PEWARNAAN RUSUK PADA GRAF LENGKAP
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Teori Graf Dosen pengampu : Drs. Emut, M.Si
Kelompok 7 Nazilatul Lailiyah
10305141011
Istri Rumi Andriani
10305141021
Anna Sandi Rahayu
10305141028
Ericolion Maubrani
10305141031
Nur Aslikhah
10305141033
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2012
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Pewarnaan rusuk pada graf G adalah suatu pemetaan dari himpunan rusuk ke himpunan warna sedemikian hingga setiap rusuk yang hadir pada simpul yang sama mendapatkan warna yang berbeda. Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap 2 simpulnya berikatan. Pewarnaan rusuk pada graf lengkap dapat digunakan untuk membuat jadwal pertandingan, dimana pertandingan tersebut menggunakan sistem setengah kompetisi. Sebagai contohnya dalam kompetisi Liga UNY. Kompetisi sepak bola terbesar di UNY yang mempertemukan 7 tim terbaik di UNY yaitu FMIPA, FBS, FIK, FE, FIS, FT, dan FIP. Sistem pertandingan Liga UNY ini menggunakan sistem pertandingan setengah kompetisi. Panitia Liga UNY menyediakan 3 lapangan untuk pertandingan sepak bola tersebut. Supaya kompetisi berjalan dengan lancar dengan waktu seefisien mungkin, pertandingan mana saja yang bisa dilaksanakan dalam waktu yang bersamaan dengan membentuk sistem penjadwalan. Pertandingan diselenggarakan dalam beberapa shif dimana antar shif diberi jeda 2 hari. Sistem penjadwalan ini dapat dibentuk dengan menggunakan pewarnaan rusuk pada graf lengkap. 1.2 RUMUSAN MASALAH
Bagaimana menerapkan pewarnaan rusuk pada graf lengkap dalam penjadwalan pertandingan Liga UNY? 1.3 TUJUAN
Tujuan penulisan ini untuk mendapatkan sistem penjadwalan yang lebih efisien dalam Liga UNY.
BAB II PEMBAHASAN
G(V(G), E(G)) disebut graf jika V(G) ≠ Ø. Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap 2 simpulnya berikatan. Ada 3 macam pewarnaan graf yaitu pewarnaan simpul, pewarnaan rusuk, dan pewarnaan wilayah (region). Pewarnaan rusuk pada graf G adalah suatu pemetaan dari himpunan rusuk ke himpunan warna sedemikian hingga setiap rusuk yang hadir pada simpul yang sama memiliki warna yang berbeda. Banyaknya warna minimal yang dapat digunakan untuk mewarnai rusuk-rusuk dalam suatu graf disebut bilangan khromatik G, yang dinotasikan
χ’(G). Salah satu fungsi dari pewarnaan rusuk pada graf lengkap adalah untuk membuat jadwal pertandingan, dimana pertandingan tersebut menggunakan sistem setengah kompetisi. Tujuan dari penjadwalan pertandingan menggunakan pewarnaan graf lengkap adalah untuk mengatur jadwal setiap tim untuk bertanding dengan jadwal yang tepat dan waktu yang seminimal mungkin. Cara untuk mengatur jadwal pertandingan tersebut sama halnya dengan cara mewarnai rusuk pada graf lengkap dimana setiap rusuk yang hadir pada simpul yang sama memiliki warna yang berbeda. Algoritma pewarnaan rusuk pada graf lengkap dengan banyaknya simpul ganjil 1. Memberi warna pada rusuk-rusuk luar yang membentuk segi-n dengan warna berbeda untuk setiap rusuknya. 2. Rusuk-rusuk yang tersisa diberi warna yang sama dengan rusuk luar apabila rusuk tersebut sejajar dengan salah satu rusuk luar. Algoritma pewarnaan rusuk pada graf lengkap dengan banyaknya simpul genap 1. Menghapus satu simpul (simpul-simpul dan rusuk-rusuk yang tersisa membentuk graf lengkap dengan banyaknya simpul ganjil). 2. Mewarnai rusuk pada graf hasil langkah ke-1 dengan algoritma pewarnaan graf lengkap dengan banyaknya simpul ganjil. Karena setiap simpul kehilangan 1 warna dan warna
rusuk-rusuk yang bertemu pada suatu simpul tersebut berbeda, maka rusuk yang hadir pada simpul yang dihapus tadi dapat diwarnai dengan warna yang hilang tersebut.
Salah satu teorema yang mendasari tentang pewarnaan rusuk pada graf lengkap adalah sebagai berikut, Teorema Untuk graph lengkap K n , χ (K n) = n-1 jika n genap, dan χ (K n) = n jika n ganjil. Bukti: Setiap simpul graph K n berderajat n-1, maka berdasarkan Teorema Vizing diperoleh n-1 ≤ χ (K n) ≤ n. 1. Akan ditunjukkan bahwa untuk n ganjil maka χ (K n) = n Maksimum banyaknya rusuk graph K n yang dapat diberi warna yang sama adalah (n-1)/2, karena setiap 2 rusuk yang berlainan bertemu pada simpul yang sama. Banyaknya rusuk K n adalah n(n-1)/2. Karena banyaknya rusuk n(n-1)/2 dan banyaknya rusuk yang diberi warna sama adalah (n-1)/2 maka minimal banyaknya warna yang dapat digunakan untuk mewarnai rusuk-rusuk tersebut adalah n. Jadi χ (K n) = n untuk n ganjil. 2. Akan ditunjukkan bahwa untuk n genap maka χ (K n) = n-1 Untuk n=2 maka χ (K 2) = 1. Untuk n>2, maka pada graf K n kita dapat memilih simpul v lalu dihapus. Sebagai contoh:
maka graph K n (n genap) yang dihapus simpul v nya, akan menjadi menjadi graph K n-1 (n-1 ganjil), maka χ (K n-1) = n-1 (n-1 ganjil). Pada graph K n, rusuk-rusuk yang dihapus tadi dapat diberi warna menggunakan warna yang telah digunakan pada graph K n-1 yaitu sebagai berikut:
Jadi χ (K n) = n-1 untuk n genap. Selanjutnya akan ditunjukkan aplikasi dari teorema di atas pada penjadwalan Liga UNY. Pada Liga UNY ada 7 tim sepak bola yang akan bertanding yaitu FMIPA, FBS, FIK, FE, FIS, FT, dan FIP. Akan dibentuk jadwal pertandingan supaya kompetisi berjalan dengan lancar dengan waktu seminimum mungkin. Sistem penjadwalan ini dapat dibentuk dengan menggunakan pewarnaan rusuk pada graf lengkap, yaitu sebagai berikut: Berdasarkan teorema diatas maka χ (K 7) = 7
Dari gambar di atas terlihat bahwa pertandingan yang dapat dilakukan dalam waktu bersamaan yaitu: 1. Pertandingan FIS vs FE, FT vs FIK, FIP vs FBS. 2. Pertandingan FE vs FIK, FIS vs FBS, FT vs FMIPA. 3. Pertandingan FIK vs FBS, FE vs FMIPA, FIS vs FIP. 4. Pertandingan FBS vs FMIPA, FIK vs FIP, FE vs FT. 5. Pertandingan FMIPA vs FIP, FBS vs FT, FIK vs FIS. 6. Pertandingan FIP vs FT, FMIPA vs FIS, FBS vs FE. 7. Pertandingan FT vs FIS, FIP vs FE, FMIPA vs FIK. Andaikan pertandingan dimulai pada hari Senin tanggal 26 November 2012 maka diperoleh jadwal pertandingan sebagai berikut: Shif
Hari/Tanggal
Lapangan 1
Lapangan 2
Lapangan 3
1
Senin,26 November 2012
FIS vs FE
FT vs FIK
FIP vs FBS
2
Kamis, 29 November 2012
FE vs FIK
FIS vs FBS
FT vs FMIPA
3
Minggu, 2 Desember 2012
FIK vs FBS
FE vs FMIPA
FIS vs FIP
4
Rabu, 5 Desember 2012
FBS vs FMIPA
FIK vs FIP
FE vs FT
5
Sabtu, 8 Desember 2012
FMIPA vs FIP
FBS vs FT
FIK vs FIS
6
Selasa, 11 Desember 2012
FIP vs FT
FMIPA vs FIS
FBS vs FE
7
Jumat, 14 Desember 2012
FT vs FIS
FIP vs FE
FMIPA vs FIK
Jadi pertandingan selesai pada hari Jumat, 14 Desember 2012.
BAB III PENUTUP
Dalam pewarnaan rusuk pada graf lengkap Kn dengan banyaknya simpul ganjil dapat diwarnai minimal dengan n warna atau χ (K n) = n. Sedangkan untuk graf lengkap Kn dengan banyaknya simpul genap dapat diwarnai minimal dengan n-1 warna atau χ (K n) = n-1. Pewarnaan rusuk pada graf lengkap dapat diterapkan dalam pembuatan jadwal pertandingan dimana pertandingan tersebut menggunakan sistem setengah kompetisi. Seperti dalam pembahasan, pertandingan Liga UNY dengan 7 tim sepakbola akan lebih efisien jika pertandingan dibagi dalam 7 shif dimana setiap shifnya terdapat 3 pertandingan berbeda. Waktu yang dibutuhkan dalam penyelenggaraan Liga UNY tersebut adalah selama 19 hari.
DAFTAR PUSTAKA
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196303311988031 NANANG_PRIATNA/Pewarnaan_Graph.pdf .Diakses pada tanggal 31 Oktober 2012 Wilson, Robin J., dan John J. Watkins. 1990. Graph: An Introducing Approach. Singapore.
