LA COMPLEMENTARIEDAD EN TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS Luis G. Pedraza S. y Luis F. Bejarano A.∗ Resumen Se utilizará la definición de complementariedad de Roldán1, la idea de la indivisibilidad del fenómeno cuántico en teoría cuántica de campos y las tesis lingüísticas implícitas de Bohr para analizar el papel de las fluctuaciones del vacío en dos experimentos de pensamiento sobre la medibilidad de las componentes promedio del campo electromagnético cuántico y la indeterminación subsiguiente de su composición fotónica; como también en un experimento de pensamiento sobre la determinación precisa de la composición fotónica del campo electromagnético cuántico y la indeterminación subsiguiente de cualquiera de sus componentes promedio.
1. LA COMPLEMENTARIEDAD DE ROLDÁN 1.1 La ciencia para Bohr Siguiendo a Bohr2, la ciencia tiene como objetivo el ordenamiento y el aumento de la experiencia humana comunicable sin ambigüedad. Sólo cuando la experiencia puede comunicarse sin ambigüedad, sin referencia explícita a un observador individual, puede decirse que es objetiva. Para Bohr, la meta exclusiva de la ciencia es el conocimiento no de la naturaleza sino de aquello que se puede decir de la naturaleza. La ciencia es entonces para él, básicamente un asunto de comunicación, de ahí la importancia que da al estudio cuidadoso de las condiciones que permiten el uso sin ambigüedad de los conceptos. 1.2 La unicidad del lenguaje común Bohr sostiene que el único lenguaje que es susceptible de emplearse sin ambigüedad en la ciencia es el lenguaje común suficientemente refinado por la terminología de la física clásica. Ahora bien, si el lenguaje corriente es el único que permite la objetividad y tal lenguaje se vuelve ambiguo si se lo usa para explicar las regularidades
∗
Luis G. Pedraza S., Profesor Titular, Doctor y Postdoctor en Física, Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas, Facultad de Ingenierías, Pontificia Universidad Javeriana-Cali; e-mail:
[email protected] y Luis F. Bejarano A., Profesor Asociado, Doctor y Postdoctor en Ciencias Atmosféricas, Departamento de Física, Facultad de Artes y Ciencias, Universidad de Puerto Rico-Mayagüez, EE. UU.; e-mail:
[email protected] 1 Roldán (2007). 2 Roldán, Ben-Dov y Guerrero (2004).
cuánticas, entonces: ¿cómo se puede referir sin ambigüedad a un fenómeno cuántico?. 1.3 La complementariedad de Roldán Para resolver la paradoja anterior, Bohr propone una manera de emplear el lenguaje común: el modo complementario de descripción o complementariedad. Los siguientes son los elementos básicos de la definición de complementariedad hecha por Roldán: a) El sentido de un concepto sólo se define por medio de una experiencia concreta. Únicamente la experiencia decide si se puede utilizar un concepto dado para describir cierta información. b) Dos conceptos son mutuamente excluyentes si no existe la posibilidad de definir su sentido por medio de una sola experiencia. Los fenómenos por medio de los cuales se definen tales tipos de conceptos son fenómenos mutuamente excluyentes. c) Se denomina modo normal de descripción la manera como se utiliza el lenguaje en la vida ordinaria o, suficientemente refinado, en la física clásica. d) Un fenómeno cuántico es una totalidad indivisible en la que debe hacerse una distinción fundamental entre dos aspectos, uno de los cuales puede describirse según el modo normal de descripción, mientras que el otro no. Los dos aspectos del fenómeno no pueden concebirse como separados. No se puede definir con precisión una interacción entre ellos. La totalidad inherente a un fenómeno cuántico se revela por la existencia de la constante h de Planck. El interior del fenómeno es el aspecto de la totalidad que no puede describirse según el modo normal de descripción. El interior se manifiesta por medio de efectos irreversibles de amplificación. El instrumento se describe en el modo normal de descripción y en esto se distingue fundamentalmente del interior. e) Existen pares de fenómenos tales que un aspecto del interior es constante para cada uno de ellos. Este aspecto constante es el objeto cuántico y diremos que ambos fenómenos tienen el mismo objeto cuántico. f) Dos fenómenos serán complementarios si son mutuamente excluyentes y tienen el mismo objeto cuántico. Los conceptos complementarios son aquellos que se definen por medio de fenómenos complementarios. También el objeto es aquel aspecto del interior al cual se atribuyen los conceptos complementarios que se utilizan en las experiencias complementarias. g) El modo complementario de descripción o complementariedad es la manera de utilizar el lenguaje común por medio de conceptos complementarios. h) Entre dos fenómenos complementarios el instrumento y el interior cambian, en tanto que el objeto permanece constante. La frontera entre el instrumento y el interior cambia, por lo cual se debe hablar de una frontera
móvil. No se trata de una frontera en el sentido clásico, la cual sólo se podría invocar si se tuviese la posibilidad de definir con precisión una interacción entre el instrumento y el interior, lo que no se puede dada la totalidad inherente a un fenómeno cuántico.
2. CONSIDERACIONES DE BOHR-ROSENFELD 2.1 Consideraciones físicas sugeridas por las relaciones de indeterminación de las componentes del campo electromagnético cuántico En las relaciones de conmutación de las componentes del campo electromagnético cuántico sólo entran las constantes h y c y las derivadas espacio-temporales de las funciones δ de Dirac. Como con h y c no se asocia ninguna escala fundamental, puesto que ellas no permiten construir ninguna dimensión espacio-temporal especifica (para ello se necesitarían además las masas y las cargas fundamentales), se puede utilizar como cuerpo de prueba una distribución extensa de carga de densidad esencialmente constante. Por otra parte, las funciones δ de Dirac son cantidades operacionales que sólo tienen sentido cuando ocurren bajo una integral. Se concluye, entonces, que las componentes del campo electromagnético en el dominio cuántico no pueden considerarse como verdaderas funciones puntuales: el único sentido no ambiguo lo tienen las integrales espacio-temporales de las componentes del campo. Algunas de las relaciones de indeterminación predichas por el formalismo3 son ∆E x( I ) ∆E x( II ) = ∆H x( I ) ∆H x( II ) ≈ h Axx( I , II ) − Axx( II , I ) , (1)
∆E x( I ) ∆H z( II ) = ∆H x( I ) ∆E z( II ) ≈ h B xz( I , II ) − B xz( II , I ) , (2) donde, por ejemplo
E x( I ) =
1 V I TI
∫ dt ∫ E dv 1
TI
x
1
,
(3)
VI
es el promedio de E x en la región espacio–temporal I , con volumen VI y duración TI .
Además, haciendo r1 = ( x1 , y1 , z1 ) , r2 = ( x2 , y2 , z2 ) y r = r2 − r1 se tiene Axx( I , II ) = −
1 VIVII TI TII
r
r
r
∫ dt ∫ dt ∫ dv ∫ dv 1
TI
2
TII
1
VI
3 Bohr y Rosenfeld (1983), p. 479.
2
V II
r
∂2 1 ∂ 2 1 r δ t 2 − t1 − , − 2 ∂ x ∂ x c ∂ t ∂ t r c 1 2 1 2
(4)
Bxz( I , II ) = −
1 VIVII TI TII
∫ dt1 ∫ dt2 ∫ dv1 ∫ dv2 TI
T II
VI
V II
1 ∂2 c ∂t1∂y2
1 r δ t2 − t1 − . c r
(5)
2.2 La unicidad del lenguaje común y los cuerpos de prueba en teoría cuántica de campos Dentro de la interpretación bohriana4 de la mecánica cuántica juega un papel esencial su tesis de la unicidad del lenguaje común, según la cual este lenguaje, refinado por la terminología de la física clásica, es el único que puede llegar a utilizarse sin ambigüedad y, por tanto, es el único que permite obtener descripciones científicas. Según esta tesis, el formalismo electromagnético cuántico se tiene que aplicar a medidas de campo definidas en términos clásicos. Por tanto, las interacciones entre el campo que se mide y los cuerpos de prueba que definen las medidas deben describirse clásicamente. Igualmente, los cuerpos de prueba como fuentes de campo deben describirse clásicamente. Como se verá, estas consideraciones serán de vital importancia en el análisis de los cuerpos de prueba y, en particular, serán esenciales en el tratamiento de las fluctuaciones del vacío. 2.3 Análisis del cuerpo de prueba A diferencia de una carga puntual, un cuerpo cargado extenso tiene una estructura que es necesario considerar en su análisis como cuerpo de prueba. Además, su dinámica está restringida por las relaciones de indeterminación de Heisenberg, que deben tenerse entonces en cuenta a fin de asegurar que el cuerpo cargado esté en el límite clásico, como debe ser el caso con cualquier cuerpo que se utilice como parte del instrumento de medida. Entonces: si se elige como cuerpo de prueba una distribución de carga extensa con densidad de carga constante ρ llenando enteramente el volumen V = L3 bajo investigación, la componente x del campo promedio estará dada por la fórmula clásica de interacción entre un cuerpo de prueba y el campo medido p xf − p xi = ρ E xVT , (6) donde T es el tiempo durante el cual se expone el cuerpo de prueba a la acción del campo que se mide, p xi y p xf son las componentes x del momentum del cuerpo de prueba al inicio y al final de T respectivamente. Esas componentes se miden cada una durante instantes ∆t , con la condición de que debe hacerse ∆t 4 Roldán (2007).
tan pequeño como sea posible, y ello en especial si el campo medido varía rápido con el tiempo. Se tiene entonces que ∆t << T . Asociándole también al cuerpo de prueba una gran masa, su aceleración debida a la acción del campo, puede obviamente hacerse muy pequeña. 2.4 Pérdidas de momentum por radiación Como el cuerpo de prueba prácticamente no se mueve, no producirá campo rr magnético de reacción H , y por la ecuación de Maxwell
r r r r 1 ∂E r 4π r ∇xH = + j , junto con j x = ρ (∆x / ∆t ) , se obtiene el campo c ∂t c
eléctrico de reacción en la dirección x como E xr ≈ ρ∆x . (7) Este campo de reacción se hace mayor cuanto mayor sea ρ , pero su efecto se puede compensar con un dispositivo mecánico tipo resorte, pues su forma es tipo Hooke. Reemplazando el anterior campo de reacción en la ecuación (6), el cambio de momentum lineal transferido por radiación será del orden δ r p x ≈ ρ (ρ∆x )V∆t = ρ 2V∆x∆t , (8) que se puede hacer tan pequeño como se quiera haciendo ∆t tan pequeño como sea necesario. Recuérdese que cuanto más pequeño sea ∆t , mejor es la medición. 2.5 Restricciones a la dinámica a causa de las relaciones de indeterminación de Heisenberg a) De la relación ∆p x ∆x ≈ h se obtiene de (6) que
∆E x ≈
h . (9) ρ∆xVT
La indeterminación (9) se puede hacer tan pequeña como se quiera escogiendo ρ tan grande como sea necesario ( ρ junto con la masa del cuerpo son parámetros independientes a nuestra disposición). En esta forma se asegura que el cuerpo este en el límite clásico. b) A pesar de que se puede escoger el cuerpo de prueba suficientemente masivo como para despreciar la aceleración que adquiere bajo la acción del campo medido, el cuerpo puede sin embargo adquirir durante ∆t una rapidez vx que puede ser grande aún si ∆p x y ∆t son pequeños. En efecto, de acuerdo con las relaciones ∆E = v x ∆p x y ∆t ∆E ≈ h, donde ∆E es la indeterminación
en la energía del cuerpo de prueba durante el tiempo de medición ∆t , se tiene que v x ≈
h . Esta rapidez se puede no obstante compensar mediante un ∆p x ∆t
dispositivo mecánico que, después de cada medida de momentum lineal, proporcione un contra impulso al cuerpo de prueba de modo que reduzca su rapidez a cero. Se puede considerar, entonces, que con la excepción del lapso de tiempo ∆t que toma cada medida, que el cuerpo de prueba está siempre en reposo, luego su posición prácticamente no cambia., como ya se había dicho en la sección inmediatamente anterior. 2.6 Discusión de la aproximación de cuerpo rígido La aproximación de cuerpo rígido es necesaria para asegurar que el único efecto del campo medido sobre el cuerpo de prueba sea un desplazamiento global del cuerpo. Sin embargo, como el cuerpo tiene una extensión finita, deben tomarse en cuenta efectos de retardo debidos a la propagación finita de las interacciones. En particular se quiere que cT < L , pues de lo contrario el campo medido tendrá tiempo para propagarse de un extremo al otro del cuerpo de prueba durante el tiempo T de exposición al campo. Esa propagación tenderá entonces a enmascarar la dependencia temporal que se quiere medir. El caso opuesto cT ≥ L , aún en el dominio clásico, es de poco interés, puesto que todas las peculiaridades de los campos ondulatorios dentro del volumen V = L3 son a la larga atenuadas por el proceso de promediar en la propagación durante el intervalo de tiempo T. Ahora, dado que la rapidez de propagación de las interacciones es c, el tiempo que se requiere para dar a un cuerpo de prueba extenso de longitud L, considerado como un todo, un momentum lineal bien definido, es del orden de
L > T . Entonces el tiempo de medida ∆t no podrá cumplir la condición c ∆t << T pues ello implicaría ∆t << δ t y el cuerpo, como un todo, no
δ t≈
alcanzará, durante el tiempo de medida, a adquirir un momentum lineal bien definido por la acción del campo. Se debe pensar, entonces, en un cuerpo de prueba que consista en un sistema de τ componentes individuales, cada una con dimensión Lτ suficientemente pequeña como para despreciar en ella todos los efectos de retardo, o sea Lτ << c∆t , y tales que la distancia mutua entre ellas no cambie durante el proceso de medida.
Como lo anota Darrigol5, el hecho de que el operador momentum total del cuerpo conmute con los operadores que dan las posiciones relativas de las componentes del cuerpo implica que en principio es posible obtener un cuerpo de prueba que cumpla las condiciones requeridas.
3. PROBLEMA DE LAS FLUCTUACIONES DEL VACÍO A la raíz cuadrada de cualquiera de las relaciones de indeterminación (1) o (2) anteriormente mencionadas, Bohr-Rosenfeld la designaron como una cantidad crítica de campo
∆ Bohr-Rosenfeld =
∆ BR, para todo campo
electromagnético que pueda considerarse, si este último, siendo mayor que
∆ BR, estaría cerca del modo clásico de descripción. Similarmente Bohr-Rosenfeld definieron otro campo crítico ∆ oBohr-Rosenfeld = ∆ oBR, como la raíz cuadrada de la fluctuación cuadrática media de cada cantidad de campo electromagnético cuando el número de fotones está definido y es igual a cero, por ejemplo, 12 r r r ∆o BR = ∆ ( E ( P )) = < 0 E ( P ) ⋅ E ( P ) 0 > .
Esta situación corresponde a las fluctuaciones del vacío, caso en el cual el valor esperado de todos los promedios de campo es ciertamente nulo (por ejemplo
r < 0 E ( P ) 0 > = 0 ), pero no sus fluctuaciones cuadráticas medias. La cantidad ∆ oBR es crítica en el sentido de que cuando se consideran promedios de campo, los cuales son mayores que ella, las fluctuaciones cuánticas pueden despreciarse. Fue descubierto por Corinaldesi6 que Bohr-Rosenfeld, y luego Heitler7, habían cometido un error en el cálculo del campo crítico ∆ oBR. Llama enormemente
5 Darrigol (1991). 6 Corinaldesi (1953). 7 Heitler (1984).
la atención que Kalckar8 no se planteara las consecuencias de este error con respecto al problema de medición en cuestión. Se mostrará que la corrección de Corinaldesi no cambia las conclusiones de Bohr-Rosenfeld. En el caso físico interesante L > cT Bohr-Rosenfeld encontraron que ∆ BR 2
es decir que ∆ BR ≈ ∆o BR
h , ∆o BR ≈ hc , 3 LT L2
≈ L cT
(10)
> 1, y en el caso límite L >> cT, la cantidad crítica
∆ BR es mucho más grande que ∆ oBR y por lo tanto, luego de mostrar las consecuencias del formalismo, las fluctuaciones del vacío pueden despreciarse. Darrigol9 ha obtenido los siguientes valores críticos de campo, si L > cT
∆ Corinaldesi = ∆ C ≈ c hT5 , ∆ oCorinaldesi = ∆ oC ≈ hc , (11) 2 L
L
2
cT < 1, y en el caso límite L >> cT, ∆ C es a partir de los cuales ∆ C ≈ ∆o C
L
mucho menor que ∆ oC, y las fluctuaciones del vacío no pueden despreciarse. En el caso cT ≥ L, Bohr-Rosenfeld y Corinaldesi obtuvieron valores similares, es decir
∆ BR ≈ ∆ oBR ≈ ∆ C ≈ ∆ oC ≈
hc , (12) LcT
obteniendo que ∆ BR ≈ ∆ C ≈ 1, sin poderse despreciar el papel de las ∆o BR
∆o C
fluctuaciones del vacío. Nótese que en el caso L > cT los campos críticos ∆ BR y ∆ C no coinciden. Este fue el gran error en los cálculos de Bohr-Rosenfeld que los llevó a concluir que las fluctuaciones del vacío 8 Kalckar (1971). 9 Darrigol (1991).
∆ oBR en comparación con ∆ BR podían
despreciarse. En realidad, como demostró Corinaldesi, las fluctuaciones del vacío ∆ OC ≈ ∆ oBR no pueden despreciarse y son mayores que el campo crítico ∆ C . Las fluctuaciones del vacío del campo son mayores o iguales que los efectos de no-conmutación que se observarían al verificar las predicciones del formalismo de la teoría cuántica de campos. Por lo tanto, parecería que Bohr-Rosenfeld podrían haberse equivocado al decir que sus mediciones ideales revelarían la naturaleza cuántica del campo. Podría pensarse que ninguna medición es entonces posible, y además, que los resultados obtenidos por Bohr-Rosenfeld y por aquellos autores basados en ellos no tienen justificación, o deberían cambiarse teniendo en cuenta el verdadero valor ∆ C y no el valor ∆ BR . Aunque es posible que el valor exacto
∆ Exacto se encuentre típicamente entre los estimativos de Corinaldesi y BohrRosenfeld ( ∆ C < ∆ Exacto < ∆ BR ) , para propósitos de comparación, ellos jugarían el papel de mínimo y máximo y entonces, los estimativos de Corinaldesi y Bohr-Rosenfeld serían muy útiles cuando se esté hablando de órdenes de magnitud extremos típicos. Continuando con la comparación y volviendo al caso físico interesante L > cT, se obtiene que
∆C ∆ BR
2
≈
cT L
2
< 1, de donde ∆ C ≈ (cT /L) ∆ BR y por lo
tanto
∆ C < ∆ BR.
(13)
Siguiendo las propias definiciones de ∆ BR y ∆ C, la desigualdad (13) sugiere que es más fácil llegar al modo clásico de descripción en el caso Corinaldesi que en el caso Bohr-Rosenfeld. Debe aclararse que a pesar de que Bohr-Rosenfeld cometieron un error en el caso L > cT y que ese error los llevó a considerar como despreciables a las fluctuaciones del vacío, lo cual no es así, y que además en el caso L ≤ cT tampoco pueden despreciarse las fluctuaciones del vacío, parecería que el efecto predicho por el formalismo se mantendría entonces oculto. Pero, no
obstante, a pesar de considerar poco interesante el caso L ≤ cT , BohrRosenfeld hicieron un profundo análisis de las fluctuaciones del vacío en ese caso. Además, al considerar mediciones dobles en dominios espaciotemporales que casi coinciden se tiene un caso en el que las indeterminaciones que se investigan, o sea las ∆ , son menores que las fluctuaciones del vacío ∆ o, no importando cuál sea la relación entre L y cT. En efecto, se tiene por ejemplo de una de las relaciones (1), que si la región espacio-temporal I tiende (I ) ( II ) hacia la II, entonces ∆E x ∆E x tiende a cero. Lo mismo sucedería con las otras relaciones (1) o (2). Podría pensarse como una deficiencia del trabajo de Bohr-Rosenfeld que nunca respondieran al hallazgo de Corinaldesi, pero en efecto, como se ha dicho antes, Bohr-Rosenfeld si estudiaron situaciones de medición cuyo problema fue igual a aquel que se originaría si la corrección de Corinaldesi fuera tenida en cuenta. Para Bohr-Rosenfeld las fluctuaciones del vacío son una parte integral del campo medido, y los resultados obtenidos por medio de los arreglos experimentales de Bohr-Rosenfeld son los promedios deseados. Ellos refuerzan este punto de vista diciendo que, por definición, la medición de toda cantidad física debe basarse en la aplicación de los conceptos clásicos. Como consecuencia, cualquier consideración de una limitación en la estricta aplicación de la electrodinámica clásica en la medición del campo cuántico contradeciría el propio concepto de medición. En las situaciones consideradas aquí no sería posible distinguir operacionalmente entre las fluctuaciones del campo medido y aquellas de los campos producidos por los cuerpos de prueba, los cuales son parte del instrumento de medición. El campo producido por los cuerpos de prueba fluctúa de la misma forma que el campo producido por el campo medido. La interpretación dada por Bohr-Rosenfeld a las fluctuaciones del vacío permite concluir entonces que en ningún caso dichas fluctuaciones ocultarán el efecto predicho por el formalismo10.
4. EXPERIMENTOS DE PENSAMIENTO SOBRE LA MEDIBILIDAD DE LAS COMPONENTES PROMEDIO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO CUÁNTICO Y LA INDETERMINACIÓN SUBSIGUIENTE DE SU COMPOSICIÓN FOTÓNICA 10 Pedraza (2000); Pedraza (2007).
4.1 Caso eléctrico De la ecuación (9) y en analogía con el tratamiento de Bohr-Rosenfeld, puede concluirse que ∆E x
∆E x que
BR
≈
BR
≈
h
ρVT∆x
, pero como ∆ BR ≈
h se tiene que L3T
∆ BR = ∆ BR . Se requiere también de la propia definición de ρ∆x ρ∆x
∆2BR
∆ BR
∆E x << ∆ BR, tal que se llegue al dominio cuántico en la medición de BR
∆E x . Lo último es lo mismo que decir que la desigualdad BR debe satisfacerse, o que ∆ BR ≈
∆E x BR
λ BR
medición. Finalmente se concluye que ∆E x
∆ BR ρ∆x
= λ BR << 1
es un valor de la precisión en la
BR
≈ λ BR ∆ BR.
Debido a que λ BR << 1, L > cT, ∆ x < L and α =
e 2 < 1 , siendo hc
α la
constante de estructura fina, Bohr-Rosenfeld mostraron que el número de cargas elementales NBR de las cuales la carga total del cuerpo de prueba está compuesta, debe ser muy grande. ∆ BRV L L = eλ BR ∆x λ BR ∆x cT
Es decir, NBR = ( ρ V /e ) =
hc >> 1. Nótese que la expresión para N BR no depende e2
directamente del valor que ∆ BR podría tener, y por lo tanto su orden de magnitud no cambiará cuando la cantidad ∆ C se reemplace para comparación. La intención es clarificar con cálculos hasta dónde algunas de las expresiones usadas por Bohr-Rosenfeld se afectarán, en particular aquellas que contienen de una u otra forma la cantidad ∆ BR y no ∆ C .
Ahora,
∆E x
BR
≈
∆2BR ρ∆x
2 L ∆C = ∆E xC , de donde ≈ cT ρ∆x 2
∆E x C ≈ ∆E x BR .
(14)
O sea, hay igual indeterminación en la medición en el caso Corinaldesi como en el caso Bohr-Rosenfeld. De forma análoga a lo anterior, se puede tener para la cantidad definida por λ C = ∆ C L ρ∆x cT
2
≈
∆E x C ∆C
Otro resultado inmediato es que λ C = ∆ C L λ BR ∆ BR cT
2
, que ∆E x C ≈ λ C ∆ C . 2
≈ cT L = L > 1 , es L cT
cT
decir
λ
C
> λ
BR
.
(15)
Se concluye de (15) que es más fácil llegar al dominio cuántico de medición en el caso Bohr-Rosenfeld que en el caso Corinaldesi. El valor del número de cargas elementales que la carga total del cuerpo de 2 prueba en el caso Corinaldesi debe tener será NC = ( ρ V /e) = ∆ C V L . eλ C ∆x cT 2 Comparando las expresiones NBR y NC se obtiene N C = λ BR L ∆ C ≈ N BR λ C cT ∆ BR 2
L cT cT L
2
≈ 1, o lo que es lo mismo NC ≈ NBR.
(16)
La ecuación (16) indica que el cuerpo de prueba, eléctricamente hablando, permanece casi igual, o que aproximadamente el número de cargas elementales del cuerpo de prueba es casi el mismo en los casos Corinaldesi y BohrRosenfeld.
Para reducir la cantidad (9) ρ debe hacerse muy grande, pero el campo de reacción del cuerpo de prueba ( E xr ≈ ρ∆x ) será muy grande, lo cual no implica que E xr es clásico. Lo que se requiere es la estimación de la frecuencia involucrada en su magnitud. La región a promediar es de dimensión lineal de orden L y extensión temporal de orden T< frecuencia fotónica será ν
min
≈
L 1 c . O sea, > y la mínima c T L
c , con mínima energía fotónica hν min , de L
la cual se obtiene el máximo número de fotones en el caso Bohr-Rosenfeld r dado por n BR = (E x ) V ≈ ρ 2 ∆x 2V L = λ −BR2 L . Esto indica que entre más hc hυ min cT 2
precisa es la medición del campo ( λ BR << 1 ), más clásico se hace el campo del cuerpo de prueba. O sea, el número de fotones de su campo es más incierto. 3
En el caso Corinaldesi nC ≈ ρ 2 ∆x 2V L = λC− 2 cT y, comparando de nuevo hc
λ−2 (nC / nBR ) ≈ −C2 λ BR
L
L ≈ 1 , de donde cT 2
n C ≈ n BR .
(17)
De (17) se infiere que el número de fotones del campo del cuerpo de prueba no varía al comparar los casos Corinaldesi y Bohr-Rosenfeld. Usando la ecuación ∆t (8) se obtiene que δ r p x BR ≈ ρ2 ∆xV∆t ≈ ∆p x λ−2BR , la cual implica que para T
cualquier precisión deseada en la medición del campo ( λ BR << 1 ), la influencia de la reacción electromagnética sobre las mediciones de momentum del cuerpo de prueba pueden despreciarse sólo si ∆t se escoge suficientemente pequeño en comparación con T ( ∆t << T ). En el caso Corinaldesi se concluye que
2
δ r p xC
L ∆t y comparando otra vez se concluye que (δ p / ≈ ∆pxλ−2 r xC C cT T
δ r p x BR ) ≈ 1, es decir
δ r p x C ≈ δ r p x BR ,
(18)
luego, el momentum lineal transferido por radiación desde el cuerpo de prueba es el mismo en ambos casos. Se puede concluir que todos los resultados precedentes que dependen de una u otra forma de ∆ BR , ∆ C , λ BR o λC , siguen con el mismo estatus atribuido por Bohr- Rosenfeld, luego de tener en cuenta la corrección de Corinaldesi en los casos L > cT y L ≤ cT . 4.2 Caso magnético En la medición de H x no estudiada por Bohr-Rosenfeld se tiene el siguiente balance de momentum si se usa la densidad de corriente j z en vez de una distribución de monopolo magnético
p yf − p iy = j z VTH x . (19) El tratamiento en términos de la fuerza sobre la componente j z de la densidad de corriente parece equivocado debido a que las corrientes no pueden ir sólo en una dirección, ellas deben formar lazos cerrados, y por lo tanto la fuerza del campo magnético sobre el cuerpo de prueba no puede darse sobre una corriente viajando sólo en una dirección. No obstante, puede asumirse sin pérdida de generalidad que adentro de la región de medición se encuentra una distribución de corriente suficientemente larga como para ser recta en ella. Es posible mostrar11 que el orden de magnitud de la componente magnética en la dirección x del campo de reacción del cuerpo de prueba es
11 Pedraza (2004); Pedraza (2006).
H rjz ≈ j z ∆y , (20) la cual, al ser reemplazada en (19) permite encontrar el orden de magnitud del momentum lineal transferido por radiación desde el cuerpo de prueba
δ j p y ≈ j z2V∆t∆y . z
(21)
De la relación ∆p y ∆y ≈ h y usando la ecuación (19) es posible obtener
∆H x ≈
h , j z ∆yVT
(22)
la cual puede reducirse sustancialmente escogiendo j z suficientemente grande. De la ecuación (22) y en analogía con el tratamiento de Bohr-Rosenfeld, puede concluirse que ∆H x BR ≈
h h se tiene entonces , pero ya que ∆ BR ≈ j z ∆yVT L3T
2 que ∆H xBR ≈ ∆ BR = ∆ BR ∆ BR . También se requiere por la propia definición
jz ∆y
jz ∆y
de ∆ BR que ∆H x BR << ∆ BR tal que el dominio cuántico de medición se logre en la medición de H x BR . Lo último es equivalente a decir que la desigualdad
∆H xBR ∆ BR = ϑ BR << 1 debe satisfacerse, o que ϑBR ≈ es un valor de la ∆ BR j z ∆y precisión en la medición. Se concluye finalmente que ∆H x BR ≈ ϑ BR ∆ BR . 2 ∆2 BR L ∆C ≈ ≈ = ∆H xC , de donde j z ∆y cT j z ∆y 2
Ahora, ∆H xBR
∆H xC ≈ ∆H xBR .
(23)
Es decir, existe igual indeterminación en la medición en el caso Corinaldesi no tratado comparado con el caso Bohr-Rosenfeld no tratado.
Similarmente
∆ ϑC = C j z ∆y
se
puede
tener
para
la
cantidad
definida
por
∆H xC L , que ∆H xC ≈ ϑC ∆ C . Otro resultado inmediato ≈ ∆C cT 2
ϑ ∆ es que C = C ϑBR ∆ BR
2
2
L L cT L > 1 , es decir ≈ = cT cT L cT
ϑC > ϑBR .
(24)
Se concluye de (24) que es más fácil llegar al terreno cuántico en el caso BohrRosenfeld no tratado de medición que en el no tratado de Corinaldesi. El hecho de que j z deba hacerse muy grande para reducir la cantidad (22), y que entonces el campo del cuerpo de prueba ( H rjz ≈ j z ∆y ) crezca muchísimo, no implica que H rjz sea clásico. Lo que se requiere es una estimación de la frecuencia involucrada en su magnitud. La región a promediar es de dimensión lineal de orden L y extensión temporal de orden T< mínima frecuencia fotónica será ν
min
≈
L 1 c . O sea, > y la c T L
c , con mínima energía fotónica L
hν min , de la cual se obtiene que el máximo número de fotones en el caso Bohr-
(H ) V = r
Rosenfeld no tratado es n BR
2
jz
hν min
≈ j z2 ∆y 2V
L − 2 L = ϑ BR . Esto hc cT
otra vez indica que entre más precisa es la medición del campo ( ϑ BR << 1 ), más clásico se hace el campo del cuerpo de prueba. O sea, el número de fotones de su campo es más incierto. En el caso Corinaldesi no tratado se tiene
(H ) V = r
que nC
de donde
2
jz
hν min
≈ j z2 ∆y 2V
3 n L − 2 L = ϑC y comparando, C ≈ 1, n BR hc cT
n C ≈ n BR .
(25)
Entonces por (25) el número de fotones del campo del cuerpo de prueba no varía al hacer la comparación entre los casos Corinaldesi y Bohr-Rosenfeld no tratados. Usando la ecuación (21) se obtiene que − 2
∆p yϑBR
δ j p yBR
≈ jz2V∆t∆y ≈
z
∆t , la cual implica que para cualquier precisión deseada en la T
medición del campo ( ϑ BR << 1 ), la influencia de la reacción electromagnética sobre la medición del momentum del cuerpo de prueba puede despreciarse si sólo ∆t se escoge muy pequeño en comparación con T ( ∆t << T ). En el caso Corinaldesi no tratado se concluye que
δ j p yC ≈ L ∆p yϑC− 2 ∆t cT
T
comparando otra vez se concluye que ( δ jz
p yC / δ j z p yBR ) ≈
1, de donde
2
δ j p yC z
≈
z
y
δ j p yBR , (26) z
que indica que el momentum lineal transferido por radiación desde el cuerpo de prueba es el mimso en los dos casos no tratados. Se puede concluir que los resultados anteriores que dependen de una u otra manera de ∆ BR , ∆ C , ϑ BR o ϑC , siguen con el mismo estatus que podría haber sido asignado por Bohr-Rosenfeld, luego de tener en cuenta la corrección de Corinaldesi no tratada en ambos casos L > cT y L ≤ cT . Finalmente, recuérdese que la ecuación nC ≈ n BR = (E x ) V ≈ ρ 2 ∆x 2V L es hc hυ min el máximo número de fotones del campo de reacción producido por el cuerpo r 2
j z ∆y 2 nC 2
de prueba, y de ella se puede ver que
≈
ρ 2 ∆x 2 n BR
≈
r 2 hc ( E xr ) 2 V hc ( H jz ) V hc ( 4) ≈( 4) ≈ es un estimativo del cuadrado de las L n BR hν min L nC hν min L4
fluctuaciones del vacío de su propio campo electromagnético clásico, el cual sólo depende de las dimensiones lineales del dominio de medición y siempre
permanece finito sin variar con ρ o j z . Observando las ecuaciones (10), (11) y (12) se puede ver que para L > cT o cT ≥ L, las fluctuaciones del vacío del campo electromagnético cuántico a ser medido, sea en el caso Bohr-Rosenfeld o en el caso Corinaldesi, coinciden por lo tanto con las fluctuaciones cuánticas del campo electromagnético clásico del cuerpo de prueba, es decir, las fluctuaciones del campo electromagnético clásico del cuerpo de prueba son las mismas que las fluctuaciones del vacío.
5. EXPERIMENTO DE PENSAMIENTO SOBRE LA DETERMINACIÓN PRECISA DE LA COMPOSICIÓN FOTÓNICA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO CUÁNTICO Y LA INDETERMINACIÓN SUBSIGUIENTE DE CUALQUIERA DE SUS COMPONENTES PROMEDIO Se sabe del formalismo de la teoría cuántica de campos12 que tanto el operador de campo eléctrico como el operador de campo magnético no conmutan con el operador número de fotones. Es decir, existen relaciones de indeterminación entre las componentes promedio del campo electromagnético y su número de fotones. Lo anterior se ha verificado con la experiencia de pensamiento de la sección 4.1, donde se mostró que el campo de reacción producido por el cuerpo de prueba tiene una composición fotónica inversamente proporcional a las cantidades λ BR y λC , las cuales indican qué tan precisa es la medición de la componente del campo eléctrico, según las expresiones n BR ≈ λ −BR2 L y cT
3
nC ≈ λ−C2 cT . Se sabe que cuantas más pequeñas son λ BR y λC , más precisa L
es la medición de la componente del campo eléctrico y mayor es el número de fotones del campo de reacción del cuerpo de prueba. Similarmente, con la experiencia de pensamiento de la sección 4.2 se mostró que el campo de reacción producido por el cuerpo de prueba tiene una composición fotónica inversamente proporcional a las cantidades ϑ BR y ϑC , las cuales indican qué tan precisa es la medición de la componente del campo magnético, según las expresiones n BR ≈ ϑ
− 2 BR
3
L − 2 L y nC ≈ ϑC . Se sabe que cuantas más cT cT
pequeñas son ϑ BR y ϑC , más precisa es la medición de la componente del campo magnético y mayor es el número de fotones del campo de reacción del cuerpo de prueba. 12 Heitler (1984).
A continuación se verá que una experiencia de pensamiento para determinar de forma precisa el número de fotones del campo electromagnético cuántico hace indeterminado el valor promedio de cualquiera de sus componentes. La función de un detector de fotones es producir una señal para cada partícula que entre en él a través del uso de alguna interacción de ellos con la materia que esté en el detector. Entre este tipo de interacciones están, por ejemplo, para rayos X y rayos γ , el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y la producción de pares. Dos de los detectores más comunes son el de gas y el de semiconductores. El principio físico básico de los detectores llenos de gas13 consiste en la ionización del gas por los fotones que pasan a través de él. Típicamente un contador tal consiste de dos electrodos a los cuales se aplica cierta diferencia de potencial. Se supondrá que el volumen encerrado por el detector es V = L . El espacio entre los electrodos se llena con gas y los fotones que lo traspasan disipan parte o toda su energía, generando pares electrón-ión. Los electrones y los iones son portadores de carga que se mueven bajo la influencia del campo electrostático (no cuantizado)14, produciendo una corriente eléctrica sobre los electrodos, la cual puede medirse y cuya intensidad es la medición del campo electromagnético incidente sobre dichos electrodos. Es posible también con una electrónica apropiada, transformar en un pulso cada carga producida por los fotones y contar entonces cada fotón individualmente. Según la intensidad de los fotones, el campo electrostático entre los electrodos se hace variar en magnitud para poder recolectar los portadores de carga que surgen en la ionización. Entonces, las características del aparato de medición están determinadas por la frecuencia o la longitud de onda de los fotones que se están estudiando. Si al gas ionizado no se le aplica el campo electrostático, los electrones e iones positivos se moverán al azar y no serán recolectados. Cuando el campo electrostático está presente, ambos adquieren una velocidad neta y experimentan la misma fuerza pero diferente aceleración, pues tienen diferentes masas. Es decir que para medir el número de fotones asociado al campo electromagnético que entra al detector, es necesario mantener el campo electrostático entre los electrodos. Este campo electrostático no perturba el número de fotones que vienen con el campo electromagnético externo al detector, puesto que al él no estar cuantizado, no se le asocia una composición fotónica. Al producirse un par electrón-ión, el electrón y el ión se aceleran en su camino al detector. Entonces producirán campo electromagnético y por tanto fotones adicionales de una cierta frecuencia f o longitud de onda λ . Para que esos fotones adicionales no perturben el número de fotones del campo electromagnético que entra al detector, hay que asegurar que su energía no sea 3
13 Tsoulfanidis (1983). 14 Heitler (1984).
suficiente para excitar pares adicionales electrón-ión. Si ello es así, entonces no hay posibilidad de que sean medidos por el detector y por tanto no interesan. Pero su campo si perturbaría la medición del campo externo. La descomposición en modos normales del campo electromagnético producido por los pares electrón-ión contiene esencialmente ondas de longitud de onda λ = d ( d ≈ L ), donde d es la distancia entre los electrodos del detector, o sea que la energía de sus fotones es del orden de hc / L . Hay que asegurar que esta energía sea menor que la energía de excitación ( H Excitación ) de los pares electrón-ión, es decir que la desigualdad ( hc / L ) < H Excitación se cumpla. Es necesario también mantener el gas adentro de las placas para que haya material susceptible de ser ionizado. Si se tratara de medir en estas circunstancias el campo electromagnético externo, se nota que no sería posible, ya que el cuerpo de prueba que se coloca para percibir, por medio de cambios en su momentum, el campo electromagnético externo, se vería también influenciado, además de su propio campo de reacción, por el campo electrostático entre los electrodos y por el campo electromagnético producido por los pares electrón-ión, el cual no es predecible con certeza y por tanto no es compensable. Tocaría “apagar” el campo sobre los electrodos y quitar el gas para tener solamente el campo electromagnético libre, sin tener entonces detección de fotones. El campo electrostático que se está tratando podría ser, por ejemplo, el creado entre dos placas metálicas planas paralelas, dos esferas metálicas huecas concéntricas o dos cilindros metálicos huecos coaxiales. Si se eliminara entonces el campo entre los electrodos para poder medir el campo electromagnético externo no se tendría un contador de fotones. Así, las condiciones para medir el número de fotones con un detector lleno de gas, son mutuamente excluyentes con las condiciones para medir dentro de él, el campo electromagnético externo que los traspasa cuando se ha retirado el gas. Ambos fenómenos son complementarios en conformidad con el formalismo de la teoría cuántica de campos. Otros tipos de detectores son los llamados detectores de semiconductores que serán descritos a continuación en cuanto a sus principios físicos de funcionamiento. Los detectores de semiconductores son artefactos de estado sólido que operan esencialmente como las cámaras de ionización o detectores de gas. Los portadores de carga en los semiconductores15 no son electrones e iones como en los contadores de gas, sino que son electrones y “huecos”. En los semiconductores los electrones no se pueden mover a bajas temperaturas (cercanas al cero absoluto) bajo ninguna diferencia de potencial. Mientras la 15 Shalímova (1975).
temperatura se incrementa en el semiconductor, los electrones pueden sin embargo moverse y una corriente eléctrica fluirá bajo diferencias de potencial moderadas. Cuando en un semiconductor un electrón se mueve de la banda de valencia a la banda de conducción, un estado vacío queda en la banda de valencia; este es llamado un hueco. Un hueco es la ausencia de un electrón. Cuando los electrones se mueven en una dirección, los huecos lo hacen en la dirección opuesta. Los huecos son tratados como partículas con carga positiva: − ( − e ) = + e . Ellos contribuyen a la conducción en la misma forma que lo hacen los electrones. En un semiconductor puro eléctricamente neutro, el número de electrones es siempre igual al número de huecos. No obstante, los semiconductores puros no están disponibles y las impurezas adentro de ellos hacen que las propiedades de un semiconductor puro cambien. Con las impurezas presentes se crean en el semiconductor nuevos estados acompañados de electrones y huecos extras, los cuales incrementan la conductividad del material. Como se sabe, si la conductividad se debe principalmente a electrones (negativos), el semiconductor se denomina del tipo-n y si los portadores de corriente son esencialmente positivos, el semiconductor se denomina del tipop. En los detectores de semiconductores el campo eléctrico con el cual se recolectan las cargas producidas por el campo electromagnético que lo atraviesa, se establece por medio de un proceso algo más complicado que en los contadores de gas. Este proceso depende de las propiedades de los semiconductores tipo-n y tipo-p. Recuérdese un poco sobre la juntura p-n. Si dos semiconductores, uno del tipo-n y otro del tipo-p se colocan juntos, los electrones y los huecos se pueden mover debido a dos razones: a) por difusión y b) bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado a la juntura. Si inicialmente la juntura está en una región libre de campo eléctrico externo, los electrones se difundirán del semiconductor n al semiconductor p y viceversa. Esta difusión producirá un equilibrio en las concentraciones de electrones y de huecos cambiando la carga en equilibrio que se tenía originalmente. Inicialmente ambos semiconductores eran eléctricamente neutros, pero por la difusión, la región tipo-n estará cargada negativamente. Después de que se establece el equilibrio, existe una diferencia de potencial
∇ Vo entre las dos regiones. Si se aplica una diferencia de potencial externa ∇ V Externa con el polo positivo adherido al semiconductor tipo-n, la diferencia de
potencial
total
∇ VTotal
∇ VTotal = ∇ Vo + ∇ V Externa .
adentro
de
la
juntura
será
Esa diferencia de potencial externa tiende a dificultar el movimiento de los electrones y los huecos. En la región donde
prevalece la diferencia de potencial
∇ VTotal
existe el campo electrostático
E = −∂ (∇ VTotal ) / ∂r ; donde r
simboliza el desplazamiento en cualquier dirección adentro de la región cubierta por la juntura. El tipo de conexión de la fuente de potencial tal como se ha descrito se denomina conexión inversa. Ahora bien, el campo electromagnético incidente sobre la juntura produce pares electrón-hueco dentro de ella. Los electrones y los huecos son barridos bajo la influencia del campo electrostático y con una electrónica apropiada, la carga recolectada produce un pulso que puede ser registrado, el cual se considera proporcional al número de fotones incidentes sobre la juntura. Si ahora se tratara de medir el campo electromagnético asociado a los fotones incidentes, habría que considerar la diferencia de potencial ∇ Vo y el campo producido por el movimiento de las cargas en el dispositivo medidor de fotones, los cuales no son compensables.
Cabe aclarar aquí que los campos electrostáticos por ∇ Vo y ∇ V Externa dentro de la juntura, no están asociados con composición fotónica alguna y entonces, ellos no afectan la medición del número de fotones que acompañan al campo electromagnético incidente sobre el detector. El hecho mismo de que el número de fotones se esté midiendo indirectamente por medio del número de pares electrón-hueco, indica que se están considerando dentro de la juntura, interacciones entre el campo electromagnético asociado con la radiación incidente y la materia de la cual está hecho el contador. Un contador del tipo descrito no es compatible con un arreglo para medir componentes promedio de campo electromagnético, son arreglos que determinan experiencias mutuamente excluyentes. Así, los fenómenos de determinar el número preciso de fotones y de determinar precisamente las componentes del campo electromagnético, son complementarios, en acuerdo total con el formalismo de la teoría cuántica de campos. La indivisibilidad del fenómeno cuántico implica que las variables número de fotones y magnitud promedio del campo son variables complementarias y que en la determinación de cualquiera de ellas, cualquier aseveración es en general estadística. La posibilidad de utilizar conceptos precisos del número de fotones o magnitud promedio del campo electromagnético dependen del tipo de experiencia que se tenga.
6. LA INDIVISIBILIDAD, LA INTERIORIDAD Y EL VACÍO COMO OBJETO CUÁNTICO EN TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS
En mecánica cuántica no-relativista no se puede definir una interacción entre el instrumento de medida y el objeto que se mide. Esa interacción no se puede entonces compensar. Por ello una manera más conveniente de hablar es en términos de la indivisibilidad del fenómeno cuántico: este último es un todo indivisible que incluye el instrumento de medida. Sin embargo, debe hacerse una distinción fundamental entre el instrumento, que tiene que describirse clásicamente y el resto del fenómeno que no puede describirse en el modo ordinario de descripción del lenguaje clásico. Ese resto del fenómeno, que podemos llamar el interior, debe describirse en un nuevo modo de descripción del único lenguaje que se tiene y que puede llegar a utilizarse sin ambigüedad: el lenguaje común refinado por la terminología clásica. Ese nuevo modo de descripción es el modo complementario de descripción o complementariedad. Una consecuencia de la indivisibilidad del fenómeno cuántico es que, en general, las predicciones son sólo estadísticas. Otra consecuencia es que la posibilidad de utilizar conceptos como los de posición o momentum precisos de un electrón depende del tipo de experiencia que se tenga. Las relaciones de indeterminación de Heisenberg, por otra parte, deben considerarse como una manifestación matemática de la indivisibilidad del fenómeno cuántico. En teoría cuántica de campos la indivisibilidad se manifiesta en la imposibilidad de despreciar los efectos del campo de reacción del instrumento de medida. Más precisamente del campo de reacción del cuerpo de prueba que es parte del instrumento de medición. Las restricciones cuánticas a la dinámica del cuerpo de prueba implican que la densidad de carga debe crecer a fin de tener el cuerpo en el límite clásico, como debe ser para que sea parte del instrumento de medida. Como los campos de reacción son proporcionales a dicha densidad de carga, las restricciones cuánticas a la dinámica del cuerpo de prueba tienen entonces como consecuencia la mencionada imposibilidad de despreciar los efectos del campo de reacción. Esos efectos pueden compensarse con un dispositivo clásico tipo resorte16. Se debe remarcar que si ello no fuese posible tendría que aceptarse la conclusión catastrófica de Landau-Peierls17, de que en el dominio cuántico el campo electromagnético no es medible. La necesidad de tener en cuenta las restricciones cuánticas a la dinámica del cuerpo de prueba, conduce a aceptar que en todo el proceso de medición el cuerpo de prueba es tratado como parte del instrumento. Se ha dicho que el objeto cuántico es lo que permanece constante del interior entre dos experiencias complementarias. Pero también el objeto es aquel aspecto del interior al cual se atribuyen los conceptos complementarios que se utilizan en las experiencias complementarias. Así, por ejemplo, en las dos experiencias complementarias de medir la posición precisa y el momentum 16 Bohr y Rosenfeld (1983); Pedraza (2004); Pedraza (2006). 17 Landau y Peierls (1983).
preciso de un electrón, esas cantidades se atribuyen ordinariamente al electrón que es el objeto de los dos fenómenos complementarios. Se puede pensar en dos experiencias complementarias en teoría cuántica de campos, una que consiste en la determinación precisa de las intensidades del campo electromagnético y la otra en la determinación precisa del número de fotones. Las dos experiencias son complementarias puesto que las cantidades en cuestión obedecen relaciones de indeterminación similares a las que obedecen el momentum y la posición del electrón en teoría cuántica norelativista. ¿Cuál será el objeto de ambas experiencias? Al igual que la posición y el momentum del electrón en la teoría no-relativista, las componentes del campo electromagnético y el número de fotones son ahora operadores. Los operadores en el lenguaje ordinario representan propiedades. Así, la posición y el momentum se considera que representan propiedades del electrón, aunque estrictamente son aspectos de la totalidad constituida por el fenómeno, la cual incluye el instrumento de observación, razón por la cual es conveniente escribir la palabra propiedad entre comillas, lo cual haremos en lo que sigue. ¿De qué podremos decir son “propiedades” las intensidades del campo electromagnético y el número de fotones? Veamos: hemos dicho que en el caso no-relativista las cantidades complementarias como el momentum y la posición se atribuyen al sistema, el cual se considera representado por el vector de estado o función de onda. Podemos decir entonces que el momentum y la posición se consideran como “propiedades” de aquello que está representado por el vector de estado. Y aquello representado por el vector de estado es lo que hemos llamado objeto cuántico. Siguiendo la analogía para el caso de la teoría cuántica de campos, diremos que las componentes del campo y el número de fotones pueden considerarse como “propiedades” de aquello representado por el vector de estado. En suma: el vector de estado representa el objeto, tanto en mecánica cuántica no-relativista como en teoría cuántica de campos. Ahora, el formalismo nos muestra que cualquier vector de estado en teoría cuántica de campos puede obtenerse, por medio de operadores de creación, a partir del estado fundamental, estado en el cual el número de fotones de todo tipo es cero. El formalismo nos indica entonces que finalmente todo lo que cuenta es ese estado fundamental y que podemos afirmar que, en esencia, es ese estado fundamental lo que va a representar lo que nosotros llamamos objeto cuántico. Como lo que está representado por ese vector de estado fundamental es el vacío, diremos que el objeto en los fenómenos complementarios en teoría cuántica de campos es el vacío.
CONCLUSIONES
1) La definición de complementariedad de Roldán se puede extender de la explicación de los problemas de medición en teoría cuántica no-relativista a la explicación de los problemas de medición en teoría cuántica de campos. 2) El formalismo de la teoría cuántica de campos para el campo electromagnético libre está desligado de la teoría atómica de la materia, por lo que el cuerpo de prueba debe ser una distribución extensa y uniforme de carga o corriente y no una carga puntual. 3) Las componentes del campo electromagnético en el dominio cuántico no pueden considerarse como verdaderas funciones puntuales: el único sentido no ambiguo lo tienen las integrales espacio-temporales de las componentes del campo. 4) Las interacciones entre el campo que se mide y los cuerpos de prueba que definen las medidas deben describirse clásicamente. 5) Los cuerpos de prueba como fuentes de campo deben describirse clásicamente. 6) Se ha mostrado que el error descubierto por Corinaldesi en los casos tratados por Bohr-Rosenfeld no afecta las conclusiones de los últimos. 7) Se ha mostrado que el error descubierto por Corinaldesi en los casos no tratados por Bohr-Rosenfeld no afecta las conclusiones que los últimos pudieron haber obtenido. 8) Una reacción de Bohr-Rosenfeld al hallazgo de Corinaldesi no fue estrictamente necesaria. 9) La medición de una componente promedio de campo eléctrico no está impedida por ninguna relación de indeterminación o fluctuaciones del vacío. 10) La medición de una componente promedio de campo magnético no está impedida por ninguna relación de indeterminación o fluctuaciones del vacío. 11) Para Bohr-Rosenfeld las fluctuaciones del vacío son una parte integral del campo medido, y los resultados obtenidos por medio de los arreglos experimentales de Bohr-Rosenfeld son los promedios deseados. 12) No es posible distinguir operacionalmente entre las fluctuaciones del campo medido y aquellas de los campos producidos por los cuerpos de prueba, los cuales son parte del instrumento de medición. 13) En teoría cuántica de campos la indivisibilidad se manifiesta en la imposibilidad de despreciar los efectos del campo de reacción del instrumento de medida. Más precisamente del campo de reacción del cuerpo de prueba que es parte del instrumento de medición. 14) Las relaciones tipo Heisenberg para las componentes promedio del campo electromagnético cuántico deben considerarse como una manifestación matemática de la indivisibilidad del fenómeno cuántico en teoría cuántica de campos. 15) Las relaciones tipo Heisenberg para las componentes promedio del campo electromagnético cuántico y el número de fotones deben considerarse como
una manifestación matemática de la indivisibilidad del fenómeno cuántico en teoría cuántica de campos. 16) Dos experiencias complementarias en teoría cuántica de campos son la determinación precisa de las intensidades del campo electromagnético y la determinación precisa del número de fotones. Las dos experiencias son complementarias puesto que las cantidades en cuestión obedecen relaciones de indeterminación similares a las que obedecen el momentum y la posición del electrón en teoría cuántica no-relativista. 17) El vector de estado representa el objeto cuántico, tanto en mecánica cuántica no-relativista como en teoría cuántica de campos. 18) El objeto cuántico en los fenómenos complementarios en teoría cuántica de campos es el vacío.
AGRADECIMIENTOS El autor Luis G. Pedraza S., Ph. D. agradece la hospitalidad y el acompañamiento académico ofrecidos durante la realización del presente artículo y del Postdoctorado en Física en la Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez, EE. UU., por el Profesor Luis F. Bejarano A., Ph. D. Igualmente agradece los invaluables apoyos académico y económico de la Pontificia Universidad Javeriana de Cali por medio del tiempo asignado por la Oficina de Investigación y Desarrollo al proyecto de investigación “El Problema de Sitnikov”, del cual es fruto el presente artículo, y a las licencias remuneradas otorgadas por Mauricio Jaramillo A., Ph. D. (Decano Académico de la Facultad de Ingenierías) y Daniel González, M. Sc. (Director del Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas). También agradece a los profesores Germán Guerrero, Ph. D. y Luz Marina Duque, M. Sc., la invitación a publicar un capítulo en el presente volumen.
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