GRAF DALAM BERBAGAI BIDANG ILMU Hugo Toni Seputro – NIM : 13506053 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung Bandung E-mail :
[email protected]
Abstrak
Makalah Makalah ini membaha membaha tentang peman!aat peman!aatan an repreen repreentai tai gra! untuk "iterapkan "iterapkan "i "alam berbagai berbagai bi"ang keilmuan #ang a"a$ eperti "alam bi"ang keilmuan %imia$ Soiologi$ %artogra!i$ "an ebagain#a& Namun$ akibat keterbataan halaman$ "alam makalah ini han#a ebagian 'i"ang %eilmuan #ang akan "ibaha& (alaupun teori gra! beraal beraal "ari bi"ang bi"ang ilmu Matematika$ Matematika$ namun pa"a pa"a penerapann# penerapann#a$ a$ teori gra! "apat "i hubungkan "engan berbagai bi"ang ilmu "an )uga kehi"upan ehari – hari& Teori gra! aat ini men)a"i topik #ang ban#ak men"apat perhatian$ karena mo"el-mo"el #ang a"a pa"a teori gra! berguna untuk aplikai #ang lua$ lua$ eperti maalah "alam )aringan komunikai$ tranportai$ tranportai$ ilmu komputer$ riet riet operai$ "an lain ebagain#a& Salah atu aplikai "alam teori gra! a"alah menentukan kota ter)auh *makimal lintaan terpen"ek+ "ari uatu kota ke kota lain #ang ter"iri "ari kumpulan kota "alam uatu "aerah$ ,i "alam buku ,iktat %uliah Matematika ,ikrit #ang "iuun oleh 'apak inal"i Munir$ M&T& "iebutkan bah.a Teori gra! merupakan pokok bahaan #ang u"ah tua uian#a namun memiliki ban#ak terapan ampai aat ini& /ra! "igunakan untuk merepreentaikan ob)ek-ob)ek "ikrit "an hubungan antara ob)ek-ob)ek terebut& "a ban#ak ekali ontoh penggunaan gra! "i "alam kehi"upan ontohn#a a)a "alam pembuatan peta$ "imana atu kota "ihubungkan "engan kota lain apabila ter"apat )alan atau arana tranportai #ang menghubungkan ke"ua ke"ua kota kota tereb terebut& ut& Selain Selain itu )uga )uga gra! gra! "apat "apat kita kita temuka temukan n "alam "alam 2iual 2iualia iai i ilil ililah ah keluar keluarga ga #ang #ang menggunakan pohon keturunan& Kata kunci : graf, aplikasi graf, diskrit, matematika, verte, graf planar, arah, lintasan, path, euler, sirkuit..
1& Pendahuluan
Teori graf merupakan pokok bahaan #ang u"ah tua uian#a namun memiliki ban#ak terapan ampai aatini& /ra! "igunakan untuk merepreentaikan ob)ek-ob)ek "ikrit "an hubungan antara ob)ek-ob)ek terebut& epreentai 2iual "ari gra! a"alah "engan menu#atakan ob)ek "in#atakan ebagai noktah$ bulatan$ atautitik$ e"angkan hubungan hubungan antara ob)ek "in#atakan "engan gari& Sebagai ontoh$ /ambar 1 a"alah ebuah peta )aringan )alan ra#a #ang menghubungkan e)umlah kota "i ro2ini 4a.a Tengah& Seungguhn#a peta terebut a"alah ebuah gra!$ #ang "alam hal ini kota "i n#atakan ebagai bulatan e"angkan )alan "in#atakan "in#atakan ebagai gari& ,engan "iberikann#a peta terebut$ kita "apat mengetahui apakah a"a lintaan )alan antara "ua buah kota& Selain itu$ bila pan)ang )alan kereta api antara
"ua buah kota bertetangga "iketahui$ kita )uga "apat menentukan rute per)alanan #ang teringkat "ari kota ! ke kota B& Maih ban#ak pertan#aan lain #ang "apat kita munulkan berkenaan "engan gra!& plikai "ari teori gra! ini angat lua "an "ipakai "ala "alam m berb berbag agai ai "ii "iipl plin in ilmu ilmu maup maupun un "ala "alam m kehi"upan ehari hari& enggunaan gra! "i berbagai bi"ang terebut "igunakan untuk memo"elkan peroalan& Teori ini )uga angat berguna untuk mengembangkan mo"el-mo"el #ang tertruktur "alam berbagai ituai& ,alam implementain#a teori ini ban#ak "igunakan "i "alam bi"ang kelitrikan$ kimia organik$ ilmu komputer$ "ll& 'ahkan "e.aa ini teori gra! "igunakan "igunakan eara eara bear-be bear-bearan aran "alam "alam bi"ang bi"ang ekol ekolog ogi$ i$ geog geogra ra!i !i$$ antr antrop opol olog ogi$ i$ gene geneti tika ka$$ !ii !iika ka$$ elektronika elektronika$$ pemroea pemroean n in!ormai in!ormai$$ aritektur aritektur$$ "an "eain& Sealain itu )uga$ teori ini ban#ak "iman!aatkan eara prakti "alam bi"ang in"utri&
Gabar !" Peta #aringan #alan Ra$a %" &e'arah Graf
Teori gra! merupakan ebuah pokok bahaan #ang munul pertama kali pa"a tahun 136$ #akni ketika Euler menoba untuk menari olui "ari permaalahan #ang angat terkenal #aitu 4embatan % önigberg& ,i kota % önigberg *ebelah timur ruia$ 4erman ekarang+$ ekarang bernama kota %aliningra"$ ter"apat ungai regal #ang mengalir mengitari pulau %neipho! lalu berabang men)a"i "ua buah anak ungai&
#ang berhail menemukan )a.aban malah itu "engan memo"elkan maalah ini ke "alam gra!& ,aratan *titiktitik #ang "ihubungkan oleh )embatan+ "in#atakan ebagai titik *noktah+ #ang "iebut si)ul *verte+ "an )embatan "in#atakan ebgai gari-gari #ang "iebut sisi *e"ge+& Euler mengungkapkan bah.a ti"ak mungkin eeorang ber)alan mele.ati tepat atu kali maingmaing )embatan "an kembali lagi ke tempat emula karena pa"a gra! mo"el )embatan % önigberg itu ti"ak emua impul ber"era)at genap *"era)at ebuah impul a"alah )umlah ii #ang beriian "engan impul #ang berangkutan+& Teori gra! merupakan alah atu pokok bahaan #ang u"ah angat tua uian#a tetapi memiliki ban#ak terapan prakti hingga aat ini& /ra! "igunakan untuk merepreentaikan ob)ek-ob)ek "ikrit "an hubungan antara ob)ek-ob)ek terebut& epreentai 2iual "ari gra! a"alah "engan men#atakan ob)ek ebagai noktah$ bulatan$ atau titik$ e"angkan hubungan antara ob)ek "in#atakan "engan gari
*" Graf Dala (iia Gabar %" #ebatan ( önigsberg
Maalah )embatan % önigberg ini a"alah : mungkinkah melalui ketu)uh buah )embatan itu maing-maing tepar atu kali$ "an kembali lagi ke tempat emula %emu"ian tahun 136 eorang matematika.an S.i$ 7&Euler$ a"alah orang pertama
plikai gra! "alam ilmu %imia "iterapkan pa"a en#a.a karbon$ perti hi"rokarbon$ ben8ena$ alkana$ "an beberapa en#a.a karbon lain& "an#a teori gra! #ang mulai munul pa"a tahun 136 angat membantu kimia.an "alam memo"elkan en#a.a "alam bentuk gra!&
/ra! #ang "ipakai "alam "unia kimia "iebut gra! kimia$ #ang merupakan gra! berbobot *9$ E$ +$ "engan *9$ E+ a"alah gra! ti"ak berarah *tanpa ii gan"a maupun kalang loop+$ emua impuln#a "iberi label #ang menan"akan unur *atom+ kimia$ "an : E ; N a"alah !ungi bobot& ,era)at impul "alam gra! kimia a"alah )umlah bobot "ari ii-ii #ang beriian "engan impul terebut& tom-atom "imo"elkan ebagai impul "an ikatan-ikatan kimia "imo"elkan ebagai ii& /ra! )uga angat ook "alam pemo"elan reaki kimia& /ra! reaki kimia a"alah ebuah truktur *9$ E$ <$ =+$ "engan *9$ E$ <+ a"alah gra! kimia ubtrat "an *9$ E$ =+ a"alah gra! kimia pro"uk& turan penulian reaki kimia "alam bentuk gra! haru memenuhi prinip-prinip kekekalan label simpul "an kekekalan jumlah ikatan kimia& rtin#a$ )umlah total elektron 2aleni *"alam hal gra! "iebut ebagai "era)at impul+ "an )umlah ikatan *ii+ haru tetap& a"a reaki kimia$ kita han#a beker)a pa"a ikatan tunggal$ ikatan gan"a *rangkap "ua+$ "an ikatan tripel *rangkap tiga+& a"a aturan penulian gra!$ angat mu"ah untuk memerika "ua hukum kekekalan *kekalan label impul "an kekekalan )umlah ikatan+ "engan memban"ingkan "a!tar label "an )umlah ikatan "ari gra! ii kiri "engan gra! ii kanan pa"a aturan penulian& ,ekripi kimia "ibuat pa"a tingkat reolui #ang berbe"a& en"ekripi molekuler eara unik mengi"enti!ikai molekul "alam "atabae kimia& umu molekul mengin"ikaikan )umlah maingmaing )eni atom "alam molekul& umu kontituional atau gra! kimia )uga mengin"ikaikan paangan atom-atom #ang berikatan$ e"angkan rumu truktur mengin"ikaikan i!at khuu kimiatereo #ang "ibutuhkan untuk mengi"enti!ikai molekul& /ra! molekul a"alah gra! #ang ber"aarkan pa"a molekul$ "engan impul merepreentaikan atom$ maing-maing impul "iberi label euai "engan nama "ari unur-unur #ang berkorepon"eni$ "an ii merepreentaikan ikatan$ "engan tanpa bobot negati! #ang men"ekripikan ban#akn#a ikatan *0 untuk ikatan non-e>i>tent$ 1 untuk ikatan tunggal$ ? untuk ikatan gan"a$ "an 3 untuk ikatan tripel+& Munuln#a teori gra! ebagai uatu ka)ian ilmu baru men)a"ikan "iiplin ilmu lain terbantu$ alah atun#a a"alah bi"ang kimia& ,alam "unia kimia$ gra! mempun#ai ban#ak kegunaan antara lain ebagai 2iualiai "ari en#a.a-en#a.a kimia #ang a"a "i alam$ a"an#a gra! akan angat membantu "alam mem2iualiaikan en#a.a komplek #ang a"a& Suatu en#a.a kimia biaan#a han#a mempun#ai atu 2iualiai gra! keuali beberapa en#a.a #ang mempun#ai beberapa bentuk gra! #ang bebe"a$ "alam hal ini "iebut iomer&
Gabar * graf orbital )ro)enaide +%, - ,+ . ,/N+%" dire0t1 sei.dire0t 2. o3erla)s1 dan 4 .o3erla)s dire)resentasikan dengan garis hita tebal1 )utus.)utus1 dan garis abu.abu"
5"
Graf Dala Biologi
Salah atu tu"i "an implementai teori gra! "alam Ilmu 'iologi a"alah tentang rekontruki rantai "i#onu$lei$ !$id %"&!' "ari intiari en8im lengkapn#a& Tentang bagaimana teori gra! berperan "alam pen#uunan kembali rantai "&! "ari !ragmen!ragmenn#a #ang u"ah "ipeah ebelumn#a& @akni "ari pemeahan rantai "&! men)a"i !ragmen-!ragmen "engan peran en8im-en8im tertentu& Menari olui rantai #ang "iari "ia.ali "engan pemiahan rantai oleh en8im-en8im tertentu men)a"i !ragmen-!ragmen$ elan)utn#a "engan membentuk ebuah gra! berarah "ari "ata-"ata #ang telah "iari "an "iperoleh "ilan)utkan "engan menentukan irkuit Euler #ang ter"apat "i "alam gra! berarah terebut "i"apatkan olui "ari kemungkinan rantai "&! #ang "iari& Sirkuit Euler #ang ter"apat "i "alam gra! ini bia ber)umlah lebih "ari atu$ "an merupakan kemungkinan "ari alah atu olui #ang "iari& Meto"e rekontruki rantai "&! "ari intiari en8im lengkapn#a "engan menggunakan teori gra! ini merupakan alah atu meto"e umtuk pemeahan maalah "alam menari "an men#uun rantai "&! "engan intiari en8im lengkapn#a #ang "iketahui$ "imana "alam penarian olui ini "igunakan teori gra!& Satu ontoh lain "alam penggunaan /ra! "alam Ilmu 'iologi a"alah penerapan teori gra! "alam proe ekologi& roe ekologi #ang "ilakukan "igambarkan oleh alah atu tu"i kau$ #aitu proe penentuan
keterhubungan antar "aerah "alam menentukan habitat uatu makhluk hi"up& Arban "an %eitt *?000+ telah mengenalkan teori gra! untuk proe ekologi "imana "ilakukan penelitian tentang keterhubungan "ari "ua peie #ang memiliki habitat #ang ama tetapi memiliki kemampuan B kapaita #ang berbe"a& ,alam penelitian ini "ilakukan pengamatan eniti2ita "ari keterhubungan lan"ape melalui operai gra! "engan edge definition & eran uatu habitat terkait "engan keterhubungann#a "engan habitat lain )uga "iamati "an "iukur ebagai ti ngkat kekuatan "an )arak habitat terebut "engan habitat #ang terhubung "engann#a "engan operai gra! terkait "engan node removal & No"e remo2al a"alah uatu ara untuk mengamati eara relati! pentingn#a uatu "aerah habitat "an hubungann#a "engan lan"ape& Cara ini )uga "apat "igunakan untuk menentukan pergerakan eluruh lan"ape pa"a kau habitat #ang berbe"a& Simpul pa"a gra! "ihilangkan eara berkala& enghilangan impul ini mulai "ilakukan pa"a eluruh gra! eara aak ber"aarkan "aerah minimum "an impul u)ung #ang ter"apat pa"a "aerah #ang terkeil& Simpul u)ung "alam uatu gra! "iebut "aun pa"a pohon merentang #ang han#a terhubung han#a "engan ebuah impul lain& Setiap ii #ang berhubungan "engan impul #ang "ihilangkan )uga ikut "ihilangkan& a"a etiap proe iterai penghilangan impul "ianalia tingkat penting ti"akn#a pen#ebaran bobot area gra!&
6"
impinan (akil
Sta!!
Sta!!
Sta!!
Gabar 5" ,ontoh Graf Relasi Dala (antor
nalii 4aringan Soial telah munul ebagai teknik kuni "i "alam oiologi mo"ern$ ilmu antropologi$ geogra!i$ pikologi oial$ ilmu pengetahuan in!ormai "an tu"i organiatori$ eperti haln#a uatu topik pekulai #ang populer& iet "i e)umlah bi"ang aka"emi telah menun)ukkan )aringan oial itu beroperai pa"a ban#ak orang "ari keluargakeluarga kepa"a tingkatan negara-negara$ "an men)a"i uatu peran penting "i "alam menentukan permaalahan #ang "ipeahkan$ organiai #ang "i)alankan$ "an tingkat in"i2i"u #ang berhail "alam menapai tu)uan mereka&
Graf Dala Ilu &osiologi 7+ubungan Antar Mas$arakat8
enerapan /ra! "alam 'i"ang Ilmu ini telah kita raakan man!aatn#a ehari – hari$ baik eara kita a"ari maupun ti"ak& /ra! "alam ma#arakat ekarang ini ban#ak "igunakan untuk menggambarkan truktur hubungan orang #ang atu "engan #ang lain$ baik itu "alam keluarga *Sebagai ontoh$ pohon keluarga+$ maupun "alam lingkungan *hubungan bo "engan anak buah n#a$ ataupun guru "engan muri"$ hubungan antar teman$ "an ebagain#a+&
Gabar 6" ,ontoh Graf Relasi Antar Tean
Teori 4aringan Soial meman"ang hubungan oial "alam kaitan "engan node "an tie& no"e a"alah para aktor #ang in"i2i"u "i "alam )aringan$ "an ties a"alah hubungan antar aktor& ,iana ter"apat ban#ak maam ties antar node& ,alam !ormat #ang paling e"erhana$ uatu )aringan oial a"alah uatu peta "ari emua rele2an tie antar nodes #ang e"ang "ipela)ari& 4aringan "apat )uga "igunakan untuk menentukan mo"al oial para ator in"i2i"u& %onep ini ering "ipertun)ukkan "i "alam uatu "iagram )aringan oial$ "imana nodes a"alah poin poin "an ties bari&
Teori )aringan oial beraal "ari perbe"aan tu"i kema#arakatan tra"iional$ #ang beraumi bah.a ia a"alah atribut para ator in"i2i"u-- apakah mereka a"alah tak ramah$ biu atau er"a atau ramah$ "an lain lain-- perihal itu& Teori 4aringan oial menghailkan uatu pengubah u"ut pan"ang$ "imana atribut in"i2i"u e"ikit lebih penting "iban"ing hubungan mereka "an tie "engan lain para aktor "i "alam )aringan teebut& en"ekatan ini telah tern#ata berman!aat untuk men)elakan ge)ala "unia n#ata ban#ak orang$ tetapi meninggalkan lebih e"ikit ruang untuk agen in"i2i"u$ kemampuan untuk in"i2i"u untuk mempengaruhi uke mereka$ ebab ban#ak tentangn#a beritirahat "i "alam truktur )aringan mereka&
gra! "i ata& Semakin e"ikit .arna #ang "igunakan akan me-n#ebabkan impul #ang berebelahan memiliki .arna #ang ama& Tanpa mengetahui "e!inii #ang t epat$ pe.arnaan uatu gra!ik akan elalu "iaumikan "engan pe.arnaan impul$ #aitu untuk me.arnai impul "ari uatu gra!& %emu"ian untuk kau #ang lain$ uatu pe.arnaan hampir elalu "iaumikan "engan ti"ak memberi .arna untuk "ua impul #ang berebelahan .arna #ang ama& ,alam hal ini$ berebelahan berarti terletak pa"a ii #ang ama& Suatu pe.arnaan #ang menggunakan paling ban#ak k .arna "iebut k$oloring "an etara "engan permaalahan "alam pembagian impulimpul ke "alam k atau lebih e"ikit himpunan beba&
4aringan Soial )uga "igunakan untuk mengu)i bagaimana peruahaan aling berhubungan atu ama lain$ menan"ai orang ban#ak "engan koneki in!ormal #ang men#ambung para ekekuti!$ eperti haln#a aoiai "an koneki antar kar#a.an in"i2i"u pa"a peruahaan berbe"a& 4aringan ini men#e"iakan )alan untuk peruahaan untuk mengumpulkan in!ormai$ menghalangi kompetii$ "an bahkan ollu"e "i"alam menentukan harga atau kebi)akan&
9"
Graf Dala (artografi 7Ilu Peetaan8
Teori /ra! "alam 'i"ang Ilmu Ini #ang ban#ak "i pakai para ahli peta a"alah pe.arnaan gra!& ,i "alam teori gra!$ pe.arnaan gra!ik a"alah uatu pe.arnaan *merah$ biru "an eterun#a& Selain itu$ bilangan bulat berurutan #ang "imulai "ari 1 "apat "igunakan "engan ti"ak menghilangkan kea"aan a.al+$ ke ob)ek tertentu "alam uatu gra!& Db)ek "apat berupa impul$ ii$ .ila#ah$ atau ampuran "ari ketiga ob)ek&
Gabar 6" ,ontoh Pe:arnaan Graf
Tiga .arna "apat "igunakan untuk me.arnai
Gabar 9" Peetaan Dengan Mengikuti Metode 5 ;arna
Teorema F-.arna * four $olor theorem+$ #ang )uga "ikenal ebagai teorema pemetaan F-.arna * four $olor map theorem + men#atakan bah.a untuk etiap bi"ang #ang terpiah "alam berbagai .ila#ah$ eperti peta eluruh negara "i "unia$ .ila#ah-.ila#ahn#a bia "i.arnai "engan menggunakan makimum empat .arna e"emikian ehingga ti"ak a"a "ua atau lebih .ila#ah ber"ekatan mempun#ai .arna #ang ama& ,ua .ila#ah "ikatakan ber"ekatan )ika #ang aling berentuhan a"alah ii ke"uan#a$ bukan han#a berupa titik& Sehingga$ Atah *A&S& tate+ "an Ne. Me>io ti"ak bia "ianggap ber"ekatan .alaupun keempat u"utn#a aling berentuhan& ,alam teorema ini$ etiap .ila#ah haru ber"ekatan$ "engan kata lain ti"ak a"a
.ila#ah #ang terpiah eperti pa"a negara ngola$ 8erbai)an$ "an Anite" State&
men#eleaikan menari )arak terpen"ek "alam single( sour$e pro#lem pa"a gra! berbobot *berarah atau ti"ak berarah+$ )ika bobot "ari ii a"alah poiti!& !lgoritma +ikstra mempertahankan e)umlah 2ertek –2ertek terpen"ek #ang u"ah "i)umlahkan$ berama lementar* set of verti$es #ang bobot iin#a belum "itetapkan& lgoritma ini eara berulang memilih 2ertek& 9ertek "engan bobot minimal "i antara 2ertek #ang lain #ang bobotn#a belum berakhir& lgoritma ini meng-up"ate bobot #ang "iperkirakan untuk emua 2ertek #ang bertetangga *up"ate ini umumn#a "iebut rela>ation "ari ii "iantara 2ertek ini+& %emu"ian 2ertek ini "i)umlahkan "engan 2ertek-2ertek ebelumn#a #ang u"ah "ikalkulai #ang memiliki bobot terpen"ek&
Gabar <" ,ontoh lain )eetaan dengan graf
e.arnaan /ra! ti"ak han#a terbata "alam Ilmu emetaan a)a$teori ini "apat kita lihat terapann#a "alam kehi"upan ehari – hari& ermaalahan "alam pe.arnaan uatu gra! memiliki beberapa aplikai eperti pen)a".alan$ alokai memori oleh ompiler$ pembagian !rekueni a"io$ "an pattern(mat$hing &
<"
Graf Dala Inforatika
lgoritma ini berlan)ut ampai emua 2ertek terakhir #ang memiliki lintaan terpe"ek u"ah "ikalkulai "apun algoritma lain #ang "apat "ipakai "alam menari )alan terpen"ek a"alah$ lgoritma 'ellmanGor"& lgoritma ini "apat men#eleaikan problem ingle-path& lgoritma ini memperbolehkan ii berbobot negati2e$ tapi ti"ak memperbolehkan gra! berarah beriklu #ang mempun#ai bobot negati2e& lgoritma 'ellman-Gor" menghailkan nilai !ale$ #ang men)a.ab bah.a ti"ak a"a olui #ang memenuhi$ #aitu )ika menemukan $*$le of negative )eight *ang bia "iapai "ari sour$e. Sebalikn#a algoritma 'ellman-Gor" mengembalikan true )ika u"ah menemukan emua per)alanan terpen"ek "ari sour$e&
Tentu a)a ebagai mahai.a #ang beraal "ari program tu"i Teknik In!ormatika kita mengetahui ban#ak ekali penerapan gra! "alam Ilmu In!ormatika ini$ "an betapa pentingn#a /ra! "alam pengembangan Ilmu In!ormatika& Teori gra! #ang "ipakai "alam bi"ang ilmu ini a"a ban#ak$ perti ontohn#a penerapan gra! pa"a Net.orking& an"a akan mampu untuk memo"elkan )aringan ebagai gra! berarah$ an"a akan mengetahui bah.a )aringan telepon "an )aringan internet angat berbe"a$ "an bagaimana net)ork topolog* "apat mempengaruhi algoritma routing& enggunaan teori gra! "alam net.orking& /ra! angat "ibutuhkan pa"a Net.orking karena keepatan angat "ibutuhkan "alam komunikai& /ra! memberi kita olui untuk menapai uatu optimai keepatan ehingga memenuhi kebutuhan emua orang& ,an )uga kebutuhan akan )aringan #ang ro#ust "an relia#l* ehingga membuat uer n#aman&
Selain "alam Net.orking$ plikai /ra! "alam In!ormatika "apat )uga "ilihat "alam pen"etekian +ead-o$k
lgoritma "alam gra! #ang ering "igunakan "alam menari )arak terpen"ek *hortet path+ a"alah lgoritma ,)iktra& !lgoritma +ikstra "apat
+eadlo$k ialah uatu kon"ii "imana proe "alam item operai ti"ak ber)alan lagi ataupun ti"ak a"a komunikai lagi antar proe& Antuk men"eteki deadlo$k "an men#eleaikann#a "apat "igunakan gra! ebagai 2iualiain#a& 4ika ti"ak a"a $*$le$ berarti ti"ak a"a
Gabar =" Graf Dala Tele)hone Net:ork
deadlo$k & 4ika a"a $*$le$ a"a poteni ter)a"i deadlo$k & "esour$e "engan atu intan "an $*$le mengakibatkan deadlo$k & %on"ii #ang men#ebabkan ter)a"in#a deadlo$k antara lain: mutual ekklui!$ memegang "an menunggu$ ti"ak a"an#a preemption, "an $ir$ular )ait & "a empat ara untuk menanggulangi deadlo$k, "i antaran#a: mengabaikan maalah "ea"lok& men"eteki "an memperbaiki$ penghin"aran #ang teru meneru "an pengalokaian #ang baik "engan menggunakan protool untuk mematikan item ti"ak pernah memauki kea"aan deadlo$k *aitu "engan deadlo$k avoidan$e item untuk men"ata in!ormai tambahan tentang proe mana #ang akan meminta "an menggunakan u mber "a#a$ "an penegahan #ang eara truktur bertentangan "engan empat kon"ii ter)a"in#a deadlo$k "engan deadlo$k prevention s*stem untuk mematikan bah.a alah atu kon"ii #ang penting ti"ak "apat menunggu&
="
Graf Dala kehidu)an &ehari ? +ari
Se"emikian ban#akn#a pengapplikaian gra! "alam "unia ini$ bila perlu "ikatakan ti"ak akan a"a habi – habi n#a )ika kita membaha etiap applikai gra! "alam "unia ini$ karena etiap bi"ang il mu "apat "ikaitkan "engan gra!& Terlepa "ari bi"ang keilmuan #ang a"a$ a"a baikn#a kita mengetahui tentang pengaplikaian gra! "alam kehi"upan ehari – hari&
'an#ak orang #ang ti"ak a"ar akan a"an#a peran gra! "alam kehi"upan kita& 'aik "alam aat kita ekolah$ bermain$ atau beker)a$ peroalan gra! elalu menghampiri kita& Seperti #ang u"ah "i ebutkan pa"a bab bab ebelumn#a$ ontoh gra! #ang "apat kita temui "alam kehi"upan kita a"alah ebagai berikut : Gabar >" Graf transaksi $ang enun'ukkan keadaan deadlo0k Mialkan: tranaki T 0 menunggu tranaki T 1 "an T ? tranaki T ? menunggu tranaki T 1 tranaki T 1 menunggu tranaki T 3 tranaki T 3 menunggu tranaki T ? /ra! berarah #ang men#atakan tranaki menunggu tranaki lainn#a "itun)ukkan pa"a /ambar && Simpul men#atakan tranaki$ e"angkan buur *T i$ T + men#atakan tranaki T i menunggu tranaki T & /ra! ini mengan"ung iklu$ #aitu T 1 - T 3 - T ? - T 1 Antuk mengatai deadlo$k $ item haru memutukan iklu "engan ara membatalkan atu atau lebih tranaki "i "alam iklu &
eranangan Na2igai (eb )uga "apat "ilakukan "engan /ra!& ,engan menggunakan gra!$ proe meranang truktur na2igai pa"a ebuah .ebite akan teraa lebih mu"ah& ertama-tama kita akan membuat halaman-halaman utama #ang akan "itu)u langung *"iret+ "ari halaman in"e> *Halaman ,epan+$ kemu"ian kita haru membuat ebuah link untuk kembali ke halaman utama "ari etiap halaman terebut$ "emikian )uga "ari halaman-halaman bagian bagian ta"i$ "ari etiap ub-bagiann#a )uga haru a"a link ke halaman utama "an )uga ke halaman bagian aaln#a ta"i& Gungi gra! "i ini a"alah untuk mempermu"ah proe peranangan .ebite eara keeluruhan&
en)a".alan$ kita "apat membuat )a".al pela)aran$ )a".al kegiatan$ ataupun )a".al u)ian "engan gra!$ e"emikian rupa ehingga atu ama lain ti"ak aling tumpang tin"ih& Teorema #ang "ipakai "iini a"alah pe.arnaan gra!& e.arnaan gra! ini angat berguna bagi eorang ta!! ekolah atau guru "alam membuat )a".al pela)aran ? kela ekaligu atau lebih agar ti"ak aling bertabrakan atu ama lainn#a&
enggunaan gra! "alam tournament "ound( "o#in.Tentun#a ban#ak "ari kita telah mempun#ai pengalaman "alam mengikuti uatu tournament$ atau eti"akn#a menonton uatu tournament$ eperti ontohn#a$ pa"a tournament uatu liga& 'agan tournament terebut )uga "apat "irepreentaikan "engan gra!&
Turnamen "ound("o#in Turnamen #ang etiap tim bertan"ing "engan tim lainn#a han#a ekali "iebut turnamen round(ro#in& Turnamen emaam itu "imo"elkan "engan gra! berarah$ #ang "alam hal ini impul men#atakan tiap tim #ang bertan"ing$ "an buur men#atakan pertan"ingan& 'uur *a$ #+ berarti tim a berhail memukul tim #& /ambar 10 memperlihatkan turnamen round(ro#in untuk 6 buah tim& Tim 1 ti"ak terkalahkan$ e"angkan tim 3 ti"ak pernah menang&
GRAF DALAM BERBAGAI BIDANG ILMU Hugo Toni Seputro – NIM : 13506053 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung Bandung E-mail :
[email protected]
Abstrak
Makalah Makalah ini membaha membaha tentang peman!aat peman!aatan an repreen repreentai tai gra! untuk "iterapkan "iterapkan "i "alam berbagai berbagai bi"ang keilmuan #ang a"a$ eperti "alam bi"ang keilmuan %imia$ Soiologi$ %artogra!i$ "an ebagain#a& Namun$ akibat keterbataan halaman$ "alam makalah ini han#a ebagian 'i"ang %eilmuan #ang akan "ibaha& (alaupun teori gra! beraal beraal "ari bi"ang bi"ang ilmu Matematika$ Matematika$ namun pa"a pa"a penerapann# penerapann#a$ a$ teori gra! "apat "i hubungkan "engan berbagai bi"ang ilmu "an )uga kehi"upan ehari – hari& Teori gra! aat ini men)a"i topik #ang ban#ak men"apat perhatian$ karena mo"el-mo"el #ang a"a pa"a teori gra! berguna untuk aplikai #ang lua$ lua$ eperti maalah "alam )aringan komunikai$ tranportai$ tranportai$ ilmu komputer$ riet riet operai$ "an lain ebagain#a& Salah atu aplikai "alam teori gra! a"alah menentukan kota ter)auh *makimal lintaan terpen"ek+ "ari uatu kota ke kota lain #ang ter"iri "ari kumpulan kota "alam uatu "aerah$ ,i "alam buku ,iktat %uliah Matematika ,ikrit #ang "iuun oleh 'apak inal"i Munir$ M&T& "iebutkan bah.a Teori gra! merupakan pokok bahaan #ang u"ah tua uian#a namun memiliki ban#ak terapan ampai aat ini& /ra! "igunakan untuk merepreentaikan ob)ek-ob)ek "ikrit "an hubungan antara ob)ek-ob)ek terebut& "a ban#ak ekali ontoh penggunaan gra! "i "alam kehi"upan ontohn#a a)a "alam pembuatan peta$ "imana atu kota "ihubungkan "engan kota lain apabila ter"apat )alan atau arana tranportai #ang menghubungkan ke"ua ke"ua kota kota tereb terebut& ut& Selain Selain itu )uga )uga gra! gra! "apat "apat kita kita temuka temukan n "alam "alam 2iual 2iualia iai i ilil ililah ah keluar keluarga ga #ang #ang menggunakan pohon keturunan& Kata kunci : graf, aplikasi graf, diskrit, matematika, verte, graf planar, arah, lintasan, path, euler, sirkuit..
1& Pendahuluan
Teori graf merupakan pokok bahaan #ang u"ah tua uian#a namun memiliki ban#ak terapan ampai aatini& /ra! "igunakan untuk merepreentaikan ob)ek-ob)ek "ikrit "an hubungan antara ob)ek-ob)ek terebut& epreentai 2iual "ari gra! a"alah "engan menu#atakan ob)ek "in#atakan ebagai noktah$ bulatan$ atautitik$ e"angkan hubungan hubungan antara ob)ek "in#atakan "engan gari& Sebagai ontoh$ /ambar 1 a"alah ebuah peta )aringan )alan ra#a #ang menghubungkan e)umlah kota "i ro2ini 4a.a Tengah& Seungguhn#a peta terebut a"alah ebuah gra!$ #ang "alam hal ini kota "i n#atakan ebagai bulatan e"angkan )alan "in#atakan "in#atakan ebagai gari& ,engan "iberikann#a peta terebut$ kita "apat mengetahui apakah a"a lintaan )alan antara "ua buah kota& Selain itu$ bila pan)ang )alan kereta api antara
"ua buah kota bertetangga "iketahui$ kita )uga "apat menentukan rute per)alanan #ang teringkat "ari kota ! ke kota B& Maih ban#ak pertan#aan lain #ang "apat kita munulkan berkenaan "engan gra!& plikai "ari teori gra! ini angat lua "an "ipakai "ala "alam m berb berbag agai ai "ii "iipl plin in ilmu ilmu maup maupun un "ala "alam m kehi"upan ehari hari& enggunaan gra! "i berbagai bi"ang terebut "igunakan untuk memo"elkan peroalan& Teori ini )uga angat berguna untuk mengembangkan mo"el-mo"el #ang tertruktur "alam berbagai ituai& ,alam implementain#a teori ini ban#ak "igunakan "i "alam bi"ang kelitrikan$ kimia organik$ ilmu komputer$ "ll& 'ahkan "e.aa ini teori gra! "igunakan "igunakan eara eara bear-be bear-bearan aran "alam "alam bi"ang bi"ang ekol ekolog ogi$ i$ geog geogra ra!i !i$$ antr antrop opol olog ogi$ i$ gene geneti tika ka$$ !ii !iika ka$$ elektronika elektronika$$ pemroea pemroean n in!ormai in!ormai$$ aritektur aritektur$$ "an "eain& Sealain itu )uga$ teori ini ban#ak "iman!aatkan eara prakti "alam bi"ang in"utri&
