Teori Elastisitas (Tugas Kuliah)

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Teori Elastisitas dan Plastisitas

SOAL 1 Bila



tegangan resultan

yang besarnya adalah T n

 15 satuan, mempunyai arah kosinus

cos(Tn , x)  0, 40 dan cos(Tn , y )  0, 60 sedangkan normal bidang bekerjanya tegangan adalah n 

1 2

2

i

2

j

1 2

k , gambarkanlah dalam skala vektor

JAWAB

Diketahui:

 15

T n

cos(Tn , x )  0, 40 cos(Tn , y )  0, 60

1   , 2

n

2 1 ,  2 2 

Mencari nilai cos(Tn , z ) : cos 2 (Tn , x )  cos 2 (Tn , y )  cos2 (Tn , z )  1 0, 40 2

 0, 60 2  cos 2 (Tn , z )  1

0, 16  0, 36  cos 2 (Tn , z )

1

cos 2 (Tn , z )  0, 48 cos(Tn , z )  0, 693 Mencari komponen vektor

Tn:

T y

 

Tn cos(Tn , y )  15  0, 60  9

T z



Tn cos(Tn , z )  15  0, 69  10, 4

T x

Tn cos(Tn , x )  15  0, 40  6

Mencari panjang vektor n : n x



n



n

1 2

; ny n x 2



2

; n z 

2

1 2

 n y 2  nz 2

2  1       2   1

2 2

2

2

1      1  2

1



, tegangan

snn dan sns .

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.















Sudut antara vektor Tn dengan n (metode dot product ): ):

 1  6   9  2 T n cos(Tn , n)  n 

2

1  10, 4   2  0, 9709

15  1

Tn n

Besar

2

snn dan sns adalah:

snn  Tn cos(Tn , n)  14, 56 5635 satuan 2

2

sns  T n  snn 2  152  14, 5635  3, 5923 satuan Gambar dalam skala vektor



, tegangan

snn dan sns (dalam sistem kartesius 3D):















SOAL 2

  = 0,  = 0,0,  = 40 MPa, MPa,  = 35 MPa, MPa,  = −35 MPa, MPa,  = 70 MPa cos( co s(n, n, x) x ) = 0, 7 50, 5 0, cos( cos(n,n, y)y) = 0,312,12, cos( cos(n,n, z)z) = 0,583583 Komponen tegangan pada suatu titik observasi benda pejal adalah sebagai berikut. .

Tentukanlah tegangan normal dan geser pada bidang dengan arah dan dan

.

JAWAB

Cek: cos2 (n,x) + cos2 (n,y) + cos2 (n,z) = 1 0,752 + 0,3122 + 0,5832 = 0,999 ≈ 1 (ok)

σnx = σxx cos (n,x) + σyx cos (n,y) + σzx cos (n,z) = 0 + 35 x 0,312 +70 x 0,583 = 51,73 MPa σny = σxy cos (n,x) + σ yy cos (n,y) + σzy cos (n,z) = 35 x 0,75 + 0 +(-35) x 0,583 = 5,845 MPa σnz = σxz cos (n,x) + σ yz cos (n,y) + σzz cos (n,z) = 70 x 0,75 + (-35) x 0,312 +40 x 0,583 = 64,9 MPa

σnn = σnx cos (n,x) + σny cos (n,y) + σnz cos (n,z) = 51,73 x 0,75 + 5,845 x 0,312 + 64,9 x 0,583 = 78,46 MPa

 (σ(σnx2 + σny2 + σnz2)  51,51,73 + 5,845 + 64,9 ǀTǀ −   83,83,2 − 78,46 = 27,68 MPa

ǀTn ǀ = σns =

=

= 83,2 MPa

=

SOAL 3

  = 55 MPa, MPa,  = 110 MPa, MPa,  = 45 MPa, MPa,  = 90 MPa, MPa,  = 45 MPa, MPa,  = 36 MPa. cos( co s(n, n, x) x ) = 0, 6 00, 0 0,co cos( s(n, n, y) y ) = 0,650, cos( n, z)z) = 0,467467 n  Komponen tegangan pada suatu titik observasi benda pejal adalah sebagai berikut.

Tentukanlah:

a. Tegangan normal dan geser pada bidang dengan arah dan dan

b. Sudut antara

dengan vektor normal















Cek: cos2 (n,x) + cos2 (n,y) + cos2 (n,z) = 1 0,602 + 0,652 + 0,4672 = 1 (ok)

Nilai σnn dan σns: σnx = σxx cos(n,x) + σ yx cos(n,y) + σzx cos(n,z) = 55 x 0,6 + 90 x 0,65 +36 x 0,467 = 108,312 MPa σny = σxy cos(n,x) + σ yy cos(n,y) + σzy cos(n,z) = 90 x 0,6 + 110 x 0,65 +45 x 0,467 = 146,515 MPa σnz = σxz cos (n,x) + σyz cos (n,y) + σzz cos (n,z) = 36 x 0,6 + 45 x 0,65 + 45 x 0,467 = 71,865 MPa σnn = σnx cos (n,x) + σ ny cos (n,y) + σ nz cos (n,z) = 108,312

ǀTn ǀ = σns =

x

0,6 + 146,515 146,515 x 0,65 + 71,865 x 0,467 = 193,783 MPa

108,312 +146,515 + 71,865  (σ(σnx2 + σny2 + σnz2)  108, ǀTǀ −   195, 195,864 −193,783 = 28,476 MP  n =

= 195,864 MPa

=

Besar sudut antara

dengan vektor normal :

28, 476 476   s ns  = arc tan  28,   = 8,36 ° atau 0,146 rad  193, 193 , 783    s nn 

(Tn ,n) = arc tan  atau

 snn  193, 783   193, = arc cos    = 8,36 ° atau 0,146 rad  T n  195,864    

(Tn ,n) = arc cos 

SOAL 4

  = 155 MPa, MPa,  = 60 MPa, MPa,  = −75 MPa,  = 25 MPa,  = −45 MPa,  = 85 MPa Komponen tegangan pada suatu titik observasi benda pejal adalah sebagai berikut.

.

Lakukan transformasi komponen tegangan ke komponen tegangan kartesian system koordinat Ox’y’z’ dengan arah kosinus berikut:















(a)

x

y

z

(b)

x

y

z

x'

0,818

0,269

0,508

x'

0,733

0,452

0,508

y'

0,545

-0,667

0,508

y'

0,533

0,784

0,318

z'

1,000

0

0

z'

0,133

0,939

0,318

JAWAB

Untuk arah kosinus (a): σx’x’ = σxxcos2(x’,x) + σyycos2(x’,y) + σzzcos2(x’,z) + 2σxycos(x’,x)cos(x’,y) + 2σ yz cos(x’,y)cos(x’,z) + 2σzx cos(x’,z)cos(x’,x) = 155 x 0,8182 + 60 x 0,269 2 + (-75) x 0,5082 + 2

x

25 x 0,818 x 0,269 + 2 x (-45)

x

0,269 x 0,508 + 2 x 85 x 0,508 x 0,818 = 158,047 MPa σy’y’ = σxxcos2(y’,x) + σyycos2(y’,y) + σzzcos2(y’,z) + 2σxycos(y’,x)cos(y’,y) + 2σ yz cos(y’,y)cos(y’,z) + 2σzx cos(y’,z)cos(y’,x) = 155 x 0,5452 + 60 x (-0,667) 2 + (-75) x 0,5082 + 2 x 25 x 0,545 x (-0,667) + 2 x (-45) x (-0,667) x 0,508 + 2 x 85 x 0,508 x 0,545 = 112,763 MPa σz’z’ =

σxxcos2(z’,x)

+

σyycos2(z’,y)

+

σzzcos2(z’,z)

+

2σxycos(z’,x)cos(z’,y)

+

2σyzcos(z’,y)cos(z’,z) + 2σzxcos(z’,z)cos(z’,x) = 155 x 1 2 + 60 x 02 + 0 + 0 + 0 + 0 = 155 MPa σx’y’ = σxx cos (x’,x) cos (y’,x) + σ yy cos (x’,y) cos (y’,y) + σ zz cos (x’,z) cos (y’,z) + σxy {cos (x’,x) cos (y’,y) + cos (x’,y) cos (y’,x)} + σ yz {cos (x’,y) cos (y’,z) + cos (x’,z) cos (y’,y)} + σzx {cos (x’,z) cos (y’,x) + cos (x’,x) cos (y’,z} = 96,957 MPa σy’z’ =

σxxcos(y’,x)cos(z’,x)

+

σyycos(y’,y)cos(z’,y)

σxy{cos(y’,x)cos(z’,y)

+

cos(y’,y)cos(z’,x)}

+ +

σzzcos(y’,z)cos(z’,z)

+

σyz{cos(y’,y)cos(z’,z)

+

cos(y’,z)cos(z’,y)} + σzx{cos (y’,z)cos(z’,x) + cos(y’,x)cos(z’,z} = 110,98 MPa σz’x’ =

σxxcos(z’,x)cos(x’,x) σ {cos(z’,x)cos

(x’,y)

+ +

σyycos(z’,y)cos(x’,y) cos(z’,y)cos(x’,x)}

+ +

σzzcos(z’,z)cos(x’,z) σ {cos(z’,y)cos

(x’,z)

+ +















Dengan Metode Matriks untuk arah kosinus (b):

[L] =

0,0,753333 0,0,475284 0,0,530818 12555 6205 −8455 0,133 0,939 0,318 85 −45 −75 135, 3 8 108, 5 3 44, 7 93 108, 5 3 100, 5 9 56, 0 38  44,793 56,038 34,34,6262 [σ] =

[σ’] = [L] [σ] [L]T =

Sehingga dapat disimpulkan: σx’x’ = 135,38 MPa ; σ x’y’ = 108,53 MPa ; σ x’z’ = 44,793 MPa σy’y’ = 100,59 MPa ; σ y’z’ = 56,038 MPa ; σ z’z’ = 34,62 MPa

SOAL 5

Apabila diketahui besarnya tegangan utama ( snn)1 = (snn)3 =

sxx = 155 MPa, ( snn)2 = syy = 60 MPa

szz = -75 MPa, tentukan enam komponen tegangan pada sistem sumbu Ox’y’z’ yang

mana sudut sistem tersebut terhadap sistem s istem sumbu Oxyz sebagai berikut: x

y

z

x’

/4

/3

/3

y’

/2

3/4

/4

z’

3/4

/3

/3

JAWAB

Diketahui: (semua tegangan geser sama dengan nol karena dalam kondisi tegangan utama)

sxx syy szz

= 155 MPa =

60 MPa

= -75 MPa

sxy = 0 syz = 0 szx = 0

Sudut Ox’y’z’ adalah:

x’

x

y

z

/4

/3

/3

















Nilai kosinus dari sudut Ox’y’z’ adalah: 0,707

0,5

0,5

0

-0,707

0,707

-0,707

0,5

0,5

Dengan Metode Matriks tegangan hasil transformasi [ s’] adalah:

        s s s s s s

       

s s s s s s

[s'] = [L][s][L]T

     

s s s s s s

=

=

−00,7,070077 −000,,,75507 00,07,,5057 15005 6000 −7−0075 0,007,,0557 −00,7,070077 −000,,,75507 173, 7 26 −47, 7 2 −81, 2 2 −47,2722 −7,−47,49772 −47, 7 2  −81,  73,726

Sehingga dapat disimpulkan: σx’x’ = 173,726 MPa ; σ x’y’ = -47,72 MPa ; σ x’z’ = -81,22 MPa σy’y’ = -7,497 MPa ; σ y’z’ = -47,72 MPa ; σ z’z’ = 73,726 MPa

SOAL 6

Tentukanlah apakah u = - xy, v =

(x2

+

ny2

-

ny2),

w =

gnyz,

dengan [ ,,g] adalah

konstanta dan n adalah rasio Poisson, merupakan solusi dari deformasi benda penjal.

JAWAB

Diketahui: u

= -xy

v

= (x2 + ny2 - n y2)

w

= gnyz















Hubungan xx dengan sxx, syy, dan

xx



= (sxx - n(syy + szz))

szz:

 misalkan

tidak terjadi tegangan normal pada bidang

yang normalnya searah sumbu y dan sumbu z, sehingga syy = szz = 0



s

xx

=

sxx

= Exx

sxx

= - yE

 subsitusikan pers. (1) ... (2)

Nilai regangan zz:

zz

=

 ( ))

¶ ¶ gn = ¶ ¶

= gny

... (3)

Hubungan zz dengan szz, syy, dan sxx:



zz

= (szz - n(sxx + syy))

zz

=

zz

=

zz

=n

−   −  (− y E) n

s

n

 dimana sebelumnya syy = szz = 0 maka,  subsitusikan pers. (2)



y

jika pers. (4) disubsitusikan ke pers. (3) maka,

gny = n

y

Dengan kata lain:

g = 

... (4)














yy

=


−  (− y E) n

yy =  n



y

... (6)

Jika persamaan (5) disubsitusikan ke persamaan (6) maka diperoleh: 2n y =  n 2 = 

y

Jadi hubungan semua konstanta adalah: 2 =  = g

Nilai regangan xy:

xy

 +  ( )) + ( (   ))

=

¶ ¶

=

¶  ¶

¶ ¶

¶

n ¶

n

= -x + 2x 0

= -x + x

... (7)

Nilai regangan yz:

yz

= =

 +  ( (   )) + ( ))

¶ ¶

¶

¶ ¶

n ¶

n

¶ gn ¶

= -2nz + gnz 0

-2nz + 2n

(8)















Kesimpulan: Sesuai dengan kasus/permisalan di atas, sebuah kubus kecil hanya diberi tegangan

sxx seperti

di bawah ini.

sxx

deformasi kubus setelah diberi sxx

z

y

sxx

x Menurut gambar di atas, jika kubus kecil hanya diberi tegangan

sxx maka tidak akan terjadi

deformasi geser atau tidak terjadi perubahan sudut antara bidang yang saling tegak lurus ( xy =

yz

=

zx =

0). Hal ini ditunjukkan oleh persamaan (7), (8), dan (9) yang diturunkan dari

persamaan u, n, w, sehingga dapat dikatakan u, n, w adalah solusi deformasi benda pejal.

SOAL 7

Apabila regangan suatu benda pejal akibat beban luar dicatat sebagai,

 = 0,003; 03;  = −0,003; 03;  = 0;0;  = 0,003;03;  =  = 0

Turunkanlah persamaan untuk menentukan arah dari sisi elemen kubus benda bebas benda















s  E     G

E (1  )(1  2) E 2(1  )





2,1 105  0, 30 (1  0, 30)(1  2  0, 30)

2,1 105 2(1  0, 30)

 121153,85

 80769, 23

 s xx    2G 0 0 0    xx    s     0 0 0  yy    2G   yy      s zz       2G 0 0 0    zz         s 0 0 G 0 0   xy   xy   0 s   0   0 0 0 G 0   yz  yz      s zx   0 0 0 0 0 G     zx   s xx   282692, 31 121153, 85 121153, 85 0 s   0  yy  121153, 85 282692, 31 121153, 85  s zz  121153, 85 121153, 85 282692, 31 0     0 0 0 80769,23  s xy   s   0 0 0 0  yz    s zx   0 0 0 0  s xx   484,61  s     yy   484,61  s zz   0        s xy   0  s   0   yz     s zx   242,31 

0 0 0 0 80769,23 0

Menyusun persamaan karakteristik tegangan:

s C   snn  C 

dimana C   matriks kosinus

  0,003    0,003 0    0  0   0 0     0 0    80769 ,23  0, 003  0
















snn3  I1snn 2  I 2s nn  I 3  0




bentuk umum pers. karakteristik tegangan

dimana, I 1

 s xx  s yy  s zz  0

I 2

293560,, 99  s xxs yy  s yys zz  s zzs xx  s xy2  s yz2  s zx2   293560

I 3

 s xx s yys zz  s xxs yz2  s yys zx2  s zzs xz2  2s xys y z s zx  28453457,5

Akar-akar Akar-akar persamaan karakteristik tegangan t egangan (nilai eigen):

snn1  584,98 snn 2  100,37 snn3  484,61 Untuk arah s nn1 : Substitusikan snn

 s nn1 ke pers. (1)

0 242, 31  cos( n, x)  0   484, 61  584, 98   cos( n, y)   0  0 484, 61  584, 98 0        242, 31 0 584, 98  cos( n, z )  0  0 242, 31   cos(n, x )   0  100, 37  0  cos(n, y )    0 1069, 59 0        242, 31   0 584, 98   cos(n, z )   0















Untuk arah snn 2 : Substitusikan snn

 s nn 2

ke pers. (1)

0 242, 31  cos( n, x)  0   484, 61  ( 100, 37)   cos( n, y)   0  0 0 484, 61  ( 100, 37)       242, 31 0 ( 100, 37)  cos( n, z )  0  0 242, 31  cos(n, x )   0 584, 98  0  cos(n, y )   0 384, 24 0        242, 31 0 100, 37   cos(n, z )   0

584, 98 cos(n, x)  242, 31 cos( n, z)  0 (a )  cos(n, x )   0, 414 cos(n, z ) 384, 24 cos( n, y)  0

 cos(n, y)  0

242, 31 31 cos( n, x)  100, 37 37 co c os( n, z )  0

 cos(n, x )   0, 414 cos(n, z )

(b)

Pers. (a) dan (b) ekivalen sehingga cos cos(n, x )   0, 414cos 4cos(n, z ) diketahui cos 2 ( n, x )  cos 2 (n, y )  cos2 (n, z )  1 sehingga, (  0, 414 cos( n, z )) 2

 0  cos 2 (n, z )  1















Untuk arah snn3 : Substitusikan snn

 s nn3

ke pers. (1)

484, 61) 0 242, 31  cos( n, x)  0   484, 61  (  48   cos( n, y)   0  0 0 484, 61  ( 484, 61)       242, 31 0 ( 484, 61)  cos( n, z )  0  22 0 242, 31 31  cos(n, x )   0 969, 22      0 0  0   cos(n, y )    0  242, 31 0 484, 61 61  cos(n, z )   0 969, 22 22 cos( n, x)  242, 31 cos( n, z)  0

 cos(n, x )   0, 25 cos(n, z ) 0  cos(n, y )  0

(a)

 cos(n, y )  0

242, 31 cos( n, x)  484, 61 cos( n, z)  0

 cos(n, x )   1, 99 cos(n, z )

(b)

Solusi bersama untuk pers. (a) dan (b) adalah cos(n, x )  0 dan cos(n, z )  0 diketahui cos 2 ( n, x )  cos 2 (n, y )  cos2 (n, z )  1 sehingga, 0  cos 2 ( n , y )  0  1















JAWAB

Diketahui: σnn1 = 180 MPa ; σnn2 = 80 MPa ; σ nn3 = 0 (tegangan 2D)

Menggunakan Metode Matriks: [σ’] = [L] [σ] [L]T

dimana [L] = matriks kosinus arah x' dan y'

σ σ 0 180 0 0 0 , 5 0 , 8 6 6 0 0 , 5 − 0 , 8 6 6 0    00 800 00 −0,0866 00,5 00 σ0 σ0 00 0,8066 00,5 00 =

[L]T [σ’] = [σ] [L]T















b.

Tentukan berapa tegangan utama minimum dan maksimum,

c.

Tetapkan arah sumbu utama bagi tegangan minimum,

d.

Gambarkan lingkaran Mohr.

JAWAB

[s][C] = snn[C] [s][C] - snn[C] = 0 ([s] - snn[I])[C] = 0

σ σ −σ σσ −σ σσ  coscocos(,  ) 0 s (, )  )    0 σ σ σ − σ coscos (, )) 0 =

Supaya matriks kosinus [C] tidak nol maka,

det ([s] - snn[I]) = 0

 dimana [I] = matriks identitas

atau

snn3 – I1snn2 + I2 snn – I3 = 0

→ pers. tegangan utama

dimana, I1

= sxx + syy + szz = 20 + 11 + 11 = 42

I2

= sxxsyy + syyszz + szzsxx - sxy2 - syz2 - szx2 = 20 x 11 + 11 x 11 + 11 x 20 – (-

√ 2

√ 2

)2 – (-3)2 – (-

)2

















Arah sumbu utama tegangan utama minimum:

σ σ −σ σσ −σ σσ  −12√ 2 −3√ 2 −√ 23 σ σ σ − σ √ 2 − 3 3 0 cos(,  ) 12 − 2 2 √ √ −√ √ 22 −3 3 − 33 coscos (,(,(,))) 00 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 =

([s] - snn[I])[C] = 0

=

Misalkan Cx = cos(n,x), Cy = cos(n,y), Cz = cos(n,z)

12 Cx -

-

Cy +

Cz = 0

... (1)

Cx + 3 Cy – 3 Cz

=0

... (2)

Cx – 3 Cy + 3 Cz

=0

... (3)















Cos (n,y) = Cos (n,z) = Cos (n,x) = 0

 √ 2

Jadi arah snn minimum: Cos (n,x) = 0

 (n,x)

= 900

Cos (n,y) =

 (n,x)

= 450

 (n,x)

= 450

Cos (n,z) =

 √ 2  √ 2

Lingkaran Mohr:

sns















c. Pada bidang yang melewati titik kajian, tegangan geser

σ = 60 MPa

. Berapa

interval nilai tegangan normal yang berada pada bidang tersebut?

d. Bila sepanjang suatu garis melalui titik kajian, tegangan normal = 0 , berapa interval nilai regangan geser Jawab:

ε

untuk variasi orientasi garis?

Lingkaran Mohr ruang bagi tegangan di titik yang dikaji:

σns maks = E baja

150  (60) 2

 2,1.105 MPa

  0,30

 105















1

nn2  s nn2  (snn1  snn3 ) E



1 2,1 10

5

50  0, 30(150  ( 60))

 1,10 10 4 1

nn3  s nn3  (snn1  snn2 ) E



1 2,1 105

30(150  50) 60  0, 30

 5,71104

ns ma maks 

(7, 29 10 4  ( 5, 71 10 10 4 )) 2

 6, 50 10 4













Lie, Hendri Hariwijaya 25013020 2


snn1  snn2    s nn1  snn2  2 s   s  ns  nn    2 2 2 2 s  150  60   602  150  60   nn   2  2 2 snn  45  60 2  150 2

2

2 snn  45  7425 2

snn  45  86,168 131,168 atau s nn  41,168 41,168 snn  131,168 Jadi intervalnya adalah antara a ntara -41,168 dan 131,168. Interval regangan geser saat semua σnn = 0: Jika semua σnn = 0 maka semua ε nn = 0 2

 nn3  nn2    nn2  nn3  2      ns  nn    2 2    

2

















Catatan: ε = 1000000 με; modulus elastisitas bahan E = 71 GPa dan υ = 0,25; bentang balok 8 meter; dan dimensi penampang b = 400 mm, d = 750 mm.















Tegangan utama:

snn1 

s xx  s zz



2  106,971 MPa

snn2 

s xx  s zz



2 0, 471 MPa  0,471

(s xx  s zz )2 2 (s xx  s zz )2 2

 s xz 2

 s xz 2














Pada titik 2:

 xx   xx 

1 E

s xx  (s yy  s zz )

s xx E

s xx  E   xx  71000  500  10 106 s xx  35, 35, 5 MPa s s G 
















Tegangan utama:

snn1 

s xx  s zz



(s xx  s zz )2

2  0, 471 MPa

2

s xx  s zz

(s xx  s zz )2

snn2 



2  106,971 MPa

2

 s xz 2

 s xz 2














Lingkaran Mohr di titik 3:

















Persamaan gaya dalam M :


Teori Elastisitas (Tugas Kuliah)

Recommend Documents