Materi 10 Matdis Teori Graf

FTI/MatDis-LogMat/IP-67002/Hal. 1

TEORI GRAF Secara Secara kasar, kasar, graf graf adalah adalah suatu suatu diagram diagram yang memuat memuat informas informasii tertent tertentu u jika diinterp diinterpreta retasika sikan n secara secara tepat. tepat. Dalam Dalam kehidupa kehidupan n seharisehari-hari hari,, graf graf digunak digunakan an untuk untuk mengga menggamba mbarka rkan n berba berbaga gaii maca macam m struk struktur tur yang yang ada. ada. Tujua Tujuann nnya ya adal adalah ah seba sebaga gaii visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang sering dijum dijumpa paii dalam dalam kehid kehidupa upan n seha sehariri-ha hari ri anta antara ra lain: lain: struk struktur tur orga organis nisas asi, i, baga bagan n alir alir pengamb pengambilan ilan mata kuliah, kuliah, peta, peta, rangkaia rangkaian n listrik, listrik, dan lain-lai lain-lain. n. Graf Graf struktur struktur sebuah sebuah organisasi dan peta beberapa daerah tampak pada Gambar 1 dan Gambar 2. Ketua I Ketua I

Seksi Dana Seksi Dana

Ketua II Ketua II

Seksi Seksi Konsumsi Konsumsi

Seksi Acara Seksi Acara

Seksi Seksi Perlengkapan Perlengkapan

Sekretariat Sekretariat

Seksi Seksi Keamanan Keamanan

Gambar 1

B

200 A

50

75 C

180

100 D 60

E

Gambar 2

Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis-garis yang menghubungkan obyek-obyek tersebut. Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang yang lain lain jika jika arah arah gari garis s diub diubah ah.. Seba Sebaga gaii cont contoh oh adal adalah ah gari garis s koma komand ndo o yang yang menghub menghubungk ungkan an titik-tit titik-titik ik struktur struktur sebuah sebuah organis organisasi. asi. Sebalik Sebaliknya nya,, garis garis yang yang tidak tidak bera berara rah h digu diguna naka kan n untu untuk k meny menyat atak akan an hubu hubung ngan an anta antarr obje objekk-ob obje jek k yang yang tida tidak k mementingkan urutan. Sebagai contoh adalah garis untuk menyatakan jarak hubung 2 kota pada Gambar 2. Jarak dari kota A ke kota B sejauh 200 km akan sama dengan jarak dari kota B ke kota A. Apabila jarak 2 tempat tidak sama jika dibalik (misalnya karena harus melalui jalan memutar), maka garis yang digunakan haruslah garis yang berarah. Dalam Dalam materi materi ini, graf akan akan dibahas dibahas secara teoretis, teoretis, baik graf secara secara umum maupun Tree (pohon) yang merupakan kasus khusus graf yang banyak dipakai dalam ilmu komputer. Terminologi yang dipakai dalam teori graf tidak baku. Dalam buku yang berbeda, sebuah simbol mungkin menyatakan beberapa hal yang berbeda. Hal ini bisa dimaklumi mengingat luasnya aplikasi graf dalam berbagai bidang. Dalam materi ini, diusaha diusahakan kan agar agar definisi definisi-def -definisi inisi maupun maupun simbol-si simbol-simbol mbol yang digunaka digunakan n merupaka merupakan n definisi-definisi dan simbol-simbol yang biasa dipakai. Dasar-Dasar Graf Definisi 1 Suatu Suatu graf graf G terdiri terdiri dari 2 himpuna himpunan n yng berhingga berhingga,, yaitu yaitu himpuna himpunan n titik-ti titik-titik tik tidak tidak kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis-garis (simbol E(G)).


Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut dinamakan Titik berhubungan dengan satu titik ujung disebut Loop. Dua garis Ujung. Garis yang hanya berhubungan berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut Garis Paralel. Dua titik titik dikataka dikatakan n berhubungan (adjacent ) jika jika ada ada garis garis yang yang menghu menghubu bung ngka kan n keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut Titik Terasing (Isolating Point ) Graf Graf yang yang tidak tidak mempu mempunya nyaii titik titik (seh (sehing ingga ga tidak tidak mempu mempunya nyaii garis garis)) diseb disebut ut Graf Kosong. Jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah (Directed Graph, atau atau sering sering disingka disingkatt Digraph). Jika Jika semua semua garis garisnya nya tidak tidak bera berara rah, h, maka maka graf-n graf-nya ya disebut Graf Tak Berarah (Undirected Graph). Dalam materi ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graf tak berarah. Kadang-kadang suatu graf dinyatakan dengan gambar. Gambar suatu graf G terdiri dari himpunan himpunan titik-tili titik-tilik k V(G), V(G), himpuna himpunan n garis-ga garis-garis ris E(G) E(G) yang yang menghub menghubung ungkan kan titik-tit titik-titik ik tersebut (beserta arah garis pada graf berarah), dan label pada garisnya (jika ada). Panjang garis, kelengkungan garis, dan letak titik tidak berpengaruh dalam suatu graf. Contoh 1 Ada 7 kota (A,...,G) yang beberapa di antaranya antaranya dapat dihubungkan dihubungkan secara langsung langsung deng dengan an jalan jalan dara darat. t. Hubu Hubung ngan an-hu -hubu bung ngan an langsu langsung ng yang yang dapa dapatt dilak dilakuk ukan an adala adalah h sebagai berikut: A dengan dengan B dan D B dengan D C dengan B E dengan F Buatlah graf yang menunjukkan keadaan transportasi di 7 kota tersebut. Penyelesaian : Misalkan kota-kota dianggap sebagai titik-titik. Dua titik/kota dihubungkan dengan garis bila dan hanya bila ada jalan yang menghubungkan langsung kedua kota tersebut. Dengan demikian, keadaan transportasi di 7 kota dapat dinyatakan dalam Gambar 3. B e1 A

E e4

e3

C

e2

e5

G

F D Gambar 3

Dalam graf tersebut e 1 berhubungan dengan titik A dan B (keduanya disebut titik ujung e1). Titik A dan B dikatakan berhubungan, sedangkan titik A dan C tidak berhubungan karena tidak ada garis yang menghubungkannya secara langsung. Titik G adalah titik terasing karena tidak ada garis yang berhubungan dengan dengan G. Dalam interpretasinya, kota G merupakan kota yang terasing karena tidak dapat dikunjungi dari kota-kota lain dengan jalan darat. Dalam graf tak berarah, garis e dengan titik ujung (v,w) menyatakan suatu garis yang menghubungkan titik v dengan titik w. Dalam graf berarah, garis tersebut menyatakan garis dari titik v ke titik w.

Dengan diketahuinya graf, maka himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya adalah tunggal. Tetapi hal ini tidak berlaku sebaliknya. Dengan diketahuinya himpunan garis, titik titik dan titik-titi titik-titik k ujung ujung garis, garis, maka dapat dapat dibentu dibentuk k bebera beberapa pa graf graf yang yang “berbe “berbeda”. da”.


Perbed Perbedaan aan graf-gr graf-graf af tersebu tersebutt terleta terletak k pada panjang panjang garis, garis, kelengku kelengkunga ngan n garis, garis, dan posisi titik yang berbeda antara satu graf dengan graf yang lainnya. Tetapi karena visualisasi titik dan garis (panjang garis, kelengkungan posisi titik dan lainlain-la lain) in) tidak tidak berpe berpeng ngaru aruh, h, maka maka graf-g graf-gra raff ters terseb ebut ut merupa merupaka kan n graf graf yang yang sama sama meskipun secara visual tampak berbeda. Contoh 2 Gambarlah graf G dengan titik dan garis berikut ini V(G) = {v 1, v2, v3, v4} E(G) = {e 1, e2, e3, e4, e5} Titik-titik ujung garis adalah : Garis Titik Ujung e1 {v1,v3} e2 {v2,v4} e3 {v1} e4 {v2,v4} e5 {v3} Penyelesaian : Ada banyak graf yang dapat dibentuk. dibentuk. Semua graf tersebut tersebut sebenarnya sebenarnya menggambarkan objek yang sama, tetapi tampak berbeda karena letak titik, panjang garis garis dan kelengk kelengkunga ungannya nnya berbeda. berbeda. Dua di antara antara graf-gra graf-graff tersebu tersebutt tampak tampak pada pada Gambar 4 dan 5

v1 v3

e3 e1 e5

v2

v2 e2 e 4 v4

Gambar 4

e3 v 1

e1

e2 v4

v3

e5

e4

Gambar 5

Graf juga banyak dipakai dipakai untuk membantu menyelesaikan menyelesaikan masalah m asalah-masalah -masalah yang berhubungan dengan Kecerdasan Buatan ( Artificial Intelligence ), seperti dalam contoh 3, yang merupakan suatu teka-teki yang banyak dipakai sebagai ilustrasi. Dalam hal ini, graf digunakan untuk menyatakan hubungan-hubungan yang terjadi di antara objekobjek. Dengan cara itu, deduksi ke kesimpulan akan lebih mudah dibuat. Contoh 3 Ada sebuah pulau pulau yang penghuninya penghuninya hanya terdiri terdiri dari 2 macam yaitu : pemakan orang (cannibal ) dan pemakan sayuran ( vegetarian ). Pada mulanya, ada 2 orang pemakan orang dan 2 orang pemakan sayuran di sisi barat sungai. Di sisi barat itu pula terdapat sebuah perahu kecil yang hanya dapat menampung paling banyak 2 orang. Masalahnya adalah adalah bagaima bagaimana na cara cara mengang mengangkut kut keempat keempat orang orang terseb tersebut ut ke sisi sisi timur timur sungai. sungai. Syaratnya adalah : jumlah pemakan manusia pada suatu sisi sungai tidak boleh lebih bany banyak ak dari dari juml jumlah ah pema pemaka kan n sayu sayura ran n di sisi sisi yang yang sama sama,, kare karena na hal hal itu itu akan akan menyebabkan pemakan manusia akan memakan pemakan sayuran. Penyelesaian: Suatu cara penyelesaian yang sistematis adalah dengan menggambarkan semua kemun kemungki gkina nan n keada keadaan an,, dan dan kemud kemudian ian menghi menghila langk ngkan an bagia bagian-b n-bag agian ian yang yang tidak tidak mungkin terjadi karena tidak memenuhi kendala yang diisyaratkan. Misalkan simbol s menyatakan pemakan sayuran, o menyatakan pemakan orang, P menyatakan perahu dan simbol "/" menyatakan sungai. Dengan menggunakan simbol tersebut maka ssoP/o berarti suatu keadaan di mana di sisi barat sungai (di sebelah kiri simbol /) ada 2 orang pemakan sayuran dan satu orang pemakan orang, sedangkan di sisi timur sungai ada seorang pemakan orang. Perahu ada di sisi barat sungai.


Semua Semua kemun kemungk gkina inan n kead keadaa aan n di sunga sungaii terse tersebu butt dapa dapatt diga digamba mbarka rkan n pada pada Gambar 6 (sumbu mendatar menyatakan jumlah pemakan sayur di timur sungai dan sumbu tegak menyatakan jumlah pemakan orang di timur sungai). Pada suatu titik tertentu, ada 2 kemungkinan posisi perahu (P), yaitu di kiri sungai atau di kanan sungai. n a n a k / r u 2 m i t i d g n a r o n 1 a k a m e p h a l m u 0 J i a g n u s

ss / P oo

s / P soo

/ P ssoo

ss P / oo

s P / soo

P / ssoo

sso / P o

so / P so

o / P sso

sso P / o

so P / so

o P / sso

ssoo / P

soo / P s

oo / P ss

ssoo P /

soo P / s

oo P / ss

0

1

2

Jumlah pemakan sayur timur/kanan sungai Gambar 6

Selanjutnya, dihilangkan keadaan-keadaan yang tidak mungkin terjadi: Karena jumlah pemakan orang (o) di suatu sisi sungai tidak boleh lebih banyak a. dari jumlah pemakan sayurnya (s), maka titik-titik : s/Psoo, sP/soo, soo/Ps, sooP/s harus dihilangkan Perahu Perahu harus berada berada pada pada sisi sungai yang ada orangnya. orangnya. Jika Jika tidak tidak demikian demikian,, b. maka maka tida tidak k ada ada oran orang g yang yang dapa dapatt meny menyeb eber eran ang. g. Oleh Oleh kare karena na itu, itu, haru harus s dihilangkan titik-titik titik-titi k ssoo/P dan P/ssoo Dengan adanya beberapa titik yang dihilangkan tersebut, maka didapatkan keadaan yang dinyatakan pada Gambar 7 i a g n u s n a n 2 a k / r u m i t i d g n a r o 1 n a k a m e p h a l m u 0 J

ss / P oo

/ P ssoo

ss P / oo

sso / P o

so / P so

o / P sso

sso P / o

so P / so

o P / sso

oo / P ss ssoo P / 0

oo P / ss 1

2



Dari titik-titik yang tersisa, dibuat garis-garisnya. garis-garisnya. Suatu garis menghubungkan menghubungkan 2 buah titik titik yang yang dapat dapat dicapai dicapai satu satu dari dari yang yang lainnya lainnya.. Sebaga Sebagaii contoh, contoh, titik ssoP/o ssoP/o dapat dapat dihubungkan dengan titik o/Psso karena dari titik ssoP/o, perahu dapat mengangkut 2 orang pemakan sayur (s) ke sisi kanan sungai, sehingga didapatkan titik o/Psso. Kondisi ini juga juga berla berlaku ku seba sebalik liknya nya.. Dari Dari titik titik o/Ps o/Psso so,, pera perahu hu dapa dapatt menga mengangk ngkut ut 2 oran orang g pemakan sayur ke kiri sungai sehingga didapatkan titik ssoP/o. Dengan penambahan semua garis yang mungkin dibuat, maka didapatkan graf yang dinyatakan pada Gambar 8. Untu Untuk k meny menyel eles esai aika kan n masa masala lah h ters terseb ebut ut,, bera berart rtii haru harus s dica dicari ri jalu jalurr (gar (garis is)) yang yang menghubungkan titik ssooP/ (perahu dan semua orang yang terlibat berada di barat sungai) dengan titik /Pssoo (perahu dan semua orang yang terlibat berada di timur sungai) Dari Gambar 8 didapatkan 2 kemungkinan jalur yaitu : ssooP/ → ss/Poo → ssoP/o → o/Psso → ooP/ss → /Pssoo atau: ssooP/ → so/Pso → ssoP/o → o/Psso → ooP/ss → /Pssoo i a g n u s n a n 2 a k / r u m i t i d g n a r o 1 n a k a m e p h a l m u 0 J

ss / P oo

/ P ssoo

ss P / oo

sso / P o

so / P so

o / P sso

sso P / o

so P / so

o P / sso

oo / P ss ssoo P / 0

oo P / ss 1

2


Graf Tak Berarah

Berdasarkan jenis garis-garisnya, graf dibedakan dalam 2 kategori yaitu Graf Tak Berarah ( Undirected Graph) dan Graf Berarah ( Directed Graph = Digraph ). Graf Bipartite Definisi 2 Graf Sederhana (Simple Graph ) adalah graf yang tidak mempunyai loop ataupun garis paralel.

Contoh 4 Gambarlah semua graf sederhana yang dapat dibentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis


Penyelesaian : Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 buah titik. Karena  4  4! ada 4 titik, maka ada    = 2! 2! = 6 garis yang mungkin dibuat, yaitu garis-garis yang 2   titik-titik ujungnya adalah {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, dan {c,d}.

Dari keenam keenam garis yang mungkin tersebut, tersebut, selanjutnya selanjutnya dipilih 2 di antaranya. Jadi Jadi ada  6  6!   = 15 buah graf yang mungkin dibentuk. Graf-graf Graf-graf tersebut tersebut dapat dilihat pada  =  2  2! 4! Gambar 9.

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c d Gambar 9

c

d

c

d

Definisi 3 adalah graf graf sederh sederhana ana Graf Lengkap (Complete Graph ) dengan n titik (simbol K n) adalah dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis. Teorema 1

Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah

n( n

− 1)

2

buah

Bukti Misalkan G adalah suatu graf lengkap dengan n titik v 1, v2,..., vn. Ambil sembarang sembarang titik (sebutlah (sebutlah v 1). Kare Karena na G merupa merupaka kan n graf graf lengka lengkap, p, maka maka v 1 dihubungkan dengan (n-1) titik lainnya (v 2, v3, ... , v n). Jadi ada (n-1) buah garis. Selanjutnya, ambil sembarang titik kedua (sebutlah v 2). Karena G adalah graf lengkap, maka v2 juga dihubungkan dengan semua titik sisanya (v 1, v3, ..., v n), sehingga ada (n-1) buah garis yang berhubungan dengan v 2. Salah satu garis tersebut menghubungkan v 2 dengan v1. Garis ini sudah diperhitungkan pada waktu menghitung banyaknya garis yang berhubungan dengan v 1. Jadi, ada (n-2) garis yang belum diperhitungkan. Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya garis yang berhubungan dengan v 3, v4, ..., v n-1 dan yang yang belum belum diperhit diperhitungk ungkan an sebelumny sebelumnya. a. Banyak Banyak garis garis yang yang didapat didapat berturut-turut adalah : (n-3), (n-4), ...,3,2,1. n( n − 1) Jadi secara keseluruhan terdapat (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 2 + 1 = buah garis. 2 Contoh 5 Gambarlah K2, K3, K4, K5, dan K6 !


Penyelesaian :

K2

K3

K4

K5

K6

Gambar 10

Kadang-kadang, titik-titik dalam suatu graf dapat dipecah menjadi 2 bagian, di mana titik-titik dalam satu bagian dihubungkan dengan titik-titik di bagian yang lain. Dengan demikian, graf terlihat seolah-olah "terpisah" menjadi 2 bagian. Definisi 4 Suat Suatu u graf graf G diseb disebut ut Graf Graf Bipartite apabila V(G) merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V 1 dan V2, dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam V1 dengan titik dalam V 2.

Apabila dalam Graf Bipartite, setiap titik dalam V 1 berhub berhubungan ungan dengan setiap titik dalam V2, maka graf-nya disebut Graf Bipartite Lengkap . Jika V1 terdiri dari m titik dan V 2 terdiri dari n titik, maka Graf Bipartite Lengkapnya sering diberi simbol K m,n. Contoh 6 Tentu Tentuka kan n mana mana di anta antara ra graf graf-gr -graf af berik berikut ut ini yang yang merup merupak akan an graf graf Bipartite dan Bipartite lengkap. v1

v2

e2 e3

v4

v1

e1

v2

e2

e4

e5 v3

e1

v5 e6

(a)

v3

v6

e1

v1

e2

e6 e3

v4

v5

e5

(b)

v2 e3 v3

v4

(c)

e4

v4 e3

e1

v1

e2 e4

e5

v2

v5 e6 v3

(d)

Gambar 11

Penyelesaian : Jelas bahwa titik-titik graf-nya terbagi menjadi 2 bagian yaitu V 1 = {v1, v2, v3} dan V 2 a. = {v4, v5}. Setiap titik dalam V 1 dihubungkan dihubungkan dengan dengan setiap titik dalam dalam V 2. Maka Maka graf-nya merupakan K 3,2.

b.

Hany Hanya a merupa merupaka kan n graf graf bipart bipartite ite saja saja karena karena titik titik-ti -titik tik dala dalam m graf terba terbagi gi menja menjadi di 2 bagian, yaitu V 1 = {v1, v 3} dan V2 = {v 2, v 4}. Akan tetapi, tidak semua titik dalam V 1 dihubungkan dengan semua titik dalam V 2 (v1 tidak dihubungkan dengan v 4).


c.

Denga engan n peng pengat atur ura an leta letak k titi titikk-ti titi tikn knya ya,, maka maka graf graf Gamba ambarr 11 (c) (c) dapa dapatt digambarkan sebagai graf pada Gambar 12. e2

v1 e1 v3

v2 e3 v4

e4 e5

v5

v6

e6

Gambar 12

d.

Tampak bahwa titik-titiknya terbagi menjadi 2 bagian yaitu V 1 = {v1, v3, v5} dan V 2 = {v2, v4, v6}. Setiap garis menghubungkan sebuah titik dalam V 1 dengan dengan sebuah titik dalam V 2, sehingga graf-nya merupakan graf bipartite Perhatikan bahwa meskipun tampak berbeda, sebenarnya graf pda Gambar 11 (d) sama dengan graf Gambar 11 (a), sehingga graf Gambar 11 (d) adalah K 3,2.

Posis Posisii titiktitik-tit titik ik dala dalam m pengg penggam amba bara ran n graf graf kada kadangng-ka kada dang ng mempe mempeng ngar aruhi uhi pandangan, seperti halnya pada contoh (c) dan (d). Dalam kedua graf tersebut, semua titik tampaknya terhubung dan tidak dapat dipisahkan walaupun kenyataannya tidaklah demikian. Oleh karena itu, harus jeli dalam menentukan apakah suatu graf merupakan Graf Bipartite.

Komplemen Graf Definisi 5 Komplemen suatu graf G (simbol G ) dengan n titik adalah suatu graf dengan : Titik-titik G sama dengan titik-titik G. Jadi V ( G ) = V ( G ) 1. 2.

Garis-garis

G

adalah komplemen garis-garis G terhadap Graf Lengkapnya (K n)

( ) = E ( K ) − E ( G )

E G

n

Titik-ti Titik-titik tik yang yang dihubun dihubungka gkan n dengan dengan garis garis dalam dalam G tidak tidak terhubu terhubung ng dalam dalam G . Sebaliknya, titik-titik yang tidak terhubung dalam G menjadi terhubung dalam G . Contoh 7 Gambarlah komplemen graf G yang didefinisikan dalam Gambar 13 di bawah ini !

a a

b

b

f

a

b

c

d

c

e

d

c

e (a)

d (b) Gambar 13

(c)


Penyelesaian: Titik-titik dalam G sama dengan titik-titik dalam G, sedangkan garis-garis dalam G adalah garis-garis yang tidak berada dalam G.

Pada Gambar 14 (a), titik-titik yang tidak dihubungkan dengan garis dalam G adalah garis dengan titik ujung {a, d}, {a, e}, {b, c}, dan {b, e}. Maka graf G dapat digambarkan pada Gambar 14 (a). Secara analog, (b) dan 13 (c) dapat digambarkan pada Gambar 14 (b) dan (c).

G

Gambar 13

a a

b

b

f

a

b

c

d

c

e

d

c

e

d

(a)

(b)

(c)

Gambar 14

Perhatikan bahwa komplemen K 4 dalam soal (c) adalah graf tanpa garis di dalamnya. Secara umum, komplemen K n adalah suatu graf dengan n titik dan tanpa garis. Contoh 8 Misalkan G adalah suatu graf dengan n buah titik dan k buah garis. Berapa banyak garis dalam G ? Penyelesaian: Jumlah garis dalam

adalah jumlah garis dalam K n dikurangi jumlah garis dalam G. n( n − 1) Menurut teorema 1, banyaknya garis dalam K n adalah , maka banyaknya garis 2 n( n − 1) − k . dalam G adalah 2 G

Jika Jika garis garis dala dalam m G menunj menunjuk ukka kan n relas relasii terte tertentu ntu,, maka maka garis garis dala dalam m G juga menunjukkan komplemen/ingkaran relasi tersebut. Sebagai contoh, andaikan titik-titik dalam dalam G menyata menyatakan kan karyawa karyawan-ka n-karyaw ryawan an dalam dalam suatu suatu perusa perusahaan haan dan garis-ga garis-garis ris dalam G menyatakan relasi "dapat bekerja sama". Dua titik dalam G akan dihubungkan dihubungkan dengan garis jika keduanya dapat bekerja sama. Garis-garis dalam G menunjukkan ingkaran dari relasi tersebut. Dua titik dalam G dihubungkan dengan suatu garis jika kedua karyawan tidak dapat bekerja sama.

Sub Graf Dalam m teor teorii Kons Konsep ep subgr subgraf af sama sama deng dengan an kons konsep ep himp himpun unan an bagi bagian an.. Dala himpunan, himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian B bila dan hanya bila setiap anggota A merupakan merupakan anggota B. Karena graf merupakan himpunan yang terdiri dari titik dan garis maka H dikatakan subgraf G jika semua titik dan garis H juga merupakan titik dan garis dalam G. Secara formal, subgraf didefinisikan dalam definisi 6. Definisi 6 Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan subgraf G bila dan hanya bila: V (H) ⊆ V (G) a.


b. c.

E (H) ⊆ E (G) Seti Setiap ap gari garis s dala dalam m H mempu mempuny nyai ai titik titik ujung ujung yang yang sama sama denga dengan n garis garis ters terseb ebut ut dalam G.

Dari definisi 6, ada beberapa hal yang dapat diturunkan : 1. Sebu Sebuah ah titi titik k dal dalam am G mer merup upak akan an subg subgra raff G 2. Sebu Sebuah ah gari garis s dala dalam m G bers bersam ama a-sa -sama deng dengan an titi titikk-ti titi tik k ujun ujungn gnya ya meru merupa paka kan n subgraf G 3. Setia Setiap p gra graff merup merupak akan an subg subgra raff dari dari diriny dirinya a sen sendir dirii Dalam Dalam subgra subgraff berla berlaku ku sifat sifat transi transitif tif : Jika Jika H adal adalah ah subgr subgraf af G dan dan G adal adalah ah 4. subgraf K, maka H adalah subgraf K Contoh 9 Dalam graf Gambar 15 (a) - (b) di bawah ini, apakah H merupakan subgraf G ? a.

e4

v2

v3

e3

v3

G b.

H v2

v1 e1

v2

e2

e1 v1

e4

e2

e4

e1 e2

e3

v3

v2

v1

e3

e4 v3

G

H

Penyelesaian: a. V (H) = {v2, v3} dan V (G) = {v 1, v2, v3}, sehingga V (H) ⊆ V (G). E(H) = {e 4} dan E(G) = {e 1, e2, e3, e4} sehingg sehingga a E(H) E(H) ⊆ E(G) E(G).. Garis Garis e 4 di H merupakan loop pada v 2 dan garis e 4 juga merupakan loop pada v 2 di G. Maka H merupakan subgraf G. b. H buka bukan n meru merupa paka kan n subg subgraf raf G kare karena na meski meskipu pun n V(H) V(H) = V(G) V(G) = {v 1, v2, v3} dan E(H) = E(G) = {e 1, e2, e3, e4}, tetapi garis e 4 dalam H tidak menghubungkan titik yang sama sama deng dengan an gari garis s e 4 dala dalam m G. Dala Dalam m H, gari garis s e 4 meru merupa paka kan n loop loop di v 3, sedangkan dalam G, garis e 4 merupakan loop dalam v 2. Cont Contoh oh 10 Gambarlah semua subgraf yang mungkin dibentuk dari graf G pada Gambar 16.

e2 V2 e1 v1 Gambar 16

Penyelesaian:


G terdiri dari 2 titik dan 2 garis. Subgraf G yang mungkin dibentuk terdiri dari 1 atau 2 titik dan 0, 1 atau 2 garis. Semua subgraf G yang mungkin dibuat dapat digambarkan pada Gambar 17.

Jumlah garis = 0

v2 v1

v2 v1

Jumlah garis = 1 e2

e2

v2

v2

e1 v1

v1

Jumlah garis = 2

v2

e2 v2

e1 v1

Gambar 17

Derajat Definisi 7 Misalkan v adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik v (simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan berhubungan dengan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali . Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G . Cont Contoh oh 11 Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf pada Gambar 18. Berapa derajat totalnya ? e1 v5 e4 v1 v3 e2 v2

e3

v6 v4

e5

Gambar 18

Penyelesaian : d(v1) = 4 karena karena garis yarag yarag berhubu berhubungan ngan dengan dengan v 1 adalah e2, e3 dan loop e 1 yang dihitung dua kali d(v2) = 2 karena garis garis yang berhubunga berhubungan n dengan v 2 adalah e2 dan e3. d(v3) = d(v5) = 1 karena garis yang berhubungan dengan v 3 dan v5 adalah e 4 d(v4) = 2 karena garis garis yarag berhubung berhubungan an dengan dengan v 4 adalah loop e 5 yang dihitung 2 kali. d(v6)= 0 karena tidak ada garis yang berhubungan dengan v 6.

FTI/MatDis-LogMat/IP-67002/Hal. 12 6

Derajat total =

∑ i

d ( vi )

= 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 = 10

=1

Teorema 2

Derajat total suatu graf selalu genap. Bukti

Misalkan G adalah suatu graf. Jika G tidak memiliki garis sama sekali berarti derajat totalnya = 0 yang merupakan bilangan genap, sehingga teorema terbukti. Misalkan G mempunyai n buah titik v 1, v2, ... , v n (n > 0) dan k buah garis e 1, e2, ... ,ek (k>0). Ambil sembarang garis e i. Misalkan garis e i menghubungkan v i dengan v j. Maka ei memberikan kontribusi masing-masing 1 ke penghitungan derajat v i dan derajat v j (hal ini juga benar jika v i = v j karena derajat derajat suatu loop dihitung 2 kali), sehingga e i memberi kontribusi 2 ke penghitungan derajat total. Karena e i dipilih sembarang, berarti semua garis dalam G memberi kontribusi 2 dalam penghitungan derajat total. Dengan kata lain, derajat total G = 2 kali jumlah garis dalam G. Karena jumlah garis dalam G merupakan bilangan bulat, berarti derajat total G merupakan bilangan genap. Teorema 3

Dalam sembarang graf, jumlah titik yang berderajat ganjil adalah genap. Bukti

Misalkan G suatu graf. Jika G tidak mempunyai garis sama sekali berarti banyaknya titik yang berderajat ganjil = 0 yang merupakan bilangan genap sehingga teorema terbukti dengan sendirinya. Misalkan G mempunyai n buah titik v i, v2, ... , vn dan k buah garis e 1, e2, ... , e k. Misalkan di antara k garis tersebut ada k i buah garis yang berderajat ganjil dan k2= k – k1 buah garis yang berderajat genap.

e1 , e2 ,  , ek ,

ek 1 +1 , ek 1 + 2 ,  , ek

k 1 garis yang berderajat ganjil

berderajat genap

 

   ( k − k 1 ) garis yang





 

Akan dibuktikan dibuktikan bahwa bahwa k1 adalah bilangan genap. Misalkan E adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat genap, 0 adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil, dan T adalah derajat total graf G. Jika

O = d(ei) + d(e2)+ ... + d( e k 1 ).

dan

E = d( ek 1 +1 )+ d( ek 1 + 2 )+ ... + d(ek).

maka T = E + O Menurut Teorema 2, maka T adalah bilangan genap. Karena d( ek 1 +1 )+ d( ek 1 + 2 )+ ... + d(ek) masing-masing berderajat genap, maka E = d( ek 1 +1 )+ d( ek 1 + 2 )+ ... + d(e k) juga merupakan bilangan genap.


Dari relasi T = E + O, berarti O = T – E. Karena baik T maupun E merupakan bilanganbilangan genap maka O = d(e i) + d(e2)+ ... + d( ek 1 ) juga merupakan bilangan genap. Padahal menurut asumsi, d(e 1), d(e2), ... ,d( ek 1 ) masing-masing adalah bilangan ganjil. Jadi O (bilangan genap) merupakan jumlahan dari k 1 buah bilangan ganjil. Hal ini hanya bisa terjadi kalau k 1 adalah bilangan genap. Terbukti bahwa k 1 (jumlah titik yang berderajat ganjil) merupakan bilangan genap. Cont Contoh oh 12 Gambarlah graf dengan spesifikasi di bawah ini (jika ada). a. Graf Graf den denga gan n 4 titik titik yang yang mas masing ing-ma -masin sing g berde berdera rajat jat 1,1, 1,1, 2 dan dan 3. b. Graf Graf deng dengan an 4 titi titik k denga dengan n masing masing-ma -masin sing g berde berdera rajat jat 1, 1, 1, 3, 3, dan 3. 3. c. Graf Graf denga dengan n 10 titik titik yang yang masing masing-mas -masing ing berdera berderajat jat 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, dan dan 6. 6. d. Graf Graf seder sederhan hana a denga dengan n 4 titik yang yang masingmasing-masi masing ng berde berderaja rajatt 1, 1, 3, 3, dan dan 3. Penyelesaian : a. Dera Derajat jat tot total al = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 (ga (ganji njil). l). Men Menuru urutt Teore Teorema ma 2 maka maka tida tidak k ada ada graf graf dengan derajat total ganjil. Derajat total = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 (genap). Jadi, ada graf dengan spesifikasi b. semacam itu. Beberapa di antaranya tampak pada Gambar 19. v1

v2

v4

v3

v1

v2

v1

v2

v3

v4

v4

v3

Gambar 19

c.

d.

Ada Ada 3 titi titik k yang yang berd berder eraj ajat at ganji ganjill (yai (yaitu tu titik titik-t -tit itik ik yang yang berd berder eraj ajat at 1, 1, dan 3). 3). Menurut Menurut teorema teorema 3, tidak tidak mungkin mungkin ada graf dengan dengan spesifi spesifikas kasii semacam semacam itu. Peng Pengec eceka ekan n juga juga dapa dapatt dilak dilakuk ukan an deng dengan an menghi menghitu tung ng dera derajat jat tota totalny lnya a yang yang merupakan bilangan ganjil. Derajat total = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 (genap) sehingga mungkin buat graf dengan spesifik spesifikasi asi terseb tersebut. ut. Tetapi, Tetapi, graf graf yang dapat dibuat dibuat adalah adalah graf graf secara secara umum (seperti soal (b)), dan bukan graf sederhana. Graf sederhana dengan spesifikasi tersebu tersebutt tidak tidak mungkin mungkin dibuat. dibuat. Hal ini dibuktik dibuktikan an dengan dengan kontrad kontradiksi iksi sebagai sebagai berikut : Misalkan ada graf G dengan 4 titik, masing-masing v 1 dan v2 yang berderajat 1, v 3 dan v4 yang yang berde berdera rajat jat 3. kare karena na v 3 berde berderaj rajat at 3 dan dan grafn grafnya ya adala adalah h graf graf sede sederha rhana na (tida (tidak k boleh boleh menga mengand ndun ung g loop loop dan dan garis garis para parale lel), l), maka maka v 3 harus dihubungkan dihubungkan ke 3 titik yang lain (v 1, v2, v4). Hal tersebut dapat dilihat pada Gambar 20. v1 v2

v4

v3

Gambar 20

v4 juga mempunyai derajat 3, berarti v 4 juga harus dihubungkan dengan ketiga titik yang lain. Didapatkan graf Gambar 21. v1 v2

v4

v3


Gambar 21

Akan tetapi, jika demikian halnya, v 1 dan v2 mempu mempuny nyai ai dera deraja jatt 2, yang yang berten bertentang tangan an dengan dengan pengand pengandaia aian n mula-mula mula-mula yang yang mengata mengatakan kan bahwa bahwa v 1 dan v2 berderajat 1. Dengan demikian, terbukti bahwa tidak ada graf dengan spesifikasi seperti ini.

Path dan Sirkuit Definisi 8

Misalkan G adalah suatu graf. Misalkan pula v dan w adalah 2 titik dalam G. Suatu Walk dari v ke w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis secara berselang-seling, diawali dari titik v dan diakhiri pada titik w. Walk dengan panjang n dari v ke w dituliskan sebagai berikut: v 0 ei v1 e2 v2, …, vn1 en vn dengan v 0 = v; v n= w; v j-i dan vi adalah titik-titik ujung garis e i. Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v 0 e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn = w dengan e i ≠ e j untuk i ≠ j. Path sederhana dengan panjang n dari v ke w adalah Path dari v ke w yang semua titiknya berbeda. Path sederhana dari v ke w berbentuk v = v 0 e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn = w dengan e i ≠ e j untuk i ≠ j dan vk ≠ vm untuk k ≠ m. Sirkuit dengan panjang n adalah Path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang sama. Sirkuit adalah path yang berbentuk v 0 e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn dengan v 0=vn. Sirku kuit it ya yang ng se semua mua tit titikn iknya ya Sirku Si rkuit it se sede derha rhana na den dengan gan pa panj njan ang g n adalah Sir berbeda. Sirkuit sederhana berbentuk v 0 e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn dengan ei ≠ e j untuk i ≠ j dan vk ≠ vm untuk k ≠ m kecuali v 0 = vn. Definisi 8 dapat dirangkum dalam diagram Gambar 22 Walk v → w v = v0 e1 v1 e2 v2 . . . v n-1 en vn = w vi-1 dan vi adalah titik-titik ujung garis ei Semua garis berbeda

Path v

→w Titik awal dan akhir sama (v0 = vn)

Semua titik berbeda

Path sederhana v

→w

Sirkuit Semua titik berbeda kecuali (v0 = vn)

Titik awal dan akhir sama (v0 = vn)

Sirkuit Sederhana Gambar 22

Cont Contoh oh 13 Tentukan mana di antara barisan titik dan garis pada Gambar 23 yang merupakan walk, path, path sederhana, sirkuit dan sirkuit sederhana.

FTI/MatDis-LogMat/IP-67002/Hal. 15 Gambar 23

a. b. c. d.

v1 e1 v2 e3 v3 e4 v3 e5 v4 v1 e1 v2 e3 v3 e5 v4 e5 v3 e6 v5 v2 e3 v3 e5 v4 e10 v5 e6 v3 e7 v6 e8 v2 v1

Penyelesaian : Semua garis berbeda (e 1, e3, e4, dan e5 masing-masing muncul sekali). Titik awal a. dan titik akhir tidak sama (titik awal = v 1 dan titik akhir v 4). Disimpulkan bahwa barisan tersebut merupakan Path dari v 1 ke v4 dengan panjang 4. b. Ada garis yang muncul lebih dari sekali, yaitu e 5 (muncul 2 kali) berarti barisan tersebut merupakan walk dari v 1 ke v5 dengan panjang 5. Semua garisnya berbeda. Ada titik berulang (v 3 muncul 2 kali). Titik awal dan c. akhirnya sama, yaitu v 2. berarti barisan tersebut merupakan sirkuit dengan panjang 6. Karena barisan hanya memuat satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama. d. Barisan diawali dan diakhiri pada titik yang sama serta tidak mempunyai titik yang sama di antaranya. Maka disimpulkan bahwa barisan merupakan sirkuit sederhana (sering kali disebut sirkuit trivial).

Apabila tidak membingungkan, membingungkan, penulisan barisan dapat dipersingkat dipersingkat dengan cara menulisk menuliskan an titiknya titiknya saja saja atau atau garisny garisnya a saja. saja. Misalnya Misalnya,, contoh contoh 13(b) 13(b) dapat dapat dituliska dituliskan n sebagai e 1 e3 e5 e5 e6, contoh 13(c) dapat dituliskan sebagai v 2 v3 v4 v5 v3 v6 v2. Akan tetapi, contoh 13(a) tidak dapat dituliskan sebagai v 1 v2 v3 v3 v4 karena tidak jelas apakah walk dari v 1 ke v2 melalui e1 atau e2. Sirkuit Euler Definisi 9

Misalkan G adalah suatu graf. Sirkuit Sirkuit Euler G adalah sirkuit di mana setiap titik dalam G muncul paling sedikit sekali dan setiap garis dalam G muncul tepat satu kali . Definis Definisii 9 dibuat dibuat untuk untuk mengena mengenang ng ahli matemati matematika ka Leonha Leonhard rd Euler Euler yang yang berhas berhasilil memperkenalkan graf untuk memecahkan masalah 7 jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Kota Kota Konigsb Konigsberg erg dibangu dibangun n pada pertemuan pertemuan 2 cabang cabang sungai sungai Pregel. Pregel. Kota Kota tersebu tersebutt terdiri dari sebuah pulau di tengah-tengah dan 7 jembatan yang mengelilinginya (lihat Gambar 24)

Gambar 24

J1 ... J7 adalah jembatan-jembatan yang menghubungkan ke 4 daerah (A...D).


Masalahnya adalah : mungkinkah seseorang berjalan mengelilingi kota yang dimulai dan diakhir diakhirii pada pada tempat tempat yang yang sama., sama., dengan dengan melintas melintasii ketujuh ketujuh jembatan jembatan masingmasingmasing tepat satu kali? Untuk memecahkan masalah tersebut, Euler merepresentasikannya dalam graf. Titiktitik dalam graf menyatakan daerah-daerah, dan garis-garisnya menyatakan jembatan. Graf yang sesuai dengan masalah 7 jembatan Konigsberg tampak pada Gambar 25.

Gambar 25

Sebagai graf, masalah 7 jembatan Konigsberg dapat dinyatakan sebagai berikut: "Apakah ada cara untuk mengunjungi semua titik dalam graf (A..D) dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik tertentu, dan setiap garis (J 1, ..., J7) dilalui tepat satu kali? Atau "Apakah graf pada Gambar 25 merupakan sirkuit Euler?” Ternyata hal tersebut tidak dimungkinkan (Anda dapat mencobanya). Graf Terhubung dan Tidak Terhubung Definisi 10

Misalkan G adalah suatu graf Dua titik v dan w dalam G dikatakan terhubung bila dan hanya bila ada walk dari v ke w Graf G dikatakan terhubung bila dan hanya bila setiap 2 titik dalam G terhubung. Graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung.

Contoh 14 Manakah di antara graf pada Gambar 26 yang merupakan graf terhubung? v3 v6 v2 e v4 v2 e v1 2 e1 2 e3 e e1 4 e1 e5 v3 v4 v1 e3 v1 e4 v5 v4 (a)

(b) Gambar 26

e2

v2

v3 (c)

Penyelesaian: a. Graf terhubung b. Graf Graf tid tidak ak ter terhu hubu bung ng kar karen ena a tida tidak k ada ada walk walk dar darii v 5 ke v4 c. Graf tida idak terh terhub ubun ung g karen rena tid tidak ada walk dari v 2 ke v3. Hati-ha Hati-hati ti terhada terhadap p visualisasi visualisasi graf yang tampaknya tampaknya terhubung, terhubung, padahal padahal sebenarnya sebenarnya tidak. Perhatikan Perhatikan bahwa graf (c) berbeda dengan graf Gambar 27. v1

e1 e4 v5

v4

e2 e3

v2

v3


Gambar 27

Teorema 4 Misalkan G adalah graf terhubung. G adalah sirkuit Euler bila dan hanya bila semua titik dalam G mempunyai derajat genap. Bukti Akan dibuktikan dibuktikan implikasi implikasi dari dari kiri ke kanan Misalkan G adalah graf terhubung yang merupakan sirkuit Euler. Ambil sembarang sembarang titik v ∈ V(G). Karena G adalah sirkuit Euler, maka titik v harus dilalui (paling sedikit sekali) dalam perjalanan kelilingnya. Ini berarti ada garis (sebutlah e 1) dari titik lain (misalkan w) yang menuju ke v dalam perjalanannya.

G merupaka merupakan n sirkuit sirkuit Euler, Euler, sehingg sehingga a perjala perjalanan nan tidak tidak boleh boleh berhen berhenti ti pada pada v. Jadi, Jadi, setelah sampai pada titik v, perjalanan harus dilanjutkan dengan mengunjungi titik lain (misalnkan titik x). Dalam mengunjungi titik x, perjalanan harus melalui garis e 2 ≠ e1. (jika (jikala lau u titik titik v adala adalah h titik titik awal awal perja perjalan lanan an,, bera berarti rti titik titik x adala adalah h titik titik pert pertama ama yang yang dikunjungi dalam perjalanan tersebut). Hal ini dilihat pada Gambar 28 x e2 w

e1

v

Gambar 28

Jadi Jadi,, seti setia ap ada ada gari garis s e i yang yang menu menuju ju titi titik k v dala dalam m perj perjal alan anan anny nya, a, gari garis s yang yang berhubungan dengan v harus muncul berpasangan (masuk ke v dan keluar dari v). Akibatnya, Akibatnya, derajat derajat v merupakan merupakan kelipatan kelipatan 2, atau atau derajat derajat v adalah adalah genap. genap. Karena v adalah titik sembarang dalam G maka berarti bahwa setiap titik dalam G mempunyai derajat genap. Kontraposisi teorema 4 adalah: “Jika ada titik dalam G yang berderajat ganjil, maka G bukanlah sirkuit Euler”. Kenyataan digunakan untuk menyelidiki graf yang bukan sirkuit Euler. Pada masalah 7 jembatan Konigsberg yang dinyatakan dalam graf pada Gambar 24, Titik A, B, C dan D mempunyai derajat ganjil sehingga menurut kontraposisi terorema 4, berarti grafnya bukanlah sirkuit Euler.

Contoh 15 Denah Denah ruanga ruangan n dalam dalam sebuah sebuah rumah rumah besert beserta a pintu pintu yang yang menghubu menghubungka ngkan n ruangan ruangan-ruan uangan gan terse rsebut but tamp tampa ak pada pada Gamba mbar 29. Pint intu di sebe sebela lah h kir kiri rua ruang A menghubungkan rumah dengan halaman belakang, sedangkan pintu di sebelah kanan ruang E adalah keluar rumah. Mungkinkah bagi seseorang untuk keluar rumah (pintu


p10) dan mengunci semua pintunya, dimulai dari pintu p 1 ? Pintu yang sudah pernah dikunci sebelumnya tidak boleh dilewati lagi.

p1

p4

A

B

p2

p3

p7

G

p8

C

p5

p6

D

H

p9 Gambar 29 F

E

p10

Penyelesaian : Denah rumah pada Gambar 30 dapat dinyatakan sebagai suatu graf Gambar 30. Pada graf tersebut, ruang (A ... H) dinyatakan sebagai titik dan pintu penghubung sebagai garis. A B C

H

G

F

D

E

Gambar 30

Misalkan ruang A dan E dihubungkan dengan pintu semu. Maka masalah mula-mula menjadi masalah apakah graf pada Gambar 31 merupakan sirkuit Euler. Jika demikian, maka harus mencari mencari rute kunjungan kunjungan keliling yang dimulai dimulai dari dari A, dan titik terakhi terakhir r kunjungan (sebelum kembali ke A) adalah titik E. Kecuali titik A dan E, semua titik-titik lain mempunyai derajat genap. Karena graf-nya terhubung, maka berarti merupakan sirkuit Euler. Rute kunjungan yang dimulai dari titik A adalah : AHGBCDGFEA. Jadi untuk mengunci semua pintu dalam rumah tersebut dapat dilakukan melalui jalur P1 A p2 H p7 G p3 B p4 C p5 D p6 G p8 F p9 E p10 (keluar rumah) Kunjungan Kunjungan terakhir (dari E ke A) dilakukan melalui pintu semu yang tidak dipakai dalam penyelesaian masalah mula-mula. Sirkuit Hamilton Definisi 11 Suatu graf terhubung G disebut Sirkuit Hamilton bila ada sirkuit yang mengunjungi setiap titiknya tepat satu kali (kecuali titik awal yang sama dengan titik akhimya) Perhatikan perbedaan sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton . Dalam sirkuit Euler , semua garis harus dilalui tepat satu kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari satu kali. Sebaliknya, dalam sirkuit Hamil Hamilton ton semua titik harus dikunjungi tepat satu


kali dan tidak harus melalui semua garisnya. Dalam sirkuit Euler , yang dipentingkan adalah adalah garisny garisnya. a. Seba yang dipen dipentin tingka gkan n adal adalah ah Sebalik liknya nya dal dalam am sir sirkui kuitt Ham Hamilt ilton on, yang kunjungan pada titiknya.


Cont Contoh oh 16 Gamb Gambar ar 31 meny menyat atak akan an peta peta bebe bebera rapa pa kota kota (A.. (A...G .G)) bese besert rta a jala jalann-ja jala lan n yang yang menghubungkan kota-kota tersebut

Gambar 31

Seorang penjaja (salesman) hendak mengunjungi tiap kota masing-masing satu kali, dimulai dari kota A. Carilah jalan yang harus dilalui salesman tersebut. Penyelesaian: Masalah Masalah penjaja tersebut tersebut adalah adalah mencari mencari sirkuit sirkuit Hamilto Hamilton n yang dimulai dari titik titik A. Deng Dengan an menc mencob obaa-co coba ba,, dida didapa patk tkan an bebe bebera rapa pa jalu jalurr yang yang mung mungki kin, n, misa misaln lnya ya:: ABFECDGA, ABFECDGA, ABCFEDG ABCFEDGA A Terlepas dari perbedaan antara sirkuit Euler dan Hamilton, terdapat perbedaan yang nyata tentang cara menentukan apakah suatu graf merupakan sirkuit Euler dan apakah suatu graf merupakan sirkuit Hamilton. Teorema 4 dengan jelas menentukan syaratsyarat-sya syarat rat agar agar suatu suatu graf graf merupaka merupakan n sirkuit sirkuit Euler. Euler. Sebalik Sebaliknya nya,, tidak tidak ada syaratsyaratsyarat yang pasti untuk menentukan apakah suatu graf merupakan sirkuit Hamilton. Hanya saja ada suatu petunjuk untuk menentukan bahwa suatu graf bukan suatu sirkuit Hamilton. Jika G merupakan sirkuit Hamilton, maka G mempunyai subgraf H dengan sifatsifat sebagai berikut : 1. H terhubung 2. H memuat semua titik G 3. H mempu mempunya nyaii jumla jumlah h garis garis yang yang sama sama denga dengan n jumla jumlah h titik titikny nya. a. 4. Seti Setiap ap titi titik k dal dalam am H mem mempu puny nyai ai dera deraja jatt 2

Syarat Syarat (1) dan (2) jelas jelas menurut menurut definisi definisi sirkuit Hamilto Hamilton, n, yang mengharusk mengharuskan an mengunjungi semua titik dalam G. Syarat (4) ada sebagai akibat kunjungan semua titik yang hanya boleh dilakukan sekali. Selama kunjungan, di setiap titik pasti ada satu garis masuk dan satu garis keluar sehingga derajat setiap titik = 2. Karena dalam sirkuit Hamilton, setiap dua titik dihubungkan dengan tepat satu garis, maka jumlah garis sama dengan jumlah titiknya. Hal ini dinyatakan dalam syarat (3). Jika salah satu dari ke-4 syarat tersebut tidak dipenuhi maka graf-nya bukanlah graf Hamilton. Contoh 17 Buktikan bahwa graf Gambar 32 bukanlah sirkuit Hamilton

(a)

Penyelesaian:

Gambar 32

(b)


a.

Misalkan graf G pada Gambar 32(a) adalah sirkuit Hamilton. Maka G mempunyai subgraf H dengan sifat: 1. H memu memuat at semua semua titik titik dalam dalam G (ad (ada a 7 titik titik yai yaitu tu a, a, b, b, ... ... , g) g) 2. Jumla Jumlah h garis garis dala dalam m H sama sama denga dengan n jumla jumlah h titik titiknya nya,, yaitu yaitu =7 3. Semu Semua a gar garis is dala dalam m H berd berder eraj ajat at 2. Titik b berderajat 3 sehingga salah satu garisnya harus, dihilangkan. Demikian juga dengan titik g. Akibatnya, ada 2 garis yang harus dihilangkan dari G. Padahal jumlah garis dalam G adalah 8. Dengan penghilangan penghilangan 2 garis tersebut maka jumlah garis dalam dalam G adalah 6. Akibatnya tidak mungkin mungkin membuat subgraf subgraf H yang memuat 7 garis. Jadi graf G pada Gambar 32(a) bukanlah sirkuit Hamilton.

b.

Misalkan graf G pada Gambar 32(b) adalah sirkuit Hamilton. Dengan cara yang sama sama deng dengan an peny penyel eles esai aian an (a), (a), maka maka subg subgra raff H yang yang terb terben entu tuk k haru harusl slah ah mempunyai jumlah garis = 5 (sesuai dengan jumlah titik) dan tiap titik haruslah berderajat = 2. Titik b berderajat 4 sehingga harus ada 2 garis yang dihilangkan. Akan tetapi, penghilangan satu garis saja akan menyebabkan suatu titik lain ( a, c, d, atau e) berderajat berderajat 1 (ganjil). Jadi, tidak mungkin dibentuk subgraf H dengan sifat tersebut. Berarti graf pada Gambar 32(b) bukanlah sirkuit Hamilton.

2.1. 2.1. Isom Isomor orfi fism sma a

Dalam geometri, dua gambar disebut kongruen jika keduanya mempunyai sifatsifat geometri yang sama. Dengan cara yang sama, dua graf disebut isomorfis jika keduan keduanya ya menunjuk menunjukkan kan "bentuk" "bentuk" yang sama. sama. Kedua Kedua graf hanya berbeda berbeda dalam dalam hal pemb pember eria ian n labe labell titi titik k dan dan gari garisn snya ya saja saja.. Seca Secara ra mate matema mati tis, s, isom isomor orfi fism sma a 2 graf graf didefinisikan dalam definisi 12. Definisi 12

Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan garis E(G). G' adalah graf dengan himpunan titik V(G') dan himpunan garis E(G'). G isomorfis dengan G' bila dan hanya bila ada korespondensi satu-satu g : V(G) → V(G') dan h : E(G) → E(G') Sedemikian hingga ( ∀ v, w ∈ V(G) dan e ∈ E(G)) v dan w adalah titik-titik ujung e

⇔ g(v) dan g(w) adalah titik-titik ujung h(e)

Contoh 18 Tunjukkan bahwa graf G dan G' pada Gambar 33 adalah isomorfis

G’

G Gambar 33

Penyelesaian:


Untuk Untuk menun menunjuk jukka kan n bahwa bahwa G isomor isomorfis fis denga dengan n G', G', haru harus s berus berusah aha a menem menemuka ukan n korespondensi satu-satu titik dan garis kedua graf. Dalam G, v1 berhubungan dengan v 2 dan v5, sedangkan dalam G’, v 1 berhubungan dengan v 3 dan v2. Maka fungsi g : G → G' didefinisikan dengan g(v 1) = v1 ; g(v2) = v3; g(v5) = v2. Cara yang sama dilakukan untuk semua semua titik. yang lain. Didapatkan fungsi g pada Gambar 34.

Gambar 34

e2 ∈ E(G) menghubungkan titik v 2 dan v3 ∈ G. Fungsi g memetakan v 2 ∈ G ke v3 ∈ G' dan memetakan v 3 ∈ G ke v 5 ∈ G'. Dalam G', garis yang menghubungkan v 3 dan v5 adalah e 3 ∈ G'. Jadi dalam pembuatan fungsi h, e 2 ∈ G dikawankan dengan e 3 ∈ G'. Hal yang sama juga dilakukan pada semua titik yang lain. Hingga saat ini belum ada teori yang dapat dipakai untuk menentukan apakah dua graf G dan G' isomorfis. Akan tetapi, jika G dan G' isomorfis, maka terdapat beberapa hal yang pasti dipenuhi: 1. juml jumlah ah titi titik k G = juml jumlah ah titi titik k G' 2. juml jumlah ah gari garis s G = juml jumlah ah gari garis s G' 3. jumlah jumlah garis garis denga dengan n dera deraja jatt terte tertentu ntu dala dalam m G dan dan G' G' sama. sama. Masalahnya, implikasi tersebut tidak berlaku 2 arah. Ada 2 graf yang memenuhi ketiga syarat tersebut, tetapi keduanya tidak isomorfis. Sebagai contoh adalah graf G dan G' pada Gambar 35. w

y x

v

z Gambar 35

Dalam G, satu-satunya titik yang berderajat 3 adalah titik x. Titik x dihubungkan dengan 2 titik lain yang berderajat 1 (titik y dan z). Sebaliknya, dalam G', satu-satunya titik titik yang yang berder berderajat ajat 3 adalah adalah v. Satu-sa Satu-satuny tunya a titik titik berdera berderajat jat 1 yang yang dihubun dihubungka gkan n dengan v hanyalah titik w, sehingga G tidak mungkin isomorfis dengan G'. Meski Meskipu pun n implik implikas asii syara syaratt isomor isomorfis fis hanya hanya berla berlaku ku satu satu arah arah,, palin paling g tidak tidak kontraposisi dari implikasi tersebut bisa dipakai untuk menentukan bahwa 2 buah graf tidak isomorfis. Jika salah satu dari ketiga syarat tidak dipenuhi, maka graf G dan G' tidak isomorfis.

Graf Berarah (Digraph)


Dalam graf berarah, tiap garisnya mempunyai arah. Definisi 13

Suatu Graf Berarah G terdiri dari: himpunan titik-titik titik-titik V(G) : {v 1, v 2, ... }, himpunan garis-garis E(G) : {e 1, e 2, ... }, dan suatu fungsi ψ yang mengawankan setiap garis dalam E(G) ke suatu pasangan berurutan titik (vi, v j). Jika ek = (v i, v j) adalah suatu garis dalam G, maka v i disebut titik awal e k dan v j disebut titik akhir e k. Arah garis adalah dari v i ke v j. Jumlah garis yang keluar dari titik v i disebut derajat keluar ( out degree) titik vi (simbol d+ (vi)), sedangkan jumlah garis yang menuju ke titik v i disebut derajat masuk ( in degree) − titik vi, yang disimbolkan sebagai d (vi). Titik terasing adalah titik dalam G di mana derajat keluar dan derajat masuk adalah 0. Titik pendan adalah titik dalam G di mana jumlah derajat masuk dan derajat keluarnya adalah 1 Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama. Path Berarah dan Sirkuit Berarah

Pengertian walk, path, sirkuit dalam graf berarah sama dengan walk, path dan sirkui sirkuitt dalam dalam graf graf tak tak berar berarah ah.. Hany Hanya a saja saja dala dalam m graf graf bera berarah rah,, perja perjala lana nan n yang yang dilakukan harus mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak berarah, maka walk, path dan sirkuit dalam graf berarah disebut walk berarah, path berarah dan sirkuit berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit berarah disebut Asklik . Contoh 19 Tentukan path berarah terpendek dari titik v 5 ke titik v2 pada graf berarah Gambar 36.

Gambar 36

Penyelesaian: Ada beberapa path berarah berarah dari v 5 ke v 2 yang dapat dilakukan, misalnya: v 5 v1 v3 v4 v2, v5 v1 v2, . . . Yang terpendek adalah v 5 v1 v2 dengan panjang = 2. Contoh 20 Ada 4 macam golongan golongan darah, masing-nasing masing-nasing A, B, AB dan O. Dan gol O dapat diberikan ke semua golongan. Darah golongan A dan B dapat diberikan ke golongannya sendiri atau ke golongan AB. Darah golongan A hanya dapat diberikan pada pasien dengan golongan AB. Gambarlah graf berarah untuk menyatakan keadaan tersebut.


Anggaplah Anggaplah garis dari v i ke v j menyatakan bahwa darah dari v i dapat diberikan pada v j. Apakah graf-nya graf-nya Asiklik? Asiklik? Penyelesaian: Graf Graf berarah berarah pada Gambar 37 menyata menyatakan kan keadaa keadaan n transfu transfusi si darah darah yang mungkin mungkin dilak dilakuka ukan. n. Tampa Tampak k bahw bahwa a dala dalam m graf graf bera berara rah h terse tersebut but tida tidak k ada ada sirku sirkuit it bera berarah rah sehingga graf-nya Asiklik.

Gambar 37

Graf Berarah Terhubung

Suatu Suatu graf graf tak berarah berarah disebut disebut terhubun terhubung g jika ada walk walk yang yang menghubu menghubungk ngkan an setia setiap p 2 titikn titiknya ya.. Penge Pengerti rtian an ini berla berlaku ku juga juga bagi bagi graf graf bera berarah rah.. Berda Berdasa sarka rkan n arah arah garisnya, garisnya, dalam graf berarah dikenal dikenal 2 jenis keterhubungan, keterhubungan, yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah. Definisi 14

Misalkan G adalah suatu graf berarah dan v,w adalah sembarang 2 titik dalam G. G disebut terhubung kuat jika ada path berarah dari v ke w. G disebut terhubung lemah , jika G tidak terhubung kuat, tetapi graf tak berarah yang bersesuaian dengan G terhubung. Cont Contoh oh 21 Manakah Manakah di antara antara graf-gr graf-graf af pada Gambar Gambar 38 yang terhubung terhubung kuat dan terhubu terhubung ng lemah?

Gambar 38

Penyelesaian: Dalam G1, setiap 2 titik dapat dihubungkan dengan path berarah. berarah. Maka graf berarah G adalah graf terhubung kuat.

1

Sebaliknya dalam G 2, tidak ada path berarah yang menghubungkan v 4 ke v3. Akan tetapi, jika semua arah garis dihilangkan (sehingga G 2 menjadi graf tidak berarah), maka G2 merupakan graf yang terhubung. Jadi G 2 merupakan graf terhubung lemah.


Isomorfisma dalam Graf Berarah

Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan isomorfisma pada graf tak berarah (lihat definisi 12). Hanya saja pada isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat dengan memperhatikan arah garis. Contoh 22 Tunjukkan bahwa graf G 1 pada Gambar 39 isomorfis dengan G 2, sedangkan G 3 tidak isomorfis dengan G 1. v1 v1 v2

v3 v4

v2

v3

v4

v5

v5 G1

G3

G2 Gambar 39

Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa G 1 isomorfis dengan G 2, maka harus dibuat fungsi g : V(G1) → V(G2) dan h : E(G1) → E(G2) yang mempertahankan titik-titik ujung serta arah garis

Dalam G1, ada 4 garis yang keluar dari v 3. Titik yang mempunyai sifat seperti itu dalam G2 adalah titik v=1. Maka dibuat fungsi g sedemikian hingga g(v3) = v1 ;

g(v1) = v2 ;

g(v2) = v3 ;

g(v5) = v4 dan

g(v4) = v5

fungsi h adalah sebagai berikut : h((v1, v2)) = (v2, v3) ; h((v2, v5)) = (v3, v4) h((v5, v4)) = (v4, v5) ; h((v4, v1)) = (v5, v2) h((v3, v1)) = (v1, v2) ; h((v3, v2)) = (v1, v3) h((v3, v5)) = (v1, v4) ; h((v3, v4)) = (v1, v5) Karena fungsi g dan h dapat dibuat, maka G 1 isomorfis dengan G 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa G 3 tidak isomorfis dengan G 1 Dalam G3, ada garis (v 1, v4) dan (v 4, v1). Jika G1 isomorfis dengan G 3, maka harus ada fungsi h : G 3 → G1 sedemikian hingga h(v 1, v4) dan h(v 4, v1) merupakan garis-garis dalam G1 (dengan kata lain, ada titik v i dan v j dalam G1 sedemikian sedemikian hingga ada garis dari v 1 ke v j dan dari v j ke vi). Dalam G1 tidak ada garis seperti itu. Maka G 3 tidak isomorfis dengan G1. Representasi Graf dalam Matriks

Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf. Hal ini sangat membantu untuk membuat program komputer yang berhubungan dengan graf. Dengan menyatakan graf sebagai suatu matriks, maka perhitungan-perhitungan yang diperlukan dapat dilakukan dengan mudah.


Kesulit Kesulitan an utama utama merepre merepresent sentasi asikan kan graf graf dalam dalam suatu suatu matriks matriks adalah adalah keterba keterbatasa tasan n matrik matriks s untu untuk k menca mencakup kup semua semua infor informas masii yang yang ada ada dalam dalam graf graf.. Akiba Akibatn tnya, ya, ada ada bermaca bermacam-mac m-macam am matriks matriks untuk untuk menyata menyatakan kan suatu suatu graf tertent tertentu. u. Tiap-ti Tiap-tiap ap matriks matriks tersebut mempunyai keuntungan yang berbeda-beda dalam menyaring informasi yang dibutuhkan pada graf. Dalam bagian ini, akan dibahas beberapa jenis matriks yang sering dipakai untuk merepresentasikan graf, dimulai dari graf tak berarah.

Representasi Graf Tak Berarah dalam Matriks Matriks Hubung

Matriks Matriks Hubung Hubung ( Adjacency digunakan an untuk untuk menyata menyatakan kan graf graf dengan dengan cara cara Adjacency Matrix ) digunak menyata menyatakann kannya ya dalam dalam jumlah jumlah garis garis yang yang menghub menghubung ungkan kan titik-titi titik-titiknya knya.. Jumlah Jumlah baris baris (dan kolom) matriks hubung sama dengan jumlah titik dalam graf. Definisi 15

Misalkan G adalah graf tak berarah dengan titik-titik v 1 v2 ... vn (n berhingga). Matriks hubung yang sesuai dengan graf G adalah matriks A = (a ij) dengan a ij = jumlah garis yang menghubungkan titik v i dengan titik v j ; i, j = 1, 2, ..., n. Karena jumlah garis yang menghubungkan titik v i dengan v j selalu sama dengan jumlah garis yang menghubungkan v j dengan dengan vi, maka jelas bahwa matriks hubung selalu merupakan matriks yang simetris (a ij = a ji ∀i,j)

(a)

(b)

(c)

(d) Gambar 40

Penyelesaian: Untuk mempermudah pemahaman, tiap-tiap baris dan kolom matriks diberi indeks v i yang yang sesu sesuai ai deng dengan an titi titik k graf grafny nya. a. Sel Sel pada pada perp perpot oton onga gan n bari baris s v i dan dan kolo kolom m v j menyatakan banyaknya garis yang menghubungkan v i dengan v j.


v1

v

1

a.

v

= 2

A

v

3

v

4

v1

v

1

v

2

c. v

3

v v

4

5

 0  0  0  1    1

 0  0  1   1

v2

v2

v3

v4

1 

0 1

 0 2 0   2 0 0   0 0 1  

v3

v4

1 

 1   1   1   0  

0 0 1 0 0 1 1

1

1

1

0

4

v 5

v

0 1

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0 1

0

0

0 1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

v1

v2

v3

v4

 0  1  1   1

1

1

1 

0 1

1 

 1  0  1   0  0  0   0

v

2

v 3

v

6

v

7

0   0   0    0   0   2  0  

v5

0 0 1

1

b.

v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7

v 1

d.

v 1 v 2 v 3 v 4

 

1

0 1 

1

1



0  

Ada beberapa beberapa hal yang bisa dicatat dalam merepresentasika merepresentasikan n graf dengan matriks hubung : Graf tidak mempunyai loop bila dan hanya bila semua elemen diagonal utamanya 1. = 0. Loop pada titik v 1 bersesuaian dengan a ij = 1. 2.

Matri Matriks ks hubun hubung g dapat dapat dipak dipakai ai untuk untuk mende mendetek teksi si graf graf yang tida tidak k terhubu terhubung ng secar secara a mudah. Suatu graf tidak terhubung terdiri dari k komponen bila dan hanya bila matriks hubungnya berbentuk.

 A1 O  O     O A2  O          O O  A  k

dengan O adalah matriks yang semua elemennya = 0 dan A i adalah matriks bujur sangkar yang merupakan matriks hubung komponen ke-i dari graf. Matriks dalam penyelesaian contoh (b) merupakan matriks hubung yang terdiri dari 3 komponen karena berbentuk

 A1  O   O 3.

O A2 O

  O  dengan  A3  O

 1  A1 =  0   1

0

1 

0

2  ; A2

2



0  

 0 =   1

1 

 0  A3 =  ; dan  1    2

2 



0  

Derajat (degree) titik vi adalah jumlah semua komponen matriks baris/kolom ke-i

d ( vi )

n

n

j =1

i =1

= ∑ aij = ∑ aij

Derajat graf G adalah jumlah semua komponen matriks =

∑∑a i

j

ij


Graf G adalah graf bipartite (K m,n) bila dan hanya bila matriks hubungnya berbentuk

4.

 O   1n

1m 

 dengan  O 

O = matriks yang semua elemennya = 0 1m = matriks berukuran m × n yang semua elemennya = 1 1n = matriks berukuran n × m yang semua elemennya = 1 Matriks pada penyelesaian contoh (c) merupakan graf bipartite

5.

Graf Graf G adal adalah ah graf graf leng lengka kap p bila dan dan hanya hanya bila bila semu semua a elem elemen en dala dalam m diag diagon onal al uta utama = 0 dan dan semu semua a eleme lemen n di luar luar diag diagon onal al utam utama a = 1. Matr Matrik iks s pada pada penyelesaian (d) adalah graf lengkap.

Matriks Matriks hubung hubung dapat dapat dipakai dipakai untuk untuk menghitu menghitung ng banyak banyaknya nya kemungk kemungkinan inan walk walk deng dengan an panja panjang ng terte tertent ntu u anta antara ra 2 titik. titik. Dalam Dalam hal hal ini ini yang yang dapa dapatt dihitu dihitung ng adal adalah ah banyaknya kemungkinan walk, dan bukan walknya sendiri. Misalkan A = (a ij) adalah matriks hubung graf G. Misalkan pula A n adalah hasil kali matriks A dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. An = A × A × … × A n kali Banyaknya kemungkinan walk dengan panjang n dari titik v i ke titik v j adalah elemen a ij pada matriks A n (= aijn) Contoh 23 Perhatikan graf G pada Gambar 41. Hitunglah jumlah walk dengan panjang 2 dari titik v ke titik v 1

Gambar 41

Penyelesaian: Matriks hubung yang sesuai dengan graf Gambar 41 adalah

 1  A =  1   2

1

2 

0

1 

1



0  

Untuk menghitung jumlah walk dengan panjang 2 yang mungkin dilakukan, terlebih dahulu dihitung A 2.

A

2

 1  = A × A =  1   2

1 0 1

2   1

  1   1  0    2

1 0 1

2 

 6   1  =  3  0    3

3 3 



2 3  2 5  

1


Jumlah walk dari v 1 ke v1 dengan panjang 2 yang dapat dilakukan adalah elemen yaitu 6 buah. Walk tersebut didapat dengan coba-coba: v1 e1 v1 e1 v1

;

v1 e2 v2 e2 v1

;

v1 e4 v3 e4 v1

v1 e3 v3 e3 v1

;

v1 e3 v3 e4 v1

;

v1 e4 v3 e3 v1

2

A11 ,

Matriks Biner Definisi 16 Misalkan G adalah graf tanpa loop dengan n titik v 1, v2, ... , v n dan k garis e 1, e2, ..., e k.

Matriks Matriks Biner yang sesuai sesuai dengan graf G adalah adalah matriks A berukur berukuran an n elemennya adalah : 1 jika titik v i berhubungan dengan garis e j aij 0 jika titik vi tidak berhubungan dengan garis e j.

×

k yang

Nama matriks biner diambil dari sifat matriks yang hanya berisi bilangan 0 atau 1 saja. Matriks biner kadang-kadang disebut matriks (0–1) atau matriks insidensi ( incidence matrix ) Cont Contoh oh 24 Nyatakan graf G pada Gambar 42 dengan matriks biner yang sesuai. Hitunglah derajat masing-masing titik dan derajat totalnya !

Gambar 42

Penyelesaian : Ada 6 titik dan dan 8 garis dalam dalam G. Maka matriks matriks A yang yang sesuai dengan dengan graf graf G terdiri dari dari 6 baris dan 8 kolom.

e

1

e

2

A

= e3 e

4

e

5

e

6

e1

 1  1  0  0  0    0

e2

e3

e4

e5

e6

e7

0

0

0

0 1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0 1

0 1

0 1

0

0 1

1

1

0

0

0

0 1

0

0

e8

0 

 0   0   1   0   1  

Derajat titik v i adalah jumlah semua elemen pada baris ke-i.

FTI/MatDis-LogMat/IP-67002/Hal. 30 8

d ( v1 )

= ∑ a j = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 2 1

j =1

Secara analog didapat d(v2) = 4

;

d(v3) = 1

;

d(v4) = 4

;

d(v5) = 3

;

d(v6) = 2

Derajat total adalah jumlah semua elemen dalam matriks A = 6

8

6

∑ ∑ a = ∑ d ( v ) = ij

i

i =1 j =1

2

+ 4 + 1 + 4 + 3 + 2 = 16

i =1

Ada beberapa beberapa hal yang bisa dicatat sehubungan sehubungan dengan penggunaan penggunaan matriks biner untuk menyatakan suatu graf : 1. Matriks biner dapat dipakai untuk men menyatakan graf secara tepat. Ada korespondensi satu-satu antara graf G dan matriks biner A yang sesuai Setiap garis berhubungan dengan 2 titik (karena G tidak mempunyai loop). Maka 2. dalam matriks binernya, setiap kolom mempunyai tepat 2 buah elemen 1, dan sisanya adalah elemen 0. Jumlah elemen pada baris ke-i adalah derajat titik v i, sedangkan derajat total graf 3. G adalah jumlah semua elemen dalam matriks binernya. Jika semua elemen pada baris ke-i adalah 0,maka titik v i merupakan titik terasing. 4. 5. Dua Dua kolom kolom yan yang g semua semua elem elemen ennya nya sama sama menya menyata taka kan n garis garis yang yang par parale alel. l. Matriks Sirkuit Definisi 17 Misalkan G adalah graf yang memuat q buah sirkuit sederhana dan e buah garis. Matriks sirkuit A = (a ij ) yang bersesuaian dengan G adalah matriks yang terdiri dari q baris dan e kolom dengan elemen : 1 jika ika sir sirku kuit it ke-i ke-i memu memua at ga garis ke-j aij = 0 jika jika sirk sirkui uitt ke ke-i tida tidak k me memuat muat gari garis s keke-jj Contoh 25 Nyatakan graf pada Gambar 42 dengan matriks sirkuit yang sesuai Penyelesaian : Graf pada Gambar 42 mempunyai 8 garis (e 1,..., e8) dan 4 sirkuit sederhana, masingmasing : s1 = e 7 e8, s 2 = e3 e4 e5, s 3 = e1 e4 e6 dan s4 = e1 e3 e5 e6. Maka matriks sirkuit yang sesuai terdiri dari 4 baris dan 8 kolom. e

s1 A

= s 2 s 3 s 4

1  0

 0  1   1

e

2 0

e

3 0

e

4 0

e

5 0

e

6 0

e

7 1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

e

8 1

  0   0  0  


Ada beberapa beberapa hal yang bisa dicatat sehubungan sehubungan dengan penggunaan penggunaan matriks sirkuit untuk menyatakan suatu graf: 1. Seti Setiap ap bari baris s dala dalam m matr matrik iks s sirk sirkui uitt berh berhub ubun unga gan n deng dengan an suat suatu u sirk sirkut ut sede sederh rhan ana a dalam dalam graf. graf. Garis-ga Garis-garis ris sirkuit sirkuit sederha sederhana na yang yang terbent terbentuk uk berses bersesuaia uaian n dengan dengan elemen 1 dalam matriks sirkuit. 2. Matr Matrik iks s sirk sirkui uitt mamp mampu u mend mendet etek eksi si adany danya a loop loop dala dalam m graf graf.. Loop Loop pada pada graf graf bersesuaian dengan suatu baris dalam matriks yang berisi sebuah elemen 1 dan elemen-elemen lainnya = 0. Jika graf G merupakan graf tidak terhubung yang terdiri dari 2 komponen G 1 dan 3. G2, maka matriks sirkuitnya dapat dituliskan dalam bentuk diagonal terbagi: A

 A =  1  O

   dengan A1 adalah matriks sirkuti G 1 dan A2 adalah matriks sirkuit G 2. A2  O

Representasi Graf Berarah dalam Matriks

Cara Cara menyata menyatakan kan graf graf berarah berarah dalam dalam matriks matriks sebena sebenamya mya tidak tidak jauh berbeda berbeda dengan cara menyatakan graf tak berarah dalam suatu matriks. Perbedaannya hanya terleta terletak k pada pada keikuts keikutserta ertaan an informas informasii tentang tentang arah arah garis garis yang yang terdapa terdapatt dalam dalam graf graf berarah. Matriks Hubung

Matriks Matriks hubung hubung untuk untuk menyatak menyatakan an suatu suatu graf graf berarah berarah banyak banyak dipaka dipakaii dalam dalam berbagai berbagai disiplin ilmu berbeda-beda berbeda-beda sehingga mempunyai nama yang berbeda-beda berbeda-beda pula. pula. Dalam Dalam teori teori automat automata, a, matriks matriks hubung hubung dikenal dikenal dengan dengan nama matriks transis transisi, i, dalam konsep relasi disebut matriks relasi dan dalam jaringan disebut matriks koneksi, dan lain-lain. Definisi 18

Misalkan G adalah graf berarah yang terdiri dari n titik tanpa garis paralel. Matriks Hubung yang sesuai dengan graf G adalah matriks bujur sangkar nx n, A = (a ij) dengan 1 0

aij =

jika ad ada ga garis dari tititik v i ke titik v j jika ika tida idak ada ga garis dari dari titik itik v i ke titik v j

Contoh 26 Nyatakanlah graf G 1 dalam Gambar 39 ke dalam matrik hubung! Penyelesaian : Graf G1 dalam Gambar 39 terdiri dari 5 titik (v 1,..., v5) sehingga matriks hubungnya adalah matriks bujur sangkar 5 × 5 : v1 v1 A

v2

=v

3

v4 v5

 0  0 1  1   0

v2

1

v3

0

0 0 1

v4

0

v5

0 



0 1 

0 1 1 

0 0

0

0 0 1

 0   0 

Ada beberapa beberapa hal yang bisa dicatat sehubungan dengan penggunaan matriks m atriks hubung untuk menyatakan graf berarah : Bany Banyak akny nya a gari garis s yang yang kelu keluar ar dari dari titi titik k v i (out degree bersesuaia uaian n dengan dengan 1. degree) berses banyaknya elemen 1 pada baris ke-i matriks hubungnya.


2.

3.

4.

Banyaknya garis yang menuju titik v i (in degree) bersesuaian dengan banyaknya elemen 1 pada kolom ke-i mariks hubungnya. Banyaknya keseluruhan garis graf G adalah banyaknya elemen 1 pada matriks hubungnya. Graf tidak mempunyai loop bila dan hanya bila semua elemen diagonal utamanya = 0. Loop pada titik v i bersesuaian dengan a ij = 1. Suat Suatu u graf graf tidak tidak terhu terhubu bung ng ter terdir dirii dari dari k kompo kompone nen n bila bila dan dan hanya hanya bila bila

matriks hubungnya berbentuk

 A1 O  O     O A2  O          O O  A  k

O adalah matriks yang semua elemennya = 0, dan A i adalah matriks bujur sangkar yang merupakan matriks hubung komponen ke-i. Matriks Sirkuit

Untuk menyatakan graf berarah ke dalam matriks sirkuit, perlu diperhatikan arah garis pembentuk sirkuitnya. Definisi 19

Misalkan G adalah graf berarah dengan e buah garis dan q buah sirkuit atau sirkuit bera berarah rah.. Semba Sembara rang ng arah arah orien orientas tasii (sear (searah/ ah/be berla rlawa wanan nan deng dengan an arah arah jarum jarum jam) jam) diberikan ke tiap-tiap sirkuit. Matriks sirkuit yang bersesuaian dengan graf G adalah matriks A = (a ij) dengan a ij = 1 −1 0

Jika Jika sirku sirkuit it ke-i ke-i memu memuat at gar garis is ke-j, ke-j, dan dan ara arah h garis garis ke-j ke-j sam sama a deng dengan an ara arah h orien orientas tasii Jika sirkuit sirkuit ke-i ke-i memu memuat at ke-j, ke-j, dan arah garis garis ke-j ke-j berlaw berlawana anan n denga dengan n arah arah orien orientasi tasi Jika ika sir sirk kuit uit ke ke-i tida tidak k me memuat muat garis aris ke-j ke-j

Perb Perbed edaa aan n matrik matriks s sirku sirkuit it untuk untuk menya menyata taka kan n graf graf bera berara rah h dan dan tidak tidak bera berara rah h terletak pada tanda negatif pada elemen matriks, yang menyatakan bahwa garis yang bers berses esua uaia ian n memp mempun unya yaii arah arah yang yang berl berlaw awan anan an deng dengan an arah arah orie orient ntas asii yang yang didefinisikan. Orientasi yang diberlakukan pada tiap sirkuit dapat dibuat sembarang, sehingga suatu graf berarah dapat dinyatakan dengan beberapa matriks sirkuit yang berbeda. Contoh 27 Nyatakan graf berarah pada Gambar 43 dengan matriks sirkuit

Gambar 43

Penyelesaian : Ada 4 sirkuit sirkuit pada pada graf Gambar Gambar 43, masing-masin masing-masing g adalah

s1 : v4 v6 v4; s2 : v2 v4 v5 v2; s3 : v1 v2 v5 v1; dan s 4 : v1 v2 v4 v5 v1. Misalkan orientasi yang dipilih pada s 2 dan s3 sesuai dengan arah jarum jam, sedangkan pada s1 dan s4 berlawanan dengan arah jarum jam. Maka matriks sirkuitnya adalah: e 1

s1 A

=s

2

s3 s4

 0  0 1   − 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

e 8

0

0

0

0

0

1

0

1

−1

0

−1

0

0

0

1

1

0

0

0

−1

0

−1

1

0

  0   0   0  1


mAiP/200472

Materi 10 Matdis Teori Graf

Recommend Documents