UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ CARRERA ACDEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
MECANICA DEL TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Teoría del inicio del moimien!o Para Para el estud estudio io de la teor teoría ía del del Trans ranspo porte rte de Sedi Sedime ment ntos os y para para la solu solució ción n de numerosos numerosos problemas problemas de ingeniería ingeniería fluvial es necesario conocer la" condicione" de iniciaci#n del moimien!o de las partículas partículas constituyentes constituyentes del lecho. lecho. Estos problemas problemas están estrechamente li$ado a la ero"i#n%
&En '() con"i"!e el conocimien!o del inicio del moimien!o de la *ar!ic(la+ Consiste en conocer las circunstancias en que se produce el desplaamiento de una partícula del fondo por el efecto efe cto de la fuera de arrastre del agua. Como se deduce de lo e!puesto con anterioridad" en alg#n momento" en un cauce que soporta una corriente" una partícula se verá desplaada por la fuera de arrastre del agua. $a situación en la moimi mieen!o n!o de la" la" *ar! *ar!íc íc(l (la" a" de ,ond ,ondoo "e lla llama inic inicio io de que se inicia el moi moimien!o" es decir" nos permite conocer en qu% condiciones ocurre este fenómeno es el ob&eto de la teoría del principio o condición crítica del movimiento de fondo.
&Para '() "ire el conocimien!o de la iniciaci#n del moimien!o+ El conocimien!o de la" condicione" de iniciaci#n del moimien!o *ermi!e calc(lar el $a"!o "#lido de ,ondo -el arra"!re./ a"í como dimen"ionar canale" e"!a0le"/ di"e1ar "i"!e "i"!ema" ma" de *ro!e *ro!ecci cci#n #n con!r con!raa la ero"i ero"i#n #n 2 re"ol re"oler er n(mer n(mero" o"o" o" *ro0l *ro0lema ema"" de 3idr4(lica Fl(ial% Seg#n '. (ocha" e!isten dos formas de apro!imarse al estudio de la iniciación del movimiento. ) $a prim primera era for forma ma"" se refi refiere ere a la la acci#n del e",(er5o de cor!e/ o ,(er5a !rac!ia . El movimie movimiento nto de las partíc partículas ulas del fondo fondo empiea empiea cuando cuando la ,(er5a ac!(an!e 6 7 *es decir" la fuera tractiva+ e" i$(al a la ,(er5a !rac!ia crí!ica 6 c" o con mayor precisión *,-+c" que es propia de cada material constituyente del fondo. ) $a otra otra form formaa es es la la de!erminaci#n de la elocidad crí!ica de
arra"!re V c. Se denomina elocidad crí!ica de arra"!re a la elocidad media de la corrien!e a la c(al em*ie5a el moimien!o -el arra"!re. de la" *ar!íc(la" con"!i!(2en!e" del lec8o . El
gasto correspondiente a la iniciación del movimiento se denomina gasto crítico de iniciación iniciación del movimiento" movimiento" o gasto crítico de arrastre" y se designa como o. Es igual al producto del área de la sección transversal por la velocidad crítica /c. $a iniciac iniciación ión del movimi movimient ento o no sólo sólo es difícil difícil de determ determinar inarse" se" sino sino tambi% tambi%n n de defini definirse. rse. En un lecho lecho natura naturall hay partícula partículass de la más diversa diversa granulom granulometrí etría. a. En principio" cada partícula tiene su propia velocidad crítica. En un lecho constituido por
un material de granulometría uniforme todas las partículas no son e!actamente iguales" ni sufren de la misma forma la acción de la turbulencia. turbulencia. En consecuencia" consecuencia" la iniciación iniciación del movimiento es un fenómeno esencialmente probabilístico.
ECUACIONES FUNDAMENTALES Fl(9o Uni,orme Se dice que un canal esta en flu&o uniforme cuando la profundidad y velocidad son constantes. 0uchos canales se dise1an ba&o flu&o uniforme.
a. E",(er5o cor!an!e en el lec8o de (n ca(ce% En flu&o uniforme la fuera tractiva en apariencia es igual a la componente efectiva de la fuera gravitacional que act#a sobre el cuerpo de agua paralela al fondo del canal. 'naliando el equilibrio de fueras en un tramo de cauce de longitud diferencial" en el sentido de la corriente la componente del peso del volumen de control es contrarrestada por la fuera de roamiento en su contorno *ver figuras+
2iguras3 Corte longitudinal esquemático de un cauce Para un cauce prismático" el peso del líquido 456 es igual al producto del peso específico por el volumen de control
: ; ɣ < A< d=
o : ; ɣ < A< L
7ónde3 ' 8 Es el área transversal del cauce. ɣ 8 Es el peso específico del agua $ 8 $ongitud del tramo del canal $a componente en la dirección del flu&o 5 ! 8 ɣ 9 '9 d! 9 sen: . Si el ángulo 4:6 es peque1o sen:
≈
tg :
≈
S siendo 4S6 la pendiente del tramo de cauce analiado" es
decir3 γ ∙ A ∙ S ∙ dx
Por otro lado" e!iste una fuera de fricción aplicada en todo el contorno del cauce que se opone al escurrimiento τ 0 .
P% d=/
7onde P 8 Es el perímetro mo&ado del cauce. 'naliando el equilibrio de ambas fueras resulta3
τ 0 ∙ P ∙ d x = γ ∙ A ∙ S ∙ d x γ ∙ A ∙ L ∙ S = τ 0 ∙ P ∙ L
(esolviendo se obtiene3 )
El e",(er5o de cor!e en el con!orno 2 *ara ,l(9o *ermanen!e es3 τ 0 =γ ∙ R ∙ S
En donde3 ,- 8 Es la tensión o esfuero cortante *t;m<+ = 8 El peso específico del líquido *>"- t;m?+ S 8 Pendiente del cauce ( 8 Es el radio hidráulico del cauce *( 8 ';P+
c. O!ra ,orma *or elocidad de cor!e @tra forma de representar la e!presión anterior es mediante la velocidad de corte
V ¿
.
$a acción del agua sobre el fondo puede representarse tambi%n por una velocidad característica denominada 4velocidad de corte
V ¿
6. 7e los conocimientos
adquiridos en 0ecánica de los 2luidos" esta velocidad se define a partir de la tensión
τ 0
como3
$a velocidad de corte" para un flu&o permanente es3
V ¿ =
√
τ o ρ
Para flu&o uniforme de equilibrio la velocidad de corte es igual a3
V ¿ =√ g .R.senθ senθ≈tgθ = S = pendientede fondo V ¿ =√ g . R . S )
El e",(er5o cor!an!e en el medio del lec8o es igual3 2
τ o =V ¿ . ρ
7onde
)
ρ
es la densidad del agua.
En "eccione" *ara (n canal m(2 anc8o se suele igualar al tirante *yo+ es decir para cauces muy anchos *A B <-
y o
+ entonces (
≈ yo
.
$a ecuación puede escribirse3
τ 0 =γ ∙ y o ∙ S
)
El e",(er5o a (na *ro,(ndidad -2. cualquiera se puede calcular con3
τ o =γS ( y o− y )
)
Si la *ro,(ndidad del ,l(9o - y o ¿ / el !ama1o del $rano
K (¿¿ s )
¿
2 la elocidad
*romedio en la er!ical V "on conocido" entonces3 Seg#n Chey3
V =C √ RS C 8 Coeficiente de descarga de Chey en la ecuación 1 /2 8g C = f
( )
f 8 Coeficiente de resistencia de 7racy)5eisbach dado por la siguiente e!presión
f =8
τ o 2
ρV
Entonces se tiene3 2
τ o =
•
ρV
[
(
y 5.75log 12.27 o k s
)]
2
Para una velocidad vertical simple en la sección transversal sando t%cnicas de regresión para la forma logarítmica de los valores de ¿
V / V
y ln*y+" se obtiene3
¿
V / V =¿ <.D> *ln y F ln -.--GD+ ( 8 -.HHI J 8 -.?H yK 8 -.--GD Se tiene3 ¿
V / V =¿ <.D> ln*y;-.--GD+ V
V ¿ =
2.541 . ln
(
y 0.0085
)
=
τ o ρ
2
τ o =
ρV
[
(
y 2.541 . ln 0.0085
)]
2
Si usamos y 8 -.?-" / 8 -.I> como punto conocido de velocidad
τ o =
•
( 1000)( 0.61)2
[
2.541 . ln
(
0.30 0.0085
)]
2
=4.54
N 2 m
Para un canal entero" es decir" haciendo ( 8 y o *para un canal ancho τ 0 =γ ∙ R ∙ S
τ 0 =( 9810 ) ∙ ( 2.377 ) ∙ ( 0.000206 )= 4.80
N m
2
En $eneral *ara ,l(9o" !ridimen"ionale" '(e "e *re"en!an en la *r4c!ica/ la !en"i#n cor!an!e τ o no "e di"!ri0(2e en ,orma con"!an!e de0ido a la e=i"!encia de ,l(9o" "ec(ndario"/ *or lo '(e la" carac!erí"!ica" de la di"!ri0(ci#n real de*enden de la "ecci#n del canal% La" ec(acione" *receden!e" !ra!an con alore" *romedio" del e",(er5o de cor!e o elocidad% E9em*lo>
Para un rio ancho" calcular el esfuero cortante en el lecho y la velocidad de corte para un flu&o permanente con una profundidad de >.Dm y una pendiente del lecho de -.---?. Solución3 Para flu&o uniforme de equilibrio" la velocidad de corte es igual a3
V ¿ =√ g .R.senθ Para un canal ancho ( 8 y" por tanto la velocidad de corte es 0.0003 ( 9.81 ) . ( 1.5 ) . ¿ V ¿ =√ ¿ V ¿ =0.066 m / s El esfuero cortante en el medio del lecho es igual3 τ o =V ¿ . ρ=( 0.066 ) 2
2
( 1000 )= 4.40 Pa
0. A*licaci#n del dia$rama de S8ield" Cri!erio de S8ield" Sobre este problema ha sido intensamente investigado en hidráulica aunque casi todos los conocimientos provienen de ensayos de laboratorio con arenas uniformes" los que paralelamente han sido apoyados en teorías mecanicistas y análisis dimensionales. 7e todos ellos" el que tiene más consenso a su alrededor es el resultado obtenido en el ábaco de 'lbert Shields *>H?I+" conocido como 7iagrama de Shields.
a. Par4me!ro de S8ield" Shields" sostiene3 )
Por una parte" que la acción del agua sobre el lecho puede caracteriarse por una tensión cortante sobre el fondo
τ 0
" cuya acci#n de arra"!re "o0re (na *ar!íc(la
e" *ro*orcional a la "(*er,icie de la mi"ma -6o
Por otra parte, también para una partícula, la fuerza estabilizadora es proporcional al peso de la misma (proporcional a (γs - γ) × D 3 siendo γs el peso específico del sedimento y γ el del agua). $a resistencia de la partícula a ser movida puede relacionarse con su peso sumergido" el cual es función del peso específico sumergido
( γ s −γ )
y el diámetro 7 que caracteria el volumen de la partícula.
Así mismo Shields defnió un parámetro adimensional
´τ
, (llamado
parámetro de !ields), como cociente entre la fuerza promotora del mo"imiento y la fuerza estabilizadora. Con estas tres variables puede formarse el *ar4me!ro adimen"ional ´τ o !en"i#n de cor!e adimen"ional o
*ar4me!ro de S8ield" o de moilidad .
( τ o ) ρV ´τ = = ( γ S− γ ) ! ( γ s− γ ) ! 2
¿
Donde
( τ o )
= Es la uerza tractia sobre el ondo en el momento de la iniciación
del moimiento! Se puede desi"nar también como V ¿ =¿
τ .
Es la elocidad de corte
γ (¿¿ S− γ ) = Es el peso específco sumer"ido de la partícula
¿
D = Es el diámetro #ue caracteriza el olumen!
com*ara la ,(er5a de la acci#n del a$(a "o0re el ,ondo con la re"i"!encia de la *ar!íc(la a "er moida " es decir es el cociente entre la Se puede decir que esta relación
fuera desestabiliadora *acción de arrastre proporcional a ,- 7<+ con la fuera que procura estabiliarlo o mantenerlo en reposo Lfuera de peso proporcional a
( γ S −γ ) !3 ¿
.
0. @ndice de Ine"!a0ilidad Shields demostró de forma e!perimental" en lechos uniformes y artificialmente aplanados" que el parámetro adimensional es función del denominado n#mero de (eynolds granular o de fondo *(eM+ El n#mero de (eynolds granular refle&a como cociente" la relación entre las fueras de inercia y debido a la viscosidad en el entorno del grano" es decir el grado de turbulencia.
$alores de %e& menores de ' () se"*n al"unos autores+ indican un u-o laminar! .os alores superiores pero ineriores a /0 (100 se"*n al"unos autores+ indican un u-o turbulento de transición! .os alores superiores se corresponden con un u-o claramente turbulento! A ma2or alor de %e& el u-o es más turbulento!
ℜ¿ =
V ¿ . ! ! =11.6 " #
El significado de los símbolos es el siguiente3
ℜ¿ 3 Es el n#mero de (eynolds calculado con la velocidad de corte y el diámetro de la partícula V ¿
3 Es la velocidad de corte.
V ¿ =
√
τ o = √ g . R . S ρ
# 3 Es el espesor de la sub capa laminar
" 3 /iscosidad cinemática. Es importante destacar que los flu&os en la naturalea son turbulentos y dependientes del # espesor de la subcapa viscosa 4 6 respecto del diámetro 476 de las partículas del lecho" el movimiento podrá ser turbulento a pared lisa *N B 7+ o rugosa *N O 7+ seg#n muestra la figura.
Fi$(ra> moimien!o !(r0(len!o li"o -i5'%. 2 r($o"o -der%. El espesor nominal adimensional de la subcapa viscosa se puede relacionar con el (eM de la siguiente forma3
ℜ¿ 8 >>.I 7;N Por lo tanto # =11.6
! ℜ¿
=11.6
" ¿ "
de la ecuación se observa que si (eM 8 >>.I entonces N 8 7 encontrándose el flu&o en una situación particular entre pared lisa y rugosa. En el diagrama de SQE$7S se presenta gráficamente la función3
( τ o ) =f ( ℜ¿ ) − γ γ . ! ( s )
El primer miembro de la ecuación" corresponde al parámetro adimensional de la fuera tractiva critica *parámetro de Shields+ y se designa como
( τ o ) .
El segundo miembro es el índice de Qnestabilidad. Se le designa tambi%n como con el nombre de Rumero de (eynolds corte referido al diámetro. Se designa como
ℜ¿ .
El diagrama de Shields se propone una curva de inicio de movimiento" muestra la relación entre los parámetros adimensionales en las ordenadas el valor del parámetro
´τ ¿ + y mientras que en las abscisas se muestra el Rumero de (eynolds de fondo (ℜ¿ ) descriptos anteriormente. Por deba&o de la curva e!iste reposo" mientras que los puntos por encima de la curva corresponden al movimiento desarrollado. El n#mero de (eynolds granular refle&a la relación entre las fueras de inercia y viscosas en el entorno de un grano" es decir" el grado de turbulencia. 'l aumentar (eM el movimiento es más turbulento alrededor de la partícula y la curva de Shields tiende a ser asintótica horiontalmente *situación análoga al problema de fricción en tuberías del ábaco de 0oody+. El valor de la tensión adimensional , en este r%gimen es independiente del (eM variando" seg#n distintos autores" desde -.-? a -.-I. El ábaco demuestra que cuando el flu&o es turbulento" el movimiento de la partícula se inicia cuando el parámetro de Shields toma el valor -"-DI. Por tanto la tensión de fondo crítica que determina el inicio del movimiento para una partícula de diámetro 7 es3
6c ; 7/7B < -" . < D El diagrama de Shields" tiene unas lineas rectas au!iliares para el diámetro y la velocidad de corte" las que permiten calcular las condiciones de iniciación del movimiento" cuando se trata partículas de cuaro * " ; <.ID t;m?+ y la temperatura del agua es de ><C.
Por e&emplo" para una partícula de cuaro de -.D mm se lee inmediatamente que la V ¿
velocidad de corte
necesaria para la iniciación del movimiento es -.->ID m;s"
*esto se verifica que el Rumero de (eynolds es de I.I y que el parámetro de Shields es -.-?+
3i"ura4 Dia"rama de Shields Seg#n (ocha *>HHG+" dice que hay muchas formas de analiar este importante diagrama. na de ellas consiste en distinguir cuatro onas3
Zona V ¿ . ! <2 " El espesor de la subcapa laminar # es mayor que el diámetro de las partículas *se debe recordar que N
=
11,6
" /V +. Para Re* *
$
1 se cumple que
ℜ¿ τ ¿ =0.1
Zona ? 2<
V ¿ . ! <20 "
El espesor de la subcapa laminar y el diámetro de las partículas son del mismo orden de magnitud. En esta ona" para
ℜ¿
SQE$7S tiene su valor mínimo :
Zona
=
11,6 se tiene que d = N y el Parámetro de
τ ¿
= 0.033
20 <
V ¿ . ! < 400 "
El espesor de la subcapa laminar es menor que el diámetro de las partículas. El contorno se comporta como hidráulicamente rugoso.
Zona V ¿ . ! >400 " $a turbulencia se ha desarrollado plenamente. El Parámetro de SQE$7S tiende a ser constante y no depende ya del R#mero de (eynolds. $a constante tiene un valor que generalmente se fi&a en -"-I. Para la obtención de las condiciones de iniciación del movimiento mediante la aplicación del diagrama de SQE$7S se sugiere el siguiente m%todo general *se conoce las características de las partículas" del fluido y la pendiente+. >. Suponer un valor para el Parámetro de SQE$7S
( τ o )
´τ con lo que se puede calcular
" puesto que
( τ o ) =´τ ( γ s −γ ) d <. ' partir del conocimiento de
( τ o )
podemos calcular el tirante *supongamos por
simplicidad que se trata de un canal muy ancho+.
y =
( τ o ) γS
?. 'hora calculamos la velocidad de corte
V ¿ =√ g . y . S
. Podemos entonces determinar el valor de
ℜ¿ =
ℜ¿
V ¿ . ! "
D. Comparamos este valor así obtenido con el que en el diagrama de SQE$7S ´τ corresponde a la iniciación del movimiento para el valor asumido en el punto > de esta secuencia. Si no son iguales se repite el procedimiento hasta lograr la igualdad.
ℜ¿ se calcula el coeficiente C de CEU" que en el
I. @btenido el valor correcto de caso más general es 6 R C =18log k # + 2 7
$os coeficientes de esta e!presión pueden variar ligeramente en función de determinados resultados e!perimentales. Si el contorno es hidráulicamente rugoso entonces # % 0 . El valor de " rugosidad absoluta" depende de la granulometría del k
lecho. Para granulometría uniforme *contorno rugoso+ el coeficiente C de CEU puede calcularse considerando k = 2d.
C =18log
12 R 6 R =18log 2d d
En un canal muy ancho el radio hidráulico se hace igual al tirante. V. 'plicamos la ecuación de CEU y obtenemos la velocidad media. En este caso la velocidad media es la velocidad crítica de arrastre *es decir" de iniciación del movimiento+. Ro debe confundirse con la velocidad crítica que separa ríos y torrentes" que es un concepto diferente. G. Puede finalmente calcularse qo" que es el gasto crítico específico" o de iniciación del movimiento" *por unidad de ancho+.
qo = Vc . y & o= 'o ( B
es el ancho del canal. $a raón por la cual hay que recurrir a un m%todo de apro!imaciones sucesivas radica en que la velocidad de corte aparece como dato de entrada para el cálculo de ambos parámetros. U'$QR presenta un diagrama equivalente al de SQE$7S" pero que elimina los tanteos" que es el que se ve en la 2igura I.?. U'$QR menciona tambi%n el diagrama de PETE(S@R *que se presenta referencialmente en la 2igura I.+" que es e!clusivamente para partículas de cuaro *arena y grava+ en agua a <-WC −6
2
) =1.65, " =1.01 * 10 m / s
Fi$(ra% 7iagrama de U'$QR para la iniciación del 0ovimiento. $a curva CXM corresponde a sólidos de características diferentes a las consideradas por SQE$7S
Fi$(ra% 7iagrama de PETE(S@R para el cálculo de las condiciones de iniciación del movimiento de partículas de cuaro *Y 8 >"ID+ en agua a <-oC *Z 8 >"->!>- )I m<;s+
O!ra" F#rm(la" 2 Cri!erio" de Iniciaci#n del Moimien!o $'RE estableció algunas fórmulas" que usualmente se presentan en forma gráfica" para la determinación de la fuera tractiva crítica *de iniciación del movimiento+. $'RE estaba interesado en el dise1o de canales estables. 7e acá que los valores que da de , o para la iniciación del movimiento son bastante más altos que los de SQE$7S% En realidad $'RE considera que la iniciación del movimiento corresponde a un grado de movimiento más avanado que el considerado por SQE$7S. $'RE proporcionó una serie de curvas que dan las condiciones críticas" de iniciación del movimiento" de un lecho granular no cohesivo" en función del contenido *nulo" ba&o o alto+ de material sólido en suspensión. *ver figura +.
Fi$(ra> Dia$rama de LANE
En el Cuadro" preparado a partir del diagrama de $'RE" se observa lo siguiente3 a+ para un mismo diámetro la fuera tractiva crítica aumenta con la concentración de sólidos en suspensión" y b+ cuando el diámetro aumenta disminuye la influencia de la concentración en la fuera tractiva crítica. Con posterioridad otros autores han propuesto fórmulas diferentes dentro del mismo esquema de cálculo. ST('A realió estudios sobre la iniciación del movimiento con el ob&eto de usar la fórmula de 7 A@US" que más tarde veremos" y que corresponde al cálculo del gasto sólido de fondo. Pero posiblemente la ecuación más aceptada sea la debida a 0EUE( PETE( y 0E$$E( *>HG+" autores de una conocida fórmula de gasto sólido de fondo"
determinaron que para turbulencia plenamente desarrollada" y para -" O cuya e!presión es3
d
O ?-mm
-6o.c ; 7/7H < -" . < D J(EU obtuvo una fórmula muy parecida
-6o.c ; 7/7HB < -" . < D Como e!presamos al empear este capítulo" la iniciación del movimiento puede calcularse a partir de un valor de 6o o a partir de la velocidad crítica de arrastre. $uego de haber e!aminado varios criterios de iniciación del movimiento por fuera tractiva veamos algo sobre velocidad crítica. 0'' y ['(CQ' 2$@(ES propusieron para la velocidad crítica la siguiente e!presión3 VC = 6,05 d0.35 R0.15 R
es el radio hidráulico. Esta fórmula es válida para cuaro y para tirantes comprendidos entre -" m y >- m. Para materiales de otros pesos específicos la fórmula general propuesta por 0'' y ['(CQ' 2$@(ES es 1 /2 γ s−γ 0.35 0.15 V = 4.712 d R γ
( )
En los Cuadros I.<" I.? y I." preparados por 0'' y ['(CQ' 2$@(ES" aparecen valores ilustrativos del esfuero cortante crítico en \g por m< y de la velocidad crítica para diferentes valores del diámetro de las partículas" de peso específico <"ID t;m?.
CUADRO> ESFUERZO CORTANTE CRITICO EN FUNCION DEL DIAMETRO/ EN $Jm ? -SEGUN MAZA K GARCIA FLORES.
CUADRO: VELOCIDAD MEDIA CRITICA EN FUNCION DEL DIAMETRO, EN m/s (PARA UN TIRANTE DE UN METRO) (SEGUN M AZA Y GARCIA FLORES)
'sí mismo (ocha sostiene que tanto el criterio de SQE$7S" como los otros que han sido e!puestos para la iniciación del movimiento" se basan en la suposición de que las partículas constituyentes del lecho son lo suficientemente grandes como para que la influencia de las fueras de cohesión sea despreciable. En estas condiciones la caracteriación de la iniciación del movimiento resulta ser fundamentalmente una función del diámetro de las partículas. Ro ocurre lo mismo con los materiales cohesivos.
#$emplo de aplicaci%n&
>. Para establecer si el sedimento de lecho está en movimiento" la relación de Shields es usado. ueremos establecer si el sedimento de fondo están en movimiento para las condiciones hidráulicas dadas en el problema.
-a. Canal con ,ondo de arena $a distribución del tama1o de sedimento de lecho de un canal con fondo de arena es mostrado en la tabla siguiente3
Ta0la N%Di"!ri0(ci#n de !ama1o" del ma!erial de ,ondo 7el análisis del tama1o de grano tendremos que calcular los siguientes parámetros estadísticos3 $a media geom%trica de cada tama1o de rango" diámetro efectivo" los tama1os d>I" dD-" dG" dH-] el coeficiente de gradación y la velocidad de caída de cada rango de tama1o. Solucion3 i+$a media geom%trica es calculada como la raí cuadrada del producto de los puntos finales de un rango de tama1o dado3 Para el primer rango3 d > 8 L*-.--<+*-.-I;< 8 -.-->> mm 'nálogamente para el resto de los rangos de tama1os" los resultados se sintetian en la siguiente tabla
ii+
El diámetro efectivo de una distribución muestral es calculada con la siguiente ecuación3
n
p d ∑ = i
d m=
d m=
iii+
i 1
100
i
=
( 0.8 ) ( 0.011 )+ ( 4.4 ) ( 0.088 ) + ( 0.2)( 2.83 ) 100
34.2 =0.34 mm 100 $a distribución de tama1os de arena es ploteada en un papel de probabilidad log como se muestra los valores obtenidos3
iv+
d>I 8 -.< dD- 8 -.?> dG 8 -.< dH- 8 -.I $a velocidad es determinada con el uso de la figura para I-2 *<>C+. Para la media geom%trica del primer rango de tama1o d > 8 -.->>mm la velocidad de caída _ 8 -.->< cm;s" similarmente para d > 8 -.V-V mm la velocidad de caída es _ 8 G.G cm;s" asi sucesivamente.
v+
El coeficiente de gradación [r es calculado con la ecuación3
, -=
[
1 d 50 d84 + 2 d 16 d50
] [ =
1 0.31 0.42 + 2 0.24 0.31
]=
1.32
i. Iniciaci#n del moimien!o> Para el material de arena" usando la figura y usando el valor de
τ 0
en una vertical simple
en la sección transversal 2
τ o =
ρV
[
(
y 2.541 . ln 0.0085
)]
2
Si usamos y 8 -.?-" / 8 -.I> como punto conocido de velocidad
τ o =
( 1000)( 0.61)2
[
2.541 . ln
(
0.30 0.0085
N = 4.54 2 2
)]
m
4.54
Convirtiendo a medidas inglesas
N m
2
es 0!0516 es
τ o
= 0!05)
lb7t' ds = 0!89mm es i"ual 0!009 t entonces
´τ =
ℜ¿ =
( τ o ) ( γ S− γ ) !
V ¿ . ! "
√
¿
0.095
( 165 −62.4 ) 0.001
Además
V ¿ =
√
=0.926
τ o ρ entonces
√
τ o 0.095 .0.001 .! 1.94 ❑ ρ ❑ ℜ¿ = = =15.69 −5 " 1.41 x 10 Este punto está por encima de la línea del movimiento incipiente e indica que el fondo del canal esta en movimiento
