PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
Tie'p# de (aciad# de u! cili!dr#
)Cas# * % +,
CÁTEDRA
: Hidráulica
CATE CATEDR DRÁ ÁTICO TICO
: Qui Quisp spe e Est Estra rada da Misa Misael el
ESTUDIANTES
:
DIEGO HUZCO De!!is "#el "U$CARIMA ROSA$ES He!rr% He!rr%
SEMESTRE
: &II
ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD & ENERGIA
Huancayo – Perú - +.*/ -
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA 1. TEMA: CÁLCULO DEL TIEMPO DE VACIADO DEL AGUA EN UN TANQUE. 2. PROPÓSITO/OBJETIVO/LOGRO: - Aplicar la ecuación de la continuidad para volumen de control variable y fluidos
incompresibles.
- Aplicar la ecuación de la energía y la ecuación de Torricelli. - Calcular el tiempo de vaciado desde una altura inicial hasta una altura final. - Medir el tiempo en forma real en el equipo preparado
3. MARCO TEÓRICO: FLUJO DE UN FLUIDO El movimiento de un fluido se puede describir usando el concepto de fluo del fluido. El fluo es una cantidad escalar que se denota por la letra griega ! y se define como el producto de la densidad por la rapide" y por el #rea que atraviesa el fluido en su movimiento$ esto es: φ = ρ∗v∗ A = ρ∗Q
%&.'(
En la ecuación: ρ : es la densidad del fluido$ e)presado en *g+m& v : es la rapide" del fluido$ e)presada en m+s
A : es el #rea que atraviesa el fluido$ e)presada en m, Q : es el caudal del fluido$ se e)presa en m&+s
-a unidad del fluo en el sistema internacional es *g+s$ por lo que el fluo representa la corriente del fluido a lo largo de su recorrido. LEY DE CONTINUIDAD DEL FLUJO Esta ley es consecuencia de la ley de la conservación de la materia. ace referencia a la constancia del fluo a lo largo del camino recorrido por el fluido$ su enunciado es: El fluo de un fluido en movimiento es el mismo en dos puntos diferentes del camino recorrido por el fluido En t/rminos matem#ticos$ es: φ = ρ1∗ v 1∗ A1= ρ2∗v 2∗ A 2
%&.,(
Esta ecuación tambi/n recibe el nombre de ecuación de continuidad del fluo. E)presa que la cantidad de masa por unidad de tiempo que ingresa por un punto deber ser igual a la cantidad de masa por unidad de tiempo que sale por punto del recorrido del fluido. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 0i el fluido es un líquido no viscoso e incompresible$ su densidad permanece constante durante el fluo$ entonces se puede eliminar la densidad en ambos miembros de la
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA ecuación %&$,( del fluo$ por lo que la ecuación de continuidad del fluo se reduce a la ecuación de continuidad del caudal del líquido. Esto es: Q= v 1∗ A1= v 2∗ A 2
%&.&(
EL PRINCIPIO DE BERNOULLI
El principio de 1ernoulli es una ley que se deduce a partir de la ley de conservación de la energía para un fluido en movimiento. Esta ley fue descubierta por el matem#tico holand/s 2aniel 1ernoulli %'3445'36,($ su enunciado establece lo siguiente: L !"#$%' '#( #)#"*%+ ,' -,%+ #' 0%0%#'( #$ %, +# $ *0%$ +# #'#"4 *%'5(%* 6 !(#'*% !" ,'%++ +# ,0#' 7,# *,""#' +,"'(# # -,). -a energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: C%'5(%*: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido7 P(#'*% "%(*%': es la energía debido a la altitud que un fluido posea7 E'#"4 +# !"#$%': es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. -a siguiente ecuación conocida como 8ecuación de 1ernoulli8 %trinomio de 1ernoulli( consta de estos mismos t/rminos.
2ónde: 9 velocidad del fluido en la sección considerada. 9 densidad del fluido. 9 presión a lo largo de la línea de corriente. 9 aceleración gravitatoria 9 altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P" !%*" #*,*%' $# +##' "#%8" $ $%,%#'(#$ $,!,#$($: •
• •
iscosidad %fricción interna( 9 4 Es decir$ se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una "ona ;no viscosa; del fluido. Caudal constante.
A partir de esta también se puede escribir una ecuación equivalente y que tiene la siguiente forma:
P2+ ρ∗g∗Y 2 +
1 2
2
ρ∗v 2= P1 + ρ∗g∗Y 1 +
∗
1 2
2
ρ v 1
∗ ∗
Es decir que energía total por unidad de volumen entregada al fluido en movimiento es la misma en todos los puntos diferentes del camino recorrido por el fluido.
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de 1ernoulli y estudia el fluo de un líquido contenido en un recipiente$ a trav/s de un peque>o orificio$ bao la acción de la gravedad. -a velocidad de un líquido en una vasia abierta$ por un orificio$ es la que tendría un cuerpo cualquiera$ cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio. Matem#ticamente:
2ónde: : es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio : es la velocidad de apro)imación o inicial. : es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. : es la aceleración de la gravedad ?ara velocidades de apro)imación baas$ la mayoría de los casos$ la e)presión anterior se transforma en:
2ónde: : es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio : es el coeficiente de velocidad. ?ara c#lculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 4$@ en el caso m#s desfavorable. Tomando
9'
E)perimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada$ es un poco menor que la ideal$ debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial$ de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA VACIADO DE TANQUES El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en r/gimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que depender# del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque$ esta descarga provocar# un cambio en el contenido inicial del equipo$ de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma:
Esta ecuación es conocida en hidrodin#mica$ la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v del fluo %o salida( del agua a trav/s de un aguero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura %o profundidad( h es igual a la velocidad de un obeto %en este caso una gota de agua($ que cae libremente desde una altura h7 esto es$
2onde g es la aceleración de la gravedad. Esta Bltima e)presión se origina al igualar la energía cin/tica$ %mv ,($ con la energía potencial$ mgh$ despeando v.
M+# M(#09(%* D# V*%+ D# T'7,#$
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
0e considera un recipiente lleno de agua hasta una altura $ donde A es el #rea de la sección transversal constante$ y es el #rea de un orificio de sección transversal por el que fluye el agua$ el cual est# ubicado en la base del tanque. 0ea la altura del agua en el tanque en un tiempo t %nivel '( y h D A la altura en un tiempo t D At %nivel ,(. 0e desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante ( y el tiempo que este demora en vaciarse. -a cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baa de ' a , es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. 0ea ;(< la altura del líquido en el tanque en cualquier instante ( y V;(< el volumen del agua del tanque en ese instante. -a velocidad v del agua a trav/s del orificio es
2onde es la gravedad. -a ecuación anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirir# al caer libremente desde la superficie del agua hasta el aguero. En condiciones reales$ hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio$ por lo que se obtendr#
2onde * es el coeficiente de descarga comprendido entre 4 y '. En algunos problemas$ cuando el coeficiente de descarga no se indica$ se asume que c9'. 0egBn el Teorema de Torricelli$ la ra"ón con la que el agua sale pro el aguero %variación del volumen de líquido en el tanque respecto al tiempo( se puede e)presar como el #rea del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA 0ustituyendo en la ecuación
0i A%h( denota el #rea de la sección transversal hori"ontal del tanque a la altura h$ aplicando el m/todo del volumen por secciones transversales se obtiene
2erivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del c#lculo
Comparando las ecuaciones
Esta es una ecuación diferencial de variables separables$ la cual al resolver sueta a la condición de conocer la altura inicial = para el tiempo (>=$ permite obtener la variación de la altura del líquido en el tanque en función del tiempo. -as medidas o dimensiones de los tanques se pueden e)presar de la siguiente forma:
E#0#'( Altura olumen Tiempo
N(*%' h%t( 1%t( T
U'%++#$ cm Cm& seg
@6'cm+seg,
ravedad Frea del orificio de A salida Frea de la sección A%h( transversal Coeficiente de C descarga
mt Mt& seg
pies ?ies& seg &,pies+ @$6'mt+ seg, seg,
Cm,
Cm,
?ies,
Cm,
Cm,
?ies,
0in Gnidades
-a constante C depende de la forma del orificio: 0i el orificio es de forma rectangular$ la constante C 9 4$6. 0i el orificio es de forma triangular$ la constante 4$H I C I 4$3. 0i el orificio es de forma circular$ la constante C 9 4$H.
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA J en algunos casos viene especificada. A,'$ T%!$ D# T'7,#$
•
C$ 1: Cilindro circular de altura h 4 y radio K$ dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de di#metro d.
y separando variables$ Lntegrando
Con las condiciones iniciales t94 y h9 h 4$ se halla la constante C$ así:
Entonces de la ecuación se despea el tiempo
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical. D#$"" !"*(%*. CASO 1: Cuando solo eiste un caudal de salida !"ariable#
1
t
2
v
Datos: Obtenidos del video que se hiso en una primera practica:
A ( h )
dh =−ac √ 2 gh dt
A ( h )
dh =−ac √ 2 gh dt
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
S# "%"' $ +($ *' "#$!#*( %+# !" ,' $#,'+ !"9*(%*. D($: 2i#metro del cilindro %2( 2i#metro del orificio del cilindro %d( Altura del cilindro %( ariación de altura final %h(
4.,&4 m 4.4', m 4.,4 m 4.'@ m
R#$,(+$: Tiempo
%t(
.HH s
PREGUNTAS: ¿Cómo interpretas la ecuación de la continuidad para un volumen de control variable y un líquido incompresible? Se toma el volumen ocupado por al agua como el volumen de control .en este caso, decrece el tamaño de este volumen con forme el nivel de agua desciende y donde esta es un volumen de control variable. Por lo tanto se determina que es un problema de flujo no estacionario (ecuación de continuidad) ya que las propiedades como la cantidad de masa en el interior del volumen de control cambian con el tiempo. ¿Cómo interpretas la ecuación de Torricelli a partir de la ecuación de la energía? etermina la velocidad del elemento a partir de la conservación de la energ!a y teniendo presente que si es la misma sustancia las densidad se van a eliminar .
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA ¿Qué pasa si aparte existe un caudal fijo de ingreso !"AS# $% "n este caso ya que se determinó que la velocidad de salida es mayor cuando mayor sea la altura # del cilindro y que la altura # depende del tiempo. "l tiempo de vaciado del tanque va $acer mayor. ¿"&'o calcula'os el tie'po cuando existe un caudal fijo de ingreso( aparte del agujero de )aciado !"AS#
%$0e determina hallando las ra"ones de fluo volum/trico a partir de esto la ra"ón de masa y al final obteniendo una velocidad promedio. m ent −¿ m sal =
CASO $: Cuando eiste un caudal de salida !variable#% y un caudal de entrada !fi&o#
d mvc dx
´¿
( A tan ) dh
ρ ´V − ρv A sal = ρ
dx
como ρ V =´cte =a
πD
2
4
t = a−
√ 2 g∗π d
2
∗−2 √ ∆ h
4
D($: 2i#metro del cilindro %2( 2i#metro del orificio del cilindro %d( Altura del cilindro %( ariación de altura final %h( Ka"ón de masa entrante
t =91,50 s
´ ´ = ρ V m
4.,&4 m 4.4', m 4.,4 m 4.'@ m 3
−4
´ = ρ 1.3∗10 m
m s
PRÁCTICA DE HIDRÁULICA
1
t
2
v
"#N"*US+#NES% •
•
•
Se determinó que la velocidad de salida del l!quido depende de la altura del volumen de control y esta altura depende del tiempo. Se relacionan las leyes fundamentales de conservación de la materia tambi&n la conservación de la energ!a y a partir de ello se determinó la ecuación de 'orricelli. l tener un caudal de ingreso constante el tiempo de vaciado va $acer muc$o mayor o en el caso de que esta caudal de ingreso sea mayor que de la salida va $aber un puto de la altura del volumen de control casi constante.
RE"#,EN-A"+#NES% •
Tener cuidado en el maneo de las fórmulas de ra"ón de fluos volum/trico y de masa para aplicarlos en los c#lculos. En el segundo caso.
