3 x∂ k Hkν = 0.

V

Vamos analisar apenas a equação para ν = 0. Assim, com H00 = ρ e Hk0 = H0k = pk , temos ˆ ˆ ˆ d 3 3 k dt d xρ (x) + d x∂ pk = 0. (5.38) dt V V Dentro dos colchetes, a segunda integral é um termo de fronteira em V : ˆ ˆ d3 x∂ k pk = d2 x nk (x) pk (x) , V

(5.39)

∂V

em que nk (x) são as componentes de um campo vetorial (em três dimensões) ortogonal a ∂V . Esta integral é o fluxo de momento do campo através da superfície ∂V . Nós vamos supor que o sistema é fechado, de modo que n · p = 0 em ∂V . Neste caso, a integral é nula e ficamos apenas com ˆ ˆ ˆ dH dH d 3 d xρ (x) = dt = 0 =⇒ = 0. (5.40) dt dt dt dt V ´ ´ Portanto, a hamiltoniana H = V d3 xρ (x) = V d3 xH00 é uma constante de movimento. Quando uma hamiltoniana é conservada, ela é relacionada com a energia do sistema. Portanto, invariância por translações (especificamente pela evolução temporal), resulta na conservação da energia do campo. As demais equações, para ν = k, resultam em ˆ ˆ ˆ d dt d3 xpk + d3 x∂ l τlk = 0, dt V V em que pk = H0k e τlk = Hlk , com l = 1, 2, 3. Mais uma vez, vamos supor que o sistema é fechado, de modo que o estresse do campo é tangente à superfície ∂V . Assim, ˆ ˆ d3 x∂ l τlk = dx nl (x) τlk (x) = 0 V

e

ˆ

∂V

d dt dt

ˆ

3

d xpk

= 0.

V

A equação acima implica em que os momentos Pk =

´ V

d3 xpk (x) são conservados, ou seja,

dPk = 0. dt

(5.41)

Então, translações (espaciais) implicam na conservação dos momentos lineares dos campos.

5.6

Rotações, momento angular e spin

Vamos analisar o que ocorre quando a ação é invariante por transformações de Lorentz, que vem a ser uma (pseudo)rotação global no espaço-tempo. Temos 1 µ y µ = Λµν xν ≈ 1xµ + ω µν xν = δνµ + i (Jab ) ν ω ab xν , (5.42) 2 em que ω ab = −ω ba e Jab são os geradores da álgebra so (1, 3) na representação adjunta, µ

(Jab ) ν = i (δaµ ηbν − δbµ ηaν ) ,

a, b, µ, ν = 0, 1, 2, 3. 50

(5.43)

Neste caso, δxµ =

1 µ i (Jab ) ν ω ab xν . 2

(5.44)

Uma rotação no espaço-tempo implica uma rotação nos campos. Vamos definir esta rotação ¯ i = 0, ou seja, apenas a transformação no ponto influencia na transformação de modo que δφ total dos campos. Assim, δφi = δxµ φiµ =

1 µ i (Jab ) ν ω ab xν φiµ , 2

(5.45)

de modo que a equação de Lie d δL ¯ i d δL i δL µ ν − µ i δφ = − µ δφ − H ν δx δφi dx δφµ dx δφiµ torna-se d dxµ

δL i δφ − H µν δxµ δφiµ

=

1 d i 2 dxµ

δL i ν µ ab λ φ − H (J ) ω x =0 ab ν λ δφiµ ν

¯ i = 0. Como ω ab são constantes, independentemente das equações de campo, visto que δφ temos δL i ν µ λ ∂µ φ − H ν (Jab ) λ x = 0. (5.46) δφiµ ν Com (5.43), temos δL ν 0 = ∂µ H µν (δaν ηbλ − δbν ηaλ ) xλ − i φiν (Jab ) λ xλ δφµ δL i ν µ λ µ = ∂µ (H a xb − H b xa ) − i φν (Jab ) λ x . δφµ Vamos definir dois objetos: Definição 11. Densidade de momento angular orbital. As componentes da densidade de momento angular orbital são definidas por `µab ≡ H µa xb − H µb xa .

(5.47)

Este momento angular é um vetor de Lorentz, mas também é uma matriz na álgebra de Lorentz. Todo campo que se transforma como uma representação do grupo de Lorentz possui momento angular orbital. O segundo objeto é dado por: Definição 12. Densidade de spin. µ Seja uma rotação infinitesimal δxµ = ω µν xν = (i/2) (Jab ) ν ω ab xν . Se os campos φi se transformam de modo que δφi =

1 µ i (Jab ) ν ω ab xν φiµ , 2

as componentes da densidade de spin dos campos são definidas por δL ∂ δφi δL ν µ sab ≡ − i = − i φiν (Jab ) λ xλ . ab δφµ ∂ω δφµ

51

(5.48)

Neste caso, a corrente de Noether conservada é dada pela densidade de momento angular total, cujas componentes são mµab ≡ `µab + sµab ,

(5.49)

que obedecem às equações de continuidade ∂µ mµab = 0.

(5.50)

Vamos integrar (5.50) em Ω, como temos feito usualmente: ˆ ˆ ˆ µ 0= dω∂µ mab = dt d3 x∂µ mµab V ˆΩ ˆ ˆ ˆ dMab 3 0 = dt d x ∂0 mab + ∂i miab + dt + d3 x∂i miab . dt V V Mais uma vez, vamos supor que o fluxo de momento angular em ∂V é nulo, anulando a última integral. A matriz ˆ Mab ≡ d3 xm0ab V

é a matriz de momento angular total. Então, a equação de continuidade implica em dMab = 0, (5.51) dt ou seja, o momento angular total dos campos é uma carga conservada. Portanto, o momento angular de um campo tem uma componente orbital e uma componente de spin, (5.52)

Mab = Lab + Sab , em que

ˆ

ˆ d3 x`0ab e Sab =

Lab = V

d3 xs0ab .

(5.53)

V

Embora não exista uma razão matemática, o fato é que ambos os momentos angulares são conservados separadamente em campos relativísticos. Note que, se ∂µ mµab = 0 e ∂µ H µν = 0, temos ∂µ sµab = −∂µ `µab = −∂µ (H µa xb − H µb xa ) = H µb ∂µ xa − H µa ∂µ xb = H µb ηµa − H µa ηµb = Hab − Hba ,

(5.54)

ou seja, a divergência da densidade de spin é igual à parte antissimétrica da densidade de energia momento. Se a densidade de energia-momento é simétrica, ∂µ sµab = 0 e, assim, ambas as componentes do momento angular são conservadas separadamente. Observação 3. No geral, as componentes da densidade de energia-momento Hµν =

δL i φ − ηµν L δφiµ ν

não são simétricas, ou seja, Hµν 6= Hνµ . Mas existe um procedimento de simetrização de Hµν , conhecido como procedimento de Belinfante, que consiste em acrescentar um termo de fronteira ao tensor energia-momento: 1 Tµν = Hµν + ∂λ sλµν + sλνµ − sνµλ . 2

(5.55)

Este tensor é chamado tensor de Belinfante-Rosenfeld e, usando (5.54), mostra-se que Tµν = Tνµ . A diferença entre Tµν e Hµν é um termo de divergência total e, assim, torna-se um termo de fronteira na ação, o que não altera as equações de campo. Neste caso, é sempre preferível o uso do tensor energia-momento simétrico sobre o canônico, visto que este garante a conservação da densidade de spin. 52

5.7

O segundo teorema

O segundo teorema de Noether diz respeito à invariância da ação sob transformações locais, ou seja, cujos parâmetros são funções de pontos do espaço-tempo. Vamos considerar uma transformação dependente de um conjunto de funções do ponto do espaço-tempo λa , tal que a = 1, · · · , m: ∂φi dλa i δxµ . (5.56) δφ = ∂λa dxµ λ=0 Esta transformação implica em ¯ i = δφi − δxµ φi , δφ µ

(5.57)

que resulta em i a ∂φ dλ i i ¯ − φµ δxµ , δφ = ∂λa dxµ λ=0

(5.58)

em que δxµ =

dy µ λa . dλa λ=0

Vamos definir as funções dy µ Aia ≡ φiµ e dλa λ=0

(5.59)

Baiµ ≡

∂φi δxµ , ∂λa λ=0

(5.60)

De forma que, δφi = Baiµ

a dλa i µ i a ¯ i = B iµ dλ − Ai λa . , φ δx = A λ , δφ µ a a a dxµ dxµ

(5.61)

A equação de Lie, a ¯ i + ∂µ δL B iµ dλ − H µ δxν = 0, (EL)i δφ ν δφiµ a dxµ em que (EL)i ≡

d δL δL − µ i δφi dx δφµ

(5.62)

são os lados esquerdos das equações de campo, torna-se (EL)i Baiµ ∂µ λa − Aia λa + ∂µ Φµ = 0,

(5.63)

com δL Φ ≡ i δφµ µ

a iµ dλ i a Ba − Aa λ + Lδxµ . dxµ

(5.64)

Podemos escrever esta equação como 0 = (EL)i Baiµ ∂µ λa − Aia λa + ∂µ Φµ = (EL)i Baiµ ∂µ λa − (EL)i Aia λa + ∂µ Φµ = ∂µ (EL)i Baiµ λa − ∂µ (EL)i Baiµ λa − (EL)i Aia λa + ∂µ Φµ = −∂µ (EL)i Baiµ λa − (EL)i Aia λa + ∂µ Φµ + (EL)i Baiµ λa .

53

Ou seja, ∂µ (EL)i Baiµ + (EL)i Aia λa − ∂µ Φµ + (EL)i Baiµ λa = 0.

(5.65)

Agora, vamos integrar esta equação em Ω: ˆ ˆ a iµ i ∂µ (EL)i Ba + (EL)i Aa λ dω − dω∂µ Φµ + (EL)i Baiµ λa = 0. Ω

Ω

Enquanto o primeiro teorema de Noether lida com o caso de parâmetros constantes, em que as transformações são globais e a invariância da ação é definida em todo o domínio Ω, a invariância da ação por transformações com parâmetros que dependem do espaço-tempo é local. A integral fundamental não só é invariante quando calculada num volume Ω, mas ¯ ⊂ Ω. Exceto em Ω, a integral também em qualquer sub-domínio Ω ˆ d¯ ω ∂µ Φµ + (EL)i Baiµ λa (5.66) ¯ Ω

¯ ⊂ Ω. Neste caso, temos deve ser nula em todo Ω ˆ δAΩ¯ = ∂µ (EL)i Baiµ + (EL)i Aia λa d¯ ω = 0. ¯ Ω

Com volume e parâmetros arbitrários, temos as relações ∂µ (EL)i Baiµ + (EL)i Aia = 0.

(5.67)

Estas são as chamadas identidades de Noether. Teorema 4. Segundo Teorema de Noether. Seja uma transformação total dos campos que dependa de um conjunto de n parâmetros λa (x), dependentes do ponto do espaço-tempo. Se a ação é invariante sob estas transformações, existem n identidades de Noether que envolvem combinações lineares das equações de Euler-Lagrange.

As identidades de Noether (5.67) podem ser colocadas na forma de uma equação de conservação covariante. Para tal, definimos as funções Gaiµ tais que Gaiµ Bbjν = δij δba δµν .

(5.68)

Assim, 0 = ∂µ (EL)i Baiµ + (EL)i Aia h i = ∂µ (EL)i Bbjν δνµ δji δab + (EL)i Ajb δab δji h i = ∂µ (EL)i Bbjν Gbjν Baiµ + (EL)i Ajb δab δji . Vamos multiplicar por G à direita: h i 0 = ∂µ (EL)i Bbjν Gbjν Baiµ Gckλ + (EL)i Aia Gckλ h i = ∂µ (EL)i Bbjν Gbjν δac δki δλµ + (EL)i Aia Gckλ h i = ∂λ (EL)k Bbjν Gbjν δac + (EL)i Aia Gckλ h i = ∂µ (EL)k Bbjν Gbjν δac + (EL)i Aia Gckµ .

54

Agora, vamos multiplicar por B à direita: h i 0 = ∂µ (EL)k Bbjν Gbjν δac Bdlλ + (EL)i Aia Gckµ Bdlλ h i = ∂µ (EL)k Bbjν δdb δjl δνλ δac + (EL)i Aia Gckµ Bdlλ = ∂µ (EL)i Bdlλ δki δac + (EL)i Bdlλ Aia Gckµ = δji δab ∂µ + Aia Gbjµ (EL)i Bckν . Vamos definir a derivada covariante ib

ib

(∇µ )ja ≡ δji δab ∂µ − (Γµ )ja ,

(5.69)

com os campos de conexão ib

(Γµ )ja ≡ −Aia Gbjµ .

(5.70)

Dessa forma, as identidades de Noether podem ser escritas por ib (∇µ )ja (EL)i Bckν = 0.

(5.71)

Essas identidades são independentes das equações de movimento e não dependem das condições de fronteira dos campos ou das variações do problema variacional. São válidas para qualquer configuração de campos, extremos ou não. Elas recebem o nome de leis de conservação impróprias: não são verdadeiramente leis de conservação. As quantidades jν Υjν ic ≡ (EL)i Bc

(5.72)

são chamadas correntes impróprias. Na fronteira de Ω, a integral (5.66) não pode ser levada a zero para transformações com forma geral. Assim, temos ˆ ˆ ∂µ (EL)i Baiµ + (EL)i Aia λa dω − dω∂µ Φµ + (EL)i Baiµ λa = 0. (5.73) Ω

Ω

em Ω. Para campos que são extremos do problema variacional, (EL)i = 0 e ˆ dω∂µ Φµ = 0,

(5.74)

Ω

com δL dxµ Baiν ∂ν λa − Aia λa + L a λa i δφµ dλ δL δL i dxµ a δL = i Baiν ∂ν λa − A + L λ = i Baiν ∂ν λa − Φµa λa , δφµ δφiµ a dλa δφµ

Φµ =

(5.75)

com Φµa ≡

δL i dxµ A + L . a δφiµ dλa

(5.76)

A equação (5.74) resulta em ∂µ Φµ = 0, de modo que Φµ é uma corrente própria. Portanto, δL iν δL iν µ a µ a a ∂µ Φ = ∂µ B ∂ν λ − Φa λ = ∂µ B ∂ν λ − ∂µ (Φµa λa ) δφiµ a δφiµ a δL iν δL iν a = ∂µ B ∂ν λ + B ∂µ ∂ν λa − ∂µ Φµa λa − Φµa ∂µ λa δφiµ a δφiµ a δL iν δL iν ν a = ∂µ B − Φ ∂ λ + B ∂µ ∂ν λa − (∂µ Φµa ) λa = 0 ν a δφiµ a δφiµ a 55

Vamos supor que λ e suas derivadas sejam independentes. Neste caso, ∂µ Φµa = 0, δL iν B , Φνa = ∂µ δφiµ a δL iν δL B + i Baiµ = 0. δφiµ a δφν

(5.77) (5.78) (5.79)

Portanto, na validade das equações de campo, temos um conjunto de correntes própria conservadas (5.77). Essas correntes, de acordo com (5.78), pode ser escrita como uma divergência ordinária de um tensor de segunda ordem que, ainda de acordo com (5.79), deve ser antissimétrico nos índices do espaço-tempo. Este conjunto de relações não é, obviamente, independente. Se a corrente é escrita como a divergência de um tensor antissimétrico, a lei de conservação (5.77) é automática, devido à simetria das derivadas. Se leis de conservação próprias são obedecidas, integrais de movimento podem ser encontradas com uma escolha de dinâmica relativística. Essas integrais são dadas pelas carga ˆ ˆ δL i0 δL iµ 1 B − B . d3 x∂µ Qa = d3 xΦ0a = 2 V δφiµ a δφi0 a V Com o teorema de Gauss-Ostrogradski, essa carga pode ser escrita por ˆ 1 δL iµ δL i0 Qa = d2 xnµ B B − 2 ∂V δφiµ a δφi0 a

(5.80)

como uma integral de 2 dimensões na fronteira de V .

5.8

Invariantes

Para começar, vamos tratar sobre os invariantes que encontramos no capítulo passado. Esses invariantes estão relacionados aos invariantes de Casimir da álgebra de Poincaré, que incluem rotações e translações em M4 . A simetria por translações implica na conservação da densidade de energia-momento Hµν ≡ πiµ φiν − ηµν L,

(5.81)

que obedece a uma equação de continuidade ∂ µ Hµν = 0. Na dinâmica instantânea, em que t = x0 /c, a conservação de Hµν implica na existência das constantes de movimento ˆ Pµ = d3 xH0µ (x) , (5.82) R3

em que P0 = E/c está relacionado à energia do sistema e Pk , com k = 1, 2, 3, são os momentos lineares dos campos. O invariante de Casimir relacionado a essas funções é o momento linear ao quadrado P 2 = Pµ P µ . Note que Pµ , como geradores da álgebra de translações, são operadores abstratos que atuam sobre os campos, de modo que (5.82) é uma realização analítica desses operadores. P 2 define um problema de autovalores Pµ P µ φ = m2 φ,

(5.83)

em que m é definido como o conteúdo de massa do campo φ. Se o campo é um campo clássico, dependente do ponto do espaço-tempo, ou seja, φ = φ (x), a realização dos momentos apropriada é dada por Pµ ≡ i∂µ , de modo que (5.83) torna-se a equação de Klein-Gordon-Fock + m2 φ (x) = 0,

(5.84) 56

em que ≡ ∂µ ∂ µ = ηµν ∂µ ∂ν = −P 2

(5.85)

é o operador D’Alambertiano. Todo campo relativístico obedece à equação de Klein-GordonFock por definição, já que tais campos são construídos como invariantes por translações. A invariância por rotações, por outro lado, implica na conservação do momento angular total, representado pela matriz (5.86)

Mµν = Lµν + Sµν ,

que tem uma componente orbital e uma componente de spin, como definidos em (5.53), (5.47) e (5.48). Neste caso, Pµ e Mµν são geradores da álgebra de Poincaré. Com (5.86) podemos construir o operador de Pauli-Lubanski i Wµ ≡ − εµνγλ M νγ P λ . 2

(5.87)

Definição 13. O tensor antissimétrico quadridimensional. Em quatro dimensões, podemos definir o tensor de componentes   para combinações cíclicas de (µνγλ) , 1 µνγλ ε = 0 se quaisquer dois índices forem iguais,   −1 para combinações anti-cíclicas de (µνγλ),

(5.88)

de modo que ε0123 = 1. Note que as componentes inversas εµνγλ = ηµα ηνβ ηγτ ηλσ εαβτ σ

(5.89)

obedecem à mesma regra, contudo, ε0123 = −1 devido à métrica de Minkowski.

O operador Wµ , obedece trivialmente à relação Wµ P µ = 0 e possui as seguintes relações de comutação com os geradores da álgebra: [Pµ , Wν ] = 0, [Mµν , Wγ ] = ηνγ Wµ − ηµγ Wν ,

(5.90)

além de [Wµ , Wν ] = εµνγλ W γ P λ .

(5.91)

A importância do operador de Pauli-Lubanski vem a ser o fato de que ele gera transformações de Lorentz que preservam os autovalores de massa do operador momento. Neste caso, ele pode ser utilizado, em conjunto com P 2 , para classificar campos relativísticos em termos de sua massa e spin. O quadrado deste operador, W 2 = Wµ W µ ,

(5.92)

é um invariante de Casimir da álgebra de Poincaré. Este esquema de classificação foi introduzido por Wigner [19]. Considere um campo livre φ com conteúdo de massa m diference de zero e energia E. Após quantizado, tal campo dará origem a estados de partículas de massa m. Como W 2 é um invariante de Poincaré, podemos calculá-lo escolhendo um referencial inercial. Vamos escolher um observador em repouso na origem, de modo que Pµ = (E/c = mc, 0, 0, 0) = P0 . Neste caso, i Wµ ≡ − mcε0µνγ M νγ . 2 57

Com as propriedades de ε, temos W0 = 0. Com k, m, n = 1, 2, 3, temos i Wk = − mcεkmn M mn = −mcJk , 2

(5.93)

em que Jk = (i/2) εkmn M mn são as componentes do momento angular tridimensional. Usamos a relação εkmn = ε0kmn . Neste caso, W 2 = m2 c2 J i Ji = −m2 c2 J2 ,

(5.94)

Em que J2 = ηmn Jm Jn = −δmn Jm Jn é o quadrado do momento angular total. Supondo um estado singleto, em que o momento orbital é nulo, temos W 2 = −m2 c2 S2 ,

(5.95)

em que S2 = Sk S k é o quadrado do spin (tridimensional) do campo. No geral, um estado fundamental de um campo quântico é um estado singleto, de modo que o estado de momento angular total resulta em seu estado de spin. Ao atuar em um estado singleto, temos S2 φ = s (s + 1) φ,

(5.96)

ou seja, as partículas de massa m podem ser classificadas por seus valores de spin s = 0, 1, 2, · · · , caso em que o campo é denominado bosônico, ou s = 1/2, 3/2, · · · , caso em que o campo é fermiônico. No caso não massivo, notemos que P 2 = 0 não implica em W 2 = 0. De fato, 1 Wµ W µ = − εµνγλ εµαβρ M νγ P λ M αβ P ρ = Mαγ P γ M αβ Pβ , 4 que pode ser calculado com uso da relação  τ δµ ηµα ηµβ ηµρ  δντ ηνα ηνβ ηνρ εµνγλ εταβρ = det   δγτ ηγα ηγβ ηγρ δλτ ηλα ηλβ ηλρ

(5.97)

  , 

(5.98)

válida para o tensor ε. Se P 2 = 0, temos E 2 = p2 c2 , em que p é o momento linear tridimensional docampo. Assim, p p2 , p e Pµ é um vetor tipo luz, ou seja, repousa sobre o cone de luz. Neste caso, Pµ = W0 Wk

i = − εkmn M km P n = −Jk pk = J · p, 2 i E = − εkνγλ M νγ P λ = − Jk + iεkmn M 0m P n . 2 c

(5.99a) (5.99b)

A equação 5.99b gera um conjunto de transformações que não preserva o spin do campo, portanto vamos descartá-la como alternativa para construção de um invariante. Por outro lado, W0 é denominado helicidade do campo quando L · p = 0: h ≡ S · p,

(5.100)

e é um invariante relativístico. Se o campo tem spin s, a helicidade tem autovalores (−s, −s + 1, · · · , 0, · · · , s − 1, s) .

58

Capítulo 6

O campo escalar 6.1

O campo escalar real

O campo relativístico mais simples é aquele cujas componentes são invariantes por transformações de Lorentz. Um campo escalar real é uma função φ (x) : M4 → R tal que x → x0 = Λx

=⇒

φ (x) → φ0 (x0 ) = φ (x) .

(6.1)

Obviamente, se φ não muda por rotações em M4 , isto implica em que o momento angular total do campo é nulo, ou seja, Lµν = 0 e Sµν = 0. Neste caso, um campo cujas componentes são invariantes de Lorentz tem spin zero. Se o campo tem conteúdo de massa m, temos que P 2 φ = m2 φ, o que na realização das posições Pµ = i∂µ resulta na equação de Klein-Gordon-Fock + m2 φ = 0. (6.2) A equação (6.2) é a única equação obedecida por φ, portanto, ela é considerada a equação de campo do campo escalar real. A densidade lagrangiana relacionada à equação (6.2) é dada por L=

1 ∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 , 2

(6.3)

que resulta em (6.2) através das equações de Lagrange δL δL − ∂µ = 0. δφ δ (∂µ φ)

(6.4)

A densidade de energia-momento é dada por δL ∂ν φ − ηµν ∂γ φ∂ γ φ − m2 φ2 µ δ (∂ φ) 1 = ∂µ φ∂ν φ − ηµν ∂γ φ∂ γ φ − m2 φ2 , 2

Hµν =

que já é simétrico. A função hamiltoniana na dinâmica instantânea é dada por ˆ ˆ 1 γ 2 2 3 3 H= d xH00 (x) = d x ∂0 φ∂0 φ − η00 ∂γ φ∂ φ − m φ 2 R3 R3 ˆ 1 ˙2 1 1 2 2 3 2 k ˙ = d x φ − φ − ∂k φ∂ φ + m φ 2 2 2 R3 ˆ 1 = d3 x φ˙ 2 + ∇φ · ∇φ + m2 φ2 , 2 R3 59

(6.5)

(6.6)

em que usamos a notação φ˙ = ∂0 φ. H é uma quantidade conservada no tempo e sempre positiva, portanto é igual ao seu conteúdo de energia. Por outro lado, ˆ ˆ 3 pk = d xH0k (x) = d3 x∂0 φ∂k φ. (6.7) R3

R3

ou seja, ˆ ˙ d3 xφ∇φ.

p=

(6.8)

R3

Uma maneira imediata de introduzir uma interação é permitir que o campo interaja consigo mesmo. No caso do campo escalar isto pode ser feito com termos do tipo λφn , em que n ≥ 3. Um modelo de grande interesse, pois resulta em uma teoria quântica autoconsistente, é dado pela densidade lagrangiana L=

λ 1 ∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 − φ4 , 2 4!

(6.9)

cuja equação de campo é dada por λ + m 2 φ = − φ3 . 3!

(6.10)

Sua densidade de energia-momento vem a ser 1 2λ 4 γ 2 2 φ . Hµν = ∂µ φ∂ν φ − ηµν ∂γ φ∂ φ − m φ − 2 4!

(6.11)

O termo φ4 modifica, portanto, o conteúdo de energia do campo. O conteúdo de momento, por outro lado, é igual ao do campo livre. Observação 4. Note que a transformação φ = −φ deixa a densidade lagrangiana (6.9) invariante, portanto, não altera a equação de campo (6.10). Esta transformação não é contínua, portanto, não deixa um invariante de Noether. Mas é um exemplo de simetria interna do campo escalar, neste caso denominada Z 2 . Vamos considerar V (φ) =

1 2 2 λ 4 m φ + φ , 2 4!

em analogia com o potencial em mecânica clássica. Se m é um parâmetro real, m2 > 0 e, assim, V tem um único mínimo em φ = 0. Por outro lado, se m é um número imaginário puro, m2 < 0 e, assim, V tem dois mínimos r 6 φ = ± − m2 λ e um máximo em φ = 0. Os mínimos do potencial estão relacionados com os estados de vácuo da teoria quântica, de modo que há um vácuo único para m2 > 0, mas há uma degenerescência para m2 < 0. No primeiro caso, o vácuo é invariante pela simetria Z 2 . No segundo caso, no entanto, os estados de vácuo não são mais invariantes. Dizemos, assim, que a simetria Z 2 sofre uma quebra, consistindo em um exemplo simples de quebra espontânea de simetria.

60

6.2

O campo escalar complexo

Um campo escalar complexo, por outro lado, é uma função φ (x) : M4 → C tal que x → x0 = Λx

=⇒

φ (x) → φ0 (x0 ) = φ (x) .

(6.12)

Novamente, este é um campo de spin zero. O campo complexo também obedece à equação de Klein-Gordon-Fock + m2 φ = 0, (6.13a) mas agora temos também a equação conjugada + m2 φ∗ = 0. A ação deste campo é dada por ˆ A= d4 x ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ .

(6.13b)

(6.14)

M4

Para variar, vamos encontrar as informações necessárias variando a ação com relação a um conjunto de transformações infinitesimais δφ, δφ∗ , δxµ . O resultado vem a ser ˆ δA = d4 x∂γ (∂ γ φ) δφ∗ + (∂ γ φ∗ ) δφ − ∂µ φ∗ ∂ γ φ + ∂ γ φ∗ ∂µ φ − δµγ ∂λ φ∗ ∂ λ φ − m2 φ∗ φ δxµ ˆ + d4 x + m2 φ (δxγ ∂γ − δ) φ∗ + + m2 φ∗ (δxγ ∂γ − δ) φ . (6.15) A segunda linha nos dá as equações de campo (6.13), segundo o princípio de Weiss. O termo de fronteira nos dá os momentos covariantes πγ∗ ≡ ∂γ φ,

π γ ≡ ∂ γ φ∗

(6.16)

conjugados à variáveis φ∗ e φ respectivamente. O coeficiente de δx é a densidade de energiamomento Hµν = πµ∗ πν + πν∗ πµ − ηµν πλ π ∗λ − m2 φ∗ φ . (6.17) Na dinâmica instantânea, temos a hamiltoniana ˆ H= d3 x π ∗ π + ∇φ · ∇φ∗ + m2 φ∗ φ ,

(6.18)

R3

˙ e os momentos lineares em que π = π0 = φ˙ ∗ e π ∗ = π0∗ = φ, ˆ ∗ pk = d3 x (π0 ∇φ) + (π0 ∇φ) .

(6.19)

R3

6.3

Simetrias internas

A simetria Z 2 também está presente no campo escalar complexo. Vamos tratá-la adequadamente mais adiante. Há uma simetria, contudo, que o campo real não apresenta. Considere a transformação global φ (x) → φ0 (x) = eiα φ (x) ,

φ∗ (x) → φ0∗ (x) = e−iα φ∗ (x) ,

(6.20)

em que α é um parâmetro real constante. Esta transformação claramente deixa invariante a ação (6.14). Esta é uma transformação interna, que não modifica o ponto do espaço-tempo. Para o primeiro teorema de Noether, consideramos as versões infinitesimais δφ (x, α) = iαφ (x) ,

δφ∗ (x, α) = −iαφ∗ (x) . 61

(6.21)

A equação de Lie δL d δL ¯ i i δL µ ν − µ i δφ = −∂µ δφ − H ν δx δφi dx δφµ δφiµ ¯ torna-se, com δx = 0 e δφ = δ φ, + m2 φδφ∗ + + m2 φ∗ δφ = −∂µ (δφ∗ ∂ µ φ + δφ∂ µ φ∗ ) . Neste caso, as equações de campo implicam na lei de conservação ∂µ (φ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ∗ ) = 0,

(6.22)

com o uso de (6.21). A carga conservada na dinâmica instantânea é dada por ˆ Q= d3 x φ∗ φ˙ − φ˙ ∗ φ .

(6.23)

R3

A simetria (6.20) é um exemplo de simetria de gauge global. Ela pertence ao grupo de transformações denominado U (1), que consiste em todas as transformações complexas unitárias cuja álgebra possui apenas um gerador, precisamente o número 1. Um membro de U (1) é representado simplesmente por um número complexo ω tal que ω ∗ ω = 1, que pode ser colocado na forma ω = eiα para algum α real. Portanto, a invariância global por U (1) resulta em uma carga conservada (6.23). Podemos tentar identificar Q como a carga elétrica do campo, mas esta identificação seria simplesmente incorreta. Um campo livre simplesmente não possui um conteúdo de carga que gere campos eletromagnéticos. A razão é que a invariância global não é suficiente para descrever a interação de φ com um campo eletromagnético, qualquer que seja a teoria que o descreva. A localização da simetria por U (1) deve ser implementada para que o conteúdo de carga elétrica tenha sentido físico.

6.4

Simetrias de gauge locais e interação

Vamos considerar, agora, as transformações φ (x) → φ0 (x) = eiα(x) φ (x) ,

φ∗ (x) → φ0∗ (x) = e−iα(x) φ∗ (x) ,

(6.24)

em que α (x) é um parâmetro real dependente do ponto. Esta é uma transformação de gauge local, ainda representada por um membro do grupo U (1). A diferença para o caso global está no fato de que cada ponto de M4 está ligado a um membro distinto de U (1). Esta transformação já não deixa invariante a ação (6.14). Note que a densidade lagrangiana L = ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ

(6.25)

transforma-se por L → L0 =∂µ e−iα(x) φ∗ ∂ µ eiα(x) φ − m2 φ∗ φ = (∂µ − iαµ ) φ∗ (∂ µ + iαµ ) φ − m2 φ∗ φ,

(6.26)

em que αµ = ∂µ α. O problema está nas derivada dos campos, que se transformam por ∂µ φ → ∂µ eiα φ = eiα (∂µ + iαµ ) φ, ∂µ φ∗ → ∂µ e−iα φ∗ = e−iα (∂µ − iαµ ) φ∗ . Ao impor a invariância local sobre a teoria, devemos encontrar uma lagrangiana invariante de gauge local. A maneira mais simples é introduzir uma conexão, denominado campo de gauge, de componentes Aµ , tal que Dµ ≡ ∂µ + iqAµ

(6.27) 62

pode ser definida como uma derivada covariante. Para que Dµ φ seja covariante, temos 0

Dµ0 φ0 = (∂µ φ) + iqA0µ φ0 =∂µ eiα φ + iqA0µ eiα φ =∂µ eiα φ + eiα ∂µ φ + ieiα qA0µ φ =eiα ∂µ φ + iq −ie−iα ∂µ eiα + A0µ φ . A covariância é atestada por Dµ φ → eiα Dµ φ, de modo que o campo de gauge deve se transformar na forma A0µ = Aµ + ie−iα ∂µ eiα , (6.28) ou A0µ = Aµ − ∂µ α.

(6.29)

Em vez da densidade lagrangiana (6.25), vamos considerar ∗

L = (Dµ φ) Dµ φ − m2 φ∗ φ.

(6.30)

se a conexão se transforma segundo (6.29), esta lagrangiana é invariante pelas transformações de gauge locais do grupo U (1). (6.30) pode ser reescrita na forma L = (∂µ − iqAµ ) φ∗ (∂ µ + iqAµ ) φ − m2 φ∗ φ = ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ + Aµ Jµ ,

(6.31)

em que Jµ ≡ iq (φ∂µ φ∗ − φ∗ ∂µ φ − iqAµ φ∗ φ)

(6.32)

é a densidade de corrente do campo escalar. As equações dos campos escalares da lagrangiana (6.32) são δJµ + m2 φ = −Aµ ∗ , δφ

δJµ + m2 φ∗ = −Aµ , δφ

(6.33)

em que δJµ ∗ = iq (∂µ φ∗ − iqAµ φ∗ ) = iq (Dµ φ) , δφ δJµ = −iq (∂µ φ + iqAµ φ) = −iqDµ φ. δφ∗

(6.34a) (6.34b)

Portanto, se uma simetria interna local é imposta ao sistema físico, um novo campo A = Aµ dxµ deve ser introduzido, e suas componentes se transformam por Aµ → Aµ − ∂ µ α

(6.35)

por transformações de gauge locais. Contudo, x → Λx

=⇒

Aµ → Λµν Aν ,

(6.36)

portanto A é também um covetor de Lorentz. Veremos mais adiante que essas são precisamente as características do potencial eletromagnético. Assim, simetria por transformações de gauge locais do grupo U (1) implicam em interação eletromagnética. A lagrangiana (6.31) não pode ser completa. É necessário acrescentar ao sistema um termo para o campo eletromagnético livre, que seja um escalar de Lorentz e, também, invariante de gauge. Este termo é construído com o tensor F = Fµν dxµ ∧ dxν ,

(6.37) 63

em que ∧ é o produto exterior (uma generalização do produto vetorial) e as componentes são Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,

(6.38)

automaticamente invariantes de gauge. Neste caso, a lagrangiana completa é dada por 1 L = − Fµν F µν + ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ + Aµ Jµ , 4

(6.39)

que consiste em um temo livre do campo eletromagnético, um termo livre do campo escalar e um termo de interação. Esta é a lagrangiana da eletrodinâmica escalar. Se esta lagrangiana é invariante por U (1) local, ela é automaticamente invariante por U (1) global. Portanto, o primeiro teorema de Noether se aplica, resultando na corrente própria Φµ = φ

δL δL − φ∗ δ∂µ φ δ∂µ φ∗

= φ (∂ µ φ∗ − iqAµ φ∗ ) − φ∗ (∂ µ φ + iqAµ φ) ∗

= φ (Dµ φ) − φ∗ Dµ φ,

(6.40)

µ

que é conservada (∂ Φµ = 0). Na dinâmica instantânea, temos ˆ ∗ Q= d3 x φ (D0 φ) − φ∗ D0 φ 3 ˆR h i = d3 x φφ˙ ∗ − φ∗ φ˙ − 2iqV φ∗ φ ,

(6.41)

R3

em que V = A0 vem a ser o potencial escalar. Neste caso, Q é a carga elétrica do campo escalar. Observação 5. O procedimento acima pode ser generalizado para uma teoria de gauge do grupo U (N ). Neste caso, tratamos das transformações mais gerais a

φ → eiα φ = eiα

Ta

φ,

†

a

φ∗ → e−iα φ∗ = e−iα

T†a ∗

φ ,

(6.42)

em que † é a operação de transposição com conjugação complexa. A derivada covariante é definida por (6.43)

Dµ = 1∂µ + iqAµ ,

em que A = Aµ dxµ = Aaµ dxµ Ta é um potencial de gauge que toma valores na representação fundamental do grupo U (N ), cujos geradores são as matrizes Ta . Note que, se um elemento do grupo é unitário, temos a

U = eiα

Ta

: U† U = 1,

que implica †

U† U = (1 + iαa Ta ) (1 + iαa Ta ) ≈ 1 + iαa Ta − iαa T†a = 1, ou seja, Ta = T†a , os geradores são hermitianos. A corrente induzida por esta transformação, após exigência de invariância local da lagrangiana, é dada por Jµ ≡ iq [1∂µ φ∗ φ − 1φ∗ ∂µ φ − iqAµ φ∗ φ] ,

(6.44)

enquanto a lagrangiana torna-se †

L = (Dµ φ) Dµ φ − m2 φ∗ φ = ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ + Aµ Jµ .

64

(6.45)

Capítulo 7

O campo eletromagnético 7.1

O campo vetorial

Um campo vetorial vem a ser um objeto A : Φ (x) → Φ (x), em que Φ (x) é o espaço de funções escalares com domínio em M4 . Em cada ponto do espaço-tempo, A é um vetor de Lorentz que pode ser colocado na forma A (x) = φµ (x) ∂µ ,

(7.1)

portanto as componentes φµ (x) possuem a lei de transformação x0 = Λx

=⇒

A0µ (x0 ) = Λµν Aν (x) ,

(7.2)

sob transformações de Lorentz. Cada componente é uma função Aµ (x) : M4 → F, em que F é o conjunto dos números reais se o campo for real, mas complexo se o campo for complexo. Por simplicidade, vamos trabalhar inicialmente com o campo real. Cada campo vetorial possui um dual, representado por um campo 1-forma diferencial ¯ (x) = Aµ (x) dxµ , A

(7.3)

cujas componentes se transformam por x0 = Λx

=⇒

A0µ (x0 ) = Aν (x) ΛT

ν µ

= Λµν Aν (x) .

(7.4)

Ambos os campos são necessários para a construção de uma dinâmica que seja invariante de Lorentz. A relação entre as componentes de vetores e covetores é dada pela métrica de Minkowski: Aµ = ηµν Aν ,

Aµ = η µν Aν .

(7.5)

A lagrangiana desta teoria deve ser invariante por Lorentz, então a primeira tentativa de construção de uma lagrangiana deve ser com a densidade L=−

1 ∂µ Aν ∂ µ Aν − m2 Aµ Aµ , 2

que descreve um campo vetorial de massa m. Esta densidade lagrangiana possui dois problemas. Primeiro, sua densidade de energia-momento não é positiva-definida, dando origem a uma densidade de energia com setor negativo. Para corrigir este problema, o campo deve obedecer à condição ∂µ Aµ = 0, denominada condição de Lorenz, ou às condições A0 = 0 e ∂i Ai = 0, com i = 1, 2, 3, conhecidas por condições do gauge de radiação. Esses vínculos podem ser integrados à densidade lagrangiana de formas diferentes, mas mostra-se que a lagrangiana 1 m2 L = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) − Aµ Aµ 4 2 65

resolve este problema. É usual introduzir o tensor F = Fµν dxµ dxν , com componentes Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,

(7.6)

de modo que 1 m2 L = − Fµν F µν − Aµ Aµ . 4 2

(7.7)

A densidade (7.7) é denominada lagrangiana de Proca. As equações de campo são dadas por δL δL − ∂ν = 0, µ δA δ∂ν Aµ de modo que δL δAµ

m2 δ m2 δAγ γ δAγ γ = − (Aγ A ) = − A + Aγ µ 2 δAµ 2 δAµ δA 2 m2 m = − ηγµ Aγ + Aγ δµγ = − (Aµ + Aµ ) 2 2 = −m2 Aµ ,

e δL ∂ν δ∂ν Aµ

∂F αβ δL = ∂ =∂ δF αβ ∂ (∂ ν Aµ ) " # δL δL ∂ ∂ α Aβ − ∂ β Aα ν α β α β ν =∂ δ δ − δµ δν . = ∂ δF αβ ∂ (∂ ν Aµ ) δF αβ ν µ ν

δL δ∂ ν Aµ

ν

Nessas ocasiões, em que um objeto antissimétrico é derivado com relação a suas componentes, é comum utilizar a delta antissimetrizada α β δ[µ δν] ≡ δµα δνβ − δνα δµβ .

(7.8)

Assim, ∂ν

δL δ∂ν Aµ

= = = =

δL α β ν δL δ δ [ν µ] = 2∂ αβ δF δF νµ δ 1 1 δ 2∂ ν νµ − Fαβ F αβ = ∂ ν µν Fαβ F αβ δF 4 2 δF αβ 1 ν δFαβ αβ δF 1 ∂ F + F = ∂ ν ηαµ ηβν F αβ + Fαβ δµα δνβ αβ µν µν 2 δF δF 2 1 ν 1 ν ∂ (Fµν + Fµν ) = ∂ (Fµν + Fµν ) = ∂ ν Fµν . 2 2

∂ν

Faremos mais uso do resultado δL = Fµν . δ∂ ν Aµ

(7.9)

Então, temos as equações ∂µ F µν + m2 Aν = 0.

(7.10)

Derivando-se (7.10), temos ∂ν ∂µ F µν + m2 ∂ν Aν = 0

=⇒

∂ν Aν = 0,

pois Fµν é antissimétrico, anulando o primeiro termo. Portanto, o campo de Proca obedece à condição de Lorenz identicamente. 66

A densidade de energia-momento de (7.7) torna-se Hµν ≡

δL ∂ν Aλ − ηµν L = −Fµλ ∂ν Aλ − ηµν L, δ∂ µ Aλ

ou seja, 1 m2 Hµν = −Fµλ ∂ν Aλ + ηµν Fαβ F αβ + ηµν Aγ Aγ . 4 2 Vamos utilizar a versão simétrica 1 m2 Tµν = −Fµλ Fνλ + ηµν Fαβ F αβ + ηµν Aγ Aγ − m 2 Aµ Aν , 4 2

(7.11)

que difere de Hµν por uma divergência total: Tµν − Hµν = −m2 Aµ Aν − Fµλ Fνλ − ∂ν Aλ = ∂ λ (Fλµ Aν ) , fato que não altera as equações de campo. A equação acima também implica em ∂ µ Tµν = 0. Este tensor dá origem à hamiltoniana ˆ ˆ m2 1 αβ γ 2 0 3 3 λ Aγ A − m A0 A H = d xT00 = d x −F0λ F0 + Fαβ F + 4 2 R3 R3 ˆ 1 1 m2 3 0i ij γ 2 2 = d x − F0i F + Fij F + Aγ A + m A0 , (7.12) 2 4 2 R3 e aos momentos lineares ˆ ˆ Pi = d3 xT0i = R3

d3 x F 0j Fij − m2 A0 Ai ,

(7.13)

R3

que são conservados. Uma transformação de Lorentz em um campo vetorial é dada explicitamente por i αβ i µ µ µ A (x) → exp ω (Jαβ ) ν Aν = Aµ + ω αβ (Jαβ ) ν Aν = Aµ + ω µβ Aβ , 2 2 então, a densidade de spin torna-se sµαβ

δL ∂ (δAγ ) ∂ (δAγ ) ∂ωγν = −F µγ = −F µγ αβ Aν = −F µγ ηγ[α ηβ]ν Aν γ αβ αβ δ∂µ A ∂ω ∂ω ∂ω µ µ µ = −F [α Aβ] = F β Aα − F α Aβ .

=

(7.14)

O momento angular orbital, por outro lado, é dado por `µαβ

=

Tµ[α xβ]

=

Fµλ x[α Fβ]λ − m2 Aµ A[α xβ] − ηµ[α xβ] L

(7.15)

o que resulta no momento angular total mµαβ = Fµλ x[α Fβ]λ − m2 Aµ A[α xβ] − F µ[α Aβ] − ηµ[α xβ] L, cuja divergência é nula. A matriz Mαβ é dada por ˆ Mαβ = d3 xm0αβ R3 ˆ i = d3 x −F0i F ij x[α ηβ]j − m2 A0 A[α xβ] + A[α δβ] F0i − η0[α xβ] L R3

também conservada.

67

(7.16)

(7.17)

7.2

O campo eletromagnético

O campo eletromagnético é um campo vetorial real de massa nula, que também é uma conexão de gauge do grupo U (1). Neste caso, é mais conveniente defini-lo por sua 1-forma diferencial A = Aµ dxµ ,

(7.18)

cujas componentes se transformam pela transposta de um elemento do grupo de Lorentz, mas que também tem a lei de transformação Aµ → Aµ − ∂ µ Λ

(7.19)

sob uma transformação de gauge local U (1). O grupo U (1) é o grupo mais trivial de transformações unitárias. Seu elemento mais geral é escrito por exp (iα) , em que α é um número real. A álgebra infinitesimal é dada pela expansão exp (iα) ≈ 1 + iα = 1 + iα1, ou seja, o único gerador é dado pelo número 1. No capítulo anterior, vimos que este campo aparece como o campo que interage com o campo escalar complexo, quando sua lagrangiana é invariante de gauge local. Esta lagrangiana é dada por 1 L = − Fµν F µν + Aµ J µ + Lφ , 4

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .

(7.20)

em que Lφ é a lagrangiana livre do campo escalar, e J µ a corrente de interação. Todo campo carregado eletricamente deve interagir com o campo Aµ de maneira similar, como veremos mais adiante. Então, ao estudar exclusivamente o campo eletromagnético e sua interação, podemos trabalhar com 1 LA = − Fµν F µν + Aµ J µ . 4

(7.21)

Nosso sistema de unidades, por conveniência, é o natural, em que ~ = c = 1. Neste caso, δLA = J µ, δAµ enquanto temos o resultado já calculado ∂ν

δL = ∂ν F µν , δ∂ν Aµ

o que resulta nas equações de campo ∂ν F µν = J µ .

(7.22)

Os resultados encontrados para o campo de Proca podem ser utilizados aqui, com m → 0. Neste caso, o tensor densidade de energia-momento tem componentes 1 Hµν = −Fµλ ∂ν Aλ + ηµν Fαβ F αβ , 4

(7.23)

com a versão simétrica 1 Tµν = −Fµλ Fνλ + ηµν Fαβ F αβ . 4

(7.24) 68

Temos também ˆ 1 1 3 0i ij H= d x − F0i F + Fij F , 2 4 R3

(7.25)

como a hamiltoniana conservada, e os momentos lineares conservados ˆ Pi = d3 xF 0j Fij .

(7.26)

R3

A matriz de momento angular, por outro lado, é dada por ˆ i Mαβ = d3 x −F0i F ij x[α ηβ]j + A[α δβ] F0i − η0[α xβ] LA .

(7.27)

R3

Note que, tomando-se a derivada de (7.22), temos ∂µ ∂ν F µν = ∂µ J µ = 0,

(7.28)

portanto, J µ é uma corrente conservada. Vamos definir suas componentes por J µ = ρ, j i ,

(7.29)

ˆi a densidade de corrente elétrica. Então, em que ρ é a densidade de carga elétrica e j = j i e ∂µ J µ = 0

=⇒

∂ρ − ∇ · j = 0, ∂t

que é a equação de continuidade que envolve a conservação local de cargas elétricas. As equações de campo tornam-se ( ∂i F 0i = ρ ∂ν F µν = J µ =⇒ . ∂0 F i0 + ∂j F ij = j i

(7.30)

Vamos analisar a primeira equação: ρ = ∂i F 0i = ∂i ∂ 0 Ai − ∂ i A0 = ∂i A˙ i − ∂ i A0 , de modo que V ≡ A0 = A0 vem a ser o potencial eletrostático escalar e Ai são as componentes do potencial vetor eletromagnético A. Então, i ∂A ∂V i i 0 ˙ ρ = ∂i A − ∂ A = ∂i − , ∂t ∂xi que pode ser escrito por ∂A = ρ. ∇ · −∇V − ∂t

(7.31)

Seja o campo elétrico definido por E = −∇V −

∂A , ∂t

(7.32)

então, a equação (7.31) torna-se ∇ · E = ρ,

(7.33)

que é a lei de Gauss. Portanto, as componentes do campo elétrico são dadas por Ei = F0i = A˙ i − ∂i A0

(7.34) 69

A segunda equação em (7.30) resulta em j i = ∂0 F i0 + ∂j F ij = ∂0 E i + ∂j F ij , ou seja, ∂j F ij = −∂0 E i + j i .

(7.35)

Vamos definir o campo magnético B tal que suas componentes sejam dadas por Bi =

1 ijk F jk 2

=⇒

Fij = ijk B k .

(7.36)

Note que Bi =

1 ijk 1 Fjk = ijk (∂j Ak − ∂k Aj ) = ijk ∂j Ak , 2 2

que são as componentes do rotacional do potencial vetor, ou seja, B = ∇ × A.

(7.37)

Neste caso, (7.35) torna-se equivalente a ijk ∂j Bk = −∂0 E i + j i , ou, ∇×B=

∂E + j, ∂t

(7.38)

que vem a ser a lei de Ampère-Maxwell. Com as definições de E e B, temos  0 Ex /c Ey /c Ez /c  −Ex /c 0 −Bz Bx Fµν =   −Ey /c Bz 0 −By −Ez /c −Bz By 0

  . 

A hamiltoniana é dada por ˆ ˆ 1 1 1 1 0i ij 3 i k ijm 3 = d x Ei E + ijk B Bm H = d x − F0i F + Fij F 2 4 2 4 3 R3 ˆR ˆ 1 2 1 1 2 1 k 3 m k 3 = d x E + (2δk ) B Bm = E + B Bk d x 2 4 2 2 R3 R3 ˆ 1 d3 x E2 + B2 , = 2 R3 que é o conteúdo de energia do campo eletromagnético. Os momentos lineares, por outro lado, resultam em ˆ ˆ ˆ Pi = d3 xF 0j Fij = d3 xE j ijk B k = d3 xijk E j B k , ou, R3 R3 R3 ˆ ˆ 3 P = d x (E × B) = d3 xp, R3

(7.39)

(7.40)

(7.41)

R3

que vem a ser o vetor de Poynting. Ainda temos a matriz de momento angular que, na projeção Mαβ → Mij , torna-se ˆ h i Mij = d3 x xi (E × B)j − xj (E × B)i + Ai Ej − Aj Ei . R3

70

(7.42)

O momento angular total (espacial) é dado por ˆ h i 1 ijk 1 Ji = Mjk = d3 x ijk xi (E × B)j − xj (E × B)i + Ai Ej − Aj Ei 2 2 R3 ˆ h i = d3 xijk xi (E × B)j + Ai Ej , R3

ou, equivalentemente, ˆ J= d3 x (x × p + E × A) .

(7.43)

R3

Também podemos escrever uma forma explícita para o tensor energia-momento simétrico do campo na dinâmica instantânea. Temos   E 2 + B 2 /2 px py pz  px −σxx −σxy −σxz  . Tµν =  (7.44)  py −σyx −σyy −σyz  pz −σzx −σzy −σzz Nesta expressão, a matriz  σxx 1 σij = Ei Ej + Bi Bj − δij E 2 + B 2 =  σyx 2 σzx

σxy σyy σzy

 σxz σyz  σzz

(7.45)

é o tensor de tensões de Maxwell. Em resumo, as equações de campo ∂µ F νµ = J µ

(7.46)

são equivalentes às equações de Maxwell com fontes ∇ · E = ρ,

∇×B−

∂E = j, ∂t

(7.47)

no sistema de unidades naturais. Note que a combinação de derivadas baixo se anula identicamente, (7.48)

∂µ Fαβ + ∂α Fβµ + ∂β Fµα = 0.

Essas são chamadas identidades de Bianchi do campo eletromagnético. Elas podem ser escritas com o uso do campo dual F˜µν ≡ µναβ F αβ ,

(7.49)

na forma ∂µ F˜ µν = 0.

(7.50)

por exemplo, considere as componentes 1 1 F˜0i = 0imn F mn = imn F mn = Bi . 2 2

(7.51)

Por outro lado, 1 F˜ij = ijαβ F αβ = ijm F 0m = ijm E m , 2 portanto temos  F˜µν

0  −Bx =  −By −Bz

Bx 0 Ez −Ey

By −Ez 0 Ex

(7.52)

 Bz Ey  . −Ex  0

(7.53)

71

As equações (7.50) tornam-se ( ∂i F˜ i0 = 0 µν ˜ ∂µ F = 0 =⇒ ∂0 F˜ 0i + ∂i F˜ ji = 0

,

de modo que ∂i F˜ i0 = 0

∇·B=0

=⇒

(7.54)

e ∂0 F˜ 0i + ∂i F˜ ji = 0

=⇒

∇×E+

∂B = 0, ∂t

(7.55)

sendo a última, a lei de Faraday. Portanto, o sistema de equações ∂µ F µν = −J ν ,

∂µ F˜ µν = 0

(7.56)

é equivalente às equações de Maxwell no vácuo ∇·E=ρ ∂B =0 ∇×E+ ∂t

∇ · B = 0, ∂E ∇×B− = j. ∂t

(7.57)

De fato, este campo representa o campo eletromagnético.

7.3

Liberdade de gauge

A transformação Aµ → Aµ − ∂ µ Λ

(7.58)

de fato deixa invariante as equações de Maxwell, supondo-se que j não dependa das componentes Aµ . Isto ocorre porque, tendo quatro componentes, o campo A contém apenas dois graus de liberdade independentes. Vamos supor as equações de Gauss e Ampére com fontes nulas, ∂µ F µν = 0,

(7.59)

que podem ser escritas por 0 = ∂µ F µν = ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = ∂µ ∂ µ Aν − ∂µ ∂ ν Aµ . Então, Aν − ∂ ν ∂µ Aµ = 0.

(7.60)

Vamos tomar a equação para ν = 0: A0 − ∂0 ∂µ Aµ = − ∂02 A0 + ∂0 ∇ · A = 0. Note que − ∂02 = ∂µ ∂ µ − ∂02 = ∂0 ∂ 0 + ∂i ∂ i − ∂02 = −∇2 , assim, ∇2 A0 − ∂0 ∇ · A = 0.

(7.61)

72

Uma solução formal para (7.61) pode ser escrita por −1 ∂0 ∇ · A, A0 = ∇ 2 que deve ser compreendida por ˆ A0 (x) = d3 yG (x − y) ∂0 ∇y · A (y) ,

(7.62)

em que G (x − y) é a função de Green para o operador Laplaciano. A equação para ν = i torna-se A − ∇ (∂µ Aµ ) = A − ∇∂0 A0 + ∇ (∇ · A) = 0.

(7.63)

Substituindo-se (7.62), −1 A − ∇∂0 ∇2 ∂0 ∇ · A + ∇ (∇ · A) = 0. −1 Inserindo-se a identidade ∇2 ∇2 = 1, temos −1 −1 (∇ · A) 0 = A − ∇∂0 ∇2 ∂0 ∇ · A + ∇2 ∇ ∇2 −1 (∇ · A) = A + −∂02 + ∇2 ∇ ∇2 2 −1 = A − ∇ ∇ (∇ · A) h i −1 = A − ∇ ∇2 (∇ · A) . Vamos definir a função −1 Λ = ∇2 (∇ · A) ,

(7.64)

assim, [A − ∇Λ] = 0. ¯ = A − ∇Λ tal que a equação de onda Portanto, existe uma transformação de gauge A ¯ = A

¯ ∂2A ¯ =0 − ∇2 A ∂t2

(7.65)

é obedecida. Note que h i ¯ = ∇ · A − ∇ ∇2 −1 (∇ · A) ∇·A −1 = ∇ · A − ∇ 2 ∇2 (∇ · A) = ∇ · A − ∇ · A = 0,

(7.66)

¯ é nulo. Na equação para A0 , temos então, nesta escolha de gauge, o divergente de A −1 −1 A0 = ∇ 2 ∂0 ∇ · A = ∇2 ∂0 ∇2 Λ = ∂0 Λ, portanto, A¯0 = A0 − ∂0 Λ = 0.

(7.67)

Neste caso, existe uma função Λ (x) tal que toda configuração de campo pode ser levada a obedecer as condições A0 = 0,

∇ · A = 0.

(7.68)

Essas condições são as condições do gauge de radiação. Neste gauge, o potencial vetor eletromagnético obedece à equação de onda (7.69)

A = 0 73

na ausência de fontes. A condição ∇ · A = 0 é denominada condição de Coulomb. Para ver o que esta condição significa, vamos decompor o campo A (x) em uma transformada de Fourier com relação a um vetor k: ˆ A (x) = d3 kA (k) eik·A(x) . Temos

ˆ

∇x · A (x)

= ∇x · d3 kA (k) eik·x ˆ ˆ = d3 k (A · ∇x ) eik·x = d3 kA · kieik·x .

Portanto, ∇·A=0

=⇒

ik · A (k) = 0,

(7.70)

ou seja, a componente de A longitudinal ao vetor k é nula. Dado um vetor k, todo campo vetorial pode ser decomposto em componentes longitudinal e transversal, (7.71)

A = Ak + A⊥ , de modo que k × Ak = 0,

k · A⊥ = 0,

(7.72)

ou seja, Ak =

k (k · A) , k2

A⊥ =

ik × A. |k|

(7.73)

A condição de Coulomb simplesmente seleciona as componentes transversais do potencial vetor, ou seja, ∇·A=0

=⇒

A = A⊥ =

ik × A, |k|

ou, no espaço das posições, ∇·A=0

=⇒

A → A⊥ = ∇ × A.

(7.74)

Esta operação pode ser efetuada por um projetor transversal ⊥ βij = δij − ∇2

−1

∂i ∂j

=⇒

⊥ βij (k) = δij −

ki kj , k2

(7.75)

de modo que β⊥A = A −

k (k · A) = A − Ak = A⊥ . k2

(7.76)

74

Capítulo 8

Campos espinoriais 8.1

A álgebra de Clifford relativística

Vamos supor um vetor de Lorentz u = uµ ∂µ = u0 ∂0 + u1 ∂1 + u2 ∂2 + u3 ∂3 ,

(8.1)

membro do espaço tangente a M4 , que denominados pelo símbolo E 1 . A base ∂µ é apenas uma das possíveis escolhas de base para o espaço-tempo de Minkowski, que resulta no produto escalar u · v = uµ vµ = ηµν uµ vν ,

(8.2)

em que 

ηµν

1  0 =  0 0

0 −1 0 0

 0 0 0 0   −1 0  0 −1

(8.3)

são as componentes da métrica de Minkowski. Agora, vamos considerar uma base generalizada u = uµ γµ = u0 γ0 + u1 γ1 + u2 γ2 + u3 γ3 .

(8.4)

Considere um produto (u, v) ≡ uv de dois objetos do tipo (8.4). Vamos exigir apenas a bilinearidade (8.5)

(αu + βv, w) = α (u, w) + β (v, w) , e a associatividade. A norma de um vetor u, contudo, continua definida por u2 = (u, u) = uµ uµ = u0

2

− u1

2

− u2

2

− u3

2

(8.6)

,

ou seja, (u, u)

= =

(uµ γµ , uν γν ) = uµ (γµ , γν ) uν = uµ uν γµ γν  γ0 γ0 γ0 γ1 γ0 γ2 γ0 γ3  γ1 γ0 γ1 γ1 γ1 γ2 γ1 γ3 u0 , u1 , u2 , u2   γ2 γ0 γ2 γ1 γ2 γ2 γ2 γ3 γ3 γ0 γ3 γ1 γ3 γ2 γ3 γ3

 u0   u1   2 .  u  u3 

(8.7)

Comparando-se (8.6) com (8.7), nota-se que γ0 γ0 = 1, γi γi = −1,

(8.8) 75

sem soma em i. Já os termos fora da diagonal devem satisfazer γµ γν + γν γµ = 0,

µ 6= ν.

(8.9)

A álgebra vetorial ordinária, denominada álgebra de Gibbs, é obtida com γµ γν = ηµν , supondo-se sempre que o produto de dois elementos da base é um escalar. Neste caso, o produto é também simétrico. Mas no caso mais geral, consideramos γµ objetos não comutativos de natureza ainda indeterminada. Assim, Definição 14. Se {γµ } ⊂ E 1 uma base completa de vetores de Lorentz, que obedece às condições gerais de anti-comutação {γµ , γν } ≡ γµ γν + γν γµ = 2ηµν ,

(8.10)

dizemos que γµ são geradores de uma álgebra de Clifford C`1,3 .

Vemos claramente que (8.10) representa apropriadamente as condições (8.8) e (8.9). Aproveitamos para introduzir o anti-comutador {A, B} = AB + BA, e o comutador [A, B] = AB − BA. O produto de Clifford (ou produto geométrico) entre dois vetores u e v é introduzido por uv

= = ≡

(uµ γµ ) (v ν γν ) = uµ v ν γµ γν =

1 1 µ ν u v {γµ , γν } + uµ v ν [γµ , γν ] 2 2

1 ηµν uµ v ν + uµ v ν (γµ γν − γµ γν ) 2 uµ vµ + uµ v ν γµ ∧ γν ,

(8.11)

em que Definição 15. Seja {γµ } ⊂ C`1,3 uma base completa da álgebra de Clifford C`1,3 . O produto γµ ∧ γν ≡

1 1 [γµ , γν ] = (γµ γν − γν γµ ) 2 2

(8.12)

é denominado produto exterior entre dois elementos da base.

Então o produto de Clifford consiste em duas partes. A primeira é o produto escalar ordinário entre os vetores u e v. A segunda parte, u ∧ v ≡ uµ v ν γµ ∧ γν ,

(8.13)

envolve o produto exterior entre u e v. Quando u e v são vetores de Lorentz, vemos claramente que este produto é antissimétrico. Note que u ∧ v não pode ser um escalar, nem um vetor, devido às relações (8.10). Ele forma um novo objeto, denominado forma diferencial de segunda ordem, ou 2-forma. Portanto, uv = u · v + u ∧ v,

(8.14)

em que u · v é igual ao produto escalar ordinário uµ vµ , e u ∧ v é uma 2-forma. Definição 16. Seja {γµ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um objeto do tipo α = αµν γµ γν

(8.15)

é denominado bivetor e pertence a um espaço denominado pelo símbolo E 2 . Todo bivetor pode ser escrito como a soma de um escalar e uma 2-forma. 76

A seguinte questão é imediata: podemos tomar um produto de Clifford entre um vetor e um bivetor? Sejam u ∈ E 1 e α ∈ E 2 , temos uα = (uµ γµ ) ανλ γν γλ = uµ ανλ γµ γν γλ = u ανλ γν γλ = u (ανγ ηνλ + ανγ γν ∧ γγ ) = u ανν + ανλ γν ∧ γλ = trαu + uµ ανλ γµ γν ∧ γλ 1 = trαu + uµ ανλ {γµ , γν } ∧ γλ + uµ ανλ γµ ∧ γν ∧ γλ 2 = trαuλ + uν ανλ γλ + uµ ανγ γµ ∧ γν ∧ γγ . (8.16) O primeiro termo é um vetor. O segundo é um objeto cuja base envolve um produto exterior triplo. Este objeto é denominado 3-forma diferencial. Assim, o produto de Clifford uα é a soma de um vetor e uma 3-forma: Definição 17. Seja {γµ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um objeto do tipo T = T µνλ γµ γν γλ

(8.17)

é denominado trivetor e pertence a um espaço denominado pelo símbolo E 3 . Todo trivetor pode ser escrito como a soma de um vetor e uma 3-forma.

Por outro lado, o produto de um vetor com um trivetor T ∈ E 3 resulta em uT = uα T µνλ γα γµ γν γλ ,

(8.18)

de modo que uT

=

uµ T µνν + uµ T νµν + uµ Tννµ + uµ T µαβ + uα T µµβ + uα T βνν γα ∧ γβ +uα T µνλ γα ∧ γµ ∧ γν ∧ γλ ,

(8.19)

que é a soma de um escalar, uma 2-forma e um objeto ainda desconhecido, que obviamente será chamado de 4-forma diferencial. Definição 18. Seja {γµ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um objeto do tipo Γ = Γαµνλ γα γµ γν γλ

(8.20)

é denominado quadrivetor e pertence a um espaço denominado pelo símbolo E 4 . Todo quadrivetor pode ser escrito como a soma de um escalar, uma 2-forma e uma 4-forma.

Vamos analisar as bases. Vetores, ou 1-formas diferenciais em nossa notação, são expandidos com a base da álgebra de Clifford, que consiste no conjunto de quatro objetos independentes {γ0 , γ1 , γ2 , γ3 } . As 2-formas, por outro lado, possuem seis geradores independentes, {γ0 ∧ γ1 , γ0 ∧ γ2 , γ0 ∧ γ3 , γ1 ∧ γ2 , γ1 ∧ γ3 , γ2 ∧ γ3 } . A base de 3-formas possui quatro geradores: {γ0 ∧ γ1 ∧ γ2 , γ0 ∧ γ2 ∧ γ3 , γ0 ∧ γ1 ∧ γ3 , γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 } , 77

e por fim, o único gerador de uma 4-forma é o elemento de base {γ0 ∧ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 }. Isto ocorre pois qualquer índice repetido anula a base das formas diferenciais. Por esta razão, o produto de um vetor e um 4-vetor não resulta em nenhum objeto novo: 4-formas são o máximo que conseguiremos. Neste caso, a soma direta E ≡ E 0 ⊕ E 1 ⊕ E 2 ⊕ E 3 ⊕ E 4 forma um espaço vetorial E sob o produto de Clifford, cujos elementos são multivetores (8.21)

u = a + u + α + T + Γ.

O espaço multivetorial é fechado pelo produto de Clifford, ou seja, para dois multivetores u ∈ E e v ∈ E, uv ∈ E. O espaço multivetorial E em conjunto com o produto geométrico é o que denominamos álgebra de Clifford relativística. A seguir, vamos definir alguma operações que dependem exclusivamente desta álgebra.

Definição 19. (Paridade) Seja {γ µ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um operador P , tal que P −1 γ µ P = δ0µ γ 0 − δiµ γ i ,

(8.22)

é denominado operador de paridade. A operação de paridade mantém o eixo temporal da base, enquanto inverte os eixos espaciais.

Note que γ0γ0γ0 = γ0 e γ 0 γ i γ 0 = −γ 0 γ 0 γ i = −γ i , ou seja, γ0γµγ0 = γ0 γµ, γ0 − γ0γ0γµ = 2η µ0 γ 0 − γ µ = 2δ0µ γ 0 − δ0µ γ 0 − δiµ γ i = δ0µ γ 0 − δiµ γ i . Ou seja, γ 0 atua em um elemento da base como um operador de paridade. De fato, P = γ 0 para toda possível representação de uma álgebra de Clifford.

Definição 20. (Reversão temporal) Seja {γ µ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um operador T , tal que T −1 γ µ T = −δ0µ γ 0 + δiµ γ i ,

(8.23)

é denominado operador de reversão temporal. A operação de reversão temporal inverte o eixo temporal da base, enquanto deixa invariantes os eixos espaciais.

78

A operação de dualidade é definida como segue. Definição 21. (Dualidade) Seja Ak ∈ E k um k-forma no espaço M4 . O dual ?Ak é uma (4-k)-forma ?Ak = −iγ5 Ak ,

(8.24)

em que γ5 ≡ iγ0 γ1 γ2 γ3 .

(8.25)

O dual de uma 1-forma é, portanto, uma 3-forma: ?u =

−iγ5 u

=

uµ γ0 γ1 γ2 γ3 γµ

=

u0 γ0 γ1 γ2 γ3 γ0 + u1 γ0 γ1 γ2 γ3 γ1 + u2 γ0 γ1 γ2 γ3 γ2 + u3 γ0 γ1 γ2 γ3 γ3

= −u0 γ1 γ2 γ3 − u1 γ0 γ2 γ3 + u2 γ0 γ1 γ3 − u3 γ0 γ1 γ2 . O dual de uma 2-forma é uma 2-forma: ?α

= −iγ5 α = γ0 γ1 γ2 γ3 αµν γµ ∧ γν = α[01] γ2 γ3 + α[20] γ1 γ3 + α[03] γ1 γ2 +α[21] γ0 γ3 + α[13] γ0 γ2 + α[32] γ0 γ1 .

O dual de uma 3-forma é uma 1-forma: ?T

=

−iγ5 T

=

−iγ5 T µνγ γµ ∧ γν ∧ γγ

=

T [012] γ3 + T [013] γ2 + T [023] γ1 + T [123] γ0 .

O dual de uma 4-forma é uma 0-forma: ?Γ

=

−iγ5 Γ = Γ[1234] γ5 γ5 = Γ[1234] .

Definição 22. (Conjugação de carga) Seja {γ µ } ⊂ C`1,3 uma base completa. Um operador C, tal que ∗

C † C = 1 e C † γ µ C = − (γ µ )

(8.26)

é denominado operador de conjugação de carga. A operação de conjugação de carga transforma os geradores em seus opostos conjugados. A relação com a "carga" será elucidada mais adiante.

8.2

Rotações: a representação espinorial das transformações de Lorentz

Vamos trabalhar, agora, com a álgebra de Clifford gerada pelos objetos γµ = γ0, γ1, γ2, γ3 ,

(8.27)

que obedecem às relações de anticomutação {γ µ , γ ν } = 2η µν .

(8.28) 79

Não há um conjunto de escalares ou vetores de Lorentz que satisfaçam essas condições, então devemos pensar em objetos matemáticos mais gerais, como matrizes complexas. De fato, uma inspeção em (8.28) também exclui matrizes quadradas de dimensão 2 ou 3. As matrizes de ordem mais baixa que podem representar uma álgebra de Clifford em quatro dimensões são de dimensão 4. Uma possível representação é dada pelas matrizes de Dirac 02×2 12×2 02×2 σi 0 i γ = , γ = , (8.29) 12×2 02×2 −σ i 02×2 em que σ i são as matrizes de Pauli 0 1 0 −i 1 1 2 3 σ = , σ = , σ = 1 0 i 0 0

0 −1

.

(8.30)

As matrizes de Pauli, por outro lado, obedecem a uma álgebra de Clifford euclideana em três dimensões σ i , σ j = 2δ ij . Toda possível representação da álgebra de Clifford quadridimensional em termos de matrizes 4 × 4 são equivalentes por transformações inversíveis, ou seja γ¯ µ = V γ µ V −1

=⇒

{¯ γ µ , γ¯ ν } = 2η µν .

A representação (8.29) é denominada representação de Weyl, ou chiral, a qual empregaremos sempre que necessário. O fato é que os comutadores S µν ≡

i i µ ν [γ , γ ] = (γ µ γ ν − γ ν γ µ ) 4 4

(8.31)

são geradores da álgebra de Lorentz quadridimensional. Exercício 1. A partir da definição (8.31), mostre que µν αβ S ,S = i η µβ S να − η µα S νβ + η να S µβ − η νβ S µα

(8.32)

e, portanto, S µν são geradores de pseudo-rotações em M4 .

Na representação chiral, com a dinâmica instantânea, temos i i 0 i i σ 0 0i S = γ ,γ = − , 0 −σ i 4 2 que são geradores de boosts, enquanto i i j 1 ijk σk 0 1 S ij = γ ,γ = = ijk Σk , 0 σ 4 2 2 k em que σk = −δki σ i , são os geradores de rotações tridimensionais. De fato, σi 0 Σi = ijk S jk = , 0 σi

(8.33)

(8.34)

(8.35)

satisfazem a álgebra de Lie [Σi , Σj ] = ijk Σk , portanto, rotações em 3 dimensões também podem ser geradas por Σi . A representação mais trivial de uma transformação de Lorentz no espaço de Minkowski é a representação adjunta, ou vetorial, na qual a matriz de transformação é dada por i µν Λαβ ≡ exp − ωµν (M )αβ , (8.36) 2 80

em que (M µν )αβ = i δαµ δβν − δβµ δαν

(8.37)

são os geradores de pseudo-rotações nesta representação. A matriz (8.36) determina como 0µ µ ν 0µν uma transformação de Lorentz é aplicada em vetores (A = Λ ν A ) ou tensores e.g. T = Λµα Λνβ T αβ . O que acabamos de encontrar, com o uso da álgebra de Clifford (8.28), é uma nova representação da álgebra de Lorentz. Como γ µ são matrizes 4 × 4 complexas (γ µ )ab , o mesmo ocorre com os geradores S µν . Portanto, os índices µ, ν = 0, 1, 2, 3 do espaço-tempo são acompanhados por índices matriciais a, b = 1, 2, 3, 4. Se S µν obedecem a uma álgebra de Lie (8.32), podemos escrever um elemento do respectivo grupo de Lie por exponenciação, i Sab (Λ) = exp − ωµν (S µν )ab . (8.38) 2 Dizemos que esta é a representação espinorial de um elemento do grupo de Lorentz. Podemos mostrar que não há transformação inversível que conecte a matriz (8.36) à matriz (8.38), portanto, a representação vetorial e a espinorial são inequivalentes. Isto significa que os objetos que rodam sob a ação de (8.38) não são vetores ou tensores em M4 . Os índices a, b serão frequentemente ignorados, já que as operações de transformações são representadas por multiplicações matriciais simples, a menos de casos em que explicitar esses índices tornese necessário. Os objetos geométricos sobre os quais age (8.38) são denominados espinores, que serão apropriadamente definidos mais adiante. Exercício 2. Demonstre a relação de comutação µ αβ µ γ ,S = i η µα δνβ − η µβ δνα γ ν = M αβ ν γ ν . Com este resultado, mostre também que µ i i i 1 + ωαβ S αβ γ µ 1 − ωαβ S αβ ≈ δνµ − ωαβ M αβ ν γ ν . 2 2 2

(8.39)

(8.40)

A forma finita de (8.40) é dada por S −1 (Λ) γ µ S (Λ) = Λµν γ ν .

(8.41)

A relação (8.41) tem um significado fundamental. Se S (Λ) é um operador de pseudo-rotação, as matrizes γ µ rodam como se fossem vetores de Lorentz. Uma consequência importante desta construção segue agora. Vamos tomar apenas uma rotação genérica em três dimensões i (8.42) S (R) = exp − ωij S ij . 2 Uma rotação espacial em um vetor de Lorentz deve ser ortogonal, o que implica que sua representação em termos de matrizes complexas deve ser unitária. Se S (R) é unitário, ou seja, S † (R) S (R) = 1, ij i i 1 = S † (R) S (R) = 1 + ωij S † 1 − ωmn S mn 2 2 i ij ≈ 1 − ωij S ij − S † , 2 ou seja, S ij = S †

ij

(8.43)

, 81

e os geradores devem ser hermitianos. Neste caso, (8.43) implica em h † † i † i i j i , =⇒ γ i , γ j = γ i , γ j γ , γ = − γi, γj 4 4 ou seja, † i −1 = ±1, γi γ

(8.44)

então as matrizes γ i são hermitianas ou anti-hermitianas. A representação chiral é anti† hermitiana, ou seja, γ i = − γ i , então, de fato, S (R) é unitário. Também podemos mostrar que uma transformação de similaridade resulta também em uma representação antihermitiana para γ i . Vamos ver o que ocorre para os boosts i S (K) = exp − ω0i S 0i . (8.45) 2 Se quisermos que S (K) seja unitário, temos igualmente o resultado de que S 0i devem ser hermitianos, o que resulta em h † † i † i 0 i i . =⇒ γ 0 , γ i = γ 0 , γ i γ , γ = − γ0, γi 4 4 Se γ i é anti-hermitiano, γ 0 também deve ser anti-hermitiano. Por outro lado, uma possível representação hermitiana das matrizes γ i implicaria em que γ 0 também precisaria ser hermitiana. Contudo, γ 0 é claramente hermitiana na representação chiral. De fato, não há representação das matrizes de Dirac na qual γ 0 e γ i sejam hermitianas ou anti-hermitianas em conjunto. Assim, a representação espinorial de boosts de Lorentz não pode ser unitária. Observação 6. O fato da não unitaridade dos boosts na representação espinorial é um problema fundamental para a formulação da mecânica quântica relativística. Nesta teoria, espinores de Dirac são interpretados como funções de onda, por exemplo, para o elétron relativístico, o que significa que essas funções definem densidades de probabilidade de transição entre estados quânticos do elétron. Uma transformação sobre as funções de onda preserva a probabilidade apenas se esta for representada por um operador unitário ou anti-unitário, o que implica que os geradores devem ser hermitianos ou anti-hermitianos. Nossa construção não pode ser uma teoria deste tipo. Se boosts são necessariamente não unitários, uma mudança de referencial inercial resultaria em mudança na probabilidade de transição, ou seja, o espectro do átomo de hidrogênio resultaria ser distinto para dois observadores com velocidades relativas distintas. Isto é fisicamente inaceitável, portanto um espinor de Dirac não pode ser uma função de onda. A mecânica quântica relativística é uma teoria fisicamente incoerente com o princípio da relatividade e, portanto, não tem validade física por princípio.

8.3

Representações de spin

A representação de Weyl, ou chiral, tem uma grande vantagem operacional. As matrizes γ µ são representadas por matrizes 4 × 4 formadas por blocos de matrizes 2 × 2. Isto sugere que pode haver uma representação de pseudo-rotações em duas dimensões, embora essa representação certamente deve quebrar a álgebra de Clifford quadridimensional. Vamos observar novamente os boosts i 1 1 0 S (K) = exp − ω0i S 0i = exp φi σ i 0 −1 2 4 ! 1 i i eφi σ /4 0 φi σ 0 4 = , (8.46) = exp i 0 − 41 φi σ i 0 e−φi σ /4 82

em que φi são as componentes da rapidez φ. Existem, portanto, duas operações distintas, 1 i S± (K) = exp ± φ · σ = exp − φ · K , (8.47) 4 2 em que i K = ± σ. 2

(8.48)

As matrizes S± (K) são bidimensionais. Sobre as rotações, temos i i 1 S (R) = exp − ωij S ij = exp − θk σk 0 2 2

0 1

=

e−iθ·σ/2 0

0 e−iθ·σ/2

,

(8.49)

em que θk ≡

1 kij ωij . 2

Então, (8.49) é uma transformação duplicada, com a forma 2 × 2 i S (J) = exp − θ · σ = exp [−iθ · J ] , 2

(8.50)

em que J=

σ . 2

(8.51)

Exercício 3. Use as matrizes de Pauli para demonstrar as relações de comutação i j σ , σ = 2iijk σ k . (8.52) Mostre também que i j J , J = iijk J k , K i , K j = −iijk J k , J i , K j = iijk K k .

(8.53)

Portanto, de fato o conjunto de seis geradores {J , K} são geradores de transformações de Lorentz.

A relação (8.48) indica que J = ±iK, cada escolha de sinal implica em uma operação de boost distinta. Assim, vamos definir dois geradores W± =

1 (J ± iK) , 2

(8.54)

que fecham a álgebra i h i h W±i , W±j = iij k W±k , W±i , W∓j = 0.

(8.55)

Portanto, W±i são geradores de duas rotações independentes no plano complexo, com seis parâmetros independentes. A equação J = ±iK implica em W + = 0 ou W − = 0, o que define dois estados independentes: (j, 0) →

J = iK

(0, j) →

J = −iK

=⇒ =⇒

W − = 0, W + = 0. 83

O número j é o valor da representação de spin. No caso de transformações em que 8.48 e 8.51 são os geradores, então j = 1/2. Assim, temos duas rotações inequivalentes. Não há transformação inversível tal que W + ↔ W −. Definição 23. Sejam dois objetos ψR e ψL , representados por matrizes coluna 2 × 1 que, numa transformação de Lorentz, se transformam na forma ψR −→ exp [2iω · W + ] ψR ,

ψL −→ exp [2iω · W − ] ψL .

(8.56)

Estes objetos são denominados biespinores. Os parâmetros ω são números complexos.

O biespinor ψR é denominado espinor de mão direita, ou do tipo (j, 0), enquanto ψL é um espinor de mão esquerda, ou do tipo (0, j). Por convenção, vamos definir o tipo (1/2, 0) pelas condições J=

1 σ, 2

i K = − σ, 2

−→

exp [iω · W + ] ψR

(8.57)

W − = 0.

Assim, ψR

= exp [iω · (J + iK)] ψR = exp [i (ω · J + iω · K)] ψR h σi ψR . = exp i (θ − iφ) · 2

(8.58)

O tipo (0, 1/2) é dado por J=

1 σ, 2

K=

i σ, 2

(8.59)

W + = 0,

que resulta em h σi ψL . ψL −→ exp i (θ + iφ) · 2

(8.60)

Ambas as representações são inequivalentes por transformações inversíveis. Contudo, espinores de mão direita e esquerda estão relacionados por uma transformação de paridade. A paridade é uma transformação discreta no espaço-tempo, de modo que os eixos são invertidos, ou seja, (ct, x, y, z) → (ct, −x, −y, −z) . As velocidades, inclusive as relativas entre dois referenciais inerciais, trocam de sinal. Portanto, uma operação de paridade é equivalente a uma transformação de Lorentz inversa, em que φ → −φ. Portanto, os geradores K também trocam de sinal, ou seja, K → −K. Por outro lado, os geradores J permanecem invariantes (uma rotação no sentido horário permanece no sentido horário após uma transformação de paridade), o que é coerente com o que conhecemos do momento angular. Assim, W ± → W ∓, o que implica em ψR ↔ ψL .

(8.61)

Vamos considerar, agora, um boost simples em uma direção n do espaço. Temos 1 1 ψR −→ exp − σ · φ ψR = exp − σ · nφ ψR . 2 2 84

(8.62)

Exercício 4. Mostre que ( 1 se k é par, k (σ · n) = σ · n se k é ímpar.

(8.63)

Com este resultado, mostre que 1 φ φ exp σ · nφ = cosh + σ · n sinh . 2 2 2 Agora, demonstre as relações r r φ γ+1 γ−1 φ cosh = , sinh = , 2 2 2 2

(8.64)

(8.65)

Por fim, suponha que o observador original está em repouso, e o segundo observador tem momento p com relação ao primeiro. Neste caso, E 2 = m2 + p2 implica em E = γm (c = 1). Mostre que E+m+σ·p ψR (0) . ψR (p) = p 2m (E + m)

(8.66)

Da mesma forma, mostre que E+m−σ·p ψL (p) = p ψL (0) . 2m (E + m)

(8.67)

Temos que ψR (0) = ψL (0). Portanto, ψR (u) =

E+σ·p ψL (u) , m

(8.68a)

ψL (u) =

E−σ·p ψR (u) . m

(8.68b)

e

Essas equações podem ser colocadas na forma −mψR + (p0 + σ · p) ψL = 0 (p0 − σ · p) ψR − mψL = 0, ou em forma matricial −m p0 + σ · p ψR = 0. p0 − σ · p −m ψL

(8.69)

Esta equação pode ser escrita em termos das matrizes γ µ (8.29) como γ 0 p0 + γ i pi − m1 ψ = 0, ou (γ µ pµ − m) ψ = 0,

(8.70)

em que ψ=

ψR ψL

(8.71)

.

85

A equação (8.70) é a equação de Dirac. Portanto, a equação de Dirac é uma relação algébrica entre os espinores chirais ψR e ψL . Escrita na forma (8.70), a equação de Dirac supões que ψ = ψ (p) é um campo que depende do momento do campo com relação a determinado referencial inercial. Assim, a álgebra de Clifford é realizada em um espaço de momentos, análogo à representação dos momentos em mecânica quântica. Por outro lago, se supormos que ψ = ψ (x) é um campo com valores no espaço-tempo, os momentos são representados por (8.72)

pµ = i∂µ . Neste caso, a equação de Dirac no espaço das posições é dado por (iγ µ ∂µ − m) ψ (x) = 0,

(8.73)

que é um conjunto acoplado de equações diferenciais parciais de primeira ordem. Ambas as realizações são relacionadas por uma transformada de Fourier ˆ ψ (x) = d4 pψ (p) exp (−ipµ xµ ) , (8.74) de modo que

ˆ

ˆ 4

∂λ ψ (x) =

µ

d pψ (p) ∂λ exp (−ipµ x ) =

d4 p (−ipλ ) ψ (p) exp (−ipµ xµ ) ,

que implica em (8.72).

8.4

Espinores de Weyl

Vamos tomar as equações (8.69) −m p0 + σ · p ψR = 0, p0 − σ · p −m ψL

(8.75)

que, com m = 0 tornam-se 0 p0 + σ · p ψR = 0, p0 − σ · p 0 ψL ou γ µ pµ

ψR ψL

(8.76)

= 0.

Agora, considere as matrizes 2 × 2 σ µ = 1, σ i e σ ¯ µ = 1, −σ i .

(8.77)

Com (8.77), podemos escrever (8.76) por σ ¯ µ pµ ψR = 0 e σ µ pµ ψL = 0.

(8.78)

Neste caso, espinores de mão direita e esquerda não massivos são denominados espinores de Weyl, enquanto (8.78) são as equações de Weyl para estes espinores.

8.5

A ação de Dirac

Construir uma ação que resulte na equação (8.73) implica na construção de invariantes de Lorentz com as matrizes γ µ . A primeira tarefa é construir um escalar, cuja primeira tentativa pode ser simplesmente o objeto ψ † (x) ψ (x) , 86

T

em que ψ † é o operador auto-adjunto de ψ, ou seja, ψ † = (ψ ∗ ) . Para que este objeto seja um escalar, é necessário que ψ † ψ (x) → ψ † ψ Λ−1 x sob uma transformação de Lorentz Λ. Os espinores, contudo, se transformam por ψ (x) → S (Λ) ψ Λ−1 x e ψ † (x) → ψ † Λ−1 x S † (Λ) . Assim, ψ † (x) ψ (x) → ψ † Λ−1 x S † (Λ) S (Λ) ψ Λ−1 x , que resultaria em um escalar se S (Λ) fosse unitário. O fato de não haver representação 4 × 4 unitária do grupo de Lorentz impede, assim, que ψ † ψ seja um escalar de Lorentz. Note, contudo, que podemos usar a operação de paridade † para encontrar uma função adequada, já que γ 0 γ 0 = 1 implica em γ 0 = γ 0 e γ i γ i = −1 † implica em γ i = − γ i , como já vimos. Neste caso, †

P −1 γ µ P = (γ µ ) ,

P = γ0.

(8.79)

Por outro lado, i i ih µ † † † † (γ ) , (γ ν ) (S µν ) = − [γ µ , γ ν ] = 4 4 i i 0 µ 0 0 ν 0 γ γ γ , γ γ γ = γ 0 [γ µ , γ ν ] γ 0 = 4 4 = γ 0 S µν γ 0 ,

(8.80)

que implica em † i i µν µν † ωµν (S ) = exp S (Λ) = exp − ωµν S 2 2 i i 0 µν 0 0 µν = exp ωµν γ S γ = γ exp ωµν S γ0 2 2 †

= γ 0 S −1 (Λ) γ 0 ,

S −1 S = 1.

(8.81)

Assim, definimos Definição 24. (Espinor de Dirac adjunto) O objeto ψ¯ (x) = ψ † (x) γ 0

(8.82)

é denominado adjunto de ψ (x).

¯ é um escalar de Lorentz: Agora, mostramos que ψψ ¯ = ψ † γ 0 ψ = ψ † γ 0 ψ →ψ † S † γ 0 Sψ = ψ † γ 0 S −1 γ 0 γ 0 Sψ ψψ ¯ = ψ † γ 0 S −1 Sψ = ψ † γ 0 ψ = ψψ, ou explicitando os argumentos, −1 ¯ (x) → ψψ ¯ ψψ Λ x .

(8.83)

Afirmação 1. O objeto ψ¯ (x) γ µ ψ (x)

(8.84)

é um vetor de Lorentz. 87

Para demonstrar esta afirmação, vamos utilizar o resultado (8.41) S −1 (Λ) γ µ S (Λ) = Λµν γ ν , tendo em mente que ψ¯ (x) → ψ¯ Λ−1 x S −1 (Λ) . Assim, ψ¯ (x) γ µ ψ (x) →ψ¯ Λ−1 x S −1 (Λ) γ µ S (Λ) ψ Λ−1 x = ψ¯ Λ−1 x Λµν γ ν ψ Λ−1 x ν −1 ¯ ψ Λ x , = Λµν ψγ o que prova a Afirmação 1. Da mesma forma, podemos demonstrar que ¯ µ γ ν ψ = 1 ψ¯ {γ µ , γ ν } ψ + 1 ψ¯ [γ µ , γ ν ] ψ ψγ 2 2 ¯ − 2i ψS ¯ µν ψ = η µν ψψ

(8.85)

transforma-se como um tensor de Lorentz do tipo (2, 0), e constitui um bivetor. Toda forma ¯ ψγ ¯ µ ψ e ψγ ¯ µ γ ν ψ, de modo que escalares podem multilinear pode ser construída a partir de ψψ, ser definidos a partir da contração desses multivetores. Definição 25. A ação de Dirac é definida pelo funcional ˆ A≡ dω ψ¯ (x) (iγ µ ∂µ − m) ψ (x) .

(8.86)

Ω

É fácil demonstrar que o objeto ψ¯ (iγ µ ∂µ ) ψ é um invariante de Lorentz: ν −1 ψ¯ (x) iγ µ ∂µx ψ (x) →ψ¯ Λ−1 x S −1 (Λ) iγ µ Λ† µ ∂νΛ x S (Λ) ψ Λ−1 x ν −1 = ψ¯ Λ−1 x S −1 (Λ) (iγ µ ) S (Λ) Λ† µ ∂νΛ x ψ Λ−1 x ν −1 = ψ¯ Λ−1 x Λµλ iγ λ Λ† µ ∂νΛ x ψ Λ−1 x −1 = ψ¯ Λ−1 x iγ ν ∂νΛ x ψ Λ−1 x .

(8.87)

¯ que é um invariante já que m é um invariante, representa o termo de massa O termo mψψ, do campo.

8.6

Aplicando o princípio de Weiss

Agora, vamos mostrar que a equação de Dirac surge da ação (8.86), juntamente com uma equação adjunta. Além disso, estamos interessados em calcular o tensor energia-momento do campo ψ e os invariantes dinâmicos relacionados à simetrias desta ação. Contudo, esta ação pode ser suplementada por um termo de fronteira, que não modifica as equações de campo, de modo que usaremos a integral simétrica ˆ ↔ A≡ dω ψ¯ (x) iγ µ ∂ µ − m ψ (x) , (8.88) Ω

88

em que ↔ ¯ µ ∂ µ ψ = 1 ψγ ¯ µ ∂µ ψ − ∂µ ψγ ¯ µψ . ψγ 2

(8.89)

Consideremos a seguinte transformação infinitesimal δx = x0 − x,

δ ψ¯ (x) = ψ¯0 (x0 ) − ψ¯ (x) .

δψ (x) = ψ 0 (x0 ) − ψ (x) ,

(8.90)

A transformação no espinor adjunto ψ¯ é considerada independente da transformação em ψ. ˆ ˆ ↔ ↔ µ ¯ ¯ dω ψDψ, D ≡ iγ µ ∂ µ − m, δA = δ dω ψ iγ ∂ µ − m ψ = δ Ω ˆ Ω ˆ ˆ ˆ λ¯ ¯ ¯ ¯ = δdω ψDψ + dωδ ψDψ = dω∂λ δx ψDψ + dωδ ψDψ Ω Ω Ω ˆΩ ˆ λ λ ¯ ¯ = dω δ − δx ∂λ ψDψ + dω∂λ ψDψδx ˆΩ

ˆ

Ω

¯ dω δ¯ ψDψ +

= Ω

λ ¯ dω∂λ ψDψδx ,

δ¯ ≡ δ − δxλ ∂λ .

Ω

Temos que calcular o termo ¯ δ¯ ψDψ = δ¯ψ¯ (Dψ) + ψ¯δ¯ [Dψ] . Temos ¯ δ¯ (∂µ ψ) = ∂µ δψ

=⇒

¯ = Dδ, ¯ δD

de modo que ↔ ↔ µ µ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ δ ψDψ = δ ψ (Dψ) + ψD δψ = δ ψ iγ ∂ µ − m ψ + ψ iγ ∂ µ − m δψ ↔

↔

¯ µ ∂ µ ψ − mδ¯ψψ ¯ + iγ µ ψ¯ ∂ µ δψ ¯ − mψ¯δψ ¯ = iδ¯ψγ i ¯ ¯ µ ¯ µ ∂µ δψ ¯ − ∂µ ψγ ¯ µ δψ ¯ − m δ¯ψ¯ ψ − mψ¯ δψ ¯ δ ψγ ∂µ ψ − ∂µ δ¯ψ¯ γ µ ψ + ψγ = 2 i ¯¯ µ i ¯ µ¯ µ µ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = δ ψiγ ∂µ ψ − m δ ψ ψ − ∂µ ψiγ δψ − mψ δψ + ∂µ ψγ δψ − ∂µ δ ψγ ψ 2 2 ¯ µ δψ ¯ µψ ¯ µ + mψ¯ δψ ¯ + ∂µ i ψγ ¯ − i δ¯ψγ = δ¯ψ¯ (iγ µ ∂µ − m) ψ − ∂µ ψiγ 2 2 Vamos definir as derivada à direita e à esquerda ←

¯ µ i ∂ µ ≡ i∂µ ψγ ¯ µ, ψγ

→

iγ µ ∂ µ ≡ iγ µ ∂µ ψ

(8.91)

Assim, → ← ¯ ¯ µ δψ ¯ − i δ¯ψγ ¯ µψ ¯ + ∂µ i ψγ δ¯ ψDψ = δ¯ψ¯ iγ µ ∂ µ − m ψ − ψ¯ i ∂ µ γ µ + m δψ 2 2

(8.92)

Então, ˆ δA =

ˆ → ← µ µ ¯ ¯ ¯ ¯ + div, dω δ ψ iγ ∂ µ − m ψ − ψ i ∂ µ γ + m δψ

(8.93)

Ω

em que ˆ

ˆ div ≡

dω∂λ

Ω

i ¯ λ¯ i ¯ λ λ ¯ ψγ δψ − δ¯ψγ ψ + ψDψδx . 2 2 89

(8.94)

Para que δA seja um termo de fronteira, temos as equações de Dirac → iγ µ ∂ µ − m ψ (x) = 0, ← ψ¯ (x) iγ µ ∂ µ + m = 0, ¯ tanto para ψ quanto para o adjunto ψ. O termo de fronteira é escrito por ˆ i ¯ λ i ¯ λ i ¯ λ i ¯ dω∂λ ψγ δψ − δ ψγ ψγ ∂γ ψ + ∂γ ψ¯ − γ λ ψ − δγλ ψDψ ψ− δxγ . 2 2 2 2 Ω

(8.95a) (8.95b)

(8.96)

Neste caso, temos os momentos conjugados πψλ =

i ¯ λ ψγ , 2

i πψλ¯ = − γ λ ψ, 2

(8.97)

e a densidade de energia-momento ¯ α¯ − η αβ ψDψ. ¯ T αβ = πψα ∂ β ψ + ∂ β ψπ ψ

(8.98)

90

Capítulo 9

Campos de Gauge 9.1

Revisitando o campo escalar

No capítulo 6, vimos que o campo escalar complexo possui uma simetria especial, caracterizada pelas transformações φ (x) → U φ (x) ,

U = eiα .

(9.1)

Se α é um parâmetro real independente do evento espaço-temporal, esta transformação é denominada transformação de gauge global do grupo U (1). O grupo U (1) é o grupo de todas as matrizes quadradas, complexas e unitárias de dimensão 1, ou seja, U é um simples número complexo unitário. Esta transformação deixa invariante a densidade Lagrangiana L = ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ.

(9.2)

Esta densidade lagrangiana, contudo, não é mais invariante se a transformação for local, ou seja, α → α (x). Neste caso, a transformação φ (x) → U (x) φ (x) ,

U = eiα(x) ,

(9.3)

implica na transformação L → L0 = (∂µ − i∂µ α) φ∗ (∂ µ + i∂ µ α) φ − m2 φ∗ φ.

(9.4)

Para introduzir uma Lagrangiana localmente invariante, precisamos de um campo de conexão de componentes Aµ , que se transforma por Aµ (x) → Aµ (x) + iU −1 (x) ∂µ U (x) = Aµ (x) − ∂µ α (x) .

(9.5)

Neste caso, a derivada covariante Dµ ≡ ∂µ + iqAµ

(9.6)

define a lagrangiana invariante de gauge local ∗

L = (Dµ φ) Dµ φ − m2 φ∗ φ = ∂µ φ∗ ∂ µ φ − m2 φ∗ φ + Aµ Jµ ,

(9.7)

com a corrente de interação Jµ ≡ iq (∂µ φ∗ φ − φ∗ ∂µ φ − iqAµ φ∗ φ) .

(9.8)

Portanto, a invariância de gauge local de uma teoria escalar implica na necessidade da introdução de um campo interagente, representado por Aµ . Se este campo se transforma como (9.5) por transformações de gauge do grupo U (1), ele é um campo de conexão de gauge do grupo U (1). Se, em adição, este campo for um vetor de Lorentz, ou seja, xµ = Λµν xν =⇒ Aµ = Λµν Aν , 91

Aµ serão as componentes de um campo eletromagnético. A Lagrangiana completa 1 ∗ L = (Dµ φ) Dµ φ − m2 φ∗ φ − Fµν F µν , 4

(9.9)

com Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,

(9.10)

descreve a teoria do campo escalar complexo carregado em um campo eletromagnético.

9.2

Transformações de gauge globais

Desde então, fizemos um progresso considerável, especialmente ao estudar o campo eletromagnético livre e ao introduzir o campo espinorial de Dirac. Nossa intensão, agora, é aplicar o espírito da invariância de gauge local a campos espinoriais. O procedimento mais geral possível resulta no que, hoje, conhecemos por teorias de gauge. Vamos começar com um conjunto de N espinores ψ i (x), todos com o mesmo parâmetro de massa m. Lembremos que cada espinor é um objeto com quatro componentes (em nosso espaço quadridimensional), então o índice i neste capítulo não denota componentes espinoriais, que permanecerão implícitas, mas apenas identifica cada espinor. A lagrangiana livre deste conjunto de campos é dada por ↔ i µ ¯ L = ψ iγ ∂ µ − m ψi , (9.11) com soma no índice i = 1, · · · , N . Por construção, esta lagrangiana é um invariante de Lorentz, mas também é um invariante U (1) global: ψ i → eiα ψ i , ψ¯i → ψ¯i e−iα =⇒ L → L.

(9.12)

Neste expressão, α é um parâmetro real constante. No entanto, esta não é a única simetria interna. Considere a matriz Uij , com i, j = 1, · · · , N , e a transformação ψ i → U ij ψ j .

(9.13)

Neste caso, temos † † † i † j i ψ i → U ij ψ j = ψ j U j = ψ† U† j , ou seja, ψi

†

γ 0 → ψ†

j

γ0 U †

i j

,

o que resulta em ψ¯i → ψ¯j U †

i j

(9.14)

.

Neste caso, ↔ ↔ i ψ¯i iγ µ ∂ µ − m ψi → ψ¯k U † k iγ µ ∂ µ − m Ui j ψj ↔ i = ψ¯k U † k Ui j iγ µ ∂ µ − m ψj , se Uij tiver componentes constantes. Se a transformação é unitária, temos i i U † U j = U † k U kj = δji , 92

ou seja, ψ¯k U †

i k

↔ ↔ ↔ Ui j iγ µ ∂ µ − m ψc = ψ¯k δkj iγ µ ∂ µ − m ψj = ψ¯i iγ µ ∂ µ − m ψi .

Neste caso, ψ i → U ij ψ j =⇒ L → L,

(9.15)

e a lagrangiana é invariante global. Agora, a transformação não envolve apenas um número complexo, mas uma matriz complexa unitária. O conjunto de todas as matrizes complexas unitárias N × N forma um grupo, o grupo U (N ). Contudo, estamos interessados no subgrupo conexo à identidade, ou seja, desejamos que um elemento do grupo possa ser expandido em transformações infinitesimais na forma Uij = δij + ωij = δij + iωa Tija . O índice a é o índice da álgebra de Lie das transformações infinitesimais. Para que Uij seja conexo à identidade, det Uij = 1. Neste caso, transformações do grupo U (N ) conexas à identidade formam um subgrupo denominado SU (N ): S para "special", que significa determinante 1, e U para "unitary". Portanto, temos a

Proposição 3. Um conjunto de N espinores livres de mesmo parâmetro de massa formam um sistema invariante global sob a ação do grupo SU (N ).

Para evitar a sobrecarga de índices, vamos usar uma notação matricial. Assim, a matriz de componentes Uij é denotada por U , e os espinores ψ i serão parte de uma matriz coluna N × 1, ψ. Cada componente desta coluna é, em si, uma coluna de quatro componentes, as componentes espinoriais: ψ é, assim, uma coluna de colunas. A transformação (9.13) é escrita apenas por ψ → U ψ,

¯ → ψU ¯ †, ψ

(9.16)

e é denominada transformação de gauge. O grupo SU (N ) é um grupo de Lie. Portanto, um elemento de SU (N ) tem a forma geral U = exp (iω a T a ) ,

(9.17)

em que T a são geradores de uma álgebra de Lie su (N ) com as relações de comutação [Ta , Tb ] = −ifabc Tc ,

(9.18)

para um conjunto de coeficientes de estrutura fabc . Cada gerador é representado por uma matriz N × N hermitiana e de traço nulo. Estes geradores definem a representação fundamental do grupo SU (N ). O número de geradores da álgebra, ou seja, a dimensão da álgebra é dada por N 2 − 1, ou seja, a = 1, · · · , N 2 − 1. A forma infinitesimal é dada por U = 1 + iωa T a ,

(9.19)

A rigor, escrevemos a densidade lagrangiana ↔ ¯ iγ µ 1 ∂ µ − 1m ψ. L=ψ

(9.20)

93

Observação 7. Por exemplo, a cromodinâmica é uma teoria de gauge do grupo SU (3), que é o grupo de matrizes unitárias de determinante 1. Quarks são representados por espinores na representação fundamental do grupo, ou seja, ψ toma a forma de uma matriz 3 × 1, enquanto ψ¯ é uma matriz 1 × 3. Quarks também vêm em seis tipos, denominados sabores, com massas distintas mI . Sua densidade lagrangiana livre é dada por LCD =

6 X

ψ¯I

↔ iγ µ ∂ µ − mI ψI .

I=1

O grupo SU (3) tem oito geradores na representação fundamental, Ta = γa /2, em que γa podem ser representados pelas oito matrizes de Gell-Mann       0 1 0 0 −i 0 1 0 0 γ1 =  1 0 0  , γ2 =  i 0 0  , γ3 =  0 −1 0  , 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0 −i 0 0 0 γ4 =  0 0 0  , γ5 =  0 0 0  , γ6 =  0 0 1  , 1 0 0 i 0 0 0 1 0     1 0 0 0 0 0 1 γ7 =  0 0 −i  , γ8 = √  0 1 0  . 3 0 0 −2 0 i 0 Os coeficientes de estrutura da álgebra, fabc , são dados por f123 = −1, f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = −1/2, √ 3 f458 = f678 = − , 2 enquanto os demais são permutações destes, ou zero.

9.3

Transformações de gauge locais

A lagrangiana (9.20), portanto, é invariante global pelo grupo SU (N ). Contudo, a localização do grupo de gauge, como no caso do campo escalar complexo, resulta na quebra de invariância ¯ não são de (9.20). Mais uma vez, o problema está no fato de que as derivadas ∂µ ψ e ∂µ ψ covariantes por transformações de gauge locais. Seja U (x) = exp (iω a (x) T a ) ,

(9.21)

temos ψ (x) → U (x) ψ (x)

=⇒

∂µ ψ (x) → U (x) ∂µ ψ (x) + ∂µ U (x) ψ (x) ,

(9.22)

enquanto os campos adjuntos se transformam por ¯ (x) → ψ ¯ (x) U † (x) ψ

=⇒

¯ (x) → ∂µ ψ ¯ (x) U † (x) + ψ ¯ (x) ∂µ U † (x) . ∂µ ψ

(9.23)

Seguindo a ideia de que teorias fundamentais da natureza devem ser invariantes por transformações de gauge locais, precisamos encontrar uma densidade lagrangiana localmente invariante. Mais uma vez a introdução de uma lagrangiana invariante pode ser efetuada com a inclusão de um campo de conexão ao formalismo, e assim uma derivada covariante pode ser construída. Este procedimento é conhecido como acoplamento mínimo. 94

O campo de conexão é introduzido pela forma diferencial A = Aµ dxµ ,

(9.24)

em que os campos Aµ = Aaµ T a assumem valores na representação fundamental da álgebra su (N ). A forma (9.24) é automaticamente invariante de Lorentz se as componentes se transformarem como Aµ → Λµν Aν diante de uma pseudo-rotação em M4 . Neste caso, introduzimos a seguinte derivada na representação fundamental, Dµ ≡ 1∂µ − igAµ ,

(9.25)

em que g é denominada constante de acoplamento. Usando (9.22), vemos que a derivada Dµ ψ transforma-se por 0 D µ ψ → (D µ ψ) = D 0µ ψ 0 = 1∂µ − igA0µ U ψ = 1∂µ (U ψ) − igA0µ U ψ = U ∂µ ψ + (∂µ U ) ψ − igA0µ U ψ = U ∂µ ψ + U U † (∂µ U ) ψ − igU U † A0µ U ψ h i = U ∂µ ψ + U U † (∂µ U ) − igU † A0µ U ψ i † † 0 = U 1∂µ − ig U Aµ U + U (∂µ U ) ψ. g Para que a derivada seja covariante, a lei de transformação deve ser D µ ψ → U (D µ ψ), de modo que a conexão deve ser transformar por i Aµ = U † A0µ U + U † (∂µ U ) , g

(9.26)

ou Aµ → A0µ = U Aµ U † −

i (∂µ U ) U † . g

(9.27)

Todo campo vetorial que se transforma como (9.27) é denominado conexão de gauge. Vamos observar a forma infinitesimal de (9.27), que é dada por i Aµ → A0µ = (1 + iω a T a ) Aµ 1 − iω b T b − U (i∂µ ω a T a ) U † , g ou seja, em primeira ordem, δAµ =

1 ∂µ ω a T a − iω a [Aµ , T a ] . g

Explicitando as componentes da álgebra, Aµ = Aaµ T a , temos δAaµ T a =

1 ∂µ ω a T a − iω a Abµ [T b , T a ] . g

Usando as relações de comutação fundamentais (9.18), temos δAaµ T a =

1 ∂µ ω a T a + ω a fab c Abµ T c , g

que com troca de índices mudos torna-se δAcµ T c =

1 ∂µ ω c T c + ω a fab c Abµ T c . g

Como os geradores são linearmente independentes, temos δAaµ =

1 ∂µ ω a + gf acb Abµ ω c . g

(9.28) 95

As relações (9.28) definem as transformações de gauge das componentes Aaµ dos campos de gauge. Esta é a forma "favorita" dos físicos, enquanto a forma (9.27) é mais utilizada pelos matemáticos, que preferem trabalhar em notação independente de representação. A forma (9.28) explicita, por outro lado, uma segunda derivada covariante: δAaµ =

1 a 1 a δ ∂µ + gf acb Abµ ω c = (Dµ ) c ω c , g c g

em que a

(Dµ ) c ≡ δca ∂µ − gf abc Abµ .

(9.29)

Observação 8. A derivada (9.29), longe de ser completamente distinta da derivada (9.25), é na verdade a mesma derivada em outra representação, a representação adjunta. Na representação adjunta, um elemento do grupo SU (N ) é representado por matrizes N 2 − 1 × N 2 − 1 , ou seja,os geradores da álgebra são representados por N 2 − 1 matrizes N 2 − 1 × N 2 − 1 : a dimensão da representação é a mesma dimensão da álgebra. Neste caso, a lógica dita que devemos pensar em objetos abstratos que podem ser realizados em representações do grupo de gauge. Temos a derivada covariante Dµ = ∂µ − igAµ ,

(9.30)

sem negrito, como a derivada completamente abstrata, independente de representação. Ao escolher uma representação, por exemplo a fundamental, temos fund (Dµ ) = fund (1) ∂µ − igfund (Aµ ) = fund (1) ∂µ − igAaµ fund (Ta ) ,

(9.31)

em que fund (1) = 1 é a identidade na representação fundamental, N × N , enquanto fund (Ta ) = T a são os geradores da álgebra nesta mesma representação, N 2 − 1 matrizes N × N . Na representação fundamental, a derivada covariante toma a forma explícita (9.25). Na representação adjunta, temos adj (Dµ ) = adj (1) ∂µ − igAaµ adj (Ta ) .

(9.32)

Esta representação realiza o grupo de Lie como matrizes N 2 − 1 × N 2 − 1 e, por consequência, a dimensão da representação é a mesma da álgebra. De fato, a adj (1)b = δba é a identidade nesta representação, enquanto adj (Ta )bc ≡ (Ta )bc = ifabc , ou seja, os geradores são relacionados às constantes de estrutura. Neste caso, (9.32) torna-se a

a

(Dµ ) b = δba ∂µ − igAcµ (Tc ) b = δba ∂µ − igAcµ (i) fca b = δba ∂µ − gf acb Acµ , que corresponde a (9.29).

Assim, nas componentes da álgebra, a transformação dos campos de gauge é dada por δAaµ =

1 1 a a (Dµ ) b ω b = [Dµ ω] , g g

(9.33) a

a

em que usamos a notação mais compacta [Dµ ω] ≡ (Dµ ) b ω b para a derivada covariante na representação adjunta. 96

Observação 9. Note que, se o grupo de simetria é U (1), a álgebra de Lie é trivial, com geradores que são simplesmente o número 1. Neste caso, o campo de gauge é o próprio campo eletromagnético, visto que todo o procedimento acima é realizado com fabc = 0. A derivada covariante na representação fundamental torna-se simplesmente Dµ ≡ ∂µ − igAµ , enquanto na representação adjunta ela é igual à derivada ordinária. Neste caso, temos δA = (1/g) ∂µ ω, que é a transformação de gauge do campo eletromagnético.

9.4

A lagrangiana invariante

Se os campos de gauge se transformam por (9.33), ou mesmo (9.27), a derivada D µ ψ é covariante por transformações de gauge. Neste caso, devemos substituir a derivada ordinária pela derivada covariante, especialmente no termo ↔ ¯ µ ∂µ ψ − ∂µ ψγ ¯ µψ . ¯ µ ∂ µ ψ = 1 ψγ (9.34) ψγ 2 Para o primeiro termo à direita, é imediato ver que a substituição ¯ µ ∂µ ψ → ψγ ¯ µ Dµ ψ ψγ (9.35) dá origem a um termo invariante. O segundo termo requer certo cuidado. Ele torna-se ← ←† µ µ µ ¯ ¯ ¯ ∂µ ψγ ψ → ψγ D µ ψ = ψγ 1 ∂ µ + igAµ ψ ¯ µ ψ + ig ψγ ¯ µ Aµ ψ. = ∂µ ψγ Podemos verificar que este termo também é invariante. Uma transformação de gauge resulta em ¯ † + ψ∂ ¯ µ U † γ µ U ψ + ig ψU ¯ † γ µ A0 U ψ = ∂µ ψU µ ¯ µ ψ + ψ∂ ¯ µ U † γ µ U ψ + ig ψγ ¯ µ U † A0 U ψ = = ∂µ ψγ µ ¯ µ ψ + ψ∂ ¯ µ U † γ µ U ψ + ig ψγ ¯ µ Aµ − i U † (∂µ U ) ψ = = ∂µ ψγ g † µ µ µ ¯ ψ + ig ψγ ¯ Aµ ψ + ψγ ¯ ∂µ U U ψ = ∂µ ψγ ¯ µ ψ + ig ψγ ¯ µ Aµ ψ. = ∂µ ψγ Assim, a densidade lagrangiana ↔ ¯ iγ µ D µ − 1m ψ L=ψ

(9.36)

é um invariante de gauge, com ←† ↔ 1 ¯ µ→ µ µ ¯ ¯ ψγ D µ ψ − ψγ D µ ψ . ψγ D µ ψ ≡ 2

(9.37)

Note que ↔ → ←† ¯ µ D µ ψ = 1 i ψγ ¯ µ D µ ψ − ψγ ¯ µD ψ ψiγ µ 2 ← 1 ¯ µ (1∂µ − igAµ ) ψ − ψγ ¯ µ 1 ∂ µ + igAµ ψ = i ψγ 2 ← 1 ¯ µ ∂µ ψ − ψγ ¯ µ ∂ µ ψ − 2ig ψγ ¯ µ Aµ ψ = i ψγ 2 ← 1 ¯ µ ∂µ ψ − ψγ ¯ µ ∂ µ ψ + g ψγ ¯ µ Aµ ψ, = i ψγ 2 97

ou seja, a densidade (9.36) equivale à lagrangiana ↔ ¯ iγ µ ∂ µ − 1m ψ + g ψγ ¯ µ Aµ ψ. L=ψ

(9.38)

¯ µ Aµ ψ torna-se O termo g ψγ ¯ µ Aµ ψ = Aa g ψγ ¯ µ T a ψ = Aa J µ , g ψγ µ µ a em que ¯ µT aψ Jaµ ≡ g ψγ

(9.39)

é a corrente fermiônica, fonte dos campos de gauge. Portanto, outra forma para as densidades lagrangianas (9.36) e (9.38) vem a ser a lagrangiana ↔ ¯ iγ µ ∂ µ − m ψ + Aa J µ (9.40) L=ψ µ a Então, a imposição de uma teoria localmente invariante pelo grupo de gauge implica na existência de um termo de interação do tipo corrente-campo de gauge, assim como vimos no caso do campo escalar.

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Referências Bibliográficas [1] Notas de aula do Aldrovandi. [2] Landau Classical Fields. [3] Jackson Electrodynamics. [4] Jayme Vaz Jr. (Clifford algebra and spinors). [5] Jayme Vaz Jr. (Artigos de ensino). [6] Peskin. [7] Rider. [8] Greiner. [9] Landau Quantum Electrodynamics. [10] Livros em simetrias, grupos e álgebras de Lie. [11] Grasmann & Hamilton. [12] C. Lanczos, The variational principles of mechanics, fourth edition, Dover Publications (1986). [13] I. M. Gelfand & S. V. Fomin, Calculus of variations, Dover Publications (2000). [14] H. Rund, The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of variations; its role in mathematics and physics, Van Nostrand (1966). [15] N. P. Konopleva & V. N. Popov, Gauge fields, Harwood Academic Publishers (1981). [16] A. O. Barut, Electrodynamics and the classical theory of fields and particles, McMillan (1982). [17] C. A. Bonin, R. Bufalo, B. M. Pimentel & G. E. R. Zambrano, Podolsky electromagnetism at finite temperature: Implications on the Stefan-Boltzmann law, Phys. Rev. D 81, 025003 (2010). [18] E. Noether, Invariant variation problems, Xiv:physics/0503066v1 [physics.hist-ph] (2005).

tradução por M. A. Travel,

ar-

[19] E. P. Wigner, On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group, Annals of Mathematics 40 149–204 (1939).

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Teoria Classica de Campos

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