TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 1 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS
TEMA 71 LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS.LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES. INDICE SISTEMATICO 1. 2. 3. 4. 5. 6.
INTRODUCCION VERDAD Y MATEMATICAS RELACION DE LAS MATEMATICAS CON OTRAS CIENCIAS MATEMATICAS Y REALIDAD. EXITOS DE LAS MATEMATICAS DESARROLLODE LAS MATEATICAS Y CRISIS EN SUS FUNDAMENTOS. 6.1 El logicismo 6.1.1 Fundamentos. 6.1.2 Objeciones 6.2 El intuicionismo 6.1.1 Fundamentos. 6.1.2 Objeciones 6.3 El formalismo. 6.1.1 Fundamentos. 6.1.2 Objeciones
7. SISTEMAS FORMALES 7.1 Introducción. 7.2 Definición y estructura de un sistema formal. 7.3 Limitaciones internas de los sistemas formales 7.3.1 El problema de la consistencia y la completud. 7.3.2 Teorema de incompletud de Gödel. 8. UNICIDAD DE LA MATEMATICA. 9. CONSTRUCCION DE LA MATEMATICA.
Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 2 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS 1. INTRODUCCION Las máximas cualidades de toda ciencia son la necesidad y universalidad. En este sentido las verdades matemáticas parecen alcanzar el ideal de la verdad científica absoluta. Sin embargo la opinión mas común actualmente entre los estudiosos de las matemáticas, de la lógica, de los fundamentos o de la filosofía matemática es que tal verdad absoluta no existe para el hombre ni siquiera en las matemáticas, pues tanto las condiciones de universalidad como las de su necesidad resultan hoy día confusas. A principios del siglo XIX comienzan a surgir ideas extrañas, que acabaron con la confianza en la verdad absoluta de esta ciencia, sobre todo en la rama de la geometría. Encontraron que desde sus orígenes se habían cometido imprecisiones en sus demostraciones descuidos y falta de rigor y aunque se dedicaron posteriormente a rigorizarlas, las matemáticas reconstruidas llevaban de nuevo a contradicciones, que llevaron a paradojas, por lo que revisaron los axiomas de partida. Fue aquí donde no se pusieron de acuerdo surgiendo tres tendencias distintas: la logicista, la intuicionista, la formalista. 2. VERDAD Y MATEMATICAS Dejando de lado la lógica, la verdad y el razonamiento matemático están fundamentados sobre una base más segura que otras disciplinas. Todos los grandes pensadores han sustentado la tesis de que la aritmética, la geometría o cualquier otra teoría matemática en su época, era verdadera y para ello las razones son varias a lo largo del tiempo:
Por que descansaban en la lógica. Por que su verdad se hallaba fundamentada en la realidad empírica. Últimamente el debate a cerca de la verdad de la matemática se ha centrado, en torno a
dos cuestiones fundamentales:
La relación delos enunciados o proposiciones matemáticas con la experiencia. La cuestión acerca del tipo de objetos propios sobre los que versa la matemática.
3. RELACION DE LAS MATEMATICAS CON OTRAS CIENCIAS La relación de las matemáticas con otras ciencias es muy compleja. Para algunos es un lenguaje universal que se debe aplicar a todas las ciencias. Para otros las matemáticas se aplican a otras ciencias en grado decreciente de intensidad desde la física hasta la historia donde su papel es prácticamente nulo. Por tanto podemos concluir que la relación que existe es entre el lenguaje matemático y el lenguaje de otras ciencias 4. MATEMATICAS Y REALIDAD
Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 3 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS El tipo de verdad que pueden expresar las matemáticas se pueden responder exponiendo la siguiente citas: Albert Einstein: “En la medida en que las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas y en la medida que son ciertas, no son reales”. Se han propuesto varias soluciones para resolver dichas dificultades:
La matemática puede aplicarse a la realidad porque ella misma no dice nada. Puede aplicarse a la realidad porque resulta empíricamente de un examen de la
realidad. Por que como decía Kant, los principios matemáticos son juicios sintéticos a priori. Por que la realidad es de índole matemático. (Pitágoras).
5. EXITOS DE LAS MATEMATICAS En el Renacimiento se lleva a cabo una distinción clave de la ciencia, la distinción entre cualidades principales de las matemáticas, reales y objetivas (como la figura, el numero. El movimiento), delas cualidades secundaria que no pueden ser cuantificables (olor, calor). La experiencia debe reducirse a esquemas matemáticos, siendo los grandes matemáticos como Descartes
y Newton lo que llevaron la física a sus más altos triunfos, postulando,
respectivamente, el principio de la Inercia y la ley de gravitación universal. 6. DESARROLLO DE LAS MATEMATICAS Y CRISIS EN SUS FUNDAMENTOS Desde los Elementos de Euclides las matemáticas fueron consideradas como la ciencia que presentaba el rigor de toda demostración. Este descubrimiento del método deductivo, llevo a un desarrollo gradual y seguro de las matemáticas que culmina a finales del siglo XIX y principios del XX en especial con “la teoría de conjuntos” de Cantor. Pero empezaron a aparecer paradojas como la de Burali-Forti y más tarde la de Russell. Se llego a la convicción de la necesidad de una revisión de las bases de las matemáticas con el fin de evitar las paradojas, es decir, se vio la necesidad de poner unos limites a la axiomatización y formalización de las matemáticas, con el fin de que no fuera fácil que en su axiomas aparecieran paradojas que dieran al traste con todas las teorías. Hubo unanimidad en el fin, la fundamentación de las matemáticas, pero no en el como apareciendo res posturas diferentes: logicista, intuicionista y formalista. 6.1 El logicismo 6.1.1 Fundamentos La postura adoptada por esta escuela considera la lógica mas importante que
las
matemáticas, efectuando la reducción de los conceptos y métodos de inferencia matemática a los correspondientes de la lógica, concluyendo consiguientemente que la matemática no es mas que una rama de la lógica. El primero en formular con cierta precisión la disciplina del logicismo Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 4 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS fue Leibniz, aunque su posterior desarrollo fue realizado por Frege, Peano, Whitehead y Rusell. Para los logicistas, las paradojas son imputables a nuestro modo de hablar de las relaciones objetivas que enlazan las entidades matemáticas, por lo cual es fundamental la construcción de un lenguaje de nuestra teoría, a fin de que no llegue a decir nada paradójico. 6.1.2 Objeciones El problema de los logicistas
era la construcción de sistemas lógicos que dieran
explicación a todo el campo matemático.
La lógica elemental ordinaria necesita el refuerzo de una seria de axiomas adicionales que no son específicos de la lógica elemental ordinaria, por lo que no será reducible a la
misma cualquier teoría que emplee dichos principios. El logicismo al afirmar la reducibilidad de la matemática a la lógica, debería ser capaz de proporcionar un criterio claro para distinguir los principios lógicos de los no lógicos, criterio basado en una concepción y definición clara de la lógica y no es cierto. 6.2 El intuicismo 6.2.1 Fundamentos La escuela intuicionista es totalmente opuesta a la logicista y su fundador es L.E.J
Brouwer. La opinión del intuicismo sobre las tres ideas claves causantes
de la crisis
( consistencia, axioma de elección y conjuntos infinitos) era la siguiente: no aceptaban los conjuntos infinitos, ya que para ellos solo existe el infinito potencial: aceptan el método de inducción matemática, pero como contenido de un teorema que a de ser demostrado directa e intuitivamente y no como el resultado de una especulación lógica
o de una convención,
postulado o axioma; y por ultimo rechazan el axioma de elección, pensando que el problema de la consistencia no existe, al estar asegurada como consecuencia de un pensamiento correcto. 6.2.2 Objeciones Los propios intuicionistas se hallan divididos en cuanto a la aceptabilidad del concepto intuicionista de negación elaborado por Brouwer. También se le acusa al intuicionismo de emplear métodos no familiares y de sacrificar gran parte de la matemática clásica. Y otra característica del intuicionismo que lo hace mas desagradable a los matemáticos, y a otros teóricos, es su rechazo del principio del tercio excluso. 6.3 El formalismo 6.3.1 Fundamentos Su principal representante el Hilbert. La tendencia formalista considera
que las
entidades matemáticas son puras construcciones intelectuales. Los formalistas entienden que Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 5 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS una entidad puede considerarse matemáticamente existente
cuando sea definida de una
manera exenta de contradicción. Por consiguiente proponen para la “fundamentación” de las matemáticas, la realización de un plan
en el que se expliciten todas las ramas de la
matemáticas mediante sistemas axiomáticos perfectamente formalizados y simbolizados y una vez logrado, se tendrá garantía no solo contra la aparición de paradojas, si no también a propósito de todo cuanto se deduzca dentro de tales construcciones axiomáticos. La prueba de no contrariedad o consistencia se convierte en la tarea central de toda investigación matemática. 6.3.2 Objeciones El principal propósito de la teoría formal de la demostración era demostrar la absoluta veracidad de la matemática y parece imposible dar una demostración directa, y en un número finito de pasos, de la consistencia de la teoría formal de números que formalice la teoría matemática de los números enteros. Además después de los resultados de Gödel, algunos autores mantienen que la demostración de consistencia no es ni suficiente ni necesaria para aceptar un sistema formal frente a otro. 7. SISTEMAS FORMALES 7.1 Introducción El concepto de axioma procede del griego y significa valoración positiva. El primero que cultivo sistemáticamente
el método axiomático en matemáticas fue Euclides, pues
representaba en la antigüedad, el ideal griego del conocimiento científico. Desde un punto de vista semántico un sistema axiomático contiene siempre dos clases de elementos:
Los axiomas y los enunciados deducidos, que pertenecen al lenguaje-objeto. Las reglas que pertenecen al metalenguaje. No existe ningún sistema axiomático completamente formalizado, aunque a un sistema
axiomático se le denomina formalizado completamente si, todo a excepción de las reglas, esta formalizado. 7.2 Definición y estructura de un sistema formal Un sistema formal es un conjunto de teoremas engendrado mediante reglas precisas y objetivas. Una teoría o sistema formal es el resultado de formalizar y axiomatizar una teoría científica. Su estructura debe contener:
Una tabla de símbolos primitivos o alfabeto. Un repertorio de reglas de formación o de formulas. Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 6 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS
Una lista de axiomas o postulados, que son las formulas sencillas del sistema. Un repertorio de reglas de inferencia. En cuanto a los caracteres de un sistema formas, debemos destacar los siguientes:
Es consistente si y solamente si, se atiende al principio de no contradicción. Es completo, si y solamente si, cualquier enunciado del sistema o su negación es
afirmado por el sistema. Es decidible, cuando existe un procedimiento que permite decidir de un modo mecánico
si una formula es o no deducible del sistema. Es independiente cuando no se da el caso de que ninguno de sus axiomas o alguna de sus reglas primitivas pueda ser derivada de los otros axiomas o de las otras reglas primitivas. 7.3 Limitaciones internas de los sistemas formales. 7.3.1 El problema de la consistencia. Si se demuestra que un sistema formal es consistente, y en dicho sistema formal son
demostrables formalmente las formulas formales que corresponden a teoremas de una rama de las matemáticas, ello es suficiente garantía de que los teoremas son verdaderos y por tanto la demostración de consistencia del sistema formal constituye la clave dela fundamentación formalista de las matemáticas y su limitación interna. 7.3.2 Teorema de la incompletud de Gödel. Un sistema se dice completo si tiene herramientas para establecer la veracidad o falsedad de cualquier enunciado significativo. Si un sistema no es completo, habrá enunciados que no se podrán probar pero tampoco refutar a los que se les da el nombre de indecible. En 1931 Gödel demostró que no es posible construir una teoría axiomática de los números que posea la completud propuesta por Hilbert, “Si una teoría formal T que incluya a la aritmética es consistente, entonces T es incompleta, pues hay una proposición p indecidible en T”. 8. UNICIDAD DE LA MATEMATICA En la actualidad no existe un consenso universal a favor de la doctrina de la unicidad de la matemática. La principal razón para dudar de ella es la existencia real de teorías matemáticas aparentemente alternativas. Los filósofos centraron por primera vez su atención
sobre tal
aspecto al descubrirse las geometrías no euclidianas, probarse su consistencia y mostrarse de tanta utilidad para la física, como la propia geometría euclidiana. Pero no solo puede atacarse la teoría de la unicidad de la geometría, si no también de la aritmética y de las matemáticas en general. 9. CONTRUCCION DE LA MATEMATICA Elsa Puente Gutiérrez
TEMA 71. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS 7 MATEMATICAS. LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS FORMALES OPOSICIONES DE MATEMATICAS Según J. Hadamard, las diversas operaciones a través de las cuales se inventa la matemática son: documentación, preparación, incubación, iluminación, verificación y conclusión. Cuando parece que todo se ha acabado, se puede reanudar el trabajo de documentación, pareciendo así que esta invención matemática proseguirá infinitamente, deforma que la matemática puede recrearse y reorganizarse permanentemente, evolucionando con el tiempo.
Elsa Puente Gutiérrez
